Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Хоёр дахь ба түүнээс дээш эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман DE. Шийдлийн жишээ

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + х(x)y" + q(x)y = е(x) ,

хаана yнь олох функц мөн х(x) , q(x) ба е(x) нь зарим интервал дахь тасралтгүй функцууд ( а, б) .

Хэрвээ баруун хэсэгтэгшитгэл нь тэг ( е(x) = 0 ), тэгвэл тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл . Ийм тэгшитгэлийг энэ хичээлийн практик хэсэгт голчлон зориулах болно. Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй тэнцүү биш бол ( е(x) ≠ 0 ) байвал тэгшитгэлийг .

Даалгаврын хувьд бид тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай y"" :

y"" = −х(x)y" − q(x)y + е(x) .

Шугаман дифференциал тэгшитгэлХоёр дахь захиалга нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг Кошигийн асуудал .

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл ба түүний шийдэл

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

y"" + х(x)y" + q(x)y = 0 .

Хэрвээ y1 (x) болон y2 (x) Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд байвал дараах мэдэгдлүүд үнэн болно.

1) y1 (x) + y 2 (x) - мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл;

2) Cy1 (x) , хаана C- дурын тогтмол (тогтмол) нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Энэ хоёр мэдэгдлээс харахад функц

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Шударга асуулт гарч ирнэ: энэ шийдэл мөн үү Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл , өөрөөр хэлбэл, янз бүрийн утгын хувьд ийм шийдэл C1 болон C2 тэгшитгэлийн бүх боломжит шийдийг авах боломжтой юу?

Энэ асуултын хариулт нь: боломжтой, гэхдээ тодорхой нөхцөлд. тэр Тодорхой шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстой гэсэн нөхцөл y1 (x) болон y2 (x) .

Мөн энэ нөхцлийг нөхцөл гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан байдалхувийн шийдвэрүүд.

Теорем. Чиг үүрэг C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) функцууд бол хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм y1 (x) болон y2 (x) шугаман бие даасан байна.

Тодорхойлолт. Функцүүд y1 (x) болон y2 (x) Хэрэв тэдгээрийн харьцаа нь тэгээс өөр тогтмол байвал шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг:

y1 (x)/y 2 (x) = к ; к = const ; к ≠ 0 .

Гэсэн хэдий ч эдгээр функцууд нь шугаман хамааралгүй эсэхийг тодорхойлох нь ихэвчлэн маш хэцүү байдаг. Вронскийн тодорхойлогчийг ашиглан шугаман бие даасан байдлыг тогтоох арга бий В(x) :

Хэрэв Вронскийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна . Хэрэв Вронскийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү бол шийдлүүд нь шугаман хамааралтай байна.

Жишээ 1Хай нийтлэг шийдвэршугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл.

Шийдэл. Бид хоёр удаа интегралддаг бөгөөд харахад хялбар байдаг тул функцын хоёр дахь дериватив ба функцын өөрийнх нь ялгавар нь тэгтэй тэнцүү байхын тулд шийдлүүд нь дериватив нь өөртэй нь тэнцүү үзүүлэлттэй холбоотой байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, хувийн шийдлүүд нь ба .

Вронскийн тодорхойлогчоос хойш

тэгтэй тэнцүү биш бол эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно

.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл: онол ба практик

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

y"" + py" + qy = 0 ,

хаана хболон qтогтмол утгууд юм.

Энэ нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл гэдгийг хүссэн функцийн хоёр дахь дериватив байгаагаар, түүний нэгэн төрлийн байдлыг баруун талд нь тэгээр илэрхийлдэг. Дээр дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийг тогтмол коэффициент гэж нэрлэдэг.

руу Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх , та эхлээд хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг шийдэх ёстой

к² + pq + q = 0 ,

Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм.

Шийдвэрээс шалтгаална шинж чанарын тэгшитгэлгурван өөр сонголт хийх боломжтой тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл , бид одоо дүн шинжилгээ хийх болно. Бүрэн итгэлтэй байхын тулд бид бүх тодорхой шийдлүүдийг Вронскийн тодорхойлогчоор туршиж үзсэн бөгөөд бүх тохиолдолд тэгтэй тэнцүү биш гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч эргэлзээтэй хүмүүс үүнийг өөрсдөө шалгаж болно.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс - бодит ба өөр

Өөрөөр хэлбэл, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 2. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Жишээ 3. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэр, үндэстэй бөгөөд бодит бөгөөд өөр байна. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс - бодит ба тэнцүү

Тэр бол, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Жишээ 4. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Жишээ 5. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд

.

Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах тусгай шийдлүүд: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

§нэг. Тэгшитгэлийн дарааллыг бууруулах арга.

2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( эсвэл Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-р дарааллын дифференциал тэгшитгэл). 2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлого (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" өргөн="85" өндөр="25 src=">.gif" өндөр="25 src=">.

2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар харцгаая: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25" src=">.gif" өргөн "265" өндөр "28 src=">.

Тиймээс 2-р дарааллын тэгшитгэл https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height ="" 25 src=">.gif" өргөн = "117" өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "34" өндөр = 25 src = ">. Үүнийг шийдэж, бид дурын хоёр тогтмолоос хамааран анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src" =">. gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.

Шийдэл.

Анхны тэгшитгэлд тодорхой аргумент байхгүй тул https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25" src=">..gif" өргөн="35" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="82" өндөр="38 src="> ..gif" өргөн="99" өндөр="38" src=">.

Дараа нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.

2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар харцгаая: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25" src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" өргөн="33" өндөр=">.gif">..gif" өргөн="225" өндөр="25 src" =">..gif" өргөн="150" өндөр="25 src=">.

Жишээ 2Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" өргөн="100" өндөр="27 src=">.gif" өргөн="130" өндөр="37 src=">.gif" өргөн="34" өндөр= "25 src =">.gif" өргөн = "183" өндөр = "36 src = ">.

3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif дагуу тэгшитгэлийн хоёр хэсэг нь нийт дериватив болох хэлбэрт хувиргах боломжтой бол зэрэглэлийн дарааллыг багасгана. " өргөн = "92" өндөр = " 25 src = ">..gif" өргөн = "98" өндөр = = 48 src = ">.gif" өргөн = "138" өндөр = 25 src = ">.gif" өргөн = "282" өндөр = "25 src = ">, (2.1)

хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - урьдчилан тодорхойлсон функцууд, шийдлийг хайж буй интервал дээр тасралтгүй. a0(x) ≠ 0 гэж үзвэл (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)-д хуваана.

(2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " гэж нотлох баримтгүйгээр төсөөлье. 25 src=">, тэгвэл (2.2) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл (2.2) тэгшитгэлийг нэг төрлийн бус гэж нэрлэнэ.

2-р дарааллын lodu-ийн шийдлүүдийн шинж чанарыг авч үзье.

Тодорхойлолт.Функцуудын шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src" = ">.gif" өргөн = "195" өндөр = "25 src=">, (2.3)

дараа нь тэдгээрийн шугаман хослолыг https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3)-д оруулаад үр дүн нь таних тэмдэг болохыг харуулна:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" өргөн "368" өндөр "25 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> функцууд нь (2.3) тэгшитгэлийн шийдэл тул хаалт бүрийг сүүлчийн тэгшитгэл нь нотлох ёстой байсан тэгтэй ижил байна.

Үр дагавар 1.Энэ нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> дээрх батлагдсан теоремоос гардаг - тэгшитгэлийн шийдэл (2..gif). " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> нь эдгээр функцүүдийн аль нь ч бүх функцүүдийн шугаман хослолоор илэрхийлэгдээгүй бол зарим интервалд шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг. бусад.

Хоёр функц байгаа тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" өргөн = "187" өндөр = "43 src = ">.gif" өргөн = "42" өндөр = 25 src = ">. Ийнхүү шугаман бие даасан хоёр функцийн Вронскийн тодорхойлогч нь тэгтэй ижил тэнцүү байж болохгүй.

Let https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> тэгшитгэлийг хангана (2..gif" өргөн="42" өндөр="25 src" = "> – тэгшитгэлийн шийдэл (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" өргөн= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ижил байна. Тиймээс,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн тодорхойлогч (2..gif) " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Томъёоны (3.2) баруун талд байгаа хүчин зүйлүүд хоёулаа тэг биш байна.

§ дөрөв. 2-р эрэмбийн лодын ерөнхий шийдлийн бүтэц.

