2х y болзолт нөхцөлт экстремум 3. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремумын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл Нөхцөл экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд

Эхлээд хоёр хувьсагчийн функцийн тохиолдлыг авч үзье. $M_0(x_0;y_0)$ цэг дэх $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт экстремум нь энэ функцийн экстремум бөгөөд $x$ болон $y$ хувьсагчдыг Энэ цэгийн ойролцоо $\ varphi(x,y)=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангана.

"Нөхцөлт" экстремум нэр нь хувьсагчдыг ногдуулсантай холбоотой юм нэмэлт нөхцөл$\varphi(x,y)=0$. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэх боломжтой бол нөхцөлт экстремумыг тодорхойлох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн ердийн экстремумын асуудал болгон бууруулна. Жишээлбэл, хязгаарлалтын тэгшитгэлээс $y=\psi(x)$ байвал $y=\psi(x)$-г $z=f(x,y)$ гэж орлуулбал $ нэг хувьсагчийн функц гарч ирнэ. z=f\left (x,\psi(x)\right)$. AT ерөнхий тохиолдол, гэхдээ энэ арга нь ашиг багатай тул шинэ алгоритм шаардлагатай.

Хоёр хувьсагчийн функцийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга.

Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь нөхцөлт экстремумыг олохын тулд Лагранж функцийг бүрдүүлнэ: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda) $-г Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг). Шаардлагатай экстремум нөхцлийг суурин цэгүүдийг тодорхойлсон тэгшитгэлийн системээр өгдөг.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=0;\\ & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$ тэмдэг. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг дээр $d^2F > 0$ байвал $z=f(x,y)$ функц нь энэ цэгт нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, то условный максимум.

Экстремумын шинж чанарыг тодорхойлох өөр нэг арга бий. Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ тул ямар ч хөдөлгөөнгүй цэг дээр бид дараах байдалтай байна:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \баруун)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\баруун)$$

Хоёрдахь хүчин зүйлийг (хаалтанд байрлуулсан) дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

$\left|-н элементүүд \begin(массив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \төгсгөл (массив) \right|$ нь Лагранжийн функцийн Гессиан юм. Хэрэв $H > 0$ бол $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, өөрөөр хэлбэл. бидэнд $z=f(x,y)$ функцийн нөхцөлт минимум байна.

$H$ тодорхойлогчийн хэлбэрийг тэмдэглэ. харуулах/нуух

$$ H=-\left|\begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ төгсгөл(массив) \баруун| $$

Энэ нөхцөлд дээр дурдсан дүрэм дараах байдлаар өөрчлөгдөнө: хэрэв $H > 0$ бол функц нь нөхцөлт минимумтай байх ба $H-ийн хувьд< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Нөхцөлт экстремумын хоёр хувьсагчийн функцийг судлах алгоритм

1. $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ Лагранж функцийг зохио.
2. Системийг шийднэ үү $ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$
3. Өмнөх догол мөрөнд байгаа хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд дараах аргуудын аль нэгийг ашиглана уу.
   • Тодорхойлогч $H$-г зохиож, тэмдгийг ол
   • Хязгаарлалтын тэгшитгэлийг харгалзан $d^2F$ тэмдгийг тооцоол

n хувьсагчийн функцүүдийн Лагранжийн үржүүлэгчийн арга

Бидэнд $n$ хувьсагчийн $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ба $m$ хязгаарлалтын тэгшитгэлийн функц байна гэж бодъё ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Лагранжийн үржүүлэгчийг $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг үүсгэнэ.

