Арифметик прогрессийн эхний тоонуудын нийлбэрийг олох томьёо. Жишээнүүдийн арифметик прогресс

Даалгаврууд арифметик прогрессэрт дээр үед аль хэдийн байсан. Тэд гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан, учир нь тэдэнд бодит хэрэгцээ байсан.

Тиймээс, математикийн агуулгатай Эртний Египетийн папирусуудын нэг болох Ринд папирус (МЭӨ XIX зуун) нь дараахь даалгаврыг агуулдаг: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, хэрэв тэдгээрийн хоорондын ялгаа нэг байвал. хэмжүүрийн найм.

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрын Hypsicles (2-р зуун, олон сонирхолтой бодлогуудыг эмхэтгэж, Евклидийн "Элементүүд"-д арван дөрөв дэх номыг нэмсэн" санааг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүдтэй арифметик прогрессод 2-р хагасын гишүүдийн нийлбэр. 1-р гишүүдийн нийлбэрээс 1/2 гишүүний квадратаас их байна.

a дарааллыг тэмдэглэв. Дарааллын тоонуудыг түүний гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг серийн дугаарэнэ гишүүн (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Прогрессийн зөрүү болох d тоотой ижил тооны өмнөх гишүүн (n)-ийг нэмснээр олж авсан гэж ойлгодог.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 бол ийм дэвшил нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний гишүүний цөөн хэдэн хэсгийг л авч үзвэл түүнийг төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш их олон тоогооргишүүд аль хэдийн хязгааргүй дэвшил юм.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь яг арифметик прогресс бөгөөд дараахь шинж чанартай байдаг.

Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
Эсрэг тал нь: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан бол өгөгдсөн дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь нэгэн зэрэг дэвшилтийн шинж тэмдэг тул үүнийг ихэвчлэн прогрессийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль ч гишүүнд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг дараах томъёог ашиглан олж болно.

Жишээ нь: арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гурав, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцэнэ. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р улиралмэдэгдэж байгаа бол түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийг (эцсийн прогрессийн 1-р n гишүүн гэж үзвэл) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь даалгаврын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометрийн прогресс байдаг.

Эхний түвшин

Арифметик прогресс. Жишээ бүхий нарийвчилсан онол (2019)

Тоон дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:
Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ байж болно (бидний тохиолдолд тэдгээр нь). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт, цаашлаад сүүлчийнх нь хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлаж болно. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тоон дараалал
Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Томилогдсон дугаар нь зөвхөн нэг дарааллын дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (-дахь дугаар гэх мэт) үргэлж ижил байна.
Тоотой тоог дарааллын --р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүхэл дарааллыг ямар нэг үсэг (жишээлбэл,) гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүрийг энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг гэж нэрлэдэг: .

Манай тохиолдолд:

Бидэнд байгаа гэж бодъё тоон дараалал, үүнд хөрш зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байна.
Жишээлбэл:

гэх мэт.
Ийм тоон дарааллыг арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
"Дэвшил" гэсэн нэр томъёог 6-р зууны эхэн үед Ромын зохиолч Боэтиус нэвтрүүлсэн бөгөөд энэ нь илүү ойлгомжтой болсон. өргөн ойлголт, хязгааргүй тооны дараалал хэлбэрээр. "Арифметик" гэсэн нэр нь эртний Грекчүүдийн эрхэлж байсан тасралтгүй пропорцын онолоос шилжсэн.

Энэ бол гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор нэмсэн тоон дараалал юм. Энэ тоог арифметик прогрессийн зөрүү гэж нэрлээд тэмдэглэнэ.

Аль тооны дараалал нь арифметик прогресс, аль нь биш болохыг тодорхойлохыг хичээ.

а)
б)
в)
г)

Авчихсан? Бидний хариултыг харьцуулна уу:
байнаарифметик прогресс - b, c.
Бишарифметик прогресс - a, d.

Өгөгдсөн прогресс руу () буцаж очоод түүний 3-р гишүүний утгыг олохыг хичээцгээе. Байгаа хоёролох арга.

1. Арга

Прогрессийн 3-р гишүүнд хүрэх хүртэл бид прогрессийн тооны өмнөх утгыг нэмж болно. Бидэнд нэгтгэн дүгнэх зүйл байхгүй байгаа нь сайн хэрэг - ердөө гурван утга:

Тэгэхээр тайлбарласан арифметик прогрессийн --р гишүүн тэнцүү байна.

2. Арга

Прогрессийн гишүүний утгыг олох шаардлагатай бол яах вэ? Дүгнэлт хийхэд нэг цаг гаруй хугацаа шаардагдах байсан бөгөөд бид тоог нэмэхдээ алдаа гаргахгүй байсан нь баримт биш юм.
Мэдээжийн хэрэг математикчид арифметик прогрессийн зөрүүг өмнөх утгад нэмэх шаардлагагүй аргыг бодож олжээ. Зурсан зургийг сайтар хараарай ... Та тодорхой хэв маягийг аль хэдийн анзаарсан байх, тухайлбал:

Жишээлбэл, энэ арифметик прогрессийн --р гишүүний утгыг юу бүрдүүлж байгааг харцгаая.

Өөрөөр хэлбэл:

Энэ арифметик прогрессийн гишүүний утгыг бие даан олохыг хичээ.

Тооцоолсон уу? Өөрийн оруулгуудыг хариулттай харьцуулна уу:

Бид өмнөх утгад арифметик прогрессийн гишүүдийг дараалан нэмэхэд өмнөх аргынхтай яг ижил тоог авсан гэдгийг анхаарна уу.
"Хувь хүнгүй болгохыг" хичээцгээе. энэ томъёо- түүнийг авчир ерөнхий хэлбэрболон авах:

Арифметик прогрессийн тэгшитгэл.

Арифметик прогрессууд нэмэгдэж эсвэл буурч байна.

Нэмэгдэх- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө их байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Бууж байна- нэр томъёоны дараагийн утга бүр өмнөхөөсөө бага байх прогрессууд.
Жишээлбэл:

Гарсан томъёог арифметик прогрессийн өсөлт ба буурах гишүүний аль алиных нь нэр томъёог тооцоолоход ашигладаг.
Үүнийг практик дээр шалгаж үзье.
Бидэнд дараах тооноос бүрдэх арифметик прогресс өгөгдсөн.

Түүнээс хойш:

Ийнхүү томъёо нь арифметик прогрессийг багасгах, нэмэгдүүлэх аль алинд нь ажилладаг гэдэгт бид итгэлтэй байсан.
Энэ арифметик прогрессийн -дах ба -дахь гишүүдийг өөрөө олохыг хичээ.

