Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл. Нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

Удирдамж

Боловсролын захидлын хэлбэрийн нягтлан бодох бүртгэлийн тэнхимийн оюутнууд "Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" сэдвийг судлах талаар (NISPO)

Горки, 2013 он

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

тогтмол хоёр дахь дараалалкоэффициентүүд

Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Хоёрдахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг

тэдгээр. Хүссэн функц болон түүний деривативуудыг зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт багтаасан, тэдгээрийн үржвэрийг агуулаагүй тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлд болон
зарим тоонууд ба функц
тодорхой интервалаар өгсөн
.

Хэрвээ
интервал дээр
, дараа нь тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна

, (2)

мөн дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Үгүй бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье

, (3)

хаана
болон
бодит функцууд юм. Хэрэв функц (3) нь (2) тэгшитгэлийн цогц шийдэл бол бодит хэсэг
, мөн төсөөллийн хэсэг
шийдлүүд
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тус тусад нь авна. Тиймээс, бүр бүрэн шийдэл(2) тэгшитгэл нь энэ тэгшитгэлийн хоёр бодит шийдийг үүсгэдэг.

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Хэрвээ тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц
, хаана FROM- дурын тогтмол нь (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно;

Хэрвээ болон тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц байна
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2);

Хэрвээ болон тэгшитгэлийн шийдлүүд (2), дараа нь тэдгээрийн шугаман хослолууд
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2), энд болон
дурын тогтмолууд юм.

Функцүүд
болон
дуудсан шугаман хамааралтай интервал дээр
ийм тоо байгаа бол болон
, тэр үед тэгтэй тэнцүү биш, энэ интервал дээр тэгш байдал

Хэрэв тэгш байдал (4) зөвхөн үед л хэрэгжинэ
болон
, дараа нь функцууд
болон
дуудсан шугаман бие даасан интервал дээр
.

Жишээ 1 . Функцүүд
болон
оноос хойш шугаман хамааралтай байна
бүхэл тооны шугамын дагуу. Энэ жишээнд
.

Жишээ 2 . Функцүүд
болон
тэгш байх тул аль ч интервал дээр шугаман хамааралгүй байна
зөвхөн болон тохиолдолд л боломжтой
, ба
.

Барилга нийтлэг шийдэлшугаман нэгэн төрлийн

тэгшитгэл

(2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шугаман бие даасан хоёр шийдлийг олох хэрэгтэй болон . Эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол
, хаана болон
дурын тогтмолууд бөгөөд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг өгнө.

(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг маягтаар хайна

, (5)

хаана - хэдэн тоо. Дараа нь
,
. Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (2) орлуулъя:

эсвэл
.

Учир нь
, дараа нь
. Тиймээс функц
бол (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно тэгшитгэлийг хангана

. (6)

Тэгшитгэл (6) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл тэгшитгэлийн хувьд (2). Энэ тэгшитгэл нь алгебрийн квадрат тэгшитгэл юм.

Болъё болон нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэдгээр нь бодит ба ялгаатай, эсвэл нарийн төвөгтэй, бодит ба тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг авч үзье.

Үндэсийг нь тавь болон шинж чанарын тэгшитгэл нь бодит бөгөөд тодорхой байна. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцүүд болно
болон
. Эдгээр шийдлүүд нь тэгш байдлаас хойш шугаман бие даасан байдаг
үед л гүйцэтгэх боломжтой
, ба
. Иймд (2) томъёоны ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

,

хаана болон
дурын тогтмолууд юм.

Жишээ 3
.

Шийдэл . Энэ дифференциалын шинж чанарын тэгшитгэл нь байх болно
. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж бид түүний үндсийг олно
болон
. Функцүүд
болон
дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

нийлмэл тоо хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг
, хаана болон бодит тоонууд ба
төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Хэрвээ
, дараа нь тоо
цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэрэв
, дараа нь тоо
бодит тоогоор тодорхойлогддог .

Тоо комплекс тооны бодит хэсэг гэж нэрлэдэг ба - төсөөлөлтэй хэсэг. Хэрэв хоёр нийлмэл тоо нь зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр бие биенээсээ ялгаатай бол тэдгээрийг коньюгат гэж нэрлэдэг.
,
.

Жишээ 4 . Квадрат тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл . Дискриминант тэгшитгэл
. Дараа нь. Үүний нэгэн адил,
. Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь коньюгат нийлмэл язгууртай.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нарийн төвөгтэй байг, өөрөөр хэлбэл.
,
, хаана
. (2) тэгшитгэлийн шийдлүүдийг дараах байдлаар бичиж болно
,
эсвэл
,
. Эйлерийн томъёоны дагуу

,
.