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Нөхцөлт экстремум байх шаардлагатай нөхцлийг суурин цэгүүдийн координат ба Лагранжийн үржүүлэгчийн утгыг олох тэгшитгэлийн системээр өгдөг.

$$\зүүн\(\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

$d^2F$ тэмдгээр функц нь урьдын адил олдсон цэг дээр нөхцөлт минимум эсвэл нөхцөлт максимумтай эсэхийг мэдэх боломжтой. Хэрэв олсон цэг дээр $d^2F > 0$ байвал функц нь нөхцөлт минимумтай, харин $d^2F байвал< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Матриц тодорхойлогч $\left| \begin(массив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(3)) &\ldots & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэг x_(2)\хэсэг x_(n))\\ \frac(\хэсэг^2F) )(\хэсэг x_(3) \хэсэгчилсэн x_(1)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн x_(3)\хэсэгчилсэн x_(2)) & \frac(\хэсэг^2F)(\хэсэгчилсэн) x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( массив) \right|$ L$ матрицад улаанаар тодруулсан нь Лагранж функцийн Хессиан юм. Бид дараах дүрмийг ашигладаг.

• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрицууд $L$ нь $(-1)^m$ тэмдэгтэй давхцаж байвал судалж буй суурин цэг нь $z функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Булангийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн шинж тэмдэг $H_(2м+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ээлжлэн, бага $H_(2m+1)$ тэмдэг нь $(-1)^(m+1) тооны тэмдэгтэй давхцаж байна. )$, тэгвэл судлагдсан суурин цэг нь $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ функцийн нөхцөлт хамгийн их цэг болно.

Жишээ №1

$x^2+y^2=10$ нөхцөлөөр $z(x,y)=x+3y$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Энэ бодлогын геометрийн тайлбар нь дараах байдалтай байна: $x^2+y^2 цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн хувьд $z=x+3y$ хавтгайн хэрэглээний хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох шаардлагатай. =10 доллар.

Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлж, $z(x,y)=x+3y$ функцэд орлуулах нь зарим талаар хүндрэлтэй тул бид Лагранжийн аргыг ашиглана.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг.

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial) F)(\хэсэг х)=1+2\ламбда х; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг бичье.

$$ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 1+2\ламбда x=0;\\ & 3+2\ламбда у=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \төгсгөл (зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Хэрэв бид $\lambda=0$ гэж үзвэл эхний тэгшитгэл нь: $1=0$ болно. Үүссэн зөрчилдөөн нь $\lambda\neq 0$ байна. $\lambda\neq 0$ нөхцөлийн дагуу эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) доллар. Гурав дахь тэгшитгэлд олж авсан утгыг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \баруун)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\ламбда^2)+\фрак(9)(4\ламбда^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) \баруун.\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

Тэгэхээр систем нь хоёр шийдэлтэй байна: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ болон $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Тогтворгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье: $M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$. Үүнийг хийхийн тулд бид цэг бүр дээр тодорхойлогч $H$-ийг тооцоолно.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(массив) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(массив) \баруун| $$

$M_1(1;3)$ цэг дээр бид дараахыг авна: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(массив) \right|=40 > 0$, тэгэхээр цэг дээр $M_1(1;3)$ функц нь $z(x,y)=x+3y$ нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Үүний нэгэн адил $M_2(-1;-3)$ цэг дээр бид дараахыг олно: $H=8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(массив) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(массив) \right|=-40$. $H оноос хойш< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Тодорхойлогч $H$-ийн утгыг цэг бүрт тооцохын оронд үүнийг өргөтгөх нь илүү тохиромжтой гэдгийг би тэмдэглэж байна. ерөнхий үзэл. Текстийг нарийн ширийн зүйлээр эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би энэ аргыг тэмдэглэлийн доор нуух болно.

