Аль матрицын хувьд урвуу тал байна. Урвуу матрицын тодорхойлолт оршихуй ба өвөрмөц байдал
Тодорхойлолт 1:Хэрэв тодорхойлогч нь тэг байвал матрицыг доройтсон гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 2:Тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш бол матрицыг дан бус гэж нэрлэдэг.
Матрицыг "А" гэж нэрлэдэг урвуу матриц, хэрэв A*A-1 = A-1 *A = E (идентификатын матриц) нөхцөл хангагдсан бол.
Квадрат матриц нь зөвхөн ганц тоо биш байвал урвуу болно.
Урвуу матрицыг тооцоолох схем:
1) Хэрэв "А" матрицын тодорхойлогчийг тооцоол ∆ A = 0, тэгвэл урвуу матриц байхгүй болно.
2) "А" матрицын бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг ол.
3) Алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц зохио (Aij )
4) Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг шилжүүл (Aij )T
5) Шилжүүлсэн матрицыг энэ матрицын тодорхойлогчийн эсрэгээр үржүүлнэ.
6) Шалгах:
Эхлээд харахад хэцүү мэт санагдаж болох ч үнэндээ бүх зүйл маш энгийн байдаг. Бүх шийдлүүд нь энгийн арифметик үйлдлүүд дээр суурилдаг бөгөөд шийдвэрлэхэд гол зүйл бол "-" ба "+" тэмдгүүдтэй андуурч болохгүй, тэдгээрийг алдахгүй байх явдал юм.
Одоо та нартай урвуу матрицыг тооцоолох замаар практик даалгаврыг шийдье.
Даалгавар: доорх зурагт үзүүлсэн урвуу матриц "А"-г ол.
1. Хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол "А" матрицын тодорхойлогчийг олох явдал юм.
Тайлбар:
Бид тодорхойлогчийн үндсэн функцуудыг ашиглан хялбаршуулсан. Эхлээд бид 2, 3-р эгнээнд эхний эгнээний элементүүдийг нэг тоогоор үржүүлсэн.
Хоёрдугаарт, тодорхойлогчийн 2, 3-р баганыг өөрчилсөн, шинж чанарын дагуу бид урд талын тэмдгийг өөрчилсөн.
Гуравдугаарт, бид хоёр дахь эгнээний нийтлэг хүчин зүйлийг (-1) гаргаж, тэмдгийг дахин өөрчилсөн бөгөөд энэ нь эерэг болсон. Бид мөн 3-р мөрийг жишээний эхэн үеийнхтэй адил хялбаршуулсан.
Бид гурвалжин тодорхойлогчтой бөгөөд диагональ доорхи элементүүд тэгтэй тэнцүү байх ба 7-р шинж чанараар диагональ элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. Үүний үр дүнд бид авсан ∆ A = 26, тиймээс урвуу матриц байна.
A11 = 1*(3+1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1*1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1*(3-0) = 3
A23 = -1*(1+4) = -5
A31 = 1*2 = 2
A32 = -1*(-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. Дараагийн алхам бол үүссэн нэмэлтүүдээс матрицыг эмхэтгэх явдал юм.
5. Бид энэ матрицыг тодорхойлогчийн эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл 1/26-аар үржүүлнэ.
6. За, одоо бид шалгах хэрэгтэй:
Баталгаажуулалтын явцад бид таних матрицыг хүлээн авсан тул шийдвэрийг үнэхээр зөв гаргасан.
Урвуу матрицыг тооцоолох 2 арга.
1. Матрицын элементийн хувиргалт
2. Элементар хөрвүүлэгчээр урвуу матриц.
Анхан шатны матрицын хувиргалт нь дараахь зүйлийг агуулна.
1. Мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх.
2. Өөр мөрийн дурын мөрөнд нэмэх, тоогоор үржүүлэх.
3. Матрицын мөрүүдийг солих.
4. Элемент хувиргалтуудын гинжийг ашигласнаар бид өөр матрицыг олж авна.
ГЭХДЭЭ -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. А -1*A=E
Үүнийг анхаарч үзээрэй практик жишээбодит тоогоор.
Дасгал:Урвуу матрицыг ол.
Шийдэл:
Шалгацгаая:
Шийдлийн талаар бага зэрэг тодруулга:
Бид эхлээд матрицын 1 ба 2-р мөрүүдийг сольж, дараа нь эхний мөрийг (-1) үржүүлсэн.
Үүний дараа эхний мөрийг (-2) үржүүлж, матрицын хоёр дахь эгнээнд нэмсэн. Дараа нь бид 2-р эгнээ 1/4-ээр үржүүлсэн.
эцсийн шатхувиргалт нь хоёр дахь эгнээг 2-оор үржүүлж, эхнийхээс нэмэх явдал байв. Үүний үр дүнд бид зүүн талд авлаа таних матриц, тиймээс урвуу матриц нь баруун талд байгаа матриц юм.
Шалгасны дараа бид шийдвэрийн зөв гэдэгт итгэлтэй байсан.
Таны харж байгаагаар урвуу матрицыг тооцоолох нь маш энгийн.
Энэхүү лекцээ дуусгахдаа би ийм матрицын шинж чанаруудад бага зэрэг цаг зарцуулахыг хүсч байна.
Энэ сэдэв нь оюутнуудын дунд хамгийн их үзэн яддаг сэдэв юм. Хамгийн муу нь зөвхөн тодорхойлогч хүчин зүйлүүд байж магадгүй юм.
Энэ заль мэх нь урвуу элементийн тухай ойлголт (би одоо зөвхөн матрицын тухай яриагүй) биднийг үржүүлэх үйлдлийг хэлдэг. Бүр дотор сургуулийн сургалтын хөтөлбөрҮржүүлэх нь нарийн төвөгтэй үйлдэл гэж тооцогддог бөгөөд матрицыг үржүүлэх нь ерөнхийдөө тусдаа сэдэв бөгөөд надад бүхэл бүтэн догол мөр, түүнд зориулсан видео заавар байдаг.
Өнөөдөр бид матрицын тооцооллын нарийн ширийнийг авч үзэхгүй. Зүгээр л санаарай: матрицуудыг хэрхэн тэмдэглэж, хэрхэн үржүүлж, үүнээс юу гарахыг санаарай.
