Нэг төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг ол. Шийдвэр гаргах үндсэн систем

Системүүд шугаман тэгшитгэл, бүх чөлөөт нөхцлүүд нь тэгтэй тэнцүү байна гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд байх вэ гэдэг асуулт гарч ирнэ өчүүхэн бус шийдэл.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэлтэй тохиолдолд л чухал биш шийдэлтэй байдаг. тооноос багатүүний үл мэдэгдэх зүйлс.

Үр дагавар. Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал биш шийдэлтэй байдаг.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл. Энэ систем нь үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед чухал бус шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аболон z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл

l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2. Дараа нь үндсэн минорыг сонгохдоо:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Таамаглаж байна z=4а, бид авдаг

Бүх шийдлүүдийн багц нэгэн төрлийн системмаш чухал ач холбогдолтой шугаман шинж чанар : хэрэв X багана 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1+б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр тэр цагаас хойш AX 1 = 0 болон AX 2 = 0 , дараа нь А(а X 1+б X 2) = a AX 1+б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Энэ шинж чанараас шалтгаалан шугаман системд нэгээс олон шийдэл байвал эдгээр шийдлүүд хязгааргүй олон байх болно.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Э к, нэг төрлийн системийн уусмалууд гэж нэрлэдэг үндсэн шийдвэрийн систем шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем, хэрэв нийтлэг шийдвэрЭнэ системийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж болно:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, дараа нь к = n-r.

Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг ол:

Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n - r= 5 - 2 = 3. Бид үндсэн минороор сонгодог

.

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (үлдсэн хэсэг нь чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг, бид баруун тийш шилжүүлнэ) үлдээж, бид хялбаршуулсан тэгшитгэлийн системийг авна.

Таамаглаж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог

, .

Таамаглаж байна а= 1, b=c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; гэж таамаглаж байна б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; гэж таамаглаж байна в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд шийдлүүдийн ердийн үндсэн систем хэлбэрийг авдаг

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл. AY 0 = Б, ба Юнь нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Ө-Ө 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Ө-Ө 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Үүний үр дүнд, Ө-Ө 0 = X, эсвэл Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ шинж чанар нь аливаа шугаман системийн бүх нийтийн шинж чанарыг илэрхийлдэг (алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерийн чиглэлээр - давхарлах зарчим. Жишээлбэл, шугаман онолын хувьд цахилгаан хэлхээАливаа хэлхээн дэх гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэрээр авч болно.

Жишээ 1. Системийн ерөнхий шийдэл болон зарим үндсэн шийдлийн системийг ол

Шийдэлтооны машин ашиглан олох. Шийдлийн алгоритм нь шугаман системтэй адил байна нэгэн төрлийн тэгшитгэл.
Зөвхөн мөрүүдээр ажилласнаар бид матрицын зэрэглэлийг олдог. үндсэн бага; Бид хамааралтай ба чөлөөт үл мэдэгдэхийг зарлаж, ерөнхий шийдлийг олдог.

Эхний болон хоёр дахь мөр нь пропорциональ бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь устгах болно.

.
Хамааралтай хувьсагчид - x 2, x 3, x 5, free - x 1, x 4. 10x 5 = 0 гэсэн эхний тэгшитгэлээс бид x 5 = 0-ийг олно
; .
Ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Бид (n-r) шийдлүүдээс бүрдэх шийдлүүдийн үндсэн системийг олдог. Манай тохиолдолд n=5, r=3 тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр шийдээс бүрдэх ба эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байх ёстой. Мөрүүд шугаман хамааралгүй байхын тулд мөрийн элементүүдээс бүрдэх матрицын зэрэглэл нь мөрийн тоотой тэнцүү буюу 2 байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. x 1 ба x чөлөөт үл мэдэгдэхийг өгөхөд хангалттай. Хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн мөрөөс тэгээс ялгаатай 4 утгыг гаргаж, x 2, x 3, x 5-ийг тооцоолно. Хамгийн энгийн тэг биш тодорхойлогч нь .
Тиймээс эхний шийдэл нь: , Хоёрдугаарт - .
Эдгээр хоёр шийдвэр нь шийдвэрийн үндсэн тогтолцоог бүрдүүлдэг. Үндсэн систем нь өвөрмөц биш гэдгийг анхаарна уу (тэгээс бусад тодорхойлогчийг хүссэн хэмжээгээр бүрдүүлж болно).

Жишээ 2. Ерөнхий шийдэл ба системийн шийдлийн үндсэн системийг ол
Шийдэл.



,
Үүнээс үзэхэд матрицын зэрэглэл нь 3 бөгөөд үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байна. Энэ нь системд үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл байхгүй тул өвөрмөц шийдэлтэй байдаг гэсэн үг юм.

Дасгал хийх. Шугаман тэгшитгэлийн системийг судалж, шийдвэрлэх.
Жишээ 4

Дасгал хийх. Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Бид системийн үндсэн матрицыг бичнэ.

