1-р эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэл. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл ба Бернулли тэгшитгэл

1. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Хэрэв энэ тэгшитгэлийг ta-д хамааруулан шийдэж чадвал ингэж бичиж болно

Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийг деривативтай холбоотойгоор шийддэг гэж бид хэлдэг. Ийм тэгшитгэлийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийн шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын тухай теорем гэж нэрлэгддэг дараах теорем хүчинтэй байна. Теорем. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол

функц ба түүний y-тэй холбоотой хэсэгчилсэн дериватив нь зарим цэгийг агуулсан хавтгай дээрх зарим D мужид тасралтгүй байвал энэ тэгшитгэлийн өвөрмөц шийдэл байна.

нөхцөлийг хангаж байна

Энэ теоремыг § 27 Ch-т батлах болно. XVI.

Теоремын геометрийн утга нь тухайн цэгээр график нь дамждаг өвөрмөц функц байдаг.

Сая дурдсан теоремоос харахад тэгшитгэл нь хязгааргүй тоотой байна янз бүрийн шийдэл(жишээ нь, график нь цэгээр дамждаг шийдэл, граф нь цэгээр дамждаг өөр шийдэл гэх мэт, хэрэв зөвхөн эдгээр цэгүүд тухайн талбайд оршдог бол гэх мэт.

y функц өгөгдсөн тоотой тэнцүү байх нөхцөлийг эхний нөхцөл гэнэ. Ихэнхдээ ингэж бичдэг

Тодорхойлолт 1. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь функц юм

Энэ нь дурын нэг тогтмол C-аас хамаарах ба дараах нөхцлийг хангана.

a) тогтмол С-ийн аливаа тодорхой утгын дифференциал тэгшитгэлийг хангадаг;

б) анхны нөхцөл нь ямар ч байсан, функц нь өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангахуйц утгыг олж болно. Утгууд нь оршин тогтнох теоремын нөхцөл ба шийдлийн өвөрмөц байдлыг хангасан x ба y хувьсагчдын хэлбэлзлийн мужид хамаарна гэж үздэг.

2. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайх явцад бид ихэвчлэн хэлбэрийн хамааралд ордог.

-ын хувьд зөвшөөрөхгүй Энэ хамаарлыг y-тэй холбож шийдэж, ерөнхий шийдлийг олж авна. Гэсэн хэдий ч (2) хамаарлаас y-г энгийн функцээр илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг; ийм тохиолдолд ерөнхий шийдлийг далд хэлбэрээр үлдээдэг. Ерөнхий шийдлийг далд заасан хэлбэрийн тэгш байдлыг дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Сүүлчийн дурын тогтмол C-д тодорхой утга өгөгдсөн тохиолдолд ерөнхий шийдээс олж авах аливаа функцийг тодорхой шийдэл гэнэ. Энэ тохиолдолд харьцааг тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн интеграл гэнэ.

Жишээ 1. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд

Ерөнхий шийдэл нь функцүүдийн гэр бүл байх бөгөөд үүнийг тэгшитгэлд энгийн орлуулалтаар шалгаж болно.

Дараах эхний нөхцлийг хангасан тодорхой шийдлийг олцгооё: эдгээр утгыг томъёонд орлуулахын тулд бид олж авна, эсвэл Тиймээс шаардлагатай тодорхой шийдэл нь функц байх болно.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл ерөнхий интеграл нь нэг дурын тогтмол C (эсвэл тэдний хэлснээр нэг параметр C) -ээс хамаарч координатын хавтгай дээрх муруйн гэр бүл юм.

Эдгээр муруйг өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн интеграл муруй гэж нэрлэдэг. Хэсэгчилсэн интеграл нь энэ гэр бүлийн заримыг дамжих нэг муруйтай тохирч байна өгсөн онооонгоцууд.

Тиймээ, дотор сүүлчийн жишээерөнхий интеграл нь геометрийн хувьд гиперболын гэр бүлээр дүрслэгдсэн бөгөөд заасан анхны нөхцөлөөр тодорхойлогддог тусгай интеграл нь тухайн цэгийг дайран өнгөрч буй эдгээр гиперболуудын аль нэгээр дүрслэгддэг. 251 нь зарим параметрийн утгуудад харгалзах гэр бүлийн муруйг харуулж байна: гэх мэт.

Үндэслэлийг илүү тодорхой болгохын тулд бид цаашид тэгшитгэлийн шийдийг зөвхөн тэгшитгэлийг хангадаг функц төдийгүй харгалзах интеграл муруй гэж нэрлэх болно. Үүнтэй холбогдуулан бид жишээ нь цэгээр дамжин өнгөрөх шийдлийн талаар ярих болно.

Сэтгэгдэл. Зураг дээрх тэнхлэг дээр байрлах цэгээр дамжин өнгөрөх шийдэл байхгүй байна. 251), тэгшитгэлийн баруун тал тодорхойлогдоогүй тул тасралтгүй биш байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх буюу интеграци хийх нь:

a) түүний ерөнхий шийдэл буюу ерөнхий интегралыг олох (эхний нөхцөл өгөгдөөгүй бол), эсвэл

б) өгөгдсөн анхны нөхцлийг (хэрэв байгаа бол) хангасан тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол.

3. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн геометрийн тайлбарыг өгье.

Деривативтай холбоотойгоор шийдэгдсэн дифференциал тэгшитгэлийг өгье.

ба энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байг. Энэхүү ерөнхий шийдэл нь хавтгай дахь интеграл муруйн бүлгийг тодорхойлдог

Тэгшитгэл (D) M цэг бүрийн координат х ба у нь деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл энэ цэгийг дайран өнгөрөх интеграл муруй руу шүргэгчийн налууг тодорхойлно. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл (D) нь олон чиглэлийг өгдөг, эсвэл тэдний хэлснээр хавтгай дээрх чиглэлийн талбарыг тодорхойлдог.

Иймд геометрийн үүднээс авч үзвэл дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх асуудал нь харгалзах цэгүүдийн талбайн чиглэлтэй шүргэгч чиглэл нь давхцаж буй муруйнуудыг олох явдал юм.

Дифференциал тэгшитгэлийн (1) хувьд тухайн хамаарал орших цэгүүдийн байршлыг өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн изоклиналь гэнэ.

k-ийн янз бүрийн утгын хувьд бид өөр изоклиныг олж авдаг. k-ийн утгад харгалзах изоклины тэгшитгэл нь тодорхой байна: Изоклинуудын гэр бүлийг байгуулснаар ойролцоогоор интеграл муруйн бүлгийг байгуулж болно. Изоклиныг мэдсэнээр хавтгай дээрх интеграл муруйнуудын байршлыг чанарын хувьд тодорхойлж болно гэж хэлдэг.

Дифференциал тэгшитгэл гэх мэт гайхамшигтай математик хэрэгслийн түүхээс эхлэх ёстой гэж би бодож байна. Бүх дифференциал ба интеграл тооцооллын нэгэн адил эдгээр тэгшитгэлийг 17-р зууны төгсгөлд Ньютон зохион бүтээсэн. Тэрээр энэхүү нээлтээ маш чухал гэж үзсэн тул өнөө үед "Байгалийн бүх хуулиудыг дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн байдаг" гэсэн мессежийг шифрлэсэн байна. Энэ нь хэтрүүлэг мэт санагдаж болох ч үнэн. Физик, хими, биологийн аливаа хуулийг эдгээр тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэх, бий болгоход математикч Эйлер, Лагранж нар асар их хувь нэмэр оруулсан. 18-р зуунд тэд одоо их дээд сургуулиудын ахлах курст сурч байгаа зүйлээ нээж, хөгжүүлсэн.

Анри Пуанкарегийн ачаар дифференциал тэгшитгэлийг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тэрээр "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онол"-ыг бүтээсэн бөгөөд энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолтой хослуулан топологийн үндэс суурь болох орон зай, түүний шинж чанарын шинжлэх ухаанд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан юм.

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Олон хүмүүс нэг хэллэгээс айдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нийтлэлд бид энэ маш хэрэгтэй математикийн аппаратын мөн чанарыг бүхэлд нь нарийвчлан тайлбарлах болно, энэ нь үнэндээ нэрнээс нь харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэхийн тулд эхлээд энэ тодорхойлолттой угаасаа холбоотой үндсэн ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Дифференциалаас эхэлье.

Дифференциал

Олон хүмүүс энэ ойлголтыг сургуулиасаа мэддэг. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. Функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг аль ч сегмент нь шулуун шугам хэлбэртэй байхаар нэмэгдүүлэх боломжтой. Үүн дээр бид бие биентэйгээ хязгааргүй ойрхон хоёр цэгийг авдаг. Тэдний координатын (x эсвэл y) хоорондын зөрүү нь хязгааргүй бага утгатай байх болно. Үүнийг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд dy (y-ээс ялгавартай) ба dx (х-ээс ялгаатай) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дифференциал нь хязгаарлагдмал утга биш гэдгийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд энэ нь түүний утга, үндсэн үүрэг юм.

Одоо дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг тайлбарлахад тустай дараах элементийг авч үзэх шаардлагатай байна. Энэ бол дериватив юм.

Дериватив

Энэ ойлголтыг бид бүгд сургуульд байхдаа сонссон байх. Дериватив нь функцийн өсөлт эсвэл бууралтын хурд юм. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтын ихэнх нь ойлгомжгүй болдог. Деривативыг дифференциалаар тайлбарлахыг оролдъё. Бие биенээсээ хамгийн бага зайд байрлах хоёр цэг бүхий функцийн хязгааргүй жижиг сегмент рүү буцъя. Гэхдээ энэ зайд ч гэсэн функц тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөж чаддаг. Мөн энэ өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд тэд өөрөөр хэлбэл дифференциалуудын харьцаагаар бичиж болох деривативыг гаргаж ирэв: f (x) "=df / dx.

Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх нь зүйтэй юм. Тэдгээрийн зөвхөн гурав нь байна:

1. (a+b)"=a"+b" ба (a-b)"=a"-b" гэсэн нийлбэр буюу зөрүүний деривативыг деривативуудын нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно.
2. Хоёрдахь шинж чанар нь үржүүлэхтэй холбоотой. Бүтээгдэхүүний дериватив нь нэг функцийн үржвэр ба нөгөө функцийн деривативын нийлбэр юм: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Зөрүүний деривативыг дараах тэгшитгэлээр бичиж болно: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олоход хэрэгтэй болно.

Мөн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Бидэнд x ба y хувьсагчдаас хамаарах z функц байна гэж бодъё. Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцохын тулд, жишээ нь x-тэй холбоотой, бид y хувьсагчийг тогтмол гэж аваад зүгээр л ялгах хэрэгтэй.

