Даммигийн урвуу матриц нь шийдлийн нарийвчилсан жишээ. Алгебрийн нэмэлтүүдийг ашиглан урвуу матрицыг тооцоолох алгоритм: хавсаргасан (нэгдэл) матрицын арга

Аливаа ганц бус матрицын хувьд А -1 гэсэн өвөрмөц матриц байдаг

A*A -1 =A -1 *A = E,

E хаана байна таних матриц A-тай ижил эрэмбүүд. A -1 матрицыг А матрицын урвуу гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хэн нэгэн хүн мартсан бол таних матрицын диагональ нь нэгээр дүүрсэнээс бусад бүх байрлалыг тэгээр дүүргэсэн байх бөгөөд энэ нь таних матрицын жишээ юм.

Зэргэлдээ матрицын аргаар урвуу матрицыг олох

урвуу матрицтомъёогоор тодорхойлно:

Энд A ij - элементүүд a ij .

Тэдгээр. Матрицын урвуу утгыг тооцоолохын тулд та энэ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Дараа нь түүний бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлийг олж, тэдгээрээс шинэ матриц үүсгэ. Дараа нь та энэ матрицыг зөөвөрлөх хэрэгтэй. Мөн шинэ матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Матрицын хувьд A -1-ийг ол

Шийдэл.А -1-ийг хавсаргасан матрицын аргаар ол. Бидэнд det A = 2 байна. А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг ол. Энэ тохиолдолдматрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд нь томьёоны дагуу тэмдгээр авсан матрицын харгалзах элементүүд байх болно.

Бидэнд A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 байна. Бид хавсарсан матрицыг үүсгэдэг.

Бид A* матрицыг зөөвөрлөнө:

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

Бид авах:

Хэрэв A -1 байвал хавсаргасан матрицын аргыг ашиглана уу

Шийдэл.Юуны өмнө бид урвуу матриц байгаа эсэхийг шалгахын тулд өгөгдсөн матрицыг тооцоолно. Бидэнд байгаа

Энд бид хоёр дахь эгнээний элементүүдэд өмнө нь (-1) үржүүлсэн гурав дахь эгнээний элементүүдийг нэмж, дараа нь тодорхойлогчийг хоёр дахь эгнээгээр өргөтгөсөн. Энэ матрицын тодорхойлолт нь тэгээс ялгаатай тул түүний урвуу матриц байдаг. Хавсарсан матрицыг бүтээхийн тулд бид энэ матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог. Бидэнд байгаа

Томъёоны дагуу

Бид A* матрицыг зөөв:

Дараа нь томъёоны дагуу

Эсрэг хувиргалтын аргаар урвуу матрицыг олох

Томьёоны дагуу урвуу матрицыг олох аргаас (холбогдох матрицын арга) гадна урвуу матрицыг олох арга байдаг бөгөөд үүнийг элементар хувиргалтын арга гэж нэрлэдэг.

Элементар матрицын хувиргалт

Дараахь хувиргалтыг энгийн матрицын хувиргалт гэж нэрлэдэг.

1) мөр (багана) солих;

2) мөрийг (багана) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) өмнө нь тодорхой тоогоор үржүүлсэн өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмэх.

A -1 матрицыг олохын тулд бид тэгш өнцөгт B \u003d (A | E) матрицыг (n; 2n) байгуулж, баруун талд байгаа А матрицад Е таних матрицыг хуваах шугамаар хуваарилна.

Жишээ авч үзье.

Анхан шатны хувиргалтын аргыг ашиглан A -1 бол ол

Шийдэл Бид В матрицыг үүсгэнэ:

B матрицын α 1 , α 2 , α 3 хүртэлх мөрүүдийг тэмдэглэ. Б матрицын мөрөнд дараах хувиргалтыг хийцгээе.

Урвуу матрицыг олох.

Энэ нийтлэлд бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх болно. Өгөгдсөн нэгэнд урвуу матриц байгуулах шаардлагатай жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг олох.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Гаусс-Жорданы аргаар урвуу матрицыг олох.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдвэрлэх замаар урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Урвуу матрицын тухай ойлголтыг зөвхөн үүнд зориулж оруулсан болно квадрат матрицууд, тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл ганц биш квадрат матрицын хувьд.

