Гауссын аргыг ашиглан матрицын ерөнхий шийдлийг хэрхэн олох вэ. Гауссын арга (үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан хасах). Даммигийн шийдлүүдийн жишээ

Системийг шийдэх хамгийн энгийн аргуудын нэг шугаман тэгшитгэлтодорхойлогчдын тооцоонд суурилсан техник юм ( Крамерын дүрэм). Үүний давуу тал нь шийдлийг нэн даруй бүртгэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь системийн коэффициентүүд нь тоо биш, харин зарим төрлийн параметрүүд байдаг тохиолдолд ялангуяа тохиромжтой байдаг. Үүний сул тал бол тухайн хэргийн тооцооллын төвөгтэй байдал юм их тоотэгшитгэл, үүнээс гадна Крамерын дүрэм нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй системд шууд хамаарахгүй. Ийм тохиолдолд үүнийг ихэвчлэн ашигладаг Гауссын арга.

Ижил шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн системийг нэрлэдэг тэнцүү. Шийдлийн багц гэдэг нь ойлгомжтой шугаман системХэрэв ямар нэгэн тэгшитгэл солигдсон эсвэл нэг тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлсэн эсвэл нэг тэгшитгэлийг нөгөөд нэмбэл өөрчлөгдөхгүй.

Гауссын арга (үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга) нь энгийн хувиргалтуудын тусламжтайгаар системийг ижил төстэй шаталсан систем болгон бууруулж байгаа явдал юм. Нэгдүгээрт, 1-р тэгшитгэлийн тусламжтайгаар, xСистемийн дараагийн бүх тэгшитгэлийн 1. Дараа нь 2-р тэгшитгэлийг ашиглан бид хасна x 3 дахь болон дараагийн бүх тэгшитгэлийн 2. Энэ процесс гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга, сүүлчийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн нэг үл мэдэгдэх зүйл үлдэх хүртэл үргэлжилнэ x n. Үүний дараа үүнийг хийдэг Гауссын урвуу- сүүлчийн тэгшитгэлийг шийдэж, бид олдог x n; Үүний дараа энэ утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид тооцоолно x n-1 гэх мэт. Хамгийн сүүлд бид олдог xЭхний тэгшитгэлээс 1.

Гауссын хувиргалтыг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар бус харин тэдгээрийн коэффициентийн матрицаар хувиргах замаар хийх нь тохиромжтой. Матрицыг авч үзье:

дуудсан сунгасан системийн матриц, Учир нь энэ нь системийн үндсэн матрицаас гадна чөлөөт гишүүдийн баганыг агуулдаг. Гауссын арга нь системийн үндсэн матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулахад суурилдаг (эсвэл трапец хэлбэртэйквадрат бус системийн хувьд) системийн өргөтгөсөн матрицын элементар эгнээний хувиргалтын (!) тусламжтайгаар.

Жишээ 5.1.Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд.

Шийдэл. Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичээд эхний мөрийг ашигласны дараа үлдсэн элементүүдийг тэг болгоё.

Бид эхний баганын 2, 3, 4-р мөрөнд тэгийг авна.

Одоо бид тэгтэй тэнцүү байхын тулд 2-р эгнээний доорх хоёр дахь баганад байгаа бүх элементүүд хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та хоёр дахь мөрийг -4/7-оор үржүүлж, 3-р мөрөнд нэмж болно. Гэсэн хэдий ч, бутархайтай харьцахгүйн тулд бид хоёр дахь баганын 2-р эгнээнд нэгж үүсгэх бөгөөд зөвхөн

Одоо гурвалжин матрицыг авахын тулд та 3-р баганын дөрөв дэх эгнээний элементийг тэглэх хэрэгтэй бөгөөд үүний тулд та гурав дахь мөрийг 8/54-ээр үржүүлж, дөрөв дэх эгнээнд нэмж болно. Гэсэн хэдий ч бутархайтай харьцахгүйн тулд бид 3, 4-р мөр, 3, 4-р баганыг сольж, зөвхөн дараа нь заасан элементийг дахин тохируулах болно. Багануудыг дахин байрлуулах үед харгалзах хувьсагчид солигдох бөгөөд үүнийг санах хэрэгтэй гэдгийг анхаарна уу; багана бүхий бусад энгийн хувиргалтыг (тоогоор нэмэх, үржүүлэх) хийх боломжгүй!

Сүүлийн хялбаршуулсан матриц нь анхныхтай тэнцэх тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна.

Эндээс Гауссын аргын урвуу чиглэлийг ашиглан дөрөв дэх тэгшитгэлээс олно x 3 = -1; гурав дахь нь x 4 = -2, хоёр дахь нь x 2 = 2 ба эхний тэгшитгэлээс x 1 = 1. Матриц хэлбэрээр хариултыг дараах байдлаар бичнэ

Систем нь тодорхой байх үед бид тохиолдлыг авч үзсэн, i.e. ганцхан шийдэл байхад. Хэрэв систем тогтворгүй эсвэл тодорхойгүй байвал юу болохыг харцгаая.

Жишээ 5.2.Гауссын аргыг ашиглан системийг судлах:

Шийдэл. Бид системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичиж, хувиргадаг

Бид хялбаршуулсан тэгшитгэлийн системийг бичнэ.

Энд, сүүлчийн тэгшитгэлд 0 = 4, өөрөөр хэлбэл. зөрчилдөөн. Тиймээс системд ямар ч шийдэл байхгүй, i.e. тэр бол нийцэхгүй. à

Жишээ 5.3.Гауссын аргыг ашиглан системийг судалж, шийднэ үү.

Шийдэл. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, хувиргадаг.

Өөрчлөлтийн үр дүнд сүүлийн мөрөнд зөвхөн тэгийг авсан. Энэ нь тэгшитгэлийн тоо нэгээр буурсан гэсэн үг юм.

Тиймээс хялбаршуулсаны дараа хоёр тэгшитгэл үлдэж, дөрвөн үл мэдэгдэх, i.e. хоёр үл мэдэгдэх "нэмэлт". "Илүү их" байг, эсвэл тэдний хэлснээр чөлөөт хувьсагч, болно x 3 ба xдөрөв. Дараа нь

Таамаглаж байна x 3 = 2аболон x 4 = б, бид авдаг x 2 = 1–аболон x 1 = 2б–а; эсвэл матриц хэлбэрээр

Ийм байдлаар бичсэн шийдлийг дуудна ерөнхий, оноос хойш, параметрүүдийг өгснөөр аболон б янз бүрийн утгатай, та бүх зүйлийг дүрсэлж болно боломжит шийдлүүдсистемүүд. а

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.-аас системийн шийдлийг олох хэрэгтэй гэж бодъё nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх хувьсагчид
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрддэг: нэгдүгээрт, x 1системийн бүх тэгшитгэлээс, хоёрдугаарт, дараа нь x2Сүүлийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх хувьсагч үлдэх хүртэл гурав дахь гэх мэт бүх тэгшитгэлээс x n. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах ийм үйл явц гэж нэрлэгддэг. шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш хөдөлж дууссаны дараа бид сүүлчийн тэгшитгэлээс олно x n, эцсийн өмнөх тэгшитгэлийн энэ утгыг ашиглан тооцоолно xn-1, гэх мэт эхний тэгшитгэлээс олддог x 1. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. урвуу Гауссын арга.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчийг арилгах x 1системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт эхлэн. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийн тэгшитгэлийг нэмж, гурав дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийг нэмэх гэх мэт. n-th-ээр үржүүлсэн эхний тэгшитгэлийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а .

Хэрэв бид илэрхийлсэн бол ижил үр дүнд хүрэх болно x 1системийн эхний тэгшитгэлийн бусад үл мэдэгдэх хувьсагчаар дамжуулан үр дүнгийн илэрхийлэл нь бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан. Тиймээс хувьсагч x 1хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасагдсан.