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Бид матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулдаг. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлд нэмнэ гэсэн үг бөгөөд энэ нь системийн шийдийг өөрчилдөггүй тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. .
2-р мөрийг (-5) үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2-р мөрийг (6)-аар үржүүлнэ. 3-р эгнээ (-1) -ээр үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:
Матрицын зэрэглэлийг ол.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Алдарт насанд хүрээгүй хүн байна хамгийн дээд тушаал(боломжит насанд хүрээгүй хүмүүсийн) ба тэгээс ялгаатай (энэ нь харилцан диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү), иймээс rang(A) = 2 байна.
Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд үл мэдэгдэх x 1, x 2-ийн коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1, x 2 нь хамааралтай (үндсэн), x 3, x 4, x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Бид матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн үндсэн минорыг үлдээдэг.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6х1 + 2х2 = - 2х4 - 11х3 - 6х5
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргын дагуу бид олдог өчүүхэн бус шийдэл:
Чөлөөт x 3 ,x 4 ,x 5-ээр дамжуулан x 1 ,x 2 хамааралтай хувьсагчдыг илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл бид олсон. нийтлэг шийдвэр:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Бид (n-r) шийдлүүдээс бүрдэх шийдлүүдийн үндсэн системийг олдог.
Манай тохиолдолд n=5, r=2 тул шийдлийн үндсэн систем нь 3 шийдээс бүрдэх ба эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байх ёстой.
Мөрүүд шугаман бие даасан байхын тулд эгнээний элементүүдээс бүрдэх матрицын зэрэглэл нь мөрийн тоотой тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл 3.
Тэгээс ялгаатай 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөрүүдээс x 3 ,x 4 ,x 5 чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг өгч, x 1 ,x 2-ийг тооцоолоход хангалттай.
Хамгийн энгийн тэг биш тодорхойлогч нь таних матриц юм.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Даалгавар. Хай үндсэн багцШугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд.

Бид техникээ үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрүүдийн дагуу материал нь уйтгартай, энгийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Цаашид техникийг хөгжүүлэхээс гадна маш олон шинэ мэдээлэл гарах тул энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна тус бүрсистемийн тэгшитгэл нь тэг байна. Жишээлбэл:

Энэ нь маш тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Тэгээд, юуны түрүүнд, гэж нэрлэгддэг өчүүхэншийдэл . Өчүүхэн, нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд bespontovoe гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, эрдэм шинжилгээний хувьд биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ... Яагаад бутыг тойрон зодох вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт аваачна. Энд чөлөөт гишүүдийн босоо мөр, тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу - эцэст нь та тэгээр юу ч хийсэн тэд тэг хэвээр байх болно:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.

Гурав дахь эгнээг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг , мөн Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөнийг ашигласнаар шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар болно.

Хариулт:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зөвхөн өчүүхэн шийдэл, хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(ин Энэ тохиолдолд 3) хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд 3 ширхэг).

Бид радиогоо халааж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулдаг.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Алгоритмыг эцэслэн засахын тулд эцсийн даалгаврыг шинжлэх болно.

Жишээ 7

Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл: бид системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би дахин дахин уулзсан техникт анхаарлаа хандуулж байгаа бөгөөд энэ нь дараахь үйлдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг танд олгоно.

(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.

(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.

Үүний үр дүнд стандарт алхамын матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.

- үндсэн хувьсагч;
нь чөлөөт хувьсагч юм.

Бид үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлдэг. 2-р тэгшитгэлээс:

- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Харж байгаа жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.

Гурвалсан утгыг орлуулъя ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, хүлээн авсан вектор бүрийг шалгах нь маш их хүсч байна - энэ нь тийм ч их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ алдаанаас зуун хувь хэмнэх болно.

Гурвалсан утгын төлөө векторыг ол

Тэгээд эцэст нь гурвалсан Бид гурав дахь векторыг авна.

Хариулт: , хаана

Бутархай утгуудаас зайлсхийхийг хүсч буй хүмүүс гурвалсан тоог харгалзан үзэж хариултыг ижил хэлбэрээр авах боломжтой.

Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая мөн асуулт асуугаарай - цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн хялбар биш бөгөөд хамгийн таатай биш байсан гэдгийг би хэлэх ёстой.

Хоёр дахь шийдэл:

Санаа нь оролдоод үз л дээ бусад үндсэн хувьсагчдыг сонгох. Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг авч болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлт хийцгээе:

Та захиалж болно нарийвчилсан шийдэлчиний даалгавар!!!

Юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системдээр дарж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүх зүйлийн тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Үүний шийдлийг олъё шугаман системтэгшитгэл. Эхлэхийн тулд бид системийн коэффициент матрицыг бичнэ үү.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд та гурав дахь эгнээний эхнийхийг хасч, зөрүүг гуравдугаар эгнээнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь эгнээнээс 2-оор үржүүлсэн 2-ыг хасаад зөрүүг 3-р эгнээнд бичих шаардлагатай. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасч, дөрөв дэх мөрөнд зөрүүг бичих шаардлагатай. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 3-аар үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, хэрэв та дөрөв ба тав дахь гурав дахь хэсгийг хасвал тэд тэг болно.

Энэ матрицын хувьд бичих шинэ системтэгшитгэл.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ийг илэрхийлээд дараа нь олж авсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр дамжуулан илэрхийлсэн.

Үүний дараа $x_4$, $x_5$-ын оронд дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-г олох боломжтой. Ийм таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ын оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ болон $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-г олох хэрэгтэй.