Таних матрицыг олох. Урвуу матрицыг онлайнаар олоорой

Хэрэв A*A -1 = E бол A -1 матрицыг А матрицын урвуу матриц гэнэ, энд E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм. Урвуу матриц нь зөвхөн хувьд оршин тогтнох боломжтой квадрат матрицууд.

Үйлчилгээний зорилго. Энэ үйлчилгээг ашиглах онлайн горималгебрийн нэмэлтүүд, шилжүүлсэн A T матриц, холбоот матриц ба урвуу матриц. Шийдвэрийг шууд вэбсайт дээр (онлайн) гүйцэтгэдэг бөгөөд үнэ төлбөргүй байдаг. Тооцооллын үр дүнг Word болон Excel форматаар тайланд үзүүлэв (өөрөөр хэлбэл шийдлийг шалгах боломжтой). дизайны жишээг үзнэ үү.

Зааварчилгаа. Шийдлийг олж авахын тулд матрицын хэмжээг зааж өгөх шаардлагатай. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матрицыг бөглөнө үү.

Матрицын хэмжээс 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Мөн Жордано-Гаусын аргыг ашиглан урвуу матрицыг үзнэ үү

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Шилжүүлсэн матрицыг олох нь A T .
2. Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт. Матрицын элемент бүрийг алгебрийн нэмэлтээр соль.
3. Алгебрийн нэмэлтүүдээс урвуу матрицыг эмхэтгэх: үүссэн матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.

Дараачийн урвуу матрицыг олох алгоритмзарим алхмуудыг эс тооцвол өмнөхтэй төстэй: эхлээд тооцоол алгебрийн нэмэлтүүд, дараа нь нэгдлийн матриц С тодорхойлогдоно.

1. Матриц квадрат эсэхийг тодорхойлох. Хэрэв тийм биш бол урвуу матриц байхгүй болно.
2. А матрицын тодорхойлогчийн тооцоо. Хэрэв тэгтэй тэнцүү биш бол бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ, эс тэгвээс урвуу матриц байхгүй болно.
3. Алгебрийн нэмэлтүүдийн тодорхойлолт.
4. Холбооны (харилцан, хавсарсан) матрицыг бөглөх C .
5. Алгебрийн нэмэлтүүдээс урвуу матрицыг эмхэтгэх: хавсарсан С матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Үүссэн матриц нь анхны матрицын урвуу юм.
6. Тэд шалгалт хийдэг: тэд эх болон үүссэн матрицуудыг үржүүлдэг. Үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Жишээ №1. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье.

Алгебрийн нэмэлтүүд.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Дараа нь урвуу матрицдараах байдлаар бичиж болно.

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Урвуу матрицыг олох өөр нэг алгоритм

Урвуу матрицыг олох өөр схемийг үзүүлье.

1. Өгөгдсөн квадрат матрицын тодорхойлогчийг ол.
2. Бид А матрицын бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог.
3. Бид баганад мөрийн элементүүдийн алгебрийн нэмэлтийг бичдэг (шилжүүлэлт).
4. Бид үүссэн матрицын элемент бүрийг А матрицын тодорхойлогчоор хуваана.

Бидний харж байгаагаар шилжүүлэн суулгах үйлдлийг эхэнд, анхны матриц болон төгсгөлд нь үүссэн алгебрийн нэмэлтүүд дээр хэрэглэж болно.

Онцгой тохиолдол: И ижилсүүлэх матрицын урвуу тал нь Е ижил төстэй матриц юм.

Хэрэв $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ нөхцөл хангагдсан бол $A^(-1)$ матрицыг $A$ квадрат матрицын урвуу гэж нэрлэдэг. Энд $E $ нь таних матриц бөгөөд дараалал нь $A$ матрицын дараалалтай тэнцүү байна.

Ганц бус матриц гэдэг нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш матриц юм. Үүний дагуу тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү байх нэг матрицыг ганцаарчилсан матриц гэнэ.

