2-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл. Хоёр дахь ба түүнээс дээш эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман DE. Шийдлийн жишээ

Энэ нийтлэл нь шугаман нэг төрлийн бус асуудлыг шийдэх асуултыг илчлэх болно дифференциал тэгшитгэлхоёр дахь захиалга тогтмол коэффициентүүд. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Үл ойлгогдох нэр томъёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын сэдвийг судлах шаардлагатай.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо бөгөөд одоо байгаа f (x) функц нь x интегралын интервал дээр тасралтгүй .

LIDE-ийн ерөнхий шийдийн теоремын томъёололд шилжье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем

Теорем 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) y = f (x) x интервал дээр тасралтгүй интеграцийн коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь LODE ба зарим нэг тодорхой y ~ шийдэлтэй тохирох y 0 ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд анхны шийдэл нь тохирохгүй байна. нэгэн төрлийн тэгшитгэлнь y = y 0 + y ~ .

Үүнээс үзэхэд ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүлэлд авч үзсэн болно. Үүний дараа y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.

LIDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүнийг хийхийн тулд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэхэд f (x) = P n (x) , LIDE-ийн тодорхой шийдийг y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёогоор олно. ) x γ , энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~-ийн утга нь тодорхой шийдэл юм y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x) , бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.

Жишээ 1

Коши теоремыг ашиглан y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 гэж тооцоол.

Шийдэл

Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) = нөхцөлийг хангана. 2 , y " (0) = 1 4 .

Шугаман шугамын ерөнхий шийдэл нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл y 0 тэгшитгэл эсвэл нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр y = y 0 + y ~ .

Эхлээд LNDE-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олъё.

y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог

k 2 - 2 к \u003d 0 к (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бид бичдэг

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ ийг олцгооё. Энэ нь ойлгомжтой баруун хэсэг өгөгдсөн тэгшитгэлхоёр дахь зэрэгтэй олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно гэдгийг олж мэднэ

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, энд A, B, C-ийн утгууд байна тодорхойгүй коэффициентүүдийг авна.

Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.

Дараа нь бид үүнийг олж авна:

y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ижил илтгэгчтэй коэффициентийг тэгшитгэвэл бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ бид коэффициентүүдийг олоод бичнэ: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ба у ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

y (0) = 2 , y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C1болон C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгш байдалд үндэслэн.

Бид үүнийг олж авдаг:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.

Коши теоремыг ашиглавал бидэнд ийм зүйл бий

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба f (x) = P n (x) e a x илтгэгчийн үржвэр хэлбэрээр дүрсэлсэн тохиолдолд эндээс бид хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн тодорхой шийдийг олж авна. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.

Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.

Жишээ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Тэгшитгэл ерөнхий үзэл y = y 0 + y ~ . Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь k1 = 0ба шинж чанарын тэгшитгэлийн дагуу k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.

Энэ нь ойлгомжтой баруун талтэгшитгэлийн x 2 + 1 · e x . Эндээс LNDE-ийг y ~ = e a x Q n (x) x γ -ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) , энэ нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл нь биш юм. 1-тэй тэнцүү үндэстэй байна. Тиймээс бид үүнийг олж авдаг

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд бөгөөд y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олно.

Ойлголоо

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Бид ижил коэффициентүүдийн үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C-г олно:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Хариулт: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 нь LIDE-ийн тодорхой шийдэл бөгөөд y = y 0 + y = гэдгийг харж болно. C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1болон ДАХЬ 1тоонууд бол y ~ = A cos β x + B sin β x x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд A ба B нь тодорхой бус коэффициент гэж тооцогддог ба r шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат язгуурын тоо, тэнцүү байна. ± i β. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр гүйцэтгэнэ.

Жишээ 3

y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Онцлог тэгшитгэлийн язгуурыг хосолсон хос гэж үзнэ ± 2 i , дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх А ба В коэффициентийг y ~ "" + 4 у ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс хайх болно.