Дараа нь,. Мэдэгдэж байгаагаар хэрэв нарийн төвөгтэй функц нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд болно. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
болон
. Тэгш байхаас хойш

тохиолдолд л гүйцэтгэх боломжтой
болон
, тэгвэл эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

хаана болон
дурын тогтмолууд юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Тэгшитгэл
өгөгдсөн дифференциалын шинж чанар юм. Бид үүнийг шийдэж, нарийн төвөгтэй үндсийг авдаг
,
. Функцүүд
болон
нь дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байг, өөрөөр хэлбэл.
. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно
болон
. Эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь илэрхийлэл нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү байж болно
болон
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Онцлог тэгшитгэл
ижил үндэстэй
. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд нь функцууд юм
болон
. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

болон онцгой баруун тал

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1) нь ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба аливаа тодорхой шийдэл
нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл:
.

Зарим тохиолдолд нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг баруун талын хэлбэрээр хялбархан олж болно.
тэгшитгэл (1). Боломжтой тохиолдлуудыг авч үзье.

тэдгээр. баруун хэсэгнэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь градусын олон гишүүнт юм м. Хэрвээ
Энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг градусын олон гишүүнт хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. м, өөрөөр хэлбэл

Магадлал
тодорхой шийдлийг олох явцад тодорхойлогддог.

Хэрэв
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.

Жишээ 7 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Энэ тэгшитгэлийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь байна
. Түүний шинж чанарын тэгшитгэл
үндэстэй
болон
. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Учир нь
Энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг функц хэлбэрээр хайх болно.
. Энэ функцийн деривативуудыг ол
,
мөн тэдгээрийг энэ тэгшитгэлд орлуулна уу:

эсвэл . коэффициентүүдийг тэнцүүлэх болон чөлөөт гишүүд:
Шийдвэрлэж байна энэ систем, бид авдаг
,
. Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэр байх болно.
.

Битгий нэгэн төрлийн тэгшитгэлхэлбэртэй байна

Хэрвээ
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Хэрэв
нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм к (к=1 эсвэл к=2), тэгвэл энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна.

Жишээ 8 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
. түүний үндэс
,
. Энэ тохиолдолд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ
.

3-ын тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш тул нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.
. Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олцгооё:,

Дифференциал тэгшитгэлд орлуулна уу:
+ +,
+,.

коэффициентүүдийг тэнцүүлэх болон чөлөөт гишүүд:

Эндээс
,
. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
, мөн ерөнхий шийдэл

.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн Лагранж арга

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг баруун талын хэлбэрээс үл хамааран тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Энэ арга нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг мэддэг бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг үргэлж олох боломжтой болгодог.

Болъё
болон
(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байна
, хаана болон
дурын тогтмолууд юм. Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын мөн чанар нь тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (1) хэлбэрээр хайж олох явдал юм.

хаана
болон
- үл мэдэгдэх шинэ боломжуудыг олох. Хоёр үл мэдэгдэх функц байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд эдгээр функцийг агуулсан хоёр тэгшитгэл хэрэгтэй. Эдгээр хоёр тэгшитгэл нь системийг бүрдүүлдэг

-тай холбоотой тэгшитгэлийн шугаман алгебрийн систем юм
болон
. Энэ системийг шийдэж, бид олдог
болон
. Олж авсан тэгш байдлын хоёр хэсгийг нэгтгэж, бид олдог

болон
.

Эдгээр илэрхийллийг (9) -д орлуулснаар бид нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна (1).

Жишээ 9 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь байна
. Түүний үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг
,
. Учир нь
болон
, дараа нь
,
, мөн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна Дараа нь энэ нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хаана гэсэн хэлбэрээр хайх болно
болон
- үл мэдэгдэх функцууд.

Эдгээр үл мэдэгдэх функцийг олох тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна

Энэ системийг шийдэж, бид олдог
,
. Дараа нь

,
. Хүлээн авсан илэрхийлэлүүдийг ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулъя.

Энэ бол Лагранжийн аргаар олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Аль дифференциал тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Аль шугаман дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, алийг нь нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг вэ?

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарууд юу вэ?

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ямар тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг ба түүнийг хэрхэн олж авдаг вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн өөр өөр язгууртай тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл үндэстэй тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд өөр бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүн байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд нэг тэг, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт байвал шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?

Лагранжийн аргын мөн чанар юу вэ?

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) тогтмол коэффициенттэй (PC) шийдвэрлэх үндэс.

$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн CLDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй бөгөөд $f\left( x \right)$ нь тасралтгүй функц юм.

