Тооны дарааллын хязгаарыг онлайнаар шийдлээр тооцоол. Функцийн хязгаар

Хязгааргүй функцийн хязгаар:
|f(x) - a|< ε при |x| >Н

Коши хязгаарын тодорхойлолт
Ф функцийг үзье (x)нь |x|-ийн хувьд хязгааргүй цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог > a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэге (x)Х-ийн хувьд хязгааргүйд хүрэх хандлагатай (), хэрэв байгаа бол дур мэдэн бага эерэг тоо ε > 0 , N ε тоо байна > К, ε -ээс хамааран бүх x, |x|-ийн хувьд > N ε, функцийн утга нь a цэгийн ε хөршид хамаарна:
|f (x) - a|< ε .
Хязгааргүй функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.
.

Бид оршин тогтнох, түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичдэг.
.
Энд утгууд нь функцийн хамрах хүрээнд хамаарна гэж үздэг.

Нэг талын хязгаарлалт

Хязгааргүй функцийн зүүн хязгаар:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Функцийг зөвхөн эерэг эсвэл гэж тодорхойлсон тохиолдол ихэвчлэн байдаг сөрөг утгуудхувьсагч x (илүү нарийвчлалтай, цэгийн ойролцоо эсвэл ). Мөн x-ийн эерэг ба сөрөг утгуудын хязгааргүй хязгаар байж болно янз бүрийн утгатай. Дараа нь нэг талын хязгаарлалтыг ашигладаг.

Хязгааргүй зүүн хязгаарэсвэл x нь хасах хязгааргүй () хандлагатай байгаа хязгаарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Хязгааргүйд баруун хязгаарэсвэл x нэмэх хязгааргүй () хандлагатай тул хязгаарлах :
.
Хязгааргүй нэг талын хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.
; .

Хязгааргүй үед хязгааргүй функцийн хязгаар

Хязгааргүй функцийн хязгаар:
|f(x)| > M нь |x| > Н

Кошигийн дагуу хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолт
Ф функцийг үзье (x)нь |x|-ийн хувьд хязгааргүй цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог > K , энд K нь эерэг тоо. Функцийн хязгаар f (x) x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай үед (), хязгааргүйтэй тэнцүү байна, хэрэв байгаа бол дур мэдэн их тооМ > 0 , N M тоо байдаг > К, M -ээс хамааран бүх x, |x| > N M, функцийн утгууд нь хязгааргүй цэгийн хөршид хамаарна:
|f (x) | >М.
Х нь хязгааргүй рүү чиглэдэг хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Тодорхой тэмдэгтүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдалтай тэнцүү ба ижил төстэй байдлаар танилцуулсан болно.
.
.

Хязгааргүйд нэг талт хязгаарын тодорхойлолтууд.
Зүүн хязгаар.
.
.
.
Зөв хязгаар.
.
.
.

Гейний дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт

Ф функцийг үзье (x)нь хязгааргүй х цэгийн зарим хөрш дээр тодорхойлогддог 0 , хаана эсвэл эсвэл .
a тоог (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) f функцийн хязгаар гэнэ (x) x цэг дээр 0 :
,
хэрэв ямар нэгэн дарааллын хувьд ( x n ), x руу нийлэх 0 : ,
Түүний элементүүд нь хөрш зэргэлдээх, дараалал (f(xn))нийлдэг:
.

Хэрэв бид хязгааргүйд тэмдэггүй цэгийн хөршийг хөрш гэж авбал: x нь хязгааргүй рүү чиглэдэг тул функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв бид хязгааргүй х цэгийн зүүн буюу баруун гар талын хөршийг авбал 0 : эсвэл , тэгвэл бид хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна, учир нь х нь хасах хязгааргүй, нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай байна.

Хязгаарын Heine болон Cauchy-ийн тодорхойлолтууд тэнцүү байна.

Жишээ

Жишээ 1

Кошигийн тодорхойлолтыг ашиглан үүнийг харуул
.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
.
Функцийн домайныг ол. Бутархайн хүртэгч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул хуваагч алга болох цэгээс бусад бүх х-д функц тодорхойлогдоно. Эдгээр цэгүүдийг олцгооё. Бид квадрат тэгшитгэлийг шийддэг. ;
.
Тэгшитгэлийн үндэс:
; .
Түүнээс хойш, тэр цагаас хойш болон .
Тиймээс функц нь -д зориулагдсан болно. Үүнийг бид ирээдүйд ашиглах болно.

