Матрицын хувийн утгыг онлайнаар олоорой. Шугаман операторын хувийн утга ба хувийн векторууд

Хувийн үнэ цэнэ(тоо) ба хувийн векторууд.
Шийдлийн жишээ

Өөрийнхөөрөө бай

Энэ хоёр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

Дараа нь тавья: .

Үр дүнд нь: нь хоёр дахь хувийн вектор юм.

Дахин хэлье чухал цэгүүдшийдэл:

- үр дүнд нь систем нь гарцаагүй байна нийтлэг шийдвэр(тэгшитгэлүүд нь шугаман хамааралтай);

- “Y”-г бүхэл тоо, эхний “х” координат нь бүхэл тоо, эерэг, аль болох бага байхаар сонгосон.

- тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж байгаа эсэхийг бид шалгадаг.

Хариулт .

Завсрын "хяналтын цэгүүд" хангалттай байсан тул тэгш байдлыг шалгах нь зарчмын хувьд илүүц юм.

AT янз бүрийн эх сурвалжМэдээллийн хувьд хувийн векторуудын координатыг ихэвчлэн багана биш, харин мөрөнд бичдэг, жишээлбэл: (Үнэнийг хэлэхэд би өөрөө тэдгээрийг мөр болгон бичдэг байсан). Энэ сонголтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ сэдвийн хүрээнд шугаман хувиргалттехникийн хувьд ашиглахад илүү тохиромжтой баганын векторууд.

Магадгүй шийдэл нь танд маш урт мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ энэ нь зөвхөн эхний жишээн дээр маш дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн учраас л тэр.

Жишээ 2

матрицууд

Бид өөрсдөө бэлтгэл хийдэг! Жишээ дээж дуусгаххичээлийн төгсгөлд хийх даалгавар.

Заримдаа та нэмэлт даалгавар гүйцэтгэх хэрэгтэй, тухайлбал:

матрицын каноник задралыг бич

Энэ юу вэ?

Хэрэв матрицын хувийн векторууд үүссэн бол суурь, дараа нь үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Хувийн векторуудын координатаас бүрдэх матриц хаана байна вэ? диагональхаргалзах хувийн утга бүхий матриц.

Энэ матрицын задрал гэж нэрлэгддэг каноникэсвэл диагональ.

Эхний жишээний матрицыг авч үзье. Түүний өөрийн векторууд шугаман бие даасан(конлинеар бус) ба суурь болдог. Тэдгээрийн координатаас матрицыг хийцгээе.

Дээр үндсэн диагональматрицууд зохих дарааллаархувийн утгууд байрладаг бөгөөд үлдсэн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.
- Би дарааллын ач холбогдлыг дахин нэг удаа онцолж байна: "хоёр" нь 1-р вектортой тохирч байгаа тул 1-р баганад, "гурав" нь 2-р векторт байрлана.

Ердийн олох алгоритмын дагуу урвуу матрицэсвэл Гаусс-Жорданы аргаолох . Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш! - таны өмнө ховор байдаг, гэх мэт нар хиртэлтурвуу нь анхны матрицтай таарах үйл явдал.

Матрицын каноник задралыг бичихэд л үлддэг.

Системийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд бид дараах жишээнүүдэд хандах болно энэ арга. Гэхдээ энд "сургууль" арга илүү хурдан ажилладаг. 3-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Эхний координат нь тэг учраас бид тэгшитгэл бүрээс дараах системийг олж авдаг.

Бас дахин анхаарал хандуулах заавал байхшугаман хамаарал. Хэрэв зүгээр л өчүүхэн шийдлийг олж авбал , дараа нь хувийн утгыг буруу олсон эсвэл системийг алдаатай эмхэтгэсэн / шийдсэн.

Компакт координатууд нь үнэ цэнийг өгдөг

Өвөрмөц вектор:

Дахин нэг удаа бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангана. Дараах догол мөрүүд болон дараагийн даалгаваруудад би энэ хүслийг заавал дагаж мөрдөх дүрэм болгон хүлээн авахыг зөвлөж байна.

2) Хувийн утгын хувьд ижил зарчмын дагуу бид дараах системийг олж авна.

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна:

"Зета" координат нь тэгтэй тэнцүү тул тэгшитгэл бүрээс дараах системийг олж авна. шугаман хамаарал.

Болъё

Бид шийдлийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангана.

Тиймээс хувийн вектор: .

3) Эцэст нь систем нь өөрийн гэсэн утгатай тохирч байна:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хамгийн энгийн мэт харагддаг тул бид үүнийг үүнээс илэрхийлж, 1, 3-р тэгшитгэлд орлуулна.

Бүх зүйл сайхан байна - шугаман хамаарал илэрсэн бөгөөд бид үүнийг илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

Үүний үр дүнд "X", "Y" нь "Z"-ээр илэрхийлэгдсэн: . Практикт ийм харилцааг бий болгох шаардлагагүй, зарим тохиолдолд, эсвэл дамжуулан илэрхийлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Эсвэл бүр "галт тэрэг" - жишээлбэл "X" -ээс "Y", "Y" -ээс "Z" хүртэл.

Дараа нь тавья:

Шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж, гурав дахь хувийн векторыг бичнэ

Хариулт: хувийн векторууд:

Геометрийн хувьд эдгээр векторууд нь орон зайн гурван өөр чиглэлийг тодорхойлдог ("Тэнд, дахиад буцаж"), үүний дагуу шугаман хувиргалттэгээс өөр векторуудыг (өөрийн векторууд) тэдгээртэй коллинеар вектор болгон хувиргадаг.

Хэрэв нөхцлийн дагуу -ийн каноник өргөтгөлийг олох шаардлагатай байсан бол энэ нь энд боломжтой, учир нь Янз бүрийн хувийн утгууд нь өөр өөр шугаман бие даасан хувийн векторуудтай тохирдог. Бид матриц үүсгэдэг тэдгээрийн координатаас диагональ матриц -аас хамааралтайхувийн утгууд ба олох урвуу матриц .

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу бичих шаардлагатай бол хувийн векторуудын суурь дахь шугаман хувиргах матриц, дараа нь бид хариултыг хэлбэрээр өгнө. Ялгаатай, бас мэдэгдэхүйц ялгаа бий!Энэ матрицын хувьд "de" матриц юм.

