Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл
Физикийн зарим асуудалд процессыг дүрсэлсэн хэмжигдэхүүнүүдийн хооронд шууд холбоо тогтоох боломжгүй байдаг. Гэхдээ судалж буй функцүүдийн деривативуудыг агуулсан тэгш байдлыг олж авах боломжтой. Тэд ингэж л үүсдэг дифференциал тэгшитгэлүл мэдэгдэх функцийг олохын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэх хэрэгцээ.
Энэ нийтлэл нь үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчийн функц болох дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудалтай тулгарсан хүмүүст зориулагдсан болно. Онол нь дифференциал тэгшитгэлийн талаар тэг мэдлэгтэй бол та даалгавраа даван туулж чадна гэсэн бүтэцтэй байдаг.
Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл бүр нь ердийн жишээ, асуудлын нарийвчилсан тайлбар, шийдэл бүхий шийдлийн аргатай холбоотой байдаг. Таны хийх ёстой зүйл бол асуудлынхаа дифференциал тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлж, ижил төстэй дүн шинжилгээ хийсэн жишээг олж, ижил төстэй үйлдлүүдийг хийх явдал юм.
Дифференциал тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд эсрэг деривативуудын багцыг олох чадвар хэрэгтэй болно ( тодорхойгүй интегралууд) янз бүрийн функцууд. Шаардлагатай бол энэ хэсэгт хандахыг зөвлөж байна.
Эхлээд бид деривативын хувьд шийдэж болох эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзэх болно, дараа нь бид хоёр дахь эрэмбийн ODE-ууд руу шилжиж, дараа нь дээд эрэмбийн тэгшитгэлүүд дээр анхаарлаа хандуулж, системүүдээр төгсгөх болно. дифференциал тэгшитгэл.
Хэрэв y нь х аргументийн функц бол гэдгийг санаарай.
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
Хэлбэрийн хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
Ийм алсын удирдлагын цөөн хэдэн жишээг бичье 
.
Дифференциал тэгшитгэл 
тэгш байдлын хоёр талыг f(x) -д хуваах замаар деривативын талаар шийдэж болно. Энэ тохиолдолд бид f(x) ≠ 0-ийн анхныхтай тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ. Ийм ODE-ийн жишээнүүд нь .
Хэрэв f(x) ба g(x) функцууд нэгэн зэрэг алга болох х аргументийн утгууд байвал нэмэлт шийдлүүд гарч ирнэ. Нэмэлт шийдлүүдтэгшитгэл 
өгөгдсөн x нь эдгээр аргументын утгуудад тодорхойлогдсон аливаа функцууд юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн жишээнд:
Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд.
Тогтмол коэффициент бүхий LDE нь дифференциал тэгшитгэлийн маш түгээмэл төрөл юм. Тэдний шийдэл нь тийм ч хэцүү биш юм. Эхлээд үндэс олддог шинж чанарын тэгшитгэл 
. Өөр өөр p ба q-ийн хувьд гурван тохиолдол боломжтой: шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба өөр, бодит ба давхцаж болно. 
эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгатууд. Онцлог тэгшитгэлийн язгуурын утгуудаас хамааран дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ. 
, эсвэл 
, эсвэл тус тус.
Жишээлбэл, тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь k 1 = -3 ба k 2 = 0 байна. Үндэс нь бодит бөгөөд ялгаатай тул тогтмол коэффициент бүхий LODE-ийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл.
Тогтмол y коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн LDDE-ийн ерөнхий шийдлийг нийлбэр хэлбэрээр хайж байна. ерөнхий шийдэл LOD-д тохирох 
мөн анхны шийдэл нь тийм биш юм нэгэн төрлийн тэгшитгэл, тэр бол, . Өмнөх догол мөр нь тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олоход зориулагдсан болно. Тодорхой шийдлийг анхны тэгшитгэлийн баруун талд байрлах f(x) функцийн тодорхой хэлбэрийн тодорхой бус коэффициентийн аргаар эсвэл дурын тогтмолыг өөрчлөх аргаар тодорхойлно.
