Цогцолбор тооны тэгшитгэлийн систем. Комплекс тоотой бодлого бодох

ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛ

"ВОРОНЕЖИЙН УЛСЫН БАГШИЙН ИХ СУРГУУЛЬ"

АГЛЕБРА, ГЕОМЕТРИЙН САНАЛ

Нарийн төвөгтэй тоо

(сонгосон даалгавар)

ЭЦСИЙН МЭРГЭШЛИЙН АЖИЛ

050201.65 математикийн мэргэжил

(050202.65 мэдээлэл зүйн нэмэлт мэргэжлээр)

Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан

физик, математик

тэнхим

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

ВОРОНЕЖ - 2008 он

1. Танилцуулга……………………………………………………...…………..…

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо ………………….….

2.2. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар ………………

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

2.4. Комплекс тооны онолыг 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэлд ашиглах нь…………………………………………………………………

2.5. Цогцолбор тоо ба параметрүүд…………………………………………

3. Дүгнэлт…………………………………………………..

4. Ашигласан материалын жагсаалт………………………………………………

1. Танилцуулга

Сургуулийн математикийн хичээлийн хөтөлбөрт натурал тоо, бүхэл тоо, рациональ, иррациональ гэх мэт олонлогийн жишээнүүдийг ашиглан тооны онолыг нэвтрүүлсэн. зураг нь бүхэл тооны мөрийг дүүргэх бодит тоонуудын олонлог дээр. Гэхдээ аль хэдийн 8-р ангид сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодит тоонуудын нөөц хангалтгүй байна. Тиймээс бодит тоонуудын нөөцийг нарийн төвөгтэй тоогоор дүүргэх шаардлагатай болсон Квадрат язгуур-аас сөрөг тоогэсэн утгатай.

"Цогцолбор тоо" сэдвийг төгсөлтийн сэдэв болгон сонгосон шаардлага хангасан ажил, нийлмэл тооны тухай ойлголт нь оюутнуудын талаарх мэдлэгийг өргөжүүлдэгт оршино тооллын системүүд, алгебрийн болон геометрийн агуулгын өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх тухай, шийдвэрлэх тухай алгебрийн тэгшитгэлямар ч зэрэг болон параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх тухай.

Энэхүү дипломын ажилд 82 асуудлын шийдлийг авч үзсэн.

"Цогцолбор тоо" үндсэн хэсгийн эхний хэсэг нь алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоо бүхий асуудлын шийдлийг өгч, алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонд нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэгтгэх үйлдлүүд, төсөөллийн нэгжийн зэрэг, нийлмэл тооны модуль, мөн комплекс тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах дүрмийг тогтооно.

Хоёрдахь хэсэгт нийлмэл хавтгайн цэг эсвэл вектор хэлбэрээр нийлмэл тоог геометрийн тайлбарт зориулсан асуудлуудыг шийддэг.

Гурав дахь хэсэг нь тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын үйлдлүүдийг авч үздэг. Томьёог ашигладаг: Де Мойвр ба цогцолбор тооноос үндэс гаргаж авах.

Дөрөв дэх хэсэг нь 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.

Сүүлийн хэсгийн "Цогцолбор тоо ба параметрүүд"-ийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өмнөх хэсгүүдэд өгсөн мэдээллийг ашиглаж, нэгтгэнэ. Энэ бүлгийн хэд хэдэн асуудлыг цогц хавтгай дахь шугамын бүлгийг тодорхойлоход зориулагдсан болно. тэгшитгэлээр өгөгдсөн(тэгш бус байдал) параметртэй. Дасгалын нэг хэсэгт та параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (C талбар дээр). Нарийн төвөгтэй хувьсагч нь хэд хэдэн нөхцлийг нэгэн зэрэг хангадаг ажлууд байдаг. Энэ хэсгийн асуудлыг шийдвэрлэх нэг онцлог шинж чанар нь тэдгээрийн олонхыг 2-р зэргийн, иррациональ, тригонометрийн тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэхэд багасгах явдал юм.

Хэсэг бүрийн материалыг танилцуулах онцлог нь анхны оролт юм онолын үндэс, дараа нь асуудлыг шийдвэрлэхэд практик хэрэглээ.

