Онцлог тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Дифференциал тэгшитгэлийн төрөл, шийдвэрлэх арга
Тэгшитгэл
Энд ба интервал дахь тасралтгүй функцуудыг нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба функцууд нь түүний коэффициентүүд юм. Хэрэв энэ интервалд байвал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв (**) тэгшитгэл нь (*) тэгшитгэлтэй ижил коэффициенттэй бол түүнийг нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд (*) харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ.
Нэг төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд оруулъя
Мөн тогтмол бодит тоонууд.
Бид тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг функц хэлбэрээр хайх болно, хаана нь бодит эсвэл нийлмэл тоо тодорхойлогддог. -ийг ялгаж үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.
Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Тиймээс бид үүнийг харгалзан үзвэл:
Энэ тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Онцлог тэгшитгэл нь мөн олох боломжтой болгодог. Энэ нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл учраас хоёр үндэстэй. Тэдгээрийг ба -аар тэмдэглэе. Гурван тохиолдол боломжтой:
1) Үндэс нь бодит бөгөөд өөр өөр байдаг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Жишээ 1
2) Үндэс нь бодит бөгөөд тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Жишээ2
Шалгалт эсвэл шалгалтын асуудлыг шийдэх гэж байгаад энэ хуудсанд орсон уу? Хэрэв та шалгалтаа өгч чадаагүй хэвээр байвал дараагийн удаад дээд математикийн онлайн тусламжийн талаар вэбсайтаас урьдчилан тохиролцоорой.
Онцлог тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Онцлог тэгшитгэлийн шийдэл:
Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
3) Нарийн төвөгтэй үндэс. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Жишээ 3
Онцлог тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Онцлог тэгшитгэлийн шийдэл:
Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Зарим төрлийн шугамануудын шийдлийг одоо авч үзье нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалал
ба нь тогтмол бодит тоо, интервал дахь мэдэгдэж буй тасралтгүй функц юм. Ийм дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон тодорхой шийдийг мэдэх шаардлагатай. Зарим тохиолдлыг авч үзье:
Бид мөн квадрат гурвалжин хэлбэртэй дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хайж байна.
Хэрэв 0 нь шинж чанарын тэгшитгэлийн нэг язгуур бол
Хэрэв 0 нь шинж чанарын тэгшитгэлийн давхар язгуур бол
Хэрэв дурын зэрэгтэй олон гишүүнт байвал нөхцөл байдал ижил байна
Жишээ 4
Бид холбогдох асуудлыг шийдэх болно нэгэн төрлийн тэгшитгэл.
Онцлог тэгшитгэл:
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё.
Олдсон деривативуудыг анхны дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хүссэн тодорхой шийдэл:
Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Бид тодорхой шийдлийг тодорхойгүй коэффициент хэлбэрээр хайж байна.
Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулж, бид ижил төстэй байдлыг олж авах бөгөөд үүнээс коэффициентийг олно.
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур бол бид анхны дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг , хэзээ нэг язгуур, хэзээ нь давхар язгуур байх хэлбэрээр хайна.
Жишээ 5
Онцлог тэгшитгэл:
Харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Харгалзах нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё.
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Энэ тохиолдолд бид тригонометрийн бином хэлбэрээр тодорхой шийдлийг хайж байна.
хаана ба тодорхой бус коэффициентууд
Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулж, бид ижил төстэй байдлыг олж авдаг бөгөөд үүнээс коэффициентүүдийг олдог.
Эдгээр тэгшитгэлүүд нь (эсвэл шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс байхаас) бусад тохиолдолд коэффициентийг тодорхойлдог. Сүүлчийн тохиолдолд бид дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
Жишээ6
Онцлог тэгшитгэл:
Харгалзах нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг олъё
Анхны дифференциал тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Тооны цуваа нийлэгжилт
Цувралын нийлэгжилтийн тодорхойлолтыг өгч, тоон цувааны нийлэлтийг судлах асуудлуудыг нарийвчлан авч үзсэн болно - харьцуулах шалгуур, д'Аламберт нийлэх шалгуур, Коши нийлэх шалгуур, интеграл Коши нийлэх шалгуур.
