Бусад толь бичгүүдээс "CONDITIONAL EXTREME" гэж юу болохыг харна уу:

Харьцангуй экстремум, n + m хувьсагчийн f (x1,..., xn + m) функцийн экстремум, эдгээр хувьсагчдад m илүү холболтын тэгшитгэл (нөхцөл) хамаарна гэж үзвэл: φk (x1,..., xn +) m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (Экстремумыг үзнэ үү).… …

Нээлттэй олонлог болон өгөгдсөн функцүүд байг. Болъё. Эдгээр тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (нэр томъёог механикаас авсан). G ... Википедиа дээр функц тодорхойлогддог байг

- (Латин extremum extreme гэсэн үг) тасралтгүй функцийн утга f (x) нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байна. Илүү нарийвчлалтай: x0 цэг дээр үргэлжилсэн f (x) функц нь энэ цэгийн хөрш (x0 + δ, x0 δ) байвал x0 дээр максимум (хамгийн бага) байна, ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Extreme (утга) -ыг үзнэ үү. Математикийн экстремум (Латин extremum extreme) нь тухайн олонлог дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга юм. Экстремум хүрэх цэг нь ... ... Википедиа

Хэд хэдэн хувьсагч ба функциональ функцүүдийн нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функц. L. f-ийн тусламжтайгаар. Шаардлагатай оновчтой нөхцлийг нөхцөлт экстремумын бодлогод бичнэ. Зөвхөн хувьсагчийг илэрхийлэх шаардлагагүй... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг буюу хэд хэдэн функцийн сонголтоос хамааран хувьсагчийн функцүүдийн хэт (хамгийн их ба хамгийн бага) утгыг олоход зориулагдсан математикийн хичээл. болон. Энэ нь тухайн бүлгийн байгалийн хөгжил юм. … Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Нөхцөлт экстремумын асуудлыг судлахад Лагранжийн функцийг бүтээдэг хувьсагчид. L. m. ба Лагранжийн функцийг ашиглах нь нөхцөлт экстремумын асуудлуудад шаардлагатай оновчтой нөхцлүүдийг нэгдмэл байдлаар олж авах боломжийг олгодог ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо нь функциональ шинж чанарын өөрчлөлтийг судалдаг функциональ шинжилгээний салбар юм. Хувьслын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол өгөгдсөн функцэд хүрэх функцийг олох явдал юм ... ... Википедиа

Эдгээрт ногдуулсан янз бүрийн хязгаарлалтын (фаз, дифференциал, интеграл гэх мэт) дор нэг буюу хэд хэдэн функцийг сонгохоос хамаардаг функцүүдийн экстремумыг олох аргуудыг судлахад зориулагдсан математикийн хэсэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо нь функционалуудын өөрчлөлтийг судалдаг математикийн салбар юм. Хувилбарын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол функц нь туйлын утгад хүрэх функцийг олох явдал юм. Арга ... ... Википедиа

Номууд

• Хяналтын онолын лекц. Боть 2. Оновчтой хяналт, V. Boss. Оновчтой хяналтын онолын сонгодог асуудлуудыг авч үзсэн. Танилцуулга нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн оновчлолын үндсэн ойлголтуудаас эхэлдэг: нөхцөлт ба болзолгүй экстремум, ...

Эхлээд хоёр хувьсагчийн функцийн тохиолдлыг авч үзье. $M_0(x_0;y_0)$ цэг дэх $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт экстремум нь энэ функцийн экстремум бөгөөд $x$ болон $y$ хувьсагчдыг Энэ цэгийн ойролцоо $\ varphi(x,y)=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангана.

"Нөхцөлт" экстремум гэдэг нэр нь хувьсагчид $\varphi(x,y)=0$ нэмэлт нөхцөл ногдуулсантай холбоотой юм. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх боломжтой бол нөхцөлт экстремумыг тодорхойлох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн ердийн экстремумын асуудал болгон бууруулна. Жишээлбэл, хязгаарлалтын тэгшитгэлээс $y=\psi(x)$ байвал $y=\psi(x)$-г $z=f(x,y)$ гэж орлуулбал $ нэг хувьсагчийн функц гарч ирнэ. z=f\left (x,\psi(x)\right)$. Гэхдээ ерөнхий тохиолдолд энэ арга нь ашиг багатай тул шинэ алгоритм шаардлагатай.

Хоёр хувьсагчийн функцийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга.

Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь нөхцөлт экстремумыг олохын тулд Лагранж функцийг бүрдүүлнэ: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda) $-г Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг). Шаардлагатай экстремум нөхцлийг суурин цэгүүдийг тодорхойлсон тэгшитгэлийн системээр өгдөг.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=0;\\ & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ тэмдэг. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг дээр $d^2F > 0$ байвал $z=f(x,y)$ функц нь энэ цэгт нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, то условный максимум.