Илүү энгийн тооцоололтой холбоотой асуудал бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Матрицаар өгөгдсөн шугаман хувиргалтын хувийн векторуудыг ол

Өөрийнхөө тоог олохдоо хэргийг 3-р зэргийн олон гишүүнт хүргэхгүй байхыг хичээ. Нэмж дурдахад, таны системийн шийдлүүд миний шийдлүүдээс ялгаатай байж магадгүй - энд хоёрдмол утга байхгүй; мөн таны олсон векторууд нь түүврийн векторуудаас тус тусын координаттай пропорциональ хүртэл ялгаатай байж болно. Жишээлбэл, ба . Хариултыг хэлбэрээр танилцуулах нь гоо зүйн хувьд илүү тааламжтай боловч хоёр дахь хувилбар дээр зогсвол зүгээр юм. Гэсэн хэдий ч бүх зүйлд боломжийн хязгаарлалт байдаг, хувилбар нь тийм ч сайн харагдахгүй байна.

Хичээлийн төгсгөлд даалгаврын ойролцоо эцсийн түүвэр.

Олон хувийн утга байгаа тохиолдолд асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Ерөнхий алгоритм нь ижил хэвээр байгаа боловч энэ нь өөрийн гэсэн онцлогтой бөгөөд шийдлийн зарим хэсгийг илүү хатуу эрдэм шинжилгээний хэв маягаар хадгалахыг зөвлөж байна.

Жишээ 6

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Шийдэл

Мэдээжийн хэрэг, гайхалтай эхний баганыг томоор бичье:

Мөн дөрвөлжин гурвалсан тоог хүчин зүйл болгосны дараа:

Үүний үр дүнд хувийн утгыг олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь үржвэр юм.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) Бид "хялбаршуулсан" схемийн дагуу ганц бие цэрэгтэй харьцах болно.

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс тэгшитгэл нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд үүнийг системийн 1-р тэгшитгэлд орлуулах нь ойлгомжтой.

Хамгийн сайн хослололж чадахгүй байна:
Өвөрмөц вектор:

2-3) Одоо бид хэд хэдэн харуулуудыг устгаж байна. AT Энэ тохиолдолдгарч магадгүй хоёр эсвэл нэгөөрийн вектор. Үндэсийн олон байдлаас үл хамааран бид тодорхойлогч дахь утгыг орлуулна , энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг авчирдаг шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Өвөрмөц векторууд нь яг векторууд юм
үндсэн шийдвэрийн систем

Үнэндээ хичээлийн туршид бид зөвхөн үндсэн системийн векторуудыг хайж байсан. Одоохондоо энэ нэр томъёоонцгой шаардлагагүй байсан. Дашрамд хэлэхэд, өнгөлөн далдалсан тэдгээр авхаалжтай оюутнууд нэгэн төрлийн тэгшитгэл, одоо тамхи татахаас өөр аргагүй болно.

Цорын ганц үйлдэл нь нэмэлт мөрүүдийг арилгах явдал байв. Үр дүн нь дунд нь албан ёсны "алхам" бүхий "нэг гурав" матриц юм.
– үндсэн хувьсагч, – чөлөөт хувьсагч. Хоёр чөлөөт хувьсагч байдаг, тиймээс үндсэн системийн хоёр вектор байдаг.

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье: . "X"-ийн өмнөх тэг хүчин зүйл нь ямар ч утгыг авах боломжийг олгодог (энэ нь тэгшитгэлийн системээс тодорхой харагдаж байна).

Энэ асуудлын хүрээнд ерөнхий шийдлийг мөрөнд биш, харин баганад бичих нь илүү тохиромжтой.

Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:
Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:

Анхаарна уу : Нарийвчилсан уншигчид эдгээр векторуудыг зөвхөн системд дүн шинжилгээ хийснээр амаар авах боломжтой , гэхдээ энд тодорхой мэдлэг хэрэгтэй: гурван хувьсагч байдаг, системийн матрицын зэрэглэл- нэгж гэсэн үг үндсэн шийдвэрийн систем 3 – 1 = 2 вектороос бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч олсон векторууд нь энэ мэдлэггүй ч гэсэн зөвхөн зөн совингийн түвшинд төгс харагдаж байна. Энэ тохиолдолд гурав дахь векторыг "илүү сайхан" бичих болно: . Гэсэн хэдий ч би танд анхааруулж байна, өөр жишээнд, энгийн сонголт байхгүй байж магадгүй тул захиалга нь туршлагатай хүмүүст зориулагдсан болно. Түүнээс гадна, яагаад гурав дахь вектор гэж авч болохгүй гэж? Эцсийн эцэст түүний координатууд нь системийн тэгшитгэл, вектор бүрийг хангадаг шугаман бие даасан байна. Энэ сонголт нь зарчмын хувьд тохиромжтой боловч "бусад" вектор нь үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол тул "тахир" юм.

Хариулт: хувийн утга: , хувийн вектор:

Өөрөө хийх шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 7

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Хичээлийн төгсгөлд дуусгах ойролцоо жишээ.

6 ба 7-р жишээн дээр гурвалсан шугаман бие даасан хувийн векторуудыг олж авсан тул анхны матрицыг каноник тэлэлтээр илэрхийлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэхдээ ийм бөөрөлзгөнө бүх тохиолдолд тохиолддоггүй:

Жишээ 8

Шийдэл: зохиож, шийдвэрлэх шинж чанарын тэгшитгэл:

Бид тодорхойлогчийг эхний баганаар өргөжүүлнэ.

Бид 3-р зэргийн олон гишүүнтээс зайлсхийж, авч үзсэн аргын дагуу нэмэлт хялбаршуулах ажлыг хийж байна.

хувийн утга юм.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) Үндэстэй холбоотой ямар ч бэрхшээл байхгүй:

Гайхах хэрэггүй, иж бүрдэлээс гадна хувьсагчдыг бас ашигладаг - энд ямар ч ялгаа байхгүй.

3-р тэгшитгэлээс бид илэрхийлдэг - бид 1 ба 2-р тэгшитгэлийг орлуулна.

Хоёр тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Дараа нь зөвшөөр:

2-3) Олон утгын хувьд бид системийг авдаг .

Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт авцгаая.

Квадрат матрицын хувийн вектор нь өгөгдсөн матрицаар үржүүлснээр коллинеар вектор гарч ирдэг. Энгийн үгээр хэлбэл, матрицыг хувийн вектороор үржүүлэхэд сүүлийнх нь хэвээр байх боловч зарим тоогоор үржүүлнэ.