Интеграл

Өөр нэг чухал ойлголт бол интеграл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын шууд эсрэг зүйл юм. Хэд хэдэн төрлийн интеграл байдаг боловч хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бидэнд хамгийн энгийн зүйл хэрэгтэй.

Тэгэхээр бид f-ээс х-ээс ямар нэгэн хамааралтай байна гэж бодъё. Үүнээс бид интегралыг аваад F (x) функцийг (ихэвчлэн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг) авдаг бөгөөд дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Тиймээс F(x)"=f(x). Үүнээс гадна деривативын интеграл нь анхны функцтэй тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ интегралын утга, функцийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд учир нь та шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг маш олон удаа авах шаардлагатай болдог.

Тэгшитгэл нь шинж чанараасаа хамааран өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзэх бөгөөд дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн ангиуд

"Diffura" нь тэдгээрт хамаарах деривативуудын дарааллаар хуваагдана. Тиймээс эхний, хоёр, гурав, түүнээс дээш дараалал байдаг. Тэдгээрийг мөн хэд хэдэн ангилалд хувааж болно: энгийн ба хэсэгчилсэн дериватив.

Энэ нийтлэлд бид эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Дараах хэсгүүдэд бид жишээ болон тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно. Эдгээр нь хамгийн түгээмэл төрлийн тэгшитгэлүүд учраас бид зөвхөн ODE-г авч үзэх болно. Энгийнийг дэд зүйлд хуваадаг: салгаж болох хувьсагчтай, нэгэн төрлийн ба гетероген. Дараа нь та тэдгээр нь бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Нэмж дурдахад эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэж болох бөгөөд ингэснээр бид эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна. Бид мөн ийм системийг авч үзэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Яагаад бид зөвхөн эхний захиалгыг авч үзэж байна вэ? Учир нь та энгийн нэгээс эхлэх хэрэгтэй бөгөөд дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой бүх зүйлийг нэг өгүүллээр тайлбарлах нь ердөө боломжгүй юм.

Салгаж болох хувьсах тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь магадгүй хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнд: y "=f (x) * f (y). Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүсмэлийг дифференциалын харьцаагаар илэрхийлэх томъёо хэрэгтэй: y" = dy / dx. Үүнийг ашигласнаар бид дараах тэгшитгэлийг авна: dy/dx=f(x)*f(y). Одоо бид стандарт жишээнүүдийг шийдвэрлэх арга руу шилжиж болно: бид хувьсагчдыг хэсэг болгон хуваах болно, өөрөөр хэлбэл бид y хувьсагчтай бүх зүйлийг dy байрлаж буй хэсэг рүү шилжүүлж, x хувьсагчтай ижил зүйлийг хийх болно. Бид dy/f(y)=f(x)dx хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийн интегралыг авах замаар шийдэгддэг. Интегралыг авсны дараа тохируулах ёстой тогтмол байдлын талаар бүү мартаарай.

Аливаа "диффурантын" шийдэл нь x-ийн y-ээс хамаарах функц юм (манай тохиолдолд) эсвэл хэрэв тоон нөхцөл байгаа бол хариулт нь тоо хэлбэртэй байна. Тодорхой жишээн дээр бүх шийдлийг авч үзье.

Бид хувьсагчдыг янз бүрийн чиглэлд шилжүүлдэг.

Одоо бид интегралуудыг авч байна. Тэдгээрийг бүгдийг нь интегралын тусгай хүснэгтээс олж болно. Тэгээд бид авах:

log(y) = -2*cos(x) + C

Шаардлагатай бол бид "y" -ийг "x" функцээр илэрхийлж болно. Одоо бид ямар ч нөхцөл өгөөгүй бол дифференциал тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж хэлж болно. Нөхцөл өгч болно, жишээ нь y(n/2)=e. Дараа нь бид эдгээр хувьсагчийн утгыг шийдэлд орлуулж, тогтмолын утгыг олно. Бидний жишээнд энэ нь 1-тэй тэнцүү байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Одоо илүү хэцүү хэсэг рүүгээ явцгаая. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг бичиж болно ерөнхий үзэлтэгэхээр: y"=z(x,y). Хоёр хувьсагчийн зөв функц нь нэгэн төрлийн бөгөөд үүнийг x дээр z, у дээр z гэсэн хоёр хамааралд хуваах боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсвэл нэг төрлийн эсэхийг шалгах. тийм ч хялбар биш: бид x=k*x ба y=k*y орлуулалтыг хийж байна. Одоо бид бүх k-г цуцалж байна. Хэрэв эдгээр бүх үсгийг багасгасан бол тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх бөгөөд та үүнийг шийдвэрлэхийн тулд аюулгүйгээр үргэлжлүүлж болно. Урьд нь хэлье: эдгээр жишээг шийдвэрлэх зарчим нь бас маш энгийн .

Бид орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=t(x)*x, энд t нь x-ээс бас хамааралтай зарим функц юм. Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно: y"=t"(x)*x+t. Энэ бүгдийг анхны тэгшитгэлдээ орлуулж, хялбаршуулж үзвэл бид t ба x салж болох хувьсагчтай жишээг олж авна. Бид үүнийг шийдэж t(x) хамаарлыг авна. Бид үүнийг авахдаа y=t(x)*x-г өмнөх орлуулалтдаа орлуулна. Дараа нь y-ийн x-ээс хамаарлыг олж авна.

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд жишээг авч үзье: x*y"=y-x*e y/x .

Орлуулахаар шалгахад бүх зүйл багасдаг. Тэгэхээр тэгшитгэл үнэхээр нэгэн төрлийн байна. Одоо бид өөр нэг орлуулалтыг хийж байна: y=t(x)*x ба y"=t"(x)*x+t(x). Хялбаршуулсаны дараа бид дараах тэгшитгэлийг авна: t "(x) * x \u003d -e t. Бид үүссэн жишээг салангид хувьсагчаар шийдэж, авна: e -t \u003dln (C * x). Бид зөвхөн t-г солих хэрэгтэй. y / x-тэй (учир нь y \u003d t * x бол t \u003d y / x), бид хариултыг авна: e -y / x \u003d ln (x * C).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Өөр нэг өргөн сэдвийг авч үзэх цаг болжээ. Бид эхний эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шинжлэх болно. Тэд өмнөх хоёроос юугаараа ялгаатай вэ? Үүнийг олж мэдье. Эхний дарааллын шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y " + g (x) * y \u003d z (x). Z (x) ба g (x) нь тогтмол утга байж болохыг тодруулах нь зүйтэй. .

Одоо жишээ нь: y" - y*x=x 2 .

Шийдэх хоёр арга байдаг бөгөөд бид хоёуланг нь дарааллаар нь шинжлэх болно. Эхнийх нь дурын тогтмолыг өөрчлөх арга юм.

Тэгшитгэлийг ингэж шийдэхийн тулд эхлээд тэгшитгэх хэрэгтэй баруун талТэг болгож, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, хэсгүүдийг шилжүүлсний дараа дараах хэлбэрийг авна.

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Одоо бид C 1 тогтмолыг v(x) функцээр солих хэрэгтэй, үүнийг олох хэрэгтэй.

Деривативыг өөрчилье:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Эдгээр илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлъё:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Зүүн талд хоёр нэр томъёо хүчингүй болсон нь харагдаж байна. Хэрэв зарим жишээнд ийм зүйл болоогүй бол та буруу зүйл хийсэн. Үргэлжлүүлье:

v"*e x2/2 = x 2.

Одоо бид хувьсагчдыг салгах шаардлагатай ердийн тэгшитгэлийг шийдэж байна.

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Интегралыг гаргаж авахын тулд бид энд хэсгүүдээр интеграцийг ашиглах ёстой. Гэсэн хэдий ч энэ нь бидний нийтлэлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол ийм үйлдлүүдийг өөрөө хийж сурах боломжтой. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд хангалттай ур чадвар, анхаарал халамж тавихад их цаг хугацаа шаарддаггүй.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь арга болох Бернуллигийн арга руу шилжье. Аль арга нь илүү хурдан бөгөөд хялбар байх нь танд хамаарна.

Тэгэхээр тэгшитгэлийг энэ аргаар шийдвэрлэхдээ орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=k*n. Энд k ба n нь х-ээс хамааралтай зарим функцууд юм. Дараа нь дериватив нь иймэрхүү харагдах болно: y"=k"*n+k*n". Бид хоёр орлуулалтыг тэгшитгэлд орлуулна:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Бүлэглэх:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Одоо бид хаалтанд байгаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэвэл шийдвэрлэх шаардлагатай нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчдыг салгах хэрэгтэй:

Бид интегралыг аваад: ln(n)=x 2 /2 болно. Хэрэв бид n-ийг илэрхийлбэл:

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж байна:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Мөн хувиргаснаар бид эхний аргын адил тэгш байдлыг олж авна.

dk=x 2 /e x2/2 .

Бид мөн задлан шинжлэхгүй цаашдын арга хэмжээ. Эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихээхэн бэрхшээл учруулдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч энэ сэдвийг гүнзгийрүүлэх тусам улам сайжирч эхэлдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг хаана ашигладаг вэ?

Бараг бүх үндсэн хуулиудыг бичдэг тул дифференциал тэгшитгэлийг физикт маш идэвхтэй ашигладаг дифференциал хэлбэр, мөн бидний харж буй тэдгээр томьёо нь эдгээр тэгшитгэлийн шийдэл юм. Химийн хувьд тэдгээрийг ижил шалтгаанаар ашигладаг: үндсэн хуулиуд нь тэдгээрээс гаралтай. Биологийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийг махчин-олз гэх мэт системийн зан төлөвийг загварчлахад ашигладаг. Тэдгээрийг бичил биетний колони гэх мэт нөхөн үржихүйн загварыг бий болгоход ашиглаж болно.

Дифференциал тэгшитгэл нь амьдралд хэрхэн туслах вэ?

Энэ асуултын хариулт нь энгийн: ямар ч боломжгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер биш бол тэд танд ашигтай байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч, төлөө ерөнхий хөгжилДифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, түүнийг хэрхэн шийдэж байгааг мэдэх нь гэмтээхгүй. Тэгээд дараа нь хүү эсвэл охины асуулт "дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?" чамайг төөрөгдүүлэхгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер бол энэ сэдвийн ямар ч шинжлэх ухаанд чухал ач холбогдолтой болохыг та өөрөө ойлгодог. Гэхдээ хамгийн гол нь одоо "Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" Та үргэлж хариулж чадна. Зөвшөөрч байна, хүмүүс ойлгохоос айдаг зүйлийг ойлгох нь үргэлж сайхан байдаг.