Тодорхойлолт.

Матрицматрицын урвуу гэж нэрлэдэг, хэрэв тэгш байдал үнэн бол тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай , хаана Энь эрэмбийн таних матриц юм nдээр n.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг олох.

Өгөгдсөн нэгний урвуу матрицыг хэрхэн олох вэ?

Нэгдүгээрт, бидэнд ойлголт хэрэгтэй шилжүүлсэн матриц, матрицын минор, матрицын элементийн алгебрийн нэмэлт.

Тодорхойлолт.

Багак-р захиалгаматрицууд Азахиалга мдээр nдарааллын матрицын тодорхойлогч юм кдээр к, матрицын элементүүдээс гаргаж авсан ГЭХДЭЭсонгосон хэсэгт байрладаг кшугам ба кбаганууд. ( кхамгийн бага тооноос хэтрэхгүй мэсвэл n).

Бага (n-1)-рбусад бүх эгнээний элементүүдээс бүрдэх дараалал i-р, бусад бүх багана j-th, квадрат матриц ГЭХДЭЭзахиалга nдээр nгэж тэмдэглэе.

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин матрицаас минорыг авна ГЭХДЭЭзахиалга nдээр nэлементүүдийг таслах i-ршугам ба j-thбагана.

Жишээ нь, жаахан бичье 2 дахьматрицаас олж авсан дараалал түүний хоёр, гурав дахь мөр, эхний, гурав дахь баганын элементүүдийг сонгох . Бид мөн матрицаас олж авсан минорыг харуулж байна хоёр дахь мөр, гурав дахь баганыг устгах . Эдгээр насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээн байгуулалтыг үзүүлье: ба .

Тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтквадрат матрицын элементийг минор гэж нэрлэдэг (n-1)-рматрицаас олж авсан дараалал ГЭХДЭЭ, түүний элементүүдийг устгах i-ршугам ба j-thбагана -аар үржүүлсэн.

Элементийн алгебрийн нэмэлтийг гэж тэмдэглэнэ. Тиймээс, .

Жишээлбэл, матрицын хувьд элементийн алгебрийн нэмэлт нь .

Хоёрдугаарт, энэ хэсэгт авч үзсэн тодорхойлогчийн хоёр шинж чанар бидэнд хэрэгтэй болно матриц тодорхойлогчийн тооцоо:

Тодорхойлогчийн эдгээр шинж чанарууд дээр үндэслэн тодорхойлолтууд матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдба урвуу матрицын тухай ойлголт, бид тэгш эрхтэй , элементүүд нь алгебрийн нэмэлтүүд болох шилжүүлсэн матриц хаана байна.

Матриц Энэ нь үнэхээр матрицын урвуу юм ГЭХДЭЭ, тэгшитгэлээс хойш . Үүнийг үзүүлье

Зохиоцгооё урвуу матрицын алгоритмтэгш байдлыг ашиглан .

Жишээн дээр урвуу матрицыг олох алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоол ГЭХДЭЭ, үүнийг гурав дахь баганын элементүүдээр өргөжүүлэх:

Тодорхойлогч нь тэг биш тул матриц ГЭХДЭЭбуцаах боломжтой.

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицыг олъё:

Тийм ч учраас

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицын шилжүүлгийг хийцгээе.

Одоо бид урвуу матрицыг олно :

Үр дүнг шалгая:

Тэгш байдал биелэгдсэн тул урвуу матриц зөв олддог.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Урвуу матрицын тухай ойлголт, тэгш байдал , матриц дээрх үйлдлүүдийн тодорхойлолт, матрицын тодорхойлогчийн шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг батлах боломжийг олгодог. урвуу матрицын шинж чанарууд:

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдвэрлэх замаар урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Квадрат матрицын урвуу матрицыг олох өөр аргыг авч үзье ГЭХДЭЭзахиалга nдээр n.