Тодорхойлолт

Өвөрмөц вектор нь тэг биш V вектор бөгөөд M квадрат матрицаар үржүүлснээр өөрөө болж, зарим λ тоогоор нэмэгддэг. Алгебрийн тэмдэглэгээнд энэ нь дараах байдалтай харагдана.

M × V = λ × V,

Энд λ нь M матрицын хувийн утга юм.

Санаж үз тоон жишээ. Бичихэд хялбар болгох үүднээс матриц дахь тоонуудыг цэг таслалаар тусгаарлана. Бидэнд матриц байна гэж бодъё:

• M = 0; дөрөв;
• 6; 10.

Үүнийг баганын вектороор үржүүлье:

• V = -2;

Матрицыг баганын вектороор үржүүлэхэд бид мөн баганын векторыг авна. Математикийн хатуу хэлээр 2 × 2 матрицыг баганын вектороор үржүүлэх томъёо дараах байдалтай байна.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 нь эхний мөр, эхний баганад байрлах M матрицын элементийг, M22 нь хоёр дахь мөр, хоёр дахь баганад байрлах элементийг хэлнэ. Манай матрицын хувьд эдгээр элементүүд нь M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Баганын векторын хувьд эдгээр утгууд нь V11 = –2, V21 = 1 байна. Энэ томьёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна. квадрат матрицыг вектороор үржүүлсний үр дүн:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Тохиромжтой болгохын тулд бид баганын векторыг эгнээнд бичдэг. Тиймээс бид квадрат матрицыг вектороор (-2; 1) үржүүлснээр вектор (4; -2) гарлаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь λ = -2-оор үржүүлсэн ижил вектор юм. Энэ тохиолдолд ламбда нь матрицын хувийн утгыг илэрхийлнэ.

Матрицын хувийн вектор нь коллинеар вектор, өөрөөр хэлбэл матрицаар үржихэд орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй объект юм. Вектор алгебр дахь коллинеарийн тухай ойлголт нь геометрийн параллелизмын нэр томъёотой төстэй юм. Геометрийн тайлбарт коллинеар векторууд нь зэрэгцээ чиглэсэн сегментүүд юм өөр өөр урттай. Евклидийн үеэс хойш бид нэг мөрөнд түүнтэй параллель хязгааргүй олон шулуун байдгийг мэддэг тул матриц бүр хязгааргүй тооны хувийн вектортой гэж үзэх нь логик юм.

Өмнөх жишээнээс харахад (-8; 4), (16; -8), (32, -16) хоёулаа хувийн вектор байж болохыг харж болно. Эдгээр нь бүгд λ = -2 хувийн утгатай тохирох коллинеар векторууд юм. Анхны матрицыг эдгээр векторуудаар үржүүлэхэд бид үр дүнд нь векторыг авах болно, энэ нь анхныхаас 2 дахин ялгаатай. Ийм учраас хувийн векторыг олох асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн шугаман бие даасан вектор объектуудыг олох шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд n × n матрицын хувьд n-р тооны хувийн векторууд байдаг. Манай тооцоолуур нь 2-р эрэмбийн квадрат матрицыг шинжлэхэд зориулагдсан тул давхцахаас бусад тохиолдолд үр дүнд нь бараг үргэлж хоёр хувийн вектор олдох болно.

Дээрх жишээн дээр бид анхны матрицын хувийн векторыг урьдчилан мэдэж, ламбдагийн тоог нүдээр тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч практик дээр бүх зүйл эсрэгээрээ тохиолддог: эхэндээ хувийн утгууд байдаг бөгөөд зөвхөн дараа нь хувийн векторууд байдаг.

Шийдлийн алгоритм

Анхны M матрицыг дахин харж, түүний хувийн векторуудыг хоёуланг нь олохыг хичээцгээе. Тиймээс матриц дараах байдалтай байна.

• M = 0; дөрөв;
• 6; 10.

Эхлэхийн тулд бид λ хувийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бид дараах матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох хэрэгтэй.

• (0 − λ); дөрөв;
• 6; (10 − λ).

Энэ матрицүндсэн диагональ дээрх элементүүдээс үл мэдэгдэх λ-ийг хасах замаар олж авна. Тодорхойлогчийг стандарт томъёогоор тодорхойлно.

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Бидний вектор тэг байх ёсгүй тул үүссэн тэгшитгэлийг шугаман хамааралтай гэж авч, тодорхойлогч detA-г тэгтэй тэнцүүлнэ.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Хаалтуудыг нээж, матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг авцгаая.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Энэ бол стандарт юм квадрат тэгшитгэл, энэ нь ялгаварлагчийн хувьд шийдэгдэх ёстой.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Дискриминантийн язгуур нь sqrt(D) = 14 тул λ1 = -2, λ2 = 12. Одоо lambda утга бүрийн хувьд бид хувийн векторыг олох хэрэгтэй. λ = -2 үед системийн коэффициентүүдийг илэрхийлье.

• M − λ × E = 2; дөрөв;
• 6; 12.

Энэ томъёонд E нь байна таних матриц. Хүлээн авсан матриц дээр үндэслэн бид системийг бүрдүүлнэ шугаман тэгшитгэл:

2x + 4y = 6x + 12y

Энд x ба у нь хувийн векторын элементүүд юм.

Зүүн талд байгаа бүх X, баруун талд байгаа бүх Y-г цуглуулцгаая. Мэдээжийн хэрэг - 4x = 8y. Илэрхийлэлийг - 4-т хувааж, x = -2y болно. Одоо бид үл мэдэгдэх бүх утгыг авч матрицын эхний хувийн векторыг тодорхойлж болно (шугаман хамааралтай хувийн векторуудын хязгааргүй байдлын талаар санаарай). y = 1, тэгвэл x = -2 гэж авъя. Тиймээс эхний хувийн вектор нь V1 = (–2; 1) шиг харагдаж байна. Өгүүллийн эхэнд буцах. Чухамхүү энэ вектор объектыг бид матрицыг үржүүлж, хувийн векторын тухай ойлголтыг харуулсан.

Одоо λ = 12-ын хувийн векторыг олъё.

• M - λ × E = -12; дөрөв
• 6; -2.