Сургалтын гол бэрхшээлүүд

Энэ сэдвийг ойлгоход тулгарч буй гол асуудал бол функцүүдийг нэгтгэх, ялгах чадвар муутай байдаг. Хэрэв та дериватив, интеграл авахдаа муу бол илүү ихийг сурах хэрэгтэй, багш аа өөр өөр аргууднэгтгэх, ялгах, зөвхөн дараа нь өгүүлэлд дурдсан материалыг судлах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Зарим хүмүүс dx-г шилжүүлж болно гэдгийг мэдээд гайхдаг, учир нь өмнө нь (сургуульд) dy / dx фракц хуваагдашгүй гэж заасан байдаг. Энд та деривативын талаархи уран зохиолыг уншиж, энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед удирдаж болох хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь ихэвчлэн авч болохгүй функц эсвэл интеграл байдгийг олон хүн шууд ойлгодоггүй бөгөөд энэ төөрөгдөл нь тэдэнд маш их бэрхшээл учруулдаг.

Илүү сайн ойлгохын тулд өөр юуг судалж болох вэ?

Дифференциал тооцооллын ертөнцөд төрөлжсөн сурах бичгүүд, жишээлбэл, математикийн бус мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан тооцоололд хамрагдаж эхлэх нь дээр. Дараа нь та илүү нарийн мэргэжлийн уран зохиол руу шилжиж болно.

Дифференциалаас гадна бас байдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу интеграл тэгшитгэл, тиймээс та үргэлж хичээх, сурах зүйлтэй байх болно.

Дүгнэлт

Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх талаар ойлголттой болно гэж найдаж байна.

Ямар ч байсан математик бидний амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болдог. Энэ нь логик, анхаарлыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнгүйгээр хүн бүр гаргүй мэт байдаг.

Заавар

Хэрэв тэгшитгэлийг: dy/dx = q(x)/n(y) гэж үзүүлбэл салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийн ангилалд хандана уу. Дифференциал дахь нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж тэдгээрийг шийдэж болно: n(y)dy = q(x)dx. Дараа нь хоёр хэсгийг нэгтгэнэ. Зарим тохиолдолд шийдлийг мэдэгдэж буй функцээс авсан интеграл хэлбэрээр бичдэг. Жишээлбэл, dy/dx = x/y тохиолдолд бид q(x) = x, n(y) = y болно. Үүнийг ydy = xdx гэж бичээд нэгтгэ. Та y^2 = x^2 + c-г авах ёстой.

шугаман руу тэгшитгэлтэгшитгэлийг "эхний" гэж нэрлэ. Үүсмэлүүдтэй үл мэдэгдэх функцийг ийм тэгшитгэлд зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт оруулна. Шугаман нь dy/dx + f(x) = j(x) хэлбэртэй бөгөөд f(x) ба g(x) нь x-ээс хамааралтай функцууд юм. Уг шийдлийг мэдэгдэж буй функцээс авсан интеграл ашиглан бичнэ.

Олон дифференциал тэгшитгэлүүд нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл (хоёр дахь дериватив агуулсан) гэдгийг санаарай.Жишээ нь, энэ нь ерөнхий байдлаар бичигдсэн энгийн гармоник хөдөлгөөний тэгшитгэл юм: md 2x / dt 2 = -kx. Ийм тэгшитгэл нь хэсэгчилсэн шийдтэй байна. Энгийн гармоник хөдөлгөөний тэгшитгэл нь нэлээд чухал зүйлийн жишээ юм: тогтмол коэффициенттэй шугаман дифференциал тэгшитгэл.

Хэрэв асуудлын нөхцөлд зөвхөн нэг л байгаа бол шугаман тэгшитгэл, энэ нь танд шийдлийг олох боломжтой нэмэлт нөхцөл өгөгдсөн гэсэн үг юм. Эдгээр нөхцлийг олохын тулд асуудлыг анхааралтай уншина уу. Хэрвээ хувьсагч x ба y нь зай, хурд, жин - x≥0 ба y≥0 хязгаарыг чөлөөтэй тохируулаарай. X эсвэл y нь , алим гэх мэт тоог нууж байгаа байх магадлалтай. - тэгвэл утгууд нь зөвхөн байж болно. Хэрвээ х нь хүүгийн нас бол тэрээр эцгээсээ илүү настай байж болохгүй нь тодорхой тул асуудлын нөхцөлөөр үүнийг зааж өгнө үү.

Эх сурвалжууд:

• Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх

Дифференциал ба интеграл тооцооллын асуудлууд нь онолыг нэгтгэх чухал элемент юм математик шинжилгээ, их дээд сургуулиудад суралцдаг дээд математикийн нэг хэсэг. дифференциал тэгшитгэлинтеграцийн аргаар шийддэг.

Заавар

Дифференциал тооцоошинж чанарыг шалгадаг. Үүний эсрэгээр, функцийг нэгтгэх нь өгөгдсөн шинж чанаруудын дагуу, i.e. Функцийн дериватив эсвэл дифференциалыг өөрөө олох. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Any нь үл мэдэгдэх утга болон мэдэгдэж буй өгөгдлийн хоорондох харьцаа юм. Дифференциал тэгшитгэлийн хувьд үл мэдэгдэхийн үүргийг функц, мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүний үүргийг түүний дериватив гүйцэтгэдэг. Үүнээс гадна харьцаа нь бие даасан хувьсагчийг агуулж болно: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, энд x нь үл мэдэгдэх хувьсагч юм. хувьсагч, у (х) нь тодорхойлох функц, тэгшитгэлийн дараалал нь деривативын (n) хамгийн их дараалал юм.

Ийм тэгшитгэлийг энгийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв эдгээр хувьсагчтай холбоотой функцүүдийн хамаарал болон хэсэгчилсэн дериватив (дифференциал)-д хэд хэдэн бие даасан хувьсагч байгаа бол тэгшитгэлийг хэсэгчилсэн дериватив бүхий дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэх ба x∂z/∂y - ∂z/∂ хэлбэртэй байна. x = 0, энд z(x, y) нь хүссэн функц юм.

Тиймээс дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахын тулд та эсрэг деривативуудыг олох чадвартай байх хэрэгтэй. урвуу ялгах асуудлыг шийдэх. Жишээ нь: Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг y’ = -y/x шийд.

Шийдэл y'-г dy/dx-ээр солино: dy/dx = -y/x.

Тэгшитгэлийг нэгтгэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруул. Үүнийг хийхийн тулд хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, y:dy/y = -dx/x-д хуваана.

Интеграл: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - log |x| +C.

Энэ шийдлийг ерөнхий дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. C нь утгуудын багц нь тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцыг тодорхойлдог тогтмол юм. С-ийн аливаа тодорхой утгын хувьд шийдэл нь өвөрмөц байх болно. Ийм шийдэл нь дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Ихэнх тэгшитгэлийн шийдэл градусквадратын үндсийг олох гэх мэт тодорхой томъёо байхгүй тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч өндөр түвшний тэгшитгэлийг илүү харааны хэлбэрт шилжүүлэх боломжийг олгодог хэд хэдэн бууруулах аргууд байдаг.

Заавар

Өндөр түвшний тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хамгийн түгээмэл арга бол өргөтгөл юм. Энэ арга нь бүхэл язгуур, чөлөөт гишүүний хуваагчийг сонгох, дараа нь ерөнхий олон гишүүнтийг (x - x0) хэлбэрт хуваах хосолсон арга юм.

Жишээ нь: x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0 тэгшитгэлийг шийд.Энэ олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүн нь -3 тул бүхэл хуваагч нь ±1 ба ±3 байж болно. Тэдгээрийг нэг нэгээр нь тэгшитгэлд орлуулж, ижил утгатай эсэхийг олж мэдээрэй: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

Хоёрдахь үндэс x = -1. (x + 1) илэрхийллээр хуваана. Үүссэн тэгшитгэлийг бич (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. Зэрэг нь хоёр дахь руу буурсан тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй байж болно. Тэдгээрийг олохын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийд: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

Дискриминант нь сөрөг утга бөгөөд энэ нь тэгшитгэл жинхэнэ үндэсгүй болсон гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн цогц язгуурыг ол: x = (-2 + i √11)/2 ба x = (-2 – i √11)/2.

Дээд зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх өөр нэг арга бол хувьсагчийг квадрат болгон өөрчлөх явдал юм. Энэ аргыг тэгшитгэлийн бүх хүч тэгш байх үед хэрэглэнэ, жишээлбэл: x^4 - 13 x² + 36 = 0

Одоо анхны тэгшитгэлийн язгуурыг ол: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Зөвлөгөө 10: Redox тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлох вэ

Химийн урвал гэдэг нь тэдгээрийн найрлага өөрчлөгдөхөд үүсдэг бодисыг хувиргах үйл явц юм. Урвалд орж буй бодисыг анхдагч гэж нэрлэдэг ба энэ үйл явцын үр дүнд үүссэн бодисыг бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Химийн урвалын явцад анхны материалыг бүрдүүлдэг элементүүд исэлдэлтийн төлөвөө өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, тэд бусдын электроныг хүлээн авч, өөрийн электроныг өгч чадна. Аль ч тохиолдолд тэдний төлбөр өөрчлөгддөг. Ийм урвалыг исэлдэлтийн урвал гэж нэрлэдэг.

Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж

Хөдөө аж ахуйн академи"

Дээд математикийн тэнхим

НЭГДҮГЭЭР ЗОРИУЛАЛТЫН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТҮҮД

Нягтлан бодох бүртгэлийн оюутнуудад зориулсан лекцийн хураангуй

Боловсролын захидал харилцааны хэлбэр (NISPO)

Горки, 2013 он

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголт. Ерөнхий болон тусгай шийдэл

Төрөл бүрийн үзэгдлийг судлахдаа бие даасан хувьсагч болон хүссэн функцийг шууд холбосон хуулийг олох боломжгүй байдаг ч хүссэн функц болон түүний деривативуудын хооронд холбоо тогтоох боломжтой байдаг.

Бие даасан хувьсагч, хүссэн функц, түүний деривативыг холбосон хамаарлыг нэрлэдэг дифференциал тэгшитгэл :

Энд xбие даасан хувьсагч, yхүссэн функц нь
нь хүссэн функцийн деривативууд юм. Энэ тохиолдолд (1) харьцаа нь дор хаяж нэг дериватив байхыг шаарддаг.

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал тэгшитгэлийн хамгийн дээд деривативын дараалал юм.

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

. (2)

Энэ тэгшитгэлд зөвхөн эхний эрэмбийн дериватив багтсан тул үүнийг дуудна нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

Хэрэв (2) тэгшитгэлийг деривативтай холбоотойгоор шийдэж, дараах байдлаар бичиж болно

, (3)

тэгвэл ийм тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Ихэнх тохиолдолд хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзэх нь зүйтэй

гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрээр бичигдсэн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.

Учир нь
, тэгвэл (3) тэгшитгэлийг гэж бичиж болно
эсвэл
, хаана тоолж болно
болон
. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг (4) тэгшитгэлд шилжүүлсэн гэсэн үг юм.