Дараа нь бид ижил төстэй үйлдэл хийдэг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үүссэн системийн нэг хэсэгтэй л ажиллана

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмж, дөрөв дэх тэгшитгэлд хоёр дахь үржвэрийг нэмэх гэх мэтийг нэмнэ. n-th-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а . Тиймээс хувьсагч x2Гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлнэ x 3, бид зурагт тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийдэг

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд чиглэлийг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ: бид тооцоолно x nСүүлийн тэгшитгэлээс авсан утгыг ашиглан x nолох xn-1эцсийн өмнөх тэгшитгэл гэх мэтээс бид олдог x 1эхний тэгшитгэлээс.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх Гауссын арга.

Энэ өгүүлэлд энэ аргыг шугаман тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх арга гэж үздэг. Энэ арга нь аналитик, өөрөөр хэлбэл шийдлийн алгоритмыг бичих боломжийг танд олгоно ерөнхий үзэл, дараа нь тодорхой жишээнүүдийн утгыг орлуулна уу. Матрицын арга эсвэл Крамерын томъёоноос ялгаатай нь Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ та хязгааргүй олон шийдлүүдтэй ажиллах боломжтой. Эсвэл тэдэнд огт байхгүй.

Гаусс гэж юу гэсэн үг вэ?

Эхлээд та бидний тэгшитгэлийн системийг бичих хэрэгтэй Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна. Системийг авсан:

Коэффициентийг хүснэгт хэлбэрээр бичсэн бөгөөд баруун талд тусдаа баганад - чөлөөт гишүүд. Чөлөөт гишүүдтэй баганыг тав тухтай байлгах үүднээс тусгаарласан.Энэ баганыг агуулсан матрицыг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг.

Дараа нь коэффициент бүхий үндсэн матрицыг дээд тал руу нь багасгах хэрэгтэй гурвалжин хэлбэртэй. Энэ бол системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх гол цэг юм. Энгийнээр хэлэхэд, тодорхой засвар хийсний дараа матриц нь иймэрхүү харагдах ёстой бөгөөд ингэснээр түүний зүүн доод хэсэгт зөвхөн тэг байх болно.

Дараа нь, хэрэв та шинэ матрицыг дахин тэгшитгэлийн систем болгон бичих юм бол сүүлийн эгнээнд аль нэг язгуурын утгыг агуулж, дараа нь дээрх тэгшитгэлд орлуулах, өөр язгуур олдох гэх мэтийг анзаарах болно.

Уусмалыг Гауссын аргаар хамгийн их тайлбарласан ерөнхий утгаараа. Гэнэт системд шийдэл байхгүй бол яах вэ? Эсвэл тэд хязгааргүй олон байдаг уу? Эдгээр болон бусад олон асуултанд хариулахын тулд Гауссын аргаар шийдэлд ашигласан бүх элементүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

Матрицууд, тэдгээрийн шинж чанарууд

Байхгүй далд утгаматрицад байхгүй. Энэ бол энгийн тохиромжтой аргатэдэнтэй хийх дараагийн үйл ажиллагааны өгөгдлийг бүртгэх. Сургуулийн хүүхдүүд ч гэсэн тэднээс айх ёсгүй.

Матриц нь үргэлж тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой байдаг. Гурвалжин матрицыг бүтээхэд бүх зүйл унтдаг Гауссын аргын хувьд ч гэсэн оруулгад тэгш өнцөгт харагдах ба зөвхөн тоо байхгүй газарт тэг л байдаг. Тэгийг орхиж болно, гэхдээ тэдгээр нь далд утгатай.

Матриц нь хэмжээтэй байна. Түүний "өргөн" нь мөрийн тоо (м), "урт" нь баганын тоо (n) юм. Дараа нь А матрицын хэмжээг (том латин үсгээр тэмдэглэгээнд ихэвчлэн ашигладаг) A m×n гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв m=n бол энэ матриц нь квадрат бөгөөд m=n нь түүний дараалал юм. Үүний дагуу А матрицын аль ч элементийг түүний мөр, баганын дугаараар тэмдэглэж болно: a xy ; x - мөрийн дугаар, өөрчлөлт , y - баганын дугаар, өөрчлөлт .

B нь шийдлийн гол цэг биш юм. Зарчмын хувьд бүх үйлдлүүдийг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар шууд хийж болох боловч тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй болж, төөрөлдөх нь илүү хялбар байх болно.

Тодорхойлогч

Матриц нь мөн тодорхойлогчтой. Энэ их чухал шинж чанар. Үүний утгыг одоо олж мэдэх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш бөгөөд та үүнийг хэрхэн тооцоолж байгааг харуулж, дараа нь матрицын ямар шинж чанарыг тодорхойлж байгааг хэлж болно. Тодорхойлогчийг олох хамгийн хялбар арга бол диагональууд юм. Матрицад төсөөллийн диагональ зурсан; тус бүр дээр байрлах элементүүдийг үржүүлж, дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ: баруун тийш налуутай диагональууд - "нэмэх" тэмдгээр, зүүн тийш налуу - "хасах" тэмдгээр.

Тодорхойлогчийг зөвхөн квадрат матрицаар тооцоолж болно гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. Тэгш өнцөгт матрицын хувьд та дараах зүйлийг хийж болно: мөр болон баганын тооноос хамгийн багаг нь сонгоод (энэ нь k байх ёстой), дараа нь матриц дахь k багана, k мөрийг санамсаргүй байдлаар тэмдэглэнэ. Сонгосон багана, мөрүүдийн огтлолцол дээр байрлах элементүүд шинийг бүрдүүлнэ квадрат матриц. Хэрэв ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр тоо байвал түүнийг анхны тэгш өнцөгт матрицын суурь минор гэж нэрлэдэг.

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийн шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө тодорхойлогчийг тооцоолох нь гэмтээхгүй. Хэрэв энэ нь тэг болж хувирвал матриц нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй эсвэл огт байхгүй гэж шууд хэлж болно. Ийм гунигтай тохиолдолд та цаашаа явж, матрицын зэрэглэлийн талаар олж мэдэх хэрэгтэй.

Системийн ангилал

Матрицын зэрэглэл гэж нэг зүйл байдаг. Энэ нь түүний тэг биш тодорхойлогчийн хамгийн дээд дараалал юм (ойролцоогоор санаж байна үндсэн бага, бид матрицын зэрэглэл нь суурь минорын дараалал гэж хэлж болно).

Зэрэглэлд хэрхэн нийцэж байгаагаас хамааран SLAE-ийг дараахь байдлаар хувааж болно.

• Хамтарсан. AtХамтарсан системийн зэрэглэлд үндсэн матрицын зэрэглэл (зөвхөн коэффициентүүдээс бүрдэх) нь өргөтгөсөн (чөлөөт гишүүдийн баганатай) зэрэгтэй давхцдаг. Ийм системүүд нь шийдэлтэй байдаг, гэхдээ нэг байх албагүй тул хамтарсан системийг дараахь байдлаар хуваана.
• - тодорхой- өвөрмөц шийдэлтэй байх. Тодорхой системүүдэд матрицын зэрэглэл ба үл мэдэгдэх тоо (эсвэл баганын тоо, энэ нь ижил зүйл) тэнцүү байна;
• - тодорхойгүй -хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй. Ийм системийн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна.
• Тохиромжгүй. AtИйм системд үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлүүд давхцдаггүй. Тохиромжгүй системд шийдэл байхгүй.