Үр дүнг харьцуулж үзье:

Арифметик прогрессийн шинж чанар

Даалгаврыг хүндрүүлье - бид арифметик прогрессийн шинж чанарыг гаргаж авдаг.
Бидэнд дараах нөхцөл өгөгдсөн гэж бодъё.
- арифметик прогресс, утгыг ол.
Энэ нь амархан гэж та хэлээд, аль хэдийн мэддэг томъёоныхоо дагуу тоолж эхлээрэй.

a, тэгвэл:

Туйлын зөв. Бид эхлээд олоод, дараа нь эхний тоон дээр нэмээд хайж байгаа зүйлээ олж авдаг. Хэрэв прогрессийг жижиг утгуудаар илэрхийлсэн бол энэ талаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, гэхдээ нөхцөл байдалд тоо өгвөл яах вэ? Зөвшөөрч байна, тооцоололд алдаа гарах магадлалтай.
Одоо бодоод үз дээ, энэ асуудлыг ямар ч томъёогоор нэг алхамаар шийдэх боломжтой юу? Мэдээжийн хэрэг, тийм ээ, бид үүнийг одоо гаргахыг хичээх болно.

Арифметик прогрессийн хүссэн гишүүнийг бид үүнийг олох томъёог мэддэг гэж тэмдэглэе - энэ бол бидний эхэнд гаргаж авсан томъёо юм.
, дараа нь:

Прогрессийн өмнөх гишүүн нь:
явцын дараагийн хугацаа нь:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийг нэгтгэн дүгнэе:

Прогрессийн өмнөх болон дараагийн гишүүдийн нийлбэр нь тэдгээрийн хооронд байрлах прогрессийн гишүүний утгаас хоёр дахин их байна. Өөрөөр хэлбэл, өмнөх болон дараалсан утгууд нь мэдэгдэж байгаа прогрессийн гишүүний утгыг олохын тулд тэдгээрийг нэмж, хуваах шаардлагатай.

Тийм ээ, бид ижил дугаарыг авсан. Материалаа засъя. Прогрессийн утгыг өөрөө тооцоол, учир нь энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.

Сайн хийлээ! Та ахиц дэвшлийн талаар бараг бүгдийг мэддэг! Домогт өгүүлснээр бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикчдын нэг, "математикчдын хаан" - Карл Гаусс өөртөө амархан гаргаж ирсэн нэг томьёог олж мэдэх л үлдлээ ...

Карл Гауссыг 9 настай байхад бусад ангийн сурагчдын ажлыг шалгах завгүй багш хичээл дээр дараахь даалгаврыг асуув: "Бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг (бусад эх сурвалжийн дагуу) хүртэл тооц. " Түүний шавь нарын нэг нь (энэ нь Карл Гаусс байсан) минутын дараа даалгаварт зөв хариулт өгөхөд багшийн гайхшрал юу байсан бэ, харин зоригтны ангийн ихэнх нь удаан тооцоо хийсний дараа буруу үр дүнд хүрсэн ...

Залуу Карл Гаусс амархан анзаарч болох хэв маягийг анзаарчээ.
Бидэнд -ti гишүүдээс бүрдэх арифметик прогресс байна гэж бодъё: Бид арифметик прогрессийн өгөгдсөн гишүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, бид бүх утгыг гараар нэгтгэж болно, гэхдээ Гауссын хайж байсан шиг даалгавраас түүний нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай бол яах вэ?

Бидэнд өгөгдсөн дэвшлийг дүрсэлцгээе. Тодруулсан тоонуудыг анхааралтай ажиглаж, тэдэнтэй янз бүрийн математикийн үйлдлүүдийг хийхийг хичээ.

Оролдсон уу? Та юу анзаарсан бэ? Зөв! Тэдний нийлбэр тэнцүү байна

Одоо хариул, бидэнд өгөгдсөн дэвшилтэд ийм хос хэд байх вэ? Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны яг тэн хагас нь, тэр нь.
Арифметик прогрессийн хоёр гишүүний нийлбэр тэнцүү ба ижил төстэй хосуудын нийлбэрийг үндэслэн бид нийт нийлбэр нь дараахтай тэнцүү байна.
.
Тиймээс аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн томъёо нь:

Зарим асуудлын хувьд бид 2-р нэр томъёог мэдэхгүй ч дэвшлийн ялгааг мэддэг. Нийлбэрийн томъёонд th гишүүний томъёог орлуулахыг хичээ.
Та юу авсан бэ?

Сайн хийлээ! Одоо Карл Гаусст өгсөн бодлого руугаа буцъя: --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр, --ээс эхэлсэн тоонуудын нийлбэр хэд болохыг өөрөө тооцоол.

Та хэд авсан бэ?
Гаусс нөхцлүүдийн нийлбэр нь тэнцүү, нөхцлийн нийлбэр нь тэнцүү болохыг олж мэдэв. Ингэж шийдсэн үү?

Чухамдаа арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн томьёог эртний Грекийн эрдэмтэн Диофант 3-р зуунд нотолсон бөгөөд энэ хугацаанд сэргэлэн хүмүүс арифметик прогрессийн шинж чанарыг хүч ба үндсэн хоёрын хамт ашиглаж байжээ.
Жишээлбэл, төсөөлөөд үз дээ Эртний Египетмөн тухайн үеийн хамгийн том барилгын талбай - пирамид барих ... Зураг дээр түүний нэг талыг харуулж байна.

Энд ахиц дэвшил хаана байна гэж та хэлэх вэ? Анхааралтай ажиглаж, пирамидын хананы эгнээ тус бүрийн элс блокуудын тоог олоорой.

Яагаад арифметик прогресс байж болохгүй гэж? Суурь дээр блокон тоосго байрлуулсан бол нэг ханыг барихад хичнээн блок шаардлагатайг тоол. Та хуруугаа монитор дээр хөдөлгөж тоолохгүй байх гэж найдаж байна, та сүүлийн томъёо болон арифметик прогрессийн талаар бидний хэлсэн бүх зүйлийг санаж байна уу?

AT Энэ тохиолдолдявц дараах байдалтай байна.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн тоо.
Өгөгдлөө сүүлийн томъёонд орлъё (бид блокуудын тоог 2 аргаар тоолно).

Арга 1.

Арга 2.

