4 эрэмбийн квадрат матриц. Тодорхойлогчдын тооцоо

Лекц 6

матрицууд

6.1. Үндсэн ойлголтууд

Тодорхойлолт 1.Матриц бол тоонуудын тэгш өнцөгт хүснэгт юм.

Матрицыг тэмдэглэхийн тулд хаалт эсвэл давхар босоо шугамыг ашиглана:

Матрицыг бүрдүүлдэг тоонуудыг түүний гэж нэрлэдэг элементүүд, элемент матрицууд түүний дотор байрладаг -р мөр ба --р багана.

Тоонууд болон (матрицын мөр, баганын тоо) -ийг түүний дараалал гэж нэрлэдэг.

Тэд бас ингэж хэлдэг - матрицын хэмжээ
.

Хэрвээ
, матриц дуудсан дөрвөлжин.

Богино тэмдэглэгээний хувьд тэмдэглэгээг бас ашигладаг
(эсвэл
) бөгөөд дараа нь ямар хэмжээнд байгааг зааж өгнө болон , Жишээлбэл,
,
,
. (Оруулах нь дараах байдалтай байна: матриц элементүүдтэй ,-аас өөрчлөгддөг өмнө ,-аас өмнө .)

Квадрат матрицуудын дунд бид тэмдэглэж байна диагональ матрицууд, тэгш бус индекс бүхий бүх элементүүд (
) тэгтэй тэнцүү байна:

.

Бид элементүүд гэж хэлэх болно
үндсэн диагональ дээр байрладаг.

Диагональ харах матриц

дуудсан ганц биематриц.

Дараах зүйлд маягтын матрицууд байх болно

болон
,

гэж нэрлэдэг гурвалжинматрицууд, түүнчлэн нэг баганаас бүрдэх матрицууд:

ба нэг мөр:

(матриц-багана ба матриц-мөр).

Бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матрицыг нэрлэдэг null.

6.2. Захиалгын тодорхойлогч n

Квадрат матриц дарааллын байг :

. (6.1)

Бүх төрлийн зүйлийг бүтээцгээе өөр өөр мөр, өөр баганад байрлах матрицын элементүүд, i.e. хэлбэрийн бүтээгдэхүүн

. (6.2)

(6.2) маягтын бүтээгдэхүүний тоо (бид энэ баримтыг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг).

Бид эдгээр бүх бүтээгдэхүүнийг захиалга тодорхойлогчийн гишүүд гэж үзэх болно матрицад харгалзах (6.1).

(6.2)-д заасан хүчин зүйлсийн хоёр дахь индекс нь эхнийх нь орлуулагчийг бүрдүүлнэ натурал тоонууд
.

Тэд тоог хэлдэг болон оршилд байна урвуу байдал, хэрэв
, мөн орлуулалтанд өмнө байрладаг .

Жишээ 1Зургаан тооны орлуулалтаар,
, тоонууд болон ,болон ,болон ,болон ,болон урвуу байдлыг бүрдүүлнэ.

Сүлжээ гэж нэрлэдэг бүр, хэрэв доторх урвуу тоо нь тэгш байвал, ба хачинхэрэв түүний доторх урвуу тоо сондгой байвал.

Жишээ 2Оршил
- сондгой, солих
- тэгш ( урвуу).

Тодорхойлолт 2.Захиалгыг тодорхойлогч ,матрицтай харгалзах(6.1), алгебрийн нийлбэр гэж нэрлэдэг гишүүд,дараах байдлаар бүрдэнэ:тодорхойлогчийн нөхцөл нь бүх боломжит бүтээгдэхүүн юм матрицын элементүүд,мөр, багана бүрээс нэгийг авсан,тэмдэглэгээний хамт нэр томьёог авсан бол"+",хэрэв хоёр дахь индексийн олонлог нь тоонуудын тэгш сэлгэлт бол
,мөн тэмдэгтэй"–",хачин бол.

Матрицын тодорхойлогч (6.1)-ийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолт 2
болон
аль хэдийн танил болсон 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчдод хүргэдэг:

,

шилжүүлэн суулгахматрицын гол диагональ орчим матриц руу шилжих гэж нэрлэдэг
, үүний тулд матрицын мөрүүд багана, багана нь мөр байна:

.

Тодорхойлогч гэдгийг бид хэлэх болно
тодорхойлогчийг шилжүүлснээр олж авна .

Дарааллын тодорхойлогч n-ийн шинж чанарууд:

1.
(гол диагональ орчимд шилжүүлэн суулгахад тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй).

2. Тодорхойлогчийн нэг мөр нь тэгээс тогтвол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

3. Хоёр мөрийн орлуулахаас тодорхойлогч нь зөвхөн тэмдгийг өөрчилдөг.

4. Хоёр ижил мөр агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

5. Тодорхойлогчийн зарим эгнээний бүх элементүүдийг тоогоор үржүүлбэл , тодорхойлогчийг үржүүлнэ .

6. Пропорциональ хоёр мөр агуулсан тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

7. Хэрэв бүх элементүүд -тодорхойлогчийн-р мөрийг нийлбэр хэлбэрээр үзүүлэв
, дараа нь тодорхойлогч нийлбэртэй тэнцүү байнабусад бүх мөртэй хоёр тодорхойлогч -th, анхны тодорхойлогчтой ижил байна, ба -нэг тодорхойлогчийн -р эгнээнээс бүрдэнэ , нөгөө талд - -аас .

Тодорхойлолт 3.-тодорхойлогчийн-р мөрийг үлдсэн мөрүүдийн шугаман хослол гэнэ,хэрэв тийм бол,үржүүлэх замаар -р мөрөнд ,дараа нь бүх мөрүүдийг нэмнэ,Түүнээс гадна th,бид авдаг --р мөр.