Бид Кошигийн дагуу хязгааргүй функцийн төгсгөлийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичнэ.
.
Ялгааг өөрчилье:
.
Тоолуур ба хуваагчийг хувааж, үржүүлнэ -1 :
.

Let .
Дараа нь
;
;
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
.
Тиймээс үүнийг дагадаг
дээр , болон .

Үргэлж нэмэгдүүлэх боломжтой байдаг тул бид . Дараа нь ямар ч тохиолдолд,
цагт.
гэсэн үг.

Жишээ 2

Let .
Коши хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан дараахь зүйлийг харуул.
1) ;
2) .

1) Хасах хязгааргүйд чиглэсэн х-ийн шийдэл

-ээс хойш бүх x-д функц тодорхойлогдоно.
Хасах хязгаартай тэнцүү үед функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.

Let . Дараа нь
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
Бид эерэг тоонуудыг оруулаад:
.
Эндээс дурын M эерэг тоонд тоо байдаг тул ,
.

гэсэн үг.

2) Нэмэх хязгааргүйд чиглэсэн x-ийн шийдэл

Анхны функцийг өөрчилье. Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлж квадратын зөрүүг томъёог ашиглана уу.
.
Бидэнд байгаа:

.
Функцийн баруун хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя: .
Ялгааг өөрчилье:
.
Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.

Болъё
.
Дараа нь
;
.

Тиймээс бид үүнийг олсон,
.
Бид эерэг тоонуудыг оруулаад:
.
Тиймээс үүнийг дагадаг
болон .

Энэ нь ямар ч эерэг тоонд хамааралтай тул
.

Лавлагаа:
CM. Никольский. За математик шинжилгээ. 1-р боть. Москва, 1983 он.

Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Дарааллын хязгаарыг олох шаардлагатай үед дараах байдлаар бичнэ: lim xn=a. Ийм дарааллаар xn нь a руу, n нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Дарааллыг ихэвчлэн цуврал хэлбэрээр илэрхийлдэг, жишээлбэл:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Дараалал нь өсөх ба буурах гэж хуваагддаг. Жишээлбэл:
xn=n^2 - нэмэгдэж буй дараалал
yn=1/n - дараалал
Жишээлбэл, xn=1/n^ дарааллын хязгаар:
lim1/n^2=0

x→∞
n→∞ ба 1/n^2 дараалал нь тэг болох хандлагатай тул энэ хязгаар тэг байна.

Ихэвчлэн х хувьсагч нь хязгаарлагдмал хязгаарт чиглэдэг бөгөөд үүнээс гадна х нь а руу байнга ойртож байдаг бөгөөд a-ийн утга тогтмол байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: limx = a, харин n нь мөн тэг болон хязгааргүй байдлын аль алинд нь чиглэж болно. Хязгааргүй функцүүд байдаг бөгөөд тэдний хувьд хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бусад тохиолдолд, жишээлбэл, галт тэрэгний хөдөлгөөнийг удаашруулах функцтэй бол хязгаарыг тэг рүү чиглүүлэх боломжтой.
Хязгаарлалт нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Дүрмээр бол аливаа функц зөвхөн нэг хязгаартай байдаг. Энэ бол хязгаарын гол шинж чанар юм. Бусад нь доор жагсаагдсан байна:
* Хэмжээний хязгаар нийлбэртэй тэнцүү байнахязгаар:
lim(x+y)=limx+limy
* Бүтээгдэхүүний хязгаар нь хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна:
lim(xy)=limx*limy
* Хэмжилтийн хязгаар нь хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс хасна:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1 /x функц өгөгдсөн бол түүний хязгаар нь тэг болно. Хэрэв x→0 бол ийм функцийн хязгаар нь ∞-тэй тэнцүү байна.
Учир нь тригонометрийн функцуудЭдгээр дүрмээс авах боломжтой. sin x функц нь тэг рүү ойртох тусам үргэлж нэг рүү чиглэдэг тул ижил төстэй байдал нь үүнд хамаарна:
lim sin x/x=1