Одоо та монитор дээр тооцоолж болно: олж авсан утгыг манай пирамид дахь блокуудын тоотой харьцуулна уу. Зөвшөөрсөн үү? Сайн байна, та арифметик прогрессийн 3-р гишүүний нийлбэрийг эзэмшсэн байна.
Мэдээжийн хэрэг, та суурин дээрх блокуудаас пирамид барьж чадахгүй, гэхдээ юу вэ? Ийм нөхцөлд хана барихад хичнээн элс тоосго хэрэгтэйг тооцоолохыг хичээ.
Та удирдаж чадсан уу?
Зөв хариулт нь блокууд юм:

Дасгал хийх

Даалгаварууд:

Маша зуны улиралд бие галбиртай болж байна. Өдөр бүр тэр squat хийх тоог нэмэгдүүлнэ. Хэрэв Маша эхний дасгалын үеэр суулт хийсэн бол долоо хоногт хэдэн удаа бөхийх вэ?
Бүх сондгой тоонуудын нийлбэр хэд вэ?
Мод бэлтгэгчид гуалин хадгалахдаа тэдгээрийг нэг бүрээр нь овоолно дээд давхаргаөмнөхөөсөө нэг лог бага байна. Хэрэв өрлөгийн суурь нь гуалин байвал нэг өрлөгт хэдэн лог байдаг.

Хариултууд:

Арифметик прогрессийн параметрүүдийг тодорхойлъё. Энэ тохиолдолд
(долоо хоног = хоног).
Хариулт:Хоёр долоо хоногийн дотор Маша өдөрт нэг удаа бөхийх ёстой.
Эхний сондгой тоо, сүүлчийн тоо.
Арифметик прогрессийн ялгаа.
Хагас дахь сондгой тооны тоо, гэхдээ арифметик прогрессийн -р гишүүнийг олох томъёог ашиглан энэ баримтыг шалгана уу.
Тоонууд нь сондгой тоонуудыг агуулдаг.
Бид байгаа өгөгдлийг томъёонд орлуулна:
Хариулт:Үүнд агуулагдах бүх сондгой тоонуудын нийлбэр нь тэнцүү байна.
Пирамидын тухай асуудлыг эргэн санацгаая. Манай тохиолдолд, a , дээд давхарга бүр нэг гуалинаар багасдаг тул зөвхөн нэг багц давхарга байдаг, өөрөөр хэлбэл.
Томъёоны өгөгдлийг орлуулна уу:
Хариулт:Өрлөгт логууд байдаг.

Дүгнэх

- зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал. Энэ нь нэмэгдэж, буурч байна.
Томъёо олохАрифметик прогрессийн 3-р гишүүнийг - томьёогоор бичнэ, энд прогресс дахь тооны тоо байна.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч- - хаана - прогресс дахь тооны тоо.
Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрхоёр аргаар олж болно:

, утгын тоо хаана байна.

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Тоон дараалал

Суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ байж болно. Гэхдээ та тэдгээрийн аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт байгаа гэх мэтийг үргэлж хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл бид тэдгээрийг дугаарлаж чадна. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм.

Тоон дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Өөрөөр хэлбэл, тоо бүр нь тодорхой натурал тоотой холбоотой байж болох бөгөөд зөвхөн нэг юм. Мөн бид энэ дугаарыг энэ багцаас өөр ямар ч дугаарт өгөхгүй.

Тоотой тоог дарааллын --р гишүүн гэнэ.

Хэрэв дарааллын --р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор өгч байвал маш тохиромжтой. Жишээлбэл, томъёо

дарааллыг тогтооно:

Мөн томъёо нь дараах дараалалтай байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс нь дараалал юм (энд эхний гишүүн нь тэнцүү ба ялгаа). Эсвэл (, ялгаа).

n-р хугацааны томъёо

Бид давтагдах томьёог гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд --р гишүүнийг олохын тулд өмнөх эсвэл хэд хэдэн өмнөхийг мэдэх шаардлагатай.

Жишээлбэл, ийм томъёог ашиглан прогрессийн 3-р гишүүнийг олохын тулд бид өмнөх есийг тооцоолох хэрэгтэй. Жишээлбэл, үзье. Дараа нь:

За, одоо ямар томьёо гэдэг нь тодорхой боллоо?

Мөр бүрт бид нэмэх, зарим тоогоор үржүүлнэ. Юуны төлөө? Маш энгийн: энэ нь одоогийн гишүүний тоо хасагдсан:

Одоо илүү тухтай, тийм ээ? Бид шалгаж байна:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл:

Эхний гишүүн тэнцүү байна. Мөн ялгаа нь юу вэ? Мөн энд юу байна:

(эцсийн эцэст энэ нь прогрессийн дараалсан гишүүдийн зөрүүтэй тэнцүү учраас ялгаа гэж нэрлэдэг).

Тиймээс томъёо нь:

Дараа нь зуу дахь гишүүн нь:

-аас хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэр хэд вэ?

Домогт өгүүлснээр агуу математикч Карл Гаусс 9 настай хүү байхдаа хэдхэн минутын дотор энэ хэмжээг тооцоолжээ. Тэрээр эхний ба нийлбэр болохыг анзаарсан сүүлийн өдөртэнцүү байна, хоёр дахь болон эцсийн өмнөх нийлбэр ижил байна, гурав дахь болон төгсгөлөөс гурав дахь нийлбэр ижил байна гэх мэт. Ийм хос хэд байдаг вэ? Энэ нь зөв, бүх тоонуудын яг хагас нь, өөрөөр хэлбэл. Тэгэхээр,

Аливаа арифметик прогрессийн эхний гишүүдийн нийлбэрийн ерөнхий томъёо нь:

Жишээ:
Бүгдийн нийлбэрийг ол хоёр оронтой тоо, үржвэр.

Шийдэл:

Эхний ийм тоо бол энэ юм. Дараагийнх бүрийг өмнөх тоонд нэмэх замаар олж авна. Тиймээс бидний сонирхсон тоонууд нь эхний гишүүн болон зөрүүтэй арифметик прогрессийг үүсгэдэг.

Энэ прогрессийн 3-р гишүүний томъёо нь:

Хэрэв бүгд хоёр оронтой байх ёстой бол прогрессод хэдэн гишүүн байх вэ?

Маш хялбар: .

Прогрессийн сүүлийн хугацаа тэнцүү байх болно. Дараа нь нийлбэр:

Хариулт: .