Экстремумын шинж чанарыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ тул ямар ч хөдөлгөөнгүй цэг дээр бид дараах байдалтай байна:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \баруун)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\баруун)$$

Хоёрдахь хүчин зүйлийг (хаалтанд байрлуулсан) дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

$\left|-н элементүүд \begin(массив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \төгсгөл (массив) \right|$ нь Лагранжийн функцийн Гессиан юм. Хэрэв $H > 0$ бол $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, өөрөөр хэлбэл. бидэнд $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт минимум байна.

$H$ тодорхойлогчийн хэлбэрийг тэмдэглэ. харуулах/нуух

$$ H=-\left|\begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ төгсгөл(массив) \баруун| $$

Энэ нөхцөлд дээр дурдсан дүрэм дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: хэрэв $H > 0$ бол функц нь нөхцөлт минимумтай байх ба $H-ийн хувьд< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Нөхцөлт экстремумын хоёр хувьсагчийн функцийг судлах алгоритм

1. $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ Лагранж функцийг зохио.
2. Системийг шийднэ үү $ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$
3. Өмнөх догол мөрөнд байгаа хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд дараах аргуудын аль нэгийг ашиглана уу.
   • Тодорхойлогч $H$-г зохиож, тэмдгийг ол
   • Хязгаарлалтын тэгшитгэлийг харгалзан $d^2F$ тэмдгийг тооцоол

n хувьсагчийн функцүүдийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга

Бидэнд $n$ хувьсагчийн $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ба $m$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийн функц байна гэж бодъё ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Лагранжийн үржүүлэгчийг $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг үүсгэнэ.

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Нөхцөлт экстремум байх шаардлагатай нөхцлийг суурин цэгүүдийн координат ба Лагранжийн үржүүлэгчийн утгыг олох тэгшитгэлийн системээр өгсөн болно.

$$\зүүн\(\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

$d^2F$ тэмдгээр функц нь урьдын адил олдсон цэг дээр нөхцөлт минимум эсвэл нөхцөлт максимумтай эсэхийг мэдэх боломжтой. Хэрэв олсон цэг дээр $d^2F > 0$ байвал функц нь нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Матриц тодорхойлогч $\left| \begin(массив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(3)) &\ldots & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(n))\\ \frac(\хэсэг^2F) )(\хэсэг x_(3) \хэсэгчилсэн x_(1)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн x_(3)\хэсэгчилсэн x_(2)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн) x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( массив) \right|$ L$ матрицад улаанаар тодруулсан нь Лагранж функцийн Хессиан юм. Бид дараах дүрмийг ашигладаг.

• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрицууд $L$ нь $(-1)^m$ тэмдэгтэй давхцаж байвал судалж буй суурин цэг нь $ функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ээлжлэн, бага $H_(2m+1)$ тэмдэг нь $(-1)^(m+1) тооны тэмдэгтэй давхцаж байна. )$, тэгвэл судлагдсан суурин цэг нь $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ функцийн нөхцөлт хамгийн их цэг болно.

Жишээ №1

$x^2+y^2=10$ нөхцөлөөр $z(x,y)=x+3y$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Энэ асуудлын геометрийн тайлбар нь дараах байдалтай байна: хамгийн том ба олох шаардлагатай хамгийн бага утга$z=x+3y$ хавтгайн $x^2+y^2=10$ цилиндртэй огтлолцох цэгүүдэд хамаарна.

Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлж, $z(x,y)=x+3y$ функцэд орлуулах нь зарим талаар хүндрэлтэй тул бид Лагранжийн аргыг ашиглана.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг.

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) F)(\хэсэг х)=1+2\ламбда х; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг бичье.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 1+2\ламбда x=0;\\ & 3+2\ламбда у=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \төгсгөл (зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Хэрэв бид $\lambda=0$ гэж үзвэл эхний тэгшитгэл нь: $1=0$ болно. Үүссэн зөрчилдөөн нь $\lambda\neq 0$ байна. $\lambda\neq 0$ нөхцөлийн дагуу эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) доллар. Гурав дахь тэгшитгэлд олж авсан утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \баруун)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\ламбда^2)+\фрак(9)(4\ламбда^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун.\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

Тэгэхээр систем нь хоёр шийдэлтэй байна: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ болон $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Тогтворгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье: $M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$. Үүнийг хийхийн тулд бид цэг бүр дээр тодорхойлогч $H$-ийг тооцоолно.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(массив) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(массив) \баруун| $$

$M_1(1;3)$ цэг дээр бид дараахыг авна: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(массив) \right|=40 > 0$, тэгэхээр цэг дээр $M_1(1;3)$ функц нь $z(x,y)=x+3y$ нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Үүний нэгэн адил $M_2(-1;-3)$ цэг дээр бид дараахыг олно: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(массив) \right|=-40$. $H оноос хойш< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Тодорхойлогч $H$-ийн утгыг цэг бүр дээр тооцоолохын оронд үүнийг өргөтгөх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. ерөнхий үзэл. Текстийг нарийн ширийн зүйлээр эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би энэ аргыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Тодорхойлогч $H$ тэмдэглэгээ ерөнхий хэлбэрээр. харуулах/нуух

$$ H=8\cdot\left|\begin(массив)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(массив)\баруун| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\баруун). $$