Дараах хоёр мэдэгдэл нь PC-тэй 2-р LNDE-ийн хувьд үнэн юм.

Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын тодорхой шийдэл гэж үзье. Зарим $Y$ функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (OR) гэж үзье. Дараа нь OR -ийн LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.

Хэрэв 2-р эрэмбийн LIDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+...+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь эхлээд $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ тус бүрд тохирох PD-г олох боломжтой. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функцүүдийн дарааллыг бичнэ. LNDE-2 PD $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LNDE-ийн шийдэл

Өгөгдсөн LNDE-2-ын нэг буюу өөр PD $U$ хэлбэр нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. LNDE-2-ийн PD хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмээр томъёолсон болно.

Дүрмийн дугаар 1.

LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PR $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй олон гишүүнт, $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн (NC) аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 2.

LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NK аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 3.

LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\бета $ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайна. )\right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг NDT аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 4.

LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайна, энд $Q_(s) \left(x\right) $ ба $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнтүүд, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NK аргаар олно.

NDT арга нь хэрэглэхээс бүрдэнэ дараагийн дүрэм. LNDE-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд багтсан олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

• гэж ерөнхий хэлбэрээр бичсэн PD $U$-г орлуулна зүүн тал LNDU-2;
• LNDE-2-ын зүүн талд, хялбаршуулсан болон бүлгийн нөхцлүүдийг ижил хүчээр гүйцэтгэх $x$;
• үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
• үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.

Жишээ 1

Даалгавар: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $-г ол. Мөн олох. $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн анхны нөхцлүүдийг хангасан PR.

Харгалзах LODA-2-г бичнэ үү: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Онцлог тэгшитгэлийн үндэс: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Энэхүү LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ илтгэгчийн илтгэгчийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Тиймээс энэхүү LNDE-2-ын PR нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.

Бид NK аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.

Бид CR-ийн анхны деривативыг олно:

$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид CR-ийн хоёр дахь деривативыг олно.

$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Өгөгдсөн LNDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Үүний зэрэгцээ $e^(3\cdot x) $ илтгэгч багтсан болно. бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчин зүйлийн хувьд үүнийг орхигдуулж болно.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Бид NC аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.

Бидний асуудлын CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан PD-г хайхын тулд бид $y"$ деривативыг олно OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг $x=0$, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна.

$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Бид тэгшитгэлийн системийг авсан:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Бид үүнийг шийддэг. Бид Крамерын томъёог ашиглан $C_(1) $-г олох ба $C_(2) $ нь эхний тэгшитгэлээс тодорхойлогдоно.

$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right). )\cdot e^(3\cdot x) $.

Энэ өгүүлэл нь тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх асуудлыг илчилсэн болно. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Үл ойлгогдох нэр томъёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын сэдвийг судлах шаардлагатай.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо бөгөөд одоо байгаа f (x) функц нь x интегралын интервал дээр тасралтгүй .

LIDE-ийн ерөнхий шийдийн теоремын томъёололд шилжье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем

Теорем 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) y = f (x) x интервал дээр тасралтгүй интеграцийн коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь LODE-д харгалзах y 0 ерөнхий шийдэл ба зарим нэг тодорхой шийдэл y ~ нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь y = y 0 байна. + y ~ .

Үүнээс үзэхэд ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүлэлд авч үзсэн болно. Үүний дараа y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.

LIDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүнийг хийхийн тулд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэхэд f (x) = P n (x) , LIDE-ийн тодорхой шийдийг y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёогоор олно. ) x γ , энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~-ийн утга нь тодорхой шийдэл юм y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x) , бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.

Жишээ 1

Коши теоремыг ашиглан y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 гэж тооцоол.

Шийдэл

Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) = нөхцөлийг хангана. 2 , y " (0) = 1 4 .

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y 0 тэгшитгэл эсвэл нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр юм y ~ , өөрөөр хэлбэл y = y 0 + y ~ .

Эхлээд LNDE-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олъё.

y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог

k 2 - 2 к \u003d 0 к (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бид бичдэг

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ ийг олцгооё. Баруун талд байгаа нь харагдаж байна өгөгдсөн тэгшитгэлхоёр дахь зэрэгтэй олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно гэдгийг олж мэднэ

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, энд A, B, C-ийн утгууд байна тодорхойгүй коэффициентүүдийг авна.

Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.

Дараа нь бид үүнийг олж авна:

y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ижил илтгэгчтэй коэффициентийг тэгшитгэвэл бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ бид коэффициентүүдийг олоод бичнэ: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ба у ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

y (0) = 2 , y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C1болон C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгш байдалд үндэслэн.