Өөрчилье:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Дараа нь энэ нь харагдаж байна

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.

Хариулт:тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн анхны LIDE-ийн ерөнхий шийдэл гэж үзнэ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) болно. ) cos (β x) x γ Бидэнд r нь α ± i β-тэй тэнцүү, α ± i β-тэй тэнцүү, онцлог тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл нийлмэл хос язгууруудын тоо, P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ба N м (x) n, k, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох L м (x)болон N м (x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн үйлдвэрлэгддэг.

Жишээ 4

y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Энэ нь нөхцөл байдлаас тодорхой харагдаж байна

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тэгвэл m = m a x (n , k) = 1 байна. Бид эхлээд маягтын шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициент, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс эдгээр коэффициентийг олно.

y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))

Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5) x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Бүх зүйлээс ийм зүйл гарч байна

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)нүгэл (5х))

Хариулт:Одоо өгөгдсөн ерөнхий шийдэл шугаман тэгшитгэл:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм

Тодорхойлолт 1

Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг өгдөг:

• харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1болон y2Эдгээр нь LODE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. 1-ээсболон 2-оосдурын тогтмол гэж үздэг;
• LIDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон хүлээн зөвшөөрөх y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) хэлбэрийн системээр дамжуулан функцийн деривативын тодорхойлолт ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба C 2 (x) интегралаар дамжуулан.

Жишээ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x -ийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Бид өмнө нь y 0 , y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж байна. Бичиж, шийдье:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бичлэг нь y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) хэлбэртэй байна. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)болон C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 нүгэл (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1 "(x)болон C2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:

C 1 "(x) \u003d - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x нүгэл (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 гэм (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)

Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6х)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Физикийн зарим асуудалд процессыг тодорхойлсон хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шууд холбоо тогтоох боломжгүй байдаг. Гэхдээ судалж буй функцүүдийн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Ингэж дифференциал тэгшитгэл үүсч, үл мэдэгдэх функцийг олохын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог.

Энэ нийтлэл нь үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчийн функц болох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудалтай тулгарсан хүмүүст зориулагдсан болно. Онол нь дифференциал тэгшитгэлийн талаар тэг ойлголттой бол та ажлаа хийх боломжтой байхаар бүтээгдсэн.

Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл бүр нь ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан тайлбар, шийдэл бүхий шийдлийн аргатай холбоотой байдаг. Та асуудлынхаа дифференциал тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлж, ижил төстэй дүн шинжилгээ хийсэн жишээг олж, ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.

Дифференциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд эсрэг деривативуудын багцыг олох чадвар хэрэгтэй болно ( тодорхойгүй интегралууд) янз бүрийн функцтэй. Шаардлагатай бол энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Эхлээд деривативын хувьд шийдэж болох нэгдүгээр зэрэглэлийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзээд дараа нь хоёр дахь эрэмбийн ODE-д шилжиж, дараа нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлүүд дээр анхаарлаа хандуулж, дифференциал тэгшитгэлийн системээр дуусгана.

Хэрэв y нь х аргументын функц бол гэдгийг санаарай.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Хэлбэрийн эхний эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүд.

Ийм DE-ийн хэд хэдэн жишээг бичье .

Дифференциал тэгшитгэл тэгш байдлын хоёр талыг f(x) -д хуваах замаар деривативын талаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд бид тэгшитгэлд хүрнэ, энэ нь f(x) ≠ 0-ийн анхныхтай тэнцүү байх болно. Ийм ODE-ийн жишээнүүд нь .

Хэрэв f(x) ба g(x) функцууд нэгэн зэрэг алга болох х аргументийн утгууд байвал нэмэлт шийдлүүд гарч ирнэ. Нэмэлт шийдэлтэгшитгэл өгөгдсөн x нь тэдгээр аргументын утгуудад тодорхойлогдсон аливаа функцууд юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн жишээ нь .