Энэ арга нь шийдэл дээр суурилдаг n-тэй шугаман нэг төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд nүл мэдэгдэх. Эдгээр тэгшитгэлийн систем дэх үл мэдэгдэх хувьсагч нь урвуу матрицын элементүүд юм.

Санаа нь маш энгийн. Урвуу матрицыг гэж тэмдэглэ X, тэр бол, . Учир нь урвуу матрицын тодорхойлолтоор , тэгвэл

Харгалзах элементүүдийг баганаар тэгшитгэснээр бид олж авна nшугаман тэгшитгэлийн системүүд

Бид тэдгээрийг ямар ч аргаар шийдэж, олсон утгуудаас урвуу матриц үүсгэдэг.

Энэ аргыг жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Зөвшөөрөх . Тэгш байдал нь шугаман нэгэн төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн гурван системийг өгдөг.

Бид эдгээр системийн шийдлийг тайлбарлахгүй, шаардлагатай бол хэсгийг үзнэ үү шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл.

Эхний тэгшитгэлийн системээс бид хоёр дахь системээс - , гурав дахь системээс - . Тиймээс хүссэн урвуу матриц нь хэлбэртэй байна . Үр дүн нь зөв эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна.

Дүгнэж хэлье.

Бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, түүнийг олох гурван аргыг авч үзсэн.

Урвуу матрицын шийдлийн жишээ

Дасгал 1.Урвуу матрицын аргыг ашиглан SLAE-г шийднэ. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Маягтын эхлэл

Маягтын төгсгөл

Шийдэл. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье: Вектор В: B T = (1,2,3,4) (1,1) гол тодорхойлогч Бага: = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Бага (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Бага (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Бага (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Бага тодорхойлогч ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Хөрвүүлсэн матрицАлгебрийн нэмэлтүүд ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3) 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Урвуу матриц Үр дүн вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

бас үзнэ үү Урвуу матрицын аргаар SLAE шийдлүүдонлайн. Үүнийг хийхийн тулд мэдээллээ оруулаад дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдвэрээ аваарай.

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матриц ашиглан шийд. Хүлээн авсан уусмалыг шалгана уу. Шийдэл:xml:xls

Жишээ 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матрицаар шийд. Шийдэл:xml:xls

Жишээ. Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Шаардлагатай: 1) ашиглан түүний шийдлийг олох Крамерын томъёо; 2) системийг матриц хэлбэрээр бичиж, матрицын тооцоолол ашиглан шийднэ. Удирдамж. Крамерын аргаар шийдсэний дараа "Анхны өгөгдлийн урвуу матрицын шийдэл" товчийг ол. Та зохих шийдвэрийг хүлээн авах болно. Тиймээс өгөгдлийг дахин бөглөх шаардлагагүй болно. Шийдэл. А-аар тэмдэглэнэ - үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц; X - үл мэдэгдэх баганын матриц; B - чөлөөт гишүүдийн матриц багана:

В вектор В: B T =(4,-3,-3) Эдгээр тэмдэглэгээг авч үзвэл энэ тэгшитгэлийн систем нь дараах матрицын хэлбэрийг авна: А*Х = B. Хэрэв А матриц нь дан биш (түүний тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай) урвуу матриц А -1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг A -1-ээр үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Энэ тэгшитгэлийг гэнэ. шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийн матриц тэмдэглэгээ. Тэгшитгэлийн системийн шийдийг олохын тулд урвуу матриц A -1-ийг тооцоолох шаардлагатай. А матрицын тодорхойлогч нь тэг биш байвал систем шийдэлтэй болно. Гол тодорхойлогчийг олъё. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Тэгэхээр тодорхойлогч нь 14 ≠ 0, Тиймээс бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Үүний тулд бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтээр олно. Ганц бус А матрицтай байцгаая:

Бид алгебрийн нэмэгдлийг тооцоолдог.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Шалгалт. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Хариулт: -1,1,2.