Бид үүнийг олж авдаг:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.

Коши теоремыг ашиглавал бидэнд ийм зүйл бий

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба f (x) = P n (x) e a x илтгэгчийн үржвэр хэлбэрээр дүрсэлсэн тохиолдолд эндээс бид хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн тодорхой шийдийг олж авна. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.

Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.

Жишээ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Тэгшитгэл ерөнхий үзэл y = y 0 + y ~ . Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь k1 = 0ба шинж чанарын тэгшитгэлийн дагуу k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.

Тэгшитгэлийн баруун тал нь x 2 + 1 · e x байгааг харж болно. Эндээс LNDE-ийг y ~ = e a x Q n (x) x γ -ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) , энэ нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл нь биш юм. 1-тэй тэнцүү үндэстэй байна. Тиймээс бид үүнийг олж авдаг

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд бөгөөд y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олно.

Ойлголоо

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Бид ижил коэффициентүүдийн үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C-г олно:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Хариулт: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 нь LIDE-ийн тодорхой шийдэл бөгөөд y = y 0 + y = гэдгийг харж болно. C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1болон ДАХЬ 1тоонууд бол y ~ = A cos β x + B sin β x x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд A ба B нь тодорхойгүй коэффициент гэж тооцогддог ба r шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат язгуурын тоо, тэнцүү байна. ± i β. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр гүйцэтгэнэ.

Жишээ 3

y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Онцлог тэгшитгэлийн язгуурыг хосолсон хос гэж үзнэ ± 2 i , дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх А ба В коэффициентийг y ~ "" + 4 у ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс хайх болно.

Өөрчилье:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Дараа нь энэ нь харагдаж байна

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.

Хариулт:тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн анхны LIDE-ийн ерөнхий шийдэл гэж үзнэ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) болно. ) cos (β x) x γ Бидэнд r нь α ± i β-тэй тэнцүү, α ± i β-тэй тэнцүү, шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл нийлмэл хос язгууруудын тоо, P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ба N м (x) n, k, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох L м (x)болон N м (x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн үйлдвэрлэгддэг.

Жишээ 4

y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Энэ нь нөхцөл байдлаас тодорхой харагдаж байна

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тэгвэл m = m a x (n , k) = 1 байна. Бид эхлээд маягтын шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициент, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс эдгээр коэффициентийг олно.

y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))

Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5) x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Бүх зүйлээс ийм зүйл гарч байна

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)нүгэл (5х))

Хариулт:Одоо өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авлаа.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм

Тодорхойлолт 1

Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг өгдөг:

• харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1болон y2Эдгээр нь LODE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. 1-ээсболон 2-оосдурын тогтмол гэж үздэг;
• LIDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон хүлээн зөвшөөрөх y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) хэлбэрийн системээр дамжуулан функцийн деривативын тодорхойлолт ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба C 2 (x) интегралаар дамжуулан.

Жишээ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x -ийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Бид өмнө нь y 0 , y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж байна. Бичиж, шийдье:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бичлэг нь y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) хэлбэртэй байна. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)болон C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 нүгэл (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1 "(x)болон C2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:

C 1 "(x) \u003d - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x нүгэл (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 гэм (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)

Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 х)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд дурын тогтмолуудын вариацын аргаар нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох боломжтой болохыг бид харсан. Гэсэн хэдий ч нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн олох тухай асуулт нээлттэй хэвээр байв. Тодорхой тохиолдолд шугаман дифференциал тэгшитгэлд (3) бүх коэффициентүүд орно p i(X)= a i - Тогтмолууд, интегралгүйгээр ч гэсэн маш энгийн байдлаар шийдэгддэг.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.

y (n) + a 1 y (n – 1) + ... a n – 1 y " + a n y = 0, (14)

хаана a i- тогтмолууд (би= 1, 2, ...,n).

Мэдэгдэж байгаагаар 1-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хувьд шийдэл нь хэлбэрийн функц юм. д kx.Бид (14) томъёоны шийдлийг маягтаар хайх болно j (X) = д kx.

(14) тэгшитгэлд функцийг орлуулъя j (X) ба түүний дарааллын дериватив м (1 £ м£ n)j (м) (X) = к м э кх. Авах

(k n + a 1 к н – 1 +… ба n – 1 k + a n)e kx = 0,

гэхдээ д к х ¹ аль нэг нь 0 X, тийм учраас

k n + a 1 k n – 1 + ... a n – 1 k + a n = 0. (15)

Тэгшитгэл (15) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл, зүүн талд олон гишүүнт,- онцлог олон гишүүнт , түүний үндэс- онцлог үндэс дифференциал тэгшитгэл (14).

