Бусад толь бичгүүдээс "CONDITIONAL EXTREME" гэж юу болохыг харна уу:

Харьцангуй экстремум, n + m хувьсагчийн f (x1,..., xn + m) функцийн экстремум, эдгээр хувьсагчдад m илүү холболтын тэгшитгэл (нөхцөл) хамаарна гэж үзвэл: φk (x1,..., xn +) m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (Экстремумыг үзнэ үү).… …

Нээлттэй олонлог болон өгөгдсөн функцүүд байг. Болъё. Эдгээр тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (нэр томъёог механикаас авсан). G ... Википедиа дээр функц тодорхойлогддог байг

- (Латин extremum extreme гэсэн үг) тасралтгүй функцийн утга f (x) нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байна. Илүү нарийвчлалтай: x0 цэг дээр үргэлжилсэн f (x) функц нь энэ цэгийн хөрш (x0 + δ, x0 δ) байвал x0 дээр максимум (хамгийн бага) байна, ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Extreme (утга) -ыг үзнэ үү. Математикийн экстремум (Латин extremum extreme) нь тухайн олонлог дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга юм. Экстремум хүрэх цэг нь ... ... Википедиа

Хэд хэдэн хувьсагч ба функциональ функцүүдийн нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функц. L. f-ийн тусламжтайгаар. Шаардлагатай оновчтой нөхцлийг нөхцөлт экстремумын бодлогод бичнэ. Зөвхөн хувьсагчийг илэрхийлэх шаардлагагүй... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг буюу хэд хэдэн функцийн сонголтоос хамааран хувьсагчийн функцүүдийн хэт (хамгийн их ба хамгийн бага) утгыг олоход зориулагдсан математикийн хичээл. болон. Энэ нь тухайн бүлгийн байгалийн хөгжил юм. … Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Нөхцөлт экстремумын асуудлыг судлахад Лагранжийн функцийг бүтээдэг хувьсагчид. L. m. ба Лагранжийн функцийг ашиглах нь нөхцөлт экстремумын асуудлуудад шаардлагатай оновчтой нөхцлүүдийг нэгдмэл байдлаар олж авах боломжийг олгодог ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо нь функциональ шинж чанарын өөрчлөлтийг судалдаг функциональ шинжилгээний салбар юм. Хувьслын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол өгөгдсөн функцэд хүрэх функцийг олох явдал юм ... ... Википедиа

Эдгээрт ногдуулсан янз бүрийн хязгаарлалтын (фаз, дифференциал, интеграл гэх мэт) дор нэг буюу хэд хэдэн функцийг сонгохоос хамаардаг функцүүдийн экстремумыг олох аргуудыг судлахад зориулагдсан математикийн хэсэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо нь функционалуудын өөрчлөлтийг судалдаг математикийн салбар юм. Хувилбарын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол функц нь туйлын утгад хүрэх функцийг олох явдал юм. Арга ... ... Википедиа

Номууд

• Хяналтын онолын лекц. Боть 2. Оновчтой хяналт, V. Boss. Оновчтой хяналтын онолын сонгодог асуудлуудыг авч үзсэн. Танилцуулга нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн оновчлолын үндсэн ойлголтуудаас эхэлдэг: нөхцөлт ба болзолгүй экстремум, ...

Тодорхойлолт 1: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал максимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт< 0.

Тодорхойлолт 2: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал минимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт > 0 байна.

Тодорхойлолт 3: Цэгүүд орон нутгийн минимумба максимум гэж нэрлэдэг экстремум цэгүүд.

Нөхцөлт туйл

Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг хайхад ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг функцтэй холбоотой асуудал гарч ирдэг. нөхцөлт туйл.Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээгээр тайлбарлаж болно.

Функц ба мөрийг өгье Лгадаргуу дээр 0xy. Даалгавар бол шугамлах явдал юм Лийм цэгийг олоорой P(x, y),функцийн утга нь шугамын цэгүүд дэх энэ функцын утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байна Лцэгийн ойролцоо байрладаг П. Ийм цэгүүд Пдуудсан нөхцөлт экстремум цэгүүдшугамын функцууд Л. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дэх функцын утгыг түүний зарим хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн шугаман дээр байрлах функцүүдийн утгатай харьцуулна. Л.