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн LDDE-ийн жишээ болгон бид өгдөг 
Онолыг ойлгож, мэддэг болно нарийвчилсан шийдлүүдТогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн жишээнүүдийг танд санал болгож байна.
Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл (LODE) 
ба хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлүүд (LNDEs).
Энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тогтмол коэффициент бүхий LODE ба LDDE юм.
Тодорхой сегмент дээрх LODE-ийн ерөнхий шийдийг энэ тэгшитгэлийн y 1 ба y 2 шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдүүдийн шугаман хослолоор илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл, 
.
Гол бэрхшээл нь энэ төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлийг олоход оршдог. Ихэвчлэн шугаман бие даасан функцүүдийн дараах системүүдээс тодорхой шийдлүүдийг сонгодог. 
Гэсэн хэдий ч тодорхой шийдлүүдийг энэ хэлбэрээр үргэлж танилцуулдаггүй.
LOD-ийн жишээ бол 
.
LDDE-ийн ерөнхий шийдийг LDDE-ийн ерөнхий шийдэл, анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэсэн хэлбэрээр хайж байна. Бид сая үүнийг олох тухай ярьсан боловч дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан тодорхойлж болно.
LNDU-ийн жишээг өгч болно 
.
Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.
Дарааллыг багасгах боломжийг олгодог дифференциал тэгшитгэлүүд.
Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал 
, хүссэн функц болон түүний уламжлалыг k-1 хүртэлх эрэмбээр агуулаагүй, орлуулах замаар n-k болгож бууруулж болно.
Энэ тохиолдолд анхны дифференциал тэгшитгэлийг бууруулна. Түүний шийдлийг p(x) олсны дараа орлуулалт руу буцаж, үл мэдэгдэх y функцийг тодорхойлоход үлдэнэ.
Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэл 
орлуулсны дараа энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл болж, дараалал нь 3-аас эхний хүртэл багасна.
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг
y"" + х(x)y" + q(x)y = е(x) ,
Хаана yнь олох функц мөн х(x) , q(x) Мөн е(x) - тодорхой интервал дахь тасралтгүй функцууд ( а, б) .
Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэг бол ( е(x) = 0), тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл . Энэ хичээлийн практик хэсгийг голчлон ийм тэгшитгэлд зориулах болно. Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь тэгтэй тэнцүү биш бол ( е(x) ≠ 0) байвал тэгшитгэлийг .
Асуудлын хувьд бид тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай y"" :
y"" = −х(x)y" − q(x)y + е(x) .
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг Кошигийн асуудал .
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл ба түүний шийдэл
Шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
y"" + х(x)y" + q(x)y = 0 .
Хэрэв y1 (x) Тэгээд y2 (x) Энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд байвал дараах мэдэгдлүүд үнэн болно.
1) y1 (x) + y 2 (x) - мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл;
2) Cy1 (x) , Хаана C- дурын тогтмол (тогтмол) нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Эдгээр хоёр мэдэгдлээс харахад функц
C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)
нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Шударга асуулт гарч ирнэ: энэ шийдэл мөн үү Шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл , өөрөөр хэлбэл, өөр өөр утгын хувьд ийм шийдэл C1 Тэгээд C2 тэгшитгэлийн бүх боломжит шийдлийг олж авах боломжтой юу?
Энэ асуултын хариулт нь: магадгүй, гэхдээ тодорхой нөхцөлд. Энэ Тодорхой шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстой гэсэн нөхцөл y1 (x) Тэгээд y2 (x) .
Мөн энэ нөхцлийг нөхцөл гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан байдалхувийн шийдлүүд.
Теорем. Чиг үүрэг C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) нь шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм y1 (x) Тэгээд y2 (x) шугаман бие даасан.
Тодорхойлолт. Функцүүд y1 (x) Тэгээд y2 (x) Хэрэв тэдгээрийн харьцаа тогтмол 0 биш байвал шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг:
y1 (x)/y 2 (x) = к ; к = const ; к ≠ 0 .