8. Тодорхойлогчийн нэг эгнээ нь түүний бусад мөрүүдийн шугаман хослол бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

9. Тодорхойлогч нь түүний аль нэг шугамын элементүүдийг нөгөө шугамын харгалзах элементүүдэд нэмж, ижил тоогоор үржүүлбэл өөрчлөгдөхгүй.

Сэтгэгдэл. Бид мөрийн тодорхойлогчийн шинж чанарыг томъёолсон. өмчийн улмаас 1 (
) тэдгээр нь баганад хүчинтэй байна.

Дээрх бүх шинж чанаруудыг практик хичээлээр нотолсон
; дур зоргоороо тэдгээрийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөр.

Тодорхойлогчд байгаа бол захиалга элемент сонгох байрлах огтлолцол дээр байгаа багана ба мөрийг хөндлөн зурна , үлдсэн мөр, баганууд нь дарааллын тодорхойлогчийг бүрдүүлнэ
гэж нэрлэдэг багатодорхойлогч элементтэй харгалзах .

Жишээ 3Тодорхойлогчд

жижиг элемент
тодорхойлогч юм
.

Тодорхойлолт 4.Алгебрийн нэмэлт элемент тодорхойлогч насанд хүрээгүй хүүхдээ дуудсан,-ээр үржүүлсэн
,хаана - мөрийн дугаар, - баганын дугаар,сонгосон элемент байрладаг .

Жишээ 4Тодорхойлогчд

алгебрийн нэмэлт
.

Теорем 1 (мөр тэлэлтийн тухай).Тодорхойлогч нь аль ч эгнээний бүх элементүүд болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Теорем 1 нь эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог багасгах боломжийг олгодог тооцоонд дарааллын тодорхойлогч хүчин зүйлүүд
.

Жишээ 5. Дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

.

Теорем 1-ийг ашиглаад тодорхойлогчийг өргөжүүлье 4-р мөрөнд:

Сэтгэгдэл. Эхлээд 9-р шинж чанарыг ашиглан тодорхойлогчийг хялбарчилж, дараа нь теорем 1-ийг ашиглаж болно. Дараа нь эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоо тооцоонд хүртэл бууруулна ганцхандарааллын тодорхойлогч
.

Жишээ 6Тооцоол

.

Эхний баганыг хоёр дахь баганад нэмээд эхний баганыг (-аар үржүүлье.
), гурав дахь нь, үр дүнд нь бид авдаг

.

Одоо бид теорем 1-ийг хэрэглэж, сүүлчийн мөрөнд өргөжүүлье.

,

4-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог зөвхөн нэг 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоо болгон бууруулсан.

,

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог зөвхөн нэг хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоолол болгон бууруулсан.

Жишээ 7Захиалга тодорхойлогчийг тооцоолох :

.

Бид эхний мөрийг хоёр дахь, гурав дахь гэх мэтээр нэмнэ. --р мөр. Тодорхойлогч дээр ирээрэй

.

Гурвалжин тодорхойлогчийг олж авна.

Хэрэглэх боломжтой
удаа теорем 1 (эхний баганад өргөжүүлэх) ба олж авна

.

Сэтгэгдэл. Гурвалжин тодорхойлогч нь үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

6.3. Матриц дээрх үндсэн үйлдлүүд

Тодорхойлолт 5.Хоёр матриц
,
,
,болон
,
,
,тэнцүү гэж нэрлэгдэх болно
.

Товч оруулга:
.

Иймд хоёр матриц ижил дараалалтай, харгалзах элементүүд нь тэнцүү байвал тэдгээрийг тэнцүү гэж үзнэ.

Тодорхойлолт 6.Хоёр матрицын нийлбэр
,
,
,болон
,
,
,ийм матриц гэж нэрлэдэг
,
,
,юу
.

Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн ижил эрэмбийн матрицуудыг нэмэх боломжтой бөгөөд нэмэх нь элемент тус бүрээр хийгддэг.

Жишээ 8Матрицуудын нийлбэрийг ол

болон
.

6-р тодорхойлолтын дагуу бид олж мэднэ

.

Матриц нэмэх дүрэм нь дурын хязгаарлагдмал тооны гишүүний нийлбэрт хамаарна.

Тодорхойлолт 7.Матрицын бүтээгдэхүүн
,
,
,бодит тоо руу ийм матриц гэж нэрлэдэг
,
,
,Үүний төлөө
.

Өөрөөр хэлбэл, матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд та түүний бүх элементүүдийг энэ тоогоор үржүүлж, үүссэн бүтээгдэхүүнийг анхны байранд нь үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 9Шугаман хослолыг ол
матрицууд

болон
.

Тодорхойлолт 7-г ашиглан бид олж авна

,
,

.

Матриц нэмэх үйлдлүүдийн шинж чанарууд

ба тоогоор үржүүлэх:

1. Нэмэлт нь солигддог:
.

2. Нэмэлт нь ассоциатив:.

3. Тэг матриц байна
, нөхцөлийг хангаж байна
бүгдэд нь ГЭХДЭЭ.

4. Аливаа матрицын хувьд ГЭХДЭЭэсрэг матриц байдаг AT, нөхцөлийг хангаж байна
.

Аливаа матрицын хувьд ГЭХДЭЭболон ATболон аливаа бодит тоо
тэгш байдал үүсдэг:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Check property 1. Тэмдэглэх
,
. Болъё
,

,
. Бидэнд байгаа

Тодорхойлолт 5-ын дагуу дурын элементийн хувьд тэгш байдал батлагдсан тул
. 1-р өмч нь батлагдсан.