Зарчмын хувьд $H$ ямар тэмдэгтэй байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон. $M_1$ эсвэл $M_2$ цэгүүдийн аль нь ч эхтэй давхцахгүй тул $y^2+x^2>0$. Тиймээс $H$ тэмдэг нь $\lambda$ тэмдгийн эсрэг байна. Та мөн тооцооллыг хийж болно:

$$ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(3^2+1^2\баруун)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\баруун)=-40. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

$M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$ хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн экстремумын шинж чанарын тухай асуултыг $H$ тодорхойлогчийг ашиглахгүйгээр шийдэж болно. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн $d^2F$ тэмдгийг ол:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\баруун) $$

$dx^2$ гэсэн тэмдэглэгээ нь яг $dx$-ийг хоёр дахь зэрэглэлд хүргэсэн гэсэн үг гэдгийг би анхаарна уу. $\зүүн(dx\баруун)^2$. Тиймээс бидэнд: $dx^2+dy^2>0$ байна, тэгэхээр $\lambda_1=-\frac(1)(2)$-ийн хувьд бид $d^2F авна.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Хариулт: $(-1;-3)$ цэгт функц нь нөхцөлт минимумтай, $z_(\min)=-10$ байна. $(1;3)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=10$ байна.

Жишээ №2

$x+y=0$ нөхцөлийн $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Эхний арга (Лагранж үржүүлэгчийн арга)

$\varphi(x,y)=x+y$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Системийг шийдэж, бид дараахыг олж авна: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ болон $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9) )$ , $\lambda_2=-10$. Бидэнд хоёр суурин цэг байна: $M_1(0;0)$ болон $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ тодорхойлогчийг ашиглан хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье.

$$ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(массив) \баруун|=-10-18y $$

$M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 цэг дээр< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ тул энэ үед функц нь $z_(\max)=\frac(500)(243)$ нөхцөлт максимумтай байна.

Бид $d^2F$ тэмдэгт дээр үндэслэн цэг тус бүрийн экстремумын шинж чанарыг өөр өөр аргаар судалдаг.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ тул $M_1(0;0)$ нь $z(x,y)=3y^3+ функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. 4x^ 2-xy$. Үүнтэй адил $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Хоёр дахь арга зам

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахийг олж авна: $y=-x$. $y=-x$-г $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцэд орлуулснаар $x$ хувьсагчийн зарим функцийг олж авна. Энэ функцийг $u(x)$ гэж тэмдэглэе:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ийнхүү бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг тодорхойлох асуудал болгон бууруулсан.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

$M_1(0;0)$ болон $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ оноо авсан. Цаашдын судалгааг курсээс мэддэг дифференциал тооцоонэг хувьсагчийн функцууд. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрт $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгаж эсвэл олсон цэгүүд дээрх $u_(x)^(")$ тэмдгийн өөрчлөлтийг шалгаснаар эхний шийдэлтэй ижил дүгнэлт гарна. Жишээлбэл, $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгана уу:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ тул $M_1$ нь $u(x)$ функцийн хамгийн бага цэг, харин $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2) оноос хойш<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Өгөгдсөн холболтын нөхцөлд $u(x)$ функцийн утгууд нь $z(x,y)$ функцийн утгатай давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. $u(x)$ функцийн олдсон экстремумууд нь $z(x,y)$ функцийн хүссэн нөхцөлт туйл юм.

Хариулт: $(0;0)$ цэг дээр функц нь болзолт минимумтай, $z_(\min)=0$ байна. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт дээд талтай, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

$d^2F$ тэмдгийг тодорхойлох замаар экстремумын мөн чанарыг олж мэдэх өөр нэг жишээг авч үзье.

Жишээ №3

$x$ ба $y$ хувьсагч эерэг ба $\frac(x^2)(8)+\frac() хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангавал $z=5xy-4$ функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол. у^2)(2) -1=0$.

Лагранж функцийг зохио: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг ол:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

Цаашдын бүх өөрчлөлтийг $x > 0-ийг харгалзан гүйцэтгэнэ; \; y > 0$ (энэ нь асуудлын нөхцөл байдалд заасан). Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид $\lambda=-\frac(5x)(y)$-г илэрхийлж, олсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулна: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Гурав дахь тэгшитгэлд $x=2y$-г орлуулснаар бид дараахыг авна: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ тул $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ цэг дэх экстремумын шинж чанарыг $d^2F$ тэмдгээр тодорхойлно.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ тул:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \баруун)+d\left(\frac(y^2)(2) \баруун)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Зарчмын хувьд энд та $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ параметрийн хөдөлгөөнгүй цэгийн координатыг нэн даруй орлуулж, дараахийг олж авах боломжтой.

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \баруун)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Гэсэн хэдий ч нөхцөлт экстремумын бусад асуудлуудад хэд хэдэн суурин цэг байж болно. Ийм тохиолдолд $d^2F$-г ерөнхий хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь олсон суурин цэг бүрийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэл болгон орлуулах нь дээр.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \баруун)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$-г орлуулбал бид дараахыг авна.

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \баруун)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 оноос хойш< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Хариулт: $(2;1)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=6$ байна.

