Ердийн fsr. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тууштай бөгөөд өчүүхэн шийдэлтэй байдаг
. Өвөрмөц шийдэл байхын тулд матрицын зэрэглэл байх шаардлагатай байсан тооноос багаүл мэдэгдэх:

.

Шийдвэр гаргах үндсэн систем нэгэн төрлийн систем
баганын вектор хэлбэрээр шийдлийн системийг нэрлэнэ
, энэ нь каноник суурьтай тохирч, i.e. дурын тогтмолуудын суурь
нь ээлжлэн нэгтэй тэнцүү байхад бусад нь тэг болно.

Дараа нь нийтлэг шийдвэрНэг төрлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.

хаана
дурын тогтмолууд юм. Өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдэл нь шийдлүүдийн үндсэн системийн шугаман хослол юм.

Иймээс чөлөөт үл мэдэгдэх утгыг ээлжлэн нэгдмэл утгаар өгвөл бусад бүх нь тэгтэй тэнцүү гэж үзвэл ерөнхий шийдлээс үндсэн шийдлүүдийг гаргаж болно.

Жишээ. Системийн шийдлийг олцгооё

Бид хүлээн зөвшөөрч, дараа нь бид шийдлийг дараах хэлбэрээр авна.

Одоо шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулъя:

.

Ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Нэг төрлийн системийн шийдлүүд шугаман тэгшитгэлшинж чанаруудтай:

Өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь дахин шийдэл болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь хэдэн зууны турш математикчдын сонирхлыг татсаар ирсэн. Эхний үр дүнг XVIII зуунд олж авсан. 1750 онд Г.Крамер (1704–1752) квадрат матрицын тодорхойлогчдын тухай бүтээлүүдээ хэвлүүлж, урвуу матрицыг олох алгоритмыг санал болгосон. 1809 онд Гаусс арилгах арга гэж нэрлэгддэг шинэ шийдлийн аргыг тодорхойлсон.

Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга нь энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг шаталсан (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулахад оршино. Ийм системүүд нь тодорхой дарааллаар үл мэдэгдэх бүх зүйлийг тогтмол олох боломжийг олгодог.

(1) системд байна гэж бодъё.
(энэ нь үргэлж боломжтой байдаг).

(1)

Эхний тэгшитгэлийг ээлжлэн гэж нэрлэгддэг зүйлээр үржүүлэх тохиромжтой тоонууд

Үржүүлгийн үр дүнг системийн харгалзах тэгшитгэлүүдээр нэмбэл эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлүүд үл мэдэгдэхгүй байх эквивалент системийг олж авна. X 1

(2)

Одоо бид (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг зохих тоогоор үржүүлж, үүнийг гэж үзэв

,

мөн үүнийг доод хэсэгт нэмснээр бид хувьсагчийг арилгадаг Гурав дахь нь эхлэн бүх тэгшитгэлийн.

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлж, дараа нь
бидний авах алхамууд:

(3)

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү биш бол харгалзах тэгшитгэл нь зөрчилтэй, систем (1) зөрчилтэй байна. Эсрэгээр, аливаа хамтарсан тооллын системийн хувьд
тэгтэй тэнцүү байна. Тоо нь системийн матрицын зэрэглэлээс өөр юу ч биш (1).

(1) системээс (3) руу шилжих шилжилтийг дуудна шулуун шугамаар Гауссын арга ба (3)-аас үл мэдэгдэхийг олох - арагшаа .

Сэтгэгдэл : Өөрсдийгөө тэгшитгэлээр биш харин системийн өргөтгөсөн матрицаар (1) хувиргах нь илүү тохиромжтой.

Жишээ. Системийн шийдлийг олцгооё

.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье.

.

2,3,4-р мөрөнд эхнийх нь (-2), (-3), (-2)-р үржүүлж нэмье.

.

2 ба 3-р мөрүүдийг сольж, үүссэн матрицад 2-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмээд үржүүлээрэй. :

.