Гауссын арга нь системийн үл нийцэх байдлын хоёрдмол утгагүй нотолгоог (том матрицын тодорхойлогчийг тооцохгүйгээр) эсвэл шийдлийн явцад хязгааргүй олон тооны шийдтэй системийн ерөнхий шийдлийг олж авах боломжийг олгодогоороо сайн.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд

Системийн шийдэлд шууд орохын өмнө үүнийг илүү төвөгтэй, тооцоолол хийхэд илүү хялбар болгох боломжтой. Үүнийг анхан шатны өөрчлөлтөөр хийдэг - ингэснээр тэдгээрийн хэрэгжилт эцсийн хариултыг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй. Дээрх энгийн хувиргалтуудын зарим нь зөвхөн SLAE-ийн эх сурвалж байсан матрицуудад хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн жагсаалт энд байна:

1. Мөр солих. Хэрэв бид системийн бүртгэл дэх тэгшитгэлийн дарааллыг өөрчлөх юм бол энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс энэ системийн матриц дахь мөрүүдийг сольж болох нь мэдээжийн хэрэг, чөлөөт гишүүдийн баганын тухай мартаж болохгүй.
2. Мөрний бүх элементүүдийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлэх. Маш хэрэгтэй! Үүний тусламжтайгаар та матриц дахь том тоог багасгах эсвэл тэгийг арилгах боломжтой. Шийдлийн багц нь ердийнх шиг өөрчлөгдөхгүй бөгөөд цаашдын үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд илүү тохиромжтой байх болно. Хамгийн гол нь коэффициент нь тэгтэй тэнцүү биш юм.
3. Пропорциональ коэффициент бүхий мөрүүдийг устгана уу. Энэ нь өмнөх догол мөрөөс зарим талаараа хамаарна. Хэрэв матриц дахь хоёр ба түүнээс дээш мөр нь пропорциональ коэффициенттэй бол нэг мөрийг пропорциональ коэффициентоор үржүүлэх / хуваах үед хоёр (эсвэл дахин олон) туйлын ижил мөр гарч ирэх бөгөөд та зөвхөн үлдсэн хэсгийг нь хасаж болно. нэг.
4. Үгүй мөрийг устгаж байна. Хэрэв хувиргалтын явцад бүх элементүүд, түүний дотор чөлөөт гишүүн нь тэг байх тэмдэгт мөрийг олж авсан бол ийм мөрийг тэг гэж нэрлээд матрицаас гаргаж болно.
5. Нэг эгнээний элементүүдэд нөгөөгийн элементүүдийг нэмэх (харгалзах баганад), тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Хамгийн ойлгомжгүй бөгөөд хамгийн чухал өөрчлөлт. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хүчин зүйлээр үржүүлсэн мөрийг нэмэх

Ойлгоход хялбар болгохын тулд энэ үйл явцыг алхам алхмаар задлах нь зүйтэй. Матрицаас хоёр мөрийг авсан:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Та "-2" коэффициентээр үржүүлсэн эхнийхийг хоёр дахь дээр нэмэх хэрэгтэй гэж бодъё.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Дараа нь матрицад хоёр дахь мөрийг шинээр сольж, эхнийх нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Үржүүлэх коэффициентийг хоёр мөр нэмсний үр дүнд шинэ мөрийн аль нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү байхаар сонгож болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс системд үл мэдэгдэх нэг нь бага байх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Хэрэв та ийм хоёр тэгшитгэл авбал үйлдлийг дахин хийж, хоёр бага үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг авах боломжтой. Хэрэв бид анхныхаас доогуур байгаа бүх эгнээний хувьд нэг коэффициентийг тэг рүү эргүүлэх бүртээ алхамууд шиг матрицын хамгийн доод хэсэгт очиж, нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Үүнийг Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдэх гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө

Систем байгаасай. Энэ нь m тэгшитгэл, n үл мэдэгдэх үндэстэй. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Үндсэн матрицыг системийн коэффициентуудаас бүрдүүлдэг. Өргөтгөсөн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмж, тав тухтай байлгах үүднээс баараар тусгаарласан.

• матрицын эхний мөрийг k = коэффициентээр үржүүлнэ (-a 21 / a 11);
• матрицын эхний өөрчлөгдсөн мөр ба хоёр дахь эгнээ нэмэгдсэн;
• хоёр дахь эгнээний оронд өмнөх догол мөрийн нэмэлтийн үр дүнг матрицад оруулна;
• одоо эхний коэффициент шинэ секундмөр нь 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Одоо ижил цуврал өөрчлөлтүүд хийгдэж байгаа бөгөөд зөвхөн эхний болон гурав дахь эгнээ оролцдог. Үүний дагуу алгоритмын алхам бүрт a 21 элементийг 31-ээр солино. Дараа нь бүх зүйл давтагдана 41 , ... a m1 . Үр дүн нь эгнээний эхний элемент нь тэгтэй тэнцүү байх матриц юм. Одоо бид нэгдүгээр мөрийг мартаж, хоёр дахь мөрөөс эхлэн ижил алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.

• коэффициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• хоёр дахь өөрчлөгдсөн мөрийг "одоогийн" мөрөнд нэмнэ;
• нэмэлтийн үр дүнг гурав, дөрөв, гэх мэт мөрөнд орлуулж, эхний болон хоёр дахь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;
• матрицын эгнээнд эхний хоёр элемент аль хэдийн тэгтэй тэнцүү байна.

k = (-a m,m-1 /a мм) коэффициент гарч ирэх хүртэл алгоритмыг давтах ёстой. Энэ нь алгоритмыг хамгийн сүүлд зөвхөн доод тэгшитгэлд зориулж ажиллуулсан гэсэн үг юм. Одоо матриц нь гурвалжин шиг эсвэл шаталсан хэлбэртэй байна. Доод мөрөнд a mn × x n = b m тэгшитгэлийг агуулна. Коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд язгуур нь тэдгээрээр илэрхийлэгдэнэ: x n = b m /a mn. Үүссэн үндэсийг дээд эгнээнд орлуулж x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 -ийг олно. Гэх мэт зүйрлэлээр: дараагийн мөр бүрт шинэ үндэс байдаг бөгөөд системийн "дээд" хэсэгт хүрсэн тул та олон шийдлийг олох боломжтой. Энэ нь цорын ганц байх болно.

Шийдэл байхгүй үед

Хэрэв матрицын нэг эгнээнд чөлөөт гишүүнээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал энэ мөрөнд харгалзах тэгшитгэл нь 0 = b шиг харагдана. Үүнд ямар ч шийдэл байхгүй. Ийм тэгшитгэл нь системд багтсан тул бүхэл системийн шийдлүүдийн багц хоосон, өөрөөр хэлбэл доройтсон байна.

Хязгааргүй олон шийдэл байх үед

Буурсан гурвалжин матрицад нэг элемент - тэгшитгэлийн коэффициент, нэг нь чөлөөт гишүүнтэй мөр байхгүй байж магадгүй юм. Дахин бичихэд хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэл шиг харагдах мөрүүд л байдаг. Энэ нь системд хязгааргүй олон тооны шийдэл байдаг гэсэн үг. Энэ тохиолдолд хариултыг ерөнхий шийдэл хэлбэрээр өгч болно. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Матриц дахь бүх хувьсагчдыг үндсэн ба чөлөөт гэж хуваадаг. Үндсэн - эдгээр нь шаталсан матриц дахь эгнээний "ирмэг дээр" байрладаг хүмүүс юм. Үлдсэн нь үнэгүй. Ерөнхий шийдэлд үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар бичнэ.

Тохиромжтой болгохын тулд матрицыг эхлээд тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичдэг. Дараа нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч үлдсэн сүүлчийнх нь нэг талдаа үлдэж, бусад бүх зүйл нөгөө рүү шилждэг. Энэ нь нэг үндсэн хувьсагчтай тэгшитгэл бүрийн хувьд хийгддэг. Дараа нь бусад тэгшитгэлд боломжтой бол үндсэн хувьсагчийн оронд түүний хувьд олж авсан илэрхийлэлийг орлуулна. Үүний үр дүнд зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч агуулсан илэрхийлэл дахин гарч ирвэл үндсэн хувьсагч бүрийг чөлөөт хувьсагчтай илэрхийлэл болгон бичих хүртэл тэндээс дахин илэрхийлнэ. Энэ бол SLAE-ийн ерөнхий шийдэл юм.

Та мөн системийн үндсэн шийдлийг олох боломжтой - чөлөөт хувьсагчдад ямар ч утгыг өгч, дараа нь энэ тохиолдолд үндсэн хувьсагчдын утгыг тооцоолно. Хязгааргүй олон тусгай шийдэл байдаг.