2-р өмч нь мөн адил нотлогдсон.

Матриц хэлбэрээр захиалгын матрицыг авна
, бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Эвхсэн дурын матрицтай Тодорхойлолт 6-д өгсөн дүрмийн дагуу бид матрицтай болно өөрчлөгдөхгүй, 3-р шинж чанар нь үнэн юм.

Үл хөдлөх хөрөнгийг шалгацгаая 4. Let
. тавья
. Дараа нь
, иймээс 4-р шинж чанар үнэн.

Бид 5 - 8 шинж чанаруудын шалгалтыг орхигдуулдаг.

Тодорхойлолт 8.Матрицын бүтээгдэхүүн
,
,
,матриц руу
,
,
,матриц гэж нэрлэдэг
,
,
,элементүүдтэй
.

Товч оруулга:
.

Жишээ 10Матрицын үржвэрийг ол

болон
.

8-р тодорхойлолтын дагуу бид олж мэднэ

Жишээ 11.Матрицыг үржүүлэх

болон
.

Тайлбар 1. Матрицын эгнээний элементүүдийн тоо матрицын баганын элементүүдийн тоотой тэнцүү байна (матрицын баганын тоо матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна ).

Тайлбар 2. Матрицад
матрицын адил олон мөр , мөн адил олон багана байна .

Тайлбар 3. Ерөнхийдөө,
(матрицын үржүүлэх нь солигддоггүй).

Тайлбар 3-ыг зөвтгөхийн тулд дор хаяж нэг жишээ хэлэхэд хангалттай.

Жишээ 12.Матрицын урвуу дарааллаар үржүүлнэ болон жишээ 10-аас.

ингэснээр, in ерөнхий тохиолдол
.

Тодорхой тохиолдолд тэгш байдал гэдгийг анхаарна уу
Магадгүй.

матрицууд болон , үүний төлөө тэгш байдал
, гэж нэрлэдэг солих,эсвэл ажилдаа явах.

Дасгал.

1. Өгөгдсөн матрицтай шилжих бүх матрицыг ол:

а)
; б)
.

2. Квадратууд нь тэг матрицтай тэнцүү хоёр дахь эрэмбийн бүх матрицуудыг ол.

3. Үүнийг нотлох
.

Матрицын үржүүлэх шинж чанарууд:

Үржүүлэх нь хуваарилалт юм.

Дөрөв ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тодорхойлогч хүчин зүйлүүдмөр, баганын элементүүдээр тэлэх эсвэл гурвалжин хэлбэрт оруулахаас бүрдэх хялбаршуулсан схемийн дагуу тооцоолох боломжтой. Тодорхой болгохын тулд хоёр аргыг хоёуланг нь авч үзэх болно. 4-р эрэмбийн матрицууд.

Мөр эсвэл баганын задралын арга

Бид эхний жишээг бүх завсрын үйл ажиллагааны нарийвчилсан тайлбар бүхий авч үзэх болно.

Жишээ 1 Тодорхойлогчийг тэлэлтийн аргаар тооцоол.

Шийдэл. Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүдээр (тэг элемент агуулсан) өргөжүүлнэ. Эдгээр нь элементүүдийг харгалзах нэмэлтүүдээр үржүүлэх замаар үүсдэг (мөр, баганын устгал нь тооцоолсон элементийн уулзвар дээр үүсдэг - улаанаар тодруулсан)

Үүний үр дүнд бид гурвалжны дүрмээр олдог гуравдагч эрэмбийн гурван тодорхойлогчийг олох хүртэл тооцоолол багасна.

Олдсон утгыг гаралтын тодорхойлогч болгон орлуулна

Үр дүнг матрицын тооцоолуур ашиглан шалгахад хялбар байдаг YukhymCALC. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур дахь Матриц-Матриц тодорхойлогч зүйлийг сонгоод матрицын хэмжээг 4 * 4 болгож тохируулна уу.

Үр дүн нь адилхан тул тооцоолол нь зөв.

Жишээ 2 Дөрөвдүгээр эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоол.

Өмнөх даалгаврын нэгэн адил бид задралын аргаар тооцооллыг хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд эхний баганын элементүүдийг сонгоно уу. Хялбаршуулсан байдлаар тодорхойлогчийг гурав дахь эрэмбийн дөрвөн тодорхойлогчийн нийлбэрээр хэлбэрээр өгч болно

Тооцоолол нь тийм ч төвөгтэй биш бөгөөд гол зүйл бол тэмдэг, гурвалжинтай андуурч болохгүй. Бид олсон утгыг үндсэн тодорхойлогч болгон орлуулж, нэгтгэн дүгнэдэг

Тодорхойлогчийн тухай ойлголт нь шугаман алгебрийн хичээлийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Энэхүү үзэл баримтлал нь ЗӨВХӨН Квадрат матрицад байдаг бөгөөд энэ нийтлэлийг энэ үзэл баримтлалд зориулав. Энд бид элементүүд нь бодит (эсвэл комплекс) тоонууд болох матрицын тодорхойлогчдын талаар ярих болно. Энэ тохиолдолд тодорхойлогч нь бодит (эсвэл нийлмэл) тоо юм. Цаашдын бүх танилцуулга нь тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох, ямар шинж чанартай вэ гэсэн асуултын хариулт байх болно.