Теорем.Хэрэв https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> нь тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм (2..gif" width="" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">нь (2.3) тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд 2-р эрэмбийн lodu шийдүүдийн шинж чанарын теоремоос дагана..gif " өргөн = "85 "өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "19" өндөр = = 25 src = ">.gif" өргөн = "220" өндөр = "47">

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн энэхүү системийн https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> тогтмолууд нь өвөрмөц тодорхойлогддог. Энэ систем нь https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" өргөн="143" өндөр="25 src="> (5) ..gif" width="77" height="25 src=">. Өмнөх догол мөрийн дагуу энэ тэгшитгэлийн хоёр шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийд мэдэгдэж байвал 2-р эрэмбийн lodu-ийн ерөнхий шийдийг хялбархан тодорхойлно. Энгийн арга Л.Эйлерийн санал болгосон тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдийг олохын тулд бид ..gif" width="25" height="26 src=">г олж авна. алгебрийн тэгшитгэл, үүнийг шинж чанар гэж нэрлэдэг:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> нь зөвхөн k-ийн утгуудын хувьд (5.1) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. тэдгээр нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" өндөр="47 src="> ба ерөнхий шийдэл (5..gif" өргөн="45" өндөр="25 src=">..gif" өргөн="74" өндөр="26 src=" >..gif" width="83" height="26 src=">. Энэ функц (5.1) тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу)..gif" width="190" height="26 src=">. Эдгээр илэрхийллийг дараах байдлаар орлуулж байна. тэгшитгэл (5.1), бид олж авна

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, учир нь.gif" width="137" height="26 src="" >.

Хувийн шийдлүүд https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" өргөн="45" өндөр="25 src=">..gif" өргөн="65" өндөр="33 src=">.gif" өргөн="134" өндөр=" 25 src=">.gif" өргөн = "267" өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "474" өндөр = 25 src = ">.

Энэ тэгш байдлын зүүн талд байгаа хоёр хаалт нь тэгтэй ижил байна..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> нь (5.1) тэгшитгэлийн шийдэл ..gif" width="129" height="25 src="> дараах байдлаар харагдана.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

мөн аливаа тодорхой шийдэл https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> (6.1)..gif" тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. өргөн "272" өндөр "25 src="> f (x). Энэ тэгш байдал нь таних тэмдэг юм, учир нь..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Тиймээс.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> нь энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ замаар:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" өргөн "289" өндөр "48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> ба ийм тодорхойлогч нь бидний дээр дурдсанчлан 0-ээс ялгаатай..gif" width="19" height="25 src="> системээс ялгаатай. тэгшитгэлийн (6 ..gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="140" өндөр="25 src" ="> нь тэгшитгэлийн шийдэл байх болно

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> тэгшитгэлд (6.5), бид олж авна.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f" (x) (7.1)

хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> тэгшитгэлийн (7.1) баруун талд f(x) үед байна онцгой төрөл. Энэ аргыг тодорхой бус коэффициентийн арга гэж нэрлэдэг бөгөөд f (x) -ийн баруун талын хэлбэрээс хамааран тодорхой шийдлийг сонгохоос бүрдэнэ. Дараах маягтын зөв хэсгүүдийг анхаарч үзээрэй.

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> тэг байж болно. Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийг авах ёстой хэлбэрийг зааж өгье.

a) Хэрэв тоо нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="" 25 src = ">.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хувьд https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src" = ">..gif" өргөн = "101" өндөр = "25 src=">.gif" өргөн = "153" өндөр = "25 src=">.gif" өргөн = "383" өндөр = 25 src = ">.

Бид тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсэгт https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> гэсэн хоёр хэсгийг богиносгодог.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" өргөн "111" өндөр "40 src=">

Үүссэн тэгшитгэлийн системээс бид дараахь зүйлийг олно: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, мөн ерөнхий шийдлийг олно. өгөгдсөн тэгшитгэлбайдаг:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" өргөн "158" өндөр "25 src=">.

Шийдэл.

Харгалзах шинж чанарын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Эцэст нь Бид ерөнхий шийдлийн дараах илэрхийлэлтэй байна.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> маш сайн тэгээс. Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийн хэлбэрийг зааж өгье.

a) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

Энд https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> нь тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (5..gif" өргөн юм. ="229 "өндөр="25 src=">,

хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" өргөн "147" өндөр "25 src=">.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" өндөр = "25 src = ">.

