Нэг жигд тархалтын магадлалын нягтын график. Математик, мэдээлэл зүй. Хичээлийн туршид суралцах гарын авлага

Энэ тохиолдолд (5.7)-ын дагуу хуваарилах функц нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана: м - хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, s - дундаж стандарт хэлбэлзэл.

Ердийн тархалтыг Германы математикч Гауссын нэрээр Гаусс гэж нэрлэдэг. Баримт гэж санамсаргүй утгаБайгаа хэвийн тархалтпараметртэй: m,, дараах байдлаар тэмдэглэнэ: N (m, s), Үүнд: m =a =M ;

Ихэнхдээ томъёонд математикийн хүлээлтийг тэмдэглэдэг а . Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн N(0,1) хуулийн дагуу тархсан бол түүнийг нормчлогдсон буюу стандартчилагдсан хэвийн утга гэнэ. Түүний хуваарилах функц нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Нормаль муруй буюу Гауссын муруй гэж нэрлэгддэг хэвийн тархалтын нягтын графикийг 5.4-р зурагт үзүүлэв.

Цагаан будаа. 5.4. Хэвийн тархалтын нягт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг нягтралаар нь тодорхойлохыг жишээн дээр авч үзсэн.

Жишээ 6.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягтаар тодорхойлно. .

Тархалтын төрлийг тодорхойлж, математикийн хүлээлт M(X) ба дисперс D(X)-ийг ол.

Өгөгдсөн тархалтын нягтыг (5.16)-тай харьцуулж үзвэл m =4-тэй хэвийн тархалтын хууль өгөгдсөн гэж дүгнэж болно. Иймд математикийн хүлээлт M(X)=4, дисперс D(X)=9.

Стандарт хазайлт s=3.

Лаплас функц нь дараах хэлбэртэй байна.

,

нь хэвийн тархалтын функцтэй (5.17) хамааралтай, дараах харьцаагаар:

F 0 (x) \u003d F (x) + 0.5.

Лаплас функц нь хачирхалтай.

Ф(-x)=-Ф(x).

Лапласын Ф(х) функцын утгуудыг х-ийн утгын дагуу хүснэгтээс авна уу (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн тархалт тоглодог чухал үүрэгмагадлалын онол болон бодит байдлын тодорхойлолтод маш их байдаг өргөн хэрэглээбайгалийн санамсаргүй үйл явдалд. Практикт олон тооны санамсаргүй нэр томъёоны нийлбэрийн үр дүнд яг тодорхой үүсдэг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд ихэвчлэн байдаг. Ялангуяа хэмжилтийн алдааны дүн шинжилгээ нь нийлбэр болохыг харуулж байна өөр төрлийналдаа. Дадлагаас харахад хэмжилтийн алдааны магадлалын тархалт нь ердийн хуультай ойролцоо байна.

Лаплас функцийг ашигласнаар өгөгдсөн интервалд унах магадлал ба ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний өгөгдсөн хазайлтыг тооцоолох асуудлыг шийдэж болно.

Үүний тусламжтайгаар олон бодит үйл явцыг загварчлах болно. Мөн хамгийн түгээмэл жишээ бол хөдөлгөөний хуваарь юм. нийтийн тээвэр. Автобус байна гэж бодъё (троллейбус / трамвай) 10 минутын зайтай алхаж, санамсаргүй үед та зогсох болно. Гэж юу вэ магадлалавтобус 1 минутын дотор ирэх үү? Мэдээжийн хэрэг 1/10. Мөн та 4-5 минут хүлээх магадлал өндөр байна уу? Бас . Автобус 9 минутаас дээш хүлээх магадлал хэд вэ? Аравны нэг!

Заримыг нь авч үзье хязгаарлагдмалинтервал, тодорхой болгохын тулд энэ нь сегмент байх болно. Хэрвээ санамсаргүй утгабайна байнгын магадлалын нягтөгөгдсөн сегмент болон түүний гаднах тэг нягтрал дээр бид үүнийг тархсан гэж хэлдэг жигд. Энэ тохиолдолд нягтын функцийг хатуу тодорхойлно.

Үнэн хэрэгтээ, хэрвээ сегментийн урт (зураг харна уу), тэгвэл тэгш өнцөгтийн нэгж талбайг авахын тулд утга нь зайлшгүй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь ажиглагдсан. мэдэгдэж байгаа өмч:


Үүнийг албан ёсоор шалгацгаая:
, h.t.p. Магадлалын үүднээс авч үзвэл энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэсэн үг юм найдвартайсегментийн үнэ цэнийн аль нэгийг авах болно ..., аа, би аажмаар уйтгартай өвгөн болж байна =)

Нэгдмэл байдлын мөн чанар нь ямар ч дотоод цоорхойтой байх явдал юм тогтмол уртбид авч үзээгүй ("автобус" минутыг санаарай)- санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ интервалаас утгыг авах магадлал ижил байна. Зурган дээр би ийм гурван магадлалыг сүүдэрлэсэн - би үүнийг дахин нэг удаа анхаарч байна тэдгээр нь бүс нутгаар тодорхойлогддог, функцийн утгууд биш!