Хэд хэдэн функцэд тодорхойгүй байдал үүсэх хязгаарыг тооцоолохдоо хязгаарыг тооцоолох боломжгүй нөхцөл байдал үүсдэг. цорын ганц гарцэнэ байдлаасаа L'Hopital болсон. Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдал байдаг:
* 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
* ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Жишээлбэл, хязгаарыг өгсөн дараах төрөл: lim f(x)/l(x), үүнээс гадна f(x0)=l(x0)=0. Энэ тохиолдолд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр функцийг ялгаж, дараа нь үр дүнгийн хязгаарыг олно. 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хувьд хязгаар нь:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (х→0 хэлбэрээр)
∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд мөн адил дүрэм үйлчилнэ. Гэхдээ энэ тохиолдолд дараах тэгш байдал үнэн болно: f(x)=l(x)=∞
L'Hospital дүрмийг ашигласнаар та тодорхойгүй байдал гарч ирэх аливаа хязгаарын утгыг олох боломжтой. Шаардлагатай нөхцөлцагт

эзлэхүүн - дериватив олоход алдаа байхгүй байх. Жишээлбэл, (x^2)" функцийн дериватив нь 2x-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
f"(x)=nx^(n-1)

Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дэх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарын утгыг олох, тооцоол хязгаарлаххязгааргүй дэх функцийн утга. тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох ба бидний ачаар илүү их зүйлийг хийж болно онлайн үйлчилгээ- . Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө функцийн хувьсагч болон түүний хүсч буй хязгаарыг оруулбал манай үйлчилгээ танд бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохта тоон цуврал болон хоёуланг нь оруулж болно аналитик функцууд, шууд илэрхийлэлд тогтмолуудыг агуулсан. Энэ тохиолдолд олсон функцийн хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ аливаа асуудлыг шийддэг сорилттой даалгаваруудбайршлаар онлайн хязгаарлалт, энэ нь функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаар. Тооцоолох онлайн хязгаарлалт, та ашиглаж болно янз бүрийн аргаүр дүнг харьцуулахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмүүд шийдлийг онлайнаар хязгаарлах www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, үсгийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарын бие даасан тооцоололд нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Та тоон дарааллын нийтлэг нэр томъёог оруулах ёстой www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.

Математик анализын үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарболон дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтсекундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн гүйцэд байна. Тооцооллын судалгаа нь үүнээс эхэлдэг хязгаарт хүрэх, хязгаарДээд математикийн бараг бүх хэсэгт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг шийдлийг онлайнаар хязгаарлахаль сайт вэ.

Чиг үүрэг y=f (x)хууль (дүрэм) гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүний дагуу X олонлогийн х элемент бүр нь Y олонлогийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг у элементтэй холбоотой байдаг.

X элемент ∈ Xдуудсан функцийн аргументэсвэл бие даасан хувьсагч.
y элемент ∈ Үдуудсан функцийн утгаэсвэл хамааралтай хувьсагч.

X олонлогийг дууддаг функцийн хамрах хүрээ.
Элементүүдийн багц y ∈ Ү, X олонлогт урьдчилсан дүрстэй, гэж нэрлэдэг талбай эсвэл функцийн утгуудын багц.

Бодит функцийг дуудна дээрээс хязгаарласан (доороос), хэрэв ийм M тоо байвал дараахь тэгш бус байдал бүгдэд тохирно.
.
Тооны функцийг дууддаг хязгаарлагдмал, хэрэв M тоо байгаа бол бүгдэд нь:
.

дээд нүүрэсвэл яг дээд хязгаарБодит функцийг дээрээс нь түүний утгуудын хүрээг хязгаарладаг тоонуудын хамгийн бага нь гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь бүх болон аль нэгний хувьд функцийн утга нь s′ : -ээс хэтэрсэн ийм аргумент байгаа s тоо юм.
Функцийн дээд хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно.
.

Тус тусад нь доод нүүрэсвэл нарийн доод хязгаарБодит функцийг түүний утгуудын хүрээг доороос нь хязгаарладаг тоонуудын хамгийн том нь гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь i тоо бөгөөд үүний төлөө бүх болон аль нэгнийх нь хувьд ийм аргумент байдаг, функцын утга нь i′ : -ээс бага байна.
Функцийн доод хязгаарыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.

Функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Функцийн Коши хязгаарын тодорхойлолт

Төгсгөлийн цэгүүд дэх хязгаарлагдмал функцийн хязгаарууд

Тухайн цэгээс бусад тохиолдолд функцийг төгсгөлийн цэгийн зарим хэсэгт тодорхойл. цэг дээр , хэрэв аль нэгнийх нь хувьд ийм байдаг , үүнээс хамааран , бүх x , аль нь , тэгш бус байдал .
.
Функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Нэг талын хязгаарлалт.
Цэг дэх зүүн хязгаар (зүүн талын хязгаар):
.
Нэг цэгийн баруун хязгаар (баруун гар талын хязгаар):
.
Зүүн ба баруун талын хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
; .

Хязгааргүй цэг дээрх функцийн хязгаарлагдмал хязгаарууд

Хязгааргүй алслагдсан цэгүүдийн хязгаарыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.
.
.
.
Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар нэрлэдэг.
; ; .

Цэгийн хөршийн тухай ойлголтыг ашиглах

Хэрэв бид цэгийн цоорсон хөршийн тухай ойлголтыг оруулбал төгсгөл ба хязгааргүй цэг дээрх функцийн төгсгөлийн хязгаарын нэгдсэн тодорхойлолтыг өгч болно.
.
Энд төгсгөлийн цэгүүд
; ;
.
Хязгааргүй цэгийн аль ч хөрш цоорсон байна:
; ; .

Хязгааргүй функцийн хязгаар

Тодорхойлолт
Функцийг цэгийн цоорсон ойролцоо (хязгааргүй эсвэл хязгааргүй) тодорхойлъё. Функцийн хязгаар f (x) x → x гэж 0 хязгааргүйтэй тэнцүү, хэрэв дурын олон тооны хувьд М > 0 , δ M тоо байна > 0 , M -ээс хамааран цоорсон δ M - цэгийн хөршид хамаарах бүх x-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал үүснэ.
.
Хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Эсвэл цагт.

Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.

Мөн дараахтай тэнцүү тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг оруулах боломжтой.
.
.

Функцийн хязгаарын түгээмэл тодорхойлолт

Цэгийн ойр орчмын тухай ойлголтыг ашиглан функцийн хязгаарлагдмал ба хязгааргүй хязгаарын нийтлэг тодорхойлолтыг өгч, төгсгөлтэй (хоёр талт ба нэг талт) болон хязгааргүй алслагдсан цэгүүдэд хоёуланд нь хамаарах боломжтой.
.

Гейний дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт

Зарим X олонлог дээр функц тодорхойлогдоно.
a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэгцэг дээр:
,
x-д нийлэх ямар нэгэн дарааллын хувьд 0 :
,
Элементүүд нь X олонлогт хамаарах: ,
.

Бид оршин тогтнох, түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичдэг.
.

Хэрэв бид X цэгийн зүүн талын хөршийг X олонлог болгон авбал 0 , дараа нь бид зүүн хязгаарын тодорхойлолтыг авна. Хэрэв энэ нь баруун гартай бол бид зөв хязгаарын тодорхойлолтыг авна. Хэрэв бид хязгааргүй цэгийн ойр орчмыг X олонлог гэж авбал хязгааргүй дэх функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна.

Теорем
Функцийн хязгаарын Коши, Хейн тодорхойлолтууд нь тэнцүү байна.
Баталгаа

Функцийн хязгаарын шинж чанарууд ба теоремууд

Цаашилбал, авч үзэж буй функцүүд нь төгсгөлтэй тоо буюу тэмдэгтүүдийн аль нэг болох цэгийн харгалзах хэсэгт тодорхойлогддог гэж бид таамаглаж байна. Энэ нь бас нэг талын хязгаарын цэг байж болно, өөрөөр хэлбэл, эсвэл хэлбэртэй байна. Хөрш нь хоёр талт хязгаарын хувьд хоёр талтай, нэг талын хувьд нэг талтай байдаг.

Үндсэн шинж чанарууд

Хэрэв функцийн утгууд f (x)хязгаарлагдмал тооны х цэг дээр өөрчлөх (эсвэл тодорхойгүй болгох). 1 , x 2 , x 3 , ... x n, тэгвэл энэ өөрчлөлт нь дурын x цэг дэх функцийн хязгаарын оршихуй ба утгад нөлөөлөхгүй. 0 .

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол x цэгийн ийм цоорсон хөрш байна 0 , үүн дээр функц f (x)хязгаарлагдмал:
.