Шугаман тэгшитгэлийн ижил системийг зохиоё;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Одоо x = 1, тэгэхээр у = 3 гэж авъя. Ийнхүү хоёр дахь хувийн вектор нь V2 = (1; 3) шиг харагдаж байна. Анхны матрицыг энэ вектороор үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж ижил векторыг 12-оор үржүүлнэ. Энэ нь шийдлийн алгоритмыг гүйцээнэ. Одоо та матрицын хувийн векторыг гараар хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг болсон.

• тодорхойлогч;
• ул мөр, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр;
• зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл дээд хэмжээшугаман бие даасан мөр/багана.

Хөтөлбөр нь дээрх алгоритмын дагуу ажиллаж, шийдлийн процессыг багасгадаг. Хөтөлбөрт lambda-г "c" үсгээр тэмдэглэсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоон жишээг авч үзье.

Програмын жишээ

Дараах матрицын хувийн векторуудыг тодорхойлохыг хичээцгээе.

• M=5; 13;
• 4; 14.

Эдгээр утгыг тооцоолуурын нүдэнд оруулаад дараах хэлбэрээр хариултыг авцгаая.

• Матрицын зэрэглэл: 2;
• Матриц тодорхойлогч: 18;
• Матрицын мөр: 19;
• Өвөрмөц векторын тооцоо: c 2 − 19.00c + 18.00 (шинж чанарын тэгшитгэл);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 18 (эхний ламбда утга);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 1 (хоёр дахь ламбда утга);
• 1-р векторын тэгшитгэлийн систем: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Вектор 2 тэгшитгэлийн систем: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Өвөрмөц вектор 1: (1; 1);
• Өвөрмөц вектор 2: (-3.25; 1).

Тиймээс бид хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг олж авлаа.

Дүгнэлт

Шугаман алгебр, аналитик геометр нь инженерийн чиглэлээр суралцаж буй аливаа нэгдүгээр курсын стандарт хичээл юм. Олон тоонывекторууд болон матрицууд нь аймшигтай бөгөөд ийм төвөгтэй тооцоололд алдаа гаргахад амархан байдаг. Манай программ нь оюутнуудад тооцоогоо шалгах эсвэл хувийн векторыг олох асуудлыг автоматаар шийдэх боломжийг олгоно. Манай каталогид бусад шугаман алгебрийн тооцоолуурууд байдаг тул тэдгээрийг хичээл эсвэл ажилдаа ашиглаарай.

www.siteолох боломжийг танд олгоно. Тооцооллыг сайт хийдэг. Хэдэн секундын дараа сервер гарч ирнэ зөв шийдвэр. Матрицын шинж чанарын тэгшитгэлтодорхойлогчийг тооцоолох дүрмээр олдсон алгебрийн илэрхийлэл байх болно матрицууд матрицууд, үндсэн диагональ дээр диагональ элементүүд болон хувьсагчийн утгуудын ялгаа байх болно. Тооцоолох үед матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн, элемент бүр матрицуудхаргалзах бусад элементүүдээр үржүүлнэ матрицууд. горимд хайх онлайнзөвхөн квадратад л боломжтой матрицууд. Үйлдлийг олох матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнэлементүүдийн үржвэрийн алгебрийн нийлбэрийг тооцоолох хүртэл бууруулна матрицуудтодорхойлогчийг олсны үр дүнд матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Энэ ажиллагаа нь онолд онцгой байр суурь эзэлдэг матрицууд, үндэс ашиглан хувийн утга ба векторуудыг олох боломжийг танд олгоно. Ажил олох матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнэлементүүдийг үржүүлэх явдал юм матрицуудДараа нь эдгээр бүтээгдэхүүнийг нэгтгэн дүгнэнэ тодорхой дүрэм. www.siteолдог матрицын шинж чанарын тэгшитгэлгоримд өгөгдсөн хэмжээс онлайн. тооцоо матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнөгөгдсөн хэмжээсийн хувьд энэ нь тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмээр олдсон тоон эсвэл симболын коэффициент бүхий олон гишүүнтийг олох явдал юм. матрицууд- харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэрээр матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Квадрат хувьсагчийн хувьд олон гишүүнтийг олох матрицууд, тодорхойлолтоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, онолын хувьд нийтлэг байдаг матрицууд. Олон гишүүнтийн язгуурын утга матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнхувийн вектор ба хувийн утгыг тодорхойлоход ашигладаг матрицууд. Гэсэн хэдий ч тодорхойлогч бол матрицуудтэгвэл тэг болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэлурвуу байдлаас ялгаатай нь хэвээр байх болно матрицууд. Тооцоолохын тулд матрицын шинж чанарын тэгшитгэлэсвэл хэд хэдэн зүйлийг нэг дор хайх матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, та маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргах хэрэгтэй, харин манай сервер олох болно Онлайн матрицын шинж чанарын тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд хариултыг олох замаар матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнолох үед тоо байсан ч гэсэн зөв, хангалттай нарийвчлалтай байх болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнүндэслэлгүй байх болно. Сайт дээр www.siteэлементүүдэд тэмдэгт оруулахыг зөвшөөрдөг матрицууд, тэр бол Онлайн матрицын шинж чанарын тэгшитгэлтооцоолохдоо ерөнхий бэлгэдлийн хэлбэрээр илэрхийлж болно шинж чанарын тэгшитгэлийн матриц онлайн. Олж олох асуудлыг шийдэхдээ олж авсан хариултыг шалгах нь ашигтай байдаг матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнсайтыг ашиглан www.site. Олон гишүүнтийг тооцоолох үйлдлийг гүйцэтгэх үед - матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд анхааралтай, маш их төвлөрөх шаардлагатай байна. Хариуд нь манай сайт тухайн сэдвээр шийдвэрээ шалгахад тань туслах болно шинж чанарын тэгшитгэлийн матриц онлайн. Хэрэв та шийдэгдсэн асуудлуудыг удаан хугацаанд шалгаж үзэх цаг байхгүй бол www.siteбайх нь гарцаагүй тохиромжтой хэрэгсэлолох, тооцоолохдоо шалгах матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн.

". Эхний хэсэг нь химометрийг ойлгоход хамгийн бага шаардлагатай заалтуудыг тоймлон харуулсан бол хоёр дахь хэсэгт олон хувьсагчийн шинжилгээний аргуудыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд мэдэх шаардлагатай баримтуудыг багтаасан болно. Илтгэлийг Excel-ийн ажлын дэвтэрт хийсэн жишээн дээр харуулав. Matrix.xlsЭнэ баримт бичигт дагалддаг.