Дараагийн хэсэгт бид илүү олон тооны хувьсагчийн функцүүдэд Лагранжийн аргыг хэрэглэх талаар авч үзэх болно.

z - f(x, y) функцийг зарим D мужид тодорхойлж Mo(xo, y0) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Хэрэв бүх нөхцөлийг хангасан тэгш бус байдал нь үнэн байх тийм тоо байвал Mo(xo, yo) цэгийг цэг гэнэ. орон нутгийн дээд хэмжээфункцууд /(x, y); хэрвээ бүх Dx хувьд, Du нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(x0, y0) цэгийг нарийн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол f(x, y) функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага цэг юм. Энэ хөршийн M(x, y) цэгүүдэд функцийн өсөлт нь тэмдгийг хадгална. Жишээ. 1. Функцийн хувьд цэг нь хамгийн бага цэг юм (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0, 0) цэгээс ялгаатай нь f(x, y) функцийн утга 1-ээс бага = Бид 6-н цоорсон 6 хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд хатуу тэгш бус байдал эсвэл хатуу тэгш бус байдал хэрэгжих үед зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. цэг Mq. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн хамгийн бага утга гэнэ. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. Теорем 11 (экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв функц нь хэд хэдэн функцийн экстремум бол хувьсагчийн тухай ойлголтхэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум. Экстремумын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл Нөхцөл байдлын экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь тухайн цэг дээр экстремумтай байдаг бөгөөд энэ үед хэсэгчилсэн дериватив ба u бүр алга болно эсвэл байхгүй болно. z = f(x) y) функц нь M0(x0, y0) цэгт экстремум байна. y хувьсагчдад yo утгыг өгье. Тэгвэл z = /(x, y) функц нь нэг хувьсагчийн функц байх болно x\ x = xo үед экстремум (хамгийн их эсвэл минимум, 20-р зураг) байгаа тул x = “o-тэй холбоотой дериватив нь байна. | (*o,l>)" Тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна. Үүний нэгэн адил бид үүнийг баталгаажуулдаг) эсвэл тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна. = 0 ба u = 0 эсвэл байхгүй цэгүүд нь z = Dx, y функцийн критик цэгүүд гэж нэрлэдэг) $£ = u = 0 байх цэгүүдийг мөн функцийн суурин цэгүүд гэж нэрлэдэг.11-р теорем нь зөвхөн экстремумд шаардлагатай нөхцөлүүдийг илэрхийлдэг бөгөөд тэдгээр нь хангалттай биш юм.Жишээ.Функц Зураг. . 18 Зураг 20 Гэхдээ энэ функц нь imvat "strumum дээр нимгэн байна. Үнэн хэрэгтээ функц нь 0(0, 0) цэг ба M(x, y) цэгүүдэд тэгтэй тэнцүү бөгөөд хүссэн хэмжээгээрээ ойрхон байна. 0(0, 0) цэг хүртэл кк эерэг, тэгэхээр сөрөг утгууд. Үүний тулд (0, y) цэгүүдийн цэгүүдэд дурын жижиг цэгүүдийн хувьд энэ төрлийн 0(0, 0) цэгийг мини-макс цэг гэж нэрлэдэг (Зураг 21). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 12 (тодорхой бус хувьсагчийн экстремумын хангалттай нөхцөл). Mo(xo, y0) цэг нь f(x, y) функцийн суурин цэг байх ба цэгийн зарим хөршид / Mo цэгийг оруулаад f(r, y) функц нь дээш үргэлжилсэн хэсэгчилсэн деривативтай байна. хоёр дахь дарааллыг багтаасан. Дараа нь "1) Mq(xq, V0) цэг дээр тодорхойлогч нь энэ цэг дээр байвал f(x, y) функц нь максимумтай байна 2) Mo(x0, V0) цэгт f(x, y) функц байна. Хэрэв Mo(xo, yo) цэг дээр f(x, y) функц нь D(xo, yo) бол экстремумгүй бол хамгийн багатай.< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) f(x, y) функцийн экстремум байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. Бид теоремын 1) ба 2) баталгааг нотлохоор хязгаарлагдаж байна. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Таамаглалаар, эндээс D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1) -ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь дифференциал d2f тэмдэг. Товчхондоо тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, y0) цэг дээр M0(s0,yo) цэгийн хөрш байцгаая. Хэрэв нөхцөл (A/0 цэг дээр) хангагдаж, тасралтгүй байдлын улмаас /,z(s, y) дериватив Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална.А ∆ 0 байх бүсэд, Бид M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид 0 байна), тэгвэл AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь С цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцаж байгаа нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх AAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид дараах дүгнэлтэд хүрнэ: хэрэв f(s, y) функц нь Хөдөлгөөнгүй цэг (s0, yo) нөхцөлийг хангаж, дараа нь хангалттай бага || тэгш бус байдал хадгалагдана. Тиймээс (sq, y0) цэг дээр /(s, y) функц нь максимумтай байна. Харин хөдөлгөөнгүй цэг (s0, yo) дээр нөхцөл хангагдсан бол бүх хангалттай бага |Ар| болон |Хийх| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь /(s, y) функц (со, ё) цэг дээр минимумтай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. 4-р функцийг экстремумын хувьд судал. Экстремумын хувьд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг хайж олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Тиймээс Ml цэг дээр экстремум байна. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл үүнийг харахад хялбар болно баруун хэсэг (") нь өгөгдсөн функцийн үнэмлэхүй минимум байх үед хамгийн бага байх болно. 2. Экстремумын функцийг судал.Бид функцийн суурин цэгүүдийг олох ба үүний төлөө тэгшитгэлийн системийг эндээс байгуулснаар цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Экстремумын функцийг судал Функцийн суурин цэгүүдийг ол. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг бөгөөд ингэснээр цэг нь хөдөлгөөнгүй болно. Цаашилбал, бид 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултын хариултыг өгөхгүй байх ёстой. Ингэж хийцгээе. Цэгээс бусад бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэг дээр r функц үнэмлэхүй минимумтай байна. Аналог хатаах замаар бид функц нь цэг дээр хамгийн их утгатай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. η хамааралгүй хувьсагчтай функцийг цэг дээр дифференциалтай байг.Мо цэгийг хэрэв функцийн суурин цэг гэнэ.Теорем 13 (экстремумын хангалттай нөхцөл). Функц тодорхойлогдох ба нарийн шугамын зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байх болтугай Mc(xi..., энэ нь суурин нарийн функц болох, хэрэв квадрат хэлбэр (нарийн тоон дахь f функцийн хоёр дахь дифференциал). цэг нь эерэг-тодорхой (сөрөг-тодорхой), f функцийн минимум цэг (тус тус бүр нарийн максимум) нарийн Хэрэв квадрат хэлбэр (4) тэмдэг ээлжлэн байвал нарийн LG0-д экстремум байхгүй болно.15.2 Нөхцөлт extremum Өнөөг хүртэл бид функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй үед түүний тодорхойлолтын бүх мужаас функцийн локал экстремумыг олоход санаа зовж байна. D мужид z \u003d / (x, y) функцийг тодорхойл. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, зөвхөн f (x> y) функцийн экстремумыг олох шаардлагатай гэж үзье. түүний утгуудын дунд L муруйн цэгүүдтэй харгалзах утгуудын дотор. Ижил экстремумуудыг муруйн z = f(x) y) функцийн нөхцөлт экстремум гэнэ. L муруй, /(x, y) функц нь M0(x0, Yo) цэгийн зарим хөршид хамаарах M (s, y) бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд нөхцөлт максимум (хамгийн бага)-тай байна. ) ба M0 цэгээс ялгаатай (Хэрэв L муруй нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруй дээрх r - f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох бодлого! дараах байдлаар томьёолж болно: D муж дахь x = /(z, y) функцийн экстремумыг ол, тэгвэл z = y функцийн нөхцөлт туйлыг олохдоо zn аргументуудыг авч үзэх боломжгүй болсон. бие даасан хувьсагчийн хувьд: тэдгээр нь y ) = 0 хамаарлаар хоорондоо холбогддог бөгөөд үүнийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. m «*D y-ийн ялгааг болзолгүй ба нөхцөлт экстремум гэж тайлбарлахын тулд функцийн болзолгүй максимум (Зураг 23) нэгтэй тэнцүү бөгөөд (0, 0). Энэ нь яг M - pvvboloid-ийн оройтой тохирч байна y = j хязгаарлалтын тэгшитгэлийг нэмье. Тэгвэл нөхцөлт максимум нь мэдээж тэнцүү байх болно.(o, |) цэгт хүрдэг бөгөөд энэ нь pvvboloid-ийн y = j хавтгайтай огтлолцох шугам болох pvvboloid-ийн Afj оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй минимум s-ийн хувьд гадаргуугийн бүх илэрхийллүүдийн дотроос хамгийн бага хэрэглүүр нь * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv нөхцөлт - зөвхөн vllkvt цэгүүдийн дунд pvrboloidv, xOy хавтгайн биш y = j шулуун шугамын * цэгт харгалзах. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. y) - O холболтын тэгшитгэлийг x аргументын нэг утгатай дифференциалагдах функц гэж тодорхойл: Функцэд y-ийн оронд функцийг орлуулснаар холболтын нөхцөлийг аль хэдийн харгалзан үзсэн нэг аргументийн функцийг олж авна. . Функцийн (болзолгүй) экстремум нь хүссэн нөхцөлт экстремум юм. Жишээ. Функцийн экстремумыг нөхцлөөр олоорой Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд A Холболтын тэгшитгэлээс (2") бид y \u003d 1-x-ийг олно. Энэ y утгыг (V) орлуулснаар бид олж авна. нэг аргументын функц x: Бид үүнийг экстремумын эсэхийг шалгадаг: эндээс x = 1 - чухал цэг ; , ингэснээр r функцийн нөхцөлт минимумыг өгдөг (Зураг 24). Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэгддэг нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдэх өөр аргыг зааж өгье. Хязгаарлалт байгаа үед функцийн нөхцөлт экстремум цэг байг.Хязгаарлалтын тэгшитгэл нь xx цэгийн зарим хөршид цорын ганц тасралтгүй дифференциалагдах функцийг тодорхойлдог гэж үзье. xq цэгийн / (r, ip (x)) функцийн x-тэй холбоотой дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой гэж үзвэл f (x, y) -ийн дифференциал нь үүнтэй тэнцүү байх ёстой. цэг дээр тэгтэй тэнцүү байх Mo "O ) Холболтын тэгшитгэлээс бид Лагранжийн функц гэж нэрлэгддэг функцийн цэг дээр болзолгүй экстремумын (5) нөхцөлүүд байна.Иймээс функцийн нөхцөлт экстремумын цэг. /(x, y), хэрэв, заавал Лагранжийн функцийн хөдөлгөөнгүй цэг бөгөөд А нь зарим тоон коэффициент юм. Эндээс бид нөхцөлт экстремумыг олох дүрмийг олж авна: функцийн экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олох. холболт байгаа эсэх 1) Лагранжийн функцийг зохиох, 2) энэ функцийн дериватив ба W-ийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг нэмснээр бид гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. үүнээс бид A-ийн утгууд ба боломжит экстремум цэгүүдийн x, y координатуудыг олно. Нөхцөлт экстремумын оршихуй ба мөн чанарын тухай асуудлыг нөхцөлийн дагуу (8) -аас авсан x0, Yo, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судлах үндсэн дээр шийдэгддэг. Хэрэв (x0, Yo) цэг дээр f(x, y ) функц нөхцөлт максимумтай байна; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэг (xo, J/o) дээр F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэгт функцийн нөхцөлт максимум байна /(. x, y) if, ба болзолт минимум функцийн /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлд функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Энэ тохиолдолд Лагранж функц нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олохын тулд систем үүсгэдэг. Системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн утгатай болно. Дараа нь системийн гуравдахь тэгшитгэлээс (холбох тэгшитгэл) бид x - y = j - боломжит экстремумын цэгийн координатыг олж авна. Энэ тохиолдолд (A \u003d -1 гэж заасан. Иймээс Лагранж функц. нь Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй байх нөхцөлд * \u003d x2 + y2 функцийн нөхцөлт минимумын цэг юм. P(x, y) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм.Жишээ. y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг олно. Бид Лагранжийн функцийг зохиож, А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох системийг бичнэ: Лагранж нь (0, 0) цэг дээр F(x,) гэсэн хэлбэртэй байна. y; 0) болзолгүй экстремумгүй, харин r = xy функцийн нөхцөлт экстремум байна. у = x үед байна. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд r = x2. Энэ нь (0,0) цэг дээр нөхцөлт минимум байгааг харуулж байна. » Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг дурын тооны аргументын функцийн тохиолдол руу шилжүүлнэ / Холболтын тэгшитгэл байгаа үед функцийн экстремумыг хайгаарай. F функцийн эхний эрэмбийн бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, олж авсан тэгшитгэлүүдэд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., Am ба координатууд x\) x2) . » нөхцөлт экстремумын xn боломжит цэгүүд. Лагранжийн аргаар олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремум цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанаруудын үндсэн дээр шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд Зарим олон хязгаарлагдмал D мужид үргэлжилдэг z = f(x, y) функцийн хамгийн их (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай болно. Теорем 3-аар: Функц хамгийн их (хамгийн бага) утгыг авдаг энэ домайн дахь цэг (xo, yo). Хэрэв (xo, y0) цэг нь D домэйны дотор оршдог бол / функц нь түүнд хамгийн их (хамгийн бага) байдаг тул энэ тохиолдолд бидний сонирхсон цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд агуулагдах болно /(x). , у). Гэсэн хэдий ч, /(x, y) функц нь бүсийн хил дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч болно. Иймд хязгаарлагдмал хаалттай муж 2 дахь z = /(x, y) функцийн авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд энэ муж дотор хүрсэн функцийн бүх максимумыг (минимум) олох шаардлагатай. , түүнчлэн энэ хэсгийн хил дээрх функцын хамгийн том (хамгийн бага) утга. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x, y) функцийн хүссэн хамгийн их (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р талбайн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол D талбайн доторх функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг ол. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг зохиодог.Эндээс бид x \u003d y \u003e 0-ийг авах бөгөөд ингэснээр 0 (0,0) цэг нь x функцийн чухал цэг болно. Г мужийн хил дээр функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё. Хилийн хэсэг дээр y \u003d 0 нь эгзэгтэй цэг байх бөгөөд үүнээс хойш \u003d энэ үед. z \u003d 1 + y2 функцийг зааж өгвөл хамгийн бага нь нэгтэй тэнцүү байна. G сегментийн төгсгөлд ", цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн асуудлыг ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна: z \u003d x2 + y2 функцийн хамгийн бага утгыг "B" муж нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбайн дотоод 0( 0, 0) цэгт хүрдэг бөгөөд энэ функцийн хоёртой тэнцүү хамгийн их утга нь хилийн дөрвөн цэгт хүрдэг (Зураг 1). 25) Зураг 25 Функцийн дасгалууд: Функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба тэдгээрийн хэсгийг ол. бүрэн дифференциалууд: Цогц функцийн деривативыг ол: 3 J. Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг ол Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Дериватив томъёог ашиглах нарийн төвөгтэй функцхоёр хувьсагч, олох ба функц: 35. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томьёог ашиглан |J ба функцийг ол: Далдаар өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Шүргэх муруйны огтлолцох цэг дээрх налууг ол. түүнийг шулуун шугамтай x \u003d 3. 41. Х муруйны тангенс х тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг ол. . Дараах даалгавруудад Z-г ол: Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, x + хавтгайтай параллель гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бич. 4y + 6z \u003d 0. Тейлорын томъёог ашиглан тэлэлтийн эхний гурваас дөрвөн гишүүнийг ол: 50. y (0, 0) цэгийн ойролцоо. Функцийн экстремумын тодорхойлолтыг ашиглан экстремумын хувьд дараах функцуудыг судал:). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг тогтоох хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг судал: 84. Битүү тойрог доторх z \u003d x2 - y2 функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол 85. Хамгийн том ба хамгийн жижигийг ол. x \u003d 0, y = 0, x + y = b шугамаар хязгаарлагдсан гурвалжин дахь * \u003d x2y (4-x-y) функцийн утгууд. 88. Хамгийн жижиг гадаргуутай тэгш өнцөгт хэлбэртэй гадна усан сангийн хэмжээ V-тэй тэнцүү байх нөхцөлд тодорхойл. 87. Өгөгдсөн тэгш өнцөгт параллелепипедийн хэмжээсийг ол. бүрэн гадаргуу 5 дээд хэмжээ. Хариултууд 1. ба | Хажуу талыг нь оруулаад x шугамын хэсгүүдээс үүссэн дөрвөлжин. 3. Төвлөрсөн цагирагуудын бүлэг 2= 0,1,2,... .4. Шулуун шугамын цэгүүдээс бусад бүх хавтгай y. Параболын дээр байрлах онгоцны хэсэг y \u003d -x?. 8. x цэгүүдийг дугуйл. Шулуун шугамаас бусад бүх хавтгай x Радикал илэрхийлэл нь j * ^ эсвэл j x ^ ^ гэсэн хоёр тохиолдолд сөрөг биш бөгөөд энэ нь тэгш бус байдлын хязгааргүй цуваатай тэнцүү байна. Тодорхойлолтын хүрээ нь сүүдэртэй квадратууд (Зураг 26) ; l нь хязгааргүй цуваатай тэнцүү Функц нь цэг дээр тодорхойлогддог. a) Шугамантай параллель шугамууд x b) Эх цэг дээр төвлөрсөн төвлөрсөн тойрог. 10. а) парабол y) парабол y a) парабол б) гипербол | .Онгоцууд xc. 13.Прим - Оз тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн нэг хөндийн гиперболоидууд; Oz тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн хоёр хуудастай гиперболоидын хувьд гадаргуугийн гэр бүл хоёулаа конусаар тусгаарлагдсан; Хязгаарлалт байхгүй, b) 0. 18. y = kxt дараа нь z lim z = -2 гэж үзье. өгөгдсөн функц(0,0) цэгт хязгаар байхгүй. 19. a) Цэг (0.0); b) цэг (0,0). 20. a) Хагарлын шугам - тойрог x2 + y2 = 1; б) таслах шугам нь y \u003d x шулуун шугам юм. 21. a) Хугарлын шугам - Ox ба Oy координатын тэнхлэгүүд; b) 0 (хоосон багц). 22. Бүх цэгүүд (m, n), энд ба n нь бүхэл тоо юм