4-р мөрөнд нэмээд 3-р мөрийг үржүүлнэ
:

.

Энэ нь ойлгомжтой
, тиймээс систем тогтвортой байна. Үүссэн тэгшитгэлийн системээс

Бид урвуу орлуулалтаар шийдлийг олно:

,
,
,
.

Жишээ 2Системийн шийдлийг олох:

.

Тогтолцооны хувьд зөрчилтэй байгаа нь ойлгомжтой, учир нь
, a
.

Гауссын аргын давуу тал :

Крамерын аргыг бодвол цаг хугацаа бага зарцуулдаг.

Системийн нийцтэй байдлыг хоёрдмол утгагүйгээр тогтоож, шийдлийг олох боломжийг танд олгоно.

Аливаа матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох чадварыг өгдөг.

Бүх чөлөөт гишүүд нь тэгтэй тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд байх вэ гэдэг асуулт гарч ирнэ өчүүхэн бус шийдэл.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л чухал биш шийдэлтэй байдаг.

Үр дагавар. Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал биш шийдэлтэй байдаг.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл. Энэ систем нь үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед чухал бус шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аболон z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл

l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2. Дараа нь үндсэн минорыг сонгохдоо:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Таамаглаж байна z=4а, бид авдаг

Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : хэрэв X багана 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1+б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр, учир нь AX 1 = 0 болон AX 2 = 0 , дараа нь А(а X 1+б X 2) = a AX 1+б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Энэ шинж чанараас шалтгаалан шугаман систем нэгээс олон шийдтэй байвал эдгээр шийдлүүд нь хязгааргүй олон байх болно.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Э к, нэг төрлийн системийн уусмалууд гэж нэрлэдэг үндсэн шийдвэрийн систем Хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж чадвал шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, дараа нь к = n-r.

Жишээ 5.7.Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг ол.

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг ол:

Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n - r= 5 - 2 = 3. Бид үндсэн минороор сонгодог

.

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (үлдсэн хэсэг нь чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэгддэг, бид баруун тийш шилжүүлнэ) үлдээж, бид хялбаршуулсан тэгшитгэлийн системийг авна.

Таамаглаж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог

, .

Таамаглаж байна а= 1, b=c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; гэж таамаглаж байна б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; гэж таамаглаж байна в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд хэвийн үндсэн системшийдлүүд хэлбэртэй болно

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Нэг төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл, өөрөөр хэлбэл. AY 0 = Б, ба Юнь нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Ө-Ө 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Y-Y 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Үүний үр дүнд, Y-Y 0 = X, эсвэл Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ шинж чанар нь аливаа шугаман системийн бүх нийтийн шинж чанарыг илэрхийлдэг (алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерийн чиглэлээр - давхарлах зарчим. Жишээлбэл, шугаман онолын хувьд цахилгаан хэлхээАливаа хэлхээн дэх гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэрээр авч болно.

Та захиалж болно нарийвчилсан шийдэлчиний даалгавар!!!

Юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системдээр дарж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүх зүйлийн тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Үүний шийдлийг олъё шугаман системтэгшитгэл. Эхлэхийн тулд бид системийн коэффициент матрицыг бичнэ үү.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд та гурав дахь эгнээний эхнийхийг хасч, зөрүүг гуравдугаар эгнээнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь эгнээнээс 2-оор үржүүлсэн 2-ыг хасаад зөрүүг 3-р эгнээнд бичих шаардлагатай. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасч, дөрөв дэх мөрөнд зөрүүг бичих шаардлагатай. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 3-аар үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичнэ.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, хэрэв та дөрөв ба тав дахь гурав дахь хэсгийг хасвал тэд тэг болно.

Энэ матрицын хувьд бичих шинэ системтэгшитгэл.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ийг илэрхийлээд дараа нь олж авсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр дамжуулан илэрхийлсэн.

Үүний дараа $x_4$, $x_5$-ын оронд дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-г олох боломжтой. Ийм таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ын оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ болон $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-г олох хэрэгтэй.

