Өөр өөр тэмдэг бүхий бутархайг багасгах. Алгебрийн бутархайг багасгах дүрэм
Энэ хичээлээр бид бутархайн үндсэн шинж чанарыг судалж, аль бутархай нь хоорондоо тэнцүү болохыг олж мэдэх болно. Бид бутархайг багасгаж сурах, бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг тодорхойлох, бутархайг багасгах дадлага хийх, хэзээ агшилтыг ашиглах, хэзээ болохгүйг сурах болно.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Ашигт малтмал ямар байх ёстой вэ?
Энэ мэдээлэл нь бүртгэлтэй хэрэглэгчдэд нээлттэй
Бутархайн үндсэн шинж чанар
Энэ байдлыг төсөөлөөд үз дээ.
Ширээн дээр 3 хүн ба 5 алим Хуваалцах 5 гурван хүний алим. Хүн бүр \(\mathbf(\frac(5)(3))\) алим авдаг.
Тэгээд дараагийн ширээнд 3 хүн мөн 5 алим Тус бүр нь дахин \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
Нийтдээ 10 алим 6 Хүн. Тус бүр \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Гэхдээ энэ нь ижил зүйл юм.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Эдгээр бутархай нь тэнцүү байна.
Та хүмүүсийн тоог хоёр дахин нэмэгдүүлж, алимны тоог хоёр дахин нэмэгдүүлж болно. Үр дүн нь адилхан байх болно.
Математикт үүнийг дараах байдлаар томъёолдог.
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор (0-тэй тэнцүү биш) үржүүлж эсвэл хуваавал шинэ бутархай нь анхныхтай тэнцүү болно..
Энэ өмчийг заримдаа " гэж нэрлэдэг. бутархайн үндсэн шинж чанар ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
Жишээлбэл, хотоос тосгон хүртэлх зам - 14 км.
Бид зам дагуу алхаж, километрийн тэмдэглэгээгээр явсан зайг тодорхойлно. Зургаан багана, зургаан километр явсны дараа бид \(\mathbf(\frac(6)(14))\) зайг туулсан гэдгээ ойлгосон.
Гэхдээ хэрэв бид шон харагдахгүй бол (тэдгээрийг суулгаагүй байж магадгүй) бид замын дагуух цахилгаан шон ашиглан замыг тооцоолж болно. Тэдний 40 км тутамд ширхэг. Энэ нь нийтдээ 560 бүх талаараа. Зургаан километр - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) багана. Энэ нь бид давсан гэсэн үг 240 -аас 560 багана-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Жишээ 1
цэгийг координатаар тэмдэглээрэй ( 5; 7 ) координатын хавтгайд XOЮ. Энэ нь \(\mathbf(\frac(5)(7))\) бутархайтай тохирно.
Координатын гарал үүслийг үүссэн цэгтэй холбоно. Өмнөх цэгүүдээс хоёр дахин координаттай өөр цэг байгуул. Та ямар бутархай авсан бэ? Тэд тэнцүү байх болов уу?
Шийдэл
Координатын хавтгай дээрх бутархай хэсгийг цэгээр тэмдэглэж болно. \(\mathbf(\frac(5)(7))\) бутархайг илэрхийлэхийн тулд цэгийг координатаар тэмдэглээрэй. 5 тэнхлэгийн дагуу ЮТэгээд 7 тэнхлэгийн дагуу X. Эхлэлээс цэгээрээ шулуун шугам татъя.
\(\mathbf(\frac(10)(14))\) бутархайд харгалзах цэг мөн ижил шулуун дээр байх болно.
Эдгээр нь тэнцүү байна: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Бутархайг багасгахын тулд бутархайг энгийн хэлбэрт оруулахын тулд, жишээлбэл, илэрхийлэлийг шийдсэний үр дүнд олж авсан хариултанд шаардлагатай.
Бутархай, тодорхойлолт, томъёог багасгах.
Бутархайг багасгах гэж юу вэ? Бутархайг багасгах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Тодорхойлолт:
Бутархай хэсгүүдийг багасгах- энэ нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил зүйлд хуваах явдал юм эерэг тоотэг ба нэгтэй тэнцүү биш. Бууралтын үр дүнд өмнөх бутархайтай тэнцүү, бага тоологч ба хуваагчтай бутархайг олж авна.