Дүгнэлт:

функцj (X) = д kx - шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл (14) хэрэв зөвхөн тоо к - шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (15).

Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (14) шийдвэрлэх үйл явц нь алгебрийн тэгшитгэлийг (15) шийдвэрлэх хүртэл буурдаг.

Онцлог үндэстэй янз бүрийн тохиолдол байдаг.

1.Онцлог тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой байна.

Энэ тохиолдолд nөөр өөр шинж чанартай үндэс к 1 ,к 2 ,..., к ннийцэж байна nнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн өөр шийдлүүд (14)

Эдгээр шийдлүүд нь шугаман хамааралгүй, тиймээс үүсдэг гэдгийг харуулж болно үндсэн системшийдлүүд. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь функц юм

хаана FROM 1 , C 2 , ..., ~ n - дурын тогтмолууд.

ЖИШЭЭ 7. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:

а) цагт¢ ¢ (X) - 6цагт¢ (X) + 8цагт(X) = 0,b) цагт¢ ¢ ¢ (X) + 2цагт¢ ¢ (X) - 3цагт¢ (X) = 0.

Шийдэл. Онцлогийн тэгшитгэлийг хийцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид захиалгын деривативыг орлуулна мфункцууд y(x) зохих түвшинд

к(цагт (м) (x) « к м),

харин функц нь өөрөө цагт(X) 0-р эрэмбийн дериватив-аар солигддог тул к 0 = 1.

(a) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна к 2 - 6k + 8 = 0. Үүний үндэс квадрат тэгшитгэл к 1 = 2,к 2 = 4. Тэдгээр нь бодит бөгөөд ялгаатай тул ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байдаг j (X)= C 1 д 2X + 2-оос д 4x.

(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь гуравдугаар зэргийн тэгшитгэл юм к 3 + 2к 2 - 3k = 0. Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг ол:

к(к 2 + 2 к - 3)= 0 Þ к = 0i к 2 + 2 к - 3 = 0 Þ к = 0, (к - 1)(к + 3) = 0,

т . д . к 1 = 0, к 2 = 1, к 3 = - 3.

Эдгээр шинж чанарын үндэс нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системтэй тохирч байна.

j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .

Томъёо (9)-ийн дагуу ерөнхий шийдэл нь функц юм

j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 д - 3X .

II . Онцлог тэгшитгэлийн бүх үндэс нь өөр боловч тэдгээрийн зарим нь нарийн төвөгтэй байдаг.

Дифференциал тэгшитгэлийн (14) бүх коэффициентүүд, улмаар түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн (15)- бодит тоо, хэрэв c шинж чанарын язгууруудын дунд нийлмэл язгуур байна к 1 = a + ib,өөрөөр хэлбэл түүний нийлмэл үндэс к 2 = ` к 1 = a- ib.Эхний үндэс к 1 дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлд тохирно (14)

j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)

(бид Эйлерийн томъёог ашигласан e i x = cosx + isinx). Үүний нэгэн адил үндэс к 2 = a- ibшийдвэртэй тохирч байна

j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e сүх(cosbx - isinbx).

Эдгээр шийдлүүд нь нарийн төвөгтэй байдаг. Тэдгээрээс бодит шийдлийг олж авахын тулд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн шинж чанарыг ашигладаг (13.2-ыг үз). Функцүүд

(14) тэгшитгэлийн бодит шийдлүүд юм. Мөн эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг. Ингээд дараах дүгнэлтийг хийж болно.

Дүрэм 1.Хос нийлмэл цогц үндэс a± Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн FSR дахь шинж чанарын тэгшитгэлийн ib (14) нь хоёр бодит тодорхой шийдэлтэй тохирч байнаболон .

ЖИШЭЭ 8. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:

а) цагт¢ ¢ (X) - 2цагт ¢ (X) + 5цагт(X) = 0 ;б) цагт¢ ¢ ¢ (X) - цагт¢ ¢ (X) + 4цагт ¢ (X) - 4цагт(X) = 0.

Шийдэл. (a) тэгшитгэлийн хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс к 2 - 2k + 5 = 0 нь хосолсон хоёр комплекс тоо юм

к 1, 2 = .

Тиймээс 1-р дүрмийн дагуу тэдгээр нь хоёр бодит шугаман бие даасан шийдтэй тохирч байна: ба , тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь функц юм.

j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x нүгэл 2x.

(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олох к 3 - к 2 + 4к- 4 = 0, бид түүний зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцно:

к 2 (к - 1) + 4(к - 1) = 0 Þ (к - 1)(к 2 + 4) = 0 Þ (к - 1) = 0, (к 2 + 4) = 0.

