Буурах арифметик прогрессийн нийлбэр. Арифметик прогресс: энэ юу вэ?

Арифметик прогресстооны дарааллыг нэрлэх (прогрессийн нөхцөл)

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө шинэ нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.

Тиймээс, дэвшилтийн алхам болон түүний эхний гишүүнийг зааж өгснөөр та томъёог ашиглан түүний аль ч элементийг олох боломжтой

Үл хөдлөх хөрөнгө арифметик прогресс

1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундаж юм.

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн зэргэлдээх сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хооронд байрлах гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдлийг ашиглан ямар ч дарааллыг шалгахад маш хялбар байдаг.

Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томьёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно

Хэрэв та ижил тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно

Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.

2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд амьдралын энгийн нөхцөл байдалд ихэвчлэн олддог.

3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин дарааллынх нь k-р гишүүнээс эхлэн хэсгийг олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томъёо танд хэрэг болно.

4) Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг k-р тооноос эхлэн олох нь практик сонирхол татдаг. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу

Энэ талаар онолын материалдуусч, бид практикт нийтлэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.

Жишээ 1. Арифметик прогрессийн 40 дэх гишүүнийг ол;7;...

Шийдэл:

Бидэнд байгаа нөхцөл байдлын дагуу

Явцын алхамыг тодорхойлъё

By алдартай томъёоПрогрессийн дөчин гишүүнийг ол

Жишээ 2. Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүнээр нь тодорхойлно. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томьёо ашиглан бичье

Бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олно

Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олохын тулд олсон утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулна.

Бид прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцоолно

Нарийн төвөгтэй тооцоололгүйгээр бид шаардлагатай бүх хэмжээг олсон.

Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний гишүүний аль нэгээр нь өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл:

Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье

тэгээд эхнийхийг нь олоорой

Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 дахь гишүүнийг олдог

Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг олох

ба эхний 100-ийн нийлбэр

Явцын хэмжээ 250 байна.

Жишээ 4.

Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүний тоог ол.

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Шийдэл:

Тэгшитгэлүүдийг эхний гишүүн болон прогрессийн алхамаар бичиж тодорхойлъё

Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх нэр томъёоны тоог тодорхойлно

Бид хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг

тэгээд шийднэ квадрат тэгшитгэл

Олдсон хоёр утгын зөвхөн 8 тоо нь асуудлын нөхцөлтэй тохирч байна. Ийнхүү прогрессийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг шийд

1+3+5+...+x=307.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь арифметик прогрессийн нийлбэр юм. Түүний эхний гишүүнийг бичээд прогрессийн зөрүүг олъё

Бид шийдэж эхлэхээс өмнө арифметик прогрессийн бодлого, энэ нь юу болохыг харцгаая тооны дараалал, учир нь арифметик прогресс байна онцгой тохиолдолтооны дараалал.

Тооны дараалал гэдэг нь элемент бүр өөрийн гэсэн тоон багц юм серийн дугаар . Энэ олонлогийн элементүүдийг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг. Дарааллын элементийн серийн дугаарыг индексээр тэмдэглэнэ:

Дарааллын эхний элемент;

Дарааллын тав дахь элемент;

- дарааллын "n" элемент, өөрөөр хэлбэл. n дугаарт "дараалалд зогсох" элемент.

Дарааллын элементийн утга ба түүний дарааллын дугаарын хооронд хамаарал байдаг. Тиймээс бид дарааллыг аргумент нь дарааллын элементийн дарааллын дугаар болох функц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хэлж чадна дараалал нь байгалийн аргументын функц юм:

Дарааллыг гурван аргаар тохируулж болно.

1 . Дарааллыг хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно.Энэ тохиолдолд бид зүгээр л дарааллын гишүүн бүрийн утгыг тохируулна.

Жишээлбэл, Хэн нэгэн хувийн цагийн менежмент хийхээр шийдсэн бөгөөд эхлээд долоо хоногт ВКонтакте дээр хэр их цаг зарцуулж байгаагаа тоол. Хүснэгтэнд цагийг тэмдэглэснээр тэрээр долоон элементээс бүрдэх дарааллыг хүлээн авна.