Функц нь x цэг дээр байна 0 тэгээс бусад төгсгөлийн хязгаар:
.
Дараа нь интервалаас ямар ч c тооны хувьд x цэгийн ийм цоорсон хөрш байдаг 0 юуны төлөө,
, хэрэв ;
, хэрэв .

Хэрэв цэгийн зарим нэг цоорсон хөрш дээр , тогтмол байвал .

Х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр хязгаарлагдмал хязгаарууд байгаа бол 0
,
дараа нь.

Хэрэв , мөн цэгийн зарим хөрш дээр
,
дараа нь.
Ялангуяа, хэрэв нэг цэгийн зарим хөрш дээр
,
дараа нь хэрэв , дараа нь ба ;
хэрэв , дараа нь ба .

Хэрэв x цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр бол 0 :
,
мөн хязгаарлагдмал (эсвэл тодорхой тэмдгийн хязгааргүй) тэнцүү хязгаарууд байдаг:
, дараа нь
.

Үндсэн шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын үндсэн шинж чанарууд".

Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд

Цэгийн зарим цоорсон хэсэгт функцууд болон тодорхойлогдоно. Мөн хязгаарлагдмал хязгаар байг:
болон .
Мөн C нь тогтмол, өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тоо байг. Дараа нь
;
;
;
, хэрэв .

Хэрэв , тэгвэл .

Арифметик шинж чанаруудын нотолгоог хуудсан дээр өгсөн болно
"Функцийн хязгаарын арифметик шинж чанарууд".

Функцийн хязгаар оршин тогтнох Коши шалгуур

Теорем
Төгсгөлийн эсвэл хязгааргүй х цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр тодорхойлогдсон функцийн тулд 0 , энэ үед хязгаарлагдмал хязгаартай байсан бөгөөд энэ нь ямар ч ε-д шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм > 0 х цэгийн ийм цоорсон хөрш байсан 0 , аль ч цэг болон энэ хөршийн хувьд дараах тэгш бус байдал байна:
.

Нарийн төвөгтэй функцийн хязгаар

Хязгаарын теорем нарийн төвөгтэй функц
Функцийг хязгаартай болгоод цэгийн цоорсон хөршийг цэгийн цоорсон хөрш рүү буулга. Функцийг энэ хөрш дээр тодорхойлж, хязгаартай байг.
Энд - эцсийн буюу хязгааргүй алслагдсан цэгүүд: . Хөршүүд болон тэдгээрийн холбогдох хязгаар нь хоёр талт эсвэл нэг талтай байж болно.
Дараа нь нийлмэл функцийн хязгаар байгаа бөгөөд энэ нь дараахтай тэнцүү байна.
.

Цогц функцийн хязгаарын теорем нь функц нь цэг дээр тодорхойлогдоогүй эсвэл хязгаарын утгаас өөр утгатай үед хамаарна. Энэ теоремыг хэрэглэхийн тулд функцийн утгуудын багц нь дараах цэгийг агуулаагүй цэгийн цоорсон хөрш байх ёстой.
.

Хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал хязгаарын тэмдгийг аргументад хэрэглэж болно тасралтгүй функц:
.
Дараах нь энэ тохиолдолд тохирох теорем юм.

Функцийн тасралтгүй функцийн хязгаарын тухай теорем
g функцийн хязгаар байг (t)зэрэг t → t 0 , мөн энэ нь x-тэй тэнцүү байна 0 :
.
Энд t цэг 0 төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно: .
Мөн функцийг f гэж үзье (x) x дээр тасралтгүй 0 .
Дараа нь f нийлмэл функцийн хязгаар байна (g(t)), мөн f-тэй тэнцүү байна (x0):
.

Теоремуудын баталгааг хуудсанд өгсөн болно
"Цогцолбор функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал".

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцууд

Хязгааргүй жижиг функцууд

Тодорхойлолт
Функцийг if хувьд хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг
.

Нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүннь хязгааргүй жижиг функцийн хязгаартай тоо нь -ийн хувьд хязгааргүй жижиг функц юм.

Хязгаарлагдмал функцийн үржвэрцэгийн зарим цоорсон хөрш дээр , infinitesimal for нь for -ийн хязгааргүй жижиг функц юм.

Функц хязгаарлагдмал хязгаартай байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм
,
-ийн хувьд хязгааргүй жижиг функц хаана байна.

"Хязгааргүй жижиг функцүүдийн шинж чанарууд".