Төгсгөлд нь дипломын ажилашигласан уран зохиолын жагсаалтыг үзүүлэв. Тэдгээрийн ихэнх нь нэлээд дэлгэрэнгүй бөгөөд хүртээмжтэй байдаг. онолын материал, зарим асуудлын шийдлийг авч үзэж, практик даалгавар өгсөн бие даасан шийдэл. Онцгой анхааралБи дараах эх сурвалжуудад хандахыг хүсч байна.

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фиртов В.Е., Серебрякова И.В. Цогцолбор тоо, тэдгээрийн хэрэглээ: Сурах бичиг. . Материал сургалтын гарын авлагалекц, практик дасгал хэлбэрээр танилцуулсан.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Анхан шатны математикийн сонгосон бодлого, теоремууд. Арифметик ба алгебр. Уг номонд алгебр, арифметик, тооны онолтой холбоотой 320 бодлого орсон. Эдгээр даалгаврууд нь мөн чанараараа сургуулийн стандарт даалгавраас эрс ялгаатай байдаг.

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Математик, физикийн олон асуудлын шийдлийг алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл

Энд a0 , a1 , …, an нь бодит тоонууд юм. Иймээс алгебрийн тэгшитгэлийн судалгаа нь нэг юм чухал асуудлуудматематикт. Жишээлбэл, сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Ийм тэгшитгэлийн хамгийн энгийн нь тэгшитгэл юм

Энэ тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх замаар бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх шаардлагатай.

Энэ язгуурыг гэж тэмдэглэе

. Тиймээс, тодорхойлолтоор, эсвэл,

Үүний үр дүнд,

. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Түүний тусламжтайгаар болон хос бодит тоонуудын тусламжтайгаар хэлбэрийн илэрхийлэл үүсдэг.

Үүссэн илэрхийлэл нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг агуулж байсан тул цогц тоо гэж нэрлэв.

Тиймээс нийлмэл тоонуудыг хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

, ба нь бодит тоо бөгөөд нөхцөлийг хангасан зарим тэмдэг юм. Тоо нь нийлмэл тооны бодит хэсэг, тоог түүний төсөөллийн хэсэг гэнэ. Тэдгээрийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашигладаг.

Маягтын нийлмэл тоо

Эдгээр нь бодит тоонууд тул цогц тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг агуулдаг.

Маягтын нийлмэл тоо

цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Маягтын хоёр цогц тоо бөгөөд тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, i.e. Хэрэв тэгш байдал, .

Нарийн төвөгтэй тоонуудын алгебрийн тэмдэглэгээ нь тэдгээрийн дагуу үйлдлийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог ердийн дүрэмалгебр.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Тэгшитгэлийг хүн төрөлхтөн эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.

Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] тооцоолно

Юуны өмнө, нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэдгийг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчлах шаардлагатай ба дараагийн төрөл

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёоны дагуу 10-р зэрэглэлд үржүүлж, өсгөдөг. Энэ томьёог комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулж томъёолсон. Бид авах:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг баримталснаар бид дараахь зүйлийг хийх болно.

Манай тохиолдолд:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг \[(8\pi рад.):\ "мушгих" боломжтой гэж дүгнэж байна. ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлж, Moivre томъёог ашиглана:

Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https: // сайт дээр тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зөвхөн шийдвэрлэгч рүү өөрийн өгөгдлийг оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай Вконтакте групп http://vk.com/pocketteacher дээрээс асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн систем
нийлмэл тоонуудтай

Өнөөдөр хичээл дээр бид ажиллах болно ердийн үйлдлүүднийлмэл тоонуудтай байхаас гадна эдгээр тоонд агуулагдах илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга техникийг эзэмшинэ. Энэхүү семинар нь хичээлийн үргэлжлэл бөгөөд хэрэв та энэ сэдвийг сайн мэдэхгүй байгаа бол дээрх холбоосыг дагана уу. За, би илүү бэлтгэсэн уншигчдад нэн даруй дулаацахыг санал болгож байна:

Жишээ 1

Илэрхийлэлийг хялбарчлах , хэрэв . Үр дүнг тригонометрийн хэлбэрээр үзүүлж, цогц хавтгайд дүрсэл.