Тодорхойлогч $H$ тэмдэглэгээ ерөнхий хэлбэрээр. харуулах/нуух

$$ H=8\cdot\left|\begin(массив)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(массив)\баруун| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\баруун). $$

Зарчмын хувьд $H$ ямар тэмдэгтэй байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон. $M_1$ эсвэл $M_2$ цэгүүдийн аль нь ч эхтэй давхцахгүй тул $y^2+x^2>0$. Тиймээс $H$ тэмдэг нь $\lambda$ тэмдгийн эсрэг байна. Та мөн тооцооллыг хийж болно:

$$ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(3^2+1^2\баруун)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\баруун)=-40. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн) $$

$M_1(1;3)$ ба $M_2(-1;-3)$ хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн экстремумын шинж чанарын тухай асуултыг $H$ тодорхойлогчийг ашиглахгүйгээр шийдэж болно. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн $d^2F$ тэмдгийг ол:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\баруун) $$

$dx^2$ гэсэн тэмдэглэгээ нь яг $dx$-ийг хоёр дахь зэрэглэлд хүргэсэн гэсэн үг гэдгийг би анхаарна уу. $\зүүн(dx\баруун)^2$. Тиймээс бидэнд: $dx^2+dy^2>0$ байна, тэгэхээр $\lambda_1=-\frac(1)(2)$-ийн хувьд бид $d^2F авна.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Хариулт: $(-1;-3)$ цэгт функц нь нөхцөлт минимумтай, $z_(\min)=-10$ байна. $(1;3)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=10$ байна.

Жишээ №2

$x+y=0$ нөхцөлийн $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцийн нөхцөлт экстремумыг ол.

Эхний арга (Лагранж үржүүлэгчийн арга)

$\varphi(x,y)=x+y$ гэж тэмдэглэснээр бид Лагранж функцийг бүтээдэг: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\хэсэг F)(\хэсэг x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун.$$

Системийг шийдэж, бид дараахыг олж авна: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ болон $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9) )$ , $\lambda_2=-10$. Бидэнд хоёр суурин цэг байна: $M_1(0;0)$ болон $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ тодорхойлогчийг ашиглан хөдөлгөөнгүй цэг бүрийн экстремумын шинж чанарыг олж мэдье.

$$ H=\left| \begin(массив) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(массив) \баруун|= \left| \begin(массив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(массив) \баруун|=-10-18y $$

$M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 цэг дээр< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ тул энэ үед функц нь $z_(\max)=\frac(500)(243)$ нөхцөлт максимумтай байна.

Бид $d^2F$ тэмдэгт дээр үндэслэн цэг тус бүрийн экстремумын шинж чанарыг өөр өөр аргаар судалдаг.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ тул $M_1(0;0)$ нь $z(x,y)=3y^3+ функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг болно. 4x^ 2-xy$. Үүнтэй адил $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Хоёр дахь арга зам

$x+y=0$ хязгаарлалтын тэгшитгэлээс бид дараахийг олж авна: $y=-x$. $y=-x$-г $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ функцэд орлуулснаар $x$ хувьсагчийн зарим функцийг олж авна. Энэ функцийг $u(x)$ гэж тэмдэглэе:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Ийнхүү бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудлыг нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг тодорхойлох асуудал болгон бууруулсан.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

$M_1(0;0)$ болон $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ оноо авсан. Цаашдын судалгааг курсээс мэддэг дифференциал тооцоонэг хувьсагчийн функцууд. Хөдөлгөөнгүй цэг бүрт $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгаж эсвэл олдсон цэгүүд дээр $u_(x)^(")$ тэмдгийн өөрчлөлтийг шалгаснаар эхний шийдэлтэй ижил дүгнэлт гарна. Жишээлбэл, $u_(xx)^("")$ тэмдгийг шалгана уу:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ тул $M_1$ нь $u(x)$ функцийн хамгийн бага цэг, харин $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2) оноос хойш<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Өгөгдсөн холболтын нөхцөлд $u(x)$ функцийн утгууд нь $z(x,y)$ функцийн утгатай давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. $u(x)$ функцийн олдсон экстремумууд нь $z(x,y)$ функцийн хүссэн нөхцөлт туйл юм.

Хариулт: $(0;0)$ цэг дээр функц нь болзолт минимумтай, $z_(\min)=0$ байна. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт дээд талтай, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

$d^2F$ тэмдгийг тодорхойлох замаар экстремумын мөн чанарыг олж мэдэх өөр нэг жишээг авч үзье.