Бид (4) тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
. Дараа нь
,
,
, хаана тоолж болно
, өөрөөр хэлбэл (3) хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Тиймээс (3) ба (4) тэгшитгэлүүд тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх замаар (2) эсвэл (3) ямар ч функц дуудагдана
, энэ нь тэгшитгэл (2) эсвэл (3)-д орлуулахдаа үүнийг ижил төстэй байдал болгон хувиргадаг:

эсвэл
.

Дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олох үйл явцыг түүний гэж нэрлэдэг интеграци , мөн шийдлийн график
дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг интеграл муруй энэ тэгшитгэл.

Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг далд хэлбэрээр олж авбал
, дараа нь үүнийг дууддаг интеграл өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл.

Ерөнхий шийдэл Эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн функцүүдийн гэр бүл юм
, дурын тогтмолоос хамаарна FROM, тус бүр нь дурын тогтмолын зөвшөөрөгдөх утгын хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. FROM. Тиймээс дифференциал тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.

Хувийн шийдвэр дифференциал тэгшитгэлийг дурын тогтмолын тодорхой утгын ерөнхий шийдийн томъёоноос гаргаж авсан шийдэл гэнэ. FROM, үүнд
.

Кошигийн асуудал ба түүний геометрийн тайлбар

Тэгшитгэл (2) нь хязгааргүй олон шийдтэй. Тодорхой шийдэл гэж нэрлэгддэг энэхүү багцаас нэг шийдлийг ялгахын тулд зарим нэмэлт нөхцлийг зааж өгөх шаардлагатай.

Өгөгдсөн нөхцөлд (2) тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олох асуудлыг нэрлэнэ Кошигийн асуудал . Энэ асуудал нь дифференциал тэгшитгэлийн онолын хамгийн чухал асуудлын нэг юм.

Кошигийн асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. (2) тэгшитгэлийн бүх шийдлүүдийн дунд ийм шийдийг ол
, үүнд функц байна
өгөгдсөн тоон утгыг авна бие даасан хувьсагч бол x өгөгдсөн тоон утгыг авна , өөрөөр хэлбэл

,
, (5)

хаана Днь функцийн домэйн юм
.

Утга дуудсан функцийн анхны утга , a – бие даасан хувьсагчийн анхны утга . Нөхцөл (5) гэж нэрлэдэг анхны нөхцөл эсвэл Кошигийн байдал .

Геометрийн үүднээс авч үзвэл (2) дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно. (2) тэгшитгэлийн интеграл муруйн олонлогоос өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөхийг сонгоно
.

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл

Дифференциал тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрлүүдийн нэг нь хүссэн функцийг агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм.

. (6)

Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

. (7)

Тиймээс (7) нь (6) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Жишээ 1 . Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Бид үүссэн тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг.
,
. Эцэст нь бичье
.

Жишээ 2 . Тэгшитгэлийн шийдийг ол
нөхцөлөөр
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё:
,
,
,
. Нөхцөлөөр
,
. Ерөнхий шийдэлд орлуулах:
эсвэл
. Ерөнхий шийдлийн томъёонд дурын тогтмолын олсон утгыг орлуулна.
. Энэ бол өгөгдсөн нөхцлийг хангасан дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Тэгшитгэл

(8)

дуудсан бие даасан хувьсагч агуулаагүй нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл . Бид үүнийг хэлбэрээр бичдэг
эсвэл
. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг.
эсвэл
- тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (8).

Жишээ . Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол
.

Шийдэл . Бид энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ.
эсвэл
. Дараа нь
,
,
,
. Энэ замаар,
нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Төрөл тэгшитгэл

(9)

хувьсагчдыг салгах аргыг ашиглан нэгтгэсэн. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
, дараа нь үржүүлэх, хуваах үйлдлүүдийг ашиглан бид үүнийг нэг хэсэг нь зөвхөн функцийг агуулсан хэлбэрт оруулдаг. Xба дифференциал dx, хоёрдугаар хэсэгт - функц цагтба дифференциал dy. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх шаардлагатай dxболон хуваах
. Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авна

, (10)

хувьсагчууд Xболон цагттусгаарлагдсан. Бид (10) тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэдэг:
. Үүссэн хамаарал нь (9) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 3 . Тэгшитгэлийг нэгтгэх
.

Шийдэл . Тэгшитгэлийг хувиргаж, хувьсагчдыг салга.
,
. Нэгтгэцгээе:
,
эсвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.
.

Тэгшитгэлийг хэлбэрээр өгье

Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгах хувьсагчтай нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл тэгш хэмтэй хэлбэрээр.

Хувьсагчдыг салгахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах шаардлагатай
:

. (12)

Үүссэн тэгшитгэлийг нэрлэнэ тусгаарлагдсан дифференциал тэгшитгэл . Бид тэгшитгэлийг (12) нэгтгэнэ:

.(13)

(13) хамаарал нь дифференциал тэгшитгэлийн (11) ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 4 . Дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ

мөн хоёр хэсэгт хуваана
,
. Үр дүнгийн тэгшитгэл:
нь тусдаа хувьсах тэгшитгэл юм. Үүнийг нэгтгэж үзье:

,
,

,
. Сүүлийн тэгшитгэл нь өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Жишээ 5 . Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ол
, нөхцөлийг хангаж байна
.

Шийдэл . Үүнийг харгалзан үзвэл
, бид тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
эсвэл
. Хувьсагчдыг салгая:
. Энэ тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье:
,
,
. Үүссэн хамаарал нь энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Нөхцөлөөр
. Ерөнхий интегралд орлуулж ол FROM:
,FROM=1. Дараа нь илэрхийлэл
нь тодорхой интеграл хэлбэрээр бичигдсэн өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тэгшитгэл

(14)

дуудсан нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл . үл мэдэгдэх функц
ба түүний дериватив нь энэ тэгшитгэлийг шугаман байдлаар оруулах ба функцууд
болон
Үргэлжилсэн.

Хэрвээ
, дараа нь тэгшитгэл

(15)

дуудсан шугаман нэгэн төрлийн . Хэрвээ
, тэгвэл (14) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .

(14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд ихэвчлэн ашигладаг орлуулах арга (Бернулли) , мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

(14) тэгшитгэлийн шийдийг хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр хайна

, (16)

хаана
болон
- зарим нь тасралтгүй функцууд. Орлуулах
ба дериватив
тэгшитгэлд (14):

Чиг үүрэг vнөхцөлтэй байхаар сонгогдоно
. Дараа нь
. Тиймээс (14) тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай

Системийн эхний тэгшитгэл нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл бөгөөд хувьсагчдыг салгах аргаар шийдэж болно.
,
,
,
,
. Функц болгон
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг авч болно, жишээлбэл. цагт FROM=1:
. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
эсвэл
.Дараа нь
. Тиймээс нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
.

Жишээ 6 . тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл . Бид тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
. Дараа нь
. Тэгшитгэлд орлуулах:

эсвэл
. Чиг үүрэг vтэгш байдлыг хангахуйц байдлаар сонгох
. Дараа нь
. Бид эдгээр тэгшитгэлийн эхнийхийг хувьсагчдыг салгах аргаар шийддэг.
,
,
,
,. Чиг үүрэг vХоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:
,
,
,
. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь
.

Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн дараалал гэж юу вэ?

Аль дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дифференциал хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ?

Интеграл муруй гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юу вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэж юу вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлогыг хэрхэн томъёолсон бэ?

Коши бодлогын геометрийн тайлбар юу вэ?

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг тэгш хэмтэй хэлбэрээр хэрхэн бичих вэ?

Аль тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ямар аргыг ашиглаж болох ба энэ аргын мөн чанар юу вэ?

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

Салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэлийг шийд:

а)
; б)
;

онд)
; G)
.

2. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийд:

а)
; б)
; онд)
;

G)
; д)
.

Дифференциал тэгшитгэл нь функц болон түүний нэг буюу хэд хэдэн уламжлалыг агуулсан тэгшитгэл юм. Ихэнх практик асуудлуудад функцууд нь физик хэмжигдэхүүнүүд, деривативууд нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлтийн хурдтай тохирч, тэгшитгэл нь тэдгээрийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог.

Энэ нийтлэлд шийдлийг хэлбэрээр бичиж болох энгийн дифференциал тэгшитгэлийн зарим төрлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх болно. үндсэн функцууд, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнт, экспоненциал, логарифм болон тригонометрийн функцууд, мөн тэдгээрийн урвуу функцууд. Эдгээр тэгшитгэлийн ихэнхийг эндээс олж болно жинхэнэ амьдралГэсэн хэдий ч бусад ихэнх дифференциал тэгшитгэлийг эдгээр аргаар шийдвэрлэх боломжгүй бөгөөд тэдний хувьд хариултыг тусгай функц эсвэл хэлбэрээр бичдэг. эрчим хүчний цуврал, эсвэл байрладаг тоон аргууд.

Энэ өгүүллийг ойлгохын тулд та дифференциал болон интеграл тооцоог мэддэг байхаас гадна хэсэгчилсэн деривативын талаар тодорхой ойлголттой байх хэрэгтэй. Дифференциал болон интеграл тооцооллын мэдлэг нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хангалттай боловч дифференциал тэгшитгэл, ялангуяа хоёр дахь дарааллын дифференциал тэгшитгэлд хэрэглэх шугаман алгебрийн үндсийг мэдэхийг зөвлөж байна.