Дүгнэлт: Матрицын үржүүлэх
Юуны өмнө тэмдэглэгээний талаар тохиролцъё. $\left[ m\times n \right]$ хэмжээтэй $A$ матриц нь яг $m$ мөр, $n$ багана бүхий тооны хүснэгт юм:
\=\underbrace(\left[ \begin(матриц) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((а)_(22)) & ... & (а)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\төгсгөл(матриц) \баруун])_(n)\]
Мөр, баганыг зарим газар санамсаргүйгээр андуурахгүйн тулд (надад итгээрэй, шалгалтанд та нэгийг нь хоёр талтай андуурч болно - тэнд байгаа зарим мөрийн талаар бид юу хэлж чадах вэ) зургийг хараарай.
Матрицын эсийн индексийг тодорхойлох Юу болоод байна? Хэрэв байрлуулсан бол стандарт системзүүн дээд буланд $OXY$ координат хийж, тэнхлэгүүд нь матрицыг бүхэлд нь хамрахаар чиглүүлбэл, энэ матрицын нүд бүр $\left(x;y \right)$ координатуудтай өвөрмөц холбоотой байж болно - энэ нь мөрийн дугаар ба баганын дугаар.
Яагаад координатын системийг яг зүүн дээд буланд байрлуулсан бэ? Тийм ээ, учир нь бид тэндээс ямар ч бичвэр уншиж эхэлдэг. Үүнийг санахад маш амархан.
Яагаад $x$ тэнхлэг баруун тийш биш доошоо чиглэж байна вэ? Дахин хэлэхэд энгийн зүйл: стандарт координатын системийг ($ x $ тэнхлэг баруун тийш, $ y $ тэнхлэг дээшээ) аваад матрицыг хаах байдлаар эргүүл. Энэ бол цагийн зүүний дагуу 90 градусын эргэлт юм - бид зураг дээр түүний үр дүнг харж байна.
Ерөнхийдөө бид матрицын элементүүдийн индексийг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдсэн. Одоо үржүүлэх асуудлыг авч үзье.
Тодорхойлолт. Эхний баганын тоо хоёр дахь мөрийн тоотой таарч байх үед $A=\left[ m\times n \right]$ ба $B=\left[ n\times k \right]$ матрицууд нь дараах байдалтай байна. тууштай гэж нэрлэдэг.
Ийм дарааллаар байна. $A$ ба $B$ матрицууд $\left(A;B \right)$ эрэмбэлэгдсэн хосыг үүсгэдэг гэж хоёрдмол утгатай байж болно: хэрэв тэдгээр нь энэ дарааллаар нийцэж байвал $B байх шаардлагагүй болно. $ ба $A$, тэдгээр. $\left(B;A \right)$ хос мөн адил байна.
Зөвхөн тогтвортой матрицуудыг үржүүлж болно.
Тодорхойлолт. $A=\left[ m\times n \right]$ ба $B=\left[ n\times k \right]$ тогтмол матрицуудын үржвэр нь $C=\left[ m\times k \right] шинэ матриц юм. ]$ , $((c)_(ij))$ элементүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно.
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Өөрөөр хэлбэл: $C=A\cdot B$ матрицын $((c)_(ij))$ элементийг авахын тулд эхний матрицын $i$-мөр болох $j$-г авах шаардлагатай. -хоёр дахь матрицын багана, дараа нь энэ мөр, баганын элементүүдийг хосоор нь үржүүлнэ. Үр дүнг нэмнэ үү.
Тийм ээ, энэ бол хатуу тодорхойлолт юм. Үүнээс хэд хэдэн баримт нэн даруй гарч ирдэг:
- Матрицын үржүүлэх нь ерөнхийдөө солигддоггүй: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Гэхдээ үржүүлэх нь ассоциатив байна: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- Мөн түгээлтийн хувьд ч гэсэн: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- Мөн дахин түгээх: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Үржүүлэх үйл ажиллагаа солигддоггүй учир үржүүлгийн тархалтыг зүүн ба баруун үржүүлэгчийн нийлбэрт тусад нь тайлбарлах шаардлагатай болсон.
Гэсэн хэдий ч $A\cdot B=B\cdot A$ гэж гарвал ийм матрицыг солих боломжтой гэж нэрлэдэг.
Тэнд ямар нэг зүйлээр үржүүлдэг бүх матрицуудын дунд онцгой нь байдаг - ямар нэгэн $A$ матрицаар үржүүлэхэд дахин $A$ өгдөг:
Тодорхойлолт. $A\cdot E=A$ эсвэл $E\cdot A=A$ бол $E$ матрицыг identity гэж нэрлэдэг. Тохиолдолд квадрат матриц th $A$ бид бичиж болно:
Баримт бичгийн матриц нь шийдвэрлэхэд байнга зочин болдог матрицын тэгшитгэл. Ерөнхийдөө матрицын ертөнцөд байнга зочилдог. :)
Мөн энэ $E$-ын улмаас хэн нэгэн дараагийн бичигдэх бүх тоглоомыг гаргаж ирсэн.
Урвуу матриц гэж юу вэ
Матрицыг үржүүлэх нь маш их цаг хугацаа шаардсан ажил тул (та олон мөр, баганыг үржүүлэх хэрэгтэй) урвуу матрицын тухай ойлголт нь бас тийм ч энгийн зүйл биш юм. Мөн үүнд тайлбар хэрэгтэй байна.
Гол тодорхойлолт
За үнэнийг мэдэх цаг нь болсон.
Тодорхойлолт. $B$ матрицыг хэрэв бол $A$ матрицын урвуу гэж нэрлэдэг
Урвуу матрицыг $((A)^(-1))$ (зэрэгтэй андуурч болохгүй!) гэж тэмдэглэсэн тул тодорхойлолтыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ ийм тодорхойлолтыг шинжлэхэд тэр даруй хэд хэдэн асуулт гарч ирдэг.
- Урвуу матриц үргэлж байдаг уу? Үргэлж биш бол яаж тодорхойлох вэ: энэ нь хэзээ байдаг, хэзээ байдаггүй вэ?
- Ийм матрицыг яг нэг гэж хэн хэлсэн бэ? Анхны $A$ матрицын хувьд урвуу олон тоо байвал яах вэ?
- Энэ бүх "урвуу" нь ямар харагдаж байна вэ? Мөн та тэдгээрийг хэрхэн тоолох вэ?
Тооцооллын алгоритмуудын хувьд бид энэ талаар бага зэрэг дараа ярих болно. Гэхдээ бид яг одоо үлдсэн асуултуудад хариулах болно. Тэдгээрийг тусдаа батламж-лемма хэлбэрээр зохион байгуулъя.
Үндсэн шинж чанарууд
$A$ матриц $((A)^(-1))$ байхын тулд хэрхэн харагдах ёстойгоос эхэлцгээе. Одоо бид эдгээр матрицууд хоёулаа дөрвөлжин, ижил хэмжээтэй байх ёстойг шалгах болно: $\left[ n\times n \right]$.