Бутархайг багасгах томъёорационал тооны үндсэн шинж чанарууд.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархайг багасгах \(\frac(9)(15)\)
Шийдэл:
Бид бутархайг анхдагч хүчин зүйлд оруулж, нийтлэг хүчин зүйлсийг хүчингүй болгож чадна.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Хариулт: бууруулсны дараа бид \(\frac(3)(5)\) бутархайг авсан. Рационал тооны үндсэн шинж чанарын дагуу эх ба үр дүнгийн бутархай нь тэнцүү байна.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Бутархайг хэрхэн багасгах вэ? Бутархайг бууруулж болшгүй хэлбэрт нь оруулах.
Үр дүнд нь бууруулж болохгүй бутархай авахын тулд бидэнд хэрэгтэй хамгийн томыг нь ол нийтлэг хуваагч(NOD)бутархайн хуваагч ба хуваарийн хувьд.
Жишээн дээр бид тоонуудыг үндсэн хүчин зүйл болгон задлах аргыг ашиглан GCD-ийг олох хэд хэдэн арга байдаг.
\(\frac(48)(136)\) бууруулж болохгүй бутархайг ол.
Шийдэл:
GCD(48, 136)-ийг олцгооё. 48 ба 136 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Бутархайг бууруулж болохгүй хэлбэрт оруулах дүрэм.
- Тоолуур ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.
- Та хуваалтын үр дүнд бууршгүй бутархай авахын тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй.
Жишээ:
\(\frac(152)(168)\) бутархайг багасга.
Шийдэл:
GCD(152, 168)-ийг олцгооё. 152 ба 168 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\өнгө(улаан) (6) \удаа 19)(\өнгө(улаан) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Хариулт: \(\frac(19)(21)\) нь бууруулж болохгүй бутархай.
Зохисгүй фракцуудыг багасгах.
Буруу бутархайг хэрхэн багасгах вэ?
Бутархайг багасгах дүрэм нь зөв ба буруу бутархайн хувьд ижил байна.
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархай бутархайг багасгах \(\frac(44)(32)\).
Шийдэл:
Тоолуур ба хуваагчийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье. Тэгээд бид нийтлэг хүчин зүйлсийг багасгах болно.
\(\frac(44)(32)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 11)(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Холимог фракцуудыг багасгах.
Үүнтэй ижил дүрмийг ашиглан холимог бутархай энгийн бутархай. Ганц ялгаа нь бид чадна бүхэлд нь хүрч болохгүй, харин бутархай хэсгийг багасгахэсвэл холимог фракцбуруу бутархай руу хөрвүүлэх, багасгаж, зөв бутархай руу буцаан хөрвүүлэх.
Нэг жишээг харцгаая:
\(2\frac(30)(45)\) холимог бутархайг цуцлах.
Шийдэл:
Үүнийг хоёр аргаар шийдье:
Эхний арга:
Бутархай хэсгийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье, гэхдээ бид бүхэлд нь хөндөхгүй.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Хоёр дахь арга:
Эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь анхны хүчин зүйл болгон бичээд багасгая. Үүссэн буруу бутархайг зөв бутархай болгон хувиргацгаая.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \ times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Холбогдох асуултууд:
Нэмэх, хасах үед бутархайг багасгаж чадах уу?
Хариулт: Үгүй ээ, та эхлээд дүрмийн дагуу бутархайг нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь багасгах хэрэгтэй. Нэг жишээг харцгаая:
\(\frac(50+20-10)(20)\) илэрхийллийг үнэл.
Шийдэл:
Тэд ихэвчлэн хуваагч болон хуваагч дахь ижил тоог, манай тохиолдолд 20-ын тоог багасгах алдаа гаргадаг боловч нэмэх, хасах үйлдлийг хийж дуустал тэдгээрийг багасгах боломжгүй юм.
\(\frac(50+\өнгө(улаан) (20)-10)(\өнгө(улаан) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Бутархайг ямар тоогоор багасгаж болох вэ?
Хариулт: Та бутархайг хамгийн их нийтлэг хүчин зүйлээр эсвэл тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хуваагчаар багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(100)(150)\).
100 ба 150 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Хамгийн том нийтлэг хуваагч нь gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 тоо байх болно.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Бид \(\frac(2)(3)\) бууруулж болохгүй бутархайг авсан.
Гэхдээ энэ нь үргэлж gcd-д хуваагдах шаардлагагүй; Жишээлбэл, 100 ба 150 тоонуудын нийтлэг хуваагч нь 2. \(\frac(100)(150)\) бутархайг 2-оор бууруулъя.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \\ дахин 50)(2 \\ дахин 75)=\frac(50)(75)\)
Бид бууруулж болох бутархайг авсан \(\frac(50)(75)\).
