Нарийн төвөгтэй коэффициент бүхий тэгшитгэлийн систем онлайн. Онлайн тэгшитгэл

ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛ

"ВОРОНЕЖИЙН УЛСЫН БАГШИЙН ​​ИХ СУРГУУЛЬ"

АГЛЕБРА, ГЕОМЕТРИЙН САНАЛ

Нарийн төвөгтэй тоо

(сонгосон даалгавар)

ЭЦСИЙН МЭРГЭШЛИЙН АЖИЛ

050201.65 математикийн мэргэжил

(050202.65 мэдээлэл зүйн нэмэлт мэргэжлээр)

Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан

физик, математик

тэнхим

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

ВОРОНЕЖ - 2008 он

1. Танилцуулга……………………………………………………...…………..…

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо ………………….….

2.2. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар ………………

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

2.4. Комплекс тооны онолыг 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэлд ашиглах нь…………………………………………………………………

2.5. Цогцолбор тоо ба параметрүүд…………………………………………

3. Дүгнэлт…………………………………………………..

4. Ашигласан материалын жагсаалт………………………………………………

1. Танилцуулга

Сургуулийн математикийн хичээлийн хөтөлбөрт натурал тоо, бүхэл тоо, рациональ, иррациональ гэх мэт олонлогийн жишээнүүдийг ашиглан тооны онолыг нэвтрүүлсэн. зураг нь бүхэл тооны мөрийг дүүргэх бодит тоонуудын олонлог дээр. Гэхдээ аль хэдийн 8-р ангид сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодит тоонуудын нөөц хангалтгүй байна. Тиймээс бодит тоонуудын нөөцийг квадрат язгуур бүхий цогц тоогоор дүүргэх шаардлагатай байв сөрөг тоогэсэн утгатай.

"Цогцолбор тоо" сэдвийг төгсөлтийн сэдэв болгон сонгосон шаардлага хангасан ажил, нийлмэл тооны тухай ойлголт нь оюутнуудын талаарх мэдлэгийг өргөжүүлдэгт оршино тооллын системүүд, алгебрийн болон геометрийн агуулгын өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх тухай, шийдвэрлэх тухай алгебрийн тэгшитгэлямар ч зэрэг болон параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх тухай.

Энэхүү дипломын ажилд 82 асуудлын шийдлийг авч үзсэн.

"Цогцолбор тоо" үндсэн хэсгийн эхний хэсэг нь асуудлын шийдлүүдийг агуулдаг нийлмэл тооалгебрийн хэлбэрээр нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд, алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоонуудын залгах үйлдлүүд, төсөөллийн нэгжийн зэрэг, цогцолбор тооны модулийг тодорхойлж, задлах дүрмийг мөн зааж өгсөн болно. квадрат язгуурнийлмэл тооноос.

Хоёрдахь хэсэгт нийлмэл хавтгайн цэг эсвэл вектор хэлбэрээр нийлмэл тоог геометрийн тайлбарт зориулсан асуудлуудыг шийддэг.

Гурав дахь хэсэг нь тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын үйлдлүүдийг авч үздэг. Томьёог ашигладаг: Де Мойвр ба цогцолбор тооноос үндэс гаргаж авах.

Дөрөв дэх хэсэг нь 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.

Сүүлийн хэсгийн "Цогцолбор тоо ба параметрүүд"-ийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өмнөх хэсгүүдэд өгсөн мэдээллийг ашиглаж, нэгтгэнэ. Энэ бүлгийн хэд хэдэн бодлого нь параметр бүхий тэгшитгэлээр (тэгш бус байдал) өгөгдсөн цогц хавтгай дахь шугамын бүлгийг тодорхойлоход зориулагдсан болно. Дасгалын нэг хэсэгт та параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (C талбар дээр). Нарийн төвөгтэй хувьсагч нь хэд хэдэн нөхцлийг нэгэн зэрэг хангадаг ажлууд байдаг. Энэ хэсгийн асуудлыг шийдвэрлэх нэг онцлог шинж чанар нь тэдгээрийн олонхыг 2-р зэргийн, иррациональ, тригонометрийн тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэхэд багасгах явдал юм.