Жишээ 3-т өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь тусгай хэлбэртэй байна: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=" ">.gif " өргөн = "55" өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "229" өндөр = 25 src = ">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="-г тодорхойлохын тулд > ба өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулна:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width=">.gif" width="100" height= хаягаар ижил нэр томъёо авчирч, коэффициентүүдийг тэнцүүлэх "25 src=">.

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн эцсийн ерөнхий шийдэл нь: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> тус тус байх ба эдгээр олон гишүүнтүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ ерөнхийд тодорхой шийдийн хэлбэрийг зааж өгье. хэрэг.

a) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" өргөн "121" өндөр "25 src=">.

б) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> байвал тодорхой шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Илэрхийлэлд (7..gif" өргөн="121" өндөр= " 25 src=">.

Жишээ 4Тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийн төрлийг заана уу

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Лод-ийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Цаашдын коэффициентүүд https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src="" > тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байдаг баруун тал f1(x), болон Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">дурын тогтмолуудын өөрчлөлтүүд (Лагранж арга).

Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлээс бусад тохиолдолд шугамын тодорхой шийдлийг шууд олох нь маш их бэрхшээлтэй тулгардаг. Тиймээс линдугийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь линдугийн ерөнхий шийдийг квадрат хэлбэрээр олох боломжтой болгодог. үндсэн системхаргалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд. Энэ арга нь дараах байдалтай байна.

Дээр дурдсанчлан шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> - тогтмол биш, гэхдээ f(x)-ийн зарим боловч үл мэдэгдэх функцууд. . интервалаас авах ёстой. Үнэн хэрэгтээ энэ тохиолдолд Вронскийн тодорхойлогч нь интервалын бүх цэгүүдэд тэг биш, өөрөөр хэлбэл бүх орон зайд энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлийн цогц үндэс юм..gif" width="20" height="25" src="> хэлбэрийн шугаман бие даасан шийдлүүд:

Уусмалын ерөнхий томъёонд энэ үндэс нь хэлбэрийн илэрхийлэлтэй тохирч байна.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлерөнхий шийдэлтэй
, хаана болон Энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн ерөнхий хэлбэр
, шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуураас хамаарна
.

Онцлог шинж чанаруудын үндэс

тэгшитгэл

Нэг төрлийн ерөнхий шийдэл

Үндэс болон хүчинтэй, янз бүрийн

Үндэс ==

хүчинтэй, ижил

Нарийн төвөгтэй үндэс
,

Жишээ

Тогтмол коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

1)

Шийдэл:
.

Үүнийг шийдсэний дараа бид үндсийг нь олох болно
,
хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:
.

2)

Шийдэл: Онцлогийн тэгшитгэлийг хийцгээе:
.

Үүнийг шийдсэний дараа бид үндсийг нь олох болно

хүчинтэй, ижил. Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:
.

3)

Шийдэл: Онцлогийн тэгшитгэлийг хийцгээе:
.

Үүнийг шийдсэний дараа бид үндсийг нь олох болно
цогцолбор. Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлхэлбэртэй байна

Хаана
. (1)

Шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
, хаана
Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, i.e. тэгшитгэл.

Хувийн шийдвэрийн төрөл
нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл(1) баруун талаас хамаарч
:

Баруун хэсэг

Хувийн шийдвэр

- зэрэгтэй олон гишүүнт

, хаана тэгтэй тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.

, хаана =
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хаана -тэй давхцаж буй шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоотой тэнцүү тоо юм
.

хаана -тай давхцаж буй шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо
.

Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун талын янз бүрийн төрлийг авч үзье.

1.
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна . Дараа нь тодорхой шийдэл
хэлбэрээр хайх боломжтой
, хаана

, a тэгтэй тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо.

Жишээ

Ерөнхий шийдлийг олох
.

Шийдэл:





.

B) Тэгшитгэлийн баруун тал нь 1-р зэргийн олон гишүүн байх ба шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын аль нь ч биш тул
тэгтэй тэнцүү биш (
), дараа нь бид хаана хэлбэрээр тодорхой шийдлийг хайж байна болон үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. Хоёр удаа ялгах
болон орлуулах
,
болон
анхны тэгшитгэлд бид олдог.

