Бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулах, дүрэм, жишээ, шийдэл. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах (Москаленко М.В.)

Бутархайг хамгийн бага болгон багасгахын тулд Ерөнхий хуваарь, та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй: 1) эдгээр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох, энэ нь хамгийн бага нийтлэг хуваагч байх болно. 2) бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олох ба үүний тулд бид шинэ хуваагчийг бутархай бүрийн хуваарьт хуваана. 3) бутархай тус бүрийн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Жишээ. Дараах бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруул.

Бид хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: LCM(5; 4) = 20, учир нь 20 нь 5 ба 4-т хуваагддаг хамгийн бага тоо юм. 1-р бутархайд нэмэлт хүчин зүйл 4 (20) олно. : 5=4). 2-р бутархайн хувьд нэмэлт үржүүлэгч нь 5 (20 : 4=5). Бид 1-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 4-өөр, 2-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 5-аар үржүүлэв. Бид эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулсан ( 20 ).

Эдгээр бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваарь нь 8 байна, учир нь 8 нь 4-т болон өөрөө хуваагддаг. 1-р бутархайд нэмэлт үржүүлэгч байхгүй (эсвэл бид үүнийг нэгтэй тэнцүү гэж хэлж болно), 2-р бутархайд нэмэлт үржүүлэгч нь 2 (8) байна. : 4=2). Бид 2-р бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 2-оор үржүүлэв. Бид эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулсан ( 8 ).

Эдгээр фракцууд нь буурах боломжгүй юм.

Бид 1-р бутархайг 4-өөр багасгаж, 2-р бутархайг 2-оор бууруулна. ( энгийн бутархайг багасгах жишээг үзнэ үү: Сайтын газрын зураг → 5.4.2. Энгийн бутархайг багасгах жишээ). LCM олох(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. 1-р бутархайн нэмэлт үржүүлэгч нь 5 (80 : 16=5). 2-р бутархайн нэмэлт үржүүлэгч нь 4 (80 : 20=4). Бид 1-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 5-аар, 2-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 4-өөр үржүүлэв. Бид эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулсан ( 80 ).

NOC-ийн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол (5 ; 6 ба 15) = LCM(5 ; 6 ба 15)=30. 1-р бутархайн нэмэлт үржүүлэгч нь 6 (30 : 5=6), 2-р бутархайн нэмэгдэл үржүүлэгч нь 5 (30 : 6=5), 3-р бутархайн нэмэгдэл үржүүлэгч нь 2 (30 : 15=2). Бид 1-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 6-аар, 2-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 5-аар, 3-р бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2-оор үржүүлэв. Бид эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваарьт хүртэл бууруулсан ( 30 ).

1 хуудасны 1 1

AT энэ материалБид бутархайг шинэ хуваарьт хэрхэн зөв оруулах, нэмэлт хүчин зүйл гэж юу болох, түүнийг хэрхэн олох талаар дүн шинжилгээ хийх болно. Үүний дараа бид бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруулах үндсэн дүрмийг томъёолж, асуудлын жишээгээр дүрслэн харуулав.

Бутархайг өөр хуваагч болгон багасгах тухай ойлголт

Бутархайн үндсэн шинж чанарыг эргэн сана. Түүний хэлснээр энгийн a b бутархай (энд а ба b нь дурын тоо) нь түүнтэй тэнцүү хязгааргүй тооны бутархайтай байдаг. Ийм бутархайг тоологч ба хуваагчийг ижил тоогоор m (байгалийн) үржүүлэх замаар олж авч болно. Өөрөөр хэлбэл бүх зүйл энгийн бутархай a · m b · m хэлбэрийн бусад хэлбэрээр сольж болно. Энэ нь анхны утгыг хүссэн хуваагчтай бутархай болгон бууруулах явдал юм.

Та бутархайг өөр хуваагч руу авчирч, түүний тоо болон хуваагчийг дурын тоогоор үржүүлж болно. натурал тоо. Гол нөхцөл нь үржүүлэгч нь бутархайн хоёр хэсэгт ижил байх ёстой. Үр дүн нь анхныхтай тэнцүү бутархай юм.

Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ 1

11 25 бутархайг шинэ хуваагч болгон хувирга.

Шийдэл

Дурын натурал 4 тоог аваад анхны бутархайн хоёр хэсгийг түүгээр үржүүл. Бид: 11 4 \u003d 44 ба 25 4 \u003d 100 гэж үздэг. Үр дүн нь 44,100-ийн хэсэг юм.

Бүх тооцоог дараах хэлбэрээр бичиж болно: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

Аливаа бутархайг маш олон тооны өөр хуваагч болгон бууруулж болох нь харагдаж байна. Дөрөвийн оронд бид өөр натурал тоог аваад анхныхтай тэнцэх өөр бутархай авч болно.