Урвуу матриц $A^(-1)$ нь зөвхөн $A$ матриц нь ганц биш байх тохиолдолд л оршино. Хэрэв урвуу матриц $A^(-1)$ байгаа бол энэ нь өвөрмөц байна.

Матрицын урвуу утгыг олох хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд бид тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх болно. Энэ хуудсанд ихэнх математикийн хичээлүүдэд стандарт гэж тооцогддог нэмэлт матрицын аргыг хэлэлцэх болно. Гауссын арга эсвэл Гаусс-Жорданы аргыг ашиглах урвуу матрицыг олох хоёрдахь аргыг (элементийн хувиргалтын арга) хоёрдугаар хэсэгт авч үзнэ.

Хавсарсан матрицын арга

$A_(n\times n)$ матрицыг өгье. $A^(-1)$ урвуу матрицыг олохын тулд гурван алхам хийх шаардлагатай:

1. $A$ матрицын тодорхойлогчийг олоод $\Delta A\neq 0$, i.e. А матриц нь ганц бие биш юм.
2. $A$ матрицын элемент тус бүрийн $A_(ij)$ алгебрийн нэмэлтүүдийг зохиож, олдсон алгебраас $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ матрицыг бичнэ үү. нэмэлт.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог харгалзан урвуу матрицыг бич.

$(A^(*))^T$ матрицыг ихэвчлэн $A$ матрицтай залгаа (харилцан, холбоот) гэж нэрлэдэг.

Хэрэв шийдлийг гараар хийсэн бол эхний арга нь зөвхөн харьцангуй бага эрэмбийн матрицуудад тохиромжтой: хоёр дахь (), гурав дахь (), дөрөв дэх (). Матрицын урвуу утгыг олох илүү өндөр дараалал, бусад аргуудыг ашигладаг. Жишээлбэл, хоёр дахь хэсэгт авч үзсэн Гауссын арга.

Жишээ №1

$A=\left(\begin(массив) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 матрицын урвууг ол. & -9 & 0 \end(массив) \right)$.

Дөрөв дэх баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү тул $\Delta A=0$ (өөрөөр хэлбэл $A$ матриц нь ганц тоо) болно. $\Delta A=0$ тул $A$ матрицын урвуу матриц байхгүй.

Жишээ №2

$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ матрицын урвууг ол.

Бид нэмэлт матрицын аргыг ашигладаг. Эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг олъё:

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(массив)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Алгебрийн нэмэлтүүдийг олох

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Бид алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг бүрдүүлдэг: $A^(*)=\left(\begin(массив) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(массив)\баруун)$.

Бид үүссэн матрицыг шилжүүлнэ: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(массив)\right)$ (the Үр дүнд нь матрицыг ихэвчлэн $A$ матрицтай хавсарсан эсвэл холбоот матриц гэж нэрлэдэг. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\эхлэх(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \төгсгөл(массив)\баруун) =\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс урвуу матриц олддог: $A^(-1)=\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив) )\баруун) $. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A^(-1)\cdot A=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 хэлбэрээр орлуулах болно. & 5/103 \ end(array)\right)$, мөн хэлбэрээр $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \төгсгөл(массив)\баруун)$:

Хариулах: $A^(-1)=\left(\эхлэх(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун)$.

Жишээ №3

$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \right)$ матрицын урвуу матрицыг ол. .

$A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж эхэлцгээе. Тэгэхээр $A$ матрицын тодорхойлогч нь:

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \баруун| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Өгөгдсөн матрицын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олно:

Бид алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг бүрдүүлж, шилжүүлнэ:

$$ A^*=\left(\begin(массив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(массив) \баруун); \; (A^*)^T=\left(\эхлэх(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ төгсгөл(массив) \баруун) $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид дараахийг авна:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)= \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \төгсгөл(массив) \баруун) $$

Тэгэхээр $A^(-1)=\left(\begin(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A\cdot A^(-1)=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ хэлбэрээр орлуулах болно. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \баруун)$, $\frac(1)(26) хэлбэрээр )\cdot \left( \begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \баруун)$:

Шалгалт амжилттай болсон тул урвуу матриц $A^(-1)$ зөв олдсон.