Урьдчилсан мэдээлэл

• Дифференциал тэгшитгэлөргөн хүрээтэй ангилалтай. Энэ нийтлэлийн тухай өгүүлдэг энгийн дифференциал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл нэг хувьсагчийн функц болон түүний деривативыг агуулсан тэгшитгэлийн тухай. Энгийн дифференциал тэгшитгэлийг ойлгох, шийдвэрлэхэд илүү хялбар байдаг хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл, үүнд хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд орно. Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд нь ихэвчлэн тодорхой хэлбэрээр тодорхойлогддог тул энэ нийтлэлд хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэхгүй.
  • Энгийн дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\хэсэг ^(2)f)(\хэсэг х^(2))))+(\frac (\хэсэг ^(2)) )f)(\хэсэг y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x) ^(2)))=0)
• Захиалгадифференциал тэгшитгэлийг энэ тэгшитгэлд орсон хамгийн дээд деривативын дарааллаар тодорхойлно. Дээрх энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийн эхнийх нь нэгдүгээр эрэмбийн, хоёр дахь нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх юм. ЗэрэгДифференциал тэгшитгэлийн аль нэг гишүүнийг өсгөсөн хамгийн дээд хүч гэж нэрлэдэг.
  • Жишээлбэл, доорх тэгшитгэл нь гурав дахь ба хоёрдугаар зэрэглэл юм.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ баруун)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Дифференциал тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэлхэрэв функц болон түүний бүх деривативууд нэгдүгээр зэрэглэлд байвал. Үгүй бол тэгшитгэл нь байна шугаман бус дифференциал тэгшитгэл. Шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд нь тэдгээрийн шийдлүүдээс шугаман хослолуудыг хийж болох нь гайхалтай бөгөөд энэ нь мөн энэ тэгшитгэлийн шийдэл байх болно.
  • Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав.
  • Шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийн зарим жишээг доор харуулав. Эхний тэгшитгэл нь синус гишүүний улмаас шугаман бус байна.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2))))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Нийтлэг шийдвэр энгийн дифференциал тэгшитгэл нь өвөрмөц биш, үүнд багтдаг интегралын дурын тогтмолууд. Ихэнх тохиолдолд дурын тогтмолуудын тоо тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байна. Практикт эдгээр тогтмолуудын утгыг өгөгдсөнөөр тодорхойлно анхны нөхцөл, өөрөөр хэлбэл функц ба түүний деривативын утгуудаар x = 0. (\displaystyle x=0.)олоход шаардлагатай анхны нөхцлийн тоо хувийн шийдвэрДифференциал тэгшитгэл нь ихэнх тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү байдаг.
  • Жишээлбэл, энэ нийтлэлд доорх тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно. Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь дурын хоёр тогтмолыг агуулна. Эдгээр тогтмолуудыг олохын тулд анхны нөхцөлүүдийг мэдэх шаардлагатай x (0) (\displaystyle x(0))болон x' (0) . (\displaystyle x"(0).)Ихэвчлэн эхний нөхцөлүүдийг цэг дээр өгдөг x = 0 , (\displaystyle x=0,), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй. Энэ нийтлэл нь өгөгдсөн эхний нөхцлүүдийн тодорхой шийдлүүдийг хэрхэн олох талаар авч үзэх болно.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Алхам

1-р хэсэг

Эхний эрэмбийн тэгшитгэлүүд

Энэ үйлчилгээг ашиглах үед зарим мэдээллийг YouTube рүү шилжүүлж болно.

1. Эхний эрэмбийн шугаман тэгшитгэл.Энэ хэсэгт зарим гишүүн тэгтэй тэнцүү байх үед ерөнхий болон тусгай тохиолдлуудад нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзнэ. Ингэж жүжиглэе y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))болон q (x) (\displaystyle q(x))функцууд юм х . (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.)Математик шинжилгээний гол теоремуудын нэгээр бол функцийн деривативын интеграл нь мөн функц юм. Тиймээс түүний шийдийг олохын тулд тэгшитгэлийг нэгтгэх нь хангалттай юм. Гэхдээ тооцоолохдоо үүнийг анхаарах хэрэгтэй тодорхойгүй интегралдурын тогтмол гарч ирнэ.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)Бид аргыг хэрэглэдэг хувьсагчдыг салгах. Энэ тохиолдолд янз бүрийн хувьсагчдыг тэгшитгэлийн өөр өөр тал руу шилжүүлдэг. Жишээлбэл, та бүх гишүүдээ шилжүүлж болно y (\displaystyle y)нэг болон бүх гишүүдтэй x (\displaystyle x)тэгшитгэлийн нөгөө тал руу. Гишүүдийг ч шилжүүлж болно d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)болон d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), деривативуудын илэрхийлэлд багтсан боловч эдгээр нь зүгээр л гэдгийг санах нь зүйтэй бэлэг тэмдэг, энэ нь нарийн төвөгтэй функцийг ялгахад тохиромжтой. гэж нэрлэдэг эдгээр нэр томъёоны тухай хэлэлцүүлэг дифференциалууд, энэ нийтлэлийн хамрах хүрээнээс гадуур байна.

   • Эхлээд та хувьсагчдыг тэнцүү тэмдгийн эсрэг талд шилжүүлэх хэрэгтэй.
     • 1 y d y = − p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэдэг. Интеграцийн дараа хоёр тал дээр дурын тогтмолууд гарч ирдэг бөгөөд үүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлж болно.
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Жишээ 1.1.Сүүлийн шатанд бид дүрмийг ашигласан e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))болон сольсон e C (\displaystyle e^(C))дээр C (\displaystyle C), учир нь энэ нь мөн интегралын дурын тогтмол юм.
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos ⁡ x + C ln ⁡ y = - 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(зохицуулсан)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)Ерөнхий шийдлийг олохын тулд бид танилцуулсан нэгтгэх хүчин зүйлфункцээр x (\displaystyle x)бууруулахын тулд зүүн талнийтлэг дериватив руу шилжүүлж, тэгшитгэлийг шийднэ.

   • Хоёр талыг үржүүлнэ μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Зүүн талыг нийтлэг дериватив болгон багасгахын тулд дараах хувиргалтыг хийх шаардлагатай.
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Сүүлчийн тэгш байдал нь үүнийг илэрхийлдэг d μ d x = μ p (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) \ mu ) ((\ mathrm (d) ) x)) = \ mu p). Энэ бол нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хангалттай интегралч хүчин зүйл юм. Одоо бид энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог гаргаж болно µ , (\displaystyle \mu ,)сургалтын хувьд бүх завсрын тооцоог хийх нь ашигтай байдаг.
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\ displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • Жишээ 1.2. AT энэ жишээөгөгдсөн анхны нөхцөл бүхий дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэрхэн олох талаар авч үздэг.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) ) t)) + (\ frac (2) (t)) y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (Intuit - Үндэсний Нээлттэй Их Сургууль бичсэн).

2. Шугаман бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл. Энэ хэсэгт нэгдүгээр эрэмбийн зарим шугаман бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзнэ. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий арга байхгүй ч заримыг нь доорх аргуудыг ашиглан шийдэж болно.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)Хэрэв функц бол f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))нэг хувьсагчийн функцэд хувааж болох тул ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг салгаж болох дифференциал тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд та дээрх аргыг ашиглаж болно:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d)) )x)
   • Жишээ 1.3.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( у(1+х^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac (\frac) 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\төгс(зэрэгцүүлсэн)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (g (x, y)) (h (x, y))).)Ингэж жүжиглэе g (x , y) (\displaystyle g(x, y))болон h (x , y) (\displaystyle h(x, y))функцууд юм x (\displaystyle x)болон y . (\displaystyle y.)Дараа нь нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлнь тэгшитгэл юм g (\displaystyle g)болон h (\displaystyle h)байна нэгэн төрлийн функцуудижил зэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, функцууд нь нөхцөлийг хангасан байх ёстой g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)хаана k (\displaystyle k)нэгэн төрлийн байдлын зэрэг гэж нэрлэдэг. Аливаа нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг тохирох томъёогоор өгч болно хувьсагчийн өөрчлөлт (v = y / x (\displaystyle v=y/x)эсвэл v = x / y (\displaystyle v=x/y)) салангид хувьсагчтай тэгшитгэлд хөрвүүлэх.

   • Жишээ 1.4.Нэг төрлийн байдлын дээрх тайлбар нь бүрхэг мэт санагдаж магадгүй юм. Энэ ойлголтыг жишээгээр авч үзье.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^) (3))(y^(2)x)))
     • Эхлэхийн тулд энэ тэгшитгэл нь шугаман бус гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй y . (\displaystyle y.)Үүнийг бид бас харж байна Энэ тохиолдолдхувьсагчдыг салгах боломжгүй. Гэхдээ энэ дифференциал тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна, учир нь тоологч болон хуваагч хоёулаа 3-ын зэрэгтэй нэгэн төрлийн байна. Тиймээс бид хувьсагчдын өөрчлөлтийг хийж болно. v=y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x − x 2 y 2 = v − 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm)) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = − 1 v 2 . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )v) ((\ mathrm (d) )x)) x=-(\ frac (1) (v ^ (2))).)Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлтэй болно v (\displaystyle v)хуваалцсан хувьсагчтай.
     • v (x) = − 3 log ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)тэр Бернулли дифференциал тэгшитгэл- эхний зэргийн шугаман бус тэгшитгэлийн тусгай төрөл бөгөөд шийдлийг энгийн функц ашиглан бичиж болно.

   • Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Бид зүүн талдаа нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглаж, тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон хувиргадаг. y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),)Дээрх аргуудаар шийдэж болно.
     • d y 1 − n d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.)тэр дахь тэгшитгэл нийт дифференциалууд . Энэ гэж нэрлэгддэг зүйлийг олох шаардлагатай байна боломжит функц φ (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),)нөхцөлийг хангасан d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Гүйцэтгэлийн хувьд өгөгдсөн нөхцөлбайх шаардлагатай нийт дериватив. Нийт дериватив нь бусад хувьсагчдаас хамаарах хамаарлыг харгалзан үздэг. Нийт деривативыг тооцоолох φ (\displaystyle \varphi)дээр x , (\displaystyle x,)гэж бид таамаглаж байна y (\displaystyle y)мөн хамааралтай байж болно х . (\displaystyle x.)
     • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Нэр томъёог харьцуулах нь бидэнд өгдөг M (x , y) = ∂ φ ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\хэсэг \varphi )(\хэсэг х)))болон N (x, y) = ∂ φ ∂ y . (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\хэсэг \varphi )(\хэсэг y)).)Энэ нь гөлгөр функцүүдийн холимог деривативууд хоорондоо тэнцүү байх хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн ердийн үр дүн юм. Заримдаа энэ хэргийг дууддаг Клэраутын теорем. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэл нь дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд нийт дифференциал дахь тэгшитгэл болно.
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\хэсэг М)(\хэсэг y))=(\frac (\хэсэг N)(\хэсэг х)))
   • Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь хэд хэдэн дериватив байгаа тохиолдолд боломжит функцийг олохтой төстэй бөгөөд бид үүнийг товч авч үзэх болно. Эхлээд бид нэгтгэдэг M (\displaystyle M)дээр х . (\displaystyle x.)Учир нь M (\displaystyle M)функц ба x (\displaystyle x), ба y , (\displaystyle y,)нэгтгэх үед бид бүрэн бус функцийг авдаг φ , (\displaystyle \varphi,)гэж тэмдэглэсэн φ ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Үр дүн нь мөн хамааралтай орно y (\displaystyle y)интеграцийн тогтмол.
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm) (г) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Үүний дараа авах c (y) (\displaystyle c(y))-ийн хувьд үүссэн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг авч болно y , (\displaystyle y,)үр дүнг тэнцүүлэх N (x , y) (\displaystyle N(x, y))болон нэгтгэх. Хүн эхлээд нэгтгэж болно N (\displaystyle N), дараа нь -д хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг авна x (\displaystyle x), энэ нь бидэнд дурын функцийг олох боломжийг олгоно d(x). (\displaystyle d(x).)Хоёр арга хоёулаа тохиромжтой бөгөөд нэгтгэхийн тулд ихэвчлэн энгийн функцийг сонгодог.
     • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\) хэсэгчилсэн (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • Жишээ 1.5.Та хэсэгчилсэн деривативуудыг авч, доорх тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл гэдгийг шалгаж болно.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • φ = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ φ ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\хэсэг) \varphi )(\хэсэг y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )c) ((\ mathrm (d) ) y)) = 0, \ quad c (y) = C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Хэрэв дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл биш бол зарим тохиолдолд та үүнийг нийт дифференциал тэгшитгэлд хөрвүүлэх боломжийг олгох интегралчлагч коэффициентийг олж болно. Гэсэн хэдий ч ийм тэгшитгэлийг практикт бараг ашигладаггүй бөгөөд интеграцийн хүчин зүйл болдог байдаг, тохиолддогийг олж мэд амар биш, тиймээс эдгээр тэгшитгэлийг энэ зүйлд авч үзэхгүй.