Лемма 1. $A$ матриц ба түүний урвуу $((A)^(-1))$ өгөгдсөн. Дараа нь эдгээр матрицууд хоёулаа дөрвөлжин бөгөөд ижил дараалалтай $n$ байна.
Баталгаа. Бүх зүйл энгийн. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ матрицыг үзье. Тодорхойлолтоор $A\cdot ((A)^(-1))=E$ бүтээгдэхүүн байдаг тул $A$ болон $((A)^(-1))$ матрицууд дараалалд нийцэж байна:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( тэгшлэх)\]
Энэ нь матрицыг үржүүлэх алгоритмын шууд үр дагавар юм: $n$ ба $a$ коэффициентүүд нь "дамжин өнгөрөх" бөгөөд тэнцүү байх ёстой.
Үүний зэрэгцээ урвуу үржүүлэх нь мөн тодорхойлогддог: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тиймээс $((A)^(-1))$ ба $A$ матрицууд мөн энэ дарааллаар нийцэж байна:
\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( тэгшлэх)\]
Тиймээс ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ гэж үзэж болно. Гэхдээ $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$-ийн тодорхойлолтын дагуу матрицуудын хэмжээсүүд яг ижил байна:
\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \төгсгөх(эгцлэх)\]
Тэгэхээр $A$, $((A)^(-1))$ ба $E$ гэсэн гурван матрицууд бүгд ижил байна. квадрат хэмжээ$\left[ n\times n \right]$. Лемма нь батлагдсан.
За, энэ нь аль хэдийн сайн байна. Зөвхөн квадрат матрицууд урвуу байдгийг бид харж байна. Одоо урвуу матриц үргэлж ижил байгаа эсэхийг шалгацгаая.
Лемма 2. $A$ матриц ба түүний урвуу $((A)^(-1))$ өгөгдсөн. Дараа нь энэ урвуу матриц нь өвөрмөц юм.
Баталгаа. Эсрэг талаас нь эхэлцгээе: $A$ матриц нь дор хаяж хоёр урвуу тохиолдолтой байг — $B$ ба $C$. Дараа нь тодорхойлолтын дагуу дараахь тэгшитгэлүүд үнэн болно.
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Лемма 1-ээс бид $A$, $B$, $C$ болон $E$ дөрвөн матриц бүгд ижил дарааллын квадрат байна: $\left[ n\times n \right]$. Тиймээс бүтээгдэхүүнийг дараахь байдлаар тодорхойлно.
Матрицын үржүүлэх нь ассоциатив (гэхдээ солигддоггүй!) учраас бид дараах зүйлийг бичиж болно.
\[\эхлэх(эгцлэх) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \баруун)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Баруун сум B=C. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Зөвхөн хүлээн авсан боломжит хувилбар: урвуу матрицын хоёр тохиолдол тэнцүү байна. Лемма нь батлагдсан.
Дээрх үндэслэл нь $b\ne 0$ бүх бодит тоонуудын урвуу элементийн өвөрмөц байдлын нотолгоог бараг үгчлэн давтаж байна. Цорын ганц чухал нэмэлт нь матрицын хэмжээг харгалзан үзэх явдал юм.
Гэсэн хэдий ч бид ямар ч квадрат матриц урвуу чадвартай эсэх талаар юу ч мэдэхгүй байна. Энд тодорхойлогч бидний тусламжид ирдэг - энэ бол гол шинж чанарбүх квадрат матрицын хувьд.
Лемма 3. $A$ матриц өгөгдсөн. Хэрэв $((A)^(-1))$ урвуу матриц байгаа бол анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна:
\[\зүүн| A \баруун|\ne 0\]
Баталгаа. $A$ болон $((A)^(-1))$ нь $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матрицууд гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Иймд тус бүрийн хувьд тодорхойлогчийг тооцоолох боломжтой: $\left| \right|$ ба $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Гэсэн хэдий ч бүтээгдэхүүний тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна:
\[\зүүн| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \баруун|\Баруун сум \зүүн| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \баруун|\]
Харин $A\cdot ((A)^(-1))=E$-ийн тодорхойлолтын дагуу $E$-ийн тодорхойлогч нь үргэлж 1-тэй тэнцүү байдаг тул
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн эдгээр тоо бүр тэгээс өөр байвал нэгтэй тэнцүү байна.
\[\зүүн| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \баруун|\n 0.\]
Тэгэхээр $\left| болох нь харагдаж байна A \right|\ne 0$. Лемма нь батлагдсан.
Үнэн хэрэгтээ энэ шаардлага нь нэлээд логик юм. Одоо бид урвуу матрицыг олох алгоритмд дүн шинжилгээ хийх бөгөөд зарчмын хувьд тэг тодорхойлогчтой урвуу матриц байж болохгүй нь бүрэн тодорхой болно.
Гэхдээ эхлээд "туслах" тодорхойлолтыг томъёолъё:
Тодорхойлолт. Муудсан матриц нь $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матриц бөгөөд тодорхойлогч нь тэг юм.
Тиймээс аливаа урвуу матриц нь хуучирдаггүй гэж бид баталж чадна.
Урвуу матрицыг хэрхэн олох вэ
Одоо бид урвуу матрицыг олох бүх нийтийн алгоритмыг авч үзэх болно. Ерөнхийдөө нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн хоёр алгоритм байдаг бөгөөд бид өнөөдөр хоёр дахь алгоритмыг авч үзэх болно.
Одоо авч үзэх нь $\left[ 2\times 2 \right]$ хэмжээтэй матрицууд болон хэсэгчлэн - $\left[ 3\times 3 \right]$ хэмжээтэй матрицуудад маш үр дүнтэй байдаг. Гэхдээ $\left[ 4\times 4 \right]$ хэмжээнээс эхлэн үүнийг ашиглахгүй байх нь дээр. Яагаад - одоо та бүх зүйлийг ойлгох болно.
Алгебрийн нэмэлтүүд
Бэлтгээрэй. Одоо өвдөлт гарах болно. Үгүй ээ, бүү санаа зов: юбка өмссөн, тортой оймс өмссөн үзэсгэлэнтэй сувилагч танд ирэхгүй бөгөөд өгзөг рүү чинь тариа хийхгүй. Бүх зүйл илүү зохиомжтой: алгебрийн нэмэлтүүд болон Эрхэмсэг ноёнтон "Холбооны матриц" танд ирж байна.