Хэсэг бүрийн материалыг танилцуулах онцлог нь анхны оролт юм онолын үндэс, дараа нь асуудлыг шийдвэрлэхэд практик хэрэглээ.

Төгсгөлд нь дипломын ажилашигласан уран зохиолын жагсаалтыг үзүүлэв. Тэдгээрийн ихэнх нь нэлээд дэлгэрэнгүй бөгөөд хүртээмжтэй байдаг. онолын материал, зарим асуудлын шийдлийг авч үзэж, практик даалгавар өгсөн бие даасан шийдэл. Онцгой анхааралБи дараах эх сурвалжуудад хандахыг хүсч байна.

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фиртов В.Е., Серебрякова И.В. Цогцолбор тоо, тэдгээрийн хэрэглээ: Сурах бичиг. . Материал сургалтын гарын авлагалекц, практик дасгал хэлбэрээр танилцуулсан.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Анхан шатны математикийн сонгосон бодлого, теоремууд. Арифметик ба алгебр. Уг номонд алгебр, арифметик, тооны онолтой холбоотой 320 бодлого орсон. Эдгээр даалгаврууд нь мөн чанараараа сургуулийн стандарт даалгавраас эрс ялгаатай байдаг.

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Математик, физикийн олон асуудлын шийдлийг алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл

,

Энд a0 , a1 , …, an нь бодит тоонууд юм. Иймээс алгебрийн тэгшитгэлийн судалгаа нь нэг юм чухал асуудлуудматематикт. Жишээлбэл, сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй. Ийм тэгшитгэлийн хамгийн энгийн нь тэгшитгэл юм

.

Энэ тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх замаар бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх шаардлагатай.

.

Энэ язгуурыг гэж тэмдэглэе

. Тиймээс, тодорхойлолтоор, эсвэл,

Үүний үр дүнд,

. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Түүний тусламжтайгаар болон хос бодит тоонуудын тусламжтайгаар хэлбэрийн илэрхийлэл үүсдэг.

Үүссэн илэрхийлэл нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг агуулж байсан тул цогц тоо гэж нэрлэв.

Тиймээс нийлмэл тоонуудыг хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

, ба нь бодит тоо бөгөөд нөхцөлийг хангасан зарим тэмдэг юм. Тоо нь нийлмэл тооны бодит хэсэг, тоог түүний төсөөллийн хэсэг гэнэ. Тэдгээрийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашигладаг.

Маягтын нийлмэл тоо

Эдгээр нь бодит тоонууд тул цогц тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг агуулдаг.

Маягтын нийлмэл тоо

цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Маягтын хоёр цогц тоо бөгөөд тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, i.e. Хэрэв тэгш байдал, .

Нарийн төвөгтэй тоонуудын алгебрийн тэмдэглэгээ нь тэдгээрийн дагуу үйлдлийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог ердийн дүрэмалгебр.

