Урвуу матриц ба түүнийг олох арга. Урвуу матрицыг онлайнаар олох

2х2 матриц бүрийн тодорхойлолтыг ол.Аливаа матрицын элемент бүр, түүний дотор шилжүүлэн суулгасан нь харгалзах 2х2 матрицтай холбоотой байдаг. Тодорхой элементтэй тохирох 2х2 матрицыг олохын тулд энэ элемент байрладаг мөр, баганыг хайчилж, өөрөөр хэлбэл та анхны 3х3 матрицын таван элементийг хасах хэрэгтэй. Харгалзах 2х2 матрицын элементүүд болох дөрвөн элементийг хөндлөн зураагүй хэвээр үлдээнэ.

• Жишээлбэл, хоёр дахь мөр ба эхний баганын огтлолцол дээр байрлах элементийн 2х2 матрицыг олохын тулд хоёр дахь мөр ба эхний баганад байгаа таван элементийг хөндлөн зур. Үлдсэн дөрвөн элемент нь харгалзах 2х2 матрицын элементүүд юм.
• 2х2 матриц бүрийн тодорхойлогчийг ол. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хоёрдогч диагональ элементүүдийн үржвэрийг хасна (зураг харна уу).
• 3х3 матрицын тодорхой элементүүдэд тохирох 2х2 матрицын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг интернетээс олж болно.

Кофакторын матрицыг үүсгэ.Өмнө нь олж авсан үр дүнг кофакторын шинэ матриц хэлбэрээр тэмдэглэ. Үүнийг хийхийн тулд 3х3 матрицын харгалзах элемент байрлаж байсан 2х2 матриц бүрийн олсон тодорхойлогчийг бичнэ. Жишээлбэл, (1,1) элементийн хувьд 2х2 матрицыг авч үзвэл түүний тодорхойлогчийг (1,1) байрлалд бичнэ үү. Дараа нь дагуу харгалзах элементүүдийн тэмдгүүдийг өөрчил тодорхой схемЭнэ нь зураг дээр харагдаж байна.

• Тэмдгийг өөрчлөх схем: эхний мөрний эхний элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй; эхний мөрний хоёр дахь элементийн тэмдэг урвуу; эхний мөрийн гурав дахь элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэх мэт мөр мөрөөр. Диаграммд үзүүлсэн "+" ба "-" тэмдгүүд нь (зураг харна уу) харгалзах элемент эерэг эсвэл сөрөг байх болно гэдгийг заагаагүй болохыг анхаарна уу. IN Энэ тохиолдолд"+" тэмдэг нь элементийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, "-" тэмдэг нь элементийн тэмдэг өөрчлөгдсөнийг заана.
• Кофактор матрицын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг интернетээс олж болно.
• Анхны матрицын холбогдох матрицыг ингэж олно. Үүнийг заримдаа комплекс коньюгат матриц гэж нэрлэдэг. Ийм матрицыг adj(M) гэж тэмдэглэнэ.

Хавсарсан матрицын элемент бүрийг тодорхойлогчоор хуваана.Урвуу матриц байгаа эсэхийг шалгахын тулд хамгийн эхэнд M матрицын тодорхойлогчийг тооцоолсон. Одоо хавсарсан матрицын элемент бүрийг энэ тодорхойлогчоор хуваа. Харгалзах элемент байрлах хуваах үйл ажиллагааны үр дүнг тэмдэглэ. Тиймээс та эхийн урвуу матрицыг олох болно.

• Зурагт үзүүлсэн матрицын тодорхойлогч нь 1. Тиймээс энд холбогдох матриц нь урвуу матриц юм (учир нь дурын тоог 1-д хуваахад өөрчлөгдөхгүй).
• Зарим эх сурвалжид хуваах үйлдлийг 1/det(M)-ээр үржүүлэх үйлдлээр сольсон байдаг. Энэ тохиолдолд эцсийн үр дүн өөрчлөгдөхгүй.

Урвуу матрицыг бич.Том матрицын баруун тал дээр байрлах элементүүдийг урвуу матриц болох тусдаа матриц хэлбэрээр бич.