Хүснэгтийн эхний мөрөнд долоо хоногийн өдрийн тоог, хоёр дахь нь минутаар цагийг заана. Даваа гаригт хэн нэгэн ВКонтакте дээр 125 минут, Пүрэв гарагт 248 минут, баасан гарагт ердөө 15 минут зарцуулсан гэдгийг бид харж байна.

2 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёог ашиглан тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд дарааллын элементийн утгын тооноос хамаарах хамаарлыг томьёоны хэлбэрээр шууд илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь

Өгөгдсөн тоо бүхий дарааллын элементийн утгыг олохын тулд n-р гишүүний томъёонд элементийн дугаарыг орлуулна.

Хэрэв аргументийн утга мэдэгдэж байгаа бол функцийн утгыг олох шаардлагатай бол бид ижил зүйлийг хийнэ. Бид аргументын утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв, жишээ нь, , Тэр

Дурын тоон функцээс ялгаатай нь дараалалд аргумент нь зөвхөн натурал тоо байж болно гэдгийг дахин нэг удаа тэмдэглэе.

3 . Дарааллыг n дарааллын гишүүний утгын өмнөх гишүүдийн утгуудаас хамаарлыг илэрхийлсэн томьёо ашиглан тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд утгыг олохын тулд зөвхөн дарааллын гишүүний тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Бид дарааллын эхний гишүүн эсвэл эхний хэдэн гишүүнийг зааж өгөх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, дарааллыг авч үзье ,

Бид дарааллын гишүүдийн утгыг олох боломжтой дарааллаар, гурав дахь хэсгээс эхлэн:

Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р гишүүний утгыг олох бүрт өмнөх хоёр руу буцна. Энэ дарааллыг тодорхойлох аргыг нэрлэдэг давтагдах, латин үгнээс гаралтай давтагдах- буцаж ирэх.

Одоо бид арифметик прогрессийг тодорхойлж болно. Арифметик прогресс нь тооны дарааллын энгийн тусгай тохиолдол юм.

Арифметик прогресс нь тоон дараалал бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн ижил тоонд нэмэгдсэн өмнөхтэй тэнцүү байна.

дугаарыг дуудаж байна арифметик прогрессийн ялгаа. Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг, сөрөг эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно.

Хэрэв title="d>0).">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} нэмэгдэх.

Жишээлбэл, 2; 5; 8; арван нэгэн;...

Хэрэв бол арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага, прогресс нь байна буурч байна.

Жишээлбэл, 2; -1; -4; -7;...

Хэрэв , тэгвэл прогрессийн бүх гишүүн ижил тоотой тэнцүү бөгөөд прогресс нь байна суурин.

Жишээлбэл, 2;2;2;2;...

Арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар:

Зургийг харцгаая.

Бид үүнийг харж байна

, мөн нэгэн зэрэг

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

.

Тэгш байдлын хоёр талыг 2-т хуваа.

Тиймээс арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хоёр хөршийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Түүнээс гадна, түүнээс хойш

, мөн нэгэн зэрэг

, Тэр

, Тиймээс

Гарчиг="k>l) -ээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

-р гишүүний томъёо.

Арифметик прогрессийн нөхцөлүүд дараах харилцааг хангаж байгааг бид харж байна.

мөн эцэст нь

Бид авсан n-р гишүүний томъёо.

ЧУХАЛ!Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг багаар илэрхийлж болно. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та түүний аль ч гишүүнийг олох боломжтой.

Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэр.

Дурын арифметик прогрессийн хувьд туйлын нэгээс ижил зайд байгаа гишүүдийн нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийг авч үзье. Энэ прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь -тэй тэнцүү байг.

Прогрессийн нөхцлүүдийг эхлээд тоонуудын өсөх дарааллаар, дараа нь буурах дарааллаар эрэмбэлье.

Хосоор нэмье:

Хаалт бүрийн нийлбэр нь , хосын тоо n байна.