Ижил чадлын коэффициентүүдийг тэнцүүлэх тэгшитгэлийн хоёр тал дээр
,
, бид олдог
,
. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, түүний ерөнхий шийдэл.

2. Баруун тал нь иймэрхүү харагдах болтугай
, энд зэрэгтэй олон гишүүнт байна . Дараа нь тодорхой шийдэл
хэлбэрээр хайх боломжтой
, хаана
-тэй ижил зэрэгтэй олон гишүүнт юм
, a - хэдэн удаа байгааг харуулсан тоо шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм.

Жишээ

Ерөнхий шийдлийг олох
.

Шийдэл:

A) Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
. Үүнийг хийхийн тулд бид шинж чанарын тэгшитгэлийг бичнэ
. Сүүлийн тэгшитгэлийн язгуурыг олъё
. Тиймээс нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.



шинж чанарын тэгшитгэл

, хаана нь үл мэдэгдэх коэффициент юм. Хоёр удаа ялгах
болон орлуулах
,
болон
анхны тэгшитгэлд бид олдог. Хаана
, тэр бол
эсвэл
.

Тиймээс энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, түүний ерөнхий шийдэл
.

3. Баруун тал нь , хаана байна
болон - өгсөн тоо. Дараа нь тодорхой шийдэл
гэсэн хэлбэрээр хайж болно болон үл мэдэгдэх коэффициентүүд ба -тэй давхцаж буй шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоотой тэнцүү тоо юм
. Хэрэв функцийн илэрхийлэлд байгаа бол
функцүүдийн дор хаяж нэгийг багтаана
эсвэл
, дараа нь
үргэлж оруулах ёстой хоёулаафункцууд.

Жишээ

Ерөнхий шийдлийг олох.

Шийдэл:

A) Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
. Үүнийг хийхийн тулд бид шинж чанарын тэгшитгэлийг бичнэ
. Сүүлийн тэгшитгэлийн язгуурыг олъё
. Тиймээс нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

B) Тэгшитгэлийн баруун тал нь функц учраас
, дараа нь энэ тэгшитгэлийн хяналтын дугаар, энэ нь үндэстэй давхцахгүй байна
шинж чанарын тэгшитгэл
. Дараа нь бид хэлбэрээр тодорхой шийдлийг хайж байна

Хаана болон үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. Хоёр удаа ялгавал бид олж авна. Орлуулах
,
болон
анхны тэгшитгэлд бид олдог

.

Нөхцөлүүдийг нэгтгэснээр бид олж авдаг

.

Бид коэффициентүүдийг тэнцүүлж байна
болон
тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талд тус тус. Бид системийг авдаг
. Үүнийг шийдэж, бид олдог
,
.

Тиймээс анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Тэгшитгэл

Энд ба интервал дахь тасралтгүй функцуудыг нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба функцууд нь түүний коэффициентүүд юм. Хэрэв энэ интервалд байвал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв (**) тэгшитгэл нь (*) тэгшитгэлтэй ижил коэффициенттэй бол түүнийг нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд (*) харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ.

Нэг төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Шугаман тэгшитгэлд оруулъя

Мөн тогтмол бодит тоонууд.

Бид тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг функцийн хэлбэрээр хайх болно, хаана нь бодит эсвэл нийлмэл тоотодорхойлох. -ийг ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Тиймээс, бид үүнийг харгалзан үзвэл:

Энэ тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Онцлог тэгшитгэл нь мөн олох боломжтой болгодог. Энэ нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл учраас хоёр үндэстэй. Тэдгээрийг ба -аар тэмдэглэе. Гурван тохиолдол боломжтой:

1) Үндэс нь бодит бөгөөд өөр өөр байдаг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Жишээ 1

2) Үндэс нь бодит бөгөөд тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Жишээ2

Шалгалт эсвэл шалгалтын асуудлыг шийдэх гэж байгаад энэ хуудсанд орсон уу? Хэрэв та шалгалтаа өгч чадаагүй хэвээр байвал дараагийн удаад дээд математикийн онлайн тусламжийн талаар вэбсайтаас урьдчилан тохиролцоорой.