Өгөгдсөн нэгний урвуу матриц нь ийм матриц бөгөөд анхны матрицыг үржүүлснээр таних матрицыг өгдөг: Заавал болон хангалттай нөхцөлурвуу матриц байгаа эсэх нь анхны тодорхойлогчийн тэгтэй тэнцүү биш (энэ нь матриц нь квадрат байх ёстой гэсэн үг юм). Хэрэв матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол түүнийг доройтсон гэж нэрлэдэг бөгөөд ийм матрицад урвуу байдаггүй. Дээд математикийн хувьд урвуу матрицууд чухал бөгөөд хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Жишээлбэл, дээр урвуу матрицыг олохбарьсан матрицын аргатэгшитгэлийн системийн шийдлүүд. Манай үйлчилгээний сайт зөвшөөрнө урвуу матрицыг онлайнаар тооцоолоххоёр арга: Гаусс-Жорданы арга ба алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглах. Эхнийх нь гэсэн үг олон тооныматрицын доторх энгийн хувиргалт, хоёрдугаарт - тодорхойлогчийн тооцоо, бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлүүд. Матрицын тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолохын тулд та манай өөр үйлчилгээг ашиглаж болно - Матрицын тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох

.

Сайт дээрх урвуу матрицыг ол

вэб сайтолох боломжийг танд олгоно урвуу матриц онлайнхурдан бөгөөд үнэгүй. Сайт дээр манай үйлчилгээ тооцооллыг хийж, үр дүнг харуулна нарийвчилсан шийдэлбайршлаар урвуу матриц. Сервер үргэлж зөвхөн үнэн зөв хариултыг өгдөг. Тодорхойлолтоор даалгаварт урвуу матриц онлайн, тодорхойлогч байх шаардлагатай матрицуудтэгээс өөр байсан, үгүй ​​бол вэб сайтанхны матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байгаа тул урвуу матрицыг олох боломжгүй гэдгийг мэдээлэх болно. Ажил олох урвуу матрицМатематикийн олон салбарт олддог бөгөөд хамгийн олон салбаруудын нэг юм үндсэн ойлголтуудалгебр, математикийн хэрэгсэл хэрэглээний даалгаварууд. Бие даасан урвуу матрицын тодорхойлолтТооцооллын явцад гулсах, бага зэрэг алдаа гаргахгүйн тулд ихээхэн хүчин чармайлт, маш их цаг хугацаа, тооцоолол, маш болгоомжтой байхыг шаарддаг. Тиймээс манай үйлчилгээ урвуу матрицыг онлайнаар олохтаны ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх бөгөөд болно зайлшгүй хэрэгсэлшийдлүүдийн хувьд математикийн асуудлууд. Та ч гэсэн урвуу матрицыг олӨөрийнхөө шийдлийг сервер дээрээ шалгахыг зөвлөж байна. Манай урвуу матрицыг онлайнаар тооцоолох хэсэгт эх матрицаа оруулаад хариултаа шалгана уу. Манай систем хэзээ ч алдаа гаргадаггүй, олдог урвуу матрицгоримд өгөгдсөн хэмжээс онлайнтэр даруй! Сайт дээр вэб сайтэлементүүдэд тэмдэгт оруулахыг зөвшөөрдөг матрицууд, энэ тохиолдолд урвуу матриц онлайнерөнхий бэлгэдлийн хэлбэрээр үзүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох- ихэвчлэн хоёр аргаар шийдэгддэг асуудал:

• тодорхойлогчийг олох, матрицыг шилжүүлэх шаардлагатай алгебрийн нэмэлтүүдийн арга;
• арилгах арга үл мэдэгдэх гаусс, үүнд матрицын үндсэн хувиргалтыг хийх шаардлагатай (мөр нэмэх, мөрийг ижил тоогоор үржүүлэх гэх мэт).

Ялангуяа сониуч хүмүүсийн хувьд бусад аргууд байдаг, жишээлбэл, шугаман хувиргалтын арга. Энэ хичээлээр бид дурдсан гурван арга, эдгээр аргаар урвуу матрицыг олох алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

урвуу матриц ГЭХДЭЭ, ийм матриц гэж нэрлэдэг

ГЭХДЭЭ
. (1)

урвуу матриц , үүнийг өгөгдсөн квадрат матрицын хувьд олох шаардлагатай ГЭХДЭЭ, ийм матриц гэж нэрлэдэг

матрицууд байдаг бүтээгдэхүүн ГЭХДЭЭбаруун талд нь таних матриц, өөрөөр хэлбэл,
. (1)

Таних матриц нь диагональ матриц бөгөөд бүх диагональ оруулгууд нь нэгтэй тэнцүү байна.