Бид авах:

Тэгэхээр, Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.

Ингээд авч үзье арифметик прогрессийн бодлого бодох.

1 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно. . Энэ дараалал нь арифметик прогресс гэдгийг батал.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний зөрүү нь ижил тоотой тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүдийн ялгаа нь тэдний тооноос хамаардаггүй бөгөөд тогтмол гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс тодорхойлолтоор энэ дараалал нь арифметик прогресс юм.

2 . Арифметик прогресс өгөгдсөн -31; -27;...

a) Прогрессийн 31 гишүүнийг ол.

б) 41 тоо энэ прогрессод орсон эсэхийг тодорхойл.

A)Бид үүнийг харж байна;

Прогрессийнхээ n-р гишүүний томьёог бичье.

Ерөнхийдөө

Манай тохиолдолд , Тийм учраас

Эрт дээр үед арифметик прогрессийн асуудлууд аль хэдийн байсан. Тэд практик хэрэгцээтэй байсан тул гарч ирээд шийдлийг шаардсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр Эртний Египет"Математикийн агуулгатай - Райндын папирус (МЭӨ 19-р зуун) нь дараахь даалгаврыг агуулдаг: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хувааж, тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэгтэй тэнцүү байх ёстой."

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Ийнхүү Александрын Hypsicles (2-р зуун, олон сонирхолтой бодлогуудыг эмхэтгэж, 14 дэх номыг Евклидийн элементүүдэд нэмж оруулсан) энэ санааг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүнтэй арифметик прогрессод 2-р хагасын гишүүний нийлбэр. гишүүдийн 1/2-ийн дөрвөлжин дээрх 1-р нөхцлийн нийлбэрээс их байна."

Дараалал нь ангаар тэмдэглэгдсэн байна. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Үүгээр бид өмнөх гишүүн (n)-ийг ижил тооны d-тэй нэмснээр олж авсан нэгийг хэлж байгаа бөгөөд энэ нь прогрессийн зөрүү юм.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, дараа нь ийм ахиц дэвшил нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний хэдэн гишүүнийг л авч үзвэл төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш их их хэмжээгээргишүүд аль хэдийн эцэс төгсгөлгүй дэвшил юм.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь дараахь шинж чанартай арифметик прогресс юм.

1. Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
2. Эсрэгээр нь: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм, өөрөөр хэлбэл. хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь мөн дэвшилтийн шинж тэмдэг бөгөөд иймээс үүнийг ихэвчлэн прогрессийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
   Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль нэг гишүүний хувьд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессийн хувьд шаардлагатай (N-р) гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.

Жишээ нь: арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн бөгөөд гуравтай тэнцүү, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцүү байна. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р улиралмэдэгдэж байгаа тохиолдолд түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүний нийлбэрийг (хязгаарлагдмал прогрессийн эхний n гишүүн гэсэн үг) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь асуудлын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометр прогресс байдаг.

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(8\); \(арван нэгэн\); \(14\)... нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Гэсэн хэдий ч \(d\) бас байж болно сөрөг тоо. Жишээлбэл, арифметик прогрессоор \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Явцыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг дуудна гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогрессийн адил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллын элементийн тоотой тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд, дээр дурдсан мэдээлэл нь бараг бүх арифметик прогрессийн асуудлыг (OGE-д санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад) шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

	Бид дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаж аль нь болохыг олж мэдье: \(d=49-62=-13\).
	Одоо бид шаардлагатай (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэгдсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

	\(x\)-ийг олохын тулд бид дараагийн элемент өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хөрш зэргэлдээх хоёр элементээс олъё: \(d=12.5-10=2.5\).
	Одоо бид хайж буй зүйлээ хялбархан олох боломжтой: \(x=5+2.5=7.5\).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдний утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг өгдөг. Тиймээс бид эхлээд бидэнд өгсөн зүйлийг ашиглан утгыг нэг нэгээр нь тооцоолно. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Бидэнд шаардлагатай зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Шаардлагатай хэмжээ нь олдсон.