Жишээ №3

Хамгийн томыг нь олох ба хамгийн бага утга$x$ ба $y$ хувьсагч эерэг ба $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= гэсэн хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангавал $z=5xy-4$ функцууд. 0$ .

Лагранж функцийг зохио: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдийг ол:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(зэрэгцүүлсэн) \баруун.$$

Цаашдын бүх өөрчлөлтийг $x > 0-ийг харгалзан гүйцэтгэнэ; \; y > 0$ (энэ нь асуудлын нөхцөл байдалд заасан). Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид $\lambda=-\frac(5x)(y)$-г илэрхийлж, олсон утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулна: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Гурав дахь тэгшитгэлд $x=2y$-г орлуулснаар бид дараахыг авна: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ тул $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ цэг дэх экстремумын шинж чанарыг $d^2F$ тэмдгээр тодорхойлно.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ тул:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \баруун)+d\left(\frac(y^2)(2) \баруун)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Зарчмын хувьд энд та $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ параметрийн хөдөлгөөнгүй цэгийн координатуудыг нэн даруй орлуулж, дараахийг олж авах боломжтой.

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \баруун)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Гэсэн хэдий ч нөхцөлт экстремумын бусад асуудлуудад хэд хэдэн суурин цэг байж болно. Ийм тохиолдолд $d^2F$-г ерөнхий хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь олсон суурин цэг бүрийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэл болгон орлуулах нь дээр.

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \баруун)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$-г орлуулбал бид дараахыг авна.

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \баруун)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 оноос хойш< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Хариулт: $(2;1)$ цэг дээр функц нь нөхцөлт максимумтай, $z_(\max)=6$ байна.

Дараагийн хэсэгт бид илүү олон тооны хувьсагчийн функцүүдэд Лагранжийн аргыг хэрэглэх талаар авч үзэх болно.

Тодорхойлолт 1: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал максимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт< 0.

Тодорхойлолт 2: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал минимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт > 0 байна.

Тодорхойлолт 3: Орон нутгийн хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд.

Нөхцөлт туйл

Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг хайхад ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг функцтэй холбоотой асуудал гарч ирдэг. нөхцөлт туйл.Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээгээр тайлбарлаж болно.

Функц ба мөрийг өгье Лгадаргуу дээр 0xy. Даалгавар бол шугамлах явдал юм Лийм цэгийг олоорой P(x, y),функцийн утга нь шугамын цэгүүд дэх энэ функцын утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байна Лцэгийн ойролцоо байрладаг П. Ийм цэгүүд Пдуудсан нөхцөлт экстремум цэгүүдшугамын функцууд Л. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дэх функцын утгыг түүний зарим хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн шугаман дээр байрлах функцүүдийн утгатай харьцуулна. Л.

Ердийн экстремумын цэг нь тодорхой байна (тэд бас хэлдэг болзолгүй экстремум) мөн энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шулууны нөхцөлт экстремум цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Функцийн график нь дээд тархи юм (Хавсралт 3 (Зураг 3)).

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь дээд талтай тохирч байна Мтархи. Хэрэв шугам Лцэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам байдаг ГЭХДЭЭболон AT(түүний тэгшитгэл x+y-1=0), тэгвэл энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцын хамгийн их утга нь цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. ГЭХДЭЭболон AT.Энэ нь өгөгдсөн шугам дээрх функцийн нөхцөлт экстремумын (хамгийн их) цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн бөмбөрцгийн М 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энд энгийн экстремумын тухай асуудал байж болохгүйг зургаас харж болно.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн экстремаль утгуудыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим мөрөнд, улмаар нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийднэ.

Одоо x ба y хувьсагчид (x, y) = 0 тэгшитгэлээр хамааралтай байх нөхцөлд Z= f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремумын цэгүүдийн практик хайлт руу орцгооё. хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс y-ийг х: y \u003d (x) хэлбэрээр тодорхой илэрхийлж чадвал бид Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) нэг хувьсагчийн функцийг авна.