Хариулах: $A^(-1)=\left(\эхлэх(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$.

Жишээ № 4

$A=\left(\begin(массив) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 матрицын урвуу матрицыг ол. & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Дөрөвдүгээр эрэмбийн матрицын хувьд алгебрийн нэмэлтүүдийг ашиглан урвуу матрицыг олох нь зарим талаараа хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм жишээнүүд дотор туршилтуудуулзах.

Матрицын урвуу утгыг олохын тулд эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Ийм нөхцөлд үүнийг хийх хамгийн сайн арга бол тодорхойлогчийг мөр (багана) дагуу задлах явдал юм. Бид дурын мөр, баганыг сонгож, сонгосон мөр, баганын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог.

Урвуу матрицыг олох.

Энэ нийтлэлд бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, олох аргуудыг ойлгох болно. Өгөгдсөн нэгэнд урвуу матриц байгуулах шаардлагатай жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матриц ашиглан урвуу матрицыг олох.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Гаусс-Жорданы аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдэж урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Урвуу матрицын тухай ойлголтыг зөвхөн тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай квадрат матрицуудад, өөрөөр хэлбэл ганц биш квадрат матрицуудад нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт.

Матрицматрицын урвуу гэж нэрлэдэг, хэрэв тэгш байдал үнэн бол тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай , Хаана Э- нэгж захиалгын матриц nдээр n.

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матриц ашиглан урвуу матрицыг олох.

Өгөгдсөн нэгний урвуу матрицыг хэрхэн олох вэ?

Нэгдүгээрт, бидэнд ойлголт хэрэгтэй шилжүүлсэн матриц, матрицын минор ба матрицын элементийн алгебрийн нэмэлт.

Тодорхойлолт.

Багаkth захиалгаматрицууд Азахиалга мдээр nдарааллын матрицын тодорхойлогч юм кдээр к, матрицын элементүүдээс гаргаж авсан Асонгосон хэсэгт байрладаг кшугам ба кбагана. ( кхамгийн бага тооноос хэтрэхгүй мэсвэл n).

Бага (n-1)-рбусад бүх мөрийн элементүүдээс бүрдэх дараалал i-р, бусад бүх багана jth, квадрат матриц Азахиалга nдээр nгэж тэмдэглэе.

Өөрөөр хэлбэл, минорыг квадрат матрицаас гаргаж авдаг Азахиалга nдээр nэлементүүдийг таслах замаар i-ршугам ба jthбагана.

Жишээ нь, жаахан бичье 2 дахьматрицаас олж авсан дараалал түүний хоёр, гурав дахь мөр, эхний, гурав дахь баганын элементүүдийг сонгох . Бид мөн матрицаас олж авсан минорыг харуулах болно хоёр дахь мөр, гурав дахь баганыг таслах замаар . Эдгээр насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээн байгуулалтыг үзүүлье: ба .

Тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтквадрат матрицын элементийг минор гэж нэрлэдэг (n-1)-рматрицаас олж авсан дараалал А, түүний элементүүдийг таслах i-ршугам ба jthбагана -аар үржүүлсэн.

Элементийн алгебрийн нэмэлтийг гэж тэмдэглэнэ. Тиймээс, .

Жишээлбэл, матрицын хувьд элементийн алгебрийн нэмэлт нь .

Хоёрдугаарт, энэ хэсэгт авч үзсэн тодорхойлогчийн хоёр шинж чанар бидэнд хэрэгтэй болно матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох:

Тодорхойлогчийн эдгээр шинж чанарууд дээр үндэслэн тодорхойлолт матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдурвуу матрицын тухай ойлголт үнэн: , элементүүд нь алгебрийн нэмэлтүүд болох шилжүүлсэн матриц хаана байна.

Матриц Энэ нь үнэхээр матрицын урвуу юм А, тэгш байдал хангагдсан тул . Үүнийг үзүүлье

Зохиоцгооё урвуу матрицыг олох алгоритмтэгш байдлыг ашиглан .