Онлайн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйлчилгээ нь аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусална. Манай сайтыг ашигласнаар та тэгшитгэлийн хариултыг авахаас гадна харах болно нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг алхам алхмаар харуулах. Манай үйлчилгээ ахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй болно ерөнхий боловсролын сургуулиудболон тэдний эцэг эх. Оюутнууд шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүд хүүхдүүдээрээ математикийн тэгшитгэлийн шийдлийг хянах боломжтой болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар заавал биелүүлэх шаардлагасургуулийн сурагчдад. Энэхүү үйлчилгээ нь математикийн тэгшитгэлийн чиглэлээр бие даан суралцах, мэдлэгээ дээшлүүлэхэд тань туслах болно. Үүний тусламжтайгаар та ямар ч тэгшитгэлийг шийдэж болно: квадрат, куб, иррациональ, тригонометр гэх мэт. онлайн үйлчилгээгэхдээ үнэлж баршгүй, учир нь зөв хариултаас гадна тэгшитгэл бүрийн нарийвчилсан шийдлийг олж авдаг. Тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн ашиг тус. Та манай вэбсайт дээр ямар ч тэгшитгэлийг онлайнаар үнэ төлбөргүй шийдэж болно. Үйлчилгээ нь бүрэн автомат бөгөөд та компьютер дээрээ юу ч суулгах шаардлагагүй, та зөвхөн өгөгдөл оруулахад хангалттай бөгөөд програм нь шийдлийг гаргах болно. Тооцооллын алдаа, бичгийн алдааг оруулахгүй. Бидэнтэй онлайнаар ямар ч тэгшитгэлийг шийдэх нь маш хялбар байдаг тул ямар ч төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд манай сайтыг ашиглахаа мартуузай. Та зөвхөн өгөгдлийг оруулахад хангалттай бөгөөд тооцоолол хэдхэн секундын дотор хийгдэнэ. Хөтөлбөр нь хүний ​​оролцоогүйгээр бие даан ажилладаг бөгөөд та үнэн зөв, дэлгэрэнгүй хариултыг авах болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий үзэл. Ийм тэгшитгэлд хувьсах коэффициентүүд болон хүссэн язгуурууд хоорондоо холбоотой байдаг. Хувьсагчийн хамгийн их чадал нь ийм тэгшитгэлийн дарааллыг тодорхойлдог. Үүний үндсэн дээр тэгшитгэлийг ашиглана янз бүрийн аргашийдлийг олох теоремууд. Тэгшитгэл шийдвэрлэх энэ төрлийнерөнхий утгаараа хүссэн үндсийг нь олох гэсэн үг. Манай үйлчилгээ танд хамгийн төвөгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх боломжийг олгодог. Та өөрийн тодорхойлсон коэффициентүүдийн тоон утгуудын хувьд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон хувийн шийдлийг хоёуланг нь авах боломжтой. Сайт дээр алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зүүн ба баруун гэсэн хоёр талбарыг зөв бөглөхөд хангалттай. өгөгдсөн тэгшитгэл. Хувьсах коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлүүд нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй бөгөөд тодорхой нөхцөлийг тогтоосноор шийдлүүдийн багцаас тодорхой нэгийг нь сонгодог. Квадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэл нь a>0-ийн хувьд ax^2+bx+c=0 хэлбэртэй байна. Квадрат хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 тэгшитгэл хангагдах x-ийн утгыг олохыг хэлнэ. Үүний тулд ялгах утгыг D=b^2-4ac томъёогоор олно. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол тэгшитгэл нь жинхэнэ язгуургүй (язгуурууд нь цогцолбор тоонуудын талбараас авсан), тэг бол тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол тэгшитгэл нь тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй бөгөөд эдгээрийг D \u003d -b + -sqrt / 2a томъёогоор олно. Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн тулд та ийм тэгшитгэлийн коэффициентийг (бүхэл тоо, бутархай эсвэл аравтын бутархай) оруулах хэрэгтэй. Хэрэв тэгшитгэлд хасах тэмдэг байгаа бол та тэгшитгэлийн харгалзах нөхцлүүдийн өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой. Та мөн квадрат тэгшитгэлийг параметр, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициент дэх хувьсагчаас хамааран онлайнаар шийдэж болно. олох манай онлайн үйлчилгээ нийтлэг шийдлүүд. Шугаман тэгшитгэл. Шийдлийн хувьд шугаман тэгшитгэл(эсвэл тэгшитгэлийн систем) дөрвөн үндсэн аргыг практикт ашигладаг. Арга тус бүрийг нарийвчлан тайлбарлая. Орлуулах арга. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг хувьсагчийг бусад хувьсагчаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүний дараа илэрхийлэлийг системийн бусад тэгшитгэлд орлуулна. Тиймээс шийдлийн аргын нэр, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн оронд түүний илэрхийлэл нь бусад хувьсагчидаар солигддог. Практикт энэ арга нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг боловч ойлгоход хялбар байдаг тул ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх нь цаг хугацаа хэмнэж, тооцооллыг хөнгөвчлөх болно. Та зүгээр л тэгшитгэлд үл мэдэгдэх тоог зааж, шугаман тэгшитгэлийн өгөгдлийг бөглөхөд л үйлчилгээ нь тооцооллыг хийх болно. Гауссын арга. Энэ арга нь ижил төстэй гурвалжин системд хүрэхийн тулд системийн хамгийн энгийн хувиргалт дээр суурилдаг. Үүнээс үл мэдэгдэх зүйлүүдийг нэг нэгээр нь тодорхойлдог. Практикт ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх шаардлагатай байдаг Дэлгэрэнгүй тодорхойлолт, үүний ачаар та шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг сайн эзэмших болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийг зөв хэлбэрээр бичиж, системийг зөв шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх тоог харгалзан үзнэ. Крамерын арга. Энэ арга нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Гол нь математик үйлдэлэнд матрицын тодорхойлогчдын тооцоо байна. Крамерын аргаар тэгшитгэлийн шийдлийг онлайнаар гүйцэтгэдэг бөгөөд та үр дүнг бүрэн, нарийвчилсан тайлбартайгаар шууд авах болно. Системийг коэффициентээр дүүргэж, үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоог сонгоход л хангалттай. матрицын арга. Энэ арга нь А матриц дахь үл мэдэгдэх, X баганад үл мэдэгдэх, В баганад чөлөөт гишүүний коэффициентийг цуглуулахаас бүрддэг. Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар багасгасан. матрицын тэгшитгэл AxX=B хэлбэртэй байна. Энэ тэгшитгэл нь А матрицын тодорхойлогч нь тэг биш, эс бөгөөс системд шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байх тохиолдолд л өвөрмөц шийдэлтэй байна. Матрицын аргаар тэгшитгэлийн шийдийг олох явдал юм урвуу матрицГЭХДЭЭ.