Ердийн экстремумын цэг нь тодорхой байна (тэд бас хэлдэг болзолгүй экстремум) мөн энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шулууны нөхцөлт экстремум цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Функцийн график нь дээд тархи юм (Хавсралт 3 (Зураг 3)).

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь дээд талтай тохирч байна Мтархи. Хэрэв шугам Лцэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам байдаг ГЭХДЭЭболон AT(түүний тэгшитгэл x+y-1=0), тэгвэл энэ шугамын цэгүүдийн хувьд геометрийн хувьд тодорхой байна хамгийн өндөр үнэ цэнэфункц нь цэгүүдийн дунд байрлах цэг дээр хүрдэг ГЭХДЭЭболон AT.Энэ нь өгөгдсөн шугам дээрх функцийн нөхцөлт экстремумын (хамгийн их) цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн бөмбөрцгийн М 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энд энгийн экстремумын тухай асуудал байж болохгүйг зургаас харж болно.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн экстремаль утгуудыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим мөрөнд, улмаар нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийднэ.

Одоо x ба y хувьсагчид (x, y) = 0 тэгшитгэлээр хамааралтай байх нөхцөлд Z= f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремумын цэгүүдийн практик хайлт руу орцгооё. хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс y-ийг х: y \u003d (x) хэлбэрээр тодорхой илэрхийлж чадвал бид Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) нэг хувьсагчийн функцийг авна.

Энэ функц экстремумд хүрэх x-ийн утгыг олж, дараа нь холболтын тэгшитгэлээс y-ийн харгалзах утгыг тодорхойлсны дараа бид нөхцөлт экстремумын хүссэн цэгүүдийг олж авна.

Тэгэхээр дээрх жишээн дээр x+y-1=0 харилцааны тэгшитгэлээс y=1-x байна. Эндээс

x = 0.5 үед z хамгийн ихдээ хүрч байгааг шалгахад хялбар байдаг; гэхдээ дараа нь y = 0.5 холболтын тэгшитгэлээс бид геометрийн тооцооллоос олдсон P цэгийг яг авна.

Нөхцөлт экстремумын асуудал нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийг төлөөлөх боломжтой байсан ч маш энгийнээр шийдэгддэг. параметрийн тэгшитгэл x=x(t), y=y(t). x ба у-ийн илэрхийллүүдийг орлуулах энэ функц, бид нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудалд дахин ирлээ.

Хэрэв хязгаарлалтын тэгшитгэл нь түүнээс их байвал цогц үзэмжмөн бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар нь тодорхой илэрхийлэх, мөн параметрийн тэгшитгэлээр орлуулах боломжгүй бол нөхцөлт экстремумыг олох асуудал улам хэцүү болно. z= f(x, y) функцийн илэрхийлэлд хувьсагч (x, y) = 0 байна гэж бид үргэлжлүүлэн тооцно. z= f(x, y) функцийн нийт дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

Ялгах дүрмээр олдсон y` дериватив хаана байна далд функц. Нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд олдсон нийт дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой; Энэ нь x ба y-тэй холбоотой нэг тэгшитгэлийг өгдөг. Тэд мөн хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангах ёстой тул бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эхний тэгшитгэлийг пропорциональ хэлбэрээр бичиж, шинэ туслах үл мэдэгдэхийг оруулснаар энэ системийг илүү тохиромжтой систем болгон хувиргацгаая.

(тохь тухтай байлгах үүднээс хасах тэмдэг урд талд байрлуулсан). Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь системд шилжихэд хялбар байдаг.

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хамт x, y, ба үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Эдгээр тэгшитгэл (*) нь санахад хамгийн хялбар байдаг дараагийн дүрэм: функцийн нөхцөлт экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд

Z= f(x, y) хязгаарлалтын тэгшитгэл (x, y) = 0 бол туслах функц үүсгэх шаардлагатай.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Энэ функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд зарим нэг тогтмол байна, тэгшитгэл бичнэ үү.

Тодорхойлсон тэгшитгэлийн систем нь дүрмээр бол зөвхөн шаардлагатай нөхцлийг хангадаг, жишээлбэл. Энэ системийг хангасан x ба y хос бүр нь нөхцөлт экстремум цэг байх албагүй. Би нөхцөлт экстремум цэгүүдэд хангалттай нөхцөл өгөхгүй; Ихэнх тохиолдолд асуудлын тодорхой агуулга нь олсон цэг нь юу болохыг харуулж байна. Нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэх тайлбарласан техникийг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэдэг.