Жишээнүүдийн холбоосыг текстэнд Excel объект хэлбэрээр байрлуулсан. Эдгээр жишээнүүд нь хийсвэр шинж чанартай бөгөөд тэдгээр нь аналитик химийн асуудалтай ямар ч холбоогүй юм. Бодит жишээнүүдхимометрийн салбарт матриц алгебр ашиглах талаар янз бүрийн химометрийн хэрэглээнд зориулагдсан бусад бичвэрүүдэд авч үзсэн болно.

Аналитик химийн чиглэлээр хийгдсэн хэмжилтүүдийн ихэнх нь шууд биш боловч шууд бус. Энэ нь туршилтанд хүссэн аналитийн С (концентраци) утгын оронд өөр утгыг олж авна гэсэн үг юм. x(дохио) холбоотой боловч C-тэй тэнцүү биш, i.e. x(C) ≠ C. Дүрмээр бол хамаарлын төрөл x(C) нь тодорхойгүй боловч аз болоход аналитик химийн ихэнх хэмжилтүүд пропорциональ байдаг. Энэ нь С-ийн концентрацитай адил гэсэн үг юм аудаад X дохио ижил хэмжээгээр нэмэгдэх болно., өөрөөр хэлбэл. x(а C) = а х(C). Үүнээс гадна дохионууд нь нэмэлт шинж чанартай байдаг тул C 1 ба C 2 концентрацитай хоёр бодис агуулсан дээжийн дохио нь нийлбэртэй тэнцүү байнаБүрэлдэхүүн хэсэг тус бүрийн дохио, өөрөөр хэлбэл. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). Пропорциональ байдал ба нэмэлт нь хамтдаа өгдөг шугаман байдал. Шугаман байдлын зарчмыг харуулахын тулд олон жишээ өгч болох боловч хамгийн их хоёрыг дурдахад хангалттай. тод жишээнүүд- хроматографи ба спектроскопи. Аналитик химийн туршилтын хоёр дахь онцлог нь олон суваг. Орчин үеийн аналитик төхөөрөмж нь олон сувгийн дохиог нэгэн зэрэг хэмждэг. Жишээлбэл, гэрлийн дамжуулалтын эрчмийг нэгэн зэрэг хэд хэдэн долгионы уртаар хэмждэг, i.e. спектр. Тиймээс туршилтаар бид янз бүрийн дохиог авч үздэг x 1 , x 2 ,...., xСудалж буй системд агуулагдах бодисын C 1 ,C 2 , ..., C m агууламжийн багцыг тодорхойлсон n.

Цагаан будаа. 1 спектр

Тиймээс аналитик туршилт нь шугаман болон олон хэмжээст шинж чанартай байдаг. Иймд туршилтын өгөгдлийг вектор, матриц гэж үзэж, матрицын алгебрын аппаратыг ашиглан тэдгээрийг удирдах нь тохиромжтой. Энэхүү аргын үр өгөөжийг 4000-аас 4796 см–1 хүртэлх 200 долгионы уртад авсан гурван спектрийг харуулсан жишээнд үзүүлэв. Эхний ( x 1) ба хоёр дахь ( x 2) А ба В хоёр бодисын концентраци нь мэдэгдэж байгаа стандарт дээжийн спектрийг авсан: эхний дээжинд [A] = 0.5, [B] = 0.1, хоёр дахь дээжинд [A] = 0.2, [ B] = 0.6. Спектрийг нь зааж өгсөн шинэ, үл мэдэгдэх дээжийн талаар юу хэлж болох вэ x 3 ?

Гурван туршилтын спектрийг авч үзье x 1 , x 2 ба x 3 нь 200 хэмжээст гурван вектор. Шугаман алгебр ашиглан үүнийг хялбархан харуулж чадна x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2, тиймээс гурав дахь дээжинд [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 ба [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19 агууламжтай зөвхөн А ба В бодис агуулагдах нь тодорхой.

1. Үндсэн мэдээлэл

1.1 Матрицууд

Матрицжишээ нь тэгш өнцөгт тооны хүснэгт гэж нэрлэдэг

Цагаан будаа. 2 матриц

Матрицыг том том үсгээр тэмдэглэв ( А), тэдгээрийн элементүүд - харгалзах жижиг үсэгиндексүүдтэй, өөрөөр хэлбэл. а ij . Эхний индекс нь мөрүүдийг дугаарлаж, хоёр дахь нь баганыг дугаарлана. Хемометрийн хувьд үүнийг тэмдэглэх нь заншилтай байдаг хамгийн их утгаиндекстэй ижил үсэгтэй, гэхдээ том үсгээр бичсэн индекс. Тиймээс матриц Агэж бас бичиж болно ( а ij , би = 1,..., I; j = 1,..., Ж). Жишээ матрицын хувьд I = 4, Ж= 3 ба а 23 = −7.5.

Хос тоо Iболон Жматрицын хэмжээс гэж нэрлэгддэг ба гэж тэмдэглэнэ I× Ж. Хемометрийн матрицын жишээ бол олж авсан спектрийн багц юм Iдээжүүд дээр Ждолгионы урт.

1.2. Матрицтай хийх хамгийн энгийн үйлдлүүд

Матрицууд боломжтой тоогоор үржүүлнэ. Энэ тохиолдолд элемент бүрийг энэ тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл -

Цагаан будаа. 3 Матрицыг тоогоор үржүүлэх

Ижил хэмжээтэй хоёр матриц нь элементийн хувьд байж болно нугалахболон хасах. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 4 Матриц нэмэх

Тоогоор үржүүлж, нэмсний үр дүнд ижил хэмжээтэй матрицыг олж авна.

Тэг матриц нь тэгээс бүрдэх матриц юм. Энэ нь томилогдсон О. Энэ нь ойлгомжтой А+О = А, А−А = Оба 0 А = О.

Матриц боломжтой шилжүүлэн суулгах. Энэ үйлдлийн явцад матрицыг эргүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. мөр, багануудыг сольсон. Шилжилтийг зураасаар тэмдэглэсэн, А"эсвэл индекс Ат . Тиймээс, хэрэв А = {а ij , би = 1,..., I; j = 1,...,Ж), дараа нь А t = ( а жи , j = 1,...,Ж; i = 1,..., I). Жишээлбэл

Цагаан будаа. 5 Матрицын шилжүүлэг

Энэ нь ойлгомжтой ( А t) t = А, (А+Б) т = А t+ Бт .