Гэхдээ ямар ч тоо шинэ бутархайн хуваагч болж чадахгүй. Тиймээс a b-ийн хувьд хуваагч нь зөвхөн b -ийн үржвэр болох b · m тоог агуулж болно. Хуваалтын үндсэн ойлголтуудыг эргэн санацгаая - үржвэр ба хуваагч. Хэрэв тоо нь b-ийн үржвэр биш, харин шинэ бутархайг хуваагч байж болохгүй. Асуудлыг шийдэх жишээгээр санаагаа тайлбарлая.

Жишээ 2

5 9 бутархайг 54 ба 21 хуваагч руу багасгах боломжтой эсэхийг тооцоол.

Шийдэл

54 нь есөн үржвэр бөгөөд энэ нь шинэ бутархайн хуваагч (өөрөөр хэлбэл 54-ийг 9-д хувааж болно). Тиймээс ийм бууралт хийх боломжтой. Мөн бид 21-ийг 9-д хувааж чадахгүй тул энэ бутархайд ийм үйлдэл хийх боломжгүй.

Нэмэлт үржүүлэгчийн тухай ойлголт

Нэмэлт хүчин зүйл гэж юу болохыг томъёолъё.

Тодорхойлолт 1

Нэмэлт үржүүлэгчЭнэ нь бутархайн хоёр хэсгийг үржүүлж шинэ хуваагч руу авчрах натурал тоо юм.

Тэдгээр. Бид энэ үйлдлийг бутархай дээр хийхдээ нэмэлт үржүүлэгчийг авна. Жишээлбэл, 7 10 бутархайг 21 30 хэлбэрт оруулахын тулд бидэнд нэмэлт хүчин зүйл 3 хэрэгтэй. Мөн та үржүүлэгч 5-ыг ашиглан 3 8-аас 15 40 бутархайг авч болно.

Үүний дагуу, хэрэв бид бутархайг багасгах ёстой хуваагчийг мэддэг бол түүнд нэмэлт хүчин зүйлийг тооцож болно. Үүнийг яаж хийхийг олж мэдье.

Бидэнд a b бутархай байгаа бөгөөд үүнийг зарим хуваагч c болгон бууруулж болно; нэмэлт хүчин зүйлийг тооцох m . Бид анхны бутархайн хуваагчийг м-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид b · m , мөн асуудлын нөхцөлийн дагуу b · m = c . Үржүүлэх, хуваах нь хоорондоо ямар холбоотой болохыг санаарай. Энэ холболт нь биднийг дараах дүгнэлтэд хүргэх болно: нэмэлт хүчин зүйл нь c-г b-д хуваах коэффициентээс өөр юу ч биш, өөрөөр хэлбэл m = c: b.

Тиймээс нэмэлт хүчин зүйлийг олохын тулд шаардлагатай хуваагчийг эх хувьтай нь хуваах хэрэгтэй.

Жишээ 3

17 4 бутархайг 124 хуваарьт авчирсан нэмэлт хүчин зүйлийг ол.

Шийдэл

Дээрх дүрмийг ашигласнаар бид 124-ийг анхны бутархайн хуваагч буюу дөрөвт хуваана.

Бид дараахь зүйлийг авч үздэг: 124: 4 \u003d 31.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулахад ийм төрлийн тооцоо ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Бутархайг тодорхой хуваагч хүртэл бууруулах дүрэм

Заасан хуваарьт бутархайг авчирч болох үндсэн дүрмийн тодорхойлолт руу шилжье. Тэгэхээр,

Тодорхойлолт 2

Бутархайг заасан хуваарьт хүргэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

1. нэмэлт үржүүлэгчийг тодорхойлох;
2. үүгээр анхны бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хоёуланг нь үржүүлнэ.

Энэ дүрмийг практикт хэрхэн хэрэгжүүлэх вэ? Асуудлыг шийдэх жишээг өгье.

Жишээ 4

7 16 бутархайг хуваагч 336 болгон бууруул.

Шийдэл

Нэмэлт үржүүлэгчийг тооцоолж эхэлье. Хуваах: 336: 16 = 21.

Бид хүлээн авсан хариултыг анхны бутархайн хоёр хэсэгт үржүүлнэ: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Тиймээс бид анхны бутархайг хүссэн хуваагч 336 руу авчирсан.

Хариулт: 7 16 = 147 336.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэ нийтлэлд тайлбарласан: хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэболон бутархайг нийтлэг хуваагч руу хэрхэн хүргэх. Эхлээд бутархайн нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг хувагчийн тодорхойлолтыг өгч, бутархайн нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олохыг мөн үзүүлэв. Дараах нь бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах дүрэм бөгөөд энэ дүрмийг хэрэглэх жишээг авч үзсэн болно. Дүгнэж хэлэхэд гурваас дээш тооны бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрах жишээг шинжилэв.