Тиймээс бид гурван шинж чанартай үндэстэй: к 1 = 1,k2 , 3 = ± 2би.Корну к 1 шийдвэртэй тохирч байна , ба хос хосолсон цогцолбор үндэс к 2, 3 = ± 2би = 0 ± 2би- хоёр бодит шийдэл: ба . Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бүтээдэг.

j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 нүгэл 2x.

III . Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд үржвэрүүд байдаг.

Болъё к 1 - олон талт байдлын жинхэнэ үндэс мшинж чанарын тэгшитгэл (15), өөрөөр хэлбэл язгууруудын дунд байдаг мтэнцүү үндэс. Тэдгээр нь тус бүр нь дифференциал тэгшитгэлийн (14) ижил шийдэлтэй тохирч байна м FSR-ийн тэгш шийдлүүд нь шугаман хамааралтай функцүүдийн системийг бүрдүүлдэг тул боломжгүй юм.

Олон үндэстэй тохиолдолд үүнийг харуулж болно k 1(14) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцээс гадна функцууд юм

Функцууд нь бүх тооны тэнхлэг дээр шугаман хамааралгүй байдаг, учир нь , өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг FSR-д оруулах боломжтой.

Дүрэм 2 жинхэнэ шинж чанарын үндэс к 1 олон талт байдал м FSR-д тохирч байна мшийдэл:

Хэрвээ к 1 - олон зүйлийн цогц үндэс мшинж чанарын тэгшитгэл (15), дараа нь коньюгат үндэс байна к 1 олон талт байдал м. Аналогоор бид дараах дүрмийг олж авна.

Дүрэм 3. Хос нийлмэл цогц үндэс a± FSR дахь ib нь 2м бодит шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна:

, , ..., ,

, , ..., .

ЖИШЭЭ 9. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:

а) цагт¢ ¢ ¢ (X) + 3цагт¢ ¢ (X) + 3цагт¢ (X)+ y ( X)= 0;б) IV(X) + 6цагт¢ ¢ (X) + 9цагт(X) = 0.

Шийдэл. (a) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

к 3 + 3 к 2 + 3 к + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

өөрөөр хэлбэл k =- 1 - үржвэрийн үндэс 3. 2-р дүрэмд үндэслэн ерөнхий шийдлийг бичнэ.

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .

(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь тэгшитгэл юм

к 4 + 6к 2 + 9 = 0

эсвэл өөрөөр хэлбэл,

(к 2 + 3) 2 = 0 Þ к 2 = - 3 Þ к 1, 2 = ± би .

Бидэнд үржвэр бүр нь 2 хос хосолсон нийлмэл язгуур байдаг. 3-р дүрмийн дагуу ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ.

j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x .

Дээр дурдсанаас харахад тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хувьд үндсэн шийдлийн системийг олж, ерөнхий шийдлийг үүсгэж болно. Иймээс аливаад тохирох нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл тасралтгүй функц е(x) баруун талд нь дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан олж болно (5.3-р хэсгийг үз).

Жишээ r10. Вариацын аргыг ашиглан нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = x e 2x .

Шийдэл. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = 0. Онцлогийн тэгшитгэлийн үндэс к 2 - к- 6 = 0 байна к 1 = 3,к 2 = - 2, а нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл - функц ` цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X .

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

цагт( X) = FROM 1 (X)д 3X + C 2 (X)д 2X . (*)

Вронскийн тодорхойлогчийг олцгооё

В[д 3X , д 2X ] = .

Үл мэдэгдэх функцүүдийн деривативын хувьд (12) тэгшитгэлийн системийг зохиоё FROM ¢ 1 (X) ба FROM¢ 2 (X):

Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдэж, бид олж авна

Интеграцид бид олдог FROM 1 (X) ба FROM 2 (X):

Орлуулах функцууд FROM 1 (X) ба FROM 2 (X) тэгшитгэлд (*), бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = x e 2x :

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь байгаа тохиолдолд онцгой төрөл, нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглахгүйгээр олж болно.

Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзье

y (n) + 1 жил (n– 1) + ... a n – 1 жил " + a n y = f (x), (16)

е( x) = дсүх(П н(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

хаана П н(x) ба Rm(x) - зэрэгтэй олон гишүүнтүүд n болон мтус тус.

Хувийн шийдэл чи*(X) тэгшитгэлийн (16) томъёогоор тодорхойлно

цагт* (X) = х сд сүх(М Р(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

хаана М Р(x) болон Н Р(x) - зэрэгтэй олон гишүүнтүүд r = хамгийн их(н, м) тодорхойгүй коэффициентүүдтэй , а сязгуурын олон талтай тэнцүү к 0 = a + ib(16) тэгшитгэлийн шинж чанарын олон гишүүнт, харин үүнийг таамаглаж байна s= 0 бол к 0 нь шинж чанарын үндэс биш юм.