Тооцоологчийн санах ойд анхны матрицыг оруулна уу.Үүнийг хийхийн тулд хэрэв боломжтой бол Матриц товчийг дарна уу. Texas Instruments-ийн тооцоолуурын хувьд та 2-р болон Матриц товчийг дарах хэрэгтэй.

Засварлах цэсийг сонгоно уу.Үүнийг сумны товчлуурууд эсвэл тооцоолуурын гарны дээд хэсэгт байрлах харгалзах функцийн товчлуурыг ашиглан гүйцэтгэнэ (товчны байршил нь тооцоолуурын загвараас хамаарна).

Матрицын тэмдэглэгээг оруулна уу.Ихэнх график тооцоолуур 3-10 матрицтай ажиллах боломжтой бөгөөд үүнийг тэмдэглэж болно A-J үсэг. Дүрмээр бол анхны матрицыг тэмдэглэхийн тулд [A]-г сонгоход л хангалттай. Дараа нь Enter товчийг дарна уу.

Матрицын хэмжээг оруулна уу.Энэ нийтлэлд 3х3 матрицын тухай өгүүлнэ. Гэхдээ график тооцоолуур матрицтай ажиллах боломжтой том хэмжээтэй. Мөрийн тоог оруулаад Enter товчийг дараад баганын тоог оруулаад Enter товчийг дахин дарна уу.

Матрицын элемент бүрийг оруулна уу.Тооны машины дэлгэц дээр матриц гарч ирнэ. Хэрэв өмнө нь тооны машинд матриц оруулсан бол дэлгэцэн дээр гарч ирнэ. Курсор нь матрицын эхний элементийг тодруулах болно. Эхний элементийн утгыг оруулаад Enter дарна уу. Курсор автоматаар матрицын дараагийн элемент рүү шилжинэ.

Аливаа ганц бус матрицын хувьд А -1 гэсэн өвөрмөц матриц байдаг

A*A -1 =A -1 *A = E,

E хаана байна таних матриц A-тай ижил эрэмбүүд. A -1 матрицыг А матрицын урвуу гэж нэрлэдэг.

Хэрэв хэн нэгэн хүн мартсан бол таних матрицын диагональ нь нэгээр дүүрсэнээс бусад бүх байрлалыг тэгээр дүүргэсэн байх бөгөөд энэ нь таних матрицын жишээ юм.

Зэргэлдээ матрицын аргаар урвуу матрицыг олох

Урвуу матрицыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Энд A ij - элементүүд a ij .

Тэдгээр. Матрицын урвуу утгыг тооцоолохын тулд та энэ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Дараа нь түүний бүх элементүүдийн алгебрийн нэмэгдлийг олж, тэдгээрээс шинэ матриц үүсгэ. Дараа нь та энэ матрицыг зөөвөрлөх хэрэгтэй. Мөн шинэ матрицын элемент бүрийг анхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана.

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Матрицын хувьд A -1-ийг ол

Шийдэл.А -1-ийг хавсаргасан матрицын аргаар ол. Бидэнд det A = 2 байна. А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё. Энэ тохиолдолд матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүд нь матрицын өөрийн харгалзах элементүүд байх болно. томъёо

Бидэнд A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2 байна. Бид хавсарсан матрицыг үүсгэдэг.

Бид A* матрицыг зөөвөрлөнө:

Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.

Бид авах:

Хэрэв A -1 байвал хавсаргасан матрицын аргыг ашиглана уу

Шийдэл.Юуны өмнө бид урвуу матриц байгаа эсэхийг шалгахын тулд өгөгдсөн матрицыг тооцоолно. Бидэнд байгаа

Энд бид хоёр дахь эгнээний элементүүдэд өмнө нь (-1) үржүүлсэн гурав дахь эгнээний элементүүдийг нэмж, дараа нь тодорхойлогчийг хоёр дахь эгнээгээр өргөтгөсөн. Энэ матрицын тодорхойлолт нь тэгээс ялгаатай тул түүний урвуу матриц байдаг. Хавсарсан матрицыг бүтээхийн тулд бид энэ матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олдог. Бидэнд байгаа

Томъёоны дагуу

Бид A* матрицыг зөөв:

Дараа нь томъёоны дагуу

Эсрэг хувиргалтын аргаар урвуу матрицыг олох

Томьёоны дагуу урвуу матрицыг олох аргаас (холбогдох матрицын арга) гадна урвуу матрицыг олох арга байдаг бөгөөд үүнийг элементар хувиргалтын арга гэж нэрлэдэг.