Эхлээд хоёр хувьсагчийн функцийн тохиолдлыг авч үзье. $M_0(x_0;y_0)$ цэг дэх $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт экстремум нь энэ функцийн экстремум бөгөөд $x$ болон $y$ хувьсагчдыг Энэ цэгийн ойролцоо $\ varphi(x,y)=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангана.

"Нөхцөлт" экстремум нэр нь хувьсагчдыг ногдуулсантай холбоотой юм нэмэлт нөхцөл$\varphi(x,y)=0$. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх боломжтой бол нөхцөлт экстремумыг тодорхойлох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн ердийн экстремумын асуудал болгон бууруулна. Жишээлбэл, хязгаарлалтын тэгшитгэлээс $y=\psi(x)$ байвал $y=\psi(x)$-г $z=f(x,y)$ гэж орлуулбал $ нэг хувьсагчийн функц гарч ирнэ. z=f\left (x,\psi(x)\right)$. AT ерөнхий тохиолдол, гэхдээ энэ арга нь ашиг багатай тул шинэ алгоритм шаардлагатай.

Хоёр хувьсагчийн функцийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга.

Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь нөхцөлт экстремумыг олохын тулд Лагранж функцийг бүрдүүлнэ: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda) $-г Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг). Шаардлагатай экстремум нөхцлийг суурин цэгүүдийг тодорхойлсон тэгшитгэлийн системээр өгдөг.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=0;\\ & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ тэмдэг. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг дээр $d^2F > 0$ байвал $z=f(x,y)$ функц нь энэ цэгт нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, то условный максимум.

Экстремумын шинж чанарыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ тул ямар ч хөдөлгөөнгүй цэг дээр бид дараах байдалтай байна:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \баруун)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\баруун)$$

Хоёрдахь хүчин зүйлийг (хаалтанд байрлуулсан) дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

$\left|-н элементүүд \begin(массив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \төгсгөл (массив) \right|$ нь Лагранжийн функцийн Гессиан юм. Хэрэв $H > 0$ бол $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, өөрөөр хэлбэл. бидэнд $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт минимум байна.

$H$ тодорхойлогчийн хэлбэрийг тэмдэглэ. харуулах/нуух

$$ H=-\left|\begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ төгсгөл(массив) \баруун| $$

Энэ нөхцөлд дээр дурдсан дүрэм дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: хэрэв $H > 0$ бол функц нь нөхцөлт минимумтай байх ба $H-ийн хувьд< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Нөхцөлт экстремумын хоёр хувьсагчийн функцийг судлах алгоритм

1. $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ Лагранж функцийг зохио.
2. Системийг шийднэ үү $ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$
3. Өмнөх догол мөрөнд байгаа хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд дараах аргуудын аль нэгийг ашиглана уу.
   • Тодорхойлогч $H$-г зохиож, тэмдгийг ол
   • Хязгаарлалтын тэгшитгэлийг харгалзан $d^2F$ тэмдгийг тооцоол

n хувьсагчийн функцүүдийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга

Бидэнд $n$ хувьсагчийн $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ба $m$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийн функц байна гэж бодъё ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Лагранжийн үржүүлэгчийг $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг үүсгэнэ.

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Нөхцөлт экстремум байх шаардлагатай нөхцлийг суурин цэгүүдийн координат ба Лагранжийн үржүүлэгчийн утгыг олох тэгшитгэлийн системээр өгсөн болно.

$$\зүүн\(\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

$d^2F$ тэмдгээр функц нь урьдын адил олдсон цэг дээр нөхцөлт минимум эсвэл нөхцөлт максимумтай эсэхийг мэдэх боломжтой. Хэрэв олсон цэг дээр $d^2F > 0$ байвал функц нь нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Матриц тодорхойлогч $\left| \begin(массив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(3)) &\ldots & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(n))\\ \frac(\хэсэг^2F) )(\хэсэг x_(3) \хэсэгчилсэн x_(1)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн x_(3)\хэсэгчилсэн x_(2)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн) x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( массив) \right|$ L$ матрицад улаанаар тодруулсан нь Лагранж функцийн Хессиан юм. Бид дараах дүрмийг ашигладаг.

• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрицууд $L$ нь $(-1)^m$ тэмдэгтэй давхцаж байвал судалж буй суурин цэг нь $z функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ээлжлэн, бага $H_(2m+1)$ тэмдэг нь $(-1)^(m+1) тооны тэмдэгтэй давхцаж байна. )$, тэгвэл судлагдсан суурин цэг нь $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ функцийн нөхцөлт хамгийн их цэг болно.

Жишээ №1

$x^2+y^2=10$ нөхцөлөөр $z(x,y)=x+3y$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Энэ асуудлын геометрийн тайлбар нь дараах байдалтай байна: хамгийн том ба олох шаардлагатай хамгийн бага утга$z=x+3y$ хавтгайн $x^2+y^2=10$ цилиндртэй огтлолцох цэгүүдэд хамаарна.

Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлж, $z(x,y)=x+3y$ функцэд орлуулах нь зарим талаар хүндрэлтэй тул бид Лагранжийн аргыг ашиглана.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг.

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) F)(\хэсэг х)=1+2\ламбда х; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг бичье.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 1+2\ламбда x=0;\\ & 3+2\ламбда у=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \төгсгөл (зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Хэрэв бид $\lambda=0$ гэж үзвэл эхний тэгшитгэл нь: $1=0$ болно. Үүссэн зөрчилдөөн нь $\lambda\neq 0$ байна. $\lambda\neq 0$ нөхцөлийн дагуу эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) доллар. Гурав дахь тэгшитгэлд олж авсан утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \баруун)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\ламбда^2)+\фрак(9)(4\ламбда^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун.\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

Тэгэхээр систем нь хоёр шийдэлтэй байна: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ болон $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Тогтворгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье: $M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$. Үүнийг хийхийн тулд бид цэг бүр дээр тодорхойлогч $H$-ийг тооцоолно.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(массив) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(массив) \баруун| $$

$M_1(1;3)$ цэг дээр бид дараахыг авна: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(массив) \right|=40 > 0$, тэгэхээр цэг дээр $M_1(1;3)$ функц нь $z(x,y)=x+3y$ нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Үүний нэгэн адил $M_2(-1;-3)$ цэг дээр бид дараахыг олно: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(массив) \right|=-40$. $H оноос хойш< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Тодорхойлогч $H$-ийн утгыг цэг бүр дээр тооцоолохын оронд үүнийг өргөтгөх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. ерөнхий үзэл. Текстийг нарийн ширийн зүйлээр эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би энэ аргыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Тодорхойлогч $H$ тэмдэглэгээ ерөнхий хэлбэрээр. харуулах/нуух

$$ H=8\cdot\left|\begin(массив)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(массив)\баруун| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\баруун). $$

Зарчмын хувьд $H$ ямар тэмдэгтэй байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон. $M_1$ эсвэл $M_2$ цэгүүдийн аль нь ч эхтэй давхцахгүй тул $y^2+x^2>0$. Тиймээс $H$ тэмдэг нь $\lambda$ тэмдгийн эсрэг байна. Та мөн тооцооллыг хийж болно:

$$ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(3^2+1^2\баруун)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\баруун)=-40. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

$M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$ хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн экстремумын шинж чанарын тухай асуултыг $H$ тодорхойлогчийг ашиглахгүйгээр шийдэж болно. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн $d^2F$ тэмдгийг ол:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\баруун) $$

$dx^2$ гэсэн тэмдэглэгээ нь яг $dx$-ийг хоёр дахь зэрэглэлд хүргэсэн гэсэн үг гэдгийг би анхаарна уу. $\зүүн(dx\баруун)^2$. Тиймээс бидэнд: $dx^2+dy^2>0$ байна, тэгэхээр $\lambda_1=-\frac(1)(2)$-ийн хувьд бид $d^2F авна.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Хариулт: $(-1;-3)$ цэгт функц нь нөхцөлт минимумтай, $z_(\min)=-10$ байна. $(1;3)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=10$ байна.

Жишээ №2

$x+y=0$ нөхцөлийн $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Эхний арга (Лагранж үржүүлэгчийн арга)

$\varphi(x,y)=x+y$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Системийг шийдэж, бид дараахыг олж авна: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ болон $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9) )$ , $\lambda_2=-10$. Бидэнд хоёр суурин цэг байна: $M_1(0;0)$ болон $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ тодорхойлогчийг ашиглан хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье.

$$ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(массив) \баруун|=-10-18y $$

$M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 цэг дээр< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ тул энэ үед функц нь $z_(\max)=\frac(500)(243)$ нөхцөлт максимумтай байна.