Одоо өөрөө шийд:

Тамирчин өдөр бүр өмнөх өдрөөсөө 1 метр илүү гүйдэг. Тэр эхний өдөр км м гүйсэн бол долоо хоногт хэдэн км гүйх вэ?
Дугуйчин өдөр бүр өмнөхөөсөө илүү олон миль унадаг. Эхний өдөр тэр км замыг туулсан. Тэр км замыг туулахын тулд хэдэн өдөр явах ёстой вэ? Аялалын сүүлчийн өдөр тэр хэдэн км замыг туулах вэ?
Дэлгүүрт байгаа хөргөгчний үнэ жил бүр ижил хэмжээгээр хямдардаг. Зургаан жилийн дараа рублиэр зарагдсан хөргөгчний үнэ жил бүр хэдэн төгрөгөөр буурч байсныг тодорхойл.

Хариултууд:

Энд хамгийн чухал зүйл бол арифметик прогрессийг таньж, түүний параметрүүдийг тодорхойлох явдал юм. Энэ тохиолдолд (долоо хоног = хоног). Та энэ прогрессийн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тодорхойлох хэрэгтэй.
.
Хариулт:
Энд өгөгдсөн:, энэ нь олох шаардлагатай байна.
Мэдээжийн хэрэг, та өмнөх бодлоготой ижил нийлбэрийн томъёог ашиглах хэрэгтэй:
.
Утгыг орлуулах:
Үндэс нь тохирохгүй нь ойлгомжтой, тиймээс хариулт.
--р гишүүний томьёог ашиглан сүүлийн өдрийн туулсан замыг тооцоолъё.
(км).
Хариулт:
Өгөгдсөн: . олох: .
Энэ нь тийм ч хялбар биш юм:
(үрэх).
Хариулт:

АРИФМЕТИК ПРОГРЕСС. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Энэ нь зэргэлдээх тоонуудын ялгаа нь ижил ба тэнцүү байх тоон дараалал юм.

Арифметик прогресс нэмэгдэж () ба буурч байна ().

Жишээлбэл:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг олох томьёо

нь томьёо хэлбэрээр бичигдсэн бөгөөд энэ нь прогресс дахь тооны тоо юм.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн өмч

Энэ нь хөрш зэргэлдээх гишүүд нь тодорхой бол прогрессийн гишүүнийг олоход хялбар болгодог - прогресс дахь тооны тоо хаана байна.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэр

Нийлбэрийг олох хоёр арга бий:

Утгын тоо хаана байна.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол та маш сайхан байна.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг олж мэдсэн. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай хүргэлтУлсын нэгдсэн шалгалт, дээд сургуульд төсвөөр элсэх, хамгийн гол нь насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье ...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь ... илүү аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДЭВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА ДҮҮРГЭЭРЭЙ.

Шалгалтанд танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно асуудлыг цаг тухайд нь шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (ОЛОН!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл үүнийг цаг тухайд нь хийхгүй байх болно.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та олон удаа давтах хэрэгтэй.

Та хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой гарцаагүй шийдэлтэй нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та манай даалгавруудыг (шаардлагагүй) ашиглаж болно, бид мэдээж зөвлөж байна.

Бидний даалгаврын тусламжтайгаар гар хүрэхийн тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

Энэ нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг тайлах - 299 рубль.
Хичээлийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгавруудын хандалтыг нээнэ үү - 999 рубль.

Тийм ээ, бид сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг нэн даруй нээх боломжтой.

Хоёр дахь тохиолдолд бид танд өгөх болносимулятор "Бүх түвшний нарийн төвөгтэй байдлын хувьд сэдэв тус бүрийн шийдэл, хариулт бүхий 6000 даалгавар." Ямар ч сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд гар хүрэх нь гарцаагүй.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь зүгээр л симулятор биш, бүхэл бүтэн сургалтын хөтөлбөр юм. Шаардлагатай бол та үүнийг ҮНЭГҮЙ ашиглах боломжтой.

Бүх бичвэр, хөтөлбөрт хандах эрхийг сайтын ашиглалтын туршид олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онолоор бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би яаж шийдэхээ мэднэ” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг олж, шийдээрэй!

онд алгебр судлах үед ерөнхий боловсролын сургууль(9-р анги) нэг чухал сэдвүүдЭнэ нь геометр ба арифметик прогрессийг багтаасан тоон дарааллыг судлах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ?

Үүнийг ойлгохын тулд авч үзэж буй дэвшлийн тодорхойлолтыг өгөхөөс гадна асуудлыг шийдвэрлэхэд цаашид ашиглах үндсэн томъёог өгөх шаардлагатай.

Зарим алгебрийн прогрессийн 1-р гишүүн 6-тай, 7-р гишүүн нь 18-тай тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ялгааг олж, энэ дарааллыг 7-р гишүүн рүү сэргээх шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх нэр томъёог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглая: a n = (n - 1) * d + a 1 . Бид нөхцөл байдлаас мэдэгдэж буй өгөгдлийг, өөрөөр хэлбэл a 1 ба 7 тоонуудыг орлуулж, бидэнд: 18 \u003d 6 + 6 * d байна. Энэ илэрхийллээс та ялгааг хялбархан тооцоолж болно: d = (18 - 6) / 6 = 2. Ийнхүү бодлогын эхний хэсэгт хариулав.

Дарааллыг 7-р гишүүн рүү сэргээхийн тулд та алгебрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d гэх мэт. Үүний үр дүнд бид бүх дарааллыг сэргээдэг: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ба 7 = 18.

Жишээ №3: ахиц дэвшил гаргах

Үүнийг улам хүндрүүлье илүү хүчтэй нөхцөлдаалгавар. Одоо та арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Бид дараах жишээг өгч болно: жишээлбэл, 4 ба 5 гэсэн хоёр тоо өгөгдсөн. Эдгээрийн хооронд өөр гурван гишүүн багтахын тулд алгебрийн прогресс хийх шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн тоо нь цаашдын хөгжилд ямар байр суурь эзлэхийг ойлгох шаардлагатай. Тэдний хооронд дахин гурван нэр томъёо байх тул 1 \u003d -4 ба 5 \u003d 5 байна. Үүнийг тогтоосны дараа бид өмнөхтэй ижил төстэй ажлыг үргэлжлүүлнэ. Дахин хэлэхэд, n-р нэр томьёоны хувьд бид томъёог ашиглана: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Эхнээс: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Энд ялгаа нь бүхэл тоо биш, харин рационал тоо учраас алгебрийн прогрессийн томьёо ижил хэвээр байна.

Одоо олсон зөрүүг 1 дээр нэмээд прогрессийн алга болсон гишүүдийг сэргээцгээе. Бид дараахийг авна: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u00, Энэ нь асуудлын нөхцөлтэй давхцсан.