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл.

Тогтмол коэффициент бүхий LODE бол дифференциал тэгшитгэлийн маш түгээмэл төрөл юм. Тэдний шийдэл нь тийм ч хэцүү биш юм. Нэгдүгээрт, шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олно . Өөр өөр p ба q-ийн хувьд гурван тохиолдол боломжтой: шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба өөр, бодит ба давхцаж болно. эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат. Онцлог тэгшитгэлийн язгуурын утгуудаас хамааран дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл тус тус.

Жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь k 1 = -3 ба k 2 = 0 байна. Үндэс нь бодит бөгөөд ялгаатай тул тогтмол коэффициент бүхий LDE-ийн ерөнхий шийдэл нь юм


Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд.

Нийтлэг шийдвэрТогтмол коэффициент y бүхий хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийг харгалзах LODE-ийн ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр хайж байна. мөн анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл, . Өмнөх догол мөр нь тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоход зориулагдсан болно. Тодорхой шийдлийг анхны тэгшитгэлийн баруун талд байрлах f (x) функцийн тодорхой хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй коэффициентийн аргаар эсвэл дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар тодорхойлно.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн жишээ болгон бид танилцуулж байна


Онолыг ойлгож, танилцаарай нарийвчилсан шийдвэрүүдТогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хуудсан дээрх жишээнүүдийг бид танд санал болгож байна.

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл (LODEs) ба хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл (LNDEs).

Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тогтмол коэффициент бүхий LODE ба LODE юм.

Тодорхой интервал дээрх LODE-ийн ерөнхий шийдийг энэ тэгшитгэлийн y 1 ба y 2 шугаман бие даасан хоёр шийдлийн шугаман хослолоор илэрхийлнэ. .

Гол бэрхшээл нь энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийг олоход оршдог. Ихэвчлэн шугаман бие даасан функцүүдийн дараах системүүдээс тодорхой шийдлүүдийг сонгодог.


Гэсэн хэдий ч тодорхой шийдлүүдийг энэ хэлбэрээр үргэлж танилцуулдаггүй.

LODU-ийн жишээ бол .

LIDE-ийн ерөнхий шийдлийг LODE-ийн ерөнхий шийдэл бөгөөд анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байх хэлбэрээр хайж байна. Бид сая олох тухай ярьсан боловч дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан тодорхойлж болно.

LNDE-ийн жишээ бол .

Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.

Захиалгын бууралтыг зөвшөөрөх дифференциал тэгшитгэл.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал , хүссэн функц болон түүний уламжлалыг k-1 хүртэлх дарааллаар агуулаагүй, орлуулснаар n-k болж буурна.

Энэ тохиолдолд анхны дифференциал тэгшитгэл нь . Түүний шийдлийг p(x) олсны дараа орлуулалт руу буцаж, үл мэдэгдэх функцийг тодорхойлох y .

Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэл орлуулсны дараа салангид тэгшитгэл болж, дараалал нь гурав дахь хэсгээс эхнийх хүртэл буурна.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

Боловсролын захидлын хэлбэрийн нягтлан бодох бүртгэлийн тэнхимийн оюутнууд "Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" сэдвийг судлах талаар (NISPO)

Горки, 2013 он

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

тогтмол хоёр дахь дараалалкоэффициентүүд

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

тэдгээр. Хүссэн функц болон түүний деривативуудыг зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт багтаасан, тэдгээрийн үржвэрийг агуулаагүй тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлд болон
зарим тоонууд ба функц
тодорхой интервалаар өгсөн
.

Хэрвээ
интервал дээр
, дараа нь тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна

, (2)

мөн дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Үгүй бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье

, (3)

хаана
болон
бодит функцууд юм. Хэрэв функц (3) нь (2) тэгшитгэлийн цогц шийдэл бол бодит хэсэг
, мөн төсөөллийн хэсэг
шийдлүүд
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тус тусад нь авна. Тиймээс, бүр бүрэн шийдэл(2) тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн хоёр бодит шийдийг үүсгэдэг.