Элементар матрицын хувиргалт

Дараахь хувиргалтыг энгийн матрицын хувиргалт гэж нэрлэдэг.

1) мөр (багана) солих;

2) мөрийг (багана) тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) өмнө нь тодорхой тоогоор үржүүлсэн өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг эгнээний (баганын) элементүүдэд нэмэх.

A -1 матрицыг олохын тулд бид тэгш өнцөгт B \u003d (A | E) матрицыг (n; 2n) байгуулж, баруун талд байгаа А матрицад Е таних матрицыг хуваах шугамаар хуваарилна.

Жишээ авч үзье.

Анхан шатны хувиргалтын аргыг ашиглан A -1 бол ол

Шийдэл Бид В матрицыг үүсгэнэ:

B матрицын α 1 , α 2 , α 3 хүртэлх мөрүүдийг тэмдэглэ. Б матрицын мөрөнд дараах хувиргалтыг хийцгээе.

Урвуу матрицыг олох.

Энэ нийтлэлд бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх болно. Өгөгдсөн нэгэнд урвуу матриц байгуулах шаардлагатай жишээнүүдийг шийдвэрлэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг олох.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Гаусс-Жорданы аргаар урвуу матрицыг олох.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдвэрлэх замаар урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Урвуу матриц - тодорхойлолт.

Урвуу матрицын тухай ойлголтыг зөвхөн тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай квадрат матрицуудад, өөрөөр хэлбэл ганц биш квадрат матрицуудад нэвтрүүлсэн.

Тодорхойлолт.

Матрицматрицын урвуу гэж нэрлэдэг, хэрэв тэгш байдал үнэн бол тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай , Хаана Энь эрэмбийн таних матриц юм nдээр n.

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг олох.

Өгөгдсөн нэгний урвуу матрицыг хэрхэн олох вэ?

Нэгдүгээрт, бидэнд ойлголт хэрэгтэй шилжүүлсэн матриц, матрицын минор, матрицын элементийн алгебрийн нэмэлт.

Тодорхойлолт.

Багак-р захиалгаматрицууд Азахиалга мдээр nдарааллын матрицын тодорхойлогч юм кдээр к, матрицын элементүүдээс гаргаж авсан Асонгосон хэсэгт байрладаг кшугам ба кбаганууд. ( кхамгийн бага тооноос хэтрэхгүй мэсвэл n).

Бага (n-1)-рбусад бүх эгнээний элементүүдээс бүрдэх дараалал i-р, бусад бүх багана j-th, квадрат матриц Азахиалга nдээр nгэж тэмдэглэе.

Өөрөөр хэлбэл, дөрвөлжин матрицаас минорыг авна Азахиалга nдээр nэлементүүдийг таслах i-ршугам ба j-thбагана.

Жишээ нь, жаахан бичье 2 дахьматрицаас олж авсан дараалал түүний хоёр, гурав дахь мөр, эхний, гурав дахь баганын элементүүдийг сонгох . Бид мөн матрицаас олж авсан минорыг харуулж байна хоёр дахь мөр, гурав дахь баганыг устгах . Эдгээр насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээн байгуулалтыг үзүүлье: ба .

Тодорхойлолт.

Алгебрийн нэмэлтквадрат матрицын элементийг минор гэж нэрлэдэг (n-1)-рматрицаас олж авсан дараалал А, түүний элементүүдийг устгах i-ршугам ба j-thбагана -аар үржүүлсэн.

Элементийн алгебрийн нэмэлтийг гэж тэмдэглэнэ. Тиймээс, .

Жишээлбэл, матрицын хувьд элементийн алгебрийн нэмэлт нь .