Хуудасны навигаци.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулахыг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Одоо бид бутархайг нийтлэг хуваарьт хүргэх нь юу болохыг хэлж чадна. Бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчрахнь эдгээр бутархайн тоо ба хуваагчийг ийм нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлснээр үр дүн нь бутархай болно. ижил хуваагч.

Нийтлэг хуваагч, тодорхойлолт, жишээ

Одоо бутархайн нийтлэг хуваагчийг тодорхойлох цаг болжээ.

Өөрөөр хэлбэл, энгийн бутархайн зарим багцын нийтлэг хуваагч нь эдгээр бутархайн бүх хуваарьт хуваагдах аливаа натурал тоо юм.

Анхны бутархай олонлогийн бүх хуваагчдын хязгааргүй олон нийтлэг үржвэр байдаг тул энэхүү бутархай олонлог нь хязгааргүй олон нийтлэг хуваагчтай болохыг дурдсан тодорхойлолтоос харж болно.

Бутархайн нийтлэг хуваагчийг тодорхойлох нь өгөгдсөн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олох боломжийг олгоно. Жишээлбэл, өгөгдсөн бутархай 1/4 ба 5/6, тэдгээрийн хуваагч нь 4 ба 6 байна. 4 ба 6-ын эерэг нийтлэг үржвэрүүд нь 12, 24, 36, 48, ... Эдгээр тоонуудын аль нэг нь 1/4 ба 5/6 бутархайн нийтлэг хуваагч юм.

Материалыг нэгтгэхийн тулд дараах жишээний шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

2/3, 23/6, 7/12 бутархайг 150-ийн нийтлэг хуваагч болгон бууруулж болох уу?

Шийдэл.

Энэ асуултад хариулахын тулд бид 150 тоо нь 3, 6, 12 хуваагчийн нийтлэг үржвэр мөн эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд 150 нь эдгээр тоо бүрт жигд хуваагддаг эсэхийг шалгана уу (шаардлагатай бол натурал тоог хуваах дүрэм, жишээ, түүнчлэн натурал тоог үлдэгдэлтэй хуваах дүрэм, жишээг үзнэ үү): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (амрах. 6) .

Тэгэхээр, 150 нь 12-т хуваагддаггүй тул 150 нь 3, 6, 12-ын нийтлэг үржвэр биш юм. Тиймээс 150 тоо нь анхны бутархайн нийтлэг хуваагч байж болохгүй.

Хариулт:

Энэ нь хориотой.

Хамгийн бага нийтлэг хуваагч, яаж олох вэ?

Эдгээр бутархайн нийтлэг хуваагч тоонуудын багцад хамгийн бага натурал тоо байдаг бөгөөд үүнийг хамгийн бага нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг. Эдгээр бутархайн хамгийн бага нийтлэг хувагчийн тодорхойлолтыг томъёолъё.

Тодорхойлолт.

Хамгийн бага нийтлэг хуваагч- энэ бол хамгийн бага тоо, өгөгдсөн бутархайн бүх нийтлэг хуваагчаас.

Хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг шийдвэрлэх л үлдлээ.

Өгөгдсөн тооны багцын хамгийн бага эерэг нийтлэг хуваагч учраас эдгээр бутархайн хуваагчийн LCM нь эдгээр бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагч юм.

Тиймээс бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олох нь эдгээр бутархайн хуваагч руу буурдаг. Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

3/10 ба 277/28 гэсэн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол.

Шийдэл.

Эдгээр бутархайн хуваагч нь 10 ба 28 байна. Хүссэн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг 10 ба 28 тоонуудын LCM гэж олно. Манай тохиолдолд энэ нь амархан: 10=2 5 ба 28=2 2 7 тул LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 болно.

Хариулт:

140 .

Бутархайг хэрхэн нийтлэг хуваагч руу хүргэх вэ? Дүрэм, жишээ, шийдэл

Энгийн бутархай нь ихэвчлэн хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу хүргэдэг. Одоо бид бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу хэрхэн бууруулахыг тайлбарласан дүрмийг бичих болно.

Бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулах дүрэмгурван алхамаас бүрдэнэ:

• Эхлээд бутархайн хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг ол.
• Хоёрдугаарт, бутархай бүрийн хувьд нэмэлт хүчин зүйлийг тооцож, хамгийн бага нийтлэг хэсгийг бутархай бүрийн хуваарьт хуваана.
• Гуравдугаарт, бутархай бүрийн хүртэгч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Дараах жишээний шийдэлд заасан дүрмийг хэрэгжүүлье.

Жишээ.

5/14 ба 7/18 бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруул.

Шийдэл.

Бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл багасгах алгоритмын бүх алхмуудыг хийцгээе.