Хязгааргүй том функцууд

Тодорхойлолт
Функцийг if хувьд хязгааргүй том гэж нэрлэдэг
.

Нийлбэр эсвэл зөрүү хязгаарлагдмал функц, цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр, мөн хязгааргүй том функц нь хязгааргүй агуу онцлогцагт.

Хэрэв функц нь цэгийн цоорсон зарим хэсэгт хязгааргүй том бөгөөд функц нь хязгаарлагдмал байвал
.

Хэрэв цэгийн зарим цоорсон хөрш дээрх функц тэгш бус байдлыг хангаж байвал:
,
функц нь хязгааргүй бага байна:
, ба (цэгийн зарим цоорсон хөрш дээр ), дараа нь
.

Үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоог энэ хэсэгт тусгасан болно
"Хязгааргүй том функцүүдийн шинж чанарууд".

Хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын хамаарал

Хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг функцүүдийн хоорондын холбоо нь өмнөх хоёр шинж чанараас үүдэлтэй.

Хэрэв функц нь үед хязгааргүй том бол функц нь -д хязгааргүй бага байна.

Хэрэв функц нь, ба -ийн хувьд хязгааргүй жижиг бол функц нь -ийн хувьд хязгааргүй том байна.

Хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй том функцийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
, .

Хэрэв хязгааргүй жижиг функц нь тодорхой тэмдэгтэй бол цэгийн зарим цоорсон хэсэгт эерэг (эсвэл сөрөг) байвал энэ баримтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Үүний нэгэн адил, хэрэв хязгааргүй том функц нь тодорхой тэмдэгтэй байвал дараахь зүйлийг бичнэ.
.

Дараа нь хязгааргүй бага ба хязгааргүй хоёрын хоорондох бэлгэдлийн холбоо гайхалтай онцлогдараах хамаарлаар нөхөж болно.
, ,
, .

Хязгааргүй байдлын тэмдэгтэй холбоотой нэмэлт томъёог хуудаснаас олж болно
"Хязгааргүй цэгүүд ба тэдгээрийн шинж чанарууд".

Монотон функцүүдийн хязгаар

Тодорхойлолт
Зарим бодит X олонлог дээр тодорхойлсон функцийг дуудна хатуу нэмэгдэж байна, хэрэв бүгдэд нь дараах тэгш бус байдал хангагдвал:
.
Үүний дагуу, төлөө хатуу бууруулж байнафункцийн хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.
.
Учир нь буурдаггүй:
.
Учир нь өсөхгүй:
.

Энэ нь хатуу өсөн нэмэгдэж буй функц нь мөн буурахгүй байна гэсэн үг юм. Хатуу буурч байгаа функц нь мөн өсөхгүй байна.

Функцийг дууддаг нэг хэвийнбуурахгүй, өсөхгүй байгаа бол.

Теорем
Функц нь интервал дээр буурахгүй байг, энд .
Хэрэв дээрээс нь M : тоогоор хязгаарлагдах бол хязгаарлагдмал хязгаар байна. Дээр хязгаарлаагүй бол .
Хэрэв доороос m : тоогоор хязгаарлагдах юм бол хязгаарлагдмал хязгаар байна . Хэрэв доор хязгаарлагдахгүй бол .

Хэрэв a ба b цэгүүд хязгааргүй байвал илэрхийлэл дэх хязгаарын тэмдэг нь .
Энэ теоремыг илүү нягт томъёолж болно.

Функц нь интервал дээр буурахгүй байг, энд . Дараа нь a ба b цэгүүдэд нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.

Өсөхгүй функцийн ижил төстэй теорем.

Функц нь интервал дээр нэмэгдэхгүй байг, энд . Дараа нь нэг талын хязгаарлалтууд байдаг:
;
.

Теоремын нотолгоог хуудсан дээр бичсэн болно
"Монотоник функцүүдийн хязгаар".

Лавлагаа:
Л.Д. Кудрявцев. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 2003 он.
CM. Никольский. Математик анализын курс. 1-р боть. Москва, 1983 он.

Функцийн хязгаар- тоо аХэрэв энэ хувьсагч өөрчлөгдөх явцад тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол зарим хувьсагчийн утгын хязгаар болно. а.

Өөрөөр хэлбэл, тоо Ань функцийн хязгаар юм y=f(x)цэг дээр x0, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас ямар нэгэн цэгийн дарааллын хувьд тэнцүү биш x0, аль нь цэгт нийлдэг x 0 (lim x n = x0), функцийн харгалзах утгуудын дараалал нь тоонд нийлдэг А.