Хоёрдугаарт, энэ хэсэгт авч үзсэн тодорхойлогчийн хоёр шинж чанар бидэнд хэрэгтэй болно матриц тодорхойлогчийн тооцоо:

Тодорхойлогчийн эдгээр шинж чанарууд дээр үндэслэн тодорхойлолтууд матрицыг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдба урвуу матрицын тухай ойлголт, бид тэгш эрхтэй , элементүүд нь алгебрийн нэмэлтүүд болох шилжүүлсэн матриц хаана байна.

Матриц Энэ нь үнэхээр матрицын урвуу юм А, тэгшитгэлээс хойш . Үүнийг үзүүлье

Зохиоцгооё урвуу матрицын алгоритмтэгш байдлыг ашиглан .

Жишээн дээр урвуу матрицыг олох алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоол А, үүнийг гурав дахь баганын элементүүдээр өргөжүүлэх:

Тодорхойлогч нь тэг биш тул матриц Абуцаах боломжтой.

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицыг олъё:

Тийм ч учраас

Алгебрийн нэмэлтүүдээс матрицын шилжүүлгийг хийцгээе.

Одоо бид урвуу матрицыг олно :

Үр дүнг шалгая:

Тэгш байдал биелэгдсэн тул урвуу матриц зөв олддог.

Урвуу матрицын шинж чанарууд.

Урвуу матрицын тухай ойлголт, тэгш байдал , матриц дээрх үйлдлүүдийн тодорхойлолт, матрицын тодорхойлогчийн шинж чанарууд нь дараахь зүйлийг батлах боломжийг олгодог. урвуу матрицын шинж чанарууд:

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн харгалзах системийг шийдвэрлэх замаар урвуу матрицын элементүүдийг олох.

Квадрат матрицын урвуу матрицыг олох өөр аргыг авч үзье Азахиалга nдээр n.

Энэ арга нь шийдэл дээр суурилдаг n-тэй шугаман нэг төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн системүүд nүл мэдэгдэх. Эдгээр тэгшитгэлийн систем дэх үл мэдэгдэх хувьсагч нь урвуу матрицын элементүүд юм.

Санаа нь маш энгийн. Урвуу матрицыг гэж тэмдэглэ X, тэр бол, . Учир нь урвуу матрицын тодорхойлолтоор , тэгвэл

Харгалзах элементүүдийг баганаар тэгшитгэснээр бид олж авна nшугаман тэгшитгэлийн системүүд

Бид тэдгээрийг ямар ч аргаар шийдэж, олсон утгуудаас урвуу матриц үүсгэдэг.

Энэ аргыг жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Матриц өгөгдсөн . Урвуу матрицыг ол.

Шийдэл.

Зөвшөөрөх . Тэгш байдал нь шугаман нэгэн төрлийн бус алгебрийн тэгшитгэлийн гурван системийг өгдөг.

Бид эдгээр системийн шийдлийг тайлбарлахгүй, шаардлагатай бол хэсгийг үзнэ үү шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл.

Эхний тэгшитгэлийн системээс бид хоёр дахь системээс - , гурав дахь системээс - . Тиймээс хүссэн урвуу матриц нь хэлбэртэй байна . Үр дүн нь зөв эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна.

Дүгнэж хэлье.

Бид урвуу матрицын тухай ойлголт, түүний шинж чанар, түүнийг олох гурван аргыг авч үзсэн.

Урвуу матрицын шийдлийн жишээ

Дасгал 1.Урвуу матрицын аргыг ашиглан SLAE-г шийднэ. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Маягтын эхлэл

Маягтын төгсгөл

Шийдэл. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье: Вектор В: B T = (1,2,3,4) (1,1) гол тодорхойлогч Бага: = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Бага (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Бага (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Бага (4,1): = 3 (3 2-) 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Бага тодорхойлогч ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Хөрвүүлсэн матрицАлгебрийн нэмэлтүүд ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7) 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3) 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3) 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4) )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5) 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Урвуу матриц Үр дүн вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

бас үзнэ үү Урвуу матрицын аргаар SLAE шийдлүүдонлайн. Үүнийг хийхийн тулд мэдээллээ оруулаад дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдвэрээ аваарай.