Ердийн ажлыг авч үзье:

Жишээ 1

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түүний тархалтын нягтаар тодорхойлно.

Тогтмолыг олж, тархалтын функцийг тооцоолж, зохио. График бүтээх. Хай

Өөрөөр хэлбэл таны мөрөөдөж болох бүх зүйл :)

Шийдэл: интервалаас хойш (терминал интервал) , дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна жигд хуваарилалт, мөн "ce"-ийн утгыг шууд томъёогоор олж болно . Гэхдээ илүү дээр ерөнхий байдлаар- эд хөрөнгийг ашиглах:

... яагаад илүү дээр вэ? Дахиж асуулт байхгүй ;)

Тиймээс нягтын функц нь:

Заавал хийцгээе. Үнэ цэнэ боломжгүй , тиймээс тод цэгүүдийг доод талд байрлуулсан:


Хурдан шалгахын тулд тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолъё.
, h.t.p.

Олъё хүлээгдэж буй үнэ цэнэ, мөн, магадгүй, та аль хэдийн энэ нь тэнцүү байна гэж таамаглаж байна. "10 минутын" автобусыг эргэн сана: хэрэв санамсаргүй байдлааролон, олон хоног зогсоод ир, тэгвэл намайг авраач дундажТа 5 минут хүлээх хэрэгтэй.

Тийм ээ, энэ нь зөв - хүлээлт нь "үйл явдал" интервалын яг дунд байх ёстой:
, хүссэнээр.

Бид тархалтыг тооцоолно томъёо . Энд интегралыг тооцоолохдоо нүд, нүд хэрэгтэй:

Энэ замаар, тархалт:

Зохиоцгооё түгээлтийн функц . Энд шинэ зүйл алга:

1) хэрэв , дараа нь ба ;

2) хэрэв , дараа нь ба:

3) ба эцэст нь, at , ийм учраас:

Үр дүнд нь:

Зургийг гүйцэтгье:


"Амьд" интервал дээр түгээлтийн функц ургадаг шугаман байдлаар, мөн энэ нь бид жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй байгаагийн бас нэг шинж тэмдэг юм. Эцсийн эцэст, одоо ч гэсэн дериватив шугаман функц- тогтмол байна.

Шаардлагатай магадлалыг олсон тархалтын функцийг ашиглан хоёр аргаар тооцоолж болно.

эсвэл тусламжтайгаар тодорхой интегралнягтралаас:

Хэн дуртай нь.

Энд та бас бичиж болно хариулах: ,
, графикийг уусмалын дагуу барьсан.

... "энэ нь боломжтой", учир нь тэд ихэвчлэн байхгүй бол шийтгэдэггүй. Ихэвчлэн ;)

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тооцоолох, тооцоолох тусгай томъёо байдаг бөгөөд би үүнийг өөрөө гаргаж авахыг санал болгож байна.

Жишээ 2

Нягтаар тодорхойлогддог тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн .

Математикийн хүлээлт ба дисперсийг тооцоол. Үр дүнг хялбарчлах (үржүүлэх товчилсон томъёотуслах).

Баталгаажуулахын тулд олж авсан томъёог ашиглах нь тохиромжтой, ялангуяа "a" ба "b"-ийн тодорхой утгыг орлуулах замаар саяхан шийдсэн асуудлаа шалгана уу. Хуудасны доод талд товч шийдэл.

Хичээлийн төгсгөлд бид хэд хэдэн "текст" даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно.

Жишээ 3

Хуваалтын утгыг хуваах хэмжих хэрэгсэл 0.2-тай тэнцүү. Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Бөөрөнхийлөх алдаанууд жигд тархсан гэж үзвэл дараагийн хэмжилтийн үед 0.04-ээс хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Илүү сайн ойлгохын тулд шийдлүүдЗарим юм шиг дүр эсгэе механик төхөөрөмжсумтай, жишээлбэл, 0.2 кг-ийн хуваагдал бүхий жинлүүр, бид муурыг уутанд жинлэх ёстой. Гэхдээ түүний тарган байдлыг олж мэдэхийн тулд биш - одоо сум нь зэргэлдээх хоёр хэлтсийн хооронд хаана зогсох нь чухал байх болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - зайсум унтарна хамгийн ойрзүүн хэлтэс. Эсвэл хамгийн ойрын баруун талаас, энэ нь хамаагүй.

Магадлалын нягтын функцийг зохиоё.

1) Зай нь сөрөг байж болохгүй тул интервал дээр . Логикийн хувьд.