Теорем.Ганц бус (ганц бус, ганц биш) квадрат матриц бүрийн хувьд урвуу матрицыг олж болно, үүнээс гадна зөвхөн нэгийг нь олж болно. Тусгай (муудсан, ганц бие) квадрат матрицын хувьд урвуу матриц байхгүй.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг тусгай бус(эсвэл доройтдоггүй, дан бус) хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол ба Онцгой(эсвэл доройтох, ганц бие) хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг байвал.

Урвуу матрицыг зөвхөн квадрат матрицад л олж болно. Мэдээжийн хэрэг урвуу матриц нь өгөгдсөн матрицтай ижил дарааллаар дөрвөлжин байх болно. Урвуу матрицыг олж болох матрицыг урвуу матриц гэнэ.

Учир нь урвуу матриц тооны эсрэг утгатай зүйрлэл байдаг. Тоо бүрийн хувьд а, энэ нь тэгтэй тэнцүү биш, тоо байна бтэр ажил аболон бнэгтэй тэнцүү: ab= 1. Тоо бтооны эсрэг тоо гэж нэрлэдэг б. Жишээлбэл, 7-ын тооны хувьд урвуу нь 1/7 тоо, учир нь 7*1/7=1.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн аргаар урвуу матрицыг олох (нэгдэл матриц)

Ганц бус квадрат матрицын хувьд ГЭХДЭЭурвуу нь матриц юм

матрицын тодорхойлогч хаана байна ГЭХДЭЭ, а нь матрицтай холбоотой матриц юм ГЭХДЭЭ.

Квадрат матрицтай холбоотой Ань ижил эрэмбийн матриц бөгөөд түүний элементүүд нь А матрицад шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчийн харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд юм. Тиймээс хэрэв

тэгээд

болон

Алгебрийн нэмэгдлийн аргаар урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Энэ матрицын тодорхойлогчийг ол А. Хэрэв тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол урвуу матрицыг олох нь зогсдог, учир нь матриц нь доройтсон тул урвуу утга байхгүй.

2. Харьцуулан шилжүүлсэн матрицыг ол А.

3. 2-р алхамд олдсон маритагийн алгебрийн нэмэлтүүд болох нэгдлийн матрицын элементүүдийг тооцоол.

4. Томъёо (2) хэрэглэнэ: матрицын тодорхойлогчийн эсрэг тоог үржүүлнэ А, 4-р алхамаас олдсон нэгдлийн матриц руу.

5. 4-р алхам дээр олж авсан үр дүнг үржүүлэх замаар шалгана уу энэ матриц Аурвуу матриц руу. Хэрэв эдгээр матрицын үржвэр нь таних матрицтай тэнцүү бол урвуу матриц зөв олдсон байна. Үгүй бол шийдлийн процессыг дахин эхлүүлнэ үү.

Жишээ 1Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

Шийдэл. Урвуу матрицыг олохын тулд матрицын тодорхойлогчийг олох шаардлагатай ГЭХДЭЭ. Бид гурвалжны дүрмээр олдог:

Тиймээс матриц ГЭХДЭЭдан бус (мууддаггүй, ганц бие биш) бөгөөд үүний эсрэг тал байдаг.

Өгөгдсөн матрицтай холбоотой матрицыг олъё ГЭХДЭЭ.

Матрицтай харьцуулахад шилжүүлсэн матрицыг олъё А:

Бид нэгдлийн матрицын элементүүдийг матрицад шилжүүлсэн матрицын алгебрийн нэмэлтүүд гэж тооцдог. А:

Тиймээс матрицыг матрицтай холбосон А, хэлбэртэй байна

Сэтгэгдэл.Элементүүдийг тооцоолох дараалал ба матрицын шилжүүлэг өөр байж болно. Эхлээд матрицын алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолж болно А, дараа нь алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг шилжүүлнэ. Үр дүн нь нэгдлийн матрицын ижил элементүүд байх ёстой.