Шийдэл: тиймээс та "аймшигтай" бутархайг орлуулж, хялбаршуулж, үр дүнг орчуулах хэрэгтэй. нийлмэл тоо in тригонометрийн хэлбэр. Дээрээс нь хараал ид.

Шийдвэр гаргах хамгийн сайн арга юу вэ? Алгебрийн "сайхан" илэрхийллийг үе шаттайгаар шийдвэрлэх нь илүү ашигтай байдаг. Нэгдүгээрт, анхаарал бага тархсан, хоёрдугаарт, даалгаврыг тооцоогүй бол алдаа олоход илүү хялбар байх болно.

1) Эхлээд тоологчийг хялбарчилж үзье. Үүний утгыг орлуулж, хаалтыг нээж, үс засалтаа засаарай.

... Тийм ээ, нийлмэл тооноос ийм Квазимодо гарч ирэв ...

Өөрчлөлтийн явцад бүрэн ухаалаг зүйлсийг ашигладаг гэдгийг би танд сануулж байна - олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрэм ба аль хэдийн улиг болсон тэгш байдал. Хамгийн гол нь болгоомжтой байж, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй.

2) Одоо хуваагч дараагийнх нь байна. Хэрэв бол:

Ер бусын тайлбарыг юунд ашигладаг болохыг анхаарна уу нийлбэр квадрат томъёо. Эсвэл та эндээс өөрчилж болно дэд томъёо. Үр дүн нь мэдээж таарах болно.

3) Эцэст нь бүхэл бүтэн илэрхийлэл. Хэрэв бол:

Бутархайг арилгахын тулд бид хуваагч болон хуваагчийг илэрхийлэгчтэй нэгтгэх замаар үржүүлнэ. Гэсэн хэдий ч өргөдөл гаргах зорилгоор квадратуудын томьёоны зөрүүурьдчилсан байдлаар байх ёстой (мөн итгэлтэй!) 2-р байранд сөрөг бодит хэсгийг тавь:

Одоо гол дүрэм:

ЯАРАХГҮЙ БАЙХГҮЙ! Үүнийг аюулгүй тоглож, нэмэлт алхам хийх нь дээр.
Комплекс тоо бүхий илэрхийлэл, тэгшитгэл, системд бардам аман тооцоолол урьдын адил дарамттай!

Эцсийн шатанд сайхан агшилт байсан бөгөөд энэ нь зүгээр л гайхалтай шинж тэмдэг юм.

Анхаарна уу : хатуухан хэлэхэд нийлмэл тоог 50 цогцолбор тоонд хуваах нь энд явагдсан (үүнийг санаарай). Би энэ нюансын талаар одоог хүртэл чимээгүй байсан бөгөөд энэ талаар жаахан дараа ярих болно.

Амжилтаа үсгээр тэмдэглэе

Үр дүнг тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлье. Ерөнхийдөө энд та зураг зурахгүйгээр хийж болно, гэхдээ шаардлагатай бол яг одоо дуусгах нь арай оновчтой юм.

Комплекс тооны модулийг тооцоолох:

Хэрэв та 1 нэгжийн масштабаар зураг зурах бол. \u003d 1 см (2 тетрадын нүд), дараа нь үүссэн утгыг ердийн захирагч ашиглан шалгахад хялбар болно.

Аргумент олъё. Тоо нь координатын 2-р улиралд байрлаж байгаа тул:

Өнцгийг зүгээр л протектороор шалгана. Энэ бол зургийн эргэлзээгүй давуу тал юм.

Тиймээс: - тригонометрийн хэлбэрээр хүссэн тоо.

Шалгацгаая:
, үүнийг шалгах ёстой байсан.

Синус ба косинусын үл мэдэгдэх утгыг олоход тохиромжтой тригонометрийн хүснэгт.

Хариулт:

Өөрөө хийх шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 2

Илэрхийлэлийг хялбарчлах , хаана. Үүссэн тоог комплекс хавтгай дээр зурж, экспоненциал хэлбэрээр бич.

Хичээлүүдийг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй. Тэд энгийн мэт санагдаж болох ч бэлтгэл хийхгүйгээр "шүлгэрт орох" нь зүгээр л хялбар биш, гэхдээ маш хялбар байдаг. Тиймээс бид үүнийг гартаа авцгаая.