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тооны гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог нэмснээр олж авдаг. явцын ялгаа).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "толгойгоор" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\) олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид дөрөв \(385\) дахин нэмэх шаардлагатай юу? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Та тоолохоос залхах болно ...

Тиймээс, ийм тохиолдолд тэд асуудлыг "толгойгоор нь" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба \(n\) эхний гишүүний нийлбэрийн томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) – \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний болон явцын зөрүүг мэдэхийн тулд гурван зуу, сая дахь элементийг ч хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) - сүүлчийн нийлбэр гишүүн;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Эхний хорин таван гишүүний нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор өгдөг (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). Эхний элементийг \(n\) оронд нэгээр нь оруулан тооцоолъё.
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Одоо \(n\) оронд хорин тавыг орлуулж хорин тав дахь гишүүнийг олъё.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээг хялбархан тооцоолж болно.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томъёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) – эхний элементүүдийн шаардлагатай \(n\) нийлбэр;
\(a_1\) – эхний нийлбэр гишүүн;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) – нийлбэр дэх элементийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо та бараг бүх арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэлтэй байна. Зөвхөн томьёо хэрэглэхээс гадна бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн бодлогуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил зүйлийг шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \(d\) олдог.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Одоо би нийлбэрийн томъёонд \(d\)-г орлуулахыг хүсэж байна... тэгээд энд гарч ирнэ. жижиг нюанс- бид мэдэхгүй байна \(n\). Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томъёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Бодоод үз дээ. Эхний эерэг элементэд хүрэхэд бид элемент нэмэхээ зогсооно. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрхэн? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томьёог бичье: Манай тохиолдолд \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Бид тэгээс их байхын тулд \(a_n\) хэрэгтэй. Энэ нь юу болох талаар \(n\) олж мэдье.
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \(0.3\) гэж хуваана.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Бид хасах нэгийг шилжүүлж, тэмдгүүдийг өөрчлөхөө мартдаггүй
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Тооцоолъё...
\(n>65,333…\)		...мөн эхний эерэг элемент нь \(66\) гэсэн тоотой болох нь харагдаж байна. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \(n=65\) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Тиймээс бид эхний \(65\) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элемент хүртэлх нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Энэ асуудалд та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \(26\)-аас эхлэн. Ийм тохиолдолд бидэнд томъёо байхгүй. Хэрхэн шийдэх вэ? Энэ нь амархан - \(26\)-аас \(42\) дахь нийлбэрийг авахын тулд эхлээд \(1\)-ээс \(42\) дахь нийлбэрийг олж, дараа нь хасах хэрэгтэй. үүнээс эхнийхээс \(25\) хүртэлх нийлбэр (зураг харна уу).
	Бидний явцын хувьд \(a_1=-33\), ялгаа \(d=4\) (эцэст нь бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрвийг нэмнэ). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \(42\)-y элементүүдийн нийлбэрийг олно.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Одоо эхний \(25\) элементүүдийн нийлбэр.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул бид энэ нийтлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо байдаг. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг хараахан мэдэхгүй байгаа гэсэн дотоод нотолгоо надад хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, тийм: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс би таныг урт удаан хугацааны танилцуулгаар зовоохгүй бөгөөд шууд гол руугаа орох болно.

Нэгдүгээрт, хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг харцгаая:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө нэгээр их байна. Хоёр дахь тохиолдолд, зэргэлдээх тоонуудын хоорондох ялгаа аль хэдийн тав байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд үндэс нь бүхэлдээ байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, мөн $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ба энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр ердөө $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг захиалсантоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Тоонуудыг өөрчлөх, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсээр ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь дахиад хэд хэдэн тоо байгааг илтгэж байх шиг байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь.

Прогресс нэмэгдэж эсвэл буурч болно гэдгийг би бас тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Нэмж дурдахад "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол дэвшилт нэмэгдэнэ;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээр өгөгдсөн гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тооноос зүүн талд байгаа тоог хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Бидний харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэндээ сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогрессийн нөхцөл ба давталтын томъёо

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ олонлогийн бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоогоор заана: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, дэвшилтийн хөрш зэргэлдээ нөхцлүүд нь дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн, $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Энэ томьёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэх замаар ямар ч тоог олох боломжтой. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү зальтай томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томъёог аль хэдийн олж мэдсэн байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, шийдлийн номонд өгөх дуртай. Ямар ч ухаалаг математикийн сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгавар №1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба $d=-5$ прогрессийн зөрүүг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; −2)

Тэгээд л болоо! Анхаарна уу: бидний ахиц дэвшил буурч байна.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй - эхний нэр томъёо нь бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байна. Гэсэн хэдий ч эв нэгдлийг орлуулснаар бидний томъёо эхний улиралд ч гэсэн үр дүнтэй гэдэгт бид итгэлтэй байсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгавар №2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Асуудлын нөхцлийг танил хэллэгээр бичье.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг хангах ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Явцын зөрүүг олох нь ийм амархан! Үлдсэн зүйл бол олсон тоог системийн аль нэг тэгшитгэлд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((а)_(3))=((а)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: (−34; −35; −36)

Бидний нээсэн прогрессийн сонирхолтой шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон дэвшилтэт асуудлын шийдлийг ихээхэн хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна.

Даалгавар №3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тиймээс $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг нөхцөлийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, түүний эхний гишүүн сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нэр томъёо гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ элементүүдийг дараалан дамжуулж энэ мөчийг "толгой" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ бодлогуудыг томъёоллыг мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас цаас шаардагдах байдлаар бичдэг - бид хариултаа олох зуураа зүгээр л унтдаг. Тиймээс эдгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхийг хичээцгээе.

Даалгавар No4. Арифметик прогрессод хэдэн сөрөг гишүүн байна −38.5; -35.8; ...?

Шийдэл. Тэгэхээр, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, эндээс бид шууд ялгааг олно:

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгддэг гэдгийг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Үүнийг олохыг хичээцгээе: хэзээ болтол (жишээ нь натурал тоо$n$) нэр томъёоны сөрөг тал хадгалагдана:

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөр нь зарим тайлбарыг шаарддаг. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, бид зөвхөн тооны бүхэл утгуудад сэтгэл хангалуун байна (үүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн том зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$ бөгөөд ямар ч тохиолдолд 16 биш юм. .

Даалгавар №5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-ыг мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн ялгааг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний ба зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх даалгавартай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг олж мэдье.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Анхаарна уу: сүүлчийн даалгаварт бүх зүйл хатуу тэгш бус байдалд орсон тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг судалж үзье, энэ нь бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөх арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе.

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн нөхцлүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын нэр томъёог тусгайлан тэмдэглэсэн бөгөөд $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент"-ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Дахин давтагдах томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх нэр томъёонд бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Мөн $((a)_(n-1))$ ба $((a)_(n+1))$ нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Бид хязгааргүй үргэлжлүүлж болох ч утгыг зургаар сайн харуулсан

Прогрессийн нөхцөл нь төвөөс ижил зайд оршдог

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид маш сайн мэдэгдлийг олж авсан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна: бид $((a)_(n))$-аас зүүн, баруун тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар ухрах боломжтой бөгөөд томъёо зөв хэвээр байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практикт олон асуудлыг арифметик дундажийг ашиглахад тусгайлан тохируулсан байдаг. Энийг хар даа:

Даалгавар №6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ болон $14+4((x)^(2))$ гэсэн дараалсан нөхцлүүд болох $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоо нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үр дүн нь сонгодог квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: −3; 2.

Даалгавар №7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд нь арифметик прогресс үүсгэдэг $$-ын утгыг ол (энэ дарааллаар).

Шийдэл. Дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар дахин илэрхийлье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс байна: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та ямар нэгэн харгис хэрцгий тоо гаргаж ирвэл эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай техник байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод −3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$-г орлуулъя:

\[\эхлэх(эгцлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид −54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь асуудлыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн асуудлуудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг асуудалтай тулгарсан сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийн арифметик дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө аль хэдийн яригдсан зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийг бүлэглэх, нэгтгэх

Дахиад тооны тэнхлэг рүү буцъя. Прогрессийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэе, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдэд үнэ цэнэтэй юм:

Тооны мөрөнд 6 элемент тэмдэглэгдсэн байна

“Зүүн сүүл”-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, “баруун сүүл”-ийг $((a)_(k))$, $d$-аар илэрхийлэхийг хичээцгээе. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах хэмжээ тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл, дараа нь эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлбэл. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн тодорхой илэрхийлж болно:

Тэнцүү догол нь тэнцүү хэмжээгээр өгдөг

Энэ баримтыг ойлгох нь бидэнд асуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг олгоно өндөр түвшинбидний дээр дурьдсанаас илүү хүндрэлүүд. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгавар №8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь боломжит хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$-ийн явцын зөрүүг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул шийдлийг бүхэлд нь ялгааг тойруулан бүтээх болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүсийн хувьд: Би хоёр дахь хаалтаас 11-ийн нийт үржүүлэгчийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчтай холбоотой квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. хэрвээ бид хаалтуудыг өргөжүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд нэр томъёоны коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг тооцоолж болно стандарт схем($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ гэсэн томьёо байдаг боловч хүссэн орой нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. парабол, тэгэхээр $((d) _(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \баруун)\cdot \left(d+6 \баруун)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо−66 ба −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоо бидэнд юу өгөх вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид хэзээ ч $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ, энэ тоо нь анхны дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгавар №9. $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac(1)(6)$ гэсэн тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар эдгээр тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үндсэндээ бид эхний ба гэсэн таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байна. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэе:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас мөн $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)(6)$. Хэрэв бид одоогоор $x$ ба $z$ тоонуудаас $y$-г авч чадахгүй байгаа бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санацгаая:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ болон бидний сая олсон $y=-\frac(1)(3)$ тоонуудын хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашиглан бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг хариултын эхний тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгавар №10. Хэрэв та оруулсан тоонуудын эхний, хоёр дахь, сүүлчийнх нь нийлбэр нь 56 гэдгийг мэдэж байвал 2 ба 42 тоонуудын хооронд эдгээр тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна уу.

Шийдэл. Өшөө илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ үүнийг өмнөхтэй ижил схемийн дагуу арифметик дундажаар шийддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулах шаардлагатайг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс бүх зүйлийг оруулсны дараа яг $n$ тоо гарч ирэх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж тодорхой бодъё. Энэ тохиолдолд шаардлагатай арифметик прогрессийг дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ ба $((a)_(n-1))$ тоонуудыг 2 ба 42-р тоонуудын ирмэг дээр бие бие рүүгээ нэг алхамаар олж авдаг гэдгийг анхаарна уу. өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дээр дурдсан илэрхийлэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-г мэдсэнээр бид явцын ялгааг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн нөхцлүүдийг олох л үлдлээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоо оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Прогресстэй үгийн асуудлууд

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй хэд хэдэн зүйлийг авч үзэхийг хүсч байна энгийн даалгаварууд. Маш энгийн: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудад эдгээр асуудлууд хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч эдгээр нь OGE болон математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд гардаг төрлийн асуудлууд тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгавар №11. Тус баг 1-р сард 62 эд анги үйлдвэрлэсэн бөгөөд тус бүрдээ дараа сарөмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн. Арваннэгдүгээр сард баг хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар жагсаасан хэсгүүдийн тоо нэмэгдэж буй арифметик прогрессийг илэрхийлэх болно. Үүнээс гадна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгавар №12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном боосон бол дараагийн сар бүр өмнөх сарынхаас 4-өөр илүү ном боосон байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

За, хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Та дараагийн хичээл рүү аюулгүйгээр шилжиж, бид ахиц дэвшлийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах болно.