Жишээ №4: Прогрессийн эхний гишүүн

Бид шийдтэй арифметик прогрессийн жишээг үргэлжлүүлэн үзүүлсээр байна. Өмнөх бүх бодлогод алгебрийн прогрессийн эхний тоог мэддэг байсан. Одоо өөр төрлийн бодлогыг авч үзье: 15 = 50 ба 43 = 37 гэсэн хоёр тоог өгье. Энэ дараалал аль тооноос эхэлж байгааг олох шаардлагатай.

Өнөөг хүртэл ашиглагдаж байсан томьёо нь 1 ба d-ийн мэдлэгтэй гэж үздэг. Асуудлын нөхцөлд эдгээр тоонуудын талаар юу ч мэдэгдээгүй байна. Гэсэн хэдий ч бидэнд мэдээлэл байгаа нэр томъёо бүрийн илэрхийлэлийг бичье: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. Бид 2 үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (a 1 ба d) хоёр тэгшитгэл авсан. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд асуудлыг багасгасан гэсэн үг юм.

Хэрэв та тэгшитгэл бүрт 1-ийг илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийлэлүүдийг харьцуулж үзвэл заасан системийг шийдвэрлэхэд хамгийн хялбар байдаг. Эхний тэгшитгэл: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; хоёр дахь тэгшитгэл: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг авна: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ялгаа нь d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (зөвхөн 3 аравтын бутархай өгөгдсөн).

d-г мэдэж байгаа тул дээрх 2 илэрхийллийн аль нэгийг 1-д ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхлээд: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Хэрэв үр дүнгийн талаар эргэлзэж байвал та үүнийг шалгаж болно, жишээлбэл, нөхцөл байдалд заасан дэвшлийн 43 дахь гишүүнийг тодорхойлж болно. Бид авна: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Тооцоололд мянгад нь бөөрөнхийлсөнтэй холбоотой жижиг алдаа гарсан.

Жишээ №5: Нийлбэр

Одоо арифметик прогрессийн нийлбэрийн шийдэл бүхий зарим жишээг харцгаая.

Дараах хэлбэрийн тоон прогрессийг өгье: 1, 2, 3, 4, ...,. Эдгээр тооны 100-ийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Компьютерийн технологийн хөгжлийн ачаар энэ асуудлыг шийдэж болох юм, өөрөөр хэлбэл хүн Enter товчийг дармагц компьютер хийх бүх тоонуудыг дарааллаар нь нэгтгэж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та танилцуулсан тоон цуваа нь алгебрийн прогресс бөгөөд түүний ялгаа нь 1 гэдгийг анхаарч үзвэл асуудлыг оюун ухаанаар шийдэж болно. Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Энэ асуудлыг "Гаусс" гэж нэрлэсэн нь сонин байна XVIII эхэн үеЭнэ зууны 10-хан настай Германы алдарт хүн хэдхэн секундын дотор үүнийг оюун ухаандаа шийдэж чадсан. Хүү алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог мэддэггүй байсан ч дарааллын ирмэг дээр байрлах хос тоог нэмбэл үргэлж ижил үр дүн, өөрөөр хэлбэл 1 + 100 = 2 + 99 гарна гэдгийг анзаарчээ. = 3 + 98 = ..., эдгээр нийлбэрүүд яг 50 (100/2) байх тул зөв хариултыг авахын тулд 50-г 101-ээр үржүүлэхэд хангалттай.

Жишээ №6: n-ээс m хүртэлх гишүүний нийлбэр

Өөр ердийн жишээарифметик прогрессийн нийлбэр нь дараах байдалтай байна: 3, 7, 11, 15, ... гэсэн цуврал тоонуудыг өгвөл 8-аас 14 хүртэлх гишүүдийн нийлбэр хэд болохыг олох хэрэгтэй.

Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг. Эхнийх нь 8-аас 14 хүртэлх үл мэдэгдэх нэр томъёог олж, дараа нь тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэх явдал юм. Цөөн нэр томъёо байдаг тул энэ арга нь хангалттай хөдөлмөр биш юм. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү түгээмэл хоёр дахь аргаар шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

Гол санаа нь n > m нь бүхэл тоо болох m ба n гишүүний хоорондох алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томьёог олж авах явдал юм. Хоёр тохиолдолд бид нийлбэрийн хоёр илэрхийлэл бичнэ.

S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m тул 2 нийлбэрт эхнийх нь багтах нь ойлгомжтой. Сүүлийн дүгнэлт нь хэрэв бид эдгээр нийлбэрүүдийн зөрүүг авч, түүнд a m нэр томъёог нэмбэл (зөрүү авах тохиолдолд S n нийлбэрээс хасна) бид асуудлын шаардлагатай хариултыг авна гэсэн үг юм. Бидэнд: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- м / 2). Энэ илэрхийлэлд n ба m-ийн томъёог орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - м / 2) = a 1 * (n - м + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Үүссэн томъёо нь бага зэрэг төвөгтэй боловч S mn нийлбэр нь зөвхөн n, m, a 1, d-ээс хамаарна. Манай тохиолдолд a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Эдгээр тоог орлуулснаар бид: S mn = 301 болно.

Дээрх шийдлүүдээс харахад бүх бодлого нь n-р гишүүний илэрхийлэл ба эхний гишүүний олонлогийн нийлбэрийн томъёоны мэдлэг дээр суурилдаг. Эдгээр асуудлын аль нэгийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө нөхцөл байдлыг анхааралтай уншиж, юу олохыг хүсч байгаагаа тодорхой ойлгож, дараа нь шийдлийг үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.

Өөр нэг зөвлөгөө бол энгийн байхыг хичээх явдал юм, өөрөөр хэлбэл та нарийн төвөгтэй математик тооцоололгүйгээр асуултанд хариулж чадвал үүнийг хийх хэрэгтэй, учир нь энэ тохиолдолд алдаа гаргах магадлал бага байдаг. Жишээлбэл, №6 шийдэлтэй арифметик прогрессийн жишээн дээр S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, томъёогоор зогсоож болно. ба хуваах нийтлэг даалгавартусдаа дэд бодлого болгон (энэ тохиолдолд эхлээд a n ба a m нэр томъёог олоорой).

Хэрэв олж авсан үр дүнд эргэлзэж байвал зарим жишээн дээр дурдсанчлан үүнийг шалгахыг зөвлөж байна. Арифметик прогрессийг хэрхэн олохыг олж мэдэв. Нэг л мэдэхэд энэ тийм ч хэцүү биш.

Бид шийдэж эхлэхээс өмнө арифметик прогрессийн бодлого, арифметик прогресс гэж юу болох тул тоон дараалал гэж юу болохыг авч үзье онцгой тохиолдолтооны дараалал.