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Хэрвээ тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц
, хаана FROM- дурын тогтмол нь (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно;

Хэрвээ болон тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц байна
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2);

Хэрвээ болон тэгшитгэлийн шийдлүүд (2), дараа нь тэдгээрийн шугаман хослолууд
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2), энд болон
дурын тогтмолууд юм.

Функцүүд
болон
дуудсан шугаман хамааралтай интервал дээр
ийм тоо байгаа бол болон
, тэр үед тэгтэй тэнцүү биш, энэ интервал дээр тэгш байдал

Хэрэв тэгш байдал (4) зөвхөн үед л хэрэгжинэ
болон
, дараа нь функцууд
болон
дуудсан шугаман бие даасан интервал дээр
.

Жишээ 1 . Функцүүд
болон
оноос хойш шугаман хамааралтай байна
бүхэл тооны шугамын дагуу. Энэ жишээнд
.

Жишээ 2 . Функцүүд
болон
тэгш байх тул аль ч интервал дээр шугаман хамааралгүй байна
зөвхөн болон тохиолдолд л боломжтой
, ба
.

Шугаман нэгэн төрлийн ерөнхий шийдлийг бүтээх

тэгшитгэл

(2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шугаман бие даасан хоёр шийдлийг олох хэрэгтэй болон . Эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол
, хаана болон
дурын тогтмолууд бөгөөд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг өгнө.

(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг маягтаар хайна

, (5)

хаана - хэдэн тоо. Дараа нь
,
. Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (2) орлуулъя:

эсвэл
.

Учир нь
, дараа нь
. Тиймээс функц
бол (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно тэгшитгэлийг хангана

. (6)

Тэгшитгэл (6) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл тэгшитгэлийн хувьд (2). Энэ тэгшитгэл нь алгебр юм квадрат тэгшитгэл.

Болъё болон нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэдгээр нь бодит ба ялгаатай, эсвэл нарийн төвөгтэй, бодит ба тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг авч үзье.

Үндэсийг нь тавь болон шинж чанарын тэгшитгэл нь бодит бөгөөд тодорхой байна. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцүүд болно
болон
. Эдгээр шийдлүүд нь тэгш байдлаас хойш шугаман бие даасан байдаг
үед л гүйцэтгэх боломжтой
, ба
. Иймд (2) томъёоны ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

,

хаана болон
дурын тогтмолууд юм.

Жишээ 3
.

Шийдэл . Энэ дифференциалын шинж чанарын тэгшитгэл нь байх болно
. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж бид түүний үндсийг олно
болон
. Функцүүд
болон
дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

нийлмэл тоо хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг
, хаана болон бодит тоонууд ба
төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Хэрвээ
, дараа нь тоо
цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэрэв
, дараа нь тоо
бодит тоогоор тодорхойлогддог .

Тоо комплекс тооны бодит хэсэг гэж нэрлэдэг ба - төсөөлөлтэй хэсэг. Хэрэв хоёр нийлмэл тоо нь зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр бие биенээсээ ялгаатай бол тэдгээрийг коньюгат гэж нэрлэдэг.
,
.

Жишээ 4 . Квадрат тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл . Дискриминант тэгшитгэл
. Дараа нь. Үүний нэгэн адил,
. Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь коньюгат нийлмэл язгууртай.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нарийн төвөгтэй байг, өөрөөр хэлбэл.
,
, хаана
. (2) тэгшитгэлийн шийдлүүдийг дараах байдлаар бичиж болно
,
эсвэл
,
. Эйлерийн томъёоны дагуу

,
.