Нэгдүгээрт, n-р дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийн тодорхойлолтыг матрицын элементүүдийн сэлгэлтийн үржвэрийн нийлбэр гэж өгнө. Энэхүү тодорхойлолт дээр үндэслэн бид нэг, хоёр, гурав дахь эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчдыг тооцоолох томьёо бичиж, хэд хэдэн жишээний шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Дараа нь бид тодорхойлогчийн шинж чанарууд руу шилжих бөгөөд бид үүнийг нотолгоогүйгээр теорем хэлбэрээр томъёолох болно. Энд тодорхойлогчийг мөр, баганын элементүүдээр тэлэх замаар тооцоолох аргыг олж авна. Энэ арга нь n дарааллын матрицын тодорхойлогчийн тооцоог n-ээр багасгаж, 3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг 3 ба түүнээс доош тоогоор багасгадаг. Хэд хэдэн жишээн дээр шийдлийг харуулахаа мартуузай.

Эцэст нь хэлэхэд, тодорхойлогчийг Гауссын аргаар тооцоолоход анхаарлаа хандуулцгаая. Энэ арга нь 3-аас 3-аас их эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдыг олоход тохиромжтой, учир нь тооцоолоход бага хүчин чармайлт шаарддаг. Бид мөн жишээнүүдийн шийдлийг шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Матриц тодорхойлогчийн тодорхойлолт, матриц тодорхойлогчийг тодорхойлолтоор тооцох.

Бид хэд хэдэн туслах ойлголтуудыг санаж байна.

Тодорхойлолт.

захиалга солих n n элементээс бүрдэх эрэмбэлэгдсэн тооны олонлог гэж нэрлэдэг.

n элемент агуулсан олонлогийн хувьд n байна! (n факториал) n дарааллын орлуулалт. Сэлгээ нь зөвхөн элементүүдийн дарааллаар бие биенээсээ ялгаатай.

Жишээлбэл, гурван тооноос бүрдэх олонлогийг авч үзье: . Бид бүх орлуулалтыг бичдэг (нийт зургаан байна ):

Тодорхойлолт.

n эрэмбийн орлуулалт дахь урвуур ба q индексийн дурын хосыг дууддаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд сэлгэцийн p-р элемент нь q-р-ээс их байна.

Өмнөх жишээн дээр 4 , 9 , 7 солих урвуу нь p=2 , q=3 , учир нь сэлгэцийн хоёр дахь элемент нь 9 ба гурав дахь элемент буюу 7-оос их байна. 9 , 7 , 4 солих урвуу нь гурван хос болно: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) ба p=2 , q=3 (7>4 ) байна.

Бид урвуу өөрчлөлтөөс илүүтэйгээр орлуулалт дахь урвуу байдлын тоог илүү сонирхох болно.

Бодит (эсвэл нийлмэл) тооны талбар дээр n-ээр n дарааллын квадрат матриц байг. Олонлогийн n дарааллын бүх орлуулалтын олонлог байг. Уг багц нь n-г агуулдаг! орлуулалт. Олонлогийн k-р орлуулалтыг , k-р ээлжийн урвуу тоог - гэж тэмдэглэе.

Тодорхойлолт.

Матрицын тодорхойлогчМөн тэнцүү тоо байна .

Энэ томъёог үгээр тайлбарлая. n-ээр n дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч нь n-ийг агуулсан нийлбэр юм! нөхцөл. Нэр томьёо бүр нь матрицын n элементийн үржвэр бөгөөд бүтээгдэхүүн бүр нь А матрицын мөр, багана бүрээс нэг элементийг агуулна. Бүтээгдэхүүн дэх А матрицын элементүүдийг мөрийн дугаараар эрэмбэлэх ба баганын тооны олонлогийн k-р орлуулалтын урвуу тоо сондгой байвал k-р гишүүний өмнө (-1) коэффициент гарч ирнэ.

А матрицын тодорхойлогчийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг ба det(A)-г мөн ашигладаг. Тодорхойлогчийг тодорхойлогч гэж нэрлэдэгийг та бас сонсож болно.

Тэгэхээр, .

Энэ нь нэгдүгээр эрэмбийн матрицын тодорхойлогч нь энэ матрицын элемент болохыг харуулж байна.

Хоёрдахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох - томьёо ба жишээ.

ерөнхийдөө 2-оос 2 орчим.

Энэ тохиолдолд n=2 , иймээс n!=2!=2 .

.

Бидэнд байгаа

Тиймээс бид 2-оос 2-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна. .

Жишээ.

захиалга.

Шийдэл.

Бидний жишээнд. Бид үүссэн томъёог хэрэглэнэ :

Гурав дахь дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох - томъёо ба жишээ.

Квадрат матрицын тодорхойлогчийг олъё ерөнхийдөө 3-аас 3 орчим.

Энэ тохиолдолд n=3 , иймээс n!=3!=6 .

Томъёог хэрэглэхэд шаардлагатай өгөгдлийг хүснэгт хэлбэрээр зохион байгуулъя .

Бидэнд байгаа

Тиймээс бид 3-аас 3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог олж авсан бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

Үүний нэгэн адил 4-ээс 4-р, 5-аас 5-аас дээш эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчийг тооцоолох томъёог авч болно. Тэд маш том харагдах болно.

Жишээ.

Квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 3-аас 3 орчим.

Шийдэл.

Бидний жишээн дээр

Гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд бид үүссэн томъёог ашиглана.

Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчдыг тооцоолох томъёог ихэвчлэн ашигладаг тул тэдгээрийг санаж байхыг зөвлөж байна.

Матриц тодорхойлогчийн шинж чанар, шинж чанарыг ашиглан матриц тодорхойлогчийг тооцоолох.

Дээрх тодорхойлолтыг үндэслэн дараахь зүйл үнэн болно. матрицын тодорхойлогч шинж чанарууд.