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.Хэрэв тухайн цэгийн зарим хэсэгт функц тодорхойлогдсон бөгөөд тэгш бус байдлыг хангадаг бол цэгийг функцийн хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг (тус тусын хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэг гэж нэрлэдэг).

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв экстремум цэг дээр функц эхний хэсэгчилсэн деривативтай бол тэдгээр нь энэ үед алга болно. Ийм функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй.Координат нь энэ системийг хангасан цэгүүдийг функцийн критик цэгүүд гэнэ. Тэдгээрийн дунд хамгийн их оноо, хамгийн бага оноо, мөн экстремум цэг биш оноо байж болно.

Эгзэгтэй цэгүүдийн багцаас экстремумын цэгүүдийг сонгоход хангалттай экстремум нөхцлийг ашигладаг бөгөөд доор жагсаав.

Функц нь критик цэг дээр тасралтгүй хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативтай байг. Хэрэв энэ үед,

нөхцөл бол энэ нь хамгийн бага цэг ба хамгийн их цэг байна.Хэрэв эгзэгтэй цэг дээр бол энэ нь экстремум цэг биш юм. Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг илүү нарийн судлах шаардлагатай бөгөөд энэ тохиолдолд экстремум цэг байж болно.

Гурван хувьсагчийн функцийн экстремум.Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд экстремум цэгүүдийн тодорхойлолт нь хоёр хувьсагчийн функцийн харгалзах тодорхойлолтыг үгчлэн давтана. Бид экстремумын функцийг судлах процедурыг танилцуулснаар хязгаарлагдаж байна. Тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олж, дараа нь чухал цэг бүрт хэмжигдэхүүнүүдийг тооцоолох хэрэгтэй.

Хэрэв бүх гурван хэмжигдэхүүн эерэг байвал авч үзэх чухал цэг нь хамгийн бага цэг юм; хэрэв өгөгдсөн эгзэгтэй цэг нь хамгийн их цэг болно.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Функцийг тодорхойлсон цэгийн хөрш байгаа бөгөөд бүх цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангадаг (тус тусад нь) цэгийг функцийн нөхцөлт хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олохын тулд Лагранж функцийг ашиглана уу

Энэ тоог Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Гурван тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Лагранжийн функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг (түүнчлэн туслах хүчин зүйл А-ийн утгыг) ол. Эдгээр чухал цэгүүдэд нөхцөлт экстремум байж болно. Дээрх систем нь зөвхөн экстремумд шаардлагатай нөхцлийг өгдөг боловч хангалттай биш: нөхцөлт экстремумын цэгүүд биш цэгүүдийн координатаар хангаж болно. Гэсэн хэдий ч асуудлын мөн чанараас үндэслэн эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг тогтоох боломжтой байдаг.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Хувьсагчдын функцийг тэгшитгэлээр холбосон нөхцөлд авч үзье

Нөхцөлт туйл.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадрат арга.

Орон нутгийн экстремум FNP

Функцийг зөвшөөр болон= е(P), РИДИР nба цэгийг Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд болон= е(P) хэрэв энэ U(P 0) Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл е(P) £ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дууддаг функцийн дээд хэмжээ болон тэмдэглэсэн е(P 0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд болон= е(P) хэрвээ энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл е(P)³ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн бага цэг дээр дууддаг хамгийн бага функц болон тэмдэглэсэн е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэг дээрх функцийн утгуудыг дуудна функциональ экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P) £ е(P0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийн бүх мужид биш харин зөвхөн Р 0 цэгийн тодорхой хэсэгт хийгдэх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1.(FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл)

Хэрэв функц болон= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэгт экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа.Р 0 цэг дээр ( а 1 , а 2 , ..., a p) функц болон= е(P) дээд зэрэглэлийн туйлтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =а 2 ,..., x n = a p. Дараа нь болон= е(P) = е 1 ((X 1 , а 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм Xнэг . Энэ функц байгаа тул X 1 = а 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0 эсвэл байхгүй үед X 1 =а 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ , тэгвэл P 0 цэг - экстремумын цэгт байхгүй эсвэл байхгүй. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CHTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн домайн цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2

Р 0 нь функцийн чухал цэг байг болон= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

Хэрвээ г 2 у(P 0) > 0-ийн хувьд Р 0 нь цэг болно хамгийн багафункцууд болон= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд болон= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үздэг.

Теорем нь хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэгт экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - нэмэлт судалгаа, жишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах шаардлагатай байна.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцэд зориулагдсан болохыг нотолсон z = f(x,y) хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр болох хоёр хувьсагчийн

Р 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлогчийг зохио

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 zР 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг өөрчлөгдөх ба Р 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчтай, бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын домайныг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) Р 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(Р 0) ба тооцоолно ГЭХДЭЭ(P 0) Дараа нь:

хэрэв D(Р 0) >0 бол Р 0 цэг дээр экстремум байна, үүнээс гадна хэрэв ГЭХДЭЭ(P 0) > 0 - тэгвэл энэ нь хамгийн бага бөгөөд хэрэв бол ГЭХДЭЭ(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(Р 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийн домэйн нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Хангалттай экстремум нөхцлүүдийн биелэлтийг шалгацгаая. Олъё

6X, = -3, = 48цагтболон = 288ху – 9.

Дараа нь D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 цэг дээр экстремум байгаа бөгөөд үүнээс хойш ГЭХДЭЭ(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P1) = .

Жишээ 2

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) = R 2. Чухал цэгүүд: ; цагт байхгүй цагт= 0, тиймээс P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(Р 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй е(x, y) цэг дээр Р 0 . Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, хэрэв D бол е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. Р 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөл байхгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) ба тиймээс P 0 нь хамгийн их цэг биш), D нөхцөл биш е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь Р 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Тиймээс, экстремумын тодорхойлолтоор энэ функцэд экстремум байдаггүй.

Нөхцөлт туйл.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум болон = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), гэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг анхаарч үзээрэй z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн. Хэрэв зөвхөн нэг хязгаарлалтын тэгшитгэл байгаа бол i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэгүүдийг хайдаггүй z = f(x,y), мөн энэ гадаргууг цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд , Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийнх нь функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичнэ), хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлийг нь нэг хувьсагчийн функц болгон бичнэ үү (хэрэглэсэн тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.