Тоон дараалал гэдэг нь элемент бүр өөрийн серийн дугаартай тоон багц юм. Энэ олонлогийн элементүүдийг дарааллын гишүүд гэж нэрлэдэг. Дарааллын элементийн дарааллын дугаарыг индексээр заана:

Дарааллын эхний элемент;

Дарааллын тав дахь элемент;

- дарааллын "n" элемент, i.e. n дугаарт "дараалалд зогсох" элемент.

Дарааллын элементийн утга ба түүний дугаарын хооронд хамаарал байдаг. Тиймээс бид дарааллыг аргумент нь дарааллын элементийн дарааллын дугаар болох функц гэж үзэж болно. Өөрөөр хэлбэл, хүн ингэж хэлж болно дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм:

Дарааллыг гурван аргаар тодорхойлж болно:

1 . Дарааллыг хүснэгт ашиглан тодорхойлж болно.Энэ тохиолдолд бид зүгээр л дарааллын гишүүн бүрийн утгыг тохируулна.

Жишээлбэл, хэн нэгэн нь хувийн цагийн менежмент хийхээр шийдсэн бөгөөд эхлээд долоо хоногт ВКонтакте дээр хэр их цаг зарцуулж байгаагаа тооцоолохоор шийдсэн. Цагийг хүснэгтэд бичснээр тэрээр долоон элементээс бүрдэх дарааллыг авах болно.

Хүснэгтийн эхний мөрөнд долоо хоногийн өдрийн дугаар, хоёр дахь нь минутаар цагийг агуулна. Даваа гаригт хэн нэгэн ВКонтакте дээр 125 минут, Пүрэв гарагт 248 минут, баасан гарагт ердөө 15 минут зарцуулсан гэдгийг бид харж байна.

2 . n-р гишүүний томьёог ашиглан дарааллыг тодорхойлж болно.

Энэ тохиолдолд дарааллын элементийн утгын тооноос хамаарах хамаарлыг томъёогоор шууд илэрхийлнэ.

Жишээлбэл, хэрэв , дараа нь

Өгөгдсөн тоо бүхий дарааллын элементийн утгыг олохын тулд n-р гишүүний томъёонд элементийн дугаарыг орлуулна.

Хэрэв аргументийн утга мэдэгдэж байгаа бол функцийн утгыг олох шаардлагатай бол бид мөн адил хийнэ. Функцийн тэгшитгэлийн оронд аргументийн утгыг орлуулна.

Хэрэв, жишээ нь, , дараа нь

Дурын тоон функцээс ялгаатай нь дараалалд зөвхөн натурал тоо л аргумент байж болно гэдгийг би дахин нэг удаа тэмдэглэж байна.

3 . n тоотой дарааллын гишүүний утгын өмнөх гишүүдийн утгаас хамаарлыг илэрхийлсэн томьёог ашиглан дарааллыг тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд утгыг олохын тулд зөвхөн дарааллын гишүүний тоог мэдэх нь хангалтгүй юм. Бид дарааллын эхний гишүүн эсвэл эхний хэдэн гишүүнийг зааж өгөх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, дарааллыг авч үзье ,

Бид дарааллын гишүүдийн утгыг олох боломжтой дарааллаар, гурав дахь хэсгээс эхлэн:

Өөрөөр хэлбэл, дарааллын n-р гишүүний утгыг олох бүрт өмнөх хоёр руу буцна. Энэ дарааллын аргыг нэрлэдэг давтагдах, латин үгнээс гаралтай давтагдах- буцаж ирэх.

Одоо бид арифметик прогрессийг тодорхойлж болно. Арифметик прогресс нь тоон дарааллын энгийн тусгай тохиолдол юм.

Арифметик прогресс тоон дараалал гэж нэрлэдэг бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор нэмэгддэг.

дугаарыг дуудаж байна арифметик прогрессийн ялгаа. Арифметик прогрессийн ялгаа нь эерэг, сөрөг эсвэл тэг байж болно.

Хэрэв title="(!LANG:d>0).">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} нэмэгдэх.

Жишээлбэл, 2; 5; найман; арван нэгэн;...

Хэрэв бол арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага, прогресс нь байна суларч байна.

Жишээлбэл, 2; - нэг; - дөрөв; -7;...

Хэрэв , тэгвэл прогрессийн бүх гишүүд ижил тоотой тэнцүү бөгөөд прогресс нь байна суурин.

Жишээлбэл, 2;2;2;2;...

Арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар:

Зургийг харцгаая.

Бид үүнийг харж байна

, мөн нэгэн зэрэг

Эдгээр хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-т хуваа.

Тиймээс арифметик прогрессийн гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хоёр хөршийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

Түүнээс гадна, учир нь

, мөн нэгэн зэрэг

, дараа нь

, улмаар

Гарчиг="(!LANG:k>l) -ээр эхэлсэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

гишүүний томъёо.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн хувьд дараах харилцааг бид харж байна.

мөн эцэст нь

Бид авсан n-р гишүүний томъёо.

ЧУХАЛ!Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг ба -аар илэрхийлж болно. Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та түүний аль нэг гишүүнийг олох боломжтой.

Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэр.

Дурын арифметик прогрессийн хувьд туйлаас тэнцүү зайтай гишүүнчлэлийн нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийг авч үзье. Энэ прогрессийн n гишүүдийн нийлбэр нь -тэй тэнцүү байг.

Прогрессийн нөхцлүүдийг эхлээд тоонуудын өсөх дарааллаар, дараа нь буурах дарааллаар байрлуул.

Үүнийг хослуулъя:

Хаалт бүрийн нийлбэр нь , хосын тоо n байна.

Бид авах:

Тэгэхээр, Арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор олж болно.

Санаж үз арифметик прогрессийн бодлого бодох.

1 . Дарааллыг n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно. . Энэ дараалал нь арифметик прогресс гэдгийг батал.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний ялгаа нь ижил тоотой тэнцүү гэдгийг баталцгаая.

Дарааллын хоёр зэргэлдээ гишүүний ялгаа нь тэдгээрийн тооноос хамаардаггүй бөгөөд тогтмол гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс тодорхойлолтоор энэ дараалал нь арифметик прогресс юм.

2 . Арифметик прогресс өгөгдсөн -31; -27;...

a) Прогрессийн 31 гишүүнийг ол.

б) 41 тоо энэ прогрессод орсон эсэхийг тодорхойлно.

а)Бид үүнийг харж байна;

Прогрессийнхээ n-р гишүүний томъёог бичье.