Нэг төрлийн системийн уусмалууд нь дараах шинж чанартай байдаг. Хэрэв вектор = (α 1 , α 2 ,... ,α n) нь (15.14) системийн шийдэл бөгөөд дурын тооны хувьд квектор k = (kα 1 , ка 2 ,..., kα n)энэ системийн шийдэл байх болно. Хэрэв (15.14) системийн шийдэл нь = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ) вектор бол n), дараа нь нийлбэр + мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Тиймээс үүнийг дагадаг Нэг төрлийн системийн шийдэлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.

12.2-р зүйлээс бидний мэдэж байгаагаар аливаа систем n-хэмжээст векторууд, түүнээс дээш Пвекторууд нь шугаман хамааралтай. Тиймээс нэгэн төрлийн системийн уусмалын векторуудын багцаас (15.14) суурийг сонгож болно, өөрөөр хэлбэл. Өгөгдсөн системийн аливаа шийдлийн вектор нь энэ суурийн векторуудын шугаман хослол байх болно. Аливаа ийм үндэслэл гэж нэрлэдэг үндсэн шийдвэрийн системшугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем. Дараах теорем нь үнэн бөгөөд бид үүнийг нотолгоогүйгээр танилцуулж байна.

ТЕОРЕМ 4. Хэрэв системийн r зэрэглэл нэгэн төрлийн тэгшитгэл (15.14) үл мэдэгдэх n тооноос бага бол системийн шийдлүүдийн аливаа үндсэн систем (15.14) n - r шийдлүүдээс бүрдэнэ.

Одоо шийдлийн үндсэн системийг (FSR) олох аргыг зааж өгье. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийг (15.14) зэрэгтэй болгоё r< п. Дараа нь Крамерын дүрмийн дагуу энэ системийн үндсэн үл мэдэгдэх зүйлс x 1 , x 2 , … x rчөлөөт хувьсагчаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:

Бид нэгэн төрлийн системийн тодорхой шийдлүүдийг (15.14) дараах зарчмын дагуу ялгадаг. Эхний шийдлийн вектор 1-ийг олохын тулд бид тохируулна x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Дараа нь бид хоёр дахь шийдлийг олно 2: бид хүлээн зөвшөөрнө x r+2 = 1 ба бусад нь r- 1 чөлөөт хувьсагчийг тэг болгож тохируулсан. Өөрөөр хэлбэл, бид чөлөөт хувьсагч бүрт нэг утгыг дараалан оноож, үлдсэнийг нь тэг болгож өгдөг. Тиймээс эхнийхийг харгалзан вектор хэлбэрийн шийдлүүдийн үндсэн систем rсуурь хувьсагч (15.15) хэлбэртэй байна

FSR (15.16) нь нэг юм үндсэн багцууднэгэн төрлийн системийн уусмалууд (15.14).

Жишээ 1Нэг төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдэл ба FSR-ийг ол

Шийдэл. Бид энэ системийг Гауссын аргаар шийдэх болно. Системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага тул бид таамаглаж байна X 1 , x 2 , X 3 үндсэн үл мэдэгдэх зүйл, ба x 4 , X 5 , x 6 - чөлөөт хувьсагч. Системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлж, аргын шууд чиглэлийг бүрдүүлэх үйлдлүүдийг хийцгээе.

Матрицын өгөгдөл

Олно: 1) aA - bB,

Шийдэл: 1) Бид матрицыг тоогоор үржүүлэх, матриц нэмэх дүрмийг ашиглан дарааллаар нь олдог.

2. Хэрэв A*B-г ол

Шийдэл: Матрицын үржүүлэх дүрмийг ашиглана уу

Хариулт:

3. Өгөгдсөн матрицын хувьд минор M 31-ийг олж тодорхойлогчийг тооцоол.

