Буурах арифметик прогрессийн нийлбэр. Арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох вэ

Хэн нэгэн "хөгжил" гэдэг үгийг дээд математикийн хэсгүүдээс маш нарийн төвөгтэй нэр томъёо гэж болгоомжтой ханддаг. Үүний зэрэгцээ хамгийн энгийн арифметик прогресс бол таксины тоолуурын ажил юм (тэдгээр нь хэвээр байна). Мөн арифметик дарааллын мөн чанарыг (мөн математикт "мөн чанарыг ойлгохоос өөр чухал зүйл гэж байдаггүй) ойлгох нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цөөн хэдэн энгийн ойлголтуудыг шинжилдэг.

Математик тооны дараалал

Тоон дарааллыг хэд хэдэн тоо гэж нэрлэх нь заншилтай бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн гэсэн дугаартай байдаг.

ба 1 нь дарааллын эхний гишүүн юм;

ба 2 нь дарааллын хоёр дахь гишүүн юм;

ба 7 нь дарааллын долоо дахь гишүүн юм;

ба n нь дарааллын n дэх гишүүн;

Гэсэн хэдий ч дур зоргоороо тогтсон тоо, тоо биднийг сонирхдоггүй. Бид n-р гишүүний утга нь түүний дарааллын тоотой математикийн хувьд тодорхой томъёолж болох хамаарлаар холбогдох тоон дараалалд анхаарлаа хандуулах болно. Өөрөөр хэлбэл: n-р тооны тоон утга нь n-ийн зарим функц юм.

a - тоон дарааллын гишүүний утга;

n - түүний серийн дугаар;

f(n) нь тоон дарааллын n нь аргумент болох функц юм.

Тодорхойлолт

Арифметик прогрессийг ихэвчлэн дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор их (бага) байх тоон дараалал гэж нэрлэдэг. Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо дараах байдалтай байна.

a n - арифметик прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

a n+1 - дараагийн тооны томъёо;

d - ялгаа (тодорхой тоо).

Хэрэв зөрүү эерэг (d>0) байвал авч үзэж буй цувралын дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байх ба ийм арифметик прогресс нэмэгдэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Доорх графикаас яагаад гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг тоон дараалал"өсгөх" гэж нэрлэдэг.

Зөрүү сөрөг гарсан тохиолдолд (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Заасан гишүүний үнэ цэнэ

Заримдаа арифметик прогрессийн дурын a n гишүүний утгыг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Та үүнийг арифметик прогрессийн бүх гишүүдийн утгыг эхнийхээс хүссэн хүртэл дараалан тооцоолох замаар хийж болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, таван мянга, найман сая дахь гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол энэ арга нь үргэлж хүлээн зөвшөөрөгдөхгүй. Уламжлалт тооцоо хийхэд нэлээд хугацаа шаардагдана. Гэсэн хэдий ч тодорхой арифметик прогрессийг тодорхой томъёог ашиглан судалж болно. Мөн n-р гишүүний томьёо байдаг: арифметик прогрессийн дурын гишүүний утгыг прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг хүссэн гишүүний тоогоор үржүүлж, нэгийг хассан прогрессийн зөрүүгээр тодорхойлж болно. .

Томъёо нь ахиц дэвшлийг нэмэгдүүлэх, бууруулах бүх нийтийн шинж чанартай байдаг.

Тухайн гишүүний үнэ цэнийг тооцоолох жишээ

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний утгыг олох дараах бодлогыг бодъё.

Нөхцөл: параметртэй арифметик прогресс байна:

Дарааллын эхний гишүүн нь 3;

Тооны цувааны зөрүү 1.2 байна.

Даалгавар: 214 нэр томъёоны утгыг олох шаардлагатай

Шийдэл: Тухайн гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

a(n) = a1 + d(n-1)

Асуудлын мэдэгдлийн өгөгдлийг илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараах байдалтай байна:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Хариулт: Дарааллын 214 дэх гишүүн нь 258.6-тай тэнцүү.

Энэхүү тооцооны аргын давуу тал нь тодорхой юм - бүх шийдэл нь 2-оос илүүгүй мөр авдаг.