Ямар фракцуудыг багасгаж болох вэ?
Хариулт: Тоолуур ба хуваагч нь нийтлэг хуваагчтай бутархайг багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(4)(8)\). 4 ба 8-ын тоо нь хоёулаа хуваагддаг тоотой байдаг - 2. Тиймээс ийм бутархайг 2-оор багасгаж болно.
Жишээ:
\(\frac(2)(3)\) ба \(\frac(8)(12)\) хоёр бутархайг харьцуул.
Эдгээр хоёр бутархай тэнцүү байна. \(\frac(8)(12)\) бутархайг нарийвчлан авч үзье:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)
Эндээс бид \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\) болно.
Хоёр бутархай нь тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөө бутархайг хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулж авсан тохиолдолд л тэнцүү байна.
Жишээ:
Боломжтой бол дараах бутархайг багасга: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Шийдэл:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 3)(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) бууруулж болохгүй бутархай
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ дахин 5)=\frac(2)(5)\)
Энэ нийтлэлд бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярих болно алгебрийн бутархайг багасгах. Эхлээд "алгебрийн бутархайн бууралт" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг болохыг олж мэдье, алгебрийн бутархай үргэлж буурдаг эсэхийг олж мэдье. Доор бид энэ өөрчлөлтийг хийх боломжийг олгодог дүрмийг танилцуулж байна. Эцэст нь бид үйл явцын бүх нарийн ширийн зүйлийг ойлгох боломжийг олгодог ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Алгебрийн бутархайг багасгах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Суралцаж байхдаа бид тэднийг цомхотгох тухай ярьж байсан. Бид түүний хуваагч ба хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйлд хуваахыг нэрлэсэн. Жишээлбэл, 30/54 энгийн бутархайг 6-аар багасгаж болно (өөрөөр хэлбэл түүний тоо ба хуваагчийг 6-д хуваана), энэ нь биднийг 5/9 бутархай руу хүргэдэг.
Алгебрийн бутархайг багасгаснаар бид ижил төстэй үйлдлийг хэлж байна. Алгебрийн бутархайг багасгах- энэ нь түүний тоо болон хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйлд хуваана гэсэн үг юм. Харин энгийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл нь зөвхөн тоо байж болох юм бол алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл нь олон гишүүнт, тухайлбал мономиал эсвэл тоо байж болно.
Жишээлбэл, алгебрийн бутархайг 3-аар багасгаж, бутархайг өгч болно 
. Мөн x хувьсагч руу агшилт хийх боломжтой бөгөөд үүний үр дүнд илэрхийлэл бий болно 
. Анхны алгебрийн бутархайг мономиал 3 x, түүнчлэн x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y эсвэл 3 x 2 +6 x y олон гишүүнтүүдийн аль нэгээр нь багасгаж болно.
Алгебрийн бутархайг багасгах эцсийн зорилго нь илүү их бутархай авах явдал юм энгийн төрөл, В хамгийн сайн тохиолдол- бууруулж болохгүй бутархай.
Аливаа алгебрийн бутархайг багасгаж болох уу?
Энгийн бутархайнууд нь хуваагддаг гэдгийг бид мэднэ. Бутаршгүй бутархайд нэгээс өөр хуваагч болон хуваагч нийтлэг хүчин зүйл байдаггүй тул багасгаж болохгүй.
Алгебрийн бутархай тоо болон хуваарьт нийтлэг хүчин зүйлүүд байж болно. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйлүүд байгаа бол алгебрийн бутархайг багасгах боломжтой. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол алгебрийн бутархайг багасгах замаар хялбарчлах боломжгүй юм.
Ерөнхийдөө дагуу Гадаад төрхалгебрийн бутархай, үүнийг багасгах боломжтой эсэхийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тоологч ба хувагчийн нийтлэг хүчин зүйлүүд тодорхой байдаг. Жишээлбэл, алгебрийн бутархайн хуваагч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин 3-тай байдаг нь тодорхой харагдаж байна. Мөн алгебрийн бутархайг х, у эсвэл шууд x·y-ээр багасгаж болохыг анзаарахад хялбар байдаг. Гэхдээ ихэнхдээ алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл шууд харагдахгүй, бүр илүү олон удаа байдаггүй. Жишээлбэл, бутархайг x−1-ээр багасгах боломжтой боловч тэмдэглэгээнд энэ нийтлэг хүчин зүйл тодорхой байдаггүй. Мөн алгебрийн бутархай 
Үүнийг багасгах боломжгүй, учир нь түүний тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлгүй байдаг.