2) Энэ нь жингийн сумтай байх нөхцөлөөс хамаарна адил магадлалтайхуваагдлын хооронд хаана ч зогсох боломжтой * , үүнд хуваалтууд өөрсдөө, тиймээс интервал дээр:

* тэр зайлшгүй нөхцөл. Тиймээс, жишээлбэл, хөвөн ноос эсвэл килограмм боодол давсыг жинлэх үед жигд байдал нь илүү нарийн интервалаар ажиглагдах болно.

3) ХАМГИЙН ОДОО зүүн хуваагдал хүртэлх зай 0.2-оос их байж болохгүй тул for нь мөн тэг болно.

Энэ замаар:

Нягтын функцийн талаар хэн ч биднээс асуугаагүй бөгөөд би түүний бүрэн бүтцийг зөвхөн танин мэдэхүйн хэлхээнд өгсөн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. At дуусгахдаалгавар бол зөвхөн 2-р догол мөрийг бичихэд хангалттай.

Одоо асуудлын асуултанд хариулъя. Хамгийн ойрын хуваагдал руу дугуйлах алдаа хэзээ 0.04-ээс хэтрэхгүй вэ? Энэ нь сум зүүн хэсгээс 0.04-ээс цаашгүй зогсох үед тохиолдох болно баруун талд эсвэлбаруун хуваалтаас 0.04-ээс хэтрэхгүй зүүн. Зурган дээр би тохирох хэсгүүдийг сүүдэрлэсэн.

Эдгээр газруудыг олоход л үлдэж байна интегралын тусламжтайгаар. Зарчмын хувьд тэдгээрийг "сургуулийн аргаар" (тэгш өнцөгтийн талбай гэх мэт) тооцоолж болно, гэхдээ энгийн байдал нь үргэлж ойлгодоггүй;)

By үл нийцэх үйл явдлын магадлалын нэмэх теорем:

- дугуйрсан алдаа 0.04-ээс хэтрэхгүй байх магадлал (бидний жишээнд 40 грамм)

Хамгийн дээд тал нь гэдгийг харахад хялбар байдаг болзошгүй алдаадугуйлах нь 0.1 (100 грамм) тул бөөрөнхийлөх алдаа 0.1-ээс хэтрэхгүй байх магадлалнэгтэй тэнцүү байна.

Хариулах: 0,4

Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ даалгаврын өөр тайлбар / загвар байдаг бөгөөд би хамгийн ойлгомжтой мэт санагдсан сонголтыг сонгосон. Онцгой анхаарал Энэ тохиолдолд бид бөөрөнхийллийн бус алдааны тухай ярьж болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй Санамсаргүйхэмжилтийн алдаанууд нь ихэвчлэн байдаг (гэхдээ үргэлж биш), тараасан ердийн хууль. Энэ замаар, Ганцхан үг таны бодлыг өөрчилж чадна!Сонор сэрэмжтэй байж, утгыг нь ойлгоорой.

Бүх зүйл тойрог хэлбэрээр ормогц бидний хөл биднийг нэг автобусны буудал руу авчирдаг.

Жишээ 4

Тодорхой чиглэлийн автобуснууд хуваарийн дагуу, 7 минутын зайтай явдаг. Санамсаргүй хувьсагчийн нягтын функцийг зохио - автобусны зогсоол руу санамсаргүй байдлаар ойртсон зорчигчийн дараагийн автобусыг хүлээх хугацаа. Тэр гурван минутаас илүүгүй автобус хүлээх магадлалыг ол. Түгээлтийн функцийг олж, утгыг нь тайлбарла.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний жишээ болгон (a; b) интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийг авч үзье. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X гэж хэлдэг жигд тархсан (a; b) интервал дээр, хэрэв түүний тархалтын нягт нь энэ интервалд тогтмол биш байвал:

Нормчиллын нөхцлөөс бид тогтмол c утгыг тодорхойлно. Тархалтын нягтын муруйн доорх талбай нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, гэхдээ бидний тохиолдолд энэ нь суурь (b - α) ба өндөр c (Зураг 1) бүхий тэгш өнцөгтийн талбай юм.