Цувралын абсолют ба нөхцөлт нийлэлт
Энэ хуудсанд ээлжлэн цуваа, тэдгээрийн нөхцөлт ба үнэмлэхүй нийлэгжилт, ээлжлэн цувааг тодорхойлох Лейбницийн нийлмэл байдлын тестийг багтаасан болно. товч онолсэдвээр болон асуудлыг шийдвэрлэх жишээ.
2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл
§нэг. Тэгшитгэлийн дарааллыг бууруулах арга.
2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( эсвэл Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-р дарааллын дифференциал тэгшитгэл). 2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн Коши бодлого (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" өргөн="85" өндөр="25 src=">.gif" өндөр="25 src=">.
2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар харцгаая: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25" src=">.gif" өргөн "265" өндөр "28 src=">.
Тиймээс 2-р дарааллын тэгшитгэл https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height ="" 25 src=">.gif" өргөн = "117" өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "34" өндөр = 25 src = ">. Үүнийг шийдэж, бид дурын хоёр тогтмолоос хамааран анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src" =">. gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.
Шийдэл.
Анхны тэгшитгэлд тодорхой аргумент байхгүй тул https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25" src=">..gif" өргөн="35" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="82" өндөр="38 src="> ..gif" өргөн="99" өндөр="38" src=">.
Дараа нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
2-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах байдлаар харцгаая: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25" src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" өргөн="33" өндөр=">.gif">..gif" өргөн="225" өндөр="25 src" =">..gif" өргөн="150" өндөр="25 src=">.
Жишээ 2Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" өргөн="100" өндөр="27 src=">.gif" өргөн="130" өндөр="37 src=">.gif" өргөн="34" өндөр= "25 src =">.gif" өргөн = "183" өндөр = "36 src = ">.
3. https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif дагуу тэгшитгэлийн хоёр хэсэг нь нийт дериватив болох хэлбэрт хувиргах боломжтой бол зэрэглэлийн дарааллыг багасгана. " өргөн = "92" өндөр = " 25 src = ">..gif" өргөн = "98" өндөр = = 48 src = ">.gif" өргөн = "138" өндөр = 25 src = ">.gif" өргөн = "282" өндөр = "25 src = ">, (2.1)
хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - урьдчилан тодорхойлсон функцууд, шийдлийг хайж буй интервал дээр тасралтгүй. a0(x) ≠ 0 гэж үзвэл (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)-д хуваана.
(2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " гэж нотлох баримтгүйгээр төсөөлье. 25 src=">, тэгвэл (2.2) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, өөрөөр хэлбэл (2.2) тэгшитгэлийг нэг төрлийн бус гэж нэрлэнэ.
2-р дарааллын lodu-ийн шийдлүүдийн шинж чанарыг авч үзье.
Тодорхойлолт.Функцуудын шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src" = ">.gif" өргөн = "195" өндөр = "25 src=">, (2.3)
дараа нь тэдгээрийн шугаман хослолыг https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> (2.3)-д оруулаад үр дүн нь таних тэмдэг болохыг харуулна:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" өргөн "368" өндөр "25 src=">.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> функцууд нь (2.3) тэгшитгэлийн шийдэл тул хаалт бүрийг сүүлчийн тэгшитгэл нь нотлох ёстой байсан тэгтэй ижил байна.
Үр дагавар 1.Энэ нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> дээрх батлагдсан теоремоос гарч байна - тэгшитгэлийн шийдэл (2..gif). " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> нь эдгээр функцүүдийн аль нь ч бүх функцүүдийн шугаман хослолоор илэрхийлэгдээгүй бол зарим интервалд шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг. бусад.
Хоёр функц байгаа тохиолдолд https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, i.e..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" өргөн = "187" өндөр = "43 src = ">.gif" өргөн = "42" өндөр = 25 src = ">. Ийнхүү шугаман бие даасан хоёр функцийн Вронскийн тодорхойлогч нь тэгтэй ижил тэнцүү байж болохгүй.