Ерөнхийдөө алгебрийн бутархайн бууралтын тухай асуудал маш хэцүү байдаг. Заримдаа алгебрийн бутархайг анхны хэлбэрээр нь ажиллуулснаар асуудлыг шийдэх нь эхлээд энэ бутархайг багасгаж болох эсэхийг олж мэдэхээс илүү хялбар байдаг. Гэхдээ зарим тохиолдолд харьцангуй бага хүчин чармайлтаар тоологч ба хувагчийн нийтлэг хүчин зүйлийг олох, эсвэл анхны алгебрийн бутархайг багасгах боломжгүй гэж дүгнэх боломжтой хувиргалтууд байсаар байна. Энэ мэдээллийг дараагийн догол мөрөнд задруулах болно.
Алгебрийн бутархайг багасгах дүрэм
Өмнөх догол мөрүүдийн мэдээлэл нь дараахь зүйлийг ойлгох боломжийг танд олгоно алгебрийн бутархайг багасгах дүрэм, энэ нь хоёр алхамаас бүрдэнэ:
- нэгдүгээрт, анхны бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлсийг олно;
- хэрэв байгаа бол эдгээр хүчин зүйлсээр бууралт хийгддэг.
Зарлагдсан дүрмийн заасан алхмуудыг тодруулах шаардлагатай.
Ихэнх тохиромжтой арганийтлэгийг олох нь анхны алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйлээр ялгах явдал юм. Энэ тохиолдолд тоологч ба хувагчийн нийтлэг хүчин зүйлүүд шууд харагдах болно, эсвэл нийтлэг хүчин зүйл байхгүй нь тодорхой болно.
Хэрэв нийтлэг хүчин зүйл байхгүй бол бид алгебрийн бутархайг багасгах боломжгүй гэж дүгнэж болно. Хэрэв нийтлэг хүчин зүйлүүд олдвол хоёр дахь шатанд тэдгээрийг бууруулна. Үр дүн нь энгийн хэлбэрийн шинэ бутархай юм.
Алгебрийн бутархайг багасгах дүрэм нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарт суурилдаг бөгөөд энд a, b ба c нь зарим олон гишүүнт, b ба c нь тэг биш байна. Эхний алхамд анхны алгебрийн бутархай нь нийтлэг хүчин зүйл c харагдах хэлбэр рүү буурч, хоёр дахь алхамд бууралт - бутархай руу шилждэг.
Энэ дүрмийг ашиглан жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд шилжье. Тэдгээрийн дээр бид алгебрийн бутархайн тоо ба хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах, дараа нь багасгахад гарч болох бүх нюансуудыг шинжлэх болно.
Ердийн жишээнүүд
Нэгдүгээрт, тоо болон хуваагч нь ижил алгебрийн бутархайг багасгах талаар ярих хэрэгтэй. Ийм бутархай нь түүнд багтсан хувьсагчдын нийт ODZ дээрх нэгтэй ижил тэнцүү байна, жишээлбэл, 
гэх мэт.
Одоо энгийн бутархайг хэрхэн багасгахыг санах нь гэмтээхгүй - эцэст нь эдгээр нь алгебрийн бутархайн онцгой тохиолдол юм. Энгийн бутархайн хүртэгч ба хуваагч дахь натурал тоонууд, үүний дараа нийтлэг хүчин зүйлүүд (хэрэв байгаа бол) хүчингүй болно. Жишээлбэл, 
. Ижил анхдагч хүчин зүйлийн үржвэрийг чадлын хэлбэрээр бичиж, товчилсон тохиолдолд ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно. 
, энд бид тоологч ба хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйл 2 2 3-т хуваасан. Эсвэл илүү тодорхой болгохын тулд үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд дээр үндэслэн шийдлийг хэлбэрээр үзүүлэв.
Алгебрийн бутархайг багасгахад туйлын ижил төстэй зарчмуудыг ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн тоологч ба хуваагч нь бүхэл тооны коэффициент бүхий мономиалуудыг агуулдаг.
Жишээ.
Алгебрийн бутархайг цуцлах 
.
Шийдэл.
Та анхны алгебрийн бутархайн тоологч ба хуваагчийг анхны хүчин зүйл ба хувьсагчийн үржвэр болгон төлөөлж, дараа нь бууралтыг хийж болно. 