Урвуу матрицыг олох алгоритмыг жишээгээр харцгаая.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё А, үүнийг гурав дахь баганын элементүүдэд задлах:

Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул матриц Абуцаах боломжтой.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг олъё:

Тийм ч учраас

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицыг шилжүүлье:

Одоо бид урвуу матрицыг олно :

Үр дүнг шалгая:

Тэнцүү байдал сэтгэл хангалуун байгаа тул урвуу матриц зөв олдсон байна.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Урвуу матрицын тухай ойлголт, тэгш байдал , матрицын үйлдлүүдийн тодорхойлолт, матрицын тодорхойлогчийн шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг зөвтгөх боломжийг олгодог. урвуу матрицын шинж чанарууд:

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдэж урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Квадрат матрицын урвуу матрицыг олох өөр аргыг авч үзье Азахиалга nдээр n.

Энэ арга нь шийдэл дээр суурилдаг nбүхий шугаман нэг төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд nүл мэдэгдэх. Эдгээр тэгшитгэлийн систем дэх үл мэдэгдэх хувьсагч нь урвуу матрицын элементүүд юм.

Санаа нь маш энгийн. Урвуу матрицыг гэж тэмдэглэе X, тэр бол, . Урвуу матрицын тодорхойлолтоор, дараа нь

Харгалзах элементүүдийг баганаар тэгшитгэснээр бид олж авна nшугаман тэгшитгэлийн системүүд

Бид тэдгээрийг ямар ч аргаар шийдэж, олсон утгуудаас урвуу матриц үүсгэдэг.

Энэ аргыг жишээгээр авч үзье.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Хүлээж авъя . Тэгш байдал нь шугаман нэг төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн гурван системийг өгдөг.

Шаардлагатай бол бид эдгээр системийн шийдлийг тайлбарлахгүй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Эхний системээс бид хоёр дахь тэгшитгэлээс - , гурав дахь системээс - . Тиймээс шаардлагатай урвуу матриц нь хэлбэртэй байна . Үр дүн нь зөв эсэхийг шалгахын тулд бид үүнийг шалгахыг зөвлөж байна.

Дүгнэж хэлье.

Бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, түүнийг олох гурван аргыг авч үзсэн.

Урвуу матрицын аргыг ашиглан шийдлийн жишээ

Дасгал 1.Урвуу матрицын аргыг ашиглан SLAE-г шийднэ. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Маягтын эхлэл

Маягтын төгсгөл

Шийдэл. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье: Вектор В: B T = (1,2,3,4) Үндсэн тодорхойлогч Бага (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Бага (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Бага (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Бага (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Минорын тодорхойлогч ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Хөрвүүлсэн матрицАлгебрийн нэмэгдлүүд ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5) 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3) 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Урвуу матриц Үр дүнгийн вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

бас үзнэ үү урвуу матрицын аргыг ашиглан SLAE-ийн шийдлүүдонлайн. Үүнийг хийхийн тулд мэдээллээ оруулаад дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдлийг хүлээн авна уу.

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матриц ашиглан шийд. Үүссэн шийдлийг шалгана уу. Шийдэл:xml:xls

Жишээ 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матрицаар шийд. Шийдэл:xml:xls

Жишээ. Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Шаардлагатай: 1) ашиглан түүний шийдлийг олох Крамерын томъёо; 2) системийг матриц хэлбэрээр бичиж, матрицын тооцоолол ашиглан шийднэ. Удирдамж. Крамерын аргаар шийдсэний дараа "Анхны өгөгдлийн урвуу матрицын аргаар шийдвэрлэх" товчийг ол. Та тохирох шийдлийг хүлээн авах болно. Ингэснээр та дахин өгөгдлийг бөглөх шаардлагагүй болно. Шийдэл. Үл мэдэгдэх коэффициентийн матрицыг А-аар тэмдэглэе; X - үл мэдэгдэх баганын матриц; B - чөлөөт гишүүдийн матриц багана:

В вектор B: B T =(4,-3,-3) Эдгээр тэмдэглэгээг харгалзан энэ тэгшитгэлийн систем нь дараах матрицын хэлбэрийг авна: A*X = B. Хэрэв А матриц дан биш бол (түүний тодорхойлогч нь тэг биш) , тэгвэл A -1 урвуу матрицтай байна тэгшитгэлийн хоёр талыг А -1-ээр үржүүлбэл: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийн матриц тэмдэглэгээ. Тэгшитгэлийн системийн шийдийг олохын тулд урвуу матриц A -1-ийг тооцоолох шаардлагатай. А матрицын тодорхойлогч тэгээс өөр байвал систем шийдэлтэй болно. Гол тодорхойлогчийг олъё. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Тэгэхээр тодорхойлогч 14 ≠ 0 тул бид шийдлийг үргэлжлүүлэх. Үүний тулд бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтээр олно. Ганц бус А матрицтай болгоё:

Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Шалгалт. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Хариулт: -1,1,2.

Урвуу матрицыг олох- ихэвчлэн хоёр аргаар шийдэгддэг асуудал:

• тодорхойлогчийг олох, матрицыг шилжүүлэх шаардлагатай алгебрийн нэмэлтүүдийн арга;
• арилгах замаар үл мэдэгдэх Гаусс, үүнд матрицын үндсэн хувиргалтыг хийх шаардлагатай (мөр нэмэх, мөрийг ижил тоогоор үржүүлэх гэх мэт).

Ялангуяа сониуч хүмүүсийн хувьд бусад аргууд байдаг, жишээлбэл, шугаман хувиргалтын арга. Энэ хичээлээр бид эдгээр аргуудыг ашиглан урвуу матрицыг олох гурван арга, алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

Урвуу матриц А, ийм матриц гэж нэрлэдэг

А
. (1)

Урвуу матриц , үүнийг өгөгдсөн квадрат матрицын хувьд олох шаардлагатай А, ийм матриц гэж нэрлэдэг

матрицуудын үржвэр Абаруун талд нь таних матриц, i.e.
. (1)

Таних матриц нь бүх диагональ элементүүд нь нэгтэй тэнцүү байх диагональ матриц юм.

Теорем.Ганц бус (мууддаггүй, ганц бие биш) квадрат матриц бүрийн хувьд урвуу матрицыг олох боломжтой бөгөөд зөвхөн нэгийг нь олж болно. Тусгай (муудсан, ганц бие) квадрат матрицын хувьд урвуу матриц байхгүй.

Квадрат матриц гэж нэрлэдэг онцгой биш(эсвэл доройтдоггүй, ганц бус), хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг биш бол ба Онцгой(эсвэл доройтох, ганц бие) хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг байвал.

Матрицын урвуу талыг зөвхөн квадрат матрицад л олж болно. Мэдээжийн хэрэг урвуу матриц нь өгөгдсөн матрицтай ижил дарааллаар дөрвөлжин байх болно. Урвуу матрицыг олж болох матрицыг урвуу матриц гэнэ.

Учир нь урвуу матриц Тооны урвуутай холбогдох зүйрлэл байдаг. Тоо бүрийн хувьд а, тэгтэй тэнцүү биш, ийм тоо байдаг бтэр ажил аТэгээд бнэгтэй тэнцүү: ab= 1. Тоо бтооны урвуу гэж нэрлэдэг б. Жишээлбэл, 7-ын тооны хувьд 7*1/7=1 тул эсрэг тал нь 1/7 байна.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох (холбоотой матриц)

Ганц бус квадрат матрицын хувьд Аурвуу нь матриц юм

матрицын тодорхойлогч хаана байна А, a нь матрицтай холбоотой матриц юм А.

Квадрат матрицтай холбоотой Ань ижил эрэмбийн матриц бөгөөд түүний элементүүд нь А матрицад шилжүүлсэн матрицын тодорхойлогчийн харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд юм.Иймээс хэрэв

Тэр

Тэгээд

Алгебрийн нэмэгдлийн аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Энэ матрицын тодорхойлогчийг ол А. Хэрэв тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол урвуу матрицыг олох нь зогсдог, учир нь матриц нь дан бөгөөд урвуу нь байхгүй.