Гэсэн хэдий ч эдгээр функцууд нь шугаман хамааралгүй эсэхийг тодорхойлох нь ихэвчлэн маш их хөдөлмөр шаарддаг. Вронски тодорхойлогчийг ашиглан шугаман бие даасан байдлыг тогтоох арга бий В(x) :
Хэрэв Вронски тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш бол шийдлүүд нь шугаман бие даасан байна . Хэрэв Вронски тодорхойлогч тэг байвал шийдлүүд нь шугаман хамааралтай байна.
Жишээ 1.Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл. Бид хоёр удаа интегралддаг бөгөөд харахад хялбар байдаг шиг функцын хоёр дахь дериватив ба функцийн хоёрын ялгаа тэгтэй тэнцүү байхын тулд шийдлүүд нь дериватив нь өөртэй нь тэнцүү экспоненциалтай холбоотой байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл хэсэгчилсэн шийдлүүд нь ба .
Вронски тодорхойлогчоос хойш
тэгтэй тэнцүү биш бол эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Иймд энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно
.
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл: онол ба практик
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг
y"" + py" + qy = 0 ,
Хаана хТэгээд q- тогтмол утгууд.
Энэ нь хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл гэдгийг хүссэн функцийн хоёр дахь дериватив байгаагаар, түүний нэгэн төрлийн байдлыг баруун талд нь тэгээр илэрхийлдэг. Дээр дурдсан утгыг тогтмол коэффициент гэж нэрлэдэг.
руу Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх , та эхлээд хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийг шийдэх ёстой
к² + pq + q = 0 ,
Энэ нь энгийн квадрат тэгшитгэл юм.
Онцлогийн тэгшитгэлийн шийдлээс хамааран гурван өөр хувилбар байж болно Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд , бид одоо дүн шинжилгээ хийх болно. Бүрэн тодорхой болгохын тулд бид бүх тодорхой шийдлүүдийг Вронски тодорхойлогчоор шалгасан бөгөөд бүх тохиолдолд тэгтэй тэнцүү биш гэж үзнэ. Гэсэн хэдий ч эргэлзэж байгаа хүмүүс үүнийг өөрсдөө шалгаж болно.
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой байна
Өөрөөр хэлбэл, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Жишээ 2. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд
.
Жишээ 3. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд
.
Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь хэлбэр, үндэстэй бөгөөд бодит бөгөөд тодорхой байна. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байна
Тэр бол, . Энэ тохиолдолд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Жишээ 4. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд
.
Шийдэл. Онцлогийн тэгшитгэл 
ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
Жишээ 5. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд
.
Шийдэл. Онцлог тэгшитгэл нь ижил үндэстэй. Тэгшитгэлийн харгалзах хэсэгчилсэн шийдүүд нь: ба . Энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
Энд бид шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг хэрэглэнэ. Дэлгэрэнгүй тодорхойлолттэгшитгэлийг шийдвэрлэх энэ арга санамсаргүй дараалалхуудсан дээр дурдсан
Дээд зэрэглэлийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх >>>.
Жишээ 1
Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд.
(1)
Шийдэл
Эхлээд бид нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ.
(2)
Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл юм.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:
.
Олон үндэс: . (2) тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
(3)
.
Эндээс бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна (2):
(4)
.
Тогтмолуудыг өөрчлөх C 1
болон C 2
. Өөрөөр хэлбэл, бид (4) дахь тогтмолуудыг дараах функцээр солино.
.
Бид анхны тэгшитгэлийн (1) шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
(5)
.
Деривативыг олох нь:
.
Функц ба тэгшитгэлийг холбоно уу:
(6)
.
Дараа нь
.
Бид хоёр дахь деривативыг олдог:
.
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1):
(1)
;
.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийг (2) хангасан тул сүүлийн гурван эгнээний багана тус бүрийн гишүүний нийлбэр нь тэг болж өмнөх тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
(7)
.