Гэхдээ шийдлийг эрх мэдэл бүхий илэрхийлэл хэлбэрээр бичих нь илүү оновчтой юм. 
Хариулт:
.
Тоолуур ба хуваарьт бутархай тоон коэффициент бүхий алгебрийн бутархайг багасгахын тулд та хоёр зүйлийг хийж болно: эдгээр бутархай коэффициентийг тусад нь хуваах, эсвэл эхлээд хуваагч ба хуваагчийг тодорхой хэмжээгээр үржүүлж бутархай коэффициентээс ангижрах. натурал тоо. Бид өгүүлэлд алгебрийн бутархайг шинэ хуваагч руу авчрах сүүлчийн хувиргалтыг алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанараас шалтгаалан хийж болох талаар ярьсан. Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё.
Жишээ.
Бутархай бууруулах ажлыг гүйцэтгэнэ.
Шийдэл.
Та бутархайг дараах байдлаар багасгаж болно. 
.
Тэгээд эхлээд эдгээр коэффициентүүдийн хуваагч, өөрөөр хэлбэл LCM(5, 10)=10-аар үржүүлснээр бутархай коэффициентээс ангижрах боломжтой байсан. Энэ тохиолдолд бидэнд байна 
.
Хариулт:
.
Та алгебрийн бутархай руу шилжиж болно ерөнхий үзэл, үүнд тоологч ба хуваагч нь тоо болон мономиал, түүнчлэн олон гишүүнт аль алиныг агуулж болно.
Ийм бутархайг багасгахад гол асуудал бол тоологч ба хувагчийн нийтлэг хүчин зүйл үргэлж харагдахгүй байх явдал юм. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж байдаггүй. Нийтлэг хүчин зүйлийг олох эсвэл байхгүй эсэхийг шалгахын тулд та алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хүчинжүүлэх хэрэгтэй.
Жишээ.
Рационал бутархайг багасгах 
.
Шийдэл.
Үүнийг хийхийн тулд тоо болон хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйлээр тооцно. Үүнийг хаалтнаас гаргаж эхэлье: . Мэдээжийн хэрэг, хаалтанд байгаа илэрхийллийг ашиглан хувиргаж болно
Энэ нийтлэл нь алгебрийн бутархайг хөрвүүлэх сэдвийг үргэлжлүүлэх болно: алгебрийн бутархайг багасгах гэх мэт үйлдлийг авч үзье. Энэ нэр томъёог өөрөө тодорхойлж, багасгах дүрмийг боловсруулж, практик жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Алгебрийн бутархайг багасгахын утга
Энгийн бутархайн тухай материалд бид түүний бууралтыг авч үзсэн. Бид бутархайг багасгахыг түүний тоо болон хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйлд хуваах гэж тодорхойлсон.
Алгебрийн бутархайг багасгах нь ижил төстэй үйлдэл юм.
Тодорхойлолт 1
Алгебрийн бутархайг багасгахнь түүний хүртэгч ба хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйлд хуваах явдал юм. Энэ тохиолдолд энгийн бутархайн бууралтаас ялгаатай нь (нийтлэг хуваагч нь зөвхөн тоо байж болно) алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйл нь олон гишүүнт, ялангуяа мономиал эсвэл тоо байж болно.
Жишээлбэл, 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 алгебрийн бутархайг 3 тоогоор багасгаж, үр дүнд нь: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y болно. 2018-03-22 Бид ижил бутархайг x хувьсагчаар багасгаж болох бөгөөд энэ нь бидэнд 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 илэрхийлэлийг өгөх болно. Мөн өгөгдсөн бутархайг мономиалаар багасгах боломжтой 3 xэсвэл аль нэг олон гишүүнт x + 2 жил, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y эсвэл 3 x 2 + 6 x y.
Эцсийн зорилгоалгебрийн бутархайн бууралт нь энгийн хэлбэрийн бутархай, хамгийн сайндаа бууруулж болохгүй бутархай юм.
Бүх алгебрийн бутархайнууд бууралтанд хамрагдах уу?
Дахин хэлэхэд, энгийн бутархайн материалаас бид бууруулж болох ба бууруулж болохгүй бутархай байдаг гэдгийг мэднэ. Бутаршгүй бутархай гэдэг нь 1-ээс бусад хуваагч болон хуваагчдаа нийтлэг хүчин зүйлгүй бутархайг хэлнэ.