2. Харьцуулан шилжүүлсэн матрицыг ол А.

3. Нэгдлийн матрицын элементүүдийг 2-р алхамд олдсон марицын алгебрийн нэмэлт болгон тооцоол.

4. Томъёо (2) хэрэглэнэ: матриц тодорхойлогчийн урвуу тоог үржүүлнэ А, 4-р алхамаас олдсон нэгдлийн матриц руу.

5. 4-р алхам дээр олж авсан үр дүнг үржүүлэх замаар шалгана уу энэ матриц Аурвуу матриц руу. Хэрэв эдгээр матрицын үржвэр нь таних матрицтай тэнцүү бол урвуу матриц зөв олдсон байна. Үгүй бол шийдлийн процессыг дахин эхлүүлнэ үү.

Жишээ 1.Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

Шийдэл. Урвуу матрицыг олохын тулд матрицын тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй А. Бид гурвалжны дүрмээр олдог:

Тиймээс матриц А– дан бус (муудсан бус, ганц бие биш) ба үүний урвуу тал бий.

Энэ матрицтай холбоотой матрицыг олъё А.

Матрицтай харьцуулахад шилжүүлсэн матрицыг олъё А:

Бид холбоот матрицын элементүүдийг матрицад шилжүүлсэн матрицын алгебрийн нэмэлтүүд гэж тооцдог. А:

Тиймээс матриц нь матрицтай холбоотой А, хэлбэртэй байна

Сэтгэгдэл.Элементүүдийг тооцоолох, матрицыг шилжүүлэх дараалал өөр байж болно. Та эхлээд матрицын алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолж болно А, дараа нь алгебрийн комплемент матрицыг шилжүүлнэ. Үр дүн нь нэгдлийн матрицын ижил элементүүд байх ёстой.

Томъёо (2) ашиглан бид матрицын урвуу матрицыг олно А:

Гауссын үл мэдэгдэх арилгах аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох

Гауссын арилгах аргыг ашиглан матрицын урвуу утгыг олох эхний алхам бол матрицад оноох явдал юм. Аижил эрэмбийн таних матриц, тэдгээрийг босоо зураасаар тусгаарлана. Бид давхар матриц авах болно. Энэ матрицын хоёр талыг үржүүлье, тэгвэл бид гарна

,

Гауссын үл мэдэгдэх арилгах аргыг ашиглан урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Матриц руу Аижил эрэмбийн таних матрицыг оноох.

2. Үүссэн давхар матрицыг хувиргаснаар зүүн талд нь нэгж матриц, дараа нь баруун талд нь таних матрицын оронд автоматаар урвуу матриц гарч ирнэ. Матриц Азүүн талд нь энгийн матрицын хувиргалтаар таних матриц болж хувирдаг.

2. Хэрэв матрицыг хувиргах явцад Атаних матрицад аль ч мөрөнд эсвэл аль ч баганад зөвхөн тэг байх болно, дараа нь матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ба улмаар матриц Ань ганц бие байх ба урвуу матрицгүй. Энэ тохиолдолд урвуу матрицыг цаашид тодорхойлох нь зогсдог.

Жишээ 2.Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

мөн бид үүнийг хувиргаж, зүүн талд нь таних матрицыг авах болно. Бид өөрчлөлтийг эхлүүлнэ.

Зүүн ба баруун матрицын эхний мөрийг (-3) үржүүлээд хоёр дахь эгнээнд нэмээд дараа нь эхний мөрийг (-4) үржүүлээд гурав дахь эгнээнд нэмнэ.

.

Тиймээс боломжтой бол байхгүй бутархай тоодараагийн хувиргалтуудын үед бид эхлээд давхар матрицын зүүн талд хоёр дахь эгнээнд нэгжийг үүсгэнэ. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, түүнээс гурав дахь мөрийг хасвал бид авна

.

Эхний мөрийг хоёр дахь мөртэй нь нэмээд дараа нь хоёр дахь мөрийг (-9)-оор үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмье. Дараа нь бид авна

.