Даалгавар 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матриц ашиглан шийд. Хүлээн авсан уусмалыг шалгана уу. Шийдэл:xml:xls

Жишээ 2. Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матрицаар шийд. Шийдэл:xml:xls

Жишээ. Гурван үл мэдэгдэх гурван шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Шаардлагатай: 1) ашиглан түүний шийдлийг олох Крамерын томъёо; 2) системийг матриц хэлбэрээр бичиж, матрицын тооцоолол ашиглан шийднэ. Удирдамж. Крамерын аргаар шийдсэний дараа "Анхны өгөгдлийн урвуу матрицын шийдэл" товчийг ол. Та зохих шийдвэрийг хүлээн авах болно. Тиймээс өгөгдлийг дахин бөглөх шаардлагагүй болно. Шийдэл. А-аар тэмдэглэнэ - үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц; X - үл мэдэгдэх баганын матриц; B - чөлөөт гишүүдийн матриц багана:

В вектор В: B T =(4,-3,-3) Эдгээр тэмдэглэгээг авч үзвэл энэ тэгшитгэлийн систем нь дараах матрицын хэлбэрийг авна: А*Х = B. Хэрэв А матриц нь дан биш (түүний тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай) урвуу матриц А -1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг A -1-ээр үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Энэ тэгшитгэлийг гэнэ. шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийн матриц тэмдэглэгээ. Тэгшитгэлийн системийн шийдийг олохын тулд урвуу матриц A -1-ийг тооцоолох шаардлагатай. А матрицын тодорхойлогч нь тэг биш байвал систем шийдэлтэй болно. Гол тодорхойлогчийг олъё. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Тэгэхээр тодорхойлогч нь 14 ≠ 0, Тиймээс бид шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Үүний тулд бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтээр олно. Ганц бус А матрицтай байя:

Бид алгебрийн нэмэлтийг тооцоолно.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Шалгалт. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Хариулт: -1,1,2.

$A^(-1)$ матрицыг харгалзах урвуу гэж нэрлэдэг квадрат матрицХэрэв $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ нөхцөл хангагдсан бол $A$, $E$ нь эрэмбэ дараалалтай тэнцүү байх таних матриц юм. $A$ матрицын.

Ганц бус матриц гэдэг нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш матриц юм. Үүний дагуу доройтсон матриц нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байдаг.

Урвуу матриц $A^(-1)$ нь зөвхөн $A$ матриц нь ганц тоо биш тохиолдолд л оршино. Хэрэв урвуу матриц $A^(-1)$ байгаа бол энэ нь өвөрмөц байна.

Матрицын урвуу утгыг олох хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд бид хоёрыг нь авч үзэх болно. Энэ хуудсанд ихэнх дээд математикийн хичээлүүдэд стандарт гэж тооцогддог нэмэлт матрицын аргыг хэлэлцэх болно. Гауссын арга эсвэл Гаусс-Жорданы аргыг ашиглах урвуу матрицыг (элемент хувиргалт хийх арга) олох хоёр дахь аргыг хоёрдугаар хэсэгт авч үзнэ.

Хамтарсан (нэгдмэл) матрицын арга

$A_(n\times n)$ матрицыг өгье. $A^(-1)$ урвуу матрицыг олохын тулд гурван алхам хийх шаардлагатай:

1. $A$ матрицын тодорхойлогчийг олоод $\Delta A\neq 0$, i.e. А матриц нь доройтдоггүй.
2. $A$ матрицын элемент бүрийн $A_(ij)$ алгебрийн нэмэлтүүдийг зохиож, олдсоноос $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ матрицыг бичнэ үү. алгебрийн нэмэлтүүд.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог харгалзан урвуу матрицыг бич.

$(A^(*))^T$ матрицыг ихэвчлэн $A$-ийн хавсарсан (харилцан, холбоот) матриц гэж нэрлэдэг.