Онцлог тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Онцлог тэгшитгэлийн шийдэл:

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

3) Нарийн төвөгтэй үндэс. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Жишээ 3

Онцлог тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Онцлог тэгшитгэлийн шийдэл:

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн зарим төрлийн шийдлийг авч үзье.

ба нь тогтмол бодит тоо, интервал дахь мэдэгдэж буй тасралтгүй функц юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон тодорхой шийдийг мэдэх шаардлагатай. Зарим тохиолдлыг авч үзье:

Бид мөн квадрат гурвалжин хэлбэртэй дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хайж байна.

Хэрэв 0 нь шинж чанарын тэгшитгэлийн нэг язгуур бол

Хэрэв 0 нь шинж чанарын тэгшитгэлийн давхар язгуур бол

Хэрэв дурын зэрэгтэй олон гишүүнт байвал нөхцөл байдал ижил байна

Жишээ 4

Бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийддэг.

Онцлог тэгшитгэл:

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё.

Олдсон деривативуудыг анхны дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүссэн тодорхой шийдэл:

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Бид тодорхой шийдлийг тодорхойгүй коэффициент хэлбэрээр хайж байна.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулж, бид ижил төстэй байдлыг олж авах бөгөөд үүнээс коэффициентийг олно.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур бол бид анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг , хэзээ нэг язгуур, хэзээ нь давхар язгуур байх хэлбэрээр хайна.

Жишээ 5

Онцлог тэгшитгэл:

Харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Харгалзах нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Энэ тохиолдолд бид тригонометрийн бином хэлбэрээр тодорхой шийдлийг хайж байна.

хаана ба тодорхойгүй коэффициентүүд

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулж, бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг бөгөөд үүнээс коэффициентүүдийг олдог.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь (эсвэл шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс байхаас) бусад тохиолдолд коэффициентийг тодорхойлдог. Сүүлчийн тохиолдолд бид дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.

Жишээ6

Онцлог тэгшитгэл:

Харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Тооны цуваа нийлэгжилт
Цувралын нийлэгжилтийн тодорхойлолтыг өгч, тоон цувааны нийлэлтийг судлах асуудлуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно - харьцуулах шалгуур, д'Аламберт нийлэх шалгуур, Коши нийлэх шалгуур, интеграл Коши нийлэх шалгуур⁡.

Цувралын абсолют ба нөхцөлт нийлэлт
Энэ хуудсанд ээлжлэн цуваа, тэдгээрийн нөхцөлт ба үнэмлэхүй нийлэгжилт, ээлжлэн цувааг тодорхойлох Лейбницийн нийлмэл байдлын тестийг багтаасан болно. товч онолсэдвээр болон асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.


Физикийн зарим асуудалд процессыг тодорхойлсон хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шууд холбоо тогтоох боломжгүй байдаг. Гэхдээ судалж буй функцүүдийн деривативуудыг агуулсан тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Ингэж дифференциал тэгшитгэл үүсч, үл мэдэгдэх функцийг олохын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог.

Энэ нийтлэл нь үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчийн функц болох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудалтай тулгарсан хүмүүст зориулагдсан болно. Онол нь дифференциал тэгшитгэлийн талаар тэг ойлголттой бол та ажлаа хийх боломжтой байхаар бүтээгдсэн.

Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл бүр нь ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан тайлбар, шийдэл бүхий шийдлийн аргатай холбоотой байдаг. Та асуудлынхаа дифференциал тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлж, ижил төстэй дүн шинжилгээ хийсэн жишээг олж, ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.

Дифференциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд эсрэг деривативуудын багцыг олох чадвар хэрэгтэй болно ( тодорхойгүй интегралууд) янз бүрийн функцтэй. Шаардлагатай бол энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.

Эхлээд деривативын хувьд шийдэж болох нэгдүгээр зэрэглэлийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзээд дараа нь хоёр дахь эрэмбийн ODE-д шилжиж, дараа нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлүүд дээр анхаарлаа хандуулж, дифференциал тэгшитгэлийн системээр дуусгана.

Хэрэв y нь х аргументын функц бол гэдгийг санаарай.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

    Хэлбэрийн эхний эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүд.