Томъёо (18) ашиглан тодорхой шийдлийг томъёолохын тулд бид дөрвөн параметрийг олох хэрэгтэй - a, b, rболон с.Эхний гурвыг тэгшитгэлийн баруун талаас тодорхойлно r- энэ нь үнэндээ хамгийн өндөр нь юм xбаруун талд олдсон. Параметр стоог харьцуулах замаар олно к 0 = a + ibболон харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд олдсон тэгшитгэлийн (16) бүх (олон үржвэрийг харгалзан) шинж чанарын язгууруудын багц.

Функцийн хэлбэрийн тодорхой тохиолдлуудыг авч үзье (17):

1) цагт а ¹ 0, б= 0е(x)= e сүх P n(x);

2) хэзээ а= 0, б ¹ 0е(x)= П н(x) -тайosbx + Rm(x)sinbx;

3) хэзээ а = 0, б = 0е(x)=Pn(x).

Тайлбар 1. Хэрэв P n (x) бол º 0 эсвэл R м (x)º 0 бол тэгшитгэлийн баруун тал f(x) = e ax P n (x)с osbx эсвэл f(x) = e ax R m (x)sinbx, өөрөөр хэлбэл зөвхөн нэг функцийг агуулна. - косинус эсвэл синус. Гэхдээ тодорхой шийдлийн тэмдэглэгээнд тэдгээр нь хоёулаа байх ёстой, учир нь (18) томъёоны дагуу тэдгээр нь тус бүрийг r = max(n, m) зэрэгтэй тодорхойгүй коэффициент бүхий олон гишүүнтээр үржүүлдэг.

Жишээ 11. Тогтмол коэффициент бүхий 4-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн хэлбэрийг тэгшитгэлийн баруун тал мэдэгдэж байгаа бол тодорхойл. е(X) = e x(2xcos 3x +(x 2 + 1)нүгэл 3x) ба шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс:

а ) к 1 = к 2 = 1, к 3 = 3,к 4 = - 1;

б ) к 1, 2 = 1 ± 3би,к 3, 4 = ± 1;

in ) к 1, 2 = 1 ± 3би,к 3, 4 = 1 ± 3би.

Шийдэл. Баруун талд нь бид тодорхой шийдэлд үүнийг олж авдаг цагт*(X), (18) томъёогоор тодорхойлогддог параметрүүд: а= 1, б= 3, r= 2. Эдгээр гурван тохиолдлын хувьд ижил хэвээр байгаа тул тоо к 0 , энэ нь сүүлчийн параметрийг зааж өгдөг стомъёо (18) нь тэнцүү байна к 0 = 1+ 3би. (a) тохиолдолд шинж чанарын язгуурт тоо байхгүй байна к 0 = 1 + 3би,гэсэн үг, с= 0, тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна

чи*(X) = x 0 e x(М 2 (x)cos 3x + Н 2 (x)нүгэл 3x) =

= дx( (Сүх 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 x 2 +Б 1 x + C 1)нүгэл 3x.

(b) тохиолдолд тоо к 0 = 1 + 3бишинж язгууруудын дунд нэг л удаа тохиолдоно гэсэн үг s= 1 болон

чи*(X) = x e x((Сүх 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 x 2 +Б 1 x + C 1)нүгэл 3x.

(c) тохиолдолд бидэнд байна s= 2 ба

чи*(X) = x 2 e x((Сүх 2 + Bx + C)cos 3x +(А 1 x 2 +Б 1 x + C 1)нүгэл 3x.

Жишээ 11-д тодорхой шийдлийн бүртгэлд тодорхойгүй коэффициент бүхий 2-р зэргийн хоёр олон гишүүнт байна. Шийдлийг олохын тулд та эдгээр коэффициентүүдийн тоон утгыг тодорхойлох хэрэгтэй. Ерөнхий дүрмийг томъёолъё.

Олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох М Р(x) ба Н Р(x) тэгш байдлыг (17) шаардлагатай олон удаа ялгаж, функцийг орлуулна чи*(X) ба түүний уламжлалыг (16) тэгшитгэлд оруулна. Түүний зүүн ба баруун хэсгүүдийг харьцуулж үзвэл бид системийг олж авдаг алгебрийн тэгшитгэлкоэффициентийг олох.

Жишээ 12. Тэгшитгэлийн шийдийг ол цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = xe 2x, баруун талын хэлбэрээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг тодорхойлсон.