1.3. Матрицын үржүүлэх

Матрицууд боломжтой үржүүлэх, гэхдээ тэдгээр нь зохих хэмжээстэй байвал л. Яагаад ийм байгаа нь тодорхойлолтоос тодорхой болно. Матрицын бүтээгдэхүүн А, хэмжээс I× К, болон матрицууд Б, хэмжээс К× Ж, матриц гэж нэрлэдэг C, хэмжээс I× Ж, тэдгээрийн элементүүд нь тоо юм

Тиймээс бүтээгдэхүүний хувьд ABзүүн матриц дахь баганын тоо байх шаардлагатай Абаруун матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байв Б. Матрицын бүтээгдэхүүний жишээ -

Зураг.6 Матрицын үржвэр

Матрицыг үржүүлэх дүрмийг дараах байдлаар томъёолж болно. Матрицын элементийг олох Cуулзвар дээр зогсож байна би-р мөр ба j-р багана ( в ij) элементийг элементээр үржүүлэх ёстой би-эхний матрицын 1-р эгнээ Адээр j-хоёр дахь матрицын багана Бмөн бүх үр дүнг нэгтгэ. Тиймээс үзүүлсэн жишээн дээр гурав дахь эгнээ ба хоёр дахь баганын элементийг гурав дахь эгнээний элементийн бүтээгдэхүүний нийлбэрээр олж авна. Аба хоёр дахь багана Б

Зураг.7 Матрицуудын үржвэрийн элемент

Матрицын бүтээгдэхүүн нь дарааллаас хамаарна, i.e. AB ≠ БА, наад зах нь хэмжээст шалтгааны улмаас. Үүнийг солигддоггүй гэдэг. Гэсэн хэдий ч матрицын үржвэр нь ассоциатив юм. Энэ нь тийм гэсэн үг ABC = (AB)C = А(МЭӨ). Түүнээс гадна, энэ нь бас түгээх, i.e. А(Б+C) = AB+АС. Энэ нь ойлгомжтой А.О = О.

1.4. Квадрат матрицууд

Хэрэв матрицын баганын тоо нь түүний мөрүүдийн тоотой тэнцүү бол ( I = J=N), ийм матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг. Энэ хэсэгт бид зөвхөн ийм матрицуудыг авч үзэх болно. Эдгээр матрицуудаас онцгой шинж чанартай матрицуудыг ялгаж салгаж болно.

Ганц биематриц (тэмдэглэсэн Iмөн заримдаа Э) нь диагональ элементүүдээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц бөгөөд 1-тэй тэнцүү, i.e.

Мэдээжийн хэрэг AI = IA = А.

Матриц гэж нэрлэдэг диагональ, хэрэв диагональ элементүүдээс бусад бүх элементүүд ( а ii) тэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл

Цагаан будаа. 8 Диагональ матриц

Матриц Адээд гэж нэрлэдэг гурвалжин, хэрэв диагональ доор байрлах бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү бол, i.e. а ij= 0, цагт би>j. Жишээлбэл

Цагаан будаа. 9 Дээд гурвалжин матриц

Доод гурвалжин матрицыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.

Матриц Адуудсан тэгш хэмтэй, хэрэв А t = А. Өөрөөр хэлбэл а ij = а жи. Жишээлбэл

Цагаан будаа. 10 Симметрик матриц

Матриц Адуудсан ортогональ, хэрэв

Ат А = АА t = I.

Матриц гэж нэрлэдэг хэвийнхэрэв

1.5. Мөр ба тодорхойлогч

Дагаж байнаквадрат матриц А(Tr гэж тэмдэглэсэн ( А) эсвэл Sp( А)) нь диагональ элементүүдийн нийлбэр,

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 11 Матрицын ул мөр

Энэ нь ойлгомжтой

Sp(α А) = α Sp( А) ба

Sp( А+Б) = Sp( А)+ Sp( Б).

Үүнийг харуулж болно

Sp( А) = Sp( А t), Sp( I) = Н,

бас тэр

Sp( AB) = Sp( БА).

Өөр чухал шинж чанарквадрат матриц нь түүний тодорхойлогч(det-ээр тэмдэглэгдсэн) А)). Тодорхойлогчийн тодорхойлолт ерөнхий тохиолдолнэлээд төвөгтэй тул бид хамгийн энгийн сонголт болох матрицаас эхэлнэ Ахэмжээс (2×2). Дараа нь

(3×3) матрицын хувьд тодорхойлогч нь тэнцүү байна

Матрицын хувьд ( Н× Н) тодорхойлогчийг 1 2 3 ... нийлбэрээр тооцно. Н= Н! нэр томъёо тус бүр нь тэнцүү байна

Индексүүд к 1 , к 2 ,..., кНбүх боломжит эрэмбэлэгдсэн орлуулалтууд гэж тодорхойлогддог rбагц дахь тоонууд (1, 2, ... , Н). Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох нь практикт тусгай програм ашиглан хийгддэг нарийн төвөгтэй процедур юм. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 12 Матриц тодорхойлогч

Бид зөвхөн тодорхой шинж чанаруудыг тэмдэглэж байна:

det( I) = 1, det( А) = det( А t),

det( AB) = det( А)det( Б).

1.6. Векторууд

Хэрэв матриц нь зөвхөн нэг баганатай бол ( Ж= 1), тэгвэл ийм объект дуудагдана вектор. Илүү нарийн, баганын вектор. Жишээлбэл

Жишээлбэл, нэг мөрөөс бүрдэх матрицуудыг авч үзэж болно

Энэ объект нь мөн вектор боловч эгнээ вектор. Өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийхдээ бид аль вектортой харьцаж байгааг ойлгох нь чухал юм - багана эсвэл мөр. Тиймээс нэг дээжинд авсан спектрийг эгнээний вектор гэж үзэж болно. Дараа нь бүх дээжийн зарим долгионы урт дахь спектрийн эрчмийн багцыг баганын вектор гэж үзэх хэрэгтэй.

Векторын хэмжээс нь түүний элементүүдийн тоо юм.

Аливаа баганын векторыг шилжүүлэн суулгах замаар эгнээний вектор болгон хувиргах нь тодорхой байна.