Цагаан будаа. 1 Нэг жигд тархалтын нягт
Эндээс бид c тогтмолын утгыг олно:

Тэгэхээр жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нягт нь тэнцүү байна

Одоо хуваарилалтын функцийг томъёогоор олъё.
1) төлөө
2) төлөө
3) 0+1+0=1-ийн хувьд.
Энэ замаар,

Түгээлтийн функц нь тасралтгүй бөгөөд буурахгүй (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2 Нэг жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц

Олъё жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттомъёоны дагуу:

Нэг төрлийн тархалтын дисперстомъёогоор тооцож, тэнцүү байна

Жишээ №1. Хэмжих хэрэгслийн хуваарийн хуваалтын утга нь 0.2 . Багажны заалтыг хамгийн ойрын бүхэл хэсэг болгон дугуйрсан. Унших явцад алдаа гарах магадлалыг ол: a) 0.04-ээс бага; б) том 0.02
Шийдэл. Бөөрөнхийллийн алдаа нь зэргэлдээх бүхэл тоон хуваагдлын хоорондох интервалд жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. (0; 0.2) интервалыг ийм хуваагдал гэж үзье (зураг a). Бөөрөнхийлөлтийг зүүн хил рүү - 0, баруун тийш - 0.2 хоёуланг нь хийж болно, энэ нь 0.04-ээс бага буюу тэнцүү алдааг хоёр удаа гаргаж болно гэсэн үг бөгөөд энэ нь магадлалыг тооцоолохдоо анхаарах ёстой.



P = 0.2 + 0.2 = 0.4

Хоёрдахь тохиолдолд алдааны утга нь хуваагдлын хил дээр 0.02-оос хэтэрч болно, өөрөөр хэлбэл 0.02-оос их эсвэл 0.18-аас бага байж болно.


Дараа нь иймэрхүү алдаа гарах магадлал:

Жишээ №2. Улс орны эдийн засгийн байдал тогтвортой байна гэж таамаглаж байсан (дайн байхгүй, байгалийн гамшиггэх мэт) сүүлийн 50 жилийн хугацаанд хүн амын насаар тархалтын шинж чанараар дүгнэж болно: тайван орчинд байх ёстой. дүрэмт хувцас. Судалгааны үр дүнд аль нэг улсын хувьд дараах мэдээллийг олж авсан.

Улс оронд тогтворгүй нөхцөл байдал үүссэн гэж үзэх үндэслэл байна уу?

Бид тооцоологч Таамаглалын тест ашиглан шийдвэр гаргадаг. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.

Бүлгүүд	Дунд завсар, x i	Тоо хэмжээ, fi	x i * f i	Хуримтлагдсан давтамж, С	|x - x cf |*f	(x - x sr) 2 *f	Давтамж, f i / n
0 - 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 - 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 - 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 - 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 - 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 - 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 - 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 - 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
		1	43		20.56	572	1

Түгээх төвийн хэмжигдэхүүн.
жигнэсэн дундаж


Өөрчлөлтийн үзүүлэлтүүд.
Үнэмлэхүй өөрчлөлтийн хувь хэмжээ.
Өөрчлөлтийн хүрээ нь үндсэн цувралын шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүү юм.
R = X max - X min
R=70 - 0=70
Тархалт- түүний дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх).


Стандарт хэлбэлзэл.

Цувралын утга тус бүр нь 43-ын дундаж утгаас 23.92-оос ихгүй ялгаатай байна
Түгээлтийн төрлийн талаархи таамаглалыг шалгах.
4. тухай таамаглалыг шалгах жигд хуваарилалтнийт хүн ам.
Х-ийн жигд тархалтын талаарх таамаглалыг шалгахын тулд, i.e. хуулийн дагуу: f(x) = 1/(b-a) (a,b) интервалд.
шаардлагатай:
1. Томъёоны дагуу a ба b параметрүүдийг тооцоолно - X-ийн боломжит утгууд ажиглагдсан интервалын төгсгөлүүд (* тэмдэг нь параметрийн тооцоог илэрхийлнэ):

2. f(x) = 1/(b * - a *) тооцоолсон тархалтын магадлалын нягтыг ол.
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо k = s-3, энд s нь анхны түүвэрлэлтийн интервалын тоо гэж үзэн Пирсон тестийг ашиглан эмпирик болон онолын давтамжийг харьцуулна уу; хэрвээ жижиг давтамжуудын хослол, улмаар интервалууд өөрсдөө хийгдсэн бол s нь хослолын дараа үлдсэн интервалуудын тоо юм.

Шийдэл:
1. Нэг төрлийн тархалтын a * ба b * параметрүүдийн тооцоог томъёогоор ол.


2. Таамагласан жигд тархалтын нягтыг ол:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Онолын давтамжийг ол:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0.0121 (10-1.58) \u003d 0.1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0.0121 (84.42-70) \u003d 0.17
Үлдсэн n нь тэнцүү байна:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

би	n i	n*i	n i - n * i	(n i - n* i) 2	(n i - n * i) 2 / n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6Д-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Нийт	1				0.0532

Чухал бүсийн хил хязгаарыг тодорхойлъё. Пирсоны статистик нь эмпирик ба онолын тархалтын ялгааг хэмждэг тул түүний ажигласан K obs утга их байх тусам үндсэн таамаглалын эсрэг аргумент илүү хүчтэй болно.
Тиймээс энэ статистикийн чухал бүс нь үргэлж баруун гартай байдаг :)