Гол зүйлээс эхэлье. Элементүүд нь $((a)_(ij))$ нэртэй $A=\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй квадрат матриц байг. Дараа нь ийм элемент бүрийн хувьд алгебрийн нэмэлтийг тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт. $A=\зүүн матрицын $i$-р мөр ба $j$-р баганын $((a)_(ij))$ элементийн алгебрийн нэмэлт $((A)_(ij))$ [ n \times n \right]$ нь маягтын бүтэц юм
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \баруун))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Энд $M_(ij)^(*)$ нь ижил $i$-р мөр болон $j$-р баганыг устгаснаар анхны $A$-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм.
Дахин. $\left(i;j \right)$ координат бүхий матрицын элементийн алгебрийн нэмэлтийг $((A)_(ij))$ гэж тэмдэглэж, схемийн дагуу тооцоолно.
- Эхлээд бид анхны матрицаас $i$-мөр болон $j$-th баганыг устгана. Бид шинэ квадрат матрицыг авч, тодорхойлогчийг $M_(ij)^(*)$ гэж тэмдэглэнэ.
- Дараа нь бид энэ тодорхойлогчийг $((\left(-1 \right))^(i+j))$-ээр үржүүлнэ - эхэндээ энэ илэрхийлэл сэтгэл хөдөлгөм мэт санагдаж болох ч үнэн хэрэгтээ бид $-ын өмнөх тэмдгийг л олж мэднэ. M_(ij)^(*) $.
- Бид тоолдог - бид тодорхой тоог авдаг. Тэдгээр. алгебрийн нэмэгдэл нь зүгээр л тоо болохоос ямар нэгэн шинэ матриц биш гэх мэт.
$M_(ij)^(*)$ матрицыг өөрөө $((a)_(ij))$ элементийн нэмэлт минор гэж нэрлэдэг. Энэ утгаараа алгебрийн нэмэлтийн дээрх тодорхойлолт нь тодорхойлогчийн тухай хичээл дээр авч үзсэн илүү төвөгтэй тодорхойлолтын онцгой тохиолдол юм.
Чухал тэмдэглэл. Үнэндээ "насанд хүрэгчдийн" математикт алгебрийн нэмэлтийг дараах байдлаар тодорхойлдог.
- Бид квадрат матрицад $k$ мөр, $k$ багана авдаг. Тэдгээрийн огтлолцол дээр бид $\left[ k\times k \right]$ хэмжээтэй матрицыг авна — түүний тодорхойлогчийг $k$ эрэмбийн минор гэж нэрлэдэг ба $((M)_(k))$ гэж тэмдэглэнэ.
- Дараа нь бид эдгээр "сонгосон" $k$ мөр болон $k$ баганыг хайчилж ав. Дахин хэлэхэд бид квадрат матрицыг авдаг - түүний тодорхойлогчийг нэмэлт минор гэж нэрлэдэг бөгөөд $M_(k)^(*)$ гэж тэмдэглэнэ.
- $M_(k)^(*)$-г $((\left(-1 \баруун))^(t))$-р үржүүл, энд $t$ нь (одоо анхаар!) сонгосон бүх мөрийн тооны нийлбэр юм. ба баганууд. Энэ нь алгебрийн нэмэлт байх болно.
Гурав дахь алхамыг харна уу: үнэндээ 2к $-ын нийлбэр байгаа! Өөр нэг зүйл бол $k=1$-ийн хувьд бид зөвхөн 2 нэр томъёог авдаг - эдгээр нь ижил $i+j$ байх болно - $((a)_(ij))$ элементийн "координатууд". алгебрийн нэмэлтийг хайж байна.
Тиймээс өнөөдөр бид бага зэрэг хялбаршуулсан тодорхойлолтыг ашиглаж байна. Гэхдээ бид дараа нь харах болно, энэ нь хангалттай байх болно. Илүү чухал зүйл бол дараахь зүйл юм.
Тодорхойлолт. $S$ квадрат матрицын $A=\left[ n\times n \right]$ нэгдэх матриц нь $A$-аас олж авсан $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй шинэ матриц юм. $(( a)_(ij))$-г алгебрийн нэмэлтээр $((A)_(ij))$ орлуулснаар:
\\Баруун сум S=\зүүн[ \эхлэх(матриц) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & (A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]
Энэ тодорхойлолтыг ойлгох үед гарч ирсэн хамгийн эхний бодол бол "Та нийтдээ хичнээн ихийг тооцох ёстой вэ!" Тайвшир: та тоолох хэрэгтэй, гэхдээ тийм ч их биш. :)
За, энэ бүхэн маш сайхан, гэхдээ яагаад хэрэгтэй байна вэ? Гэхдээ яагаад.
Үндсэн теорем
Жаахан эргэж харцгаая. Лемма 3-т $A$ урвуу матриц үргэлж ганц бие биш (өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлогч нь тэг биш: $\left| A \right|\ne 0$) гэж хэлснийг санаарай.
Тэгэхээр, эсрэгээр нь бас үнэн: хэрэв $A$ матриц доройтдоггүй бол энэ нь үргэлж урвуу байдаг. Мөн $((A)^(-1))$ хайлтын схем ч байдаг. Үүнийг шалгана уу:
Урвуу матрицын теорем. $A=\left[ n\times n \right]$ квадрат матрицыг өгье, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна: $\left| A \right|\ne 0$. Дараа нь урвуу матриц $((A)^(-1))$ байгаа бөгөөд дараах томъёогоор тооцоолно.
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\зүүн| A \баруун|)\cdot ((S)^(T))\]
Одоо - бүгд адилхан, гэхдээ гар бичмэлээр. Урвуу матрицыг олохын тулд танд хэрэгтэй:
- Тодорхойлогч $\left|-г тооцоол A \right|$ ба энэ нь тэг биш эсэхийг шалгаарай.
- $S$ нэгдлийн матрицыг эмхэтгэх, өөрөөр хэлбэл. $((A)_(ij))$ 100500 алгебрийн нэмэгдлийг тоолж, $((a)_(ij))$ байранд нь тавь.
- Энэ матрицыг $S$ шилжүүлж, дараа нь $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ тоогоор үржүүлнэ.
Тэгээд л болоо! $((A)^(-1))$ урвуу матриц олдлоо. Жишээнүүдийг харцгаая:
\[\left[ \begin(матриц) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]
Шийдэл. Буцах чадварыг шалгацгаая. Тодорхойлогчийг тооцоолъё:
\[\зүүн| A \right|=\left| \эхлэх(матриц) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай. Тиймээс матриц нь урвуу байна. Нэгдлийн матриц үүсгэцгээе:
Алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолъё:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \баруун))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \баруун))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \баруун))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Анхаар: тодорхойлогч |2|, |5|, |1| ба |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ хэмжээтэй матрицуудын тодорхойлогч болохоос модуль биш. Тэдгээр. хэрэв тодорхойлогч нь байсан бол сөрөг тоонууд, "хасах" -ыг арилгах шаардлагагүй.