Шийдэл. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

цагт( X) = ` цагт(X)+ чи*(X),

хаана ` цагт ( X) - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, ба чи*(X) - нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл.

Эхлээд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = 0. Түүний шинж чанарын тэгшитгэл к 2 - к- 6 = 0 хоёр үндэстэй к 1 = 3,к 2 = - 2, Үүний үр дүнд, ` цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X .

Бид тодорхой уусмалын төрлийг тодорхойлохын тулд (18) томъёог ашигладаг цагт*(X). Чиг үүрэг е(x) = xe 2x төлөөлдөг онцгой тохиолдол(a) томъёо (17), харин a = 2,b= 0 болон r= 1, өөрөөр хэлбэл к 0 = 2 + 0би = 2. Онцлог үндэстэй харьцуулбал бид үүнийг дүгнэж байна s= 0. Бүх параметрийн утгыг томъёогоор (18) орлуулснаар бид байна чи*(X) = (Аа + Б)д 2X .

Үнэ цэнийг олохын тулд ГЭХДЭЭболон AT, функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг ол чи*(X) = (Аа + Б)д 2X :

чи*¢ (X)= Ae 2X + 2(Аа + Б)д 2X = (2Аа + А + 2Б)д 2x,

чи*¢ ¢ (X) = 2Ае 2X + 2(2Аа + А + 2Б)д 2X = (4Аа + 4A+ 4Б)д 2X .

Функцийг орлуулсны дараа чи*(X) ба түүний деривативуудыг бидэнд байгаа тэгшитгэлд оруулна

(4Аа + 4A+ 4Б)д 2X - (2Аа + А + 2Б)д 2X - 6(Аа + Б)д 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

Тиймээс нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна

чи*(X) = (- 1/4X- 3/16)д 2X ,

ба ерөнхий шийдэл - цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .

Тайлбар 2.Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн Кошигийн асуудал тавигдсан тохиолдолд эхлээд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох хэрэгтэй.

цагт( X) = ,

дахь коэффициентүүдийн бүх тоон утгыг тодорхойлсны дараа цагт*(X). Дараа нь эхний нөхцлүүдийг ашиглаж, тэдгээрийг ерөнхий шийдэлд орлуулж (мөн чи*(X)), тогтмолуудын утгыг ол C би.

Жишээ 13. Кошигийн асуудлын шийдлийг ол.

цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

цагт(X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X

Жишээ 12-т олдсон. Өгөгдсөн Коши бодлогын анхны нөхцөлийг хангах тодорхой шийдлийг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Үүнийг шийдэх нь бидэнд байна C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Тиймээс Кошигийн асуудлын шийдэл нь функц юм

цагт(X) = 1/8д 3X + 1/16д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .

Тайлбар 3(суперпозиция зарчим). Хэрэв орвол шугаман тэгшитгэл Л н[y(x)]= f(x), хаана е(x) = f 1 (x)+f 2 (x) ба чи* 1 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл Л н[y(x)]= f 1 (x), а чи* 2 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл Л н[y(x)]= f 2 (x), дараа нь функц чи*(X)= у* 1 (x)+ чи* 2 (x) байна тэгшитгэлийн шийдэл Л н[y(x)]= f(x).

ЖИШЭЭ 14. Шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн хэлбэрийг заана уу

цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = x + sinx.

Шийдэл. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

` цагт(x) = C 1 cos 2x + C 2 нүгэл 2x,

шинж чанарын тэгшитгэлээс хойш к 2 + 4 = 0 үндэстэй к 1, 2 = ± 2би.Тэгшитгэлийн баруун тал нь (17) томьёотой тохирохгүй, гэхдээ тэмдэглэгээг оруулбал е 1 (x) = x, е 2 (x) = sinxба суперпозиция зарчмыг ашиглана , дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр олж болно чи*(X)= у* 1 (x)+ чи* 2 (x), хаана чи* 1 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = x, а чи* 2 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = sinx.Томъёогоор (18)

чи* 1 (x) = Сүх + Б,чи* 2 (x) = Ccosx + Dsinx.

Дараа нь тодорхой шийдэл

чи*(X) \u003d Ax + B + Ccosx + Dsinx,

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

цагт(X) = C 1 cos 2x + C 2 д - 2X + А x + B + Ccosx + Dsinx.

ЖИШЭЭ 15. Цахилгаан хэлхээ нь emf-тэй цуврал холбогдсон гүйдлийн эх үүсвэрээс бүрдэнэ д(т) = E нүгэлwт,индукц Лболон савнууд FROM, ба