Өгөгдсөн тооны нэр томъёоны нийлбэр

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн арифметик цувралд түүний зарим сегментийн утгын нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Мөн нэр томъёо бүрийн утгыг тооцоод дараа нь нэгтгэх шаардлагагүй. Хэрэв нийлбэр нь олдох ёстой нэр томъёоны тоо бага байвал энэ аргыг хэрэглэнэ. Бусад тохиолдолд дараах томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой.

1-ээс n хүртэлх арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр нь эхний болон n-р гишүүдийн нийлбэрийг n гишүүний тоогоор үржүүлж, хоёрт хуваасантай тэнцүү байна. Хэрэв томъёонд n-р гишүүний утгыг өгүүллийн өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр сольсон бол бид дараахь зүйлийг авна.

Тооцооллын жишээ

Жишээлбэл, дараах нөхцлөөр асуудлыг шийдье.

Дарааллын эхний гишүүн нь тэг;

Энэ ялгаа нь 0.5 байна.

Асуудлын хувьд 56-аас 101 хүртэлх цувралын нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл. Прогрессийн нийлбэрийг тодорхойлох томъёог ашиглацгаая.

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Нэгдүгээрт, бид асуудлынхаа өгөгдсөн нөхцөлийг томъёонд орлуулах замаар прогрессийн 101 гишүүний утгын нийлбэрийг тодорхойлно.

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Мэдээжийн хэрэг, 56-аас 101 хүртэлх прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг олохын тулд S 101-ээс S 55-ыг хасах шаардлагатай.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Энэ жишээний арифметик прогрессийн нийлбэр нь:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Арифметик прогрессийн практик хэрэглээний жишээ

Өгүүллийн төгсгөлд эхний догол мөрөнд өгөгдсөн арифметик дарааллын жишээ рүү буцъя - таксиметр (таксины машины тоолуур). Ийм жишээг авч үзье.

Таксинд суух (үүнд 3 км орно) 50 рубль болно. Дараагийн км тутамд 22 рубль / км-ийн төлбөр төлдөг. Аяллын зай 30 км. Аяллын зардлыг тооцоол.

1. Буух зардалд үнэ нь багтсан эхний 3 км-ыг хасъя.

30 - 3 = 27 км.

2. Цаашид тооцоолох нь арифметик тооны цувааг задлан шинжлэхээс өөр зүйл биш юм.

Гишүүний дугаар нь аялсан километрийн тоо юм (эхний гурвыг хассан).

Гишүүний үнэ цэнэ нь нийлбэр юм.

Энэ асуудлын эхний нэр томъёо нь 1 = 50 рубльтэй тэнцүү байх болно.

Прогрессийн зөрүү d = 22 х.

бидний сонирхсон тоо - арифметик прогрессийн (27 + 1)-р гишүүний утга - 27-р километрийн төгсгөлд тоолуурын заалт - 27.999 ... = 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Дурын урт хугацааны хуанлийн өгөгдлийн тооцоо нь тодорхой тоон дарааллыг тодорхойлсон томьёо дээр суурилдаг. Одон орон судлалын хувьд тойрог замын урт нь геометрийн хувьд селестиел биеийг гэрэлтүүлэгч хүртэлх зайнаас хамаардаг. Үүнээс гадна янз бүрийн тоон цувааг статистик болон математикийн бусад хэрэглээний салбарт амжилттай ашиглаж байна.

Өөр нэг тооны дараалал бол геометр юм

Геометрийн прогресс нь арифметиктэй харьцуулахад их хэмжээний өөрчлөлтийн хурдаар тодорхойлогддог. Улс төр, социологи, анагаах ухаанд ихэвчлэн тодорхой үзэгдлийн тархалтын өндөр хурдыг харуулахын тулд, жишээлбэл, тахал өвчний үед энэ үйл явц экспоненциал байдлаар хөгждөг гэж хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Геометрийн тооны цувралын N-р гишүүн нь өмнөхөөсөө ялгаатай бөгөөд энэ нь тодорхой тооны тогтмол тоогоор үрждэг - хуваагч, жишээлбэл, эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2, дараа нь:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - геометр прогрессийн одоогийн гишүүний утга;

b n+1 - геометр прогрессийн дараагийн гишүүний томъёо;

q нь геометр прогрессийн хуваагч (тогтмол тоо).