Тодорхой жишээнүүдийн шийдэл

Энд тэгшитгэлийн систем байна.

Тохиромжтой болгохын тулд түүний матрицыг нэн даруй үүсгэх нь дээр

Гауссын аргаар шийдвэрлэх үед эхний эгнээнд тохирох тэгшитгэл нь хувиргалтын төгсгөлд өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Тиймээс, матрицын зүүн дээд элемент нь хамгийн бага нь байвал илүү ашигтай байх болно - дараа нь үйлдлүүдийн дараа үлдсэн эгнээний эхний элементүүд тэг болж хувирна. Энэ нь эмхэтгэсэн матрицад эхний эгнээний оронд хоёр дахь хэсгийг тавих нь ашигтай байх болно гэсэн үг юм.

хоёр дахь мөр: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

Гурав дахь мөр: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Одоо төөрөлдөхгүйн тулд хувиргалтын завсрын үр дүнтэй матрицыг бичих шаардлагатай.

Ийм матрицыг зарим үйлдлүүдийн тусламжтайгаар ойлгоход илүү тохиромжтой болгох нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, та элемент бүрийг "-1" -ээр үржүүлснээр хоёр дахь мөрөнд байгаа бүх "хасах" зүйлсийг арилгаж болно.

Гурав дахь эгнээнд бүх элементүүд гурвын үржвэр байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь та мөрийг энэ тоогоор богиносгож, элемент бүрийг "-1/3"-аар үржүүлж болно (хасах - нэгэн зэрэг, хасахын тулд). сөрөг утгууд).

Илүү сайхан харагдаж байна. Одоо бид эхний мөрийг ганцааранг нь үлдээж, хоёр, гурав дахь эгнээтэй ажиллах хэрэгтэй. Даалгавар бол 32-р элемент тэгтэй тэнцүү болохын тулд гурав дахь эгнээнд хоёр дахь мөрийг нэмэх явдал юм.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 энгийн бутархай, зөвхөн дараа нь хариултыг хүлээн авсны дараа бүгдийг нэгтгэж, бичлэгийн өөр хэлбэр рүү орчуулах эсэхээ шийднэ үү)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицыг шинэ утгуудаар дахин бичнэ.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Таны харж байгаагаар үүссэн матриц нь шаталсан хэлбэртэй байна. Тиймээс Гауссын аргаар системийг цаашид өөрчлөх шаардлагагүй. Энд юу хийж болох вэ гэвэл гурав дахь мөрөнд "-1/7" гэсэн ерөнхий коэффициентийг хасах явдал юм.

Одоо бүх зүйл сайхан болсон. Цэг нь жижиг - матрицыг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр дахин бичиж, үндсийг нь тооцоол

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Одоо үндсийг олох алгоритмыг Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (3) нь z-ийн утгыг агуулна:

у = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Эхний тэгшитгэл нь x-ийг олох боломжийг танд олгоно.

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ийм системийг хамтарсан, бүр тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй гэж нэрлэх эрхтэй. Хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Тодорхой бус системийн жишээ

Тодорхой системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх хувилбарт дүн шинжилгээ хийсэн тул одоо систем нь тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй олон шийдлийг олох боломжтой тохиолдолд авч үзэх шаардлагатай байна.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - x 5 = 12 (4)

Системийн хэлбэр нь аль хэдийн түгшүүр төрүүлж байна, учир нь үл мэдэгдэх тоо n = 5, системийн матрицын зэрэглэл нь энэ тооноос яг бага байна, учир нь эгнээний тоо m = 4, өөрөөр хэлбэл, квадрат тодорхойлогчийн хамгийн том дараалал нь 4. Энэ нь хязгааргүй олон тооны шийдтэй гэсэн үг бөгөөд түүний ерөнхий хэлбэрийг хайх шаардлагатай болно. Шугаман тэгшитгэлийн Гауссын арга нь үүнийг хийх боломжтой болгодог.

Нэгдүгээрт, ердийнхөөрөө нэмэгдүүлсэн матрицыг эмхэтгэсэн.

Хоёр дахь мөр: коэффициент k = (-a 21 / a 11) = -3. Гурав дахь мөрөнд эхний элемент нь хувиргалтын өмнө байгаа тул та ямар нэгэн зүйлд хүрэх шаардлагагүй, үүнийг байгаагаар нь үлдээх хэрэгтэй. Дөрөв дэх мөр: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Эхний эгнээний элементүүдийг коэффициент тус бүрээр нь үржүүлж, хүссэн эгнээнд нэмснээр бид матрицыг авна. дараах төрөл:

Таны харж байгаагаар хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээ нь хоорондоо пропорциональ элементүүдээс бүрдэнэ. Хоёр дахь болон дөрөв дэх нь ерөнхийдөө ижил байдаг тул тэдгээрийн аль нэгийг нь нэн даруй арилгаж, үлдсэнийг нь "-1" коэффициентээр үржүүлж, мөрийн дугаар 3-ыг авна. Мөн дахин хоёр ижил шугамын нэгийг үлдээнэ үү.

Ийм матриц болж хувирав. Системийг хараахан бичиж амжаагүй байгаа тул энд үндсэн хувьсагчдыг тодорхойлох шаардлагатай - 11 \u003d 1 ба 22 \u003d 1 коэффициентүүд дээр зогсож, бусад бүх зүйлийг чөлөөтэй.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагчтай - x 2 . Эндээс үүнийг чөлөөтэй байгаа x 3 , x 4 , x 5 хувьсагчаар дамжуулан бичиж илэрхийлж болно.

Бид үүссэн илэрхийлэлийг эхний тэгшитгэлд орлуулна.

Цорын ганц үндсэн хувьсагч нь x 1 гэсэн тэгшитгэл гарч ирэв. Үүнийг x 2-той адил хийцгээе.

Бүх үндсэн хувьсагч, тэдгээрийн хоёр нь гурван чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэгддэг тул одоо та хариултыг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно.

Та мөн системийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг зааж өгч болно. Ийм тохиолдлын хувьд, дүрмээр бол тэгийг чөлөөт хувьсагчийн утгууд болгон сонгодог. Дараа нь хариулт нь:

16, 23, 0, 0, 0.

Тохиромжгүй системийн жишээ

Тогтворгүй тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь хамгийн хурдан юм. Үе шатуудын аль нэгэнд шийдэлгүй тэгшитгэл гармагц дуусна. Энэ нь нэлээд урт, уйтгартай, үндсийг тооцоолох үе шат алга болно. Дараахь системийг авч үздэг.

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ердийнх шиг матрицыг эмхэтгэсэн:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Мөн шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан байна:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Эхний хувиргалт хийсний дараа гурав дахь мөрөнд хэлбэрийн тэгшитгэлийг агуулна

шийдэлгүй. Тиймээс систем нь нийцэхгүй бөгөөд хариулт нь хоосон багц юм.

Аргын давуу болон сул талууд

Хэрэв та SLAE-ийг цаасан дээр үзэг ашиглан шийдэх аргыг сонговол энэ нийтлэлд авч үзсэн арга нь хамгийн сэтгэл татам харагдаж байна. Анхан шатны хувиргалтын үед тодорхойлогч эсвэл зарим нэг төвөгтэй урвуу матрицыг гараар хайх хэрэгтэй бол төөрөгдөх нь хамаагүй хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм төрлийн өгөгдөлтэй, жишээлбэл, хүснэгттэй ажиллах програм ашигладаг бол ийм програмууд нь матрицын үндсэн параметрүүдийг - тодорхойлогч, жижиг, урвуу гэх мэтийг тооцоолох алгоритмуудыг аль хэдийн агуулдаг болох нь харагдаж байна. Хэрэв та машин эдгээр утгыг өөрөө тооцоолж, алдаа гаргахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа бол ашиглах нь илүү тохиромжтой. матрицын аргаэсвэл Крамерын томьёо, учир нь тэдгээрийн хэрэглээ нь тодорхойлогч ба тооцоололоос эхэлж, дуусдаг. урвуу матрицууд.