Хэрэв шийдвэрийг гараар хийсэн бол эхний арга нь зөвхөн харьцангуй бага эрэмбийн матрицуудад тохиромжтой: хоёр дахь (), гурав дахь (), дөрөв дэх (). Матрицын урвуу утгыг олох илүү өндөр дараалал, бусад аргуудыг ашигладаг. Жишээлбэл, хоёр дахь хэсэгт авч үзсэн Гауссын арга.

Жишээ №1

$A=\left(\begin(массив) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 матрицын урвуу матрицыг ол. & -9 & 0 \end(массив) \right)$.

Дөрөв дэх баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү тул $\Delta A=0$ (өөрөөр хэлбэл $A$ матриц доройтсон) болно. $\Delta A=0$ тул $A$-тай урвуу матриц байхгүй.

Жишээ №2

$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ матрицын урвуу матрицыг ол.

Бид нэмэлт матрицын аргыг ашигладаг. Эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг олъё:

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(массив)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Алгебрийн нэмэлтүүдийг олох

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Алгебрийн нэмэлтүүдийн матриц зохио: $A^(*)=\left(\begin(массив) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(массив)\баруун)$.

Гарсан матрицыг шилжүүл: $(A^(*))^T=\left(\begin(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(массив)\right)$ (үр дүн матрицыг ихэвчлэн $A$ матрицтай хавсарсан эсвэл нэгдэх матриц гэж нэрлэдэг). $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\эхлэх(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \төгсгөл(массив)\баруун) =\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс урвуу матриц олддог: $A^(-1)=\left(\begin(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(массив) \right) $. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A^(-1)\cdot A=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 хэлбэрээр орлуулах болно. & 5/103 \ end(array)\right)$ гэхдээ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ төгсгөл(массив)\баруун)$:

Хариулт: $A^(-1)=\left(\эхлэх(массив) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \төгсгөл(массив)\баруун)$.

Жишээ №3

$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \right)$ матрицын урвууг ол.

$A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолж эхэлцгээе. Тэгэхээр $A$ матрицын тодорхойлогч нь:

$$ \Дельта А=\зүүн| \begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(массив) \баруун| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ тул урвуу матриц байгаа тул шийдлийг үргэлжлүүлнэ. Өгөгдсөн матрицын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтүүдийг олно.

Бид алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг бүрдүүлж, шилжүүлнэ:

$$ A^*=\left(\begin(массив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(массив) \баруун); \; (A^*)^T=\left(\эхлэх(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ төгсгөл(массив) \баруун) $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ томьёог ашиглан бид дараахийг авна:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)= \зүүн(\эхлэх(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \төгсгөл(массив) \баруун) $$

Тэгэхээр $A^(-1)=\left(\begin(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$. Үр дүнгийн үнэнийг шалгахын тулд $A^(-1)\cdot A=E$ эсвэл $A\cdot A^(-1)=E$ гэсэн тэгшитгэлүүдийн аль нэгийн үнэнийг шалгахад хангалттай. $A\cdot A^(-1)=E$ тэгш байдлыг шалгая. Бутархайтай бага ажиллахын тулд бид $A^(-1)$ матрицыг $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ хэлбэрээр орлуулах болно. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \баруун)$, гэхдээ $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(массив) \баруун)$:

Шалгалт амжилттай давж, урвуу матриц $A^(-1)$ зөв олдсон.

Хариулт: $A^(-1)=\left(\begin(массив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(массив) \right)$.

Жишээ №4

$A=\left(\begin(массив) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8-ийн урвуу матрицыг ол. & -8 & -3 \end(массив) \right)$.

Дөрөвдүгээр эрэмбийн матрицын хувьд алгебрийн нэмэлтийг ашиглан урвуу матрицыг олох нь зарим талаараа хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч ийм жишээнүүд хяналтын ажилуулзах.

Урвуу матрицыг олохын тулд эхлээд $A$ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ нөхцөлд үүнийг хийх хамгийн сайн арга бол тодорхойлогчийг эгнээнд (багана) өргөжүүлэх явдал юм. Бид дурын мөр, баганыг сонгож, сонгосон мөр, баганын элемент бүрийн алгебрийн нэмэлтийг олдог.