(2) томъёог ашигласнаар бид матрицын урвуу матрицыг олно ГЭХДЭЭ:

Үл мэдэгдэх зүйлийг Гауссын аргаар арилгах замаар урвуу матрицыг олох

Гауссын аргаар урвуу матрицыг олох эхний алхам бол матрицыг оноох явдал юм. Аижил эрэмбийн таних матриц, тэдгээрийг босоо зураасаар тусгаарлана. Бид давхар матрицыг авдаг. Энэ матрицын хоёр хэсгийг хоёуланг нь үржүүлбэл бид гарна

,

Үл мэдэгдэхийг Гауссын аргаар арилгах замаар урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Матриц руу Аижил эрэмбийн таних матрицыг оноох.

2. Үүссэн давхар матрицыг зүүн хэсэгт нь таних матриц авахаар хөрвүүл, дараа нь урвуу матрицыг баруун талд нь таних матрицын оронд автоматаар авна. Матриц Азүүн талд нь матрицын энгийн хувиргалтаар таних матриц руу хөрвүүлэгддэг.

2. Хэрэв матрицыг хувиргах явцад Ааль ч мөрөнд эсвэл аль ч баганад таних матрицад зөвхөн тэг байх болно, дараа нь матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тул матриц болно. Адоройтох бөгөөд урвуу матрицгүй болно. Энэ тохиолдолд урвуу матрицыг цаашид олох нь зогсдог.

Жишээ 2Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

мөн бид үүнийг хувиргаж, зүүн талд нь таних матрицыг авах болно. Өөрчлөлтийг эхлүүлье.

Зүүн ба баруун матрицын эхний мөрийг (-3) үржүүлж, хоёр дахь эгнээнд нэмээд дараа нь эхний мөрийг (-4) үржүүлж, гурав дахь эгнээнд нэмнэ.

.

Боломжтой бол дараагийн хувиргалтуудад бутархай тоо байхгүй тул эхлээд давхар матрицын зүүн талд хоёр дахь эгнээнд нэгж үүсгэнэ. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, түүнээс гурав дахь мөрийг хасвал бид авна

.

Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, дараа нь хоёр дахь мөрийг (-9) үржүүлж, гурав дахь эгнээнд нэмнэ. Дараа нь бид авна

.

Гурав дахь эгнээг 8-аар хуваа

.

Гурав дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь эгнээнд нэмнэ. Энэ нь харагдаж байна:

.

Хоёр ба гурав дахь мөрийн газруудыг сольж, эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Зүүн талд нь таних матрицыг олж авдаг тул урвуу матрицыг баруун талд нь олж авдаг. Энэ замаар:

.

Та анхны матрицыг олсон урвуу матрицаар үржүүлэх замаар тооцооллын зөв эсэхийг шалгаж болно.

Үр дүн нь урвуу матриц байх ёстой.

Жишээ 3Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

Шийдэл. Хос матрицыг эмхэтгэх

мөн бид үүнийг өөрчлөх болно.

Бид эхний мөрийг 3-аар, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрийг хасч, дараа нь эхний мөрийг 5-аар, гурав дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, гурав дахь эгнээнээс хасна.

.

Бид эхний мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь эгнээнд нэмж, гурав дахь эгнээнээс хоёр дахь эгнээг хасаад дараа нь бид авна.

.

Зүүн талын гурав дахь мөрөнд бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байгааг бид харж байна. Тиймээс матриц нь доройтсон бөгөөд урвуу матрицгүй. Бид урвуу мариа олохоо больсон.

Бид матрицтай үйлдлийн талаар үргэлжлүүлэн ярьж байна. Тухайлбал, энэ лекцийг судлах явцад та урвуу матрицыг хэрхэн олох талаар сурах болно. Сурах. Хэдийгээр математик хатуу байсан ч гэсэн.