Өргөдөл

Гауссын шийдэл нь алгоритм бөгөөд матриц нь үнэндээ хоёр хэмжээст массив учраас програмчлалд ашиглаж болно. Гэхдээ нийтлэл нь "дамми нарт зориулсан" гарын авлага болж байгаа тул энэ аргыг оруулахад хамгийн хялбар газар бол хүснэгт, жишээ нь Excel юм. Дахин хэлэхэд, хүснэгтэд матриц хэлбэрээр оруулсан аливаа SLAE-г Excel хоёр хэмжээст массив гэж үзэх болно. Мөн тэдэнтэй ажиллахын тулд олон сайхан командууд байдаг: нэмэх (та зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэмж болно!), Тооноор үржүүлэх, матрицыг үржүүлэх (мөн тодорхой хязгаарлалттай), урвуу болон шилжүүлсэн матрицуудыг олох, хамгийн чухал нь , тодорхойлогчийг тооцоолох. Хэрэв энэ цаг хугацаа шаардсан ажлыг нэг командаар сольсон бол матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох нь илүү хурдан бөгөөд ингэснээр түүний нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг тогтоох болно.

Энд та шугаман тэгшитгэлийн системийг үнэ төлбөргүй шийдэж болно Гауссын арга онлайн том хэмжээтэйнийлмэл тоогоор маш нарийн шийдэлтэй. Манай тооны машин нь хязгааргүй олон шийдтэй Гауссын аргыг ашиглан ердийн тодорхой ба тодорхойгүй шугаман тэгшитгэлийн системийг онлайнаар шийдэж чадна. Энэ тохиолдолд хариултанд та зарим хувьсагчийн хамаарлыг бусдаас, чөлөөт хувьсагчаас авах болно. Та мөн Гауссын шийдлийг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар нийцтэй эсэхийг шалгаж болно.

Матрицын хэмжээ: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 30 31 32 33 34 4 4 3 4 3 4 3 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 78 78 79 81 82 83 84 86 86 88 88 89 90 90 91 92 94 96 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 9 10 11 12 13 8 9 10 11 12 13 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 97 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 4 5 4 4 50 51 52 53 54 55 56 56 57 57 58 59 61 62 63 64 65 61 62 63 64 65 61 62 63 64 75 61 62 63 64 75 61 4 4 5 4 40 41 4 4 5 82 83 84 85 86 88 88 89 90 91 92 94 95 96 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 98 100 101

Аргын тухай

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед онлайн аргаГаусс дараах алхмуудыг гүйцэтгэдэг.

1. Бид нэмэгдүүлсэн матрицыг бичнэ.
2. Үнэн хэрэгтээ шийдэл нь Гауссын аргын урагш ба хойшхи алхамд хуваагддаг. Гауссын аргын шууд шилжилтийг матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах гэж нэрлэдэг. Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн нь матрицыг тусгай шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Гэхдээ бодит байдал дээр тухайн элементийн дээр болон доор байгаа зүйлийг нэн даруй тэглэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Манай тооны машин яг энэ аргыг ашигладаг.
3. Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ матрицад дор хаяж нэг тэг мөр байх ёстойг анхаарах нь чухал юм. баруун тал(чөлөөт гишүүдийн багана) нь системийн үл нийцэх байдлыг илтгэнэ. Энэ тохиолдолд шугаман системийн шийдэл байхгүй байна.

Гауссын алгоритм онлайнаар хэрхэн ажилладагийг илүү сайн ойлгохын тулд дурын жишээг оруулаад "маш нарийвчилсан шийдэлмөн түүний шийдлийг онлайнаар хайж олоорой.

Хамгийн агуу математикч Карл Фридрих Гаусс гүн ухаан, математик хоёрын аль нэгийг сонгохдоо удаан эргэлзэж байв. Магадгүй яг ийм сэтгэлгээ нь түүнд дэлхийн шинжлэх ухаанд мэдэгдэхүйц "орхих" боломжийг олгосон байх. Тодруулбал, "Гаусын арга"-ыг бий болгосноор ...

Бараг 4 жилийн турш энэ сайтын нийтлэлүүд нь сургуулийн боловсролын талаар голчлон философийн үүднээс, хүүхдийн оюун санаанд нэвтрүүлсэн (буруу) ойлголтын зарчмуудыг хөндөж байна. Илүү тодорхой, жишээ, аргачлалын цаг ирж байна ... Энэ бол танил, будлиантай, төөрөгдүүлсэн арга барил гэдэгт би итгэдэг. чухаламьдралын салбарууд хамгийн сайн үр дүнг өгдөг.

Хүмүүс бид хэчнээн их юм ярилаа ч хамаагүй зохион байгуулалттай хийсвэр сэтгэлгээ, гэхдээ ойлголт үргэлжжишээгээр дамждаг. Хэрэв жишээнүүд байхгүй бол зарчмуудыг барьж авах боломжгүй юм ... Уулын оройг бүхэлд нь хөлнөөс нь туулахаас өөр аргагүй юм.

Сургуульд ч мөн адил: одоохондоо амьд түүхүүдхангалттай биш, бид зөнгөөрөө үүнийг хүүхдүүдэд ойлгохыг заадаг газар гэж үздэг.

Тухайлбал, Гауссын аргыг заах...

Сургуулийн 5-р ангид Гауссын арга

Би шууд захиалга өгөх болно: Гауссын аргад илүү их зүйл бий өргөн хэрэглээжишээлбэл, шийдвэрлэх үед шугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний ярих гэж байгаа зүйл 5-р ангид явагддаг. тэр эхлэх, аль нь болохыг ойлгосноор илүү "дэвшилтэт сонголтуудыг" ойлгоход илүү хялбар болно. Энэ нийтлэлд бид энэ тухай ярьж байна цувралын нийлбэрийг олох үед Гауссын арга (арга).

Бага хүү маань Москвагийн гимназийн 5-р ангид сургуулиасаа авчирсан жишээ энд байна.

Гауссын аргын сургуулийн үзүүлбэр

Математикийн багш ашиглаж байна интерактив самбар (орчин үеийн аргуудсургалт) хүүхдүүдэд бяцхан Гауссын "аргыг бүтээх" түүхийн танилцуулгыг үзүүлэв.

Сургуулийн багш бяцхан Карлыг (хоцрогдсон арга, одоо сургуульд ашигладаггүй) ташуурдуулж,

1-ээс 100 хүртэлх тоог дараалан нэмэхийн оронд тэдгээрийн нийлбэрийг олох анзаарсанарифметик прогрессийн ирмэгээс тэнцүү зайтай байгаа хос тоонууд нийлбэр нь ижил тоо болно. жишээлбэл, 100 ба 1, 99 ба 2. Ийм хосуудын тоог тоолж үзээд бяцхан Гаусс багшийн санал болгосон бодлогыг бараг тэр даруй шийдэв. Үүнийхээ төлөө тэрээр гайхширсан олон нийтийн өмнө цаазлуулсан. Бусад хүмүүсийн хувьд энэ талаар бодох нь үл хүндэтгэсэн хэрэг байв.

Бяцхан Гаусс юу хийсэн бэ? боловсруулсан тооны мэдрэмж? Анхаарлаазарим онцлогтогтмол алхамтай тооны цуваа (арифметик прогресс). Тэгээд яг энэтүүнийг дараа нь агуу эрдэмтэн болгосон анзаарах чадвартай, эзэмших мэдрэмж, ойлгох зөн совин.

Энэ бол хөгжиж буй математикийн үнэ цэнэ юм харах чадварерөнхий, ялангуяа - хийсвэр сэтгэлгээ . Тиймээс ихэнх эцэг эх, ажил олгогчид зөнгөөрөө математик хийдэг чухал сахилга бат ...

“Математикийг дараа нь заах хэрэгтэй, ингэснээр оюун ухааныг эмх цэгцтэй болгоно.
М.В.Ломоносов".