Бид $d^2F$ тэмдэгт дээр үндэслэн цэг тус бүрийн экстремумын шинж чанарыг өөр өөр аргаар судалдаг.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ тул $M_1(0;0)$ нь $z(x,y)=3y^3+ функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. 4x^ 2-xy$. Үүнтэй адил $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Хоёр дахь арга зам

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахийг олж авна: $y=-x$. $y=-x$-г $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцэд орлуулснаар $x$ хувьсагчийн зарим функцийг олж авна. Энэ функцийг $u(x)$ гэж тэмдэглэе:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ийнхүү бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг тодорхойлох асуудал болгон бууруулсан.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

$M_1(0;0)$ болон $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ оноо авсан. Цаашдын судалгааг курсээс мэддэг дифференциал тооцоонэг хувьсагчийн функцууд. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрт $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгаж эсвэл олсон цэгүүд дээрх $u_(x)^(")$ тэмдгийн өөрчлөлтийг шалгаснаар эхний шийдэлтэй ижил дүгнэлт гарна. Жишээлбэл, $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгана уу:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ тул $M_1$ нь $u(x)$ функцийн хамгийн бага цэг, харин $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2) оноос хойш<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Өгөгдсөн холболтын нөхцөлд $u(x)$ функцийн утгууд нь $z(x,y)$ функцийн утгатай давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. $u(x)$ функцийн олдсон экстремумууд нь $z(x,y)$ функцийн хүссэн нөхцөлт туйл юм.

Хариулт: $(0;0)$ цэг дээр функц нь болзолт минимумтай, $z_(\min)=0$ байна. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт дээд талтай, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

$d^2F$ тэмдгийг тодорхойлох замаар экстремумын мөн чанарыг олж мэдэх өөр нэг жишээг авч үзье.

Жишээ №3

$x$ ба $y$ хувьсагч эерэг ба $\frac(x^2)(8)+\frac() хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангавал $z=5xy-4$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. у^2)(2) -1=0$.

Лагранж функцийг зохио: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг ол:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

Цаашдын бүх өөрчлөлтийг $x > 0-ийг харгалзан гүйцэтгэнэ; \; y > 0$ (энэ нь асуудлын нөхцөл байдалд заасан). Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид $\lambda=-\frac(5x)(y)$-г илэрхийлж, олсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулна: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Гурав дахь тэгшитгэлд $x=2y$-г орлуулснаар бид дараахыг авна: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ тул $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ цэг дэх экстремумын шинж чанарыг $d^2F$ тэмдгээр тодорхойлно.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ тул:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \баруун)+d\left(\frac(y^2)(2) \баруун)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Зарчмын хувьд энд та $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ параметрийн хөдөлгөөнгүй цэгийн координатыг нэн даруй орлуулж, дараахийг олж авах боломжтой.

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \баруун)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Гэсэн хэдий ч нөхцөлт экстремумын бусад асуудлуудад хэд хэдэн суурин цэг байж болно. Ийм тохиолдолд $d^2F$-г ерөнхий хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь олсон суурин цэг бүрийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэл болгон орлуулах нь дээр.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \баруун)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$-г орлуулбал бид дараахыг авна.

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \баруун)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 оноос хойш< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Хариулт: $(2;1)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=6$ байна.

Дараагийн хэсэгт бид илүү олон тооны хувьсагчийн функцүүдэд Лагранжийн аргыг хэрэглэх талаар авч үзэх болно.

Жишээ

Энэ тохиолдолд функцийн экстремумыг ол Xболон цагтхарьцаагаар холбогдоно: . Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр
онгоц
.

Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
олох
X:

гэж заасан
, интервал дээр нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан
.

Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр цилиндрийг гатлах замаар олж авсан
онгоц
, энэ нь өргөдлийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай (Зураг 9). Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
олох
. Хавтгайн тэгшитгэлд y-ийн олсон утгыг орлуулснаар бид нэг хувьсагчийн функцийг олж авна. X:

Ийнхүү функцийн экстремумыг олох асуудал гарч ирнэ
гэж заасан
, сегмент дээрх нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан.