Нийтдээ манай нэгдлийн матриц дараах байдалтай байна.
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\зүүн| A \баруун|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(массив) \баруун])^(T))=\left[ \begin (массив)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\]
За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдэж.
Хариулт. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(массив) \баруун]$
Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(массив) \баруун] \]
Шийдэл. Дахин хэлэхэд бид тодорхойлогчийг авч үзье:
\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| \begin(массив)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун|=\эхлэх(матриц) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \баруун)\cdot \left(-1 \баруун)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \баруун)- \\ -\зүүн (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \баруун)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \баруун)\cdot 0 \баруун) \\\төгсгөл(матриц)= \ \ & =\left(2+1+0 \баруун)-\зүүн(4+0+0 \баруун)=-1\ne 0. \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]
Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай - матриц нь урвуу байдаг. Харин одоо энэ нь хамгийн цагаан тугалга байх болно: та 9 (есөн, хараал ид!) Алгебрийн нэмэлтийг тоолох хэрэгтэй. Мөн тус бүр нь $\left[ 2\times 2 \right]$ шалгуурыг агуулна. Ниссэн:
\[\begin(матриц) ((A)_(11))=((\left(-1 \баруун))^(1+1))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \баруун))^(1+2))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \баруун))^(1+3))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \баруун))^(3+3))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=2; \\ \төгсгөл(матриц)\]
Товчхондоо, нэгдлийн матриц дараах байдлаар харагдах болно.
Тиймээс урвуу матриц нь:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(матриц) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун]=\зүүн[ \begin(массив)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]
За тэгээд л болоо. Хариулт нь энд байна.
Хариулт. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(массив) \баруун ]$
Таны харж байгаагаар жишээ бүрийн төгсгөлд бид шалгалт хийсэн. Үүнтэй холбогдуулан нэг чухал тэмдэглэл:
Шалгахдаа залхуурах хэрэггүй. Эх матрицыг олсон урвуугаар үржүүлбэл та $E$ авах ёстой.
Жишээлбэл, та матрицын тэгшитгэлийг шийдэхдээ цаашдын тооцоололд алдаа хайхаас илүү энэ шалгалтыг хийх нь илүү хялбар бөгөөд хурдан юм.
Альтернатив арга
Миний хэлсэнчлэн урвуу матрицын теорем нь $\left[ 2\times 2 \right]$ ба $\left[ 3\times 3 \right]$ хэмжээтэй тохирдог (сүүлийн тохиолдолд энэ нь тийм ч "сайхан" биш юм. цаашид). ”), харин матрицын хувьд том хэмжээтэйуйтгар гуниг эхэлдэг.
Гэхдээ санаа зоволтгүй: $\left[ 10\times 10 \right]$ матрицын хувьд ч урвуу утгыг тайвнаар олох боломжтой өөр алгоритм байдаг. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг энэ алгоритмыг авч үзэхийн тулд бидэнд бага зэрэг онолын мэдээлэл хэрэгтэй.
Анхан шатны өөрчлөлтүүд
Матрицын янз бүрийн өөрчлөлтүүдийн дунд хэд хэдэн онцгой зүйл байдаг - тэдгээрийг энгийн гэж нэрлэдэг. Ийм гурван өөрчлөлт байдаг:
- Үржүүлэх. Та $i$-р мөрийг (багана) аваад дурын тоогоор үржүүлж болно $k\ne 0$;
- Нэмэлт. $i$-р мөрөнд (багана) өөр $j$-р мөр (багана)-ыг дурын тоогоор үржүүлж нэмээрэй $k\ne 0$ (мэдээжийн хэрэг, $k=0$ байж болно, гэхдээ ямар учиртай вэ? юу ч өөрчлөгдөхгүй).
- Оршил. $i$-th ба $j$-th мөрүүдийг (багана) аваад солино.
Эдгээр хувиргалтыг яагаад анхан шатны гэж нэрлэдэг вэ (том матрицуудын хувьд тэдгээр нь тийм ч энгийн харагддаггүй) яагаад зөвхөн гурав нь байдаг вэ - эдгээр асуултууд өнөөдрийн хичээлийн хамрах хүрээнээс гадуур байна. Тиймээс бид дэлгэрэнгүй ярихгүй.
Өөр нэг чухал зүйл бол бид эдгээр бүх гажуудлыг холбогдох матриц дээр хийх ёстой. Тийм ээ, та зөв сонссон. Одоо өөр нэг тодорхойлолт байх болно - өнөөдрийн хичээлийн сүүлчийнх нь.
Хавсаргасан матриц
Сургуульд байхдаа та нэмэх аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдсэн нь лавтай. За, нэг мөрөөс өөр нэгийг хасч, зарим мөрийг тоогоор үржүүлээрэй.
Тэгэхээр: одоо бүх зүйл ижил байх болно, гэхдээ аль хэдийн "насанд хүрсэн хүн шиг". Бэлэн үү?
Тодорхойлолт. $A=\left[ n\times n \right]$ матриц ба ижил хэмжээтэй $n$ хэмжээтэй $E$ таних матрицыг өгье. Дараа нь холбогдох матриц $\left[ A\left| Зөв. \right]$ нь дараах байдлаар харагдах шинэ $\left[ n\times 2n \right]$ матриц юм:
\[\left[ A\left| Зөв. \right]=\left[ \begin(массив)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & (a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((а)_(22)) & ... & (а)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]
Товчхондоо, бид $A$ матрицыг авч, баруун талд нь $E$ таних матрицыг өгдөг. зөв хэмжээ, бид тэдгээрийг гоо сайхны үүднээс босоо шугамаар тусгаарладаг - энд танд зориулж хавсаргасан байна. :)
Баригдсан нь юу вэ? Мөн энд юу байна:
Теорем. $A$ матрицыг урвуу гэж үзье. $\left[ A\left| залгаа матрицыг авч үзье Зөв. \right]$. Хэрэв хэрэглэж байгаа бол энгийн мөрийн хувиргалт$\left[ E\left| хэлбэрт аваачна Б\зөв. \right]$, өөрөөр хэлбэл. Мөрүүдийг үржүүлж, хасаж, дахин цэгцлэх замаар $A$-аас баруун талын $E$ матрицыг гаргавал зүүн талд олж авсан $B$ матриц нь $A$-ын урвуу утгатай болно.
\[\left[ A\left| Зөв. \right]\to \left[ E\left| Б\зөв. \баруун]\Баруун сум B=((A)^(-1))\]
Энэ маш энгийн! Товчхондоо урвуу матрицыг олох алгоритм дараах байдалтай байна.