Гэсэн хэдий ч ирээдүйн суут хүмүүсийг ташуурдсан хүмүүсийн дагалдагчид Аргыг эсрэг зүйл болгон хувиргасан. 35 жилийн өмнө миний удирдагч хэлэхдээ: "Тэд асуултыг сурсан." Эсвэл өчигдөр бага хүү маань Гауссын аргын талаар хэлсэнчлэн: "Магадгүй эндээс том шинжлэх ухаан гаргах нь үнэ цэнэтэй зүйл биш байх, тийм үү?"

"Эрдэмтдийн" бүтээлч байдлын үр дагавар нь өнөөгийн түвшинд харагдаж байна сургуулийн математик, түүний заах түвшин, "Шинжлэх ухааны хатан хаан"-ыг олонх нь ойлгодог.

Гэсэн хэдий ч үргэлжлүүлье ...

Сургуулийн 5-р ангид Гауссын аргыг тайлбарлах арга

Москвагийн биеийн тамирын сургуулийн математикийн багш Виленкиний аргаар Гауссын аргыг тайлбарлаж, даалгаврыг хүндрүүлэв.

Арифметик прогрессийн ялгаа (алхам) нь нэг биш, өөр тоо байвал яах вэ? Жишээлбэл, 20.

Тэрээр тавдугаар ангийнханд өгсөн даалгавар:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Гимнастикийн аргатай танилцахаасаа өмнө вэбийг харцгаая: сургуулийн багш нар - математикийн багш нар үүнийг хэрхэн хийдэг вэ? ..

Гауссын арга: Тайлбар №1

Нэрт багш өөрийн YOUTUBE сувагтаа дараах үндэслэлүүдийг хэлж байна.

"1-ээс 100 хүртэлх тоог дараах байдлаар бичье.

эхлээд 1-ээс 50 хүртэлх тооны цуврал, түүний доор 50-аас 100 хүртэлх тооны цуврал, гэхдээ урвуу дарааллаар"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Анхаарна уу: дээд ба доод эгнээний хос тоо бүрийн нийлбэр нь ижил бөгөөд 101-тэй тэнцүү байна! Хосуудын тоог тоолъё, энэ нь 50 бөгөөд нэг хосын нийлбэрийг хосын тоогоор үржүүлээрэй! Voila: The хариулт бэлэн!"

Тайлбарын үеэр багш гурван удаа "Ойлгож чадаагүй бол битгий уурлаарай!" "Чи энэ аргыг 9-р ангидаа давах болно!"

Гауссын арга: Тайлбар No2

Өөр нэг сурган хүмүүжүүлэгч, бага танигдсан (үзсэн тоогоор) илүү ихийг ашигладаг шинжлэх ухааны хандлага, дараалан гүйцэтгэх ёстой 5 цэгийн шийдлийн алгоритмыг санал болгож байна.

Санаачлаагүй хүмүүсийн хувьд: 5 бол Фибоначчийн уламжлалт ид шидийн тоонуудын нэг юм. Жишээлбэл, 5 шаттай арга нь 6 шаттай аргаас илүү шинжлэх ухаанч байдаг. ... Энэ бол санамсаргүй тохиолдол биш, магадгүй Зохиогч нь Фибоначчийн онолыг далд баримтлагч юм.

Дана арифметик прогресс: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Гауссын аргыг ашиглан цувралын тоонуудын нийлбэрийг олох алгоритм:

Алхам 1: Өгөгдсөн тоонуудын дарааллыг урвуугаар нь дахин бичих, ягэхний дор.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Алхам 2: босоо эгнээнд байрлуулсан хос тоонуудын нийлбэрийг тооцоол: 260.

Алхам 3: тооны цувралд хичнээн ийм хос байгааг тоол. Үүнийг хийхийн тулд тооны цувралын хамгийн их тооноос хамгийн бага тоог хасч, алхамын хэмжээгээр хуваана: (256 - 4) / 6 = 42.

Үүний зэрэгцээ та санаж байх хэрэгтэй нэмэх нэг дүрэм : үр дүнгийн коэффициент дээр нэгийг нэмэх ёстой: эс тэгвээс бид жинхэнэ хосуудын тооноос нэгээр бага үр дүн авах болно: 42 + 1 = 43.

Алхам 4: Нэг хос тооны нийлбэрийг хосын тоогоор үржүүлнэ: 260 x 43 = 11,180

Алхам 5: Бид дүнг тооцсон тул хос тоо, дараа нь хүлээн авсан дүнг хоёр хуваах ёстой: 11 180 / 2 = 5590.

Энэ нь 6-ын зөрүүтэй 4-өөс 256 хүртэлх арифметик прогрессийн хүссэн нийлбэр юм!

Гауссын арга: Москвагийн гимназийн 5-р ангийн тайлбар

Цувралын нийлбэрийг олох асуудлыг шийдэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байв.

20+40+60+ ... +460+480+500

Москвагийн гимназийн 5-р ангид Виленкиний сурах бичиг (миний хүүгийн хэлснээр).

Илтгэл үзүүлсний дараа математикийн багш Гауссын хэд хэдэн жишээ үзүүлж, 20-ийн алхамтай цуваа тоонуудын нийлбэрийг олох даалгавар өглөө.

Энэ нь дараахь зүйлийг шаарддаг.

1-р алхам: мөрөнд байгаа бүх тоог дэвтэрт бичихээ мартуузай 20-оос 500 хүртэл (20-ийн өсөлтөөр).

Алхам 2: дараалсан нэр томъёо бичих - хос тоо:эхнийх нь сүүлчийнхтэй, хоёр дахь нь сүүлчийнх гэх мэт. мөн тэдгээрийн нийлбэрийг тооцоолох.

Алхам 3: "нийлбэрийн нийлбэр" -ийг тооцоолж, бүх цувралын нийлбэрийг ол.

Таны харж байгаагаар энэ нь илүү авсаархан бөгөөд үр дүнтэй техник: 3 тоо нь мөн Фибоначчийн дарааллын гишүүн юм

Гауссын аргын сургуулийн хувилбарын талаархи миний сэтгэгдэл

Агуу математикч дагалдагчид нь түүний "арга"-ыг юу болгон хувиргахыг урьдчилан харсан бол гарцаагүй гүн ухааныг сонгох байсан. Германы багшКарлыг саваагаар ташуурдсан. Тэр "багш нарын" бэлгэдэл, диалектик спираль, мөнхийн тэнэглэлийг харах байсан. Амьд математикийн сэтгэлгээний зохицлыг үл ойлголцлын алгебртай хэмжихийг оролдсон ....

Дашрамд хэлэхэд та мэдэх үү. Манай боловсролын систем 18-19-р зууны Германы сургуулиас улбаатай гэж?

Гэхдээ Гаусс математикийг сонгосон.

Түүний аргын мөн чанар юу вэ?

AT хялбаршуулах. AT ажиглалт ба барьж авахтоонуудын энгийн загварууд. AT хуурай сургуулийн арифметик болгон хувиргах сонирхолтой, хөгжилтэй үйл ажиллагаа , тархинд үргэлжлүүлэх хүслийг идэвхжүүлж, өндөр өртөгтэй сэтгэцийн үйл ажиллагааг хаадаггүй.

Дээрх "Гауссын аргын өөрчлөлт" -ийн аль нэгээр арифметик прогрессийн тоонуудын нийлбэрийг тооцоолох боломжтой юу? тэр даруй? "Алгоритмуудын" дагуу бяцхан Карл цохихоос зайлсхийж, математикт дургүйцлийг төрүүлж, нахиа дахь бүтээлч сэтгэлгээгээ дарах баталгаатай байсан.

Багш яагаад 5-р ангийн хүүхдүүдэд 9-р ангидаа "ийм" асуудлыг шийднэ гэж итгүүлж, аргын талаар "буруу ойлголтоос бүү ай" гэж тууштай зөвлөсөн бэ? Сэтгэл зүйн хувьд бичиг үсэггүй үйлдэл. Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй юм: "Баяртай аль хэдийн 5-р ангидаа та чадна 4 жилийн дараа л шийдэх асуудлуудаа шийдээрэй! Та нар ямар сайн хүмүүс вэ!"