Энэ функц экстремумд хүрэх x-ийн утгыг олж, дараа нь холболтын тэгшитгэлээс y-ийн харгалзах утгыг тодорхойлсны дараа бид нөхцөлт экстремумын хүссэн цэгүүдийг олж авна.

Тэгэхээр дээрх жишээн дээр x+y-1=0 харилцааны тэгшитгэлээс y=1-x байна. Эндээс

x = 0.5 үед z хамгийн ихдээ хүрч байгааг шалгахад хялбар байдаг; гэхдээ дараа нь y = 0.5 холболтын тэгшитгэлээс бид геометрийн тооцооллоос олдсон P цэгийг яг авна.

Нөхцөлт экстремумын асуудал нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийг төлөөлөх боломжтой байсан ч маш энгийнээр шийдэгддэг. параметрийн тэгшитгэл x=x(t), y=y(t). Энэ функцэд x, y-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудалд дахин ирдэг.

Хэрэв хязгаарлалтын тэгшитгэл нь түүнээс их байвал цогц үзэмжмөн бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар нь тодорхой илэрхийлэх, мөн параметрийн тэгшитгэлээр орлуулах боломжгүй бол нөхцөлт экстремумыг олох асуудал улам хэцүү болно. z= f(x, y) функцийн илэрхийлэлд хувьсагч (x, y) = 0 байна гэж бид үргэлжлүүлэн тооцно. z= f(x, y) функцийн нийт дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

Ялгах дүрмээр олдсон y` дериватив хаана байна далд функц. Нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд олдсон нийт дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой; Энэ нь x ба y-тэй холбоотой нэг тэгшитгэлийг өгдөг. Тэд мөн хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангах ёстой тул бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эхний тэгшитгэлийг пропорциональ хэлбэрээр бичиж, шинэ туслах үл мэдэгдэхийг оруулснаар энэ системийг илүү тохиромжтой систем болгон хувиргацгаая.

(тохь тухтай байлгах үүднээс хасах тэмдэг урд талд байрлуулсан). Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь системд шилжихэд хялбар байдаг.

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хамт x, y, ба үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Эдгээр тэгшитгэл (*) нь санахад хамгийн хялбар байдаг дараагийн дүрэм: функцийн нөхцөлт экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд

Z= f(x, y) хязгаарлалтын тэгшитгэл (x, y) = 0 бол туслах функц үүсгэх шаардлагатай.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Энэ функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд зарим нэг тогтмол байна, тэгшитгэл бичнэ үү.

Тодорхойлсон тэгшитгэлийн систем нь дүрмээр бол зөвхөн шаардлагатай нөхцлийг хангадаг, жишээлбэл. Энэ системийг хангасан x ба y хос бүр нь нөхцөлт экстремум цэг байх албагүй. Би нөхцөлт экстремум цэгүүдэд хангалттай нөхцөл өгөхгүй; Ихэнх тохиолдолд асуудлын тодорхой агуулга нь олсон цэг нь юу болохыг харуулж байна. Нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэх тайлбарласан техникийг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадрат арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг зөвшөөр болон= е(P), РИДИР nба цэгийг Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд болон= е(P) хэрэв энэ U(P 0) Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл е(P) £ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дууддаг функцийн дээд хэмжээ ба тэмдэглэсэн е(P 0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд болон= е(P) хэрвээ энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл е(P)³ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн бага цэг дээр дууддаг хамгийн бага функц ба тэмдэглэсэн е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэг дээрх функцийн утгуудыг дуудна функциональ экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P) £ е(P0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийн бүх мужид биш харин зөвхөн Р 0 цэгийн тодорхой хэсэгт хийгдэх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1.( шаардлагатай нөхцөл FNP extremum)

Хэрэв функц болон= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэг дээр экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа.Р 0 цэг дээр ( а 1 , а 2 , ..., a p) функц болон= е(P) дээд зэрэглэлийн туйлтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =а 2 ,..., x n = a p. Дараа нь болон= е(P) = е 1 ((X 1 , а 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм Xнэг . Энэ функц байгаа тул X 1 = а 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0 эсвэл байхгүй үед X 1 =а 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Харин , тэгвэл P 0 цэг - экстремумын цэгт байхгүй эсвэл байхгүй. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CHTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн домайн цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд, бүр биш чухал цэгтуйлын цэг юм.