Let https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> тэгшитгэлийг хангана (2..gif" өргөн="42" өндөр="25 src" = "> – тэгшитгэлийн шийдэл (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" өргөн= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> ижил байна. Тиймээс,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн тодорхойлогч (2..gif) " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Томъёоны (3.2) баруун талд байгаа хүчин зүйлүүд хоёулаа тэг биш байна.
§ дөрөв. 2-р эрэмбийн лодын ерөнхий шийдлийн бүтэц.
Теорем.Хэрэв https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> нь тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм (2..gif" width="" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">нь (2.3) тэгшитгэлийн шийдэл бөгөөд 2-р эрэмбийн lodu шийдүүдийн шинж чанарын теоремоос дагана..gif " өргөн = "85 "өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "19" өндөр = = 25 src = ">.gif" өргөн = "220" өндөр = "47">
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн энэхүү системийн https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> тогтмолууд нь өвөрмөц тодорхойлогддог. Энэ систем нь https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" өргөн="143" өндөр="25 src="> (5) ..gif" width="77" height="25 src=">. Өмнөх догол мөрийн дагуу, хэрэв энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан хоёр тодорхой шийдэл мэдэгдэж байвал 2-р эрэмбийн lodu-ийн ерөнхий шийдийг хялбархан тодорхойлох боломжтой. Энгийн арга тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүдийг олоход зориулагдсан тогтмол коэффициентүүдЛ.Эйлерийн санал болгосон..gif" width="25" height="26 src=">, бид олж авна. алгебрийн тэгшитгэл, үүнийг шинж чанар гэж нэрлэдэг:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> нь зөвхөн k-ийн утгуудын хувьд (5.1) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. тэдгээр нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" өндөр="47 src="> ба ерөнхий шийдэл (5..gif" өргөн="45" өндөр="25 src=">..gif" өргөн="74" өндөр="26 src=" >..gif" width="83" height="26 src=">. Энэ функц (5.1) тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу)..gif" width="190" height="26 src=">. Эдгээр илэрхийллийг дараах байдлаар орлуулж байна. тэгшитгэл (5.1), бид олж авна
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, учир нь.gif" width="137" height="26 src="" >.
Хувийн шийдлүүд https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" өргөн="45" өндөр="25 src=">..gif" өргөн="65" өндөр="33 src=">.gif" өргөн="134" өндөр=" 25 src=">.gif" өргөн = "267" өндөр = "25 src = ">.gif" өргөн = "474" өндөр = 25 src = ">.
Энэ тэгш байдлын зүүн талд байгаа хоёр хаалт нь тэгтэй ижил байна..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> нь (5.1) тэгшитгэлийн шийдэл ..gif" width="129" height="25 src="> дараах байдлаар харагдана.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
ерөнхий шийдлийн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
мөн аливаа тодорхой шийдэл https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> (6.1)..gif" тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. өргөн "272" өндөр "25 src="> f (x). Энэ тэгш байдал нь таних тэмдэг юм, учир нь..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Тиймээс.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> нь энэ тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ замаар:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" өргөн "289" өндөр "48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src="> ба ийм тодорхойлогч нь бидний дээр дурдсанчлан 0-ээс ялгаатай..gif" width="19" height="25 src="> системээс ялгаатай. тэгшитгэлийн (6 ..gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="76" өндөр="25 src=">.gif" өргөн="140" өндөр="25 src" ="> нь тэгшитгэлийн шийдэл байх болно
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> тэгшитгэлд (6.5), бид олж авна.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f" (x) (7.1)
хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> тэгшитгэлийн (7.1) баруун талд f(x) үед байна онцгой төрөл. Энэ аргыг тодорхой бус коэффициентийн арга гэж нэрлэдэг бөгөөд f (x) -ийн баруун талын хэлбэрээс хамааран тодорхой шийдлийг сонгохоос бүрдэнэ. Дараах маягтын зөв хэсгүүдийг анхаарч үзээрэй.
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> тэг байж болно. Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийг авах ёстой хэлбэрийг зааж өгье.
a) Хэрэв тоо нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="" 25 src = ">.