Векторын хэлбэрийг тусгайлан заагаагүй, зүгээр л вектор гэж хэлсэн тохиолдолд тэдгээр нь баганын вектор гэсэн үг юм. Бид ч гэсэн энэ дүрмийг баримтална. Векторыг жижиг тод том үсгээр тэмдэглэнэ. Тэг вектор нь бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү вектор юм. Энэ нь тэмдэглэгдсэн байна 0 .

1.7. Векторуудтай хийх хамгийн энгийн үйлдлүүд

Векторуудыг матрицтай адил тоогоор нэмж, үржүүлж болно. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 13 Векторуудтай хийх үйлдлүүд

Хоёр вектор xболон yдуудсан collinear, хэрэв тийм α тоо байвал

1.8. Векторуудын бүтээгдэхүүн

Ижил хэмжээтэй хоёр вектор Нүржүүлж болно. Хоёр вектор байг x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t ба y = (y 1 , y 2 ,...,y N) т. "Мөр багана" үржүүлэх дүрмийг баримталснаар бид тэдгээрээс хоёр бүтээгдэхүүн хийж болно. xт yболон xyт . Анхны ажил

дуудсан скалярэсвэл дотоод. Үүний үр дүн нь тоо юм. Энэ нь мөн тэмдэглэгээг ашигладаг ( x,y)= xт y. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 14 Дотоод (скаляр) бүтээгдэхүүн

Хоёр дахь ажил

дуудсан гадна. Үүний үр дүн нь хэмжээсийн матриц юм ( Н× Н). Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 15 Гадна бүтээгдэхүүн

Векторууд, скаляр бүтээгдэхүүнтэгтэй тэнцүү гэж нэрлэдэг ортогональ.

1.9. Вектор норм

Векторын өөртэйгөө скаляр үржвэрийг скаляр квадрат гэнэ. Энэ үнэ цэнэ

квадратыг тодорхойлдог уртвектор x. Уртыг тэмдэглэхийн тулд (мөн гэж нэрлэдэг нормвектор) тэмдэглэгээг ашиглана

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 16 Вектор норм

Нэгж уртын вектор (|| x|| = 1) нормчлогдсон гэж нэрлэдэг. Тэг биш вектор ( x ≠ 0 ) уртаар хуваах замаар хэвийн болгож болно, i.e. x = ||x|| (х/||x||) = ||x|| д. Энд д = х/||x|| нь нормчлогдсон вектор юм.

Векторууд бүгд нормчлогдсон, хосоороо ортогональ байвал ортонормаль гэнэ.

1.10. Векторуудын хоорондох өнцөг

Скаляр бүтээгдэхүүн нь ба буланХоёр векторын хоорондох φ xболон y

Хэрэв векторууд ортогональ бол cosφ = 0 ба φ = π/2, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал cosφ = 1 ба φ = 0 болно.

1.11. Матрицын вектор дүрслэл

Матриц бүр Ахэмжээ I× Жвекторуудын олонлог хэлбэрээр төлөөлж болно

Энд вектор бүр а jбайна j-р багана ба мөр вектор б бибайна би- матрицын р эгнээ А

1.12. Шугаман хамааралтай векторууд

Ижил хэмжээтэй векторууд ( Н)-ийг матрицтай адил тоогоор нэмж, үржүүлж болно. Үр дүн нь ижил хэмжээтэй вектор юм. Ижил хэмжээтэй хэд хэдэн вектор байг x 1 , x 2 ,...,x K ба ижил тооны α α ​​1 , α 2 ,...,α К. Вектор

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α К x К

дуудсан шугаман хослолвекторууд x к .

Хэрэв тэгээс бусад тоонууд байвал α к ≠ 0, к = 1,..., К, юу y = 0 , дараа нь ийм векторуудын багц x кдуудсан шугаман хамааралтай. Үгүй бол векторуудыг шугаман бие даасан гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, векторууд x 1 = (2, 2) t ба x 2 = (−1, −1) t нь шугаман хамааралтай, учир нь x 1 +2x 2 = 0

1.13. Матрицын зэрэглэл

багцыг авч үзье Квекторууд x 1 , x 2 ,...,x Кхэмжээсүүд Н. Энэ векторын системийн зэрэглэл нь шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоо юм. Жишээлбэл, багцад

зөвхөн хоёр шугаман байна бие даасан вектор, Жишээлбэл x 1 ба x 2 тул түүний зэрэглэл 2 байна.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв олонлогт тэдгээрийн хэмжээнээс олон вектор байгаа бол ( К>Н), тэгвэл тэдгээр нь заавал шугаман хамааралтай байна.

Матрицын зэрэглэл(зэрэглэлээр тэмдэглэгдсэн) А)) нь түүний бүрдэх векторуудын системийн зэрэглэл юм. Хэдийгээр аливаа матрицыг хоёр аргаар (баганын вектор эсвэл мөрийн вектор) төлөөлж болох боловч энэ нь зэрэглэлийн утгад нөлөөлөхгүй.

1.14. урвуу матриц

квадрат матриц Аөвөрмөц шинж чанартай бол доройтдоггүй гэж нэрлэдэг урвууматриц А-1 , нөхцөлөөр тодорхойлогддог

АА −1 = А −1 А = I.

Урвуу матриц нь бүх матрицад байдаггүй. Ядардаггүй байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм

det( А) ≠ 0 эсвэл зэрэг( А) = Н.

Матрицын урвуулалт нь тусгай программууд байдаг нарийн төвөгтэй процедур юм. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 17 Матрицын урвуу

Бид хамгийн энгийн тохиолдлын томъёог өгдөг - 2 × 2 матрицууд

Хэрэв матрицууд Аболон Бтэгвэл доройтдоггүй

(AB) −1 = Б −1 А −1 .

1.15. Псевдо урвуу матриц

Хэрэв матриц Адоройтсон ба урвуу матрицбайхгүй, зарим тохиолдолд та ашиглаж болно псевдо-урвууматриц гэж тодорхойлогддог матриц А+ тэр

АА + А = А.

Псевдо урвуу матриц нь цорын ганц биш бөгөөд түүний хэлбэр нь барилгын аргаас хамаарна. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт матрицын хувьд та Мур-Пенроузын аргыг ашиглаж болно.