Урвуу матриц гэж юу вэ? Энд бид харилцан адилтгал хийж болно: жишээлбэл, өөдрөг 5 тоо ба түүний харилцан хамаарлыг авч үзье. Эдгээр тоонуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна: . Матрицтай адилхан! Матриц ба түүний урвуу үржвэр нь - таних матриц, энэ нь тоон нэгжийн матрицын аналог юм. Гэсэн хэдий ч эхлээд хамгийн чухал зүйлийг шийдье практик асуулт, тухайлбал, бид энэ маш урвуу матрицыг хэрхэн олохыг сурах болно.

Урвуу матрицыг олохын тулд та юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Та шийдвэр гаргах чадвартай байх ёстой тодорхойлогч хүчин зүйлүүд. Та юу болохыг ойлгох ёстой матрицмөн тэдэнтэй зарим үйлдлийг гүйцэтгэх чадвартай байх.

Урвуу матрицыг олох хоёр үндсэн арга байдаг:
ашиглах замаар алгебрийн нэмэлтүүдболон энгийн хувиргалтыг ашиглан.

Өнөөдөр бид эхний хялбар аргыг судлах болно.

Хамгийн аймшигтай, ойлгомжгүй зүйлээс эхэлье. Санаж үз дөрвөлжинматриц. Урвуу матрицыг дараах томъёогоор олж болно:

Матрицын тодорхойлогч хаана байна, матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц байна.

Урвуу матрицын тухай ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг, матрицууд "хоёр хоёр", "гурав гурав" гэх мэт.

Тэмдэглэгээ: Та аль хэдийн анзаарсан байх, матрицын урвуу талыг дээд үсгээр тэмдэглэдэг

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе - хоёроос хоёр матриц. Ихэнх тохиолдолд мэдээжийн хэрэг "гурваас гурваар" шаардлагатай байдаг, гэхдээ би сурахын тулд илүү энгийн ажлыг судлахыг зөвлөж байна. ерөнхий зарчимшийдлүүд.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Бид шийднэ. Үйлдлүүдийн дарааллыг цэгүүдэд хялбархан задалдаг.

1) Эхлээд бид матрицын тодорхойлогчийг олно.

Хэрэв энэ үйлдлийн талаархи ойлголт муу байвал материалыг уншина уу Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Чухал!Хэрэв матрицын тодорхойлогч нь ТЭГ- урвуу матриц БАЙДАГГҮЙ.

Харж буй жишээн дээр бүх зүйл эмх цэгцтэй байна гэсэн үг юм.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Бидний асуудлыг шийдэхийн тулд насанд хүрээгүй хүн гэж юу болохыг мэдэх шаардлагагүй, гэхдээ нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна. Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь матрицтай ижил хэмжээтэй байна, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд .
Энэ хэрэг нь жижиг, дөрвөн тоог олж, одны оронд тавихад л үлддэг.

Манай матриц руу буцах
Эхлээд зүүн дээд талын элементийг харцгаая:

Яаж олох вэ бага?
Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: Энэ элемент байрлах мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайрч ав.

Үлдсэн тоо нь Өгөгдсөн элементийн бага, үүнийг бид насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн матрицад бичдэг:

Дараах матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элемент байрлах мөр, баганыг оюун ухаанаар хөндлөн зур.

Үлдсэн зүйл бол энэ элементийн жижиг хэсэг бөгөөд бид үүнийг матрицдаа бичдэг.

Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь эгнээний элементүүдийг авч үзээд тэдний насанд хүрээгүй хүмүүсийг олно.


Бэлэн.

Энэ бол энгийн. Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад танд хэрэгтэй Тэмдгүүдийг өөрчлөххоёр тооны хувьд:

Эдгээр тоонуудыг би дугуйлсан!

нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц юм.

Тэгээд зүгээр л нэг зүйл ...

4) Алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матрицыг ол.

нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.

5) Хариулт.

Бидний томъёог санаарай
Бүгд олдлоо!

Тэгэхээр урвуу матриц нь:

Хариултыг байгаагаар нь үлдээсэн нь дээр. ХЭРЭГГҮЙматрицын элемент бүрийг 2-т хуваана бутархай тоо. Энэ нюансыг ижил нийтлэлд илүү нарийвчлан авч үзсэн болно. Матрицтай үйлдлүүд.