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн хувьд https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src" = ">..gif" өргөн = "101" өндөр = "25 src=">.gif" өргөн = "153" өндөр = "25 src=">.gif" өргөн = "383" өндөр = 25 src = ">.
Бид тэгш байдлын зүүн ба баруун хэсэгт https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> гэсэн хоёр хэсгийг богиносгодог.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" өргөн "111" өндөр "40 src=">
Үүссэн тэгшитгэлийн системээс бид дараахь зүйлийг олно: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, мөн ерөнхий шийдлийг олно. өгөгдсөн тэгшитгэлбайдаг:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" өргөн "158" өндөр "25 src=">.
Шийдэл.
Харгалзах шинж чанарын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Эцэст нь Бид ерөнхий шийдлийн дараах илэрхийлэлтэй байна.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> маш сайн тэгээс. Энэ тохиолдолд тодорхой шийдлийн хэлбэрийг зааж өгье.
a) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
Энд https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> нь тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (5..gif" өргөн юм. ="229 "өндөр="25 src=">,
хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" өргөн "147" өндөр "25 src=">.
Шийдэл.
Тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" өндөр = "25 src = ">.
Баруун хэсэг 3-р жишээнд өгөгдсөн тэгшитгэл нь тусгай хэлбэртэй байна: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src=">.gif " өргөн "55" өндөр "25 src=">.gif" өргөн "229" өндөр "25 src=">.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src="-г тодорхойлохын тулд > ба өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулна:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width=">.gif" width="100" height= хаягаар ижил нэр томъёо авчирч, коэффициентүүдийг тэнцүүлэх "25 src=">.
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн эцсийн ерөнхий шийдэл нь: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> тус тус байх ба эдгээр олон гишүүнтүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ ерөнхийд тодорхой шийдийн хэлбэрийг зааж өгье. хэрэг.
a) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
хаана https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" өргөн "121" өндөр "25 src=">.
б) Хэрэв дугаар нь https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src="> байвал тодорхой шийдэл нь дараах байдлаар харагдах болно.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Илэрхийлэлд (7..gif" өргөн="121" өндөр= " 25 src=">.
Жишээ 4Тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийн төрлийг заана уу
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Лод-ийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Цаашдын коэффициентүүд https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src="" > тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байдаг баруун тал f1(x), болон Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">дурын тогтмолуудын өөрчлөлтүүд (Лагранж арга).
Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлээс бусад тохиолдолд шугамын тодорхой шийдлийг шууд олох нь маш их бэрхшээлтэй тулгардаг. Тиймээс шугамын ерөнхий шийдийг олохын тулд дурын тогтмолуудын хувьсах аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системтэй бол квадратууд дахь шугамын ерөнхий шийдийг олох боломжийг үргэлж олгодог. мэдэгдэж байна. Энэ арга нь дараах байдалтай байна.
Дээр дурдсанчлан шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> - тогтмол биш, гэхдээ f(x)-ийн зарим боловч үл мэдэгдэх функцууд. . интервалаас авах ёстой. Үнэн хэрэгтээ энэ тохиолдолд Вронскийн тодорхойлогч нь интервалын бүх цэгүүдэд тэг биш, өөрөөр хэлбэл бүх орон зайд энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлийн цогц үндэс юм..gif" width="20" height="25" src="> хэлбэрийн шугаман бие даасан шийдлүүд:
Уусмалын ерөнхий томъёонд энэ үндэс нь хэлбэрийн илэрхийлэлтэй тохирч байна.
Энэ догол мөрийг авч үзэх болно онцгой тохиолдол шугаман тэгшитгэлХоёрдахь дараалал, тэгшитгэлийн коэффициентүүд тогтмол байх үед, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тоо юм. Ийм тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн тэгшитгэл нь ялангуяа өргөн хэрэглээг олдог.
1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалалТэгшитгэлийг авч үзье
коэффицентүүд тогтмол байх үед. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг хувааж, тэмдэглэнэ гэж үзвэл
Бид энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ
Мэдэгдэж байгаагаар хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шийдлийг мэдэхэд хангалттай. үндсэн системхувийн шийдвэрүүд. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд тодорхой шийдлүүдийн үндсэн системийг хэрхэн олдгийг харуулъя. Бид энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
Энэ функцийг хоёр удаа ялгаж, (59) томъёонд илэрхийллийг орлуулснаар бид олж авна.