А матрицын тодорхойлогч нь шилжүүлсэн A T матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч эсэхийг шалгана уу шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

Шийдэл.

3-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд дараах томьёог ашиглая:



Бид А матрицыг шилжүүлнэ:


Шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоол.



Үнэн хэрэгтээ шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

Хэрэв квадрат матрицад дор хаяж нэг эгнээний бүх элементүүд (багануудын аль нэг нь) тэг байвал ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч эсэхийг шалгана уу 3-аас 3 хүртэлх дараалал нь тэг байна.

Шийдэл.




Үнэн хэрэгтээ тэг баганатай матрицын тодорхойлогч нь тэг юм.

Хэрэв та дөрвөлжин матрицын аль нэг хоёр мөрийг (багана) сольж авбал үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхныхаас эсрэг байх болно (өөрөөр хэлбэл тэмдэг өөрчлөгдөнө).

Жишээ.

3-аас 3 гэсэн дарааллын хоёр квадрат матриц өгөгдсөн болон . Тэдний тодорхойлогч нь эсрэгээрээ байгааг харуул.

Шийдэл.

Матриц Гурав дахь мөрийг эхний, эхний эгнээг гуравдахь эгнээгээр солих замаар B матрицаас А-г авна. Үзэж буй шинж чанарын дагуу ийм матрицын тодорхойлогч нь тэмдгээр ялгаатай байх ёстой. Үүнийг сайн мэддэг томьёог ашиглан тодорхойлогчдыг тооцоолох замаар шалгая.



Үнэхээр, .

Хэрэв квадрат матрицад дор хаяж хоёр мөр (хоёр багана) ижил байвал түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ.

Матриц тодорхойлогч болохыг харуул тэгтэй тэнцүү.

Шийдэл.

Энэ матрицад хоёр ба гурав дахь багана нь адилхан тул авч үзсэн шинж чанарын дагуу түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Үүнийг шалгаж үзье.



Үнэн хэрэгтээ хоёр ижил баганатай матрицын тодорхойлогч нь тэг юм.

Хэрэв квадрат матрицад аливаа мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг k тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчийг k-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Жишээлбэл,



Жишээ.

матриц тодорхойлогч гэдгийг батал матрицын тодорхойлогчоос гурав дахин ихтэй тэнцүү байна .

Шийдэл.

В матрицын эхний баганын элементүүдийг А матрицын эхний баганын харгалзах элементүүдээс 3-аар үржүүлж авна. Дараа нь авч үзсэн өмчийн дагуу тэгш байдлыг хангах ёстой. Үүнийг А ба В матрицын тодорхойлогчдыг тооцож шалгая.



Тиймээс нотлох ёстой байсан .

ЖИЧ.

Матриц ба тодорхойлогчийн ойлголтыг андуурч, бүү андуур! Матрицын тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанар ба матрицыг тоогоор үржүүлэх үйл ажиллагаа нь ижил зүйлээс хол байна.
, гэхдээ .

Хэрэв квадрат матрицын аль нэг мөр (баганын) бүх элементүүд нь s гишүүний (s -) нийлбэр байвал натурал тоо, нэгээс их) байвал ийм матрицын тодорхойлогч нь нэг гишүүнийг мөр (баганын) элемент болгон үлдээвэл анхныхаас олж авсан матрицын тодорхойлогчдын s нийлбэртэй тэнцүү байх болно. Жишээлбэл,


Жишээ.

Матрицын тодорхойлогч нь матрицын тодорхойлогчдын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг батал. .

Шийдэл.

Бидний жишээн дээр , тиймээс матриц тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанараас шалтгаалан тэгш байдал . Бид үүнийг томъёог ашиглан 2-оос 2-р эрэмбийн матрицуудын харгалзах тодорхойлогчдыг тооцоолох замаар шалгана. .


Гарсан үр дүнгээс харахад ийм байна . Энэ нь нотлох баримтыг гүйцээнэ.

Хэрэв бид матрицын зарим эгнээний (баганын) элементүүдэд өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын k тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Жишээ.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүд байгаа эсэхийг шалгаарай Энэ матрицын хоёр дахь баганын харгалзах элементүүдийг (-2) үржүүлж, матрицын эхний баганын харгалзах элементүүдийг дурын бодит тоогоор үржүүлбэл үүссэн матрицын тодорхойлогч нь тэнцүү байх болно. анхны матрицын тодорхойлогч.

Шийдэл.

Хэрэв бид тодорхойлогчийн авч үзсэн шинж чанараас эхлэх юм бол асуудалд заасан бүх хувиргалтуудын дараа олж авсан матрицын тодорхойлогч нь А матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Эхлээд бид анхны А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно.



Одоо А матрицын шаардлагатай хувиргалтыг хийцгээе.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүдэд матрицын хоёр дахь баганын харгалзах элементүүдийг өмнө нь (-2) -аар үржүүлцгээе. Үүний дараа матриц дараах байдлаар харагдах болно.


Үүссэн матрицын гурав дахь баганын элементүүдэд бид эхний баганын харгалзах элементүүдийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.


Үүссэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж, энэ нь А матрицын тодорхойлогч, өөрөөр хэлбэл -24-тэй тэнцүү эсэхийг шалгаарай.



Квадрат матрицын тодорхойлогч нь аль ч эгнээний (баганын) элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр юм. алгебрийн нэмэлтүүд.



Энд матрицын элементийн алгебрийн нэмэлт, .