- Холбогдох матрицыг бичнэ үү $\left[ A\left| Зөв. \right]$;
- $A$-ын оронд баруун талд $E$ гарч ирэх хүртэл энгийн мөрийн хөрвүүлэлтийг хийнэ;
- Мэдээжийн хэрэг, зүүн талд ямар нэг зүйл гарч ирэх болно - тодорхой матриц $B$. Энэ нь эсрэгээрээ байх болно;
- АШИГ! :)
Мэдээжийн хэрэг, хийхээс хамаагүй хялбар. Ингээд хэд хэдэн жишээг харцгаая: $\left[ 3\times 3 \right]$ болон $\left[ 4\times 4 \right]$ хэмжээтэй.
Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:
\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(массив) \баруун]\ ]
Шийдэл. Бид хавсаргасан матрицыг бүрдүүлдэг:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\]
Анхны матрицын сүүлчийн багана нэгээр дүүрсэн тул үлдсэн хэсгээс эхний мөрийг хасна уу.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \доошоо \\ -1 \\ -1 \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \to \зүүн [ \begin(массив)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Эхний мөрийг эс тооцвол өөр нэгж байхгүй. Гэхдээ бид үүнийг хөндөхгүй, эс тэгвээс шинээр хасагдсан нэгжүүд гурав дахь баганад "үржүүлж" эхэлнэ.
Гэхдээ бид хоёр дахь мөрийг сүүлчийнхээс хоёр удаа хасаж болно - бид зүүн доод буланд нэгжийг авна.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \\\ \доошоо \\ -2 \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \зүүн [ \begin(массив)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Одоо бид сүүлчийн мөрийг эхнийхээс, хоёр дахь мөрөөс хоёр удаа хасаж болно - ийм байдлаар бид эхний баганыг "тэгнэ":
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\төгсгөл(матриц)\\\ & \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Хоёр дахь мөрийг −1-ээр үржүүлээд эхнийхээс 6 дахин хасаад сүүлийн эгнээнд 1 удаа нэмнэ.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \ \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -6 \\ \дээш доош сунгах \\ +1 \\\ төгсгөл (матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Зөвхөн 1 ба 3-р мөрүүдийг солиход л үлддэг.
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\]
Бэлэн! Баруун талд шаардлагатай урвуу матриц байна.
Хариулт. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(массив) \баруун ]$
Даалгавар. Урвуу матрицыг ол:
\[\left[ \begin(матриц) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]
Шийдэл. Дахин бид хавсаргасан нэгийг нь бичнэ:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\]
Жаахан зээлье, одоо хэдийг тоолох вэ гэж санаа зовоод ... тоолж эхэлье. Эхлэхийн тулд бид 2, 3-р мөрүүдээс 1-р мөрийг хасаж эхний баганыг "тэгнэ".
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \доошоо \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Бид 2-4-р мөрөнд хэт олон "хасах"-ыг ажиглаж байна. Бүх гурван мөрийг −1-ээр үржүүлээд, үлдсэн хэсгээс 3-р мөрийг хасаж гурав дахь баганыг шатаа.
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \төгсгөл(массив) \баруун]\эхлэх(матриц) \ \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \зүүн| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \төгсгөл (массив) \баруун]\эхлэх(матриц) -2 \\ -1 \\ \дээш доош чиглэсэн \\ -2 \\\төгсгөл(матриц)\хээс \\ & \to \left[ \эхлэх(массив)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Одоо анхны матрицын сүүлчийн баганыг "хайруулах" цаг болжээ: үлдсэн хэсгээс 4-р мөрийг хасна:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл(массив ) \баруун]\эхлэх(матриц) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\ end(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Эцсийн өнхрөх: 1 ба 3-р эгнээнээс 2-р мөрийг хасаж хоёр дахь баганыг "шатаах":
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ төгсгөл( массив) \баруун]\эхлэх(матриц) 6 \\ \дээш доош сум \\ -5 \\ \ \\\төгсгөл(матриц)\to \\ & \to \left[ \begin(массив)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\төгсгөл(массив) \баруун] \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]
Дахин хэлэхэд зүүн талд таних матриц, баруун талд урвуу. :)
Хариулт. $\left[ \begin(матриц) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\төгсгөл(матриц) \баруун]$
Хэрэв A * A -1 \u003d E бол A -1 матрицыг А матрицын урвуу матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд энд E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм. Урвуу матриц нь зөвхөн квадрат матрицад байж болно.
Үйлчилгээний даалгавар. Энэхүү үйлчилгээгээр онлайн горималгебрийн нэмэлтүүд, шилжүүлсэн A T матриц, нэгдлийн матриц, урвуу матрицыг олж болно. Шийдэл нь шууд сайт дээр (онлайн) хийгддэг бөгөөд үнэ төлбөргүй байдаг. Тооцооллын үр дүнг Word формат болон Excel форматаар тайланд үзүүлэв (өөрөөр хэлбэл шийдлийг шалгах боломжтой). дизайны жишээг үзнэ үү.
Заавар. Шийдлийг олж авахын тулд та матрицын хэмжээг зааж өгөх ёстой. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матрицыг бөглөнө үү.
Мөн Жордан-Гаусын аргын урвуу матрицыг үзнэ үү
Урвуу матрицыг олох алгоритм
- Шилжүүлсэн матрицыг олох нь A T .
- Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт. Матрицын элемент бүрийг алгебрийн нэмэлтээр соль.
- Алгебрийн нэмэлтүүдээс урвуу матрицын эмхэтгэл: үүссэн матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.
- Матриц квадрат эсэхийг тодорхойлно уу. Хэрэв тийм биш бол урвуу матриц байхгүй болно.
- А матрицын тодорхойлогчийн тооцоо. Хэрэв тэгтэй тэнцүү биш бол бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ, эс тэгвээс урвуу матриц байхгүй болно.
- Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт.
- Холбооны (харилцан, хавсарсан) матрицыг бөглөх C .
- Алгебрийн нэмэлтүүдээс урвуу матрицын эмхэтгэл: хавсарсан С матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.
- Шалгалт хийх: эх болон үүссэн матрицуудыг үржүүлнэ. Үр дүн нь таних матриц байх ёстой.
Жишээ №1. Бид матрицыг дараах хэлбэрээр бичнэ.
Алгебрийн нэмэлтүүд.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Дараа нь урвуу матрицдараах байдлаар бичиж болно.
| A -1 = 1/10 |
|
| A -1 = |
|
Урвуу матрицыг олох өөр нэг алгоритм
Бид урвуу матрицыг олох өөр нэг схемийг танилцуулж байна.- Өгөгдсөн квадрат матрицын тодорхойлогчийг ол.