2-р хэсэг

Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл

1. -тэй нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл тогтмол коэффициентүүд. Эдгээр тэгшитгэлийг практикт өргөн ашигладаг тул тэдгээрийн шийдэл нь хамгийн чухал юм. Энэ тохиолдолд бид нэгэн төрлийн функцүүдийн тухай биш, харин тэгшитгэлийн баруун талд 0 байгаа тухай ярьж байна.Дараагийн хэсэгт бид хэрхэн харгалзах үйлдлийг харуулах болно. нэг төрлийн бусдифференциал тэгшитгэл. Доор a (\displaystyle a)болон b (\displaystyle b)тогтмолууд юм.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac) ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Онцлог тэгшитгэл. Энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь түүний шийдэл нь ямар шинж чанартай байх ёстойг анхаарч үзвэл маш амархан шийдэгддэгээрээ гайхалтай юм. Үүнийг тэгшитгэлээс харж болно y (\displaystyle y)ба түүний деривативууд хоорондоо пропорциональ байна. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хэсэгт авч үзсэн өмнөх жишээнүүдээс харахад зөвхөн экспоненциал функц ийм шинж чанартай байдаг гэдгийг бид мэднэ. Тиймээс ч дэвшүүлэх боломжтой ansatzөгөгдсөн тэгшитгэлийн шийдэл ямар байх талаар (боловсруулсан таамаглал).

   • Шийдэл нь экспоненциал функцийн хэлбэрийг авна e r x , (\displaystyle e^(rx),)хаана r (\displaystyle r)утгыг нь олох тогтмол хэмжигдэхүүн юм. Энэ функцийг тэгшитгэлд орлуулж дараах илэрхийллийг ол
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Энэ тэгшитгэл нь экспоненциал функц ба олон гишүүнтийн үржвэр нь тэг байх ёстойг харуулж байна. Зэрэглэлийн аль ч утгын хувьд экспонент нь тэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг мэддэг. Эндээс бид олон гишүүнт тэгтэй тэнцүү гэж дүгнэж байна. Ийнхүү бид дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлогыг өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх илүү энгийн бодлого болгон буурууллаа.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b))))(2)))
   • Бид хоёр үндэстэй. Энэхүү дифференциал тэгшитгэл нь шугаман тул түүний ерөнхий шийдэл нь хэсэгчилсэн шийдүүдийн шугаман хослол юм. Энэ бол хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл учраас бид үүнийг мэднэ үнэхээрерөнхий шийдэл, өөр зүйл байхгүй. Үүний илүү хатуу үндэслэл нь сурах бичгүүдээс олж болох шийдлийн оршин тогтнол, өвөрмөц байдлын талаархи теоремуудад оршдог.
   • Хоёр шийдэл нь шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгах ашигтай арга бол тооцоолох явдал юм Вронскиан. Вронскиан W (\displaystyle W)- энэ нь матрицын тодорхойлогч бөгөөд түүний багануудад функцууд болон тэдгээрийн дараалсан деривативууд байдаг. Шугаман алгебрийн теорем нь Вронскийн функцүүд нь тэгтэй тэнцүү бол Вронскиан дахь функцууд шугаман хамааралтай байна гэж заасан. Энэ хэсэгт бид Вронскиан тэг биш эсэхийг шалгаснаар хоёр шийдэл нь шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгаж болно. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг параметрийн өөрчлөлтийн аргаар шийдвэрлэхэд Вронскиан чухал ач холбогдолтой.
     • w = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ displaystyle W = (\ эхлэл (vmatrix) y_ (1) & y_ (2) \\ y_ (1)" & y_ (2)" \ төгсгөл (vmatrix)))
   • Шугаман алгебрийн хувьд өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн бүх шийдлийн багц нь хэмжээс нь дифференциал тэгшитгэлийн дараалалтай тэнцүү векторын орон зайг бүрдүүлдэг. Энэ орон зайд нэг үндэс суурийг сонгож болно шугаман бие даасанбие биенээсээ гаргасан шийдвэр. Энэ нь функцтэй холбоотой байж болох юм y (x) (\displaystyle y(x))хүчинтэй шугаман оператор. Дериватив байнашугаман оператор, учир нь энэ нь дифференциал функцүүдийн орон зайг бүх функцын орон зай болгон хувиргадаг. Зарим тохиолдолд тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг шугаман оператор L (\displaystyle L)тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Одоо хэд хэдэн зүйлийг харцгаая тодорхой жишээнүүд. Онцлог тэгшитгэлийн олон язгуурын тохиолдлыг дарааллыг бууруулах хэсэгт хэсэг хугацааны дараа авч үзэх болно.

   Хэрэв үндэс бол r ± (\displaystyle r_(\pm ))нь өөр бодит тоонууд бол дифференциал тэгшитгэл нь дараах шийдэлтэй байна

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x) ))

   Хоёр нарийн төвөгтэй үндэс.Бодит коэффициент бүхий олон гишүүнт тэгшитгэлийн шийдэл нь бодит үндэстэй буюу хосолмол хос үүсгэдэг гэсэн алгебрийн үндсэн теоремоос гардаг. Тиймээс хэрэв нийлмэл тоо r = α + i β (\displaystyle r=\альфа +i\бета)шинж тэгшитгэлийн үндэс юм, тэгвэл r ∗ = α − i β (\displaystyle r^(*)=\альфа -i\бета )нь мөн энэ тэгшитгэлийн үндэс юм. Тиймээс шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α − i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\альфа -i\бета)x),)гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй тоо бөгөөд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хүсээгүй юм.

   • Үүний оронд та ашиглаж болно Эйлерийн томъёо e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), энэ нь бидэнд шийдлийг хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог тригонометрийн функцууд:
     • e α x (c 1 cos ⁡ β x + i c 1 sin ⁡ β x + c 2 cos ⁡ β x − i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ бета x+ic_(1)\sin \бета x+c_(2)\cos \бета x-ic_(2)\sin \бета x))
   • Одоо та байнгын оронд хийж болно c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))бичих c 1 (\displaystyle c_(1)), мөн илэрхийлэл i (c 1 − c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))-ээр сольсон в 2. (\ displaystyle c_(2).)Үүний дараа бид дараах шийдлийг авна.
     • y (x) = e α x (c 1 cos ⁡ β x + c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_) (2)\sin \beta x))
   • Шийдвэрийг далайц, фазын хувьд бичих өөр нэг арга бий бөгөөд энэ нь физикийн асуудалд илүү тохиромжтой.
   • Жишээ 2.1.Өгөгдсөн анхны нөхцлөөр доор өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Үүний тулд олж авсан уусмалыг авах шаардлагатай. түүнчлэн түүний дериватив, мөн тэдгээрийг анхны нөхцөлд орлуулах нь бидэнд дурын тогтмолуудыг тодорхойлох боломжийг олгоно.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e − 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 т) (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac (\frac) \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • x ′ (0) = − 1 = − 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\баруун))
   
   Тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь (Intuit - Үндэсний Нээлттэй Их Сургуулийн бүртгэл).

2. Зэрэглэлийг бууруулах дараалал.Нэг шугаман бие даасан шийдэл мэдэгдэж байгаа үед дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга нь эрэмбийн бууралт юм. Энэ арга нь тэгшитгэлийн дарааллыг нэгээр бууруулахаас бүрдэх бөгөөд энэ нь өмнөх хэсэгт тайлбарласан аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Шийдэл нь мэдэгдэх болтугай. Дарааллыг бууруулах гол санаа бол функцийг тодорхойлох шаардлагатай доорх хэлбэрээр шийдлийг олох явдал юм v (x) (\displaystyle v(x)), дифференциал тэгшитгэлд орлуулах, олох v(x). (\displaystyle v(x).)Тогтмол коэффициент ба олон язгууртай дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд эрэмбийн бууралтыг хэрхэн ашиглаж болохыг авч үзье.

   
   

   Олон үндэстогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэл нь хоёр шугаман бие даасан шийдтэй байх ёстой гэдгийг санаарай. Хэрвээ шинж чанарын тэгшитгэлолон үндэстэй, олон шийдэлтэй үгүйЭдгээр шийдлүүд нь шугаман хамааралтай тул орон зай үүсгэдэг. Энэ тохиолдолд шугаман бие даасан хоёр дахь шийдлийг олохын тулд захиалгын бууралтыг ашиглах ёстой.

   • Онцлог тэгшитгэл олон үндэстэй байг r (\displaystyle r). Хоёр дахь шийдлийг ингэж бичиж болно гэж бид таамаглаж байна y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), мөн дифференциал тэгшитгэлд орлуулна. Энэ тохиолдолд функцийн хоёр дахь дериватив бүхий нэр томъёог эс тооцвол ихэнх нэр томъёо v , (\displaystyle v,)багасна.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • Жишээ 2.2.Олон үндэстэй дараах тэгшитгэлийг өгөв r = − 4. (\displaystyle r=-4.)Орлуулах үед ихэнх нөхцөл хүчингүй болно.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлэх) )v""e^(-4x)&-(\цуцлах (8v"e^(-4x)))+(\цуцлах (16ve^(-4x)))\\&+(\цуцлах (8v"e ^(-4x)))-(\цуцлах (32ve^(-4x)))+(\цуцлах (16ve^(-4x)))=0\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
   • Тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн хувьд манай ансацтай адил энэ тохиолдолд зөвхөн хоёр дахь дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Бид хоёр удаа нэгтгэж, хүссэн илэрхийлэлийг олж авдаг v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл олон үндэстэй бол тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно. дараах хэлбэр. Тохиромжтой болгохын тулд та үүнийг авахын тулд санаж болно шугаман бие даасан байдалзүгээр л хоёр дахь гишүүнийг үржүүлнэ x (\displaystyle x). Энэхүү шийдлийн багц нь шугаман бие даасан тул бид энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлийг олсон.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)Шийдэл нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд захиалгын бууралт хамаарна y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), үүнийг асуудлын мэдэгдлээс олж эсвэл өгч болно.