Хэрэв арифметик прогрессийн график шулуун шугам байвал геометрийн график нь арай өөр зураг зурна.

Арифметикийн нэгэн адил, геометрийн прогрессдурын гишүүний утгын томьёотой. Геометр прогрессийн дурын n-р гишүүн нь эхний гишүүний үржвэр ба n-ийн зэрэглэлийн прогрессийн хуваагчийг нэгээр багасгасантай тэнцүү байна.

Жишээ. Бидэнд эхний гишүүн нь 3-тай тэнцүү, прогрессийн хуваагч нь 1.5-тай тэнцүү геометр прогресс байна. Прогрессийн 5-р гишүүнийг ол

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

Өгөгдсөн тооны гишүүдийн нийлбэрийг мөн тусгай томъёогоор тооцдог. Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь прогрессийн n-р гишүүн ба хуваагч ба прогрессийн эхний гишүүний үржвэрийн зөрүүг нэгээр бууруулсан хуваалттай тэнцүү байна.

Хэрэв b n-ийг дээр дурдсан томъёогоор орлуулах юм бол авч үзсэн тооны цувралын эхний n гишүүний нийлбэрийн утга дараах хэлбэртэй болно.

Жишээ. Геометр прогресс 1-тэй тэнцэх эхний гишүүнээс эхэлнэ. Хусагч нь 3-тай тэнцүү байна. Эхний найман гишүүний нийлбэрийг олъё.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Хэрэв натурал тоо бүр бол n бодит тоотой таарна a n , дараа нь тэд өгсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Тэгэхээр тоон дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.

Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан дарааллын n-р гишүүн , ба натурал тоо n — түүний дугаар .

Хоёр хөршийн гишүүнээс a n болон a n +1 гишүүдийн дараалал a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), a a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).

Дараалалыг зааж өгөхийн тулд та дурын дугаартай дарааллын гишүүнийг олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх ёстой.

Ихэнхдээ дарааллыг нь өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл, дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох боломжийг олгодог томьёо.

Жишээлбэл,

эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно

a n= 2n- 1,

болон ээлжлэн солих дараалал 1 болон -1 - томьёо

б n = (-1)n +1 . ◄

Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.

Жишээлбэл,

хэрэв а 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Хэрвээ a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Дараалал байж болно эцсийн болон эцэс төгсгөлгүй .

Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.

Жишээлбэл,

Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

эцсийн.

Анхны тооны дараалал:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

эцэс төгсгөлгүй. ◄

Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.

Дараалал гэж нэрлэдэг суларч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.

Жишээлбэл,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . өсөх дараалал;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . нь буурах дараалал юм. ◄

Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн дараалал .

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.

Арифметик прогресс

Арифметик прогресс дарааллыг дууддаг бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоог нэмнэ.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

хэрэв байгаа бол арифметик прогресс байна натурал тоо n нөхцөл хангагдсан:

a n +1 = a n + г,

хаана г - хэдэн тоо.

Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх гишүүдийн ялгаа үргэлж тогтмол байна:

a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

a 1 =3,

a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 ба ялгаа г түүнийг n

a n = a 1 + (n- 1)г.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, г = 3,

нь 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)г,

a n= a 1 + (n- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

a, b, c тоонууд нь зөвхөн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байвал зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.

Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Үүний үр дүнд,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Тэрийг тэмдэглэ n -Арифметик прогрессийн 1-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олохгүй а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k

a n = a k + (n- к)г.

Жишээлбэл,

төлөө а 5 бичиж болно

а 5 = a 1 + 4г,

а 5 = a 2 + 3г,

а 5 = a 3 + 2г,

а 5 = a 4 + г. ◄

a n = а н-к + кд,

a n = a n+k - кд,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	а н-к +a n+k
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүний нийлбэрийн хагасыг гишүүний тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, хэрэв шаардлагатай бол нэр томъёог нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай

a k, a k +1 , . . . , a n,

Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nболонС n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Арифметик прогресснь монотон дараалал юм. Үүнд:

• хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
• хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
• хэрэв г = 0 , дараалал нь хөдөлгөөнгүй байх болно.