Энэ шинж чанар нь 3-аас 3-аас дээш эрэмбийн матрицын тодорхойлогчдыг нэг бага дарааллын матрицын хэд хэдэн тодорхойлогчдын нийлбэр болгон бууруулах замаар тооцоолох боломжийг олгодог. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь аль ч дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох давтагдах томъёо юм. Үүнийг нэлээд олон удаа ашиглах боломжтой тул санаж байхыг зөвлөж байна.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ.

4-өөс 4-ээр дараалуулж, үүнийг өргөжүүлнэ

• 3-р эгнээний элементүүдээр,
• 2-р баганын элементүүдээр.

Шийдэл.

Бид тодорхойлогчийг 3-р эгнээний элементүүдээр нэмэгдүүлэх томъёог ашигладаг



Бидэнд байгаа



Тиймээс 4-өөс 4-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг олох асуудлыг 3-р эрэмбийн матрицын гурван тодорхойлогчийг 3-аар тооцоолоход хүргэв.



Хүлээн авсан утгыг орлуулснаар бид дараах үр дүнд хүрнэ.


Тодорхойлогчийг 2-р баганын элементүүдээр өргөжүүлэх томъёог бид ашигладаг


мөн бид ижил аргаар ажилладаг.

Гурав дахь эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчдын тооцоог бид нарийвчлан тайлбарлахгүй.



Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 4-өөс 4 орчим.

Шийдэл.

Матрицын тодорхойлогчийг аль ч багана эсвэл аль ч мөрийн элементүүдэд задлах боломжтой боловч дараах зүйлсийг агуулсан мөр эсвэл баганыг сонгох нь илүү ашигтай байдаг. хамгийн том тоотэг элемент, учир нь энэ нь шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусална. Тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүдээр өргөжүүлье.



Бид 3-аас 3-р эрэмбийн матрицуудын олж авсан тодорхойлогчдыг бидэнд мэдэгдэж буй томъёоны дагуу тооцоолно.



Бид үр дүнг орлуулж, хүссэн утгыг авдаг


Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 5-аас 5 орчим.

Шийдэл.

Матрицын дөрөв дэх эгнээ нь бүх мөр, баганын хамгийн олон тооны тэг элементтэй тул матрицын тодорхойлогчийг дөрөв дэх эгнээний элементүүдээр яг таг өргөжүүлэхийг зөвлөж байна, учир нь энэ тохиолдолд бид бага тооцоо хийх шаардлагатай болно.



4-ээс 4 хүртэлх дарааллын матрицын олж авсан тодорхойлогчдыг өмнөх жишээнүүдээс олсон тул бид бэлэн үр дүнг ашиглах болно.



Жишээ.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох 7-оос 7 орчим.

Шийдэл.

Тодорхойлогчийг ямар ч мөр, баганын элементүүдээр задлах гэж нэн даруй яарах хэрэггүй. Хэрэв та матрицыг сайтар ажиглавал хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг хоёроор үржүүлснээр матрицын зургаа дахь эгнээний элементүүдийг олж авах боломжтой болохыг анзаарах болно. Өөрөөр хэлбэл, зургаа дахь эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг (-2) үржүүлбэл долоо дахь шинж чанараас шалтгаалан тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй бөгөөд үүссэн матрицын зургаа дахь эгнээ нь дараахаас бүрдэнэ. тэг. Ийм матрицын тодорхойлогч нь хоёр дахь шинж чанараараа тэгтэй тэнцүү байна.

Хариулт:

Энэ шинж чанар нь ямар ч дарааллын матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох боломжийг олгодог боловч олон тооны тооцооллын үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх тохиолдолд гуравдахь матрицын тодорхойлогчийг Гауссын аргаар олох нь илүү ашигтай байдаг бөгөөд үүнийг бид доор авч үзэх болно.

Квадрат матрицын аль ч эгнээний (баганын) элементүүд болон өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн үржвэрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.


Жишээ.

Матрицын гурав дахь баганын элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр болохыг харуул Эхний баганын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.

Шийдэл.




Ижил эрэмбийн квадрат матрицуудын үржвэрийн тодорхойлогч нь тэдгээрийн тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл , энд m нь нэгээс их натурал тоо, A k , k=1,2,…,m нь ижил эрэмбийн квадрат матрицууд юм.

Жишээ.

Хоёр матрицын үржвэрийн тодорхойлогч эсэхийг шалгаарай ба тэдгээрийн тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

Шийдэл.

Эхлээд А ба В матрицын тодорхойлогчдын үржвэрийг олъё.


Одоо матрицын үржүүлгийг хийж, үүссэн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё:



Энэ замаар, , харуулах ёстой байсан.

Матриц тодорхойлогчийг Гауссын аргаар тооцоолох.

Энэ аргын мөн чанарыг тайлбарлая. Анхан шатны хувиргалтыг ашиглан А матрицыг эхний баганад бусад бүх элементүүд тэг болох хэлбэрт оруулав (хэрэв А матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай бол энэ нь үргэлж боломжтой байдаг). Бид энэ процедурыг бага зэрэг дараа тайлбарлах болно, гэхдээ одоо яагаад үүнийг хийснийг тайлбарлах болно. Эхний баганын элементүүд дээр тодорхойлогчийн хамгийн энгийн өргөтгөлийг олж авахын тулд тэг элементүүдийг олж авдаг. А матрицыг ийм хувиргасны дараа найм дахь шинж чанарыг харгалзан үзээд бид олж авна

хаана - бага (n-1)-р дараалал, А матрицаас түүний эхний мөр ба эхний баганын элементүүдийг устгаснаар олж авсан.

Насанд хүрээгүй матрицын хувьд эхний баганад тэг элементийг олж авах ижил процедурыг гүйцэтгэдэг. Тодорхойлогчийн эцсийн тооцоо хүртэл үргэлжилнэ.