Дараа нь,. Мэдэгдэж байгаагаар хэрэв нарийн төвөгтэй функц нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд болно. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
болон
. Тэгш байхаас хойш

тохиолдолд л гүйцэтгэх боломжтой
болон
, тэгвэл эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

хаана болон
дурын тогтмолууд юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Тэгшитгэл
өгөгдсөн дифференциалын шинж чанар юм. Бид үүнийг шийдэж, нарийн төвөгтэй үндсийг авдаг
,
. Функцүүд
болон
нь дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байг, өөрөөр хэлбэл.
. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
болон
. Эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь илэрхийлэл нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү байж болно
болон
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Онцлог тэгшитгэл
ижил үндэстэй
. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд нь функцууд юм
болон
. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

болон тусгай баруун тал

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1) нь ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба аливаа тодорхой шийдэл
нэг төрлийн бус тэгшитгэл:
.

Зарим тохиолдолд нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг баруун талын хэлбэрээр хялбархан олж болно.
тэгшитгэл (1). Боломжтой тохиолдлуудыг авч үзье.

тэдгээр. нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт юм м. Хэрвээ
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг зэрэгтэй олон гишүүнт хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. м, өөрөөр хэлбэл

Магадлал
тодорхой шийдлийг олох явцад тодорхойлогддог.

Хэрэв
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.

Жишээ 7 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Энэ тэгшитгэлийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь байна
. Түүний онцлог тэгшитгэл
үндэстэй
болон
. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Учир нь
Энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг функц хэлбэрээр хайх болно.
. Энэ функцийн деривативуудыг ол
,
мөн тэдгээрийг энэ тэгшитгэлд орлуулна уу:

эсвэл . коэффициентүүдийг тэнцүүлэх болон чөлөөт гишүүд:
Шийдвэрлэж байна энэ систем, бид авдаг
,
. Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэр байх болно.
.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хэлбэртэй болго

Хэрвээ
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Хэрэв
нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм к (к=1 эсвэл к=2), тэгвэл энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Жишээ 8 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
. түүний үндэс
,
. Энэ тохиолдолд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ
.

3-ын тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш тул нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.
. Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олцгооё:,

Дифференциал тэгшитгэлд орлуулна уу:
+ +,
+,.

коэффициентүүдийг тэнцүүлэх болон чөлөөт гишүүд:

Эндээс
,
. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн ерөнхий шийдэл

.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн Лагранж арга

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг баруун талын хэлбэрээс үл хамааран тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Энэ арга нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг мэддэг бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг үргэлж олох боломжтой болгодог.

Болъё
болон
(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байна
, хаана болон
дурын тогтмолууд юм. Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын мөн чанар нь тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (1) хэлбэрээр хайж олох явдал юм.

хаана
болон
- үл мэдэгдэх шинэ боломжуудыг олох. Хоёр үл мэдэгдэх функц байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд эдгээр функцийг агуулсан хоёр тэгшитгэл хэрэгтэй. Эдгээр хоёр тэгшитгэл нь системийг бүрдүүлдэг

-тай холбоотой тэгшитгэлийн шугаман алгебрийн систем юм
болон
. Энэ системийг шийдэж, бид олдог
болон
. Олж авсан тэгш байдлын хоёр хэсгийг нэгтгэж, бид олдог

болон
.

Эдгээр илэрхийллийг (9) -д орлуулснаар бид нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна (1).

Жишээ 9 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь байна
. Түүний үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг
,
. Учир нь
болон
, дараа нь
,
, мөн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна Дараа нь энэ нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хаана гэсэн хэлбэрээр хайх болно
болон
- үл мэдэгдэх функцууд.

Эдгээр үл мэдэгдэх функцийг олох тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна

Энэ системийг шийдэж, бид олдог
,
. Дараа нь

,
. Хүлээн авсан илэрхийлэлүүдийг ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулъя.

Энэ бол Лагранжийн аргаар олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Аль дифференциал тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Аль шугаман дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, алийг нь нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг вэ?

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарууд юу вэ?