   • Бид хэлбэрээр шийдэл хайж байна y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))мөн үүнийг энэ тэгшитгэлд оруулна уу:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Учир нь y 1 (\displaystyle y_(1))нь бүх гишүүнтэй дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм v (\displaystyle v)хумигдаж байна. Үүний үр дүнд энэ нь хэвээр байна нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл. Үүнийг илүү тодорхой харахын тулд хувьсагчдыг өөрчилье w (x) = v′ (x) (\ displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\баруун)(\mathrm (d) )x\баруун))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Хэрэв интегралыг тооцоолох боломжтой бол бид ерөнхий шийдлийг энгийн функцүүдийн хослолоор авна. Үгүй бол уусмалыг салшгүй хэлбэрээр үлдээж болно.

3. Коши-Эйлерийн тэгшитгэл.Коши-Эйлерийн тэгшитгэл нь хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн жишээ юм хувьсагчнарийн шийдлүүдтэй коэффициентүүд. Энэ тэгшитгэлийг практикт, жишээлбэл, бөмбөрцөг координат дахь Лапласын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Онцлог тэгшитгэл.Таны харж байгаагаар энэхүү дифференциал тэгшитгэлд нэр томъёо бүр нь чадлын хүчин зүйлийг агуулдаг бөгөөд түүний зэрэг нь харгалзах деривативын дараалалтай тэнцүү байна.

   • Тиймээс, хэлбэрээс шийдлийг хайж олохыг оролдож болно y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)хаана тодорхойлох вэ n (\displaystyle n), яг л бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэлийн экспоненциал функц хэлбэрээр шийдлийг хайж байсантай адил. Ялгах, орлуулсны дараа бид авна
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Онцлогийн тэгшитгэлийг ашиглахын тулд бид үүнийг тооцох ёстой x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Цэг x = 0 (\displaystyle x=0)дуудсан тогтмол ганц цэгдифференциал тэгшитгэл. Ийм цэгүүд нь чадлын цуваа ашиглан дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой. Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээр нь өөр бөгөөд бодит, олон эсвэл цогц коньюгат байж болно.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Хоёр өөр жинхэнэ үндэс.Хэрэв үндэс бол n ± (\displaystyle n_(\pm ))бодит ба ялгаатай бол дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл дараах хэлбэртэй байна.

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Хоёр нарийн төвөгтэй үндэс.Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл үндэстэй бол n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\альфа \pm \beta i), шийдэл нь нарийн төвөгтэй функц юм.

   • Уг шийдлийг бодит функц болгон хувиргахын тулд бид хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг x = e t , (\displaystyle x=e^(t),)тэр бол t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,)Эйлерийн томъёог ашиглана. Дурын тогтмолуудыг тодорхойлохдоо ижил төстэй үйлдлүүдийг өмнө нь хийж байсан.
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e − β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • Дараа нь ерөнхий шийдлийг ингэж бичиж болно
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\) cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Олон үндэс.Хоёр дахь шугаман бие даасан шийдлийг олж авахын тулд дарааллыг дахин багасгах шаардлагатай.

   • Энэ нь бага зэрэг тооцоолол шаарддаг боловч зарчим нь адилхан: бид орлуулдаг y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))Эхний шийдэл нь тэгшитгэл болгон хувиргана y 1 (\displaystyle y_(1)). Бууруулалтын дараа дараахь тэгшитгэлийг олж авна.
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Энэ бол нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман тэгшитгэл юм v′ (x) . (\displaystyle v"(x).)Түүний шийдэл v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x . (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)Тиймээс шийдлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. Үүнийг санахад маш амархан - хоёр дахь шугаман бие даасан шийдлийг авахын тулд танд нэмэлт нэр томъёо хэрэгтэй ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэл. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлшиг харагдах L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)хаана f (x) (\displaystyle f(x))- гэж нэрлэгддэг чөлөөт гишүүн. Дифференциал тэгшитгэлийн онолын дагуу энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь суперпозиция юм хувийн шийдвэр y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))болон нэмэлт шийдэл y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).)Гэсэн хэдий ч, энэ тохиолдолд тодорхой шийдэл нь анхны нөхцлөөр өгөгдсөн шийдлийг илэрхийлдэггүй, харин нэг төрлийн бус байдал (чөлөөт гишүүн) байгаатай холбоотой шийдэл юм. Нэмэлт шийдвэр нь холбогдох шийдвэр юм нэгэн төрлийн тэгшитгэл, үүнд f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)Ерөнхий шийдэл нь эдгээр хоёр шийдлийн суперпозиция юм L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), ба түүнээс хойш L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)Ийм суперпозиция нь үнэхээр ерөнхий шийдэл юм.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Тодорхой бус коэффициентийн арга.Тодорхой бус коэффициентийн аргыг чөлөөт нэр томъёо нь экспоненциал, тригонометр, гипербол эсвэл чадлын функцүүдийн хослол болсон тохиолдолд ашигладаг. Зөвхөн эдгээр функцууд нь хязгаарлагдмал тооны шугаман бие даасан деривативтай байх баталгаатай. Энэ хэсэгт бид тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох болно.

   • Нөхцөлүүдийг харьцуулна уу f (x) (\displaystyle f(x))тогтмол хүчин зүйлсийг үл тоомсорлох нөхцөлтэй. Гурван тохиолдол боломжтой.
     • Ижил гишүүд байхгүй.Энэ тохиолдолд тодорхой шийдэл y p (\displaystyle y_(p))-аас нэр томъёоны шугаман хослол байх болно y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) гишүүнийг агуулдаг x n (\displaystyle x^(n)) болон гишүүн y c , (\displaystyle y_(c),) хаана n (\displaystyle n) нь тэг буюу эерэг бүхэл тоо бөгөөд энэ нэр томъёо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн нэг язгууртай тохирч байна.Энэ тохиолдолд y p (\displaystyle y_(p))функцын хослолоос бүрдэнэ x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)түүний шугаман бие даасан дериватив, түүнчлэн бусад нэр томъёо f (x) (\displaystyle f(x))ба тэдгээрийн шугаман бие даасан деривативууд.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) гишүүнийг агуулдаг h (x) , (\displaystyle h(x),) энэ нь ажил юм x n (\displaystyle x^(n)) болон гишүүн y c , (\displaystyle y_(c),) хаана n (\displaystyle n) 0 буюу эерэг бүхэл тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нэр томъёо нь тохирч байна олоншинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс.Энэ тохиолдолд y p (\displaystyle y_(p))функцийн шугаман хослол юм x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(хаана s (\displaystyle s)- язгуурын олон талт) ба түүний шугаман бие даасан деривативууд, түүнчлэн функцийн бусад гишүүд f (x) (\displaystyle f(x))ба түүний шугаман бие даасан дериватив.
   • Бичээд үзье y p (\displaystyle y_(p))дээрх нэр томъёоны шугаман хослол хэлбэрээр. Шугаман хослол дахь эдгээр коэффициентүүдийн ачаар энэ аргатодорхойгүй коэффициентийн арга гэж нэрлэдэг. Үүнд агуулагдаж байгаа зүйлсийн харагдах байдал дээр y c (\displaystyle y_(c))-д дурын тогтмолууд байгаа тул тэдгээрийн гишүүдийг хасаж болно y c . (\displaystyle y_(c).)Үүний дараа бид орлуулна y p (\displaystyle y_(p))тэгшитгэл болон ижил төстэй нөхцөлүүдийг тэнцүүлэх.
   • Бид коэффициентийг тодорхойлдог. Энэ үе шатанд систем алгебрийн тэгшитгэл, үүнийг ихэвчлэн ямар ч асуудалгүйгээр шийдэж болно. Энэ системийн шийдэл нь олж авах боломжтой болгодог y p (\displaystyle y_(p))улмаар тэгшитгэлийг шийднэ.
   • Жишээ 2.3.Чөлөөт гишүүн нь хязгаарлагдмал тооны шугаман бие даасан деривативуудыг агуулсан нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье. Ийм тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар олж болно.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt(6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t − 25 B cos ⁡ 5 t − 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\төгсгөл(гацсан)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 − 25 B + 6 B = − 1 , B = 1 19 − 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(тохиолдлууд)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ төгсгөл(тохиолдлууд)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Лагранжийн арга.Лагранжийн арга буюу дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь илүү юм ерөнхий арганэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд, ялангуяа чөлөөт нэр томъёонд хязгаарлагдмал тооны шугаман бие даасан дериватив агуулаагүй тохиолдолд. Жишээлбэл, чөлөөт гишүүдтэй бор ⁡ x (\displaystyle \tan x)эсвэл x − n (\displaystyle x^(-n))тодорхой шийдлийг олохын тулд Лагранжийн аргыг ашиглах шаардлагатай. Лагранжийн аргыг хувьсах коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ч ашиглаж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд Коши-Эйлерийн тэгшитгэлээс бусад тохиолдолд үүнийг бага ашигладаг, учир нь нэмэлт шийдэлихэвчлэн үндсэн функцээр илэрхийлэгддэггүй.

   • Шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж үзье. Түүний деривативыг хоёр дахь мөрөнд өгсөн болно.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Учир нь санал болгож буй шийдэл нь агуулдаг хоёрүл мэдэгдэх тоо хэмжээ, энэ нь ногдуулах шаардлагатай байна нэмэлтнөхцөл. Үүнийг сонгоцгооё нэмэлт нөхцөлдараах хэлбэрээр:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Одоо бид хоёр дахь тэгшитгэлийг авч болно. Гишүүдийг сольж, дахин хуваарилсны дараа гишүүдийг хамтад нь бүлэглэж болно v 1 (\displaystyle v_(1))болон гишүүд v 2 (\displaystyle v_(2)). Эдгээр нөхцөл хүчингүй болсон тул y 1 (\displaystyle y_(1))болон y 2 (\displaystyle y_(2))нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үүний үр дүнд бид дараах тэгшитгэлийн системийг олж авна
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\эхлэх(зэрэг)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
   • Энэ системийг хөрвүүлэх боломжтой матрицын тэгшитгэлтөрлийн A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ))хэний шийдэл вэ x = A − 1 b . (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ).)Матрицын хувьд 2 × 2 (\displaystyle 2\ дахин 2)Урвуу матрицыг тодорхойлогчд хувааж, диагональ элементүүдийг солих, диагональ бус элементүүдийн тэмдгийг эргүүлэх замаар олно. Үнэн хэрэгтээ энэ матрицын тодорхойлогч нь Вронскиан юм.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 Вт (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • -д зориулсан илэрхийлэл v 1 (\displaystyle v_(1))болон v 2 (\displaystyle v_(2))доор жагсаасан байна. Захиалга багасгах аргын нэгэн адил энэ тохиолдолд интеграцийн явцад дурын тогтмол гарч ирдэг бөгөөд энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд нэмэлт шийдлийг багтаасан болно.
     • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Үндэсний Нээлттэй Их Сургуулийн Зөн совингийн "Тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" сэдэвт лекц.