Гурав дахь мөрийг 8-д хуваа

.

Гурав дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Энэ нь харагдаж байна:

.

Хоёр ба гурав дахь мөрүүдийг сольж, эцэст нь бид дараах зүйлийг авна.

.

Зүүн талд нь таних матриц байгаа тул баруун талд урвуу матриц байгааг бид харж байна. Тиймээс:

.

Та анхны матрицыг олсон урвуу матрицаар үржүүлэх замаар тооцооллын зөв эсэхийг шалгаж болно.

Үр дүн нь урвуу матриц байх ёстой.

Жишээ 3.Матрицын хувьд

урвуу матрицыг ол.

Шийдэл. Хос матрицыг эмхэтгэх

мөн бид үүнийг өөрчлөх болно.

Бид эхний мөрийг 3-аар, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрийг хасаад дараа нь эхний мөрийг 5-аар, гурав дахь мөрийг 2-оор үржүүлж, гурав дахь мөрийг хасаад дараа нь бид авна.

.

Бид эхний мөрийг 2-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмээд гурав дахь мөрөөс хоёр дахь мөрийг хасаад дараа нь бид гарна.

.

Зүүн талын гурав дахь мөрөнд бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байгааг бид харж байна. Тиймээс матриц нь ганц бие бөгөөд урвуу матрицгүй. Бид урвуу марицыг цаашид олохоо больсон.

Матриц алгебр - Урвуу матриц

урвуу матриц

Урвуу матрицнь өгөгдсөн матрицаар баруун болон зүүн талд үржүүлснээр таних матрицыг өгдөг матриц юм.
Матрицын урвуу матрицыг тэмдэглэе А-ээр дамжин, дараа нь тодорхойлолтын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

Хаана Э- таних матриц.
Квадрат матрицдуудсан онцгой биш (доройтдоггүй) хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг биш бол. Үгүй бол үүнийг дууддаг Онцгой (доройтох) эсвэл ганц бие.

Теорем нь: Ганц бус матриц бүр урвуу матрицтай байдаг.

Урвуу матрицыг олох үйлдлийг гэнэ давж заалдахматрицууд. Матрицын урвуу алгоритмыг авч үзье. Ганц бус матрицыг өгье n--р захиалга:

Энд Δ = det А ≠ 0.

Элементийн алгебрийн нэмэлтматрицууд n--р захиалга Атодорхой тэмдгээр авсан матрицын тодорхойлогч гэж нэрлэдэг ( n–1) устгаснаар олж авсан дараалал би-р мөр ба jматрицын багана А:

гэж нэрлэгддэг зүйлийг бий болгоцгооё хавсаргасанматриц:

матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд хаана байна А.
Матрицын эгнээний элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлүүд гэдгийг анхаарна уу Аматрицын харгалзах баганад байрлуулна Ã , өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгэн зэрэг шилжүүлдэг.
Матрицын бүх элементүүдийг хуваах замаар Ã Δ-ээр – матриц тодорхойлогчийн утга А, бид урвуу матрицыг олж авна:

Мөрийг тэмдэглэе онцгой шинж чанаруудурвуу матриц:
1) өгөгдсөн матрицын хувьд Атүүний урвуу матриц цорын ганц;
2) урвуу матриц байгаа бол баруун урвууТэгээд зүүн урвууматрицууд үүнтэй давхцдаг;
3) тусгай (ганц) квадрат матрицад урвуу матриц байхгүй.

Урвуу матрицын үндсэн шинж чанарууд:
1) урвуу матрицын тодорхойлогч ба анхны матрицын тодорхойлогч нь харилцан хамааралтай;
2) квадрат матрицын үржвэрийн урвуу матриц нь урвуу дарааллаар авсан хүчин зүйлийн урвуу матрицын үржвэртэй тэнцүү байна.

3) шилжүүлсэн урвуу матриц нь өгөгдсөн шилжүүлсэн матрицын урвуу матрицтай тэнцүү байна:

ЖИШЭЭ Өгөгдсөн матрицын урвуу утгыг тооцоол.