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ямар тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг ба түүнийг хэрхэн олж авдаг вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн өөр өөр язгууртай тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл үндэстэй тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд өөр бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүн байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд нэг тэг, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт байвал шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Лагранжийн аргын мөн чанар юу вэ?

Энэ догол мөрийг авч үзэх болно онцгой тохиолдолХоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэлүүд, тэгшитгэлийн коэффициентүүд тогтмол байх үед тэдгээр нь тоо юм. Ийм тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэл нь ялангуяа өргөн хэрэглээг олдог.

1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалал

Тэгшитгэлийг авч үзье

коэффицентүүд тогтмол байх үед. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг хувааж, тэмдэглэнэ гэж үзвэл

Бид энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

Мэдэгдэж байгаагаар хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шийдлийг мэдэхэд хангалттай. үндсэн системхувийн шийдвэрүүд. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд тодорхой шийдлүүдийн үндсэн системийг хэрхэн олдгийг харуулъя. Бид энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Энэ функцийг хоёр удаа ялгаж, (59) томъёонд илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна.

-ээс хойш, -ээр бууруулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна

Энэ тэгшитгэлээс (59) тэгшитгэлийн шийдэл болох функц болох k-ийн утгуудыг тодорхойлно.

k коэффициентийг тодорхойлох алгебрийн тэгшитгэлийг (61) өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл (59) гэнэ.

Онцлог тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл тул хоёр үндэстэй. Эдгээр үндэс нь жинхэнэ ялгаатай, бодит ба тэнцүү, эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно.

Эдгээр тохиолдол бүрт хэсэгчилсэн шийдлийн үндсэн системийн хэлбэрийг авч үзье.

1. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба ялгаатай: . Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу бид хоёр тодорхой шийдлийг олдог.

Вронскийн тодорхойлогч хэзээ ч алга болдоггүй тул эдгээр хоёр тодорхой шийдэл нь бүх тооны тэнхлэгт шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.

Тиймээс (48) томъёоны дагуу тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

2. Шинж чанар тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү байна: . Энэ тохиолдолд хоёр үндэс нь жинхэнэ байх болно. Томъёогоор (60) бид зөвхөн нэг тодорхой шийдлийг олж авдаг

Эхнийхтэй хамт үндсэн системийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй болохыг харуулъя

Юуны өмнө функц (59) тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгана. Үнэхээр,

Харин , учир нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (61). Үүнээс гадна Виетийн теоремын дагуу иймээс . Тиймээс, өөрөөр хэлбэл, функц нь (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Олдсон тодорхой шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг одоо харуулъя. Үнэхээр,

Тиймээс энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

3. Онцлогийн тэгшитгэлийн үндэс нь нийлмэл. Мэдэгдэж байгаагаар бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн нийлмэл үндэс нь коньюгат юм нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл: гэсэн хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу (59) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд дараах хэлбэртэй байна.

Эйлерийн томьёог (Ch. XI, § 5 p. 3-ыг үз) ашиглан илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Эдгээр шийдлүүд нь нарийн төвөгтэй байдаг. Бодит шийдлийг олж авахын тулд шинэ функцуудыг анхаарч үзээрэй

Эдгээр нь шийдлүүдийн шугаман хослол бөгөөд иймээс өөрсдөө (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм (§ 3, 2-р теорем 1-ийг үзнэ үү).

Эдгээр шийдлүүдийн Вронский тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг.

Тиймээс шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын хувьд нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Дүгнэж хэлэхэд, шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур хэлбэрээс хамааран (59) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёоны хүснэгтийг өгнө.

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + х(x)y" + q(x)y = е(x) ,

хаана yнь олох функц мөн х(x) , q(x) ба е(x) нь зарим интервал дахь тасралтгүй функцууд ( а, б) .

Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг бол ( е(x) = 0 ), тэгвэл тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл . Ийм тэгшитгэлийг энэ хичээлийн практик хэсэгт голчлон зориулах болно. Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй тэнцүү биш бол ( е(x) ≠ 0 ) байвал тэгшитгэлийг .