Хязгаар нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг аргументтай функцийн график Л:

Утга ГЭХДЭЭбайна функцийн хязгаар (хязгаарлалтын утга). f(x)цэг дээр x0ямар нэг цэгийн дарааллын хувьд , аль нь нийлдэг x0, гэхдээ агуулаагүй x0түүний элементүүдийн нэг болгон (жишээ нь цоорсон хороололд x0), функцийн утгуудын дараалал -д нийлдэг А.

Кошигийн дагуу функцийн хязгаар.

Утга Абайх болно функцийн хязгаар f(x)цэг дээр x0хэрэв ямар нэгэн форвард авсан сөрөг бус тоо ε сөрөг бус харгалзах тоо олно δ = δ(ε) аргумент бүрийн хувьд x, нөхцөлийг хангаж байна 0 < | x - x0 | < δ , тэгш бус байдал | f(x) A |< ε .

Хэрэв та хязгаарын мөн чанар, түүнийг олох үндсэн дүрмийг ойлговол энэ нь маш энгийн байх болно. Энэ нь функцийн хязгаар юм f(x)цагт xтэмүүлж байна атэнцүү байна А, ингэж бичсэн байна:

Түүнээс гадна хувьсагчийн хандлагатай утга x, зөвхөн тоо биш, мөн хязгааргүй (∞), заримдаа +∞ эсвэл -∞ байж болно, эсвэл огт хязгааргүй байж болно.

Яаж гэдгийг ойлгохын тулд функцийн хязгаарыг ол, шийдлүүдийн жишээг харах нь дээр.

Бид функцийн хязгаарыг олох хэрэгтэй f(x) = 1/xхаягаар:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Эхний хязгаарын шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л орлуулж болно xтүүний тэмүүлж буй тоо, өөрөөр хэлбэл. 2, бид авна:

Функцийн хоёр дахь хязгаарыг ол. Энд орлуулна цэвэр хэлбэрОронд нь 0 xболомжгүй, учир нь 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ бид тэгтэй ойролцоо утгыг авч болно, жишээлбэл, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 гэх мэт функцын утгын хамт f(x)нэмэгдэх болно: 100; 1000; 10000; 100000 гэх мэт. Тиймээс хэзээ гэж ойлгож болно x→ 0 Хязгаарын тэмдгийн доор байгаа функцийн утга нь тодорхойгүй хугацаагаар өсөх болно, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүйд тэмүүлэх. Юу гэсэн үг вэ гэхээр:

Гурав дахь хязгаарын тухайд. Өмнөх тохиолдолтой ижил нөхцөл байдал, үүнийг орлуулах боломжгүй юм ∞ хамгийн цэвэр хэлбэрээр. Хязгааргүй өсөлтийн асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй x. Бид ээлжлэн 1000-ыг орлуулдаг; 10000; 100000 гэх мэтчилэн бидэнд функцийн утга байна f(x) = 1/xбуурах болно: 0.001; 0.0001; 0.00001; гэх мэтээр тэг рүү тэмүүлдэг. Тийм учраас:

Функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай

Хоёрдахь жишээг шийдэж эхэлснээр бид тодорхойгүй байдлыг харж байна. Эндээс бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд зэргийг олдог - энэ бол x 3, бид үүнийг тоологч болон хуваагч дахь хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь түүгээр багасгана:

Хариулт

Эхний алхам энэ хязгаарыг олох, оронд нь 1 утгыг орлуулна x, үр дүнд нь тодорхойгүй байдал . Үүнийг шийдэхийн тулд бид тоологчийг хүчин зүйл болгон задалдаг бөгөөд бид үндсийг нь олох замаар үүнийг хийх болно квадрат тэгшитгэл x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Тиймээс тоологч нь:

Хариулт

Энэ нь түүний тодорхой утгын тодорхойлолт юмуу функц унадаг тодорхой хэсэг бөгөөд энэ нь хязгаараар хязгаарлагддаг.

Хязгаарыг тодорхойлохын тулд дараах дүрмийг баримтална уу.

Үүний мөн чанар, гол зүйлийг ойлгосон шийдвэр гаргах дүрмийг хязгаарлах, Та авах болно үндсэн ойлголттэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.