Шийдэл: Minor M 31 нь А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм

3-р мөр ба 1-р баганыг устгасны дараа олох

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

А матрицыг тодорхойлогчийг нь өөрчлөхгүйгээр хувиргацгаая (1-р мөрөнд тэгийг хийцгээе)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Одоо бид А матрицын тодорхойлогчийг 1-р эгнээний дагуу тэлэх замаар тооцоолно

Хариулт: M 31 = 0, detA = 0

Гауссын арга, Крамерын аргыг ашиглан шийднэ.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Шийдэл: Шалгацгаая

Та Крамерын аргыг ашиглаж болно

Системийн шийдэл: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Бид Гауссын аргыг ашигладаг.

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулдаг.

Тооцоолоход хялбар болгохын тулд бид мөрүүдийг сольж байна:

2-р мөрийг (k = -1 / 2 =) үржүүлнэ -1 / 2 ) ба 3-т нэмнэ:

	1 / 2		7 / 2

1-р мөрийг (k = -2 / 2 =) үржүүлнэ -1 ) ба 2-т нэмнэ:

Одоо анхны системийг дараах байдлаар бичиж болно.

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

2-р мөрөнд бид илэрхийлнэ

1-р мөрөнд бид илэрхийлнэ

Шийдэл нь адилхан.

Хариулт: (2; -5; 3)

Систем ба FSR-ийн ерөнхий шийдлийг ол

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5х 1 + 4х 2 + 7х 3 + 4х 4 + 6х 5 = 0

7х 1 + 2х 2 + 5х 3 + 2х 4 + 3х 5 = 0

Шийдэл: Гауссын аргыг хэрэглэнэ. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулдаг.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

1-р мөрийг (-11) -ээр үржүүлнэ. 2-р мөрийг (13)-аар үржүүлнэ. 1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:

	-2		-2	-3

2-р мөрийг (-5) үржүүлнэ. 3-р мөрийг (11)-ээр үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмье:

3-р мөрийг (-7) үржүүлнэ. 4-р мөрийг (5) үржүүлнэ. 4-р мөрийг 3-т нэмье:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь үлдсэн хэсгийн шугаман хослол юм

Матрицын зэрэглэлийг ол.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

Алдарт насанд хүрээгүй хүн байна хамгийн дээд тушаал(боломжит насанд хүрээгүй хүмүүсийн) ба тэгээс ялгаатай (энэ нь харилцан диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү), иймээс rang(A) = 2 байна.

Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд бол үндсэн юм. Үүнд үл мэдэгдэх x 1, x 2-ийн коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 1, x 2 нь хамааралтай (үндсэн), x 3, x 4, x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.

18х2 = 24х3 + 18х4 + 27х5

7х1 + 2х2 = - 5х3 - 2х4 - 3х5

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргын дагуу бид олдог нийтлэг шийдвэр:

x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5

x 1 = - 1 / 3 x 3

Бид (n-r) шийдлүүдээс бүрдэх шийдлийн үндсэн системийг (FSR) олдог. Манай тохиолдолд n=5, r=2 тул шийдлийн үндсэн систем нь 3 шийдээс бүрдэх ба эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байх ёстой.

Мөрүүд шугаман бие даасан байхын тулд эгнээний элементүүдээс бүрдэх матрицын зэрэглэл нь мөрийн тоотой тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл 3.

Тэгээс ялгаатай 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийн мөрүүдээс x 3 ,x 4 ,x 5 чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудыг өгч, x 1 ,x 2-ийг тооцоолоход хангалттай.

Хамгийн энгийн тэг биш тодорхойлогч нь таних матриц юм.

Гэхдээ энд авах нь илүү тохиромжтой

Бид ерөнхий шийдлийг ашиглан олдог:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR шийдвэр: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II FSR шийдвэр: (0; -6; 0; 6; 0)

в) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III FSR шийдвэр: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; - 9; 0; 0; 6)

6. Өгөгдсөн: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Олно: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Шийдэл: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Хариулт: a) -3i b) 12+26i c) -1.4 - 0.3i