Гауссын аргыг ашиглахын тулд ангийн 3-р түвшин хангалттайжирийн хүүхдүүд 2-3-ыг нэмэх, үржүүлэх, хуваахыг аль хэдийн мэддэг болсон үед чухал тоо. Математик гэлтгүй энгийн хүний ​​хэлээр хамгийн энгийн зүйлийг хэрхэн тайлбарлахыг "ордоггүй" насанд хүрсэн багш нар чадваргүйгээс асуудал үүсдэг... Математикийн хичээлийг сонирхох чадваргүй, "чадвартай" ч гэсэн урмыг нь бүрмөсөн мохоож чаддаггүй.

Эсвэл миний хүүгийн хэлснээр "том шинжлэх ухаан гарга".

Хэрхэн орох вэ ерөнхий тохиолдол) 1-р аргын тоонуудын бичлэгийг аль тоон дээр "зайлгах" ёстойг олж мэдэх үү?

Цувралын гишүүдийн тоо байвал яах вэ хачин?

Хүүхэд яагаад "Дүрэм нэмэх 1" болж хувирах вэ? шингээхТэр ч байтугай нэгдүгээр ангид байхдаа "тоо мэдрэхүй"-ийг хөгжүүлсэн бол, мөн санасангүй"аравт тоолох" уу?

Эцэст нь: 2000 гаруй жилийн настай, орчин үеийн математикийн багш нар ашиглахаас зайлсхийдэг гайхалтай бүтээл болох ZERO хаана алга болов?!

Гауссын арга, миний тайлбар

Эхнэр бид хоёр хүүхэддээ энэ "аргыг" сургуулиас нь өмнө тайлбарласан бололтой ...

Нарийн төвөгтэй байдал эсвэл асуултын тоглоомын оронд энгийн байдал - хариултууд

"Хараач, энд 1-ээс 100 хүртэлх тоонууд байна. Та юу харж байна?"

Энэ нь хүүхэд юу харж байгаа тухай биш юм. Заль нь түүнийг харагдуулах явдал юм.

"Та тэднийг яаж нэгтгэх вэ?" Хүү нь ийм асуултыг "яг л тийм" гэж асуудаггүй тул та "ямар нэгэн байдлаар, түүний ердийнхөөс өөрөөр" гэсэн асуултыг харах хэрэгтэй гэдгийг олж мэдэв.

Хүүхэд тэр даруй шийдлийг олж харах нь хамаагүй, энэ нь магадлал багатай юм. Тэр нь чухал юм харахаас айхаа больсон, эсвэл миний хэлснээр: "даалгавраа шилжүүлсэн". Энэ бол ойлголтод хүрэх замын эхлэл юм

"Аль нь илүү хялбар вэ: жишээ нь 5 ба 6 эсвэл 5 ба 95-ыг нэмэх үү?" Тэргүүлэх асуулт ... Гэхдээ эцсийн эцэст аливаа сургалт нь хүнийг "хариулт" руу "хөтлөх" - түүнд ямар ч байдлаар хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц байдаг.

Энэ үе шатанд тооцоололд хэрхэн "хэмнэх" талаар таамаглал аль хэдийн гарч ирж магадгүй юм.

Бидний хийсэн бүх зүйл бол "урд, шугаман" тоолох арга нь цорын ганц боломжтой зүйл биш юм. Хэрэв хүүхэд үүнийг хассан бол дараа нь тэр олон ийм аргыг зохион бүтээх болно. учир нь сонирхолтой!!!Мөн тэрээр математикийн "төөрөгдөл" -ээс зайлсхийх нь гарцаагүй бөгөөд үүнд дургүйцэхгүй. Тэр ялалт авсан!

Хэрвээ хүүхэд нээсэннийлбэр зуу хүртэлх тооны хос тоог нэмэх нь өчүүхэн ажил юм "1-ийн зөрүүтэй арифметик прогресс"- хүүхдийн хувьд нэлээд уйтгартай, сонирхолгүй зүйл - гэнэт түүнд амьдрал өгсөн . Эмх замбараагүй байдлаас дэг журам гарч ирсэн бөгөөд энэ нь үргэлж урам зоригтой байдаг: бид ийм л байна!

Шуурхай асуулт: яагаад хүүхдүүдийн ойлголттой болсны дараа тэдгээрийг хуурай алгоритмуудын хүрээнд дахин оруулах ёстой гэж энэ тохиолдолд функциональ байдлаар ашиггүй байна вэ?!

Яагаад тэнэг дахин бичдэг юм бэТэмдэглэлийн дэвтэр дэх дарааллын дугаарууд: чадварлаг хүмүүст ч гэсэн ойлгох ганц боломж байхгүй байх уу? Статистикийн хувьд мэдээжийн хэрэг, гэхдээ олон нийтийн боловсрол нь "статистик" дээр төвлөрдөг ...

Тэг хаашаа явсан бэ?

Гэсэн хэдий ч 100 хүртэлх тоог нэмэх нь 101 өгөхөөс хамаагүй илүү оюун ухаанд хүлээн зөвшөөрөгддөг ...

"Сургуулийн Гауссын арга" нь дараахь зүйлийг шаарддаг. ухаангүй нугалаххос тооны прогрессийн төвөөс ижил зайд, юу ч байсан хамаагүй.

Хэрэв та харвал яах вэ?

Гэсэн хэдий ч тэг хамгийн том нээлт 2000 гаруй жилийн настай хүн төрөлхтөн. Мөн математикийн багш нар түүнийг үл тоосоор байна.

1-ээс эхэлсэн тоонуудын цувааг 0-ээс эхэлсэн цуврал болгон хувиргах нь хамаагүй хялбар юм. Нийлбэр өөрчлөгдөхгүй биз дээ? Та "сурах бичгээр сэтгэхээ" зогсоож, хайж эхлэх хэрэгтэй ... 101 нийлбэртэй хосыг 100 нийлбэртэй хосоор бүрэн сольж болохыг харахын тулд!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"Дүрэм нэмэх 1"-ийг хэрхэн цуцлах вэ?

Үнэнийг хэлэхэд, би ийм дүрмийн талаар тэр YouTube багшаас анх сонссон ...

Цувралын гишүүдийн тоог тодорхойлох шаардлагатай үед би юу хийх ёстой вэ?

Дарааллыг харвал:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

бүрэн ядарсан үед энгийн эгнээнд:

1, 2, 3, 4, 5

Тэгээд би: хэрэв та 5-аас нэгийг хасвал 4 гарна, гэхдээ би маш тодорхой байна үзнэ үү 5 тоо! Тиймээс та нэгийг нэмэх хэрэгтэй! Тооны мэдрэхүй хөгжсөн бага сургууль, санал болгож байна: Google-ийн бүхэл бүтэн цувралын гишүүд (10-аас зуу дахь хүч) байсан ч загвар нь хэвээр байх болно.

Дүрмийг новш гэж үү?..

Тэгэхээр хоёр гурван жилийн дотор дух, толгойны ар талын хоорондох зайг дүүргэж, бодохоо болих уу? Талх, цөцгийн тос олж байвал ямар вэ? Эцсийн эцэст бид дижитал эдийн засгийн эрин үе рүү шат ахиж байна!

Гауссын сургуулийн аргын талаар: "Яагаад шинжлэх ухааныг эндээс гаргаж авсан бэ? .."

Хүүгийнхээ дэвтрийн дэлгэцийн зургийг дэмий л оруулсангүй...

"Хичээлд юу байсан бэ?"

"За би шууд л тоолоод гараа өргөсөн ч тэр асуусангүй. Тиймээс бусад нь тоолж байх хооронд би цаг алдахгүйн тулд орос хэл дээр DZ хийж эхлэв. Тэгээд бусад нь бичиж дуусахад (?? ?), тэр намайг удирдах зөвлөл рүү дуудсан. Би хариултаа хэлсэн."