Шийдлийг хэрхэн шалгах вэ?

Матрицын үржүүлгийн аль нэгийг хийх ёстой

Шалгалт:

аль хэдийн дурдсан таних матрицнь нэгжтэй матриц юм үндсэн диагональболон бусад газар тэг.

Тиймээс урвуу матриц зөв олддог.

Хэрэв та үйлдэл хийвэл үр дүн нь мөн адил таних матриц болно. Энэ нь матрицын үржвэрийг солих боломжтой цөөн тохиолдлын нэг юм дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Матриц дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд. Матрицын илэрхийллүүд. Шалгах явцад тогтмол (бутархай) хэсгийг урагшлуулж, хамгийн төгсгөлд нь - матрицыг үржүүлсний дараа боловсруулдаг болохыг анхаарна уу. Энэ бол стандарт хүлээн авалт юм.

Практикт илүү нийтлэг тохиолдол болох гурваас гурван матриц руу шилжье.

Жишээ:

Матрицын урвуу утгыг ол

Алгоритм нь хоёроос хоёр тохиолдолтой яг адилхан.

Бид урвуу матрицыг томъёогоор олно: , энд матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц .

1) Матрицын тодорхойлогчийг ол.

Энд тодорхойлогч тодорхойлогдоно эхний мөрөнд.

Үүнийг бүү мартаарай, энэ нь бүх зүйл сайхан байна гэсэн үг юм - урвуу матриц байдаг.

2) Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матриц нь "гурваас гурав" гэсэн хэмжээтэй байна. , мөн бид есөн тоог олох хэрэгтэй.

Би насанд хүрээгүй хэд хэдэн хүүхдийг нарийвчлан авч үзэх болно:

Дараах матрицын элементийг авч үзье.

Энэ элементийн байрлаж буй мөр, баганыг СЭТГЭЛЭЭР тайруулна уу:

Үлдсэн дөрвөн тоог тодорхойлогч "хоёр хоёр" гэж бичнэ.

Энэ нь хоёроос хоёр тодорхойлогч ба өгөгдсөн элементийн бага хэсэг юм. Үүнийг тооцоолох шаардлагатай:


Насанд хүрээгүй бүх зүйл олддог, бид үүнийг насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичдэг.

Таны таамаглаж байсанчлан тооцоолоход есөн хоёрыг хоёр тодорхойлогч байдаг. Энэ үйл явц нь мэдээжийн хэрэг уйтгартай, гэхдээ энэ нь хамгийн хэцүү биш, үүнээс ч дор байж болно.

За, нэгтгэхийн тулд - зурган дээрээс өөр насанд хүрээгүй хүүхдийг олоорой:

Насанд хүрээгүй үлдсэн хүүхдүүдийг өөрөө тооцоолохыг хичээ.

Эцсийн үр дүн:
нь матрицын харгалзах элементүүдийн багачуудын матриц юм.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүд бүгд сөрөг болж гарсан нь цэвэр санамсаргүй тохиолдол юм.

3) Алгебрийн нэмэгдлийн матрицыг ол.

Насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад энэ нь зайлшгүй шаардлагатай Тэмдгүүдийг өөрчлөхдараах элементүүдийн хувьд хатуу:

Энэ тохиолдолд:

"Дөрөв дөрөв" матрицын урвуу матрицыг олохыг анхаарч үзэхгүй, учир нь зөвхөн садист багш л ийм даалгавар өгч чадна (Оюутан нэг "дөрөвөөс дөрөв" тодорхойлогч, 16 "гурваас гурав" тодорхойлогчийг тооцоолох) . Миний практикт ийм тохиолдол ганцхан байсан бөгөөд үйлчлүүлэгч хяналтын ажилМиний тарчлалын төлөө маш их төлсөн =).

Хэд хэдэн сурах бичиг, гарын авлагад та урвуу матрицыг олоход арай өөр аргыг олж болно, гэхдээ би дээрх шийдлийн алгоритмыг ашиглахыг зөвлөж байна. Яагаад? Учир нь тооцоолол, тэмдэгтэнд андуурагдах магадлал хамаагүй бага байдаг.