Энд.
(6) тэгшитгэлийн хамт бид функцийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг олж авна.
(6)
:
(7)
.
Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх
Бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг (6-7). Функцуудын илэрхийллүүдийг бичье ба:
.
Бид тэдгээрийн деривативуудыг олдог:
;
.
Бид (6-7) тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. Бид системийн матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно.
.
Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
Тиймээс бид функцүүдийн деривативуудыг олсон:
;
.
Интеграцчилъя (Үндэс нэгтгэх аргуудыг үзнэ үү). Сэлгээ хийх
;
;
;
.
.
.
;
.
Хариулах
Жишээ 2
Лагранжийн тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар дифференциал тэгшитгэлийг шийд.
(8)
Шийдэл
Алхам 1. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бид нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ.
(9)
Бид хэлбэрээр шийдлийг хайж байна. Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэдэг:
Энэ тэгшитгэл нь нарийн төвөгтэй үндэстэй:
.
Эдгээр үндэст тохирох шийдлүүдийн үндсэн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
(10)
.
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (9):
(11)
.
Алхам 2. Тогтмолуудын өөрчлөлт - тогтмолыг функцээр солих
Одоо бид C тогтмолуудыг өөрчилдөг 1
болон C 2
. Өөрөөр хэлбэл, бид (11) дахь тогтмолуудыг дараах функцээр солино.
.
Бид анхны тэгшитгэлийн (8) шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
(12)
.
Цаашилбал, шийдлийн явц нь жишээ 1-тэй адил байна. Бид функцийг тодорхойлох дараах тэгшитгэлийн системд хүрнэ.
(13)
:
(14)
.
Энд.
Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх
Энэ системийг шийдье. Функцуудын илэрхийллүүдийг бичье.
.
Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
Бид тэгшитгэлийн системийг (13-14) Крамерын аргыг ашиглан шийддэг. Системийн матрицыг тодорхойлогч:
.
Крамерын томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
;
.
.
Учир нь логарифмын тэмдгийн дор модулийн тэмдгийг орхиж болно. Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.
Дараа нь
.
Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
.
Тогтмол коэффициенттэй шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) шийдвэрлэх үндэс (PC)
$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн LDDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй, $f\left(x) \right)$ нь тасралтгүй функц юм.
PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.
Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын хэсэгчилсэн шийдэл гэж үзье. Мөн $Y$ зарим функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (GS) гэж үзье. Дараа нь -ийн GR LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.
Хэрэв 2-р эрэмбийн LMDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь бид тохирох PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ болно. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функц тус бүрд, дараа нь CR LNDU-2-г $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ хэлбэрээр бичнэ.
PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл
Өгөгдсөн LNDU-2-ийн нэг буюу өөр PD $U$-ийн төрөл нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. PD LNDU-2-ийг хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон болно.
Дүрэм №1.
Баруун хэсэг LNDU-2 нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл $ зэрэгтэй олон гишүүнт гэнэ. n$. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй олон гишүүнт ба $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн тэгтэй тэнцүү язгуурын тоо юм. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар (Их Британи) олно.
Дүрэм №2.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын онцлог тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NC аргаар олно.
Дүрэм №3.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\beta$ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайж байна. \right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг үл эвдэх аргыг ашиглан олно.
Дүрэм №4.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\альфа \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайж олох бөгөөд $Q_(s) \left(x\right)$ болон $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь язгуурын тоо юм. $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NC аргаар олно.
NDT арга нь ашиглахаас бүрдэнэ дараагийн дүрэм. LNDU-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн хэсэг болох олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- гэж бичсэн PD $U$-г орлуулна ерөнхий үзэл, В зүүн тал LNDU-2;
- LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
- үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талуудын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.
Жишээ 1
Даалгавар: олох OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Мөн PD олох. , $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг хангаж байна.
Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Энэхүү LNDU-2-ын баруун тал нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ экспонентийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Иймээс энэхүү LNDU-2-ын PD нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.
Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.
Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:
$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.
$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Өгөгдсөн NLDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $) Мөн $e^(3\cdot x) $ илтгэгчийг хүчин зүйл болгон оруулсан болно Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үүнийг орхиж болно:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$
Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Өгөгдсөн эхний нөхцлүүдийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.
$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь дараах хэлбэртэй байна: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Энэ догол мөрийг хэлэлцэх болно онцгой тохиолдолХоёр дахь эрэмбийн шугаман тэгшитгэлүүд, тэгшитгэлийн коэффициентүүд тогтмол байх үед тэдгээр нь тоо юм. Ийм тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэл нь ялангуяа өргөн хэрэглээг олдог.
1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалалТэгшитгэлийг авч үзье
Үүнд коэффициентүүд тогтмол байна. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг хувааж, тэмдэглэнэ гэж үзвэл
Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье
Мэдэгдэж байгаагаар шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд үүнийг мэдэхэд хангалттай. үндсэн системхувийн шийдлүүд. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олохыг үзүүлье. Бид энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
Энэ функцийг хоёр удаа ялгаж, (59) тэгшитгэлд илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна
-ээс хойш, -ээр бууруулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна
Энэ тэгшитгэлээс (59) тэгшитгэлийн шийдэл болох функц болох k-ийн утгуудыг тодорхойлно.
k коэффициентийг тодорхойлох алгебрийн тэгшитгэлийг (61) энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл (59) гэнэ.
Онцлог тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл тул хоёр үндэстэй. Эдгээр язгуурууд нь бодит ялгаатай, бодит ба тэнцүү эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно.
Эдгээр тохиолдол бүрт тодорхой шийдлүүдийн үндсэн систем ямар хэлбэртэй болохыг авч үзье.
1. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба ялгаатай: . Энэ тохиолдолд (60) томъёог ашиглан бид хоёр хэсэгчилсэн шийдлийг олно.
Эдгээр хоёр тодорхой шийдэл нь бүхэл тоон тэнхлэгт шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг, учир нь Вронски тодорхойлогч хаана ч алга болдоггүй.
Үүний үр дүнд (48) томъёоны дагуу тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
2. Шинж чанар тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү байна: . Энэ тохиолдолд хоёр үндэс нь жинхэнэ байх болно. Томъёо (60) ашиглан бид зөвхөн нэг тодорхой шийдлийг олж авдаг
Эхнийхтэйгээ хамт үндсэн системийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй болохыг харуулъя
Юуны өмнө функц (59) тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгая. Үнэхээр,
Гэхдээ шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс байгаа тул (61). Үүнээс гадна Виетийн теоремын дагуу . Үүний үр дүнд, өөрөөр хэлбэл, функц нь (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Олдсон хэсэгчилсэн шийдлүүд нь шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг одоо харуулъя. Үнэхээр,
Тиймээс, энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн ерөнхий шийдэл шугаман тэгшитгэлшиг харагдаж байна
3. Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нийлмэл. Мэдэгдэж байгаагаар нарийн төвөгтэй үндэс квадрат тэгшитгэлбодит коэффициентүүд нь коньюгат байна нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь: . Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу (59) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлүүд дараах хэлбэртэй байна.
Эйлерийн томъёог ашиглан (XI бүлгийн § 5, 3-р хэсгийг үзнэ үү) илэрхийллийг дараах байдлаар бичиж болно.
Эдгээр шийдлүүд нь цогц юм. Хүчин төгөлдөр шийдлийг олж авахын тулд шинэ функцуудыг анхаарч үзээрэй
Эдгээр нь шийдлүүдийн шугаман хослол бөгөөд (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм (§ 3, 2-р теоремыг үзнэ үү).
Эдгээр шийдлүүдийн Вронски тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг.
Ийнхүү шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын хувьд нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Дүгнэж хэлэхэд, тэгшитгэлийн язгуурын төрлөөс хамааран (59) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёоны хүснэгтийг үзүүлэв.