Геометрийн прогресс

геометрийн прогресс дараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлнэ.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .

ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна n нөхцөл хангагдсан:

б н +1 = б н · q,

хаана q ≠ 0 - хэдэн тоо.

Тиймээс энэ геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.

Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 ба хуваагч q түүнийг n -р гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.

б н = б 1 · q n -1 .

Жишээлбэл,

геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = б 1 · q n -2 ,

б н = б 1 · q n -1 ,

б н +1 = б 1 · q n,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н -1 · б н +1 ,

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.

Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараах баталгааг баримтална.

a, b, c тоонууд нь аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тоонуудын аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж байх тохиолдолд л зарим геометрийн прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталъя б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

б н= -3 2 n,

б н -1 = -3 2 n -1 ,

б н +1 = -3 2 n +1 .

Үүний үр дүнд,

б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,

Энэ нь шаардлагатай мэдэгдлийг баталж байна. ◄

Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх нэр томъёо б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай

б н = б к · q n - к.

Жишээлбэл,

төлөө б 5 бичиж болно

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = б 4 · q. ◄

б н = б к · q n - к,

б н = б н - к · q k,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н - к· б н + к

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь түүнээс ижил зайд байгаа энэ прогрессийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

б м· б н= б к· б л,

м+ n= к+ л.

Жишээлбэл,

экспоненциалаар

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н

эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:

Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу

S n= n.b. 1

Хэрэв бид нөхцөлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу

б к, б к +1 , . . . , б н,

Дараа нь томъёог ашиглана:

S n- Ск -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к ·	1 - q n - к +1	.
	1 - q

Жишээлбэл,

экспоненциалаар 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Хэрэв геометрийн прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд б 1 , б н, q, nболон S n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгний утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон шинж чанарууд :

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэж байна.

б 1 > 0 болон q> 1;

б 1 < 0 болон 0 < q< 1;

• Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил буурч байна.

б 1 > 0 болон 0 < q< 1;

б 1 < 0 болон q> 1.

Хэрвээ q< 0 , тэгвэл геометр прогресс тэмдэг ээлжлэн байна: түүний сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүн нь эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.

Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

П н= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .

Жишээлбэл,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Хязгааргүй буурах геометр прогресс

Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь түүнээс бага хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол

|q| < 1 .

Хязгааргүй буурах геометрийн прогресс нь буурах дараалал байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд тохирно

1 < q< 0 .

Ийм хуваагчтай бол дараалал нь тэмдэг ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийх нь нийлбэр гарах тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөх явцын нөхцөл n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . =	б 1	.
	1 - q

Жишээлбэл,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал

Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Зөвхөн хоёр жишээг авч үзье.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , дараа нь

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

Жишээлбэл,

1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 болон

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . хуваагчтай геометр прогресс юм 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . хуваагчтай геометр прогресс юм q , дараа нь

log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .

Жишээлбэл,

2, 12, 72, . . . хуваагчтай геометр прогресс юм 6 болон

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(найман\); \(арван нэгэн\); \(14\)… нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай байдаг (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Гэхдээ \(d\) нь сөрөг тоо байж болно. Жишээлбэл, арифметик прогрессоор \(16\); \(арав\); \(дөрөв\); \(-2\); \(-8\)… прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Прогрессийг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг үүнийг нэрлэдэг гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогресстой ижил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллаар нь элементийн дугаартай тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд дээрх мэдээлэл нь арифметик прогрессийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм (OGE дээр санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

	Бид дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаад аль нь болохыг олоорой: \(d=49-62=-13\).
	Одоо бид хүссэн (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

	\(x\)-ийг олохын тулд бид дараагийн элемент өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хөрш зэргэлдээх хоёр элементээс олъё: \(d=12.5-10=2.5\).
	Одоо бид хайж буй зүйлээ ямар ч асуудалгүйгээр олдог: \(x=5+2.5=7.5\).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

	Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдгээрийн утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг л өгдөг. Тиймээс бид эхлээд өгөгдсөн утгыг ашиглан утгыг ээлжлэн тооцдог. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Бидэнд шаардлагатай зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Хүссэн дүнг оллоо.