Ихэнхдээ даалгавар нь зөвшөөрдөг цорын ганц арга замшийдэл:

Жишээ 3

Тооцоолох бол,

Шийдэл: юуны түрүүнд анхны нөхцөл байдалд анхаарлаа хандуулцгаая - нэг тоог алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр, тэр ч байтугай градусаар илэрхийлэгддэг. Үүнийг илүү танил хэлбэрээр нэн даруй дахин бичье: .

Тооцооллыг ямар хэлбэрээр хийх ёстой вэ? Илэрхийлэл нь эхний үржүүлэлтийг багтааж, дараа нь 10-р зэрэглэлд хүргэнэ. Де Мойврын томъёо, энэ нь комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулагдсан болно. Тиймээс эхний тоог хөрвүүлэх нь илүү логик юм. Түүний модуль болон аргументыг ол:

Бид тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг ашигладаг.
хэрэв , тэгвэл

Бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг "мушгих" боломжтой гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. (баяртай.):

Шийдэх хоёр дахь арга 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт хөрвүүлэх явдал юм , үржүүлгийг алгебрийн хэлбэрээр хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлж, Де Мойврын томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар нэг "нэмэлт" үйлдэл. Хүссэн хүмүүс шийдлийг эцэс хүртэл дагаж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай.

Нөхцөл нь үүссэн нийлмэл тооны хэлбэрийн талаар юу ч хэлээгүй тул:

Хариулт:

Гэхдээ "гоо сайхны төлөө" эсвэл хүсэлтээр үр дүнг алгебрийн хэлбэрээр хялбархан илэрхийлж болно.

Өөрөө:

Жишээ 4

Илэрхийлэлийг хялбарчлах

Энд санах хэрэгтэй эрх мэдэл бүхий үйлдлүүд, хэдийгээр нэг ашигтай дүрэмгарын авлагад байхгүй, энд байна: .

Бас нэг чухал тэмдэглэл: жишээг хоёр хэв маягаар шийдэж болно. Эхний сонголт бол хамтран ажиллах явдал юм хоёртоонууд болон бутархайг тэсвэрлэдэг. Хоёр дахь сонголт бол тоо бүрийг маягтаар илэрхийлэх явдал юм хоёр тооны харьцаа: болон дөрвөн давхраас сал. Албан ёсны үүднээс авч үзвэл яаж шийдэх нь хамаагүй, гэхдээ утга учиртай ялгаа бий! Сайн бодож үзээрэй:
цогц тоо;
гэдэг нь хоёр нийлмэл тооны коэффициент ( ба ), гэхдээ контекстээс хамааран нэг нь үүнийг бас хэлж болно: хоёр комплекс тооны категори хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн тоо.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Илэрхийлэл сайн, гэхдээ тэгшитгэл нь илүү сайн:

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд

Тэд "ердийн" тэгшитгэлээс юугаараа ялгаатай вэ? Коэффициент =)

Дээрх тайлбарыг харгалзан энэ жишээнээс эхэлье.

Жишээ 5

тэгшитгэлийг шийд

Мөн халуун эрэл хайгуул дахь шууд оршил: эхэндээ баруун хэсэгтэгшитгэл нь хоёр нийлмэл тооны (ба 13) категори хэлбэрээр байрладаг тул нөхцөлийг тоогоор дахин бичих нь буруу хэлбэр болно. (хэдийгээр энэ нь алдаа гаргахгүй ч гэсэн). Илүү тодорхой энэ ялгаа, дашрамд хэлэхэд, бутархайгаар харагдана - хэрэв харьцангуйгаар хэлбэл, энэ утгыг үндсэндээ гэж ойлгодог. тэгшитгэлийн "бүрэн" цогц язгуур, мөн тооны хуваагч биш, бүр цаашилбал - тооны нэг хэсэг биш!

Шийдэл, зарчмын хувьд, мөн алхам алхмаар зурж болно, гэхдээ дотор Энэ тохиолдолдтоглоом нь лааны үнэ цэнэтэй биш юм. Эхний даалгавар бол үл мэдэгдэх "Z" агуулаагүй бүх зүйлийг хялбарчлах явдал бөгөөд үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Дундаж бутархайг итгэлтэйгээр хялбарчлах:

Бид үр дүнг баруун тал руу шилжүүлж, ялгааг олно.