Ерөнхийдөө

Манай тохиолдолд , ийм учраас

Бид авах:

б) 41 тоо нь дарааллын гишүүн гэж бодъё. Түүний дугаарыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

Бид n-ийн натурал утгыг авсан тул тийм ээ, 41 тоо нь прогрессийн гишүүн юм. Хэрэв n-ийн олсон утга байхгүй байсан бол натурал тоо, тэгвэл бид 41 тоо нь дэвшлийн гишүүн БИШ гэж хариулна.

3 . a) 2 ба 8 тоонуудын хооронд 4 тоог оруулаад өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэдэг.

б) Үүссэн прогрессийн гишүүний нийлбэрийг ол.

а) 2 ба 8 тоонуудын хооронд дөрвөн тоог оруулъя.

Бид 6 гишүүнтэй арифметик прогрессийг авсан.

Энэ дэвшлийн ялгааг олцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид n-р гишүүний томъёог ашиглана:

Одоо тоонуудын утгыг олоход хялбар боллоо:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

б)

Хариулт: a) тийм; б) 30

4. Уг машин нь 240 тонн жинтэй буталсан чулууг тээвэрлэж, тээвэрлэлтийн хурдыг өдөрт ижил тооны тонноор нэмэгдүүлдэг. Эхний өдөр 2 тонн нуранги тээвэрлэсэн нь мэдэгдэж байна. 15 хоногийн дотор бүх ажлыг дуусгасан бол арван хоёр дахь өдөр хэдэн тонн буталсан чулууг тээвэрлэснийг тодорхойл.

Асуудлын нөхцлөөр ачааны машин тээвэрлэж буй дайрга өдөр бүр тэр хэмжээгээр нэмэгддэг. Тиймээс бид арифметик прогрессийг авч үзэж байна.

Бид энэ асуудлыг арифметик прогрессоор томъёолдог.

Эхний өдөр 2 тонн буталсан чулуу тээвэрлэсэн: a_1=2.

Бүх ажил 15 хоногийн дотор хийгдсэн: .

Ачааны машин нь 240 тонн жинтэй буталсан чулууг тээвэрлэдэг.

Бид олох хэрэгтэй.

Эхлээд дэвшлийн зөрүүг олъё. Прогрессийн n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглая.

Манай тохиолдолд:

Жишээ нь, дараалал \(2\); \(5\); \(найман\); \(арван нэгэн\); \(14\)… нь арифметик прогресс юм, учир нь дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө гурваар ялгаатай байдаг (өмнөх элементээс гурвыг нэмснээр олж авч болно):

Энэ прогрессийн хувьд \(d\) зөрүү эерэг (\(3\)-тай тэнцүү) тул дараагийн гишүүн бүр өмнөхөөсөө их байна. Ийм дэвшил гэж нэрлэдэг нэмэгдэх.

Гэсэн хэдий ч \(d\) бас байж болно сөрөг тоо. Жишээлбэл, арифметик прогрессоор \(16\); \(арав\); \(дөрөв\); \(-2\); \(-8\)… прогрессийн зөрүү \(d\) нь хасах зургаатай тэнцүү байна.

Мөн энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байх болно. Эдгээр дэвшилтүүдийг гэж нэрлэдэг буурч байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэглэгээ

Прогрессийг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ.

Прогресс үүсгэдэг тоонуудыг үүнийг нэрлэдэг гишүүд(эсвэл элементүүд).

Тэдгээрийг арифметик прогресстой ижил үсгээр тэмдэглэсэн боловч дарааллаар нь элементийн дугаартай тэнцүү тооны индекстэй байна.

Жишээлбэл, арифметик прогресс \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) нь \(a_1=2\) элементүүдээс бүрдэнэ; \(a_2=5\); \(a_3=8\) гэх мэт.

Өөрөөр хэлбэл, явцын хувьд \(a_n = \зүүн\(2; 5; 8; 11; 14…\баруун\)\)

Арифметик прогрессийн бодлого бодох

Зарчмын хувьд дээрх мэдээлэл нь арифметик прогрессийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм (OGE дээр санал болгож буй асуудлуудыг оруулаад).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(b_1=7; d=4\) нөхцлөөр тодорхойлно. \(b_5\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_5=23\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг өгөв: \(62; 49; 36...\) Энэ прогрессийн эхний сөрөг гишүүний утгыг ол.
Шийдэл:

	Бид дарааллын эхний элементүүдийг өгсөн бөгөөд энэ нь арифметик прогресс гэдгийг мэддэг. Өөрөөр хэлбэл, элемент бүр хөршөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байдаг. Дараагийн элементээс өмнөхийг нь хасаад аль нь болохыг олоорой: \(d=49-62=-13\).
	Одоо бид хүссэн (эхний сөрөг) элемент рүү дэвшлээ сэргээж чадна.
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(-3\)

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан элементүүд өгөгдсөн: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) үсгээр тэмдэглэсэн элементийн утгыг ол.
Шийдэл:

	\(x\)-ийг олохын тулд бид дараагийн элемент өмнөхөөсөө хэр их ялгаатай болохыг, өөрөөр хэлбэл прогрессийн зөрүүг мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хөрш зэргэлдээх хоёр элементээс олъё: \(d=12.5-10=2.5\).
	Одоо бид хайж буй зүйлээ ямар ч асуудалгүйгээр олдог: \(x=5+2.5=7.5\).
	Бэлэн. Та хариултаа бичиж болно.

Хариулт: \(7,5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Энэ прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

Бид прогрессийн эхний зургаан гишүүний нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Гэхдээ бид тэдгээрийн утгыг мэдэхгүй, зөвхөн эхний элементийг л өгдөг. Тиймээс бид эхлээд өгөгдсөн утгыг ашиглан утгыг ээлжлэн тооцдог.

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Бидэнд шаардлагатай зургаан элементийг тооцоолсны дараа бид тэдгээрийн нийлбэрийг олно.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Хүссэн дүнг оллоо.

Хариулт: \(S_6=9\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессоор \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Энэ дэвшлийн ялгааг ол.
Шийдэл:

Хариулт: \(d=7\).

Арифметик прогрессийн чухал томьёо

Таны харж байгаагаар арифметик прогрессийн олон асуудлыг гол зүйлийг ойлгох замаар шийдэж болно - арифметик прогресс нь тоонуудын гинж бөгөөд энэ гинжин хэлхээний дараагийн элемент бүрийг өмнөхтэй нь ижил тоог (ялгаа) нэмснээр олж авдаг. явцын тухай).