Одоо "Эхний баганад хоосон элементүүдийг хэрхэн авах вэ" гэсэн асуултад хариулах хэвээр байна.

Үйлдлийн алгоритмыг тайлбарлая.

Хэрэв бол матрицын эхний эгнээний элементүүдийг k-р эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмэх бөгөөд үүнд . (Хэрэв А матрицын эхний баганын бүх элементүүд тэг байвал түүний тодорхойлогч нь хоёр дахь шинж чанараараа тэг бөгөөд Гауссын арга шаардлагагүй). Ийм өөрчлөлтийн дараа "шинэ" элемент нь тэгээс ялгаатай байх болно. "Шинэ" матрицын тодорхойлогч нь долоо дахь шинж чанарын улмаас анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Одоо бидэнд матриц байна. Хоёрдахь эгнээний элементүүдэд бид эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг -аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. гэх мэт. Дүгнэж хэлэхэд, n-р эгнээний элементүүдэд бид эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг -ээр үржүүлж нэмнэ. Тиймээс хувирсан А матрицыг олж авах бөгөөд эхний баганын бүх элементүүд нь тэг болно. Үүссэн матрицын тодорхойлогч нь долоо дахь шинж чанарын улмаас анхны матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Жишээг шийдэхдээ аргыг задлан шинжилье, тэгвэл илүү ойлгомжтой болно.

Жишээ.

5-аас 5-р эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоол .

Шийдэл.

Гауссын аргыг ашиглая. А матрицыг түүний эхний баганын -аас бусад бүх элементүүд тэг байхаар хувиргацгаая.

Элемент нь эхэндээ , дараа нь бид матрицын эхний эгнээний элементүүдэд харгалзах элементүүдийг, жишээлбэл, хоёр дахь эгнээний элементүүдийг нэмнэ, учир нь:

"~" тэмдэг нь тэнцүү гэсэн утгатай.

Одоо бид хоёр дахь эгнээний элементүүдэд эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , гурав дахь эгнээний элементүүдэд - эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлсэн , мөн адил зургаа дахь мөр хүртэл үргэлжлүүлнэ үү:

Бид авдаг

матрицтай Бид эхний баганад тэг элемент авахтай ижил процедурыг гүйцэтгэдэг.

Үүний үр дүнд,

Одоо бид матрицын тусламжтайгаар хувиргалтыг хийж байна :

Сэтгэгдэл.

Гауссын аргаар матрицыг хувиргах зарим үе шатанд матрицын сүүлийн хэдэн эгнээний бүх элементүүд тэг болох нөхцөл байдал үүсч болно. Энэ нь тодорхойлогчийн тэг хүртэлх тэгш байдлын тухай ярих болно.

Дүгнэж хэлье.

Элементүүд нь тоо байдаг квадрат матрицын тодорхойлогч нь тоо юм. Тодорхойлогчийг тооцоолох гурван аргыг бид авч үзсэн.

1. матрицын элементүүдийн хослолын бүтээгдэхүүний нийлбэрээр;
2. тодорхойлогчийг матрицын мөр, баганын элементүүдээр тэлэх замаар;
3. матрицыг дээд гурвалжин болгон багасгах арга (Гауссын аргаар).

2-р эрэмбийн матрицуудын тодорхойлогчийг 2-оор, 3-ыг 3-аар тооцоолох томьёог олж авсан.

Бид матриц тодорхойлогчийн шинж чанарыг шинжилсэн. Тэдгээрийн зарим нь тодорхойлогч нь тэг гэдгийг хурдан ойлгох боломжийг олгодог.

3-аас 3-аас дээш эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохдоо Гауссын аргыг ашиглахыг зөвлөж байна: матрицын үндсэн хувиргалтыг хийж, дээд гурвалжин руу аваачна. Ийм матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх бүх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

"Хэрэв та сэлж сурахыг хүсч байвал усанд зоригтой ороорой, сурахыг хүсч байвал усанд ороорой асуудлыг шийдвэрлэх, дараа нь тэдгээрийг шийдэх.»
Д.Поя (1887-1985)

(Математикч. Математикийг сурталчлахад асар их хувь нэмэр оруулсан. Бодлого хэрхэн шийдвэрлэх, бодлого бодох арга зүйг заах талаар хэд хэдэн ном бичсэн.)

Квадрат матриц бүртэй холбоотой тоо. Энэ дугаарыг дуудаж байна тодорхойлогчматрицууд. Тодорхойлогчийг тусгай дүрмийн дагуу тооцоолж, |A|, дет А, ΔA.

Тодорхойлогчийн эгнээний (баганын) тоог түүний гэж нэрлэдэг дарааллаар.

Эхний эрэмбийн тодорхойлогчматриц нь элементтэй тэнцүү байна a 11: |A|=a 11

Эхний эрэмбийн тодорхойлогчийг модультай андуурч болохгүй.

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчтэмдгээр тэмдэглэнэ

ба тэнцүү байна |A|=a 11 a 22 -a 12 a 21

3-р эрэмбийн тодорхойлогчтэмдгээр тэмдэглэнэ

Энэ томьёог цээжлэхийн тулд схемийн дүрмийг ашигладаг ( гурвалжингийн дүрэм эсвэл Саррус)

Саррусын засаглал.

Гурвалжингийн дүрэм.

Эдгээр дүрмийг хэрхэн ашигладаг жишээг харцгаая.

ЖИШЭЭ:

Саррусын засаглал

Бид эхний хоёр баганыг тодорхойлогч дээр нэмнэ.