Теорем 9.2

Р 0 нь функцийн чухал цэг байг болон= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

Хэрвээ г 2 у(P 0) > 0-ийн хувьд Р 0 нь цэг болно хамгийн багафункцууд болон= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд болон= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үздэг.

Теорем нь хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэг дээр экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - нэмэлт судалгаа, жишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах шаардлагатай байна.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцэд зориулагдсан болохыг нотолсон z = f(x,y) хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр болох хоёр хувьсагчийн

Р 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлогчийг зохио

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 zР 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг өөрчлөгдөх ба Р 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчтай, бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын домайныг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) Р 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(Р 0) ба тооцоолно ГЭХДЭЭ(P 0) Дараа нь:

хэрэв D(Р 0) >0 бол Р 0 цэг дээр экстремум байна, үүнээс гадна хэрэв ГЭХДЭЭ(P 0) > 0 - тэгвэл энэ нь хамгийн бага бөгөөд хэрэв бол ГЭХДЭЭ(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(Р 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийн домэйн нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ Р 0 (0,0) , .

Хангалттай экстремум нөхцлүүдийн биелэлтийг шалгацгаая. Олъё

6X, = -3, = 48цагтболон = 288ху – 9.

Дараа нь D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 цэг дээр экстремум байгаа бөгөөд үүнээс хойш ГЭХДЭЭ(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P1) = .

Жишээ 2

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) = R 2. Чухал цэгүүд: ; цагт байхгүй цагт= 0, тиймээс P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(Р 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй е(x, y) цэг дээр Р 0 . Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, хэрэв D бол е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. Р 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөл байхгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) ба тиймээс P 0 нь хамгийн их цэг биш), D нөхцөл биш е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь Р 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Тиймээс экстремумын тодорхойлолтоор өгөгдсөн функцхэт туйлшралгүй.

Нөхцөлт туйл.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Экстремум функц болон = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), гэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг анхаарч үзээрэй z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн. Хэрэв зөвхөн нэг хязгаарлалтын тэгшитгэл байгаа бол i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэгүүдийг хайдаггүй z = f(x,y), мөн энэ гадаргууг цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд , Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийнх нь функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичнэ), хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзан үзэх тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

1. Функц нь цэгийн зарим хөршид тасралтгүй дифференциал болох ба тасралтгүй хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтэй (цэвэр ба холимог) байг.

2. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчоор тэмдэглэ

extremum variable лекцийн функц

Теорем

Хэрэв координаттай цэг нь функцийн суурин цэг байвал:

A) At , энэ нь орон нутгийн экстремум цэг бөгөөд, at орон нутгийн дээд хэмжээ, - орон нутгийн хамгийн бага;

C) цэг нь орон нутгийн экстремум цэг биш үед;

C) хэрэв, магадгүй хоёулаа.

Баталгаа

Бид функцийн Тейлорын томьёог бичээд хоёр гишүүнээр хязгаарладаг.

Теоремын нөхцлийн дагуу цэг нь хөдөлгөөнгүй байдаг тул хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. болон. Дараа нь

Тэмдэглэх

Дараа нь функцийн өсөлт нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь эрэмбийн (цэвэр ба холимог) хэсэгчилсэн деривативуудын тасралтгүй байдлын улмаас теоремын нөхцөлийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Хаана эсвэл; ,

1. Let and, өөрөөр хэлбэл, эсвэл.

2. Функцийн өсөлтийг үржүүлж, хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

3. Буржгар хаалтанд байгаа илэрхийллийг нийлбэрийн бүтэн квадрат хүртэл нөхнө үү.