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тоонуудын гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог (ялгаа) нэмснээр олж авдаг. явцын тухай).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "духан дээр" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\)-ийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ юу вэ, бид \ (385 \) удаа дөрөв нэмэх үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Тоолох нь будлиантай байна ...

Тиймээс, ийм тохиолдолд тэд "духан дээр" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба эхний гишүүний нийлбэр \(n\) томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) нь \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн юм.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний ба дэвшлийн зөрүүг мэдэхийн тулд дор хаяж гурван зуу, бүр сая дахь элементийг хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) нь хамгийн сүүлийн нийлбэр нэр томъёо;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Эхний хорин таван элементийн нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). \(n\)-г нэгээр сольж эхний элементийг тооцоолъё.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Одоо \(n\) оронд хорин тавыг орлуулж хорин тав дахь гишүүнийг олъё.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээгээ ямар ч асуудалгүйгээр тооцдог.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томьёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) - эхний элементүүдийн шаардлагатай нийлбэр \(n\);
\(a_1\) нь нэгтгэх эхний гишүүн юм;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) - нийлбэр дэх элементүүдийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15,5\); \(арван дөрөв\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо та бараг ямар ч арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэлтэй байна. Зөвхөн томьёо хэрэглээд зогсохгүй бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн асуудлуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил аргаар шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \(d\) олно.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Одоо нийлбэрийн томъёонд \ (d \) -ийг орлуулахын тулд ... энд гарч ирнэ бага зэрэг нюанс- бид мэдэхгүй байна \(n\). Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томьёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Ингээд бодоцгооё. Эхний эерэг элемент рүү ороход бид элемент нэмэхээ болино. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрхэн? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томьёог бичье: Манай тохиолдолд \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Бид тэгээс их байхын тулд \(a_n\) хэрэгтэй. Энэ нь юу болох талаар \(n\) олж мэдье.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \(0,3\) гэж хуваана.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Бид хасах нэгийг шилжүүлж, тэмдгийг өөрчлөхөө мартдаггүй
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Тооцоолж байна...
\(n>65,333…\)		…мөн эхний эерэг элемент нь \(66\) гэсэн тоотой байх болно. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \(n=65\) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Тиймээс бид эхний \(65\) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элементийн нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Энэ бодлогод та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \(26\)-аас эхлэн. Бидэнд энэ талаар томъёолол байхгүй. Хэрхэн шийдэх вэ? Хялбар - \(26\)-аас \(42\)-р нийлбэрийг гаргахын тулд эхлээд \(1\)-ээс \(42\) хүртэлх нийлбэрийг олж, дараа нь түүнээс нийлбэрийг хасах хэрэгтэй. the first to \ (25 \) th (зураг харна уу).
	Бидний явцын хувьд \(a_1=-33\) ба ялгаа \(d=4\) (эцэст нь бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрөв нэмнэ). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \(42\)-uh элементүүдийн нийлбэрийг олно.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Одоо эхний \(25\)-р элементийн нийлбэр.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул энэ өгүүлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо бий. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би чамайг урт танилцуулгаар тарчлаахгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёрдахь тохиолдолд зэргэлдээх тоонуудын хоорондох зөрүү аль хэдийн тавтай тэнцүү байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр зүгээр л $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та (1; 2; 3; 4; ...) гэх мэт зүйлийг бичвэл энэ нь аль хэдийн хязгааргүй прогресс юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг сануулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоонуудын тусламжтайгаар ийм байдлаар зааж өгдөг: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та ямар ч тоог олж чадна, зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж болно. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллах болно гэдгийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн үгээр бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдвэрлэх явцыг хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тэгэхээр $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нөхцөлүүд гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёо мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгдсөн байдаг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдэл. Тэгэхээр $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно.