Тэгэхээр, нөхцөлт экстремумыг олох асуудалзорилгын функцийн экстремумыг олох асуудал юм
, хувьсагчууд байх нөхцөлд Xболон цагтхязгаарлалтад хамаарна
дуудсан холболтын тэгшитгэл.

Бид үүнийг хэлэх болно цэг
, хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангах, нь орон нутгийн нөхцөлт максимум (хамгийн бага) хэрэв хөрш байгаа бол
ямар ч онооны хувьд тийм
, координатууд нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангадаг бол тэгш бус байдал биелнэ.

Хэрэв харилцааны тэгшитгэлээс илэрхийлэлийг олох боломжтой бол цагт, дараа нь энэ илэрхийллийг анхны функц болгон орлуулснаар бид сүүлийнхийг нэг хувьсагчийн цогц функц болгон хувиргадаг. X.

Нөхцөлт экстремум асуудлыг шийдэх ерөнхий арга нь Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Туслах функц үүсгэцгээе, хаана ─ хэдэн тоо. Энэ функцийг нэрлэдэг Лагранж функц, a ─ Лагранжийн үржүүлэгч. Тиймээс нөхцөлт экстремумыг олох асуудал нь Лагранжийн функцийн орон нутгийн экстремум цэгүүдийг олох хүртэл багассан. Боломжит экстремумын цэгүүдийг олохын тулд гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай. x, yболон.

Дараа нь дараах хангалттай экстремум нөхцөлийг ашиглах хэрэгтэй.

ТЕОРЕМ. Цэгийг Лагранжийн функцийн боломжит экстремумын цэг гэж үзье. Бид цэгийн ойролцоо гэж таамаглаж байна
функцүүдийн тасралтгүй хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг болон . Тэмдэглэх

Дараа нь бол
, дараа нь
─ функцийн нөхцөлт экстремум цэг
хязгаарлалтын тэгшитгэл дээр
энэ хооронд, хэрэв
, дараа нь
─ нөхцөлт доод цэг, хэрэв
, дараа нь
─ нөхцөлт дээд цэг.

§найм. Градиент ба чиглэлийн дериватив

Функцийг зөвшөөр
зарим (нээлттэй) домэйнд тодорхойлсон. Аливаа цэгийг анхаарч үзээрэй
энэ талбай болон дурын шулуун шугам (тэнхлэг) энэ цэгээр дамжин өнгөрөх (Зураг 1). Болъё
- энэ тэнхлэгийн өөр нэг цэг,
- хоорондох сегментийн урт
болон
, нэмэх тэмдгээр авсан, хэрэв чиглэл
тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байна , хэрэв чиглэл нь эсрэг байвал хасах тэмдэгтэй.

Болъё
хязгааргүй ойртдог
. Хязгаар

дуудсан функцийн дериватив
чиглэсэн (эсвэл тэнхлэгийн дагуу ) ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Энэ дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн "өөрчлөлтийн хурд"-ыг тодорхойлдог
чиглэсэн . Ялангуяа, энгийн хэсэгчилсэн деривативууд ,мөн "чиглэлийн хувьд" дериватив гэж үзэж болно.

Одоо функц байна гэж бодъё
авч үзэж буй бүс нутагт тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Тэнхлэгээ зөвшөөр координатын тэнхлэгүүдтэй өнцөг үүсгэдэг
болон . Хийсэн таамаглалын дагуу чиглэлтэй дериватив байгаа бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

.

Хэрэв вектор
координатаар нь тогтооно
, дараа нь функцийн дериватив
векторын чиглэлд
томъёог ашиглан тооцоолж болно:

.

Координат бүхий вектор
дуудсан градиент векторфункцууд
цэг дээр
. Градиент вектор нь тухайн цэг дэх функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заана.

Жишээ

Өгөгдсөн функц , цэг A(1, 1) ба вектор
. Олно: 1) А цэг дээрх grad z; 2) векторын чиглэлд А цэг дээрх дериватив .

Тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд
:

;
.

Тэгвэл энэ цэг дэх функцийн градиент вектор нь:
. Градиент векторыг мөн вектор өргөтгөл ашиглан бичиж болно болон :

. Функцийн дериватив векторын чиглэлд :

Тэгэхээр,
,
.◄