Анхаарна уу : мөн би дахин нэг чухал зүйлд анхаарлаа хандуулж байна - энд бид тооноос тоог хасаагүй, харин бутархайг нэгтгэн дүгнэв. Ерөнхий хуваарь! Шийдлийн явцад аль хэдийн тоонуудтай ажиллахыг хориглодоггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , гэхдээ авч үзэж буй жишээн дээр ийм хэв маяг нь ашигтай гэхээсээ илүү хор хөнөөлтэй =)

Пропорциональ дүрмийн дагуу бид "z"-ийг илэрхийлнэ.

Одоо та нэмэлт илэрхийлэлээр дахин хувааж, үржүүлж болно, гэхдээ тоологч болон хуваагчийн сэжигтэй төстэй тоонууд санал болгож байна. дараагийн алхам:

Хариулт:

Баталгаажуулах зорилгоор бид олж авсан утгыг орлуулна зүүн таланхны тэгшитгэлийг хийж, хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэнэ:

- анхны тэгшитгэлийн баруун талыг олж авсан тул язгуурыг зөв олно.

…Одоо-одоо…Би чамд илүү сонирхолтой зүйл сонгох болно… хүлээж байгаарай:

Жишээ 6

тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь хэлбэр болж буурдаг тул шугаман байна. Зөвлөмж нь ойлгомжтой гэж би бодож байна - үүнийг хий!

Мэдээжийн хэрэг ... чи түүнгүйгээр яаж амьдрах вэ?

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл

Хичээл дээр Даммигийн нийлмэл тооБодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл нь нэгтгэсэн нийлмэл язгууртай болохыг олж мэдсэн бөгөөд үүний дараа логик асуулт гарч ирдэг: яагаад коэффициентүүд өөрсдөө нарийн төвөгтэй байж болохгүй вэ? Би томъёолох болно ерөнхий тохиолдол:

Дурын хэлбэртэй квадрат тэгшитгэл нарийн төвөгтэй коэффициентүүд (1 эсвэл 2 эсвэл гурвуулаа ялангуяа хүчинтэй байж болно)Байгаа хоёр, зөвхөн хоёрнарийн төвөгтэй үндэс (аль нэг нь эсвэл хоёулаа хүчинтэй байж магадгүй). Үндэс байхад (бодит ба тэгээс өөр төсөөлөлтэй хэсэг)давхцаж болно (олон байж болно).

Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийг ижил аргаар шийддэг "сургуулийн" тэгшитгэлТооцооллын техникийн зарим ялгаанууд:

Жишээ 7

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол

Шийдэл: төсөөллийн нэгж нь эхний байранд байгаа бөгөөд зарчмын хувьд та үүнийг арилгах боломжтой (хоёр талыг нь үржүүлнэ)Гэсэн хэдий ч үүнд онцгой шаардлага байхгүй.

Тохиромжтой болгохын тулд бид коэффициентүүдийг бичнэ:

Бид чөлөөт гишүүний "хасах"-ыг алдахгүй! ... Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой биш байж магадгүй - Би тэгшитгэлийг дахин бичих болно стандарт хэлбэр :

Дискриминантыг тооцоолъё:

Энд гол бэрхшээл байна:

Өргөдөл ерөнхий томъёоүндэс олборлолт (өгүүллийн сүүлийн догол мөрийг үзнэ үү Даммигийн нийлмэл тоо) радикал цогцолбор тооны аргументтай холбоотой ноцтой хүндрэлүүдээр төвөгтэй байдаг (өөрөөсөө харна уу). Гэхдээ өөр нэг "алгебрийн" арга бий! Бид үндэсийг дараах хэлбэрээр хайх болно.

Хоёр талыг квадрат болгоё:

Хоёр нийлмэл тоо нь бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү байна. Тиймээс бид дараах системийг олж авна.