Хэрэв баганын тоо тооноос багадараа нь шугамууд

А + =(Ат А) −1 Ат

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 17a Псевдо матрицын урвуу

Хэрэв баганын тоо мөрийн тооноос их байвал

А + =А t ( ААт) −1

1.16. Векторыг матрицаар үржүүлэх

Вектор xматрицаар үржүүлж болно Атохиромжтой хэмжээс. Энэ тохиолдолд баганын векторыг баруун талд үржүүлнэ Сүх, мөн вектор мөр зүүн талд байна xт А. Хэрэв векторын хэмжээс Ж, мөн матрицын хэмжээс I× Жтэгвэл үр дүн нь хэмжээсийн вектор болно I. Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 18 Вектор-Матрицын үржүүлэх

Хэрэв матриц А- дөрвөлжин ( I× I), дараа нь вектор y = Сүххэмжээтэй ижил хэмжээтэй байна x. Энэ нь ойлгомжтой

А(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 Сүх 1 + α 2 Сүх 2 .

Тиймээс матрицуудыг дараах байдлаар харж болно шугаман хувиргалтвекторууд. Тухайлбал x = x, Үхэр = 0 .

2. Нэмэлт мэдээлэл

2.1. Шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Болъё А- матрицын хэмжээ I× Ж, a б- хэмжээст вектор Ж. Тэгшитгэлийг авч үзье

Сүх = б

векторын хувьд x, хэмжээс I. Үндсэндээ энэ бол систем юм Iшугаман тэгшитгэлүүд Жүл мэдэгдэх x 1 ,...,x Ж. Шийдэл нь зөвхөн хэрэв байгаа бол л байдаг

зэрэг( А) = зэрэглэл( Б) = Р,

хаана Бнь нэмэгдсэн хэмжээсийн матриц юм I×( J+1) матрицаас бүрдэнэ А, баганаар дүүргэсэн б, Б = (А б). Үгүй бол тэгшитгэлүүд хоорондоо зөрчилддөг.

Хэрвээ Р = I = Ж, тэгвэл шийдэл нь өвөрмөц юм

x = А −1 б.

Хэрвээ Р < I, тэгвэл олон байна янз бүрийн шийдэл, үүнийг шугаман хослолоор илэрхийлж болно Ж−Рвекторууд. Систем нэгэн төрлийн тэгшитгэл Сүх = 0 квадрат матрицтай А (Н× Н) чухал биш шийдэлтэй ( x ≠ 0 ) зөвхөн хэрэв det( А) = 0. Хэрэв Р= зэрэглэл( А)<Н, дараа нь байдаг Н−Ршугаман бие даасан шийдлүүд.

2.2. Хоёр шугаман ба квадрат хэлбэрүүд

Хэрвээ А- энэ бол квадрат матриц, a xболон y- харгалзах хэмжээсийн векторууд, дараа нь хэлбэрийн скаляр үржвэр xт Айдуудсан хоёр шугаманматрицаар тодорхойлсон хэлбэр А. At x = yилэрхийлэл xт Сүхдуудсан квадратхэлбэр.

2.3. Эерэг тодорхой матрицууд

квадрат матриц Адуудсан эерэг тодорхой, хэрэв тэгээс өөр векторын хувьд x ≠ 0 ,

xт Сүх > 0.

The сөрөг (xт Сүх < 0), сөрөг бус (xт Сүх≥ 0) ба эерэг бус (xт Сүх≤ 0) тодорхой матрицууд.

2.4. Холескийн задрал

Хэрэв тэгш хэмтэй матриц Аэерэг тодорхой бол өвөрмөц гурвалжин матриц байна Уэерэг элементүүдтэй, үүний тулд

А = Ут У.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 19 Холескийн задрал

2.5. туйлын задрал

Болъё Ахэмжээс нь доройтдоггүй квадрат матриц юм Н× Н. Дараа нь өвөрмөц зүйл бий туйлгүйцэтгэл

А = SR,

хаана Снь сөрөг бус тэгш хэмтэй матриц бөгөөд Рнь ортогональ матриц юм. матрицууд Сболон Ртодорхой тодорхойлж болно:

С 2 = АА t эсвэл С = (АА t) ½ ба Р = С −1 А = (АА t) −½ А.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 20 Туйлын задрал

Хэрэв матриц Адоройтсон бол задрал нь өвөрмөц биш юм - тухайлбал: Сганцаараа, гэхдээ Ролон байж болно. Туйлын задрал нь матрицыг илэрхийлдэг Ашахах/сунгах хослол хэлбэрээр Сболон эргэх Р.

2.6. Хувийн вектор ба хувийн утга

Болъё Аквадрат матриц юм. Вектор vдуудсан өөрийн векторматрицууд А, хэрэв

Av = λ v,

λ тоог хаана дууддаг хувийн утгаматрицууд А. Тиймээс матрицын гүйцэтгэдэг хувиргалт Агаруй вектор v, λ коэффициенттэй энгийн суналт эсвэл шахалт болгон бууруулна. Өвөрмөц векторыг α ≠ 0 тогтмолоор үржүүлэх хүртэл тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. хэрэв vнь хувийн вектор, дараа нь α vнь мөн хувийн вектор юм.

2.7. Хувийн үнэ цэнэ

Матриц дээр А, хэмжээс ( Н× Н) -аас их байж болохгүй Нхувийн үнэ цэнэ. Тэд сэтгэл хангалуун байдаг шинж чанарын тэгшитгэл

det( А − λ I) = 0,

байх алгебрийн тэгшитгэл Н--р захиалга. Ялангуяа 2х2 матрицын хувьд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 21 Хувийн утга

Хувийн утгуудын багц λ 1 ,..., λ Нматрицууд Адуудсан спектр А.

Спектр нь янз бүрийн шинж чанартай байдаг. Тухайлбал

det( А) = λ 1×...×λ Н, Sp( А) = λ 1 +...+λ Н.

Дурын матрицын хувийн утга нь нарийн төвөгтэй тоо байж болно, гэхдээ матриц нь тэгш хэмтэй бол ( А t = А), тэгвэл түүний хувийн утга бодит байна.

2.8. Өвөрмөц векторууд

Матриц дээр А, хэмжээс ( Н× Н) -аас их байж болохгүй Нөөрийн векторууд тус бүр өөрийн гэсэн утгатай тохирч байна. Өвөрмөц векторыг тодорхойлох v nТа нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй

(А − λ n I)v n = 0 .

Энэ нь өчүүхэн бус шийдэлтэй, учир нь det( А-λ n I) = 0.

Жишээлбэл,

Цагаан будаа. 22 хувийн векторууд

Тэгш хэмт матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.