Алгебрийн бутархайн хувьд ч мөн адил: тэдгээр нь тоологч ба хуваарьт нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй байж болно, үгүй ч байж болно. Нийтлэг хүчин зүйлүүд байгаа нь анхны бутархайг багасгах замаар хялбарчлах боломжийг олгодог. Нийтлэг хүчин зүйл байхгүй тохиолдолд өгөгдсөн фракцыг багасгах аргыг ашиглан оновчтой болгох боломжгүй юм.
IN ерөнхий тохиолдлуудТухайн төрлийн бутархайн хувьд үүнийг багасгах боломжтой эсэхийг ойлгоход нэлээд хэцүү байдаг. Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тоологч ба хуваагчийн хооронд нийтлэг хүчин зүйл байгаа нь тодорхой байдаг. Жишээлбэл, 3 x 2 3 y алгебрийн бутархайд нийтлэг хүчин зүйл нь 3 тоо байх нь тодорхой байна.
- x · y 5 · x · y · z 3 бутархайд бид үүнийг x, эсвэл y, эсвэл x · y-ээр багасгаж болохыг шууд ойлгодог. Гэсэн хэдий ч, тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлийг харахад тийм ч хялбар биш, бүр ихэнхдээ энэ нь байхгүй байх үед алгебрийн бутархайн жишээнүүд ихэвчлэн байдаг.
Жишээлбэл, бид x 3 - 1 x 2 - 1 бутархайг x - 1-ээр багасгаж болох боловч заасан нийтлэг хүчин зүйл нь оруулгад байхгүй байна. Гэхдээ x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 бутархайг багасгах боломжгүй, учир нь тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлгүй байдаг.
Тиймээс алгебрийн бутархайн бууралтыг тодорхойлох асуудал тийм ч энгийн зүйл биш бөгөөд өгөгдсөн хэлбэрийн бутархайтай ажиллах нь түүнийг бууруулах боломжтой эсэхийг олж мэдэхээс илүү хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд ийм хувиргалт явагддаг бөгөөд зарим тохиолдолд тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлох эсвэл бутархайн бууралтгүй байдлын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог. Бид энэ асуудлыг нийтлэлийн дараагийн догол мөрөнд нарийвчлан авч үзэх болно.
Алгебрийн бутархайг багасгах дүрэм
Алгебрийн бутархайг багасгах дүрэмдараалсан хоёр үйлдлээс бүрдэнэ:
- тоологч ба хувагчийн нийтлэг хүчин зүйлийг олох;
- хэрэв олдвол фракцыг багасгах үйлдлийг шууд гүйцэтгэдэг.
Нийтлэг хуваагчийг олох хамгийн тохиромжтой арга бол өгөгдсөн алгебрийн бутархайн хуваагч болон хуваарьт байгаа олон гишүүнтүүдийг хүчин зүйлээр тооцох явдал юм. Энэ нь нийтлэг хүчин зүйлүүд байгаа эсэхийг шууд харах боломжийг танд олгоно.
Алгебрийн бутархайг багасгах үйлдэл нь тодорхойгүй тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэх алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарт суурилдаг бөгөөд энд a, b, c нь зарим олон гишүүнт, b ба c нь тэгээс ялгаатай. Эхний алхам бол бутархайг a · c b · c хэлбэр болгон багасгах явдал бөгөөд бид нийтлэг хүчин зүйл c-г шууд анзаардаг. Хоёр дахь алхам бол бууралтыг гүйцэтгэх явдал юм, i.e. a b хэлбэрийн бутархай руу шилжих.
Ердийн жишээнүүд
Зарим тодорхой зүйлийг үл харгалзан бид тодруулъя онцгой тохиолдолалгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагч тэнцүү байх үед. Үүнтэй төстэй бутархайнууд нь энэ фракцийн хувьсагчдын нийт ODZ дээр 1-тэй ижил байна:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Энгийн бутархай нь алгебрийн бутархайн онцгой тохиолдол тул тэдгээрийг хэрхэн багасгаж байгааг эргэн санацгаая. Тоолуур ба хуваарьт бичигдсэн натурал тоонуудыг анхны хүчин зүйлд тооцож, дараа нь нийтлэг хүчин зүйлсийг (хэрэв байгаа бол) хүчингүй болгоно.
Жишээлбэл, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Энгийн ижил хүчин зүйлийн үржвэрийг хүч гэж бичиж болох ба бутархайг багасгах явцад ижил суурьтай хүчийг хуваах шинж чанарыг ашиглана. Дараа нь дээрх шийдэл нь:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(тоологч ба хуваагчийг нийтлэг хүчин зүйлээр хуваасан 2 2 3). Эсвэл тодорхой болгохын тулд үржүүлэх, хуваах шинж чанарууд дээр үндэслэн бид шийдлийг дараах хэлбэрийг өгнө.