Комплекс тоотой асуудлыг шийдэхийн тулд үндсэн тодорхойлолтуудыг ойлгох хэрэгтэй. Энэхүү тойм өгүүллийн гол зорилго нь комплекс тоо гэж юу болохыг тайлбарлаж, комплекс тоотой үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг танилцуулах явдал юм. Тиймээс комплекс тоо нь хэлбэрийн тоо юм z = a + bi, хаана а, б- нийлмэл тооны бодит ба төсөөллийн хэсэг гэж нэрлэгддэг бодит тоонууд. a = Re(z), b=Im(z).
битөсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. би 2 \u003d -1. Ялангуяа аливаа бодит тоог нарийн төвөгтэй гэж үзэж болно: a = a + 0i, хаана нь бодит байна. Хэрэв a = 0болон b ≠ 0, дараа нь тоог цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг.

Одоо бид комплекс тоонуудын үйлдлүүдийг танилцуулж байна.
Хоёр цогц тоог авч үзье z 1 = a 1 + b 1 iболон z 2 = a 2 + b 2 i.

Санаж үз z = a + bi.

Комплекс тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг өргөтгөж, энэ нь оновчтой тооны олонлогийг өргөтгөх гэх мэт. Энэхүү хөрөнгө оруулалтын гинжин хэлхээг дараах зургаас харж болно: N - бүхэл тоо, Z нь бүхэл тоо, Q нь рационал, R нь бодит, C нь цогцолбор юм.

Комплекс тоонуудын төлөөлөл

Алгебрийн тэмдэглэгээ.

Комплекс тоог авч үзье z = a + bi, нийлмэл тоог бичих энэ хэлбэрийг нэрлэдэг алгебрийн. Энэ бичгийн хэлбэрийг бид өмнөх хэсэгт дэлгэрэнгүй авч үзсэн. Дараахь дүрслэлийн зургийг ихэвчлэн ашигладаг

тригонометрийн хэлбэр.