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Сүүлийн даалгаварт бүх зүйлийг хатуу тэгш бус байдалд хүргэсэн тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг олж мэдье, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэхдээ $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно - тэгсэн ч гэсэн томъёо зөв байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Үүнийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоонууд нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдэл. Дахин хэлэхэд бид дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар илэрхийлнэ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авбал эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг зүйл дээр бүдэрсэн сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийнхүүдийн дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Тооны мөрөнд дахин орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$, $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$, $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Энэ баримтыг ойлгох нь бидэнд асуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг олгоно өндөр түвшиндээр дурдсантай харьцуулахад нарийн төвөгтэй байдал. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд үзүүлэлтийн коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг ашиглан тооцоолж болно стандарт схем($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ гэсэн томьёо байдаг, гэхдээ хүссэн орой нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. парабол, тэгэхээр $((d) _(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо-66 ба -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - бид үүнийг хийх шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байсан. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв одоогоор $x$ ба $z$ тоонуудаас $y$ авч чадахгүй байгаа бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 гэсэн тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тоонуудын нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдэл. Өшөө илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ энэ нь өмнөхтэй ижил аргаар - арифметик дундажаар шийдэгддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхамаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-ийг мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус баг 1-р сард 62 эд анги үйлдвэрлэсэн бөгөөд тус бүрдээ дараа сарөмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд ижилхэн:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчийн курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Прогрессийн нийлбэрийн томъёо, мөн үүнээс чухал бөгөөд маш хэрэгтэй үр дагаврыг судлах дараагийн хичээл рүү бид аюулгүйгээр шилжиж болно.

Арифметик прогресстооны дарааллыг нэрлэх (прогрессийн гишүүд)

Дараачийн нэр томъёо бүр нь өмнөхөөсөө ган нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.

Тиймээс, дэвшлийн алхам ба түүний эхний гишүүнийг тохируулснаар та томъёог ашиглан түүний аль ч элементийг олох боломжтой

Арифметик прогрессийн шинж чанарууд

1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх ба дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.

Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн хөрш сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хооронд байрлах гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдлээр аливаа дарааллыг шалгахад маш хялбар байдаг.

Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томъёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно

Хэрэв бид тэнцүү тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно

Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.

2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд амьдралын энгийн нөхцөлд нэлээд түгээмэл байдаг.

3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин дарааллын нэг хэсгийг түүний k -р гишүүнээс олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томъёо танд хэрэг болно.

4) k-р тооноос эхлэн арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг олох нь практик сонирхолтой юм. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу

Энэ талаар онолын материалдуусч, бид нийтлэг практик асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.

Жишээ 1. 4;7;... арифметик прогрессийн дөчин гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Нөхцөлийн дагуу бол бидэнд байгаа

Явцын алхамыг тодорхойл

By сайн мэддэг томъёоПрогрессийн дөчин гишүүнийг ол

Жишээ 2. Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүд нь өгдөг. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Бид прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томъёоны дагуу бичдэг

Бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлээс хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олно

Олдсон утгыг аль ч тэгшитгэлд орлуулж арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олно.

Прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцоол

Нарийн төвөгтэй тооцоолол хийхгүйгээр бид шаардлагатай бүх утгыг олсон.

Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний аль нэг гишүүн өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье

мөн эхнийхийг нь олоорой

Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 дахь гишүүнийг олдог

Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг олох

ба эхний 100-ийн нийлбэр

Прогрессийн нийлбэр нь 250 байна.

Жишээ 4

Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдийн тоог ол.

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Шийдэл:

Бид тэгшитгэлийг эхний гишүүн болон прогрессийн алхамаар бичиж, тодорхойлно

Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх нэр томъёоны тоог тодорхойлно.

Хялбарчлал хийх

ба квадрат тэгшитгэлийг шийд

Олдсон хоёр утгын зөвхөн 8 тоо нь асуудлын нөхцөл байдалд тохирно. Ийнхүү прогрессийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.

Жишээ 5

тэгшитгэлийг шийд

1+3+5+...+x=307.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь арифметик прогрессийн нийлбэр юм. Бид түүний эхний гишүүнийг бичиж, дэвшлийн зөрүүг олно