гурвалжингийн дүрэм

Тодорхойлогчийг тооцоолох энэ арга нь 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тодорхойлогчдод тохиромжгүй. Аливаа эрэмбийн тодорхойлогчийг олох боломжийг олгодог дүрмийг тодорхойлохын өмнө матрицын элементийн алгебрийн нөхөх тухай ойлголтыг авч үзье.

Алгебрийн нэмэлт (Тэгээд ij) элемент болон ijматриц тодорхойлогч ГЭХДЭЭмөрийг устгасны үр дүнд өгөгдсөн нэгээс олж авсан тодорхойлогчийн (-1) i + j үржвэртэй тэнцүү тоог (мөрийн дугаарын хүчийг нэмэхэд энэ элементийн баганын дугаарт) гэж нэрлэдэг. энэ элементийн байрласан багана.

ЖИШЭЭ:

Алгебрийн нэмэлтийг тооцоолох А 21элемент а 21 .

ШИЙДЭЛ:

Алгебрийн комплементийн тодорхойлолтоор

Дурын эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоо. Тодорхойлогч нь түүний аль нэг мөр (эсвэл багана) болон харгалзах алгебрийн нэмэгдлүүдийн элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

, эхний эгнээний 4-р эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөл дараах байдалтай байна.

Хоёрдахь дараалал нь үндсэн диагональыг бүрдүүлж буй тоонуудын үржвэр ба хажуугийн диагональ дээрх тоонуудын үржвэрийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү тоо бөгөөд тодорхойлогчийн дараах тэмдэглэгээг олж болно: ; ; ; deA(тодорхойлогч).

.

Жишээ:
.

Гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчДараах дүрмийн дагуу тооцоолсон тоо эсвэл математик илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох хамгийн энгийн арга бол эхний хоёр эгнээний тодорхойлогчийг доороос нь нэмэх явдал юм.

Үүсгэсэн тооны хүснэгтэд үндсэн диагональ ба диагональ дээрх элементүүдийг үндсэн нэгтэй параллель үржүүлж, бүтээгдэхүүний үр дүнгийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. дараагийн алхамТооцоолол нь хоёрдогч диагональ дээр болон түүнтэй зэрэгцээ байрладаг элементүүдийн ижил төстэй үржвэр юм. Бүтээгдэхүүний үр дүнгийн шинж тэмдгүүд эсрэгээрээ байна. Дараа нь үүссэн зургаан нөхцөлийг нэмнэ.

Жишээ:

Тодорхойлогчийг зарим эгнээний (баганын) элементүүдээр задлах.

Бага М ижэлемент болон ijквадрат матриц ГЭХДЭЭматрицын элементүүдээс бүрдэх тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ, устгасны дараа үлдэнэ би-өө шугам ба j--р багана.

Жишээлбэл, элементийн бага а 21Гурав дахь эрэмбийн матрицууд
тодорхойлогч байх болно
.

Бид элемент гэж хэлэх болно болон ijтэгш байр суурь эзэлдэг бол i+j(энэ элементийн уулзвар дээр байгаа мөр, баганын дугааруудын нийлбэр) - тэгш тоо, сондгой газар, хэрэв i+j- сондгой тоо.

Алгебрийн нэмэлт Тэгээд ijэлемент болон ijквадрат матриц ГЭХДЭЭилэрхийлэл гэж нэрлэдэг (эсвэл матрицын элемент тэгш байр эзэлвэл “+” тэмдгээр, сондгой байр эзэлвэл “-” тэмдгээр авсан харгалзах минорын утга).

Жишээ:

а 23= 4;

- элементийн алгебрийн нэмэлт а 22= 1.

Лапласын теорем. Тодорхойлогч нь зарим мөр (багана) болон тэдгээрийн харгалзах алгебрийн нэмэгдлүүдийн элементүүдийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн жишээгээр тайлбарлая. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг эхний мөрөнд дараах байдлаар өргөтгөж тооцоолж болно

Үүний нэгэн адил та аль ч мөр, багана дээр өргөтгөх замаар гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолж болно. Тодорхойлогчийг илүү олон тэг агуулсан мөр (эсвэл багана) дагуу өргөжүүлэх нь тохиромжтой.

Жишээ:

Ийнхүү 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоололд шилжүүлэв. Ерөнхий тохиолдолд квадрат матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж болно n-р дараалал, тооцоонд үүнийг багасгах nтодорхойлогч ( n-1)-р захиалга

Сэтгэгдэл.Байдаггүй энгийн аргуудтодорхойлогчдыг тооцоолохын тулд өндөр захиалга, 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох аргуудтай төстэй. Тиймээс гуравдахь эрэмбээс дээш тодорхойлогчийг тооцоолохын тулд зөвхөн задралын аргыг ашиглаж болно.

Жишээ. Дөрөв дэх эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол.

Тодорхойлогчийг гурав дахь эгнээний элементүүдээр өргөжүүлнэ

Тодорхойлогчдын шинж чанарууд:

1. Мөрүүдийг баганаар сольсон тохиолдолд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй ба эсрэгээр.

2. Хоёр зэргэлдээ мөр (багана) солих үед тодорхойлогч тэмдэг нь эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

3. Хоёр ижил мөр (багана) бүхий тодорхойлогч нь 0 байна.

4. Тодорхойлогчийн зарим эгнээний (баганын) бүх элементийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогчийн тэмдгээс гаргаж авч болно.

5. Ямар нэг өөр баганын (мөр) харгалзах элементүүдийг аль нэг баганын (мөр) элементүүдэд зарим тоогоор үржүүлсэн тохиолдолд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.