Системийг сонгох замаар шийдвэрлэхэд хялбар байдаг (илүү нарийн арга бол 2-р тэгшитгэлээс илэрхийлэх явдал юм - 1-д орлуулж, биквадрат тэгшитгэлийг олж, шийдвэрлэх). Асуудлын зохиогч нь мангас биш гэж үзвэл бид бүхэл тоо гэж таамаглаж байна. 1-р тэгшитгэлээс "x" гарч ирнэ. модуль"y" -ээс илүү. Нэмж дурдахад эерэг бүтээгдэхүүн нь үл мэдэгдэх зүйл нь ижил тэмдэгтэй гэдгийг бидэнд хэлдэг. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн 2-р тэгшитгэлд анхаарлаа хандуулснаар бид түүнд тохирох бүх хосыг бичнэ.

Мэдээжийн хэрэг, сүүлийн хоёр хос нь системийн 1-р тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул:

Завсрын шалгалт нь гэмтээхгүй.

шалгах ёстой байсан.

"Ажиллах" үндэс болгон та сонгож болно ямар чутга учир. "Сөрөг тал"гүйгээр хувилбарыг авах нь илүү дээр гэдэг нь тодорхой байна.

Дашрамд хэлэхэд бид үндсийг нь олдог, дашрамд хэлэхэд:

Хариулт:

Олдсон язгуурууд тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая :

1) Орлуулах:

зөв тэгш байдал.

2) орлуулах:

зөв тэгш байдал.

Тиймээс шийдэл нь зөв олддог.

Сая хэлэлцсэн асуудлаас санаа авч:

Жишээ 8

Тэгшитгэлийн язгуурыг ол

-ийн квадрат язгуур гэдгийг анхаарна уу цэвэр цогцтоонуудыг төгс гаргаж, ерөнхий томъёог ашиглана , хаана , тиймээс хоёр аргыг жишээнд үзүүлэв. Хоёрдахь ашигтай тайлбар бол тогтмолоос үндсийг урьдчилан гаргаж авах нь шийдлийг огт хялбаршуулдаггүйтэй холбоотой юм.

Одоо та тайвширч болно - энэ жишээнд та бага зэрэг айдастай гарах болно :)

Жишээ 9

Тэгшитгэлийг шийдэж, шалгана уу

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Өгүүллийн эцсийн догол мөрийг үүнд зориулав

комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн систем

Бид тайвширч, ... бид ачаалал өгөхгүй =) Бодоорой хамгийн энгийн тохиолдол- хоёр систем шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй:

Жишээ 10

Тэгшитгэлийн системийг шийд. Хариултыг алгебр болон экспоненциал хэлбэрээр танилцуулж, зурган дээрх үндсийг дүрсэл.

Шийдэл: нөхцөл нь өөрөө систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болохыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл бид хангасан хоёр тоог олох хэрэгтэй. тус бүртсистемийн тэгшитгэл.

Системийг үнэхээр “хүүхдийн” аргаар шийдэж болно (нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлнэ) , гэхдээ ашиглахад хамаагүй илүү тохиромжтой Крамерын томъёо. Тооцоолох гол тодорхойлогчсистемүүд:

, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Яарахгүй, аль болох нарийвчилсан алхамуудыг зааж өгөх нь дээр гэдгийг би давтан хэлье.

Бид тоологч ба хуваагчийг төсөөллийн нэгжээр үржүүлж, 1-р үндсийг авна.

Үүнтэй адилаар:

Харгалзах баруун гар талууд, p.t.p.

Зургийг гүйцэтгье:

Бид үндсийг экспоненциал хэлбэрээр төлөөлдөг. Үүнийг хийхийн тулд та тэдгээрийн модулиуд болон аргументуудыг олох хэрэгтэй.

1) - "хоёр"-ын нуман тангенсыг "муу" гэж тооцсон тул бид үүнийг дараах байдлаар үлдээв.

Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тойм өгүүллийн гол зорилго нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах явдал юм. Тиймээс комплекс тоо нь хэлбэрийн тоо юм z = a + bi, хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. би 2 \u003d -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0болон b ≠ 0, дараа нь тоог цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.

Одоо бид комплекс тоонуудын үйлдлүүдийг танилцуулж байна.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iболон z 2 = a 2 + b 2 i.

Санаж үз z = a + bi.