Даалгаврын хувьд бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай y"" :

y"" = −х(x)y" − q(x)y + е(x) .

Хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг Кошигийн асуудал .

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл ба түүний шийдэл

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

y"" + х(x)y" + q(x)y = 0 .

Хэрвээ y1 (x) болон y2 (x) Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд байвал дараах мэдэгдлүүд үнэн болно.

1) y1 (x) + y 2 (x) - мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл;

2) Cy1 (x) , хаана C- дурын тогтмол (тогтмол) нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Энэ хоёр мэдэгдлээс харахад функц

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Шударга асуулт гарч ирнэ: энэ шийдэл мөн үү Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл , өөрөөр хэлбэл, янз бүрийн утгын хувьд ийм шийдэл C1 болон C2 тэгшитгэлийн бүх боломжит шийдийг авах боломжтой юу?

Энэ асуултын хариулт нь: боломжтой, гэхдээ тодорхой нөхцөлд. тэр Тодорхой шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстой гэсэн нөхцөл y1 (x) болон y2 (x) .

Мөн энэ нөхцлийг нөхцөл гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан байдалхувийн шийдвэрүүд.

Теорем. Чиг үүрэг C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) функцууд бол хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм y1 (x) болон y2 (x) шугаман бие даасан байна.

Тодорхойлолт. Функцүүд y1 (x) болон y2 (x) Хэрэв тэдгээрийн харьцаа нь тэгээс өөр тогтмол байвал шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг:

y1 (x)/y 2 (x) = к ; к = const ; к ≠ 0 .

Гэсэн хэдий ч эдгээр функцууд нь шугаман хамааралгүй эсэхийг тодорхойлох нь ихэвчлэн маш хэцүү байдаг. Вронскийн тодорхойлогчийг ашиглан шугаман бие даасан байдлыг тогтоох арга бий В(x) :

Хэрэв Вронскийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна . Хэрэв Вронскийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү бол шийдлүүд нь шугаман хамааралтай байна.

Жишээ 1Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл. Бид хоёр удаа интегралддаг бөгөөд харахад хялбар байдаг тул функцын хоёр дахь дериватив ба функцын өөрийнх нь ялгавар нь тэгтэй тэнцүү байхын тулд шийдлүүд нь дериватив нь өөртэй нь тэнцүү үзүүлэлттэй холбоотой байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, хувийн шийдлүүд нь ба .

Вронскийн тодорхойлогчоос хойш

тэгтэй тэнцүү биш бол эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно

.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл: онол ба практик

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + py" + qy = 0 ,

хаана хболон qтогтмол утгууд юм.

Энэ нь хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл гэдгийг хүссэн функцийн хоёр дахь дериватив байгаагаар, түүний нэгэн төрлийн байдлыг баруун талд нь тэгээр тэмдэглэв. Дээр дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийг тогтмол коэффициент гэж нэрлэдэг.

руу Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх , та эхлээд хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг шийдэх ёстой

к² + pq + q = 0 ,

Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм.

Онцлогийн тэгшитгэлийн шийдлээс хамааран гурван өөр хувилбар байж болно тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл , бид одоо дүн шинжилгээ хийх болно. Бүрэн итгэлтэй байхын тулд бид бүх тодорхой шийдлүүдийг Вронскийн тодорхойлогчоор туршиж үзсэн бөгөөд бүх тохиолдолд энэ нь тэгтэй тэнцүү биш гэж үзэх болно. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй хүмүүс үүнийг өөрсдөө шалгаж болно.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс - бодит ба өөр

Өөрөөр хэлбэл, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 2. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Жишээ 3. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэр, үндэстэй бөгөөд бодит бөгөөд өөр байна. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс - бодит ба тэнцүү

Тэр бол, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 4. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жишээ 5. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна