Далд функцийн деривативыг онлайнаар олоорой. Далд функцийн дериватив

Ихэнх тохиолдолд практик асуудлыг шийдвэрлэхэд (жишээлбэл, дээд геодези эсвэл аналитик фотограмметрийн хувьд) хэд хэдэн хувьсагчийн нарийн төвөгтэй функцүүд гарч ирдэг, тухайлбал аргументууд. x, y, z нэг функц f(x,y,z) ) нь өөрөө шинэ хувьсагчдын функцууд юм У, В, В ).

Жишээлбэл, энэ нь тогтмол координатын системээс шилжих үед тохиолддог Оксиз хөдөлгөөнт систем рүү О 0 UVW болон буцаж. Энэ тохиолдолд "тогтмол" - "хуучин" ба "хөдөлгөөн" - "шинэ" хувьсагчтай холбоотой бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг мэдэх нь чухал бөгөөд учир нь эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд нь эдгээр координатын систем дэх объектын байрлалыг тодорхойлдог. ялангуяа, агаарын гэрэл зургийн бодит объекттой харьцах харьцаанд нөлөөлдөг. Ийм тохиолдолд дараахь томъёог хэрэглэнэ.

Энэ нь нарийн төвөгтэй функцийг өгсөн гэсэн үг юм Т гурван "шинэ" хувьсагч У, В, В гурван "хуучин" хувьсагчаар дамжуулан x, y, z дараа нь:

Сэтгэгдэл. Хувьсагчийн тоонд өөрчлөлт оруулах боломжтой. Жишээ нь: хэрэв

Ялангуяа, хэрэв z = f(xy), y = y(x) , дараа нь бид "нийт дериватив" гэж нэрлэгддэг томъёог авна.

Дараах тохиолдолд "нийт дериватив"-ийн ижил томъёо:

хэлбэрийг авна:

(1.27) - (1.32) томъёоны өөр хувилбарууд бас боломжтой.

Тайлбар: "Нийт дериватив" томъёог физикийн хичээлийн "Гидродинамик" хэсэгт шингэний хөдөлгөөний тэгшитгэлийн үндсэн системийг гаргахад ашигладаг.

Жишээ 1.10. Өгөгдсөн:

(1.31) дагуу:

§7 Хэд хэдэн хувьсагчийн далд өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд

Таны мэдэж байгаагаар нэг хувьсагчийн далд тодорхойлогдсон функцийг дараах байдлаар тодорхойлдог: бие даасан хувьсагчийн функц. x -ын талаар шийдэгдээгүй тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол далд гэж нэрлэдэг y :

Жишээ 1.11.

Тэгшитгэл

хоёр функцийг далд байдлаар тодорхойлдог:

Мөн тэгшитгэл

ямар ч функцийг тодорхойлдоггүй.

Теорем 1.2 (далд функцийн оршихуй).

Функцийг зөвшөөр z \u003d f (x, y) ба түүний хэсэгчилсэн деривативууд f" x болон f" y тодорхой, зарим хөршид тасралтгүй У М0 оноо М 0 (х 0 y 0 ) . Түүнээс гадна, f(x 0 ,y 0 )=0 болон f"(x 0 ,y 0 )≠0 , дараа нь (1.33) тэгшитгэлийг хөршид тодорхойлно У М0 далд функц у= у(х) , тасралтгүй ба зарим интервалаар ялгах боломжтой Д цэг дээр төвлөрсөн x 0 , ба у(х 0 )=y 0 .

Нотлох баримтгүйгээр.

Теорем 1.2-оос харахад энэ интервал дээр байна Д :

өөрөөр хэлбэл дотор нь таних тэмдэг байдаг

(1.31)-ийн дагуу "нийт" дериватив олддог.

Өөрөөр хэлбэл (1.35) деривативыг далд хэлбэрээр олох томьёог өгнө өгөгдсөн функцнэг хувьсагч x .

Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн далд функцийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.

Жишээлбэл, хэрэв зарим газар бол В зай Оксиз тэгшитгэл биелэгдэнэ:

дараа нь функц дээр тодорхой нөхцөлд Ф энэ нь функцийг далд байдлаар тодорхойлдог

Түүнчлэн (1.35)-тай адилтгах замаар түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах байдлаар олно.

Бид далд хэлбэрээр өгөгдсөн, өөрөөр хэлбэл хувьсагчдыг өөр хоорондоо хамааралтай зарим тэгшитгэлээр өгөгдсөн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно. xболон y. Шууд тодорхойлогдсон функцүүдийн жишээ:

Далд функцын дериватив буюу далд функцын деривативыг олоход нэлээд хялбар байдаг. Одоо харгалзах дүрэм, жишээнд дүн шинжилгээ хийж, энэ нь яагаад хэрэгтэй байгааг олж мэдье.

Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн деривативыг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг х-ээс ялгах шаардлагатай. Зөвхөн x байгаа тэдгээр нэр томъёо нь x функцийн ердийн дериватив болж хувирна. Мөн y нь x-ийн функц учраас y-тэй нэр томъёог нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ёстой. Хэрэв энэ нь маш энгийн бол х-тэй нэр томьёоны үүсмэл үр дүнд y-ээс авсан функцын деривативыг у-аас үүссэн деривативаар үржүүлсэн байх ёстой. Жишээлбэл, нэр томьёоны дериватив нь , нэр томьёоны дериватив нь гэж бичигдэнэ. Цаашилбал, энэ бүхнээс энэ "y харвалт" -ийг илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд далд өгөгдсөн функцийн хүссэн деривативыг олж авах болно. Үүнийг жишээгээр харцгаая.

Жишээ 1

Шийдэл. y нь х-ийн функц гэж үзээд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялгадаг.

Эндээс бид даалгаварт шаардлагатай деривативыг авна.

Одоо далд тодорхойлогдсон функцүүдийн хоёрдмол утгатай шинж чанар, яагаад тэдгээрийг ялгах тусгай дүрмүүд хэрэгтэй байгаа талаар нэг зүйл байна. Зарим тохиолдолд орлуулалт хийгдсэн эсэхийг шалгаж болно өгөгдсөн тэгшитгэл(дээрх жишээнүүдийг үзнэ үү) y-ийн оронд түүний x-ээр илэрхийлэгдэх нь энэ тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал болж хувирдаг. Тэгэхээр. Дээрх тэгшитгэл нь дараах функцуудыг далд байдлаар тодорхойлдог.

Анхны тэгшитгэлд y квадратыг х-ээр илэрхийлсэн илэрхийлэлийг орлуулсны дараа бид ижил төстэй байдлыг олж авна.

Бидний орлуулсан илэрхийллүүдийг y-ийн тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авсан.

Хэрэв бид харгалзах тодорхой функцийг ялгах юм бол

Дараа нь бид 1-р жишээн дээрх хариуг хүлээн авах болно - далд хэлбэрээр заасан функцээс:

Гэхдээ далд өгөгдсөн функц бүрийг хэлбэрээр дүрсэлж болохгүй y = е(x) . Жишээлбэл, далд тодорхойлогдсон функцууд

энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй, өөрөөр хэлбэл тоглогчийн хувьд эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжгүй юм. Тиймээс далд хэлбэрээр өгөгдсөн функцийг ялгах дүрэм байдаг бөгөөд үүнийг бид аль хэдийн судалсан бөгөөд бусад жишээнүүдэд тууштай хэрэглэх болно.

Жишээ 2Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Бид y анхны ба - гаралт дээр - далд өгөгдсөн функцийн деривативыг илэрхийлнэ.

Жишээ 3Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулан ялгана уу:

Жишээ 4Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулан ялгана уу:

Бид деривативыг илэрхийлж, авна:

Жишээ 5Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол:

Шийдэл. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа нөхцөлүүдийг шилжүүлдэг зүүн талбаруун талд тэгийг үлдээгээрэй. Тэгшитгэлийн хоёр талыг х-тэй харьцуулан ялга.

Эсвэл товчоор - далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Хичээлүүд маань практик шинж чанартай тул би теоремын тодорхойлолт, томъёололоос зайлсхийхийг хичээдэг боловч энд үүнийг хийх нь зүйтэй юм. Функц гэж юу вэ?

Нэг хувьсагчийн функц гэдэг нь бие даасан хувьсагчийн утга бүр нь тухайн функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц.

Ойролцоогоор "y" үсэг Энэ тохиолдолд- мөн функц байдаг.

Одоогоор бид-д тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээн дээр товч танилцуулга зохион байгуулъя.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "y" (функц) байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн x. Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлсэн .

Өөр функцийг авч үзье:

Энд хувьсагч ба "холимог" байрлана. Тэгээд ямар ч байдлаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийн өөрчлөлттэй нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтанд оруулах, хувьслын дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ:. Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Танилцуулъя: - жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай (яг л "хэвийн" функцтэй адил). Энэ нь далд функцийн хувьд мөн адил юм. байдагэхний дериватив, хоёр дахь дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд өгөгдсөн функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, деривативын хүснэгт үндсэн функцуудхүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц зүйл дээр байгаа бөгөөд бид яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор авч үзсэн даалгавруудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвах болно.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгаж, бүрэн ойлгомжтой болгох вэ. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

Зүгээр л гутаах гэж функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ

Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ үнэндээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг - ӨӨРӨӨ ЧИГЛЭЛ БАЙНА(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц юм, - дотоод функц. Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Бүтээгдэхүүнийг ердийн дүрмийн дагуу ялгах боломжтой :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. аливаа "хонх, шүгэл бүхий тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдлийн загвар нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой.

Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү:

4) Зүүн талд бид цус харвалт бүхий "y" тэмдэгтэй нэр томъёог цуглуулдаг. AT баруун тал- бид бусад бүх зүйлийг шилжүүлдэг:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив олдлоо. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Тэгээд сая авч үзсэн алгоритмын дагуу үүнийг ялгана. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг семантик нюансаараа ялгаатай байдаг. "Далд тодорхойлогдсон функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функц нь далд хэлбэрээр өгөгдсөн боловч энд та "y" -ийг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулж болно. "Далд функц" гэсэн хэллэг нь "y"-ийг илэрхийлэх боломжгүй үед "сонгодог" далд функц гэсэн үг юм.

Шийдэх хоёр дахь арга

Анхаар!Хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн найдвартай олохыг мэддэг тохиолдолд л та хоёрдахь аргатай танилцаж болно. Суралцаж эхэлж буй хүмүүс математик шинжилгээболон цайны аяга, энэ догол мөрийг уншиж, алгасаж болохгүй, эс тэгвээс таны толгой бүрэн эмх замбараагүй болно.

Хоёр дахь аргаар далд функцийн деривативыг ол.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь бидний деривативыг томъёогоор олж болно

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Энэ замаар:

Хоёр дахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг мэдэхгүй байх ёстой тул түүнд зориулж даалгаврын эцсийн хувилбарыг гаргах нь зохисгүй юм.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсэгт зураас өлгөх:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтыг дэлгэж байна:

Бид бүх нэр томъёог зүүн талд, үлдсэнийг нь баруун талд шилжүүлдэг.

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд байдлаар өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж.

Ялгаварласаны дараа фракцууд гарч ирэх нь ердийн зүйл биш юм. Ийм тохиолдолд фракцуудыг хаях хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Функцийг тэгшитгэл хэлбэрээр далд хэлбэрээр өгье
. Энэ тэгшитгэлийг ялгах Xба үүссэн тэгшитгэлийг деривативтай харьцуулан шийдвэрлэх , бид эхний эрэмбийн деривативыг (эхний дериватив) олно. талаар ялгах Xэхний дериватив нь далд функцийн хоёр дахь деривативыг авна. Аль хэдийн олдсон утгыг орлуулж байна хоёр дахь деривативын илэрхийлэл болгон бид илэрхийлнэ дамжуулан Xболон y.Гурав дахь эрэмбийн деривативыг (болон түүнээс цааш) олохын тулд бид ижил төстэй үйл ажиллагаа явуулна.

Жишээ.Олох , хэрэв
.

Шийдэл: тэгшитгэлийг хамааруулан ялга X:
. Эндээс бид олдог
. Цаашид.

Параметрээр өгөгдсөн функцүүдээс өндөр эрэмбийн деривативууд.

Функцийг зөвшөөр
параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн
.

Таны мэдэж байгаагаар анхны дериватив томъёоны дагуу олно
. Хоёр дахь деривативыг олъё
, өөрөөр хэлбэл
. Үүнтэй адил
.

Жишээ. Хоёр дахь деривативыг ол
.

Шийдэл: эхний деривативыг ол
. Хоёр дахь деривативыг олох
.

Функцийн дифференциал.

Функцийг зөвшөөр
-аар ялгах боломжтой
. Хэзээ нэгэн цагт энэ функцийн дериватив
тэгш эрхээр тодорхойлогддог
. Хандлага
цагт
, тиймээс деривативаас ялгаатай
b.m-ийн үнэ цэнээр, өөрөөр хэлбэл. бичиж болно
(
). Бүгдийг үржүүлье
, бид авдаг
. Функцийн өсөлт
хоёр нэр томъёоноос бүрдэнэ. эхний улирал
- өсөлтийн гол хэсэг нь функцийн дифференциал юм.

Def. функциональ дифференциал
деривативын үржвэр ба аргументийн өсөлт гэж нэрлэдэг. тэмдэглэгдсэн
.

Бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй ижил байна
.

(). Тиймээс дифференциалын томъёог бичиж болно
. Функцийн дифференциал нь дериватив болон бие даасан хувьсагчийн дифференциалын үржвэртэй тэнцүү байна. Энэ хамаарлаас үүдэн үүсмэлийг дифференциалын харьцаа гэж үзэж болно
.

Дифференциалыг ойролцоогоор тооцоололд ашигладаг. Илэрхийлэлээс хойш
хоёр дахь хугацаа
хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн нь ойролцоо тэгш байдлыг ашиглана
эсвэл өргөтгөсөн

Жишээ нь: ойролцоо утгыг тооцоол
.

Чиг үүрэг
деривативтай
.

Томъёоны дагуу (*) : .

Жишээ нь: функцийн дифференциалыг ол

Дифференциалын геометрийн утга.

Функцийн график руу
М цэг дээр( x;y) шүргэгч зурж, цэгийн хувьд энэ шүргэгчийн ординатыг авч үзье x+∆ x. Зураг дээр AM=∆ X AM 1 =∆ цагт∆MAV-аас
, тиймээс
, гэхдээ шүргэгчийн геометрийн утгын дагуу
. Тийм ч учраас
. Энэ томьёог дифференциал томъёотой харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна
, өөрөөр хэлбэл функциональ дифференциал
цэг дээр Xнь тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү бөгөөд энэ үед Xнэмэгдэл авдаг ∆х.

Дифференциал тооцоолох дүрэм.

Функцийн дифференциалаас хойш
деривативаас хүчин зүйлээр ялгаатай
, дараа нь деривативыг тооцоолох бүх дүрмийг дифференциалыг тооцоолоход ашигладаг (тиймээс "ялгаалалт" гэсэн нэр томъёо).

Хоёр дифференциалагдах функцийг өгье
болон
, дараа нь дифференциалыг дараах дүрмийн дагуу олно.

2)
-тайconst

4)
(
)

5) нарийн төвөгтэй функцэд зориулагдсан
, хаана

(учир нь
).

Комплекс функцийн дифференциал нь завсрын аргумент болон энэ завсрын аргументийн дифференциалтай харьцуулахад энэ функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

Дериватив програмууд.

Дундаж утгын талаархи теоремууд.

Роллегийн теорем. Хэрэв функц бол
сегмент дээр тасралтгүй
мөн нээлттэй интервалд ялгах боломжтой
хэрвээ энэ нь сегментийн төгсгөлд ижил утгатай байвал
, дараа нь интервалд
дор хаяж нэг ийм цэг байдаг -тай, үүнд дериватив алга болдог, i.e.
, а< в< б.

Геометрийн хувьд Роллегийн теорем нь функцийн график дээр гэсэн үг юм
Графикийн шүргэгч нь тэнхлэгтэй параллель байх цэг байдаг Өө.

Лагранжийн теорем. Хэрэв функц бол
сегмент дээр тасралтгүй
интервалаар ялгах боломжтой
, тэгвэл дор хаяж нэг цэг байна
тэгш байдал хадгалагдана.

Энэ томьёог Лагранжийн томьёо буюу хязгаарлагдмал өсөлтийн томъёо гэж нэрлэдэг: интервал дээрх дифференциалагдах функцийн өсөлт.
нь энэ сегментийн зарим дотоод цэг дэх деривативын утгаар үржүүлсэн аргументийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Лагранжийн теоремын геометрийн утга: функцийн график дээр
цэг бий C(s;е(в)) , функцийн графикт шүргэгч нь секанттай параллель байна AB.

Кошигийн теорем. Хэрэв функцууд
болон
сегмент дээр тасралтгүй
, интервалаар ялгах боломжтой
, ба
төлөө
, тэгвэл дор хаяж нэг цэг байна
ийм тэгш байдал
.

Коши теорем нь хязгаарыг тооцоолох шинэ дүрмийн үндэс болдог.

Л'Хопиталын дүрэм.

Теорем:(L'Hopital-ийн дүрмийн маягтын тодорхойгүй байдлын талаархи тодруулга ). Функцуудыг зөвшөөр
болон
нь үргэлжилсэн бөгөөд цэгийн ойролцоо ялгах боломжтой байдаг X 0 мөн энэ үед алга болно
. Үүнийг орхи
цэгийн ойролцоо X 0 . хэрэв хязгаар байгаа бол
, дараа нь
.

Баталгаажуулалт: Функцүүдэд хамааралтай
болон
Сегментийн Коши теорем

Нэг цэгийн ойролцоо хэвтэж байна X 0 . Дараа нь
, хаана x 0 < в< x. Учир нь
бид авдаг
. Цагийн хязгаарт хүрцгээе

. Учир нь
, дараа нь
, ийм учраас
.

Тэгэхээр хоёр b.m харьцааны хязгаар. Хэрэв сүүлийнх нь байгаа бол тэдгээрийн деривативын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна
.

Теорем.(Маягтын тодорхойгүй байдлыг илчлэх L'Hopital дүрэм
) Функцуудыг зөвшөөр
болон
нь үргэлжилсэн бөгөөд цэгийн ойролцоо ялгах боломжтой байдаг X 0 (магадгүй цэгээс бусад X 0 ), энэ хороололд
,
. Хэрэв хязгаар байгаа бол