Гэсэн хэдий ч заримдаа "духан дээр" шийдэх нь маш тохиромжгүй нөхцөл байдал байдаг. Жишээлбэл, эхний жишээн дээр бид тав дахь элементийг \(b_5\) биш, харин гурван зуун наян зургаа дахь \(b_(386)\)-ийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ юу вэ, бид \ (385 \) удаа дөрөв нэмэх үү? Эсвэл эцсийн өмнөх жишээн дээр та эхний далан гурван элементийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Тоолох нь будлиантай байна ...

Тиймээс, ийм тохиолдолд тэд "духан дээр" шийддэггүй, харин арифметик прогрессоор гаргаж авсан тусгай томъёог ашигладаг. Гол нь прогрессийн n-р гишүүний томъёо ба эхний гишүүний нийлбэр \(n\) томъёо юм.

\(n\)-р гишүүний томъёо: \(a_n=a_1+(n-1)d\), энд \(a_1\) нь прогрессийн эхний гишүүн юм;
\(n\) - шаардлагатай элементийн тоо;
\(a_n\) нь \(n\) тоотой прогрессийн гишүүн юм.

Энэ томьёо нь зөвхөн эхний ба дэвшлийн зөрүүг мэдэхийн тулд дор хаяж гурван зуу, бүр сая дахь элементийг хурдан олох боломжийг олгодог.

Жишээ. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) олох.
Шийдэл:

Хариулт: \(b_(246)=1850\).

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), энд

\(a_n\) нь хамгийн сүүлийн нийлбэр нэр томъёо;

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг \(a_n=3.4n-0.6\) нөхцлөөр тодорхойлно. Энэ прогрессийн эхний \(25\) гишүүний нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Эхний хорин таван элементийн нийлбэрийг тооцоолохын тулд бид эхний болон хорин тав дахь гишүүний утгыг мэдэх хэрэгтэй. Бидний дэвшлийг тооноос нь хамааруулан n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлно (дэлгэрэнгүйг үзнэ үү). \(n\)-г нэгээр сольж эхний элементийг тооцоолъё.
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		Одоо \(n\) оронд хорин тавыг орлуулж хорин тав дахь гишүүнийг олъё.
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		За, одоо бид шаардлагатай хэмжээгээ ямар ч асуудалгүйгээр тооцдог.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(25)=1090\).

Эхний нөхцлийн \(n\) нийлбэрийн хувьд та өөр томьёог авч болно: та зүгээр л \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) -ын оронд \(a_n\) томъёог орлуулна \(a_n=a_1+(n-1)d\). Бид авах:

Эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), энд

\(S_n\) - эхний элементүүдийн шаардлагатай нийлбэр \(n\);
\(a_1\) нь нэгтгэх эхний гишүүн юм;
\(d\) - явцын зөрүү;
\(n\) - нийлбэр дэх элементүүдийн тоо.

Жишээ. Арифметик прогрессийн эхний \(33\)-ex гишүүний нийлбэрийг ол: \(17\); \(15,5\); \(арван дөрөв\)…
Шийдэл:

Хариулт: \(S_(33)=-231\).

Илүү төвөгтэй арифметик прогрессийн бодлого

Одоо та бараг ямар ч арифметик прогрессийн бодлогыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх мэдээлэлтэй байна. Зөвхөн томьёо хэрэглээд зогсохгүй бага зэрэг бодох хэрэгтэй (математикийн хувьд энэ нь хэрэг болно ☺) гэсэн асуудлуудыг авч үзээд сэдвээ дуусгая.

Жишээ (OGE). Прогрессийн бүх сөрөг гишүүний нийлбэрийг ол: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Шийдэл:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Даалгавар нь өмнөхтэй маш төстэй юм. Бид ижил аргаар шийдэж эхэлдэг: эхлээд бид \(d\) олно.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Одоо нийлбэрийн томъёонд \ (d \) -ийг орлуулахын тулд ... энд гарч ирнэ бага зэрэг нюанс- бид мэдэхгүй байна \(n\). Өөрөөр хэлбэл, хэдэн нэр томьёо нэмэх шаардлагатайг бид мэдэхгүй. Яаж мэдэх вэ? Ингээд бодоцгооё. Эхний эерэг элемент рүү ороход бид элемент нэмэхээ болино. Өөрөөр хэлбэл, та энэ элементийн дугаарыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрхэн? Арифметик прогрессийн дурын элементийг тооцоолох томьёог бичье: Манай тохиолдолд \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Бид тэгээс их байхын тулд \(a_n\) хэрэгтэй. Энэ нь юу болох талаар \(n\) олж мэдье.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(\|:0.3\)		Бид тэгш бус байдлын хоёр талыг \(0,3\) гэж хуваана.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Бид хасах нэгийг шилжүүлж, тэмдгийг өөрчлөхөө мартдаггүй
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Тооцоолж байна...
\(n>65,333…\)		…мөн эхний эерэг элемент нь \(66\) гэсэн тоотой байх болно. Үүний дагуу сүүлийн сөрөг нь \(n=65\) байна. Ямар ч тохиолдолд үүнийг шалгаж үзье.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Тиймээс бид эхний \(65\) элементүүдийг нэмэх хэрэгтэй.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Хариулт нь бэлэн байна.

Хариулт: \(S_(65)=-630.5\).

Жишээ (OGE). Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-аас \(42\) элементийн нийлбэрийг ол.
Шийдэл:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Энэ бодлогод та мөн элементүүдийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй, гэхдээ эхнийхээс биш, харин \(26\)-аас эхлэн. Бидэнд энэ талаар томъёолол байхгүй. Хэрхэн шийдэх вэ? Хялбар - \(26\)-аас \(42\)-р нийлбэрийг гаргахын тулд эхлээд \(1\)-ээс \(42\) хүртэлх нийлбэрийг олж, дараа нь түүнээс нийлбэрийг хасах хэрэгтэй. the first to \ (25 \) th (зураг харна уу).
	Бидний явцын хувьд \(a_1=-33\) ба ялгаа \(d=4\) (эцэст нь бид дараагийн элементийг олохын тулд өмнөх элемент дээр дөрөв нэмнэ). Үүнийг мэдсэнээр бид эхний \(42\)-uh элементүүдийн нийлбэрийг олно.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Одоо эхний \(25\)-р элементийн нийлбэр.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Эцэст нь бид хариултыг тооцоолно.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Хариулт: \(S=1683\).

Арифметик прогрессийн хувьд практик ач холбогдол багатай тул энэ өгүүлэлд авч үзээгүй өөр хэд хэдэн томъёо бий. Гэсэн хэдий ч та тэдгээрийг амархан олох боломжтой.