- Бид А матрицын бүх элементүүдэд алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог.
- Бид эгнээний элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг баганад (шилжүүлэлт) бичдэг.
- Бид үүссэн матрицын элемент бүрийг А матрицын тодорхойлогчоор хуваана.
Онцгой тохиолдол: E таних матрицтай харьцах урвуу нь E ижил төстэй матриц юм.
Ерөнхийдөө нарийн төвөгтэй алгебрийн илэрхийллийг хялбарчлахын тулд урвуу үйлдлүүдийг ашигладаг. Жишээлбэл, хэрэв асуудал нь бутархайд хуваах үйлдлийг агуулж байгаа бол та үүнийг урвуу үйлдэл болох эсрэгээр үржүүлэх үйлдлээр сольж болно. Түүнээс гадна матрицыг хувааж болохгүй тул урвуу матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй. 3х3 матрицын урвуу тоог тооцоолох нь нэлээд уйтгартай боловч та үүнийг гараар хийх чадвартай байх хэрэгтэй. Мөн та сайн график тооцоолуур ашиглан харилцан тоог олох боломжтой.
Алхам
Хавсаргасан матрицыг ашиглах
Эх матрицыг шилжүүл.Шилжүүлэх гэдэг нь матрицын үндсэн диагональтай харьцуулахад мөрүүдийг баганагаар солих, өөрөөр хэлбэл (i, j) ба (j, i) элементүүдийг солих хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд үндсэн диагональ элементүүд (зүүн дээд булангаас эхэлж, баруун доод буланд төгсдөг) өөрчлөгдөхгүй.
- Мөрүүдийг баганаар солихын тулд эхний баганад эхний мөрийн элементүүдийг, хоёр дахь баганад хоёр дахь эгнээний элементүүдийг, гуравдугаар баганад гурав дахь мөрийн элементүүдийг бичнэ. Элементүүдийн байрлалыг өөрчлөх дарааллыг зураг дээр харуулсан бөгөөд харгалзах элементүүдийг өнгөт дугуйгаар дугуйлсан байна.
2х2 матриц бүрийн тодорхойлолтыг ол.Аливаа матрицын элемент бүр, түүний дотор шилжүүлэн суулгасан нь харгалзах 2х2 матрицтай холбоотой байдаг. Тодорхой элементтэй тохирох 2х2 матрицыг олохын тулд энэ элемент байрладаг мөр, баганыг хайчилж, өөрөөр хэлбэл та анхны 3х3 матрицын таван элементийг хасах хэрэгтэй. Харгалзах 2х2 матрицын элементүүд болох дөрвөн элементийг хөндлөн зураагүй хэвээр үлдээнэ.
- Жишээлбэл, хоёр дахь мөр ба эхний баганын огтлолцол дээр байрлах элементийн 2х2 матрицыг олохын тулд хоёр дахь мөр ба эхний баганад байгаа таван элементийг хөндлөн зур. Үлдсэн дөрвөн элемент нь харгалзах 2х2 матрицын элементүүд юм.
- 2х2 матриц бүрийн тодорхойлогчийг ол. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэрийг хасна (зураг харна уу).
- 3х3 матрицын тодорхой элементүүдэд тохирох 2х2 матрицын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг интернетээс олж болно.
Кофакторын матрицыг үүсгэ.Өмнө нь олж авсан үр дүнг кофакторын шинэ матриц хэлбэрээр тэмдэглэ. Үүнийг хийхийн тулд 3х3 матрицын харгалзах элемент байрлаж байсан 2х2 матриц бүрийн олсон тодорхойлогчийг бичнэ. Жишээлбэл, (1,1) элементийн хувьд 2х2 матрицыг авч үзвэл түүний тодорхойлогчийг (1,1) байрлалд бичнэ үү. Дараа нь дагуу харгалзах элементүүдийн тэмдгүүдийг өөрчил тодорхой схемЭнэ нь зурагт харагдаж байна.
- Тэмдгийг өөрчлөх схем: эхний мөрний эхний элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй; эхний мөрний хоёр дахь элементийн тэмдэг урвуу; эхний мөрийн гурав дахь элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэх мэт мөр мөрөөр. Диаграммд үзүүлсэн "+" ба "-" тэмдгүүд нь (зураг харна уу) харгалзах элемент эерэг эсвэл сөрөг байх болно гэдгийг заагаагүй гэдгийг анхаарна уу. AT Энэ тохиолдолд"+" тэмдэг нь элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, "-" тэмдэг нь элементийн тэмдэг өөрчлөгдсөнийг заана.
- Кофактор матрицын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг интернетээс олж болно.
- Анхны матрицын холбогдох матрицыг ингэж олно. Үүнийг заримдаа комплекс коньюгат матриц гэж нэрлэдэг. Ийм матрицыг adj(M) гэж тэмдэглэнэ.
Хавсарсан матрицын элемент бүрийг тодорхойлогчоор хуваана.Урвуу матриц байгаа эсэхийг шалгахын тулд хамгийн эхэнд M матрицын тодорхойлогчийг тооцоолсон. Одоо хавсарсан матрицын элемент бүрийг энэ тодорхойлогчоор хуваа. Харгалзах элемент байрлах хуваах үйл ажиллагааны үр дүнг тэмдэглэ. Тиймээс та эхийн урвуу матрицыг олох болно.
- Зурагт үзүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь 1. Тиймээс энд холбогдох матриц нь урвуу матриц юм (учир нь дурын тоог 1-д хуваахад өөрчлөгдөхгүй).
- Зарим эх сурвалжид хуваах үйлдлийг 1/det(M)-ээр үржүүлэх үйлдлээр сольсон байдаг. Энэ тохиолдолд эцсийн үр дүн өөрчлөгдөхгүй.
Урвуу матрицыг бич.Том матрицын баруун тал дээр байрлах элементүүдийг урвуу матриц болох тусдаа матриц хэлбэрээр бич.
Анхны матрицыг тооцоолуурын санах ойд оруулна уу.Үүнийг хийхийн тулд хэрэв боломжтой бол Матриц товчийг дарна уу. Texas Instruments-ийн тооцоолуурын хувьд та 2-р болон Матриц товчийг дарах хэрэгтэй байж магадгүй.
Засварлах цэсийг сонгоно уу.Үүнийг сумны товчлуурууд эсвэл тооцоолуурын гарны дээд хэсэгт байрлах харгалзах функцийн товчлуурыг ашиглан гүйцэтгэнэ (товчны байршил нь тооцоолуурын загвараас хамаарна).