-ээс хойш, -ээр бууруулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна
Энэ тэгшитгэлээс (59) тэгшитгэлийн шийдэл болох функц болох k-ийн утгуудыг тодорхойлно.
k коэффициентийг тодорхойлох алгебрийн тэгшитгэлийг (61) өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл (59) гэнэ.
Онцлог тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл тул хоёр үндэстэй. Эдгээр үндэс нь жинхэнэ ялгаатай, бодит ба тэнцүү, эсвэл нарийн төвөгтэй коньюгат байж болно.
Эдгээр тохиолдол бүрт хэсэгчилсэн шийдлийн үндсэн системийн хэлбэрийг авч үзье.
1. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба ялгаатай: . Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу бид хоёр тодорхой шийдлийг олдог.
Вронскийн тодорхойлогч хэзээ ч алга болдоггүй тул эдгээр хоёр тодорхой шийдэл нь бүх тооны тэнхлэгт шийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг.
Тиймээс (48) томъёоны дагуу тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
2. Шинж чанар тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү байна: . Энэ тохиолдолд хоёр үндэс нь жинхэнэ байх болно. Томъёогоор (60) бид зөвхөн нэг тодорхой шийдлийг олж авдаг
Эхнийхтэй хамт үндсэн системийг бүрдүүлдэг хоёр дахь тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй болохыг харуулъя
Юуны өмнө функц (59) тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгана. Үнэхээр,
Харин , учир нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (61). Үүнээс гадна Виетийн теоремын дагуу иймээс . Тиймээс, өөрөөр хэлбэл, функц нь (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Олдсон тодорхой шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг одоо харуулъя. Үнэхээр,
Тиймээс энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
3. Онцлогийн тэгшитгэлийн үндэс нь нийлмэл. Мэдэгдэж байгаагаар бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн нийлмэл үндэс нь коньюгат юм нийлмэл тоо, өөрөөр хэлбэл: гэсэн хэлбэртэй байна. Энэ тохиолдолд (60) томъёоны дагуу (59) тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд дараах хэлбэртэй байна.
Эйлерийн томьёог (Ch. XI, § 5 p. 3-ыг үз) ашиглан илэрхийллийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
Эдгээр шийдлүүд нь нарийн төвөгтэй байдаг. Бодит шийдлийг олж авахын тулд шинэ функцуудыг анхаарч үзээрэй
Эдгээр нь шийдлүүдийн шугаман хослол бөгөөд иймээс өөрсдөө (59) тэгшитгэлийн шийдэл юм (§ 3, 2-р теорем 1-ийг үзнэ үү).
Эдгээр шийдлүүдийн Вронский тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул шийдлүүд нь шийдлүүдийн үндсэн системийг бүрдүүлдэг болохыг харуулахад хялбар байдаг.
Тиймээс шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын хувьд нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Дүгнэж хэлэхэд, шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуур хэлбэрээс хамааран (59) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёоны хүснэгтийг өгнө.
Хоёр дахь ба түүнээс дээш эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл.
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман DE.
Шийдлийн жишээ.
Бид хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэхэд шилждэг. Хэрэв та дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол (эсвэл энэ нь юу болохыг огт ойлгохгүй байгаа) бол би хичээлээс эхлэхийг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ. Шийдвэр гаргах олон зарчим ба үндсэн ойлголтуудНэгдүгээр эрэмбийн диффурантууд автоматаар нэмэгддэг дифференциал тэгшитгэлилүү өндөр дараалал, тиймээс Эхний дарааллын тэгшитгэлийг ойлгох нь маш чухал юм.