Энэ нь тоо гэдгийг зурагнаас харж болно z = a + biөөрөөр бичиж болно. Энэ нь ойлгомжтой a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Үүний үр дүнд z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) комплекс тооны аргумент гэж нэрлэдэг. Комплекс тооны ийм дүрслэлийг нэрлэдэг тригонометрийн хэлбэр. Тэмдэглэгээний тригонометрийн хэлбэр нь заримдаа маш тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, нийлмэл тоог бүхэл тоо болгон өсгөхөд ашиглах нь тохиромжтой, тухайлбал, хэрэв z = rcos(φ) + rsin(φ)i, дараа нь z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, энэ томъёог гэж нэрлэдэг Де Мойврын томъёо.

Үзүүлэн харуулах хэлбэр.

Санаж үз z = rcos(φ) + rsin(φ)iнь тригонометрийн хэлбэрийн цогц тоо бөгөөд бид үүнийг өөр хэлбэрээр бичдэг z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, сүүлчийн тэгшитгэл нь Эйлерийн томъёоноос дагалддаг тул бид олж авна шинэ хэлбэрнийлмэл тооны оруулгууд: z = re iφгэж нэрлэдэг харуулах шинж чанартай. Тэмдэглэгээний энэ хэлбэр нь нийлмэл тоог том болгоход маш тохиромжтой. z n = r n e inφ, энд nзаавал бүхэл тоо биш, харин дурын бодит тоо байж болно. Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд энэ хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Дээд алгебрийн үндсэн теорем

Бидэнд x 2 + x + 1 = 0 квадрат тэгшитгэл байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэлийн дискриминант нь сөрөг бөгөөд бодит үндэсгүй боловч энэ тэгшитгэл нь хоёр өөр нийлмэл язгууртай болох нь тодорхой болсон. Тэгэхээр дээд алгебрийн гол теорем нь n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт дор хаяж нэг нийлмэл язгууртай гэж заасан байдаг. Эндээс үзэхэд n зэрэгтэй аливаа олон гишүүнт олон талт байдлыг харгалзан үзвэл яг n нийлмэл язгууртай байна. Энэ теорем нь математикийн маш чухал үр дүн бөгөөд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ теоремын энгийн үр дүн нь нэгдмэл байдлын яг n ялгаатай n зэрэглэлийн үндэс байгаа явдал юм.

Даалгаврын үндсэн төрлүүд

Энэ хэсэгт үндсэн төрлүүдийг авч үзэх болно энгийн даалгаваруудкомплекс тоонууд руу. Уламжлал ёсоор комплекс тоон дээрх бодлогуудыг дараах ангилалд хувааж болно.

• Комплекс тоон дээр энгийн арифметик үйлдлүүд хийх.
• Комплекс тоон дахь олон гишүүнтийн үндсийг олох.
• Комплекс тоонуудыг хүчирхэг болгох.
• Комплекс тооноос үндэс гаргаж авах.
• Бусад бодлогуудыг шийдвэрлэхэд нийлмэл тоо хэрэглэх.

Одоо эдгээр асуудлыг шийдэх ерөнхий аргуудыг авч үзье.

Комплекс тоонуудтай хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх нь эхний хэсэгт тайлбарласан дүрмийн дагуу явагддаг боловч хэрэв нарийн төвөгтэй тоонуудыг тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр харуулсан бол энэ тохиолдолд тэдгээрийг алгебрийн хэлбэрт шилжүүлж, мэдэгдэж буй дүрмийн дагуу үйлдлүүдийг хийж болно.

Олон гишүүнтийн үндсийг олох нь ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хүргэдэг. Бидэнд квадрат тэгшитгэл байгаа гэж бодъё, хэрвээ түүний ялгаварлагч нь сөрөг биш бол түүний үндэс нь бодит байх бөгөөд сайн мэддэг томьёоны дагуу олддог. Хэрэв ялгаварлагч сөрөг байвал D = -1∙a 2, хаана атодорхой тоо бол бид ялгаварлагчийг хэлбэрээр илэрхийлж болно D = (ia) 2, Үүний үр дүнд √D = i|a|, дараа нь та ашиглаж болно алдартай томъёоквадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд.