    Ийм DE-ийн хэд хэдэн жишээг бичье .

    Дифференциал тэгшитгэл тэгш байдлын хоёр талыг f(x) -д хуваах замаар деривативын талаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд бид тэгшитгэлд хүрнэ, энэ нь f(x) ≠ 0-ийн анхныхтай тэнцүү байх болно. Ийм ODE-ийн жишээнүүд нь .

    Хэрэв f(x) ба g(x) функцууд нэгэн зэрэг алга болох х аргументийн утгууд байвал нэмэлт шийдлүүд гарч ирнэ. Нэмэлт шийдэлтэгшитгэл өгөгдсөн x нь тэдгээр аргументын утгуудад тодорхойлогдсон аливаа функцууд юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн жишээ нь .

Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

    Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл.

    Тогтмол коэффициент бүхий LODE бол дифференциал тэгшитгэлийн маш түгээмэл төрөл юм. Тэдний шийдэл нь тийм ч хэцүү биш юм. Нэгдүгээрт, шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олно . Өөр өөр p ба q-ийн хувьд гурван тохиолдол боломжтой: шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба өөр, бодит ба давхцаж болно. эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат. Онцлог тэгшитгэлийн язгуурын утгуудаас хамааран дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл тус тус.

    Жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь k 1 = -3 ба k 2 = 0 байна. Үндэс нь бодит бөгөөд ялгаатай тул тогтмол коэффициент бүхий LDE-ийн ерөнхий шийдэл нь юм

    Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлүүд.

    Тогтмол коэффициент y хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн ерөнхий шийдийг харгалзах LODE-ийн ерөнхий шийдийн нийлбэрээр хайж байна. мөн анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл, . Өмнөх догол мөр нь тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоход зориулагдсан болно. Тодорхой шийдлийг анхны тэгшитгэлийн баруун талд байрлах f (x) функцийн тодорхой хэлбэрийн хувьд тодорхойгүй коэффициентийн аргаар эсвэл дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар тодорхойлно.

    Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн жишээ болгон бид танилцуулж байна

    Онолыг ойлгож, танилцаарай нарийвчилсан шийдвэрүүдТогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хуудсан дээрх жишээнүүдийг бид танд санал болгож байна.

    Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл (LODEs) ба хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл (LNDEs).

    Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тогтмол коэффициент бүхий LODE ба LODE юм.

    Тодорхой интервал дээрх LODE-ийн ерөнхий шийдийг энэ тэгшитгэлийн y 1 ба y 2 шугаман бие даасан хоёр шийдлийн шугаман хослолоор илэрхийлнэ. .

    Гол бэрхшээл нь энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийг олоход оршдог. Ихэвчлэн шугаман бие даасан функцүүдийн дараах системүүдээс тодорхой шийдлүүдийг сонгодог.

    Гэсэн хэдий ч тодорхой шийдлүүдийг энэ хэлбэрээр үргэлж танилцуулдаггүй.

    LODU-ийн жишээ бол .

    LIDE-ийн ерөнхий шийдлийг LODE-ийн ерөнхий шийдэл бөгөөд анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байх хэлбэрээр хайж байна. Бид сая олох тухай ярьсан боловч дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан тодорхойлж болно.

    LNDE-ийн жишээ бол .

Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.

    Захиалгын бууралтыг зөвшөөрөх дифференциал тэгшитгэл.

    Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал , хүссэн функц болон түүний уламжлалыг k-1 хүртэлх дарааллаар агуулаагүй, орлуулснаар n-k болж буурна.

    Энэ тохиолдолд анхны дифференциал тэгшитгэл нь . Түүний шийдлийг p(x) олсны дараа орлуулалт руу буцаж, үл мэдэгдэх функцийг тодорхойлох y .

    Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэл орлуулсны дараа салангид тэгшитгэл болж, дараалал нь гурав дахь хэсгээс эхнийх хүртэл буурна.

Үүнтэй төстэй нийтлэлүүд
Хэлэлцэх:
Харилцагчид Төслийн тухай болон хэвлэлийн талаар Вэбсайт дахь сурталчилгаа сайтын газрын зураг

2022 parki48.ru. Бид хүрээ байшин барьж байна. Тохижилт. Барилга. Суурь.