Олон уншигчид 2, 3 болон бусад тушаалын DE нь маш хэцүү бөгөөд эзэмшихэд боломжгүй зүйл гэсэн өрөөсгөл ойлголттой байж магадгүй юм. Энэ үнэн биш . Тархалтуудыг шийдэж сур илүү өндөр дараалал"энгийн" 1-р зэргийн DE-ээс илүү төвөгтэй биш юм. Сургуулийн сургалтын хөтөлбөрийн материалыг шийдвэр гаргахдаа идэвхтэй ашигладаг тул зарим газарт бүр ч хялбар байдаг.
Хамгийн алдартай Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл рүү зайлшгүйхоёр дахь дериватив ба орно оруулаагүй болно 
Зарим нялх хүүхдүүд (тэр ч байтугай нэг дор) тэгшитгэлээс алга болж магадгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь аав нь гэртээ байсан нь чухал юм. Хамгийн анхдагч хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
Практик даалгаврууд дахь гуравдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь миний субьектив ажиглалтын дагуу хамаагүй бага түгээмэл байдаг. Төрийн ДумТэд 3-4 хувийн санал авах болно.
Гурав дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл рүү зайлшгүйгурав дахь дериватив ба орно оруулаагүй болноДээд зэрэглэлийн деривативууд:
Гурав дахь эрэмбийн хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэл нь иймэрхүү харагдаж байна: - аав гэртээ, бүх хүүхдүүд зугаалж байна.
Үүнтэй адилаар 4, 5 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийг тодорхойлж болно. Практик асуудлуудад ийм DE нь маш ховор тохиолддог боловч би холбогдох жишээнүүдийг өгөхийг хичээх болно.
Практик бодлогод санал болгосон дээд эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хоёр үндсэн бүлэгт хувааж болно.
1) Эхний бүлэг - гэж нэрлэгддэг доод эрэмбийн тэгшитгэл. Нисээрэй!
2) Хоёр дахь бүлэг - тогтмол коэффициент бүхий дээд эрэмбийн шугаман тэгшитгэл. Үүнийг бид яг одоо авч үзэх болно.
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
тогтмол коэффициенттэй
Онол ба практикийн хувьд ийм тэгшитгэлийн хоёр төрлийг ялгадаг. нэгэн төрлийн тэгшитгэлболон нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл.
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн DEБайгаа дараагийн харах:
, хаана ба нь тогтмол (тоо), баруун талд - хатуутэг.
Таны харж байгаагаар нэгэн төрлийн тэгшитгэлд онцгой бэрхшээл байхгүй, гол зүйл бол энэ юм зөв шийднэ квадрат тэгшитгэл .
Заримдаа стандарт бус нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд, жишээлбэл, хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг 
, хоёр дахь дериватив дээр нэгдмэл байдлаас ялгаатай (мөн мэдээж тэгээс ялгаатай) тогтмол байдаг. Шийдлийн алгоритм нь огт өөрчлөгддөггүй тул шинж чанарын тэгшитгэлийг тайвнаар бүрдүүлж, үндсийг нь олох хэрэгтэй. Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл 
хоёр өөр жинхэнэ үндэстэй байх болно, жишээ нь: 
, тэгвэл ерөнхий шийдлийг ингэж бичиж болно ердийн загвар: 
.
Зарим тохиолдолд үсгийн алдаанаас болж "муу" үндэс гарч ирдэг 
. Юу хийх вэ, хариултыг дараах байдлаар бичих ёстой.
гэх мэт "муу" коньюгат нийлмэл үндэстэй 
асуудал байхгүй, ерөнхий шийдэл: 
Тэр бол, ямар ч тохиолдолд ерөнхий шийдэл байдаг. Учир нь аливаа квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй байдаг.
Эцсийн догол мөрөнд би амласанчлан бид дараах зүйлийг товчхон авч үзэх болно.
Дээд эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл
Бүх зүйл маш, маш төстэй.
Гурав дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, тогтмолууд хаана байна.
Энэ тэгшитгэлийн хувьд та мөн шинж чанарын тэгшитгэл зохиож, үндсийг нь олох хэрэгтэй. Олон хүмүүсийн таамаглаж байгаагаар онцлог тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна. 
, мөн энэ ямар ч байсанБайгаа яг гуравүндэс.