Комплекс тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг өргөтгөж, энэ нь оновчтой тооны олонлогийг өргөтгөх гэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжин хэлхээг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z нь бүхэл тоо, Q нь рационал, R нь бодит, C нь цогцолбор юм.

Комплекс тоонуудын төлөөлөл

Алгебрийн тэмдэглэгээ.

Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараахь дүрслэлийн зургийг ихэвчлэн ашигладаг

тригонометрийн хэлбэр.

Энэ нь тоо гэдгийг зурагнаас харж болно z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Үүний үр дүнд z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, хэрэв z = rcos(φ) + rsin(φ)i, дараа нь z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Де Мойврын томъёо.

Үзүүлэн харуулах хэлбэр.

Санаж үз z = rcos(φ) + rsin(φ)iнь тригонометрийн хэлбэрийн цогц тоо бөгөөд бид үүнийг өөр хэлбэрээр бичдэг z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос дагалддаг тул бид олж авна шинэ хэлбэрнийлмэл тооны оруулгууд: z = re iφгэж нэрлэдэг харуулах шинж чанартай. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд энэ хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Дээд алгебрийн үндсэн теорем

Бидэнд x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэл байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь тодорхой болсон. Тэгэхээр дээд алгебрийн гол теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэг нийлмэл язгууртай гэж заасан байдаг. Эндээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем нь математикийн маш чухал үр дүн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь нэгдмэл байдлын яг n ялгаатай n зэрэглэлийн үндэс байгаа явдал юм.

Даалгаврын үндсэн төрлүүд

Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаваруудкомплекс тоонууд руу. Уламжлал ёсоор комплекс тоон дээрх бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.

Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдлүүд хийх.
Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн үндсийг олох.
Комплекс тоонуудыг хүчирхэг болгох.
Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
Бусад бодлогуудыг шийдвэрлэхэд нийлмэл тоо хэрэглэх.

Одоо эдгээр асуудлыг шийдэх ерөнхий аргуудыг авч үзье.

Комплекс тоонуудтай хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх нь эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу явагддаг боловч хэрэв нарийн төвөгтэй тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр харуулсан бол энэ тохиолдолд тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.

Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бидэнд квадрат тэгшитгэл байгаа гэж бодъё, хэрвээ түүний ялгаварлагч нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олддог. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал D = -1∙a 2, хаана атодорхой тоо бол бид ялгаварлагчийг хэлбэрээр илэрхийлж болно D = (ia) 2, Үүний үр дүнд √D = i|a|, дараа нь та ашиглаж болно алдартай томъёоквадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд.

Жишээ. Дээрх рүү буцах квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой:

Комплекс тоонуудыг хүч болгон өсгөх нь хэд хэдэн аргаар хийгдэж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөхийг хүсч байвал шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хэрвээ илүү том бол (боодолд ихэвчлэн илүү их байдаг) та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглана уу.

Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
Бид z-г экспоненциал хэлбэрээр бичнэ: z = √2 e iπ/4 .
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.

Комплекс тооноос үндсийг гарган авах нь экспонентацийн урвуу үйлдэл тул ижил төстэй байдлаар хийгддэг. Үндэсийг задлахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх язгуурыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох бөгөөд бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулна: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, иймээс φ = 2πk/3.
Төрөл бүрийн үндсийг φ = 0, 2π/3, 4π/3-д авдаг.
Эндээс 1 , e i2π/3 , e i4π/3 нь үндэс болно.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр:

Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээ энд байна.

Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).

Хэдийгээр энэ асуудлын томъёолол нь нарийн төвөгтэй тоонд хамаарахгүй боловч тэдгээрийн тусламжтайгаар үүнийг хялбархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг.

Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрээр орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийн нийлбэр болгон буурна.

Дүгнэлт

Цогцолбор тоо нь математикт өргөн хэрэглэгддэг тул энэхүү тойм өгүүлэлд комплекс тоон дээрх үндсэн үйлдлүүдийг авч үзсэн бөгөөд хэд хэдэн төрлийн стандарт бодлогыг тайлбарлаж, товч тайлбарласан болно. нийтлэг аргуудТэдний шийдлүүдийн талаар нарийн төвөгтэй тоонуудын боломжуудыг илүү нарийвчлан судлахын тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.