"Тийм ээ, яаж шийдсэнээ надад харуулаач" гэж багш хэлэв. Би үзүүлэв. Тэр: "Буруу, чи миний үзүүлсэн шиг тоолох хэрэгтэй!"

"Би хоёр талдаа тавиагүй нь сайн хэрэг. Тэгээд би "шийдвэр гаргах үйл явц"-ыг өөрийнхөөрөө дэвтэрт бичүүлэв. Яагаад эндээс том шинжлэх ухаан хийх гэж? .."

Математикийн багшийн гол гэмт хэрэг

бараг дараа нь тэр тохиолдолКарл Гаусс сургуулийн математикийн багшийг хүндлэх өндөр мэдрэмжийг мэдэрсэн. Гэхдээ тэр яаж гэдгийг мэддэг бол тэр багшийн дагалдагчид аргын мөн чанарыг гажуудуулах... тэр ихэд эгдүүцэж, Дэлхийн Оюуны Өмчийн Байгууллагын ДОӨБ-аар дамжуулан сургуулийн сурах бичигт өөрийн сайн нэрийг ашиглахыг хориглосон байх байсан! ..

Юу гол алдаа сургуулийн хандлага ? Эсвэл миний хэлснээр гэмт хэрэг сургуулийн багш нарматематик vs хүүхдүүд?

Алгоритмыг буруу ойлгох

Дийлэнх нь хэрхэн сэтгэхээ мэдэхгүй сургуулийн арга зүйчид юу хийдэг вэ?

Арга, алгоритм үүсгэх (харна уу). тэр багш нарыг шүүмжлэлээс хамгаалдаг хамгаалалтын урвал ("Бүх зүйл ... дагуу хийгддэг"), хүүхдүүдийг ойлгохоос хамгаалдаг. Тиймээс - багш нарыг шүүмжлэх хүслээс!(Хүнд суртлын "мэргэн ухааны" хоёр дахь уламжлал, асуудалд шинжлэх ухааны хандлага). Утгыг нь ойлгоогүй хүн сургуулийн тогтолцооны тэнэглэлд бус харин өөрийнхөө буруу ойлголтыг буруутгах болно.

Юу болж байна: эцэг эхчүүд хүүхдүүдийг буруутгаж, багш нар ... "математикийг ойлгодоггүй" хүүхдүүдэд ч мөн адил! ..

Та ухаантай юу?

Бяцхан Карл юу хийсэн бэ?

Загварын ажилд туйлын уламжлалт бус хандсан. Энэ бол Түүний арга барилын мөн чанар юм. тэр Сургуульд сургах ёстой гол зүйл бол сурах бичгээр биш, харин толгойгоо бодох явдал юм. Мэдээж хэрэг, хайхад ашиглаж болох багажийн бүрэлдэхүүн хэсэг бас бий илүү энгийн ба үр дүнтэй аргууддансууд.

Виленкиний дагуу Гауссын арга

Сургуульд тэд Гауссын аргыг заадаг

хосоор ньтооны цувааны ирмэгээс ижил зайд байгаа тоонуудын нийлбэрийг олох, заавал захаас нь эхлэнэ!

ийм хосуудын тоог олох гэх мэт.

юу, хэрэв эгнээний элементүүдийн тоо сондгой байвал, хүүд өгсөн үүрэг даалгавар шиг? ..

Энэ тохиолдолд "заль мэх" нь тэр юм Та цувралын "нэмэлт" дугаарыг олох хэрэгтэйхосуудын нийлбэр дээр нэмнэ. Бидний жишээн дээр энэ тоо 260 байна.

Хэрхэн нээх вэ? Бүх хос тоог дэвтэрт дахин бичиж байна!(Тиймээс л багш нь Гауссын аргаар "бүтээлч байдал" заахыг оролдсон хүүхдүүдийг ийм тэнэг ажил хийлгэсэн ... Тийм ч учраас ийм "арга" нь том өгөгдлийн цувралд бараг боломжгүй юм, Тийм ч учраас энэ нь Гауссын биш арга).

Сургуулийн ажилд бага зэрэг бүтээлч байдал ...

Хүү нь өөр үйлдэл хийсэн.

Эхлээд тэрээр 520 биш 500-г үржүүлэхэд хялбар байсан гэж тэмдэглэв.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Дараа нь тэр ойлгов: алхамуудын тоо сондгой болсон: 500/20 = 25.

Дараа нь тэр цувралын эхэнд ТЭГ нэмээд (хэдийгээр цувралын сүүлийн гишүүнийг хасах боломжтой байсан, энэ нь мөн адил тэнцүү байх болно) тоог нэмж, нийт 500 болсон.

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 алхам нь 13 хос "таван зуун": 13 x 500 = 6500 ..

Хэрэв бид цувралын сүүлчийн гишүүнийг хаясан бол 12 хос байх болно, гэхдээ тооцооллын үр дүнд "хаягдсан" таван зуугаа нэмэхээ мартаж болохгүй. Дараа нь: (12 x 500) + 500 = 6500!

Амархан, тийм үү?

Гэвч практик дээр энэ нь бүр ч хялбар болж, орос хэл дээр зайнаас тандан судлахад 2-3 минут зарцуулж, бусад нь "тоолж" байна. Нэмж дурдахад энэ нь аргачлалын алхмуудын тоог хадгалсан: 5, энэ нь хандлагыг шинжлэх ухааны үндэслэлгүй гэж шүүмжлэхийг зөвшөөрдөггүй.

Мэдээжийн хэрэг, энэ арга нь Аргын хэв маягаар илүү энгийн, хурдан бөгөөд олон талт юм. Гэхдээ... багш магтсангүй, бас намайг "зөв" гэж дахин бичихийг тулгасан (дэлгэцийн агшинг үзнэ үү). Өөрөөр хэлбэл, тэр бүтээлч сэтгэлгээ, математикийг ойлгох чадварыг дарах гэж цөхрөлтгүй оролдлого хийсэн! Хожим нь багшаар ажилд орохын тулд ... Тэр буруу хүн рүү дайрсан бололтой ...

Миний удаан бөгөөд уйтгартай тайлбарласан бүх зүйлийг энгийн хүүхдэд хамгийн ихдээ хагас цагийн дотор тайлбарлаж болно. Жишээнүүдийн хамт.

Тэгээд тэр үүнийг хэзээ ч мартахгүйн тулд.

Тэгээд болно ойлгоход чиглэсэн алхам...зөвхөн математик биш.

Үүнийг хүлээн зөвшөөр: та Гауссын аргыг ашиглан амьдралдаа хэдэн удаа нэмсэн бэ? Тэгээд би хэзээ ч!

Гэхдээ ойлгох зөн совин, суралцах явцад хөгждөг (эсвэл унтардаг). математик аргуудсургууль дээр ... Өө! .. Энэ бол үнэхээр орлуулашгүй зүйл юм!

Тэр тусмаа бид нам засгийн хатуу удирдлаган дор чимээгүйхэн орсон бүх нийтийг цахимжуулах эрин үед.

Багш нараа өмөөрөх хэдэн үг...

Энэ төрлийн сургалтын бүх хариуцлагыг зөвхөн сургуулийн багш нарт хүлээлгэж байгаа нь шударга бус бөгөөд буруу юм. Систем ажиллаж байна.

ЗаримБагш нар юу болж байгааг ойлгодог, гэхдээ юу хийх вэ? Боловсролын тухай хууль, Холбооны улсын боловсролын стандарт, арга, технологийн газрын зурагсургамж... Бүх зүйлийг "доор, үндэслэн" хийж, бүх зүйлийг баримтжуулсан байх ёстой. Хажуу тийшээ - ажлаас халах дараалалд зогслоо. Хоёр нүүр гаргахгүй байцгаая: Москвагийн багш нарын цалин маш сайн... Хэрвээ халагдах юм бол хаашаа явах вэ?..

Тиймээс энэ сайт боловсролын тухай биш. Тэр тухай хувь хүний ​​боловсрол, зөвхөн боломжтой аргаолны дундаас гарах Z үе ...