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Аналогийн дагуу алгебрийн бутархайг багасгах ажлыг гүйцэтгэдэг бөгөөд үүнд тоологч ба хуваагч нь бүхэл тооны коэффициент бүхий мономиалуудтай байдаг.
Жишээ 1
Алгебрийн бутархай өгөгдсөн - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Үүнийг багасгах хэрэгтэй.
Шийдэл
Өгөгдсөн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг энгийн хүчин зүйл ба хувьсагчийн үржвэр болгон бичиж, дараа нь бууралтыг хийж болно.
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Гэсэн хэдий ч илүү оновчтой арга бол шийдлийг эрх бүхий илэрхийлэл болгон бичих явдал юм.
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Хариулт:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Алгебрийн бутархайн тоо ба хуваагч нь бутархай тоон коэффициенттэй бол хоёр арга боломжтой. цаашдын арга хэмжээ: эсвэл эдгээр бутархай коэффициентүүдийг тусад нь хуваах, эсвэл эхлээд хуваагч ба хуваагчийг тодорхой натурал тоогоор үржүүлж бутархай коэффициентээс ангижрах. Сүүлийн хувиргалт нь алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанараас шалтгаалан хийгддэг (та энэ тухай "Алгебрийн бутархайг шинэ хуваагч болгон бууруулах" нийтлэлээс уншиж болно).
Жишээ 2
Өгөгдсөн бутархай нь 2 5 x 0, 3 x 3 байна. Үүнийг багасгах хэрэгтэй.
Шийдэл
Бутархайг дараах байдлаар багасгах боломжтой.
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Эхлээд бутархай коэффициентээс салж, асуудлыг өөрөөр шийдэхийг хичээцгээе - тоологч ба хуваагчийг эдгээр коэффициентүүдийн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлээрэй, өөрөөр хэлбэл. LCM дээр (5, 10) = 10. Дараа нь бид авна:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Хариулт: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Тоолуур ба хуваагч нь мономиал эсвэл олон гишүүнт байж болох ерөнхий алгебрийн бутархайг багасгахад нийтлэг хүчин зүйл нь шууд харагдахгүй байх асуудал гарч ирж болно. Эсвэл үүнээс гадна энэ нь зүгээр л байдаггүй. Дараа нь нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлох эсвэл байхгүй байгаа баримтыг тэмдэглэхийн тулд алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хүчин зүйлээр хуваана.
Жишээ 3
Рационал бутархай 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 өгөгдсөн. Үүнийг багасгах хэрэгтэй.
Шийдэл
Тоолуур ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг үржүүлье. Үүнийг хаалтнаас гаргая:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Хаалтанд байгаа илэрхийллийг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан хөрвүүлж болохыг бид харж байна.
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Бутархайг энгийн хүчин зүйлээр багасгах боломжтой нь тодорхой харагдаж байна b 2 (a + 7). Бууралт хийцгээе:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Тэнцүү байдлын гинжин хэлхээ болгон тайлбаргүйгээр товч шийдлийг бичье.
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Хариулт: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Нийтлэг хүчин зүйлсийг тоон коэффициентээр нуусан байдаг. Дараа нь бутархайг багасгахдаа тоо ба хуваагчийн дээд түвшний тоон хүчин зүйлийг хаалтанд оруулах нь оновчтой юм.
Жишээ 4
Өгөгдсөн алгебрийн бутархай 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Боломжтой бол үүнийг багасгах шаардлагатай.
Шийдэл
Өнгөц харахад тоологч, хуваагч байхгүй Ерөнхий хуваарь. Гэсэн хэдий ч өгөгдсөн бутархайг хөрвүүлэхийг оролдъё. Тоолуур дахь х хүчин зүйлийг гаргая:
1 5 x - 2 7 x 3 у 5 x 2 у - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 у 5 x 2 у - 3 1 2
Одоо та x 2 y-ийн улмаас хаалтанд байгаа илэрхийлэл болон хуваагч дахь илэрхийллийн хооронд зарим ижил төстэй байдлыг харж болно. . Эдгээр олон гишүүнтүүдийн дээд чадлын тоон коэффициентийг гаргая.
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Одоо нийтлэг хүчин зүйл харагдаж байна, бид бууралтыг хийж байна:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Хариулт: 1 5 х - 2 7 х 3 у 5 х 2 у - 3 1 2 = - 2 35 х.