Практик хэрэглээ

Дифференциал тэгшитгэл нь функц болон түүний нэг буюу хэд хэдэн дериватив хоорондын хамаарлыг тогтоодог. Ийм харилцаа нь маш түгээмэл байдаг тул дифференциал тэгшитгэлүүд хамгийн өргөн хэрэглэгддэг өөр өөр газар нутаг, мөн бид дөрвөн хэмжээст амьдардаг тул эдгээр тэгшитгэлүүд нь ихэвчлэн дифференциал тэгшитгэлүүд байдаг хувийндеривативууд. Энэ хэсэгт энэ төрлийн хамгийн чухал тэгшитгэлүүдийн заримыг авч үзэх болно.

• Экспоненциал өсөлт ба бууралт.цацраг идэвхт задрал. Нийлмэл хүү. Химийн урвалын хурд. Цусан дахь эмийн концентраци. Хязгааргүй хүн амын өсөлт. Ньютон-Ричманы хууль. Бодит ертөнцөд аль ч үеийн өсөлт, бууралтын хурд нь тухайн үеийн хэмжээтэй пропорциональ байдаг, эсвэл загвараар сайн ойролцоолдог олон систем байдаг. Учир нь энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл буюу экспоненциал функц нь математик болон бусад шинжлэх ухааны хамгийн чухал функцүүдийн нэг юм. Илүү их ерөнхий тохиолдолхяналттай хүн амын өсөлттэй үед уг системд өсөлтийг хязгаарлах нэмэлт нэр томъёог оруулж болно. Доорх тэгшитгэлд тогтмол k (\displaystyle k)тэгээс их эсвэл бага байж болно.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Гармоник чичиргээ.Сонгодог ба квант механикийн аль алинд нь гармоник осциллятор нь хамгийн чухал зүйлийн нэг юм физик системүүдтүүний энгийн байдлын ачаар ба өргөн хэрэглээилүү ойртохын тулд нарийн төвөгтэй системүүдэнгийн дүүжин гэх мэт. Сонгодог механикт гармоник чичиргээХукийн хуулиар материаллаг цэгийн байрлалыг хурдатгалтай холбосон тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд чийгшүүлэх, хөдөлгөх хүчийг мөн харгалзан үзэж болно. Доорх илэрхийлэлд x ˙ (\displaystyle (\цэг (x)))-ийн цаг хугацааны дериватив x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \beta)Норгосны хүчийг тодорхойлсон параметр, ω 0 (\displaystyle \omega _(0))- системийн өнцгийн давтамж, F (t) (\displaystyle F(t))цаг хугацаанаас хамааралтай хөдөлгөгч хүч юм. Гармоник осциллятор нь цахилгаан соронзон хэлбэлзлийн хэлхээнд бас байдаг бөгөөд үүнийг механик системээс илүү нарийвчлалтайгаар хэрэгжүүлэх боломжтой.
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\бета (\цэг (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Бесселийн тэгшитгэл.Бесселийн дифференциал тэгшитгэлийг долгионы тэгшитгэл, Лапласын тэгшитгэл, Шредингерийн тэгшитгэл зэрэг физикийн олон салбарт, ялангуяа цилиндр эсвэл бөмбөрцөг тэгш хэм байгаа тохиолдолд ашигладаг. Хувьсах коэффициент бүхий энэ хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь Коши-Эйлерийн тэгшитгэл биш тул түүний шийдийг энгийн функцээр бичих боломжгүй. Бесселийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь Бесселийн функцууд бөгөөд тэдгээр нь олон салбарт ашиглагддаг тул сайн судлагдсан байдаг. Доорх илэрхийлэлд α (\displaystyle \alpha)таарч байгаа тогтмол юм захиалгаБесселийн функцууд.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 − α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\альфа ^(2)) у=0)
• Максвеллийн тэгшитгэл.Лоренцын хүчний зэрэгцээ Максвеллийн тэгшитгэл нь сонгодог электродинамикийн үндэс болдог. Эдгээр нь цахилгааны дөрвөн хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэл юм E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t))ба соронзон B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t))талбайнууд. Доорх илэрхийлэлд ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- цэнэгийн нягт, J = J (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (J) ) = (\ mathbf (J) ) ((\ mathbf (r) ), t))нь одоогийн нягт, ба ϵ 0 (\displaystyle \epsilon _(0))болон μ 0 (\displaystyle \mu _(0))нь цахилгаан ба соронзон тогтмолууд юм.
  • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(bladdo)) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\хэсэг (\mathbf (B) ))(\хэсэг t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\хэсэг (\mathbf (E) ))(\хэсэг t))\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)))
• Шредингерийн тэгшитгэл.Квант механикийн хувьд Шредингерийн тэгшитгэл нь долгионы функцийн өөрчлөлтийн дагуу бөөмсийн хөдөлгөөнийг дүрсэлсэн хөдөлгөөний үндсэн тэгшитгэл юм. Ψ = Ψ (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t))цаг хугацаа өнгөрөхөд. Хөдөлгөөний тэгшитгэл нь зан төлөвөөр тодорхойлогддог Гамильтон H ^ (\ displaystyle (\ малгай (H))) - оператор, энэ нь системийн энергийг тодорхойлдог. Физик дэх Шрөдингерийн тэгшитгэлийн алдартай жишээнүүдийн нэг бол потенциалд өртдөг харьцангуй бус нэг бөөмийн тэгшитгэл юм. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Олон системийг цаг хугацаанаас хамааралтай Шредингерийн тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бөгөөд тэгшитгэл нь зүүн талд байна E Ψ , (\displaystyle E\Psi,)хаана E (\displaystyle E)нь бөөмийн энерги юм. Доорх илэрхийлэлд ℏ (\displaystyle \hbar)нь буурсан Планк тогтмол юм.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\хэсэг \Psi )(\хэсэг t))=(\малгай (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 м ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(-) (\frac (\hbar ^(2))(2м))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\баруун)\Psi )
• долгионы тэгшитгэл.Физик, технологийг долгионгүйгээр төсөөлөхийн аргагүй бөгөөд тэдгээр нь бүх төрлийн системд байдаг. Ерөнхийдөө долгионыг доорх тэгшитгэлээр тодорхойлно u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))нь хүссэн функц бөгөөд c (\displaystyle c)- туршилтаар тодорхойлсон тогтмол. Д'Аламберт нэг хэмжээст тохиолдолд долгионы тэгшитгэлийн шийдэл болохыг анх нээсэн хүн юм. ямар чаргументтай функц x − c t (\displaystyle x-ct), энэ нь баруун тийш тархах дурын долгионыг дүрсэлсэн. Нэг хэмжээст тохиолдлын ерөнхий шийдэл нь энэ функцийг аргументтай хоёр дахь функцтэй шугаман хослол юм. x + c t (\displaystyle x+ct), энэ нь зүүн тийш тархаж буй долгионыг дүрсэлдэг. Энэ шийдлийг хоёр дахь мөрөнд үзүүлэв.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\хэсэг ^(2)u)(\хэсэг t^(2))))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Навье-Стоксын тэгшитгэл.Навье-Стоксын тэгшитгэл нь шингэний хөдөлгөөнийг тодорхойлдог. Шингэнүүд нь шинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт байдаг тул эдгээр тэгшитгэл нь цаг агаарыг урьдчилан таамаглах, нисэх онгоц зохион бүтээх, далайн урсгалыг судлах, бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд маш чухал юм. хэрэглээний даалгаварууд. Навье-Стоксын тэгшитгэлүүд нь шугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлүүд бөгөөд ихэнх тохиолдолд шугаман бус байдал нь үймээн самуунд хүргэдэг тул тэдгээрийг шийдвэрлэхэд маш хэцүү байдаг бөгөөд тоон аргаар тогтвортой шийдлийг олж авахын тулд маш жижиг хэсгүүдэд хуваадаг. эсүүд шаардлагатай бөгөөд энэ нь ихээхэн хэмжээний тооцоолох хүч шаарддаг. Гидродинамикийн практик зорилгоор турбулент урсгалыг загварчлахад цагийн дундаж зэрэг аргуудыг ашигладаг. Хүнд хэцүү даалгаварШугаман бус хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн шийдүүдийн оршин тогтнол, өвөрмөц байдал, Навье-Стоксын тэгшитгэлийн шийдийн оршин тогтнол, өвөрмөц байдлыг гурван хэмжээстээр нотлох зэрэг бүр ч илүү үндсэн асуултууд юм. математикийн асуудлуудмянган жил. Шахагдахгүй шингэний урсгалын тэгшитгэл ба тасралтгүй байдлын тэгшитгэлийг доор харуулав.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u − ν ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ (ρ u) = 0 (\ Displaystyle (\ frac (\ хэсэгчилсэн (\ mathb) f) )(\хэсэг t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Олон дифференциал тэгшитгэлийг дээрх аргууд, ялангуяа сүүлийн хэсэгт дурдсан аргуудаар шийдэж чадахгүй. Энэ нь тэгшитгэлд хувьсах коэффициент агуулсан бөгөөд Коши-Эйлерийн тэгшитгэл биш, эсвэл маш ховор тохиолдлоос бусад тохиолдолд тэгшитгэл нь шугаман бус үед хамаарна. Гэсэн хэдий ч дээрх аргууд нь шинжлэх ухааны янз бүрийн салбарт байнга тулгардаг олон чухал дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно.
• Аливаа функцийн деривативыг олох боломжийг олгодог дифференциалаас ялгаатай нь олон илэрхийллийн интегралыг энгийн функцээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Тиймээс интегралыг тооцоолох боломжгүй газарт цаг алдах хэрэггүй. Интегралын хүснэгтийг харна уу. Хэрэв дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг элементар функцээр илэрхийлэх боломжгүй бол заримдаа интеграл хэлбэрээр илэрхийлж болох ба энэ тохиолдолд энэ интегралыг аналитик аргаар тооцоолох эсэх нь хамаагүй.

Анхааруулга

• Гадаад төрхдифференциал тэгшитгэл нь төөрөгдүүлж болно. Жишээлбэл, доор хоёр нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл байна. Эхний тэгшитгэлийг энэ зүйлд тайлбарласан аргуудыг ашиглан амархан шийддэг. Эхлээд харахад бага зэргийн өөрчлөлт y (\displaystyle y)дээр y 2 (\displaystyle y^(2))Хоёр дахь тэгшитгэлд үүнийг шугаман бус болгож, шийдвэрлэхэд маш хэцүү болдог.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))