Жишээлбэл, бүх үндэс нь бодит бөгөөд ялгаатай байцгаая: 
, тэгвэл ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Хэрэв нэг үндэс нь бодит, нөгөө хоёр нь коньюгат комплекс байвал ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
Гурван үндэс нь үржвэр (ижил) байх онцгой тохиолдол юм. Ганцаардсан аавтай 3-р зэрэглэлийн хамгийн энгийн нэгэн төрлийн ГЭ-ийг авч үзье: . Онцлог тэгшитгэл нь давхцсан гурван тэг үндэстэй. Бид ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл 
Жишээлбэл, гурван олон үндэстэй бол ерөнхий шийдэл нь:
Жишээ 9
Гурав дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийд
Шийдэл:Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиож, шийддэг.
, - нэг жинхэнэ үндэс, хоёр коньюгат нийлмэл үндэс гарна.
Хариулт:нийтлэг шийдвэр
Үүний нэгэн адил бид тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дөрөв дэх эрэмбийн тэгшитгэлийг авч үзэж болно: , энд тогтмол байна.
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) тогтмол коэффициенттэй (PC) шийдвэрлэх үндэс.
$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн CLDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй бөгөөд $f\left( x \right)$ нь тасралтгүй функц юм.
Дараах хоёр мэдэгдэл нь PC-тэй 2-р LNDE-ийн хувьд үнэн юм.
Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын тодорхой шийдэл гэж үзье. Зарим $Y$ функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (OR) гэж үзье. Дараа нь OR -ийн LHDE-2 нь заасан хувийн болон нийлбэртэй тэнцүү байна нийтлэг шийдвэрүүд, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.
Хэрэв 2-р эрэмбийн LIDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+...+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь эхлээд $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ тус бүрд тохирох PD-г олох боломжтой. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функцүүдийн дарааллыг бичнэ. LNDE-2 PD $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LNDE-ийн шийдэл
Өгөгдсөн LNDE-2-ын нэг буюу өөр PD $U$ хэлбэр нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. LNDE-2-ийн PD хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмээр томъёолсон болно.
Дүрмийн дугаар 1.
LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PR $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй олон гишүүнт, $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн (NC) аргаар олно.
Дүрмийн дугаар 2.
LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын онцлог тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NK аргаар олно.
Дүрмийн дугаар 3.
LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\бета $ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайна. )\right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг NDT аргаар олно.
Дүрмийн дугаар 4.
LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайна, энд $Q_(s) \left(x\right) $ ба $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнтүүд, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NK аргаар олно.
NDT арга нь хэрэглэхээс бүрдэнэ дараагийн дүрэм. LNDE-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд багтсан олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- гэж бичсэн PD $U$-г орлуулна ерөнхий үзэл, in зүүн тал LNDU-2;
- LNDE-2-ын зүүн талд, хялбаршуулсан болон бүлгийн нөхцлүүдийг ижил хүчээр гүйцэтгэх $x$;
- үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.
Жишээ 1
Даалгавар: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $-г ол. Мөн олох. $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн анхны нөхцлүүдийг хангасан PR.
Харгалзах LODA-2-г бичнэ үү: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Онцлог тэгшитгэлийн үндэс: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Энэхүү LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ илтгэгчийн илтгэгчийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Тиймээс энэхүү LNDE-2-ын PR нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.
Бид NK аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.
Бид CR-ийн анхны деривативыг олно:
$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид CR-ийн хоёр дахь деривативыг олно.
$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Өгөгдсөн LNDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Үүний зэрэгцээ $e^(3\cdot x) $ илтгэгч багтсан болно. бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчин зүйлийн хувьд үүнийг орхигдуулж болно.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$
Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Бид NC аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.
Бидний асуудлын CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $.
Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан PD-г хайхын тулд бид $y"$ деривативыг олно OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг $x=0$, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна.
$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Бид тэгшитгэлийн системийг авсан:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Бид үүнийг шийддэг. Бид Крамерын томъёог ашиглан $C_(1) $-г олох ба $C_(2) $ нь эхний тэгшитгэлээс тодорхойлогдоно.
$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right). )\cdot e^(3\cdot x) $.