агшилтын ур чадвар гэдгийг онцлон тэмдэглэе рационал бутархайолон гишүүнт хүчин зүйл хийх чадвараас хамаарна.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Олон оюутнууд бутархайтай ажиллахдаа ижил алдаа гаргадаг. Тэд үндсэн дүрмийг мартдаг учраас л арифметик. Өнөөдөр бид эдгээр дүрмийг ангидаа өгсөн тодорхой даалгаврууд дээр давтах болно.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж байгаа бүх хүмүүст би дараах даалгаварыг санал болгож байна.
Даалгавар. Гахайн мах өдөрт 150 грамм хоол иддэг. Гэвч тэр өсч томроод 20% илүү идэж эхлэв. Гахай одоо хэдэн грамм тэжээл иддэг вэ?
Үгүй зөв шийдэл. Энэ бол тэгшитгэл рүү буцсан хувь хэмжээний асуудал юм.
Олон (маш олон) бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь 100 тоог багасгадаг.
Энэ нийтлэлийг бичсэн өдөр миний шавь яг ийм алдаа гаргасан. Таслагдсан тоонуудыг улаанаар тэмдэглэв.
Хариулт нь буруу байсан гэж хэлэх нь илүүц биз. Өөрийгөө шүүж үзээрэй: гахай 150 грамм идсэн боловч 3150 грамм идэж эхлэв. Өсөлт нь 20% биш, харин 21 дахин, i.e. 2000% -иар.
Ийм буруу ойлголтоос зайлсхийхийн тулд үндсэн дүрмийг санаарай:
Зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно. Нөхцөлүүдийг багасгах боломжгүй!
Тиймээс өмнөх асуудлын зөв шийдэл нь дараах байдалтай байна.
Тоолуур болон хуваагчаар товчилсон тоонуудыг улаанаар тэмдэглэнэ. Таны харж байгаагаар тоологч нь үржвэр, хуваагч нь юм энгийн тоо. Тиймээс бууруулах нь бүрэн хууль ёсны юм.
Пропорцтой ажиллах
Өөр асуудлын талбар — харьцаа. Ялангуяа хувьсагч нь хоёр талдаа байх үед. Жишээлбэл:
Даалгавар. Тэгшитгэлийг шийд:
Буруу шийдэл - зарим хүмүүс бүх зүйлийг м-ээр богиносгох гэж шууд утгаараа загатнаж байна:
Багасгасан хувьсагчдыг улаанаар харуулав. 1/4 = 1/5 гэсэн илэрхийлэл нь бүрэн утгагүй зүйл болж хувирдаг, эдгээр тоо хэзээ ч тэнцүү байдаггүй.
Тэгээд одоо - зөв шийдвэр. Үндсэндээ энэ нь ердийн зүйл юм шугаман тэгшитгэл . Үүнийг бүх элементүүдийг нэг тал руу шилжүүлэх эсвэл пропорциональ үндсэн шинж чанараар шийдэж болно.
Олон уншигчид: "Эхний шийдэлд алдаа хаана байна?" За, олж мэдье. Тэгшитгэлтэй ажиллах дүрмийг санацгаая.
Аливаа тэгшитгэлийг дурын тоогоор хувааж, үржүүлж болно. тэг биш.
Та мэхээ алдсан уу? Та зөвхөн тоогоор хувааж болно тэг биш. Ялангуяа m != 0 байхад л m хувьсагчаар хувааж болно. Харин m = 0 байвал яах вэ? Орлуулж шалгацгаая:
Бид зөв тоон тэгшитгэлийг хүлээн авсан, өөрөөр хэлбэл. m = 0 нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Үлдсэн m != 0-ийн хувьд бид 1/4 = 1/5 хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь угаасаа буруу юм. Тиймээс тэгээс өөр үндэс байхгүй.
Дүгнэлт: бүгдийг нэгтгэх
Тиймээс бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд гурван дүрмийг санаарай.
- Зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж болно. Нэмэлт оруулах боломжгүй. Иймд тоо, хуваагчийг үржүүлж сурах;
- Пропорцын үндсэн шинж чанар: туйлын элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь дунд хэсгийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү;
- Тэгшитгэлийг зөвхөн тэгээс өөр k тоогоор үржүүлж, хувааж болно. k = 0 тохиолдлыг тусад нь шалгах ёстой.
Эдгээр дүрмийг санаж, алдаа гаргахгүй байх хэрэгтэй.