Жишээ. Дээрх рүү буцах квадрат тэгшитгэл x 2 + x + 1 = 0.
Ялгаварлан гадуурхагч - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Одоо бид үндсийг нь хялбархан олох боломжтой:

Комплекс тоонуудыг хүч болгон өсгөх нь хэд хэдэн аргаар хийгдэж болно. Хэрэв та алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог бага зэрэгт (2 эсвэл 3) өсгөхийг хүсч байвал шууд үржүүлэх замаар хийж болно, гэхдээ хэрвээ илүү том бол (боодолд ихэвчлэн илүү их байдаг) та үүнийг хийх хэрэгтэй. Энэ тоог тригонометр эсвэл экспоненциал хэлбэрээр бичиж, аль хэдийн мэддэг аргуудыг ашиглана уу.

Жишээ. z = 1 + i гэж үзээд арав дахь зэрэглэлд хүргэнэ.
Бид z-г экспоненциал хэлбэрээр бичнэ: z = √2 e iπ/4 .
Дараа нь z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Алгебрийн хэлбэр рүү буцъя: z 10 = -32i.

Комплекс тооноос үндсийг гарган авах нь экспонентацийн урвуу үйлдэл тул ижил төстэй байдлаар хийгддэг. Үндэсийг задлахын тулд тоог бичих экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Жишээ. Нэгдлийн 3-р зэргийн бүх язгуурыг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид z 3 = 1 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох бөгөөд бид язгуурыг экспоненциал хэлбэрээр хайх болно.
Тэгшитгэлд орлуулна: r 3 e 3iφ = 1 эсвэл r 3 e 3iφ = e 0 .
Эндээс: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, иймээс φ = 2πk/3.
Төрөл бүрийн үндсийг φ = 0, 2π/3, 4π/3-д авдаг.
Эндээс 1 , e i2π/3 , e i4π/3 нь үндэс болно.
Эсвэл алгебрийн хэлбэрээр:

Сүүлчийн төрлийн асуудал нь маш олон төрлийн асуудлуудыг багтаасан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй. Ийм даалгаврын энгийн жишээ энд байна.

Хэмжээг нь ол нүгэл(x) + нүгэл(2х) + нүгэл(2х) + ... + нүгэл(nx).

Хэдийгээр энэ асуудлын томъёолол нь нарийн төвөгтэй тоонд хамаарахгүй боловч тэдгээрийн тусламжтайгаар үүнийг хялбархан шийдэж болно. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дараахь дүрслэлийг ашигладаг.


Хэрэв бид одоо энэ дүрслэлийг нийлбэрээр орлуулах юм бол асуудал ердийн геометрийн прогрессийн нийлбэр болгон буурна.

Дүгнэлт

Цогцолбор тоо нь математикт өргөн хэрэглэгддэг тул энэхүү тойм өгүүлэлд комплекс тоон дээрх үндсэн үйлдлүүдийг авч үзсэн бөгөөд хэд хэдэн төрлийн стандарт бодлогыг тайлбарлаж, товч тайлбарласан болно. нийтлэг аргуудТэдний шийдлүүдийн талаар нарийн төвөгтэй тоонуудын боломжуудыг илүү нарийвчлан судлахын тулд тусгай ном зохиол ашиглахыг зөвлөж байна.

Уран зохиол

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Тэгшитгэлийг хүн төрөлхтөн эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.

Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] тооцоолно

Юуны өмнө, нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэдгийг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчлах шаардлагатай ба дараагийн төрөл

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёоны дагуу 10-р зэрэглэлд үржүүлж, өсгөдөг. Энэ томьёог комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулж томъёолсон. Бид авах:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг баримталснаар бид дараахь зүйлийг хийх болно.

Манай тохиолдолд:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг \[(8\pi рад.):\ "мушгих" боломжтой гэж дүгнэж байна. ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлж, Moivre томъёог ашиглана:

Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https: // сайт дээр тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зөвхөн шийдвэрлэгч рүү өөрийн өгөгдлийг оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай Вконтакте групп http://vk.com/pocketteacher дээрээс асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.