4. Буржгар хаалт дахь илэрхийлэл нь сөрөг биш, учир нь

5. Иймд хэрэв ба эндээс, ба, тэгвэл ба, тиймээс гэсэн тодорхойлолтын дагуу цэг нь орон нутгийн минимумын цэг болно.

6. Хэрэв ба гэсэн утгатай бол, тэгээд тодорхойлолтын дагуу координаттай цэг нь орон нутгийн максимум цэг болно.

2. Квадрат гурвалжин, түүний ялгах, .

3. Хэрэв тийм бол олон гишүүнтийн цэгүүд байна

4. I-д олж авсан илэрхийллийн дагуу цэг дээрх функцийн нийт өсөлтийг бид дараах хэлбэрээр бичнэ.

5. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцөлөөр бид ингэж бичиж болно.

Иймээс аль ч цэгийн хувьд квадрат гурвалжин тэгээс их байх цэгийн хөрш байдаг:

6. авч үзэх - цэгийн хөрш.

Ямар ч үнэ цэнийг сонгоцгооё, тэгэхээр гол нь энэ. Функцийн өсөлтийн томъёонд гэж үзвэл

Бид юу авах вэ:

7. Тэр цагаас хойш.

8. Үндэсний талаар мөн адил мэтгэлцэхэд бид цэгийн аль ч хөршид цэг байдаг тул тухайн цэгийн хөршид тэмдэг хадгалдаггүй тул цэг дээр экстремум байдаггүй.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хайхдаа нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг асуудалтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээгээр тайлбарлаж болно.

0xy хавтгайд функц ба L шулууныг өгье. Даалгавар бол L шугаман дээр байрлах P (x, y) цэгийг олох явдал бөгөөд энэ үед функцийн утга нь энэ функцийн утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байх нь L шугамын ойролцоо байрладаг. P цэг. Ийм P цэгүүдийг L шулуун дээрх нөхцөлт экстремум цэгийн функцууд гэж нэрлэдэг. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дээрх функцийн утгыг бүх цэг дээр биш функцийн утгатай харьцуулдаг. түүний ойр орчмын зарим хэсэг, гэхдээ зөвхөн L шугам дээр байрладаг.

Ердийн экстремумын цэг (тэд мөн болзолгүй экстремум гэж хэлдэг) энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шугамын нөхцөлт экстремумын цэг болох нь тодорхой байна. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Юу хэлснийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ №1.Функцийн график нь дээд тархи юм (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2.

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь бөмбөрцгийн M оройтой тохирч байна. Хэрэв L шугам нь А ба В цэгүүдийг (түүний тэгшитгэл) дайран өнгөрдөг шулуун шугам юм бол энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцийн хамгийн их утга нь А ба В цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. B. Энэ шугам дээрх нөхцөлт экстремум (хамгийн их) цэгийн функцууд; энэ нь бөмбөрцгийн бөмбөрцгийн М 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энд энгийн экстремумын тухай асуудал байж болохгүйг зургаас харж болно.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт энэ мужийн хил дээрх функцийн экстремаль утгуудыг олох шаардлагатайг анхаарна уу. зарим мөрөнд, улмаар нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийднэ.

Тодорхойлолт 1.Тэгшитгэлийг хангадаг цэгийн нөхцөлт буюу харьцангуй максимум (хамгийн бага) хаана байна гэж тэд хэлдэг: хэрэв тэгшитгэлийг хангаж байгаа бол тэгш бус байдал.

Тодорхойлолт 2.Хэлбэрийн тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Теорем

Хэрэв функцүүд нь цэгийн ойролцоо тасралтгүй дифференциал болох ба хэсэгчилсэн дериватив ба цэг нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремумын цэг юм бол хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа

1. Теоремын нөхцөл, хэсэгчилсэн дериватив, функцийн утгын дагуу зарим тэгш өнцөгт

далд функцийг тодорхойлсон

Нэг цэг дээрх хоёр хувьсагчийн цогц функц байх болно орон нутгийн экстремум, тиймээс, эсвэл.