Матрицын тэмдэглэгээг оруулна уу.Ихэнх график тооцоолуур 3-10 матрицтай ажиллах боломжтой бөгөөд үүнийг тэмдэглэж болно A-J үсэг. Дүрмээр бол анхны матрицыг тэмдэглэхийн тулд [A]-г сонгоход л хангалттай. Дараа нь Enter товчийг дарна уу.
Матрицын хэмжээг оруулна уу.Энэ нийтлэлд 3х3 матрицын тухай өгүүлнэ. Гэхдээ график тооцоолуур нь том матрицтай ажиллах боломжтой. Мөрийн тоог оруулаад Enter товчийг дараад баганын тоог оруулаад Enter товчийг дахин дарна уу.
Матрицын элемент бүрийг оруулна уу.Тооны машины дэлгэц дээр матриц гарч ирнэ. Хэрэв өмнө нь тооны машинд матриц оруулсан бол дэлгэцэн дээр гарч ирнэ. Курсор нь матрицын эхний элементийг тодруулах болно. Эхний элементийн утгыг оруулаад Enter дарна уу. Курсор автоматаар матрицын дараагийн элемент рүү шилжинэ.
$A^(-1)$ матрицыг $A$(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ бол $E $ квадрат матрицын урвуу гэж нэрлэдэг. нь таних матриц бөгөөд дараалал нь $A$ матрицын дараалалтай тэнцүү байна.
Ганц бус матриц гэдэг нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш матриц юм. Үүний дагуу доройтсон матриц нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байдаг.
Урвуу матриц $A^(-1)$ нь зөвхөн $A$ матриц нь ганц тоо биш тохиолдолд л оршино. Хэрэв урвуу матриц $A^(-1)$ байгаа бол энэ нь өвөрмөц байна.
Матрицын урвуу утгыг олох хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд бид хоёрыг нь авч үзэх болно. Энэ хуудсанд ихэнх дээд математикийн хичээлүүдэд стандарт гэж тооцогддог нэмэлт матрицын аргыг хэлэлцэх болно. Гауссын арга эсвэл Гаусс-Жорданы аргыг ашиглах урвуу матрицыг (элемент хувиргалт хийх арга) олох хоёр дахь аргыг хоёрдугаар хэсэгт авч үзнэ.
Хамтарсан (нэгдмэл) матрицын арга
$A_(n\times n)$ матрицыг өгье. $A^(-1)$ урвуу матрицыг олохын тулд гурван алхам хийх шаардлагатай:
- $A$ матрицын тодорхойлогчийг олоод $\Delta A\neq 0$, i.e. А матриц нь доройтдоггүй.
- $A$ матрицын элемент бүрийн $A_(ij)$ алгебрийн нэмэлтүүдийг зохиож, олдсоноос $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ матрицыг бичнэ үү. алгебрийн нэмэлтүүд.
- $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог харгалзан урвуу матрицыг бич.
$(A^(*))^T$ матрицыг ихэвчлэн $A$-ийн хавсарсан (харилцан, холбоот) матриц гэж нэрлэдэг.
Хэрэв шийдвэрийг гараар хийсэн бол эхний арга нь зөвхөн харьцангуй бага эрэмбийн матрицуудад тохиромжтой: хоёр дахь (), гурав дахь (), дөрөв дэх (). Матрицын урвуу утгыг олох илүү өндөр дараалал, бусад аргуудыг ашигладаг. Жишээлбэл, хоёр дахь хэсэгт авч үзсэн Гауссын арга.
Жишээ №1
$A=\left(\begin(массив) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 матрицын урвуу матрицыг ол. & -9 & 0 \end(массив) \right)$.
Дөрөв дэх баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү тул $\Delta A=0$ (өөрөөр хэлбэл $A$ матриц доройтсон) болно. $\Delta A=0$ тул $A$-тай урвуу матриц байхгүй.
Жишээ №2
$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ матрицын урвуу матрицыг ол.
Бид нэмэлт матрицын аргыг ашигладаг. Эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг олъё:
$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(массив)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
$\Delta A \neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Алгебрийн нэмэлтүүдийг олох
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц зохио: $A^(*)=\left(\begin(массив) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(массив)\баруун)$.
Гарсан матрицыг шилжүүл: $(A^(*))^T=\left(\begin(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(массив)\right)$ (үр дүн матрицыг ихэвчлэн харьяа эсвэл гэж нэрлэдэг холбоот матриц$A$ матриц руу). $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\эхлэх(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \төгсгөл(массив)\баруун) =\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун) $$
Тиймээс урвуу матриц олддог: $A^(-1)=\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(массив) \right) $. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A^(-1)\cdot A=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 хэлбэрээр орлуулах болно. & 5/103 \ end(array)\right)$ гэхдээ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ төгсгөл(массив)\баруун)$:
Хариулт: $A^(-1)=\left(\эхлэх(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун)$.
Жишээ №3
$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \right)$ матрицын урвууг ол.
$A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж эхэлцгээе. Тэгэхээр $A$ матрицын тодорхойлогч нь:
$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \баруун| = 18-36+56-12=26. $$
$\Delta A\neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Өгөгдсөн матрицын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олно.
Бид алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг бүрдүүлж, шилжүүлнэ:
$$ A^*=\left(\begin(массив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(массив) \баруун); \; (A^*)^T=\left(\эхлэх(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ төгсгөл(массив) \баруун) $$
$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид дараахийг авна:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)= \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \төгсгөл(массив) \баруун) $$
Тэгэхээр $A^(-1)=\left(\begin(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A\cdot A^(-1)=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ хэлбэрээр орлуулах болно. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \баруун)$, гэхдээ $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \баруун)$:
Шалгалт амжилттай давж, урвуу матриц $A^(-1)$ зөв олдсон.
Хариулт: $A^(-1)=\left(\begin(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$.
Жишээ №4
$A=\left(\begin(массив) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8-ийн урвуу матрицыг ол. & -8 & -3 \end(массив) \right)$.
Дөрөвдүгээр эрэмбийн матрицын хувьд алгебрийн нэмэлтийг ашиглан урвуу матрицыг олох нь зарим талаараа хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм жишээнүүд хяналтын ажилуулзах.
Урвуу матрицыг олохын тулд эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нөхцөлд үүнийг хийх хамгийн сайн арга бол тодорхойлогчийг эгнээнд (багана) өргөжүүлэх явдал юм. Бид дурын мөр, баганыг сонгож, сонгосон мөр, баганын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтийг олдог.