Нэгдүгээрт, бид хамгийн бага нийтлэг хуваагчийг олдог бөгөөд энэ нь 14 ба 18 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна. 14=2 7 ба 18=2 3 3 тул LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 болно.

Одоо бид 5/14 ба 7/18 бутархайг 126 хуваарь болгон бууруулах нэмэлт хүчин зүйлийг тооцоолж байна. 5/14 бутархайн хувьд нэмэлт хүчин зүйл нь 126:14=9 , 7/18 хэсгийн хувьд нэмэлт хүчин зүйл нь 126:18=7 байна.

5/14 ба 7/18 бутархайн тоо ба хуваагчийг тус тус 9 ба 7-ын нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг. Бидэнд байгаа ба .

Тиймээс 5/14 ба 7/18 бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж дууслаа. Үр дүн нь 45/126 ба 49/126 бутархай байв.

Алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах үед өөр өөр хуваагчэхлээд бутархайнууд нь хүргэдэг Ерөнхий хуваарь. Энэ нь тэд энэ илэрхийллийн хэсэг болох алгебрийн бутархай бүрийн анхны хуваарьт хуваагдсан ийм нэг хуваагчийг олдог гэсэн үг юм.

Та бүхний мэдэж байгаагаар бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж (эсвэл хуваавал) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй. Энэ бол бутархайн гол шинж чанар юм. Иймд бутархай нь нийтлэг хуваагч руу хөтөлдөг бол үнэндээ бутархай бүрийн анхны хуваагчийг алга болсон хүчин зүйлээр үржүүлж нийтлэг хуваагч руу шилжүүлдэг. Энэ тохиолдолд энэ хүчин зүйл болон бутархайн тоологчоор үржүүлэх шаардлагатай (энэ нь фракц бүрийн хувьд өөр өөр байдаг).

Жишээлбэл, дараах алгебрийн бутархайн нийлбэрийг өгөв.

Илэрхийллийг хялбарчлах, өөрөөр хэлбэл хоёр алгебрийн бутархай нэмэх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд юуны өмнө нэр томъёо-бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай. Эхний алхам бол 3x ба 2y-д хуваагдах мономиал олох явдал юм. Энэ тохиолдолд хамгийн бага байх нь зүйтэй, өөрөөр хэлбэл 3x ба 2y-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох нь зүйтэй.

Тоон коэффициент ба хувьсагчдын хувьд LCM-ийг тусад нь хайдаг. LCM(3, 2) = 6 ба LCM(x, y) = xy. Цаашид олдсон утгыг үржүүлнэ: 6xy.

Одоо бид 6xy-ийг авахын тулд 3x-ийг ямар хүчин зүйлээр үржүүлэх хэрэгтэйг тодорхойлох хэрэгтэй.
6xy ÷ 3x = 2y

Энэ нь эхний алгебрийн бутархайг энгийн хуваагч болгон бууруулахдаа түүний хүртэгчийг 2у-аар үржүүлэх шаардлагатай гэсэн үг юм (нийт хуваагч болгон бууруулахад хуваарийг аль хэдийн үржүүлсэн). Хоёрдахь бутархайн тоологчийн коэффициентийг мөн адил хайдаг. Энэ нь 3x-тэй тэнцүү байх болно.

Тиймээс бид дараахь зүйлийг авна.

Цаашилбал, ижил хуваагчтай бутархайтай адил ажиллах боломжтой болсон: тоологчийг нэмж, хуваарьт нэг нийтлэгийг бичнэ.

Өөрчлөлтийн дараа хялбаршуулсан илэрхийлэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь нэг юм алгебрийн бутархай, энэ нь хоёр эхийн нийлбэр юм:

Анхны илэрхийлэл дэх алгебрийн бутархай нь мономиал биш олон гишүүнт хуваагчийг агуулж болно (дээрх жишээн дээрх шиг). Энэ тохиолдолд нийтлэг хуваагчийг олохын өмнө хуваагчийг (боломжтой бол) тооцно. Цаашилбал, нийтлэг хуваагчийг янз бүрийн хүчин зүйлээс цуглуулдаг. Хэрэв хүчин зүйл нь хэд хэдэн анхны хуваарьт байгаа бол үүнийг нэг удаа авна. Хэрэв хүчин зүйл нь анхны хуваагчдад өөр өөр зэрэгтэй байвал илүү томоор авна. Жишээлбэл:

Энд a 2 - b 2 олон гишүүнт (a - b)(a + b) үржвэрээр дүрслэгдэж болно. 2a – 2b хүчин зүйлийг 2(a – b) болгон өргөжүүлсэн. Тиймээс нийтлэг хуваагч нь 2(a - b)(a + b)-тэй тэнцүү байх болно.