2. Үнэхээр нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал томьёоны инвариантын шинж чанарын дагуу

3. Холболтын тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь гэсэн үг

4. (2) тэгшитгэлийг (3)-аар үржүүлээд нэм

Тиймээс, at

дур зоргоороо. h.t.d.

Үр дагавар

Практикт хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг хайх нь тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хийгддэг.

Тэгэхээр дээрх жишээн дээр №1 харилцааны тэгшитгэлээс бидэнд байна. Эндээс хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхийг шалгахад хялбар байдаг. Харин дараа нь харилцааны тэгшитгэлээс. Бид геометрийн аргаар олдсон P цэгийг авдаг.

Жишээ №2.Хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг ол.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё өгөгдсөн функцба холболтын тэгшитгэлүүд:

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч хийцгээе:

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олох тэгшитгэлийн системийг бичье.

Иймээс координаттай функцийн дөрвөн нөхцөлт экстремум цэг байна: .

Жишээ №3.Функцийн экстремум цэгүүдийг ол.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх нь: , бид нэг суурин цэгийг олдог - гарал үүсэл. Энд,. Тиймээс (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш юм. Тэгшитгэл нь гиперболын параболоидын тэгшитгэл юм (Зураг 3), зураг (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш гэдгийг харуулж байна.

Цагаан будаа. 3.

Хаалттай бүс дэх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

1. Хязгаарлагдмал хаалттай мужид функц тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн байх ёстой D.

2. Тухайн муж дахь тус тусын цэгээс бусад функц нь хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг.

3. Вейерштрассын теоремын дагуу энэ хэсэгт функц хамгийн том, хамгийн бага утгыг авах цэг байдаг.

4. Хэрэв эдгээр цэгүүд нь D мужын дотоод цэгүүд бол тэдгээр нь хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байх нь ойлгомжтой.

5. Энэ тохиолдолд бидний сонирхож буй цэгүүд нь экстремум дээрх сэжигтэй цэгүүдийн нэг юм.

6. Гэсэн хэдий ч функц нь D мужийн хил дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.

7. D талбайн функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд экстремумын сэжигтэй бүх дотоод цэгүүдийг олж, тэдгээрт байгаа функцийн утгыг тооцоолж, дараа нь функцийн утгыг дараах хэсэгт харьцуулах шаардлагатай. талбайн хилийн цэгүүд бөгөөд олдсон бүх утгуудын хамгийн том нь хаалттай бүсэд хамгийн том байх болно D.

8. Орон нутгийн хамгийн их буюу минимумыг олох аргыг 1.2-р хэсэгт өмнө нь авч үзсэн. болон 1.3.

9. Бүс нутгийн хил дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох аргыг авч үзэх хэвээр байна.

10. Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд талбай нь ихэвчлэн муруй эсвэл хэд хэдэн муруйгаар хязгаарлагддаг.

11. Ийм муруй (эсвэл хэд хэдэн муруй) дагуу хувьсагч ба аль нэг нь бие биенээсээ хамааралтай, эсвэл хоёулаа нэг параметрээс хамаарна.

12. Ингээд хил дээр функц нэг хувьсагчаас хамааралтай болж хувирна.

13. Хайлтын арга хамгийн том үнэ цэнэНэг хувьсагчийн функцийг өмнө нь авч үзсэн.

14. D мужийн хилийг параметрийн тэгшитгэлээр өгье.

Дараа нь энэ муруй дээр хоёр хувьсагчийн функц байх болно нарийн төвөгтэй функцпараметрээс: . Ийм функцийн хувьд хамгийн том ба хамгийн бага утгыг нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргаар тодорхойлно.