Урвуу матрицын аргыг ашиглан лагийг шийдвэрлэх. Урвуу матриц ашиглан шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

(заримдаа энэ аргыг бас нэрлэдэг матрицын аргаэсвэл урвуу матрицын арга) нь SLAE-ийн тэмдэглэгээний матриц хэлбэр гэх мэт ойлголттой урьдчилан танилцахыг шаарддаг. Урвуу матрицын арга нь тэдгээр шугаман системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан алгебрийн тэгшитгэл, үүний хувьд системийн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай байна. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь системийн матрицыг квадрат гэж үздэг (тодорхойлогч гэсэн ойлголт зөвхөн квадрат матрицад л байдаг). Урвуу матрицын аргын мөн чанарыг гурван цэгээр илэрхийлж болно.

1. Системийн матриц $A$, үл мэдэгдэх матриц $X$, чөлөөт нөхцлийн матриц $B$ гэсэн гурван матрицыг бич.
2. $A^(-1)$ урвуу матрицыг ол.
3. $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлийг ашиглан өгөгдсөн SLAE-ийн шийдлийг ол.

Аливаа SLAE нь матриц хэлбэрээр $A\cdot X=B$ хэлбэрээр бичигдэж болох бөгөөд энд $A$ нь системийн матриц, $B$ нь чөлөөт нөхцлийн матриц, $X$ нь үл мэдэгдэх матриц юм. $A^(-1)$ матриц байг. $A\cdot X=B$ тэгш байдлын хоёр талыг зүүн талд байгаа $A^(-1)$ матрицаар үржүүлье.

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - таних матриц), тэгвэл дээр бичсэн тэгш байдал дараах болно.

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ тул:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Жишээ №1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$-г урвуу матриц ашиглан шийд.

$$ A=\left(\эхлэх(массив) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Системийн матрицын урвуу матрицыг олъё, өөрөөр хэлбэл. $A^(-1)$-г тооцоолъё. Жишээ №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун) . $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлъё. Дараа нь бид матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(массив)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\төгсгөл(массив)\баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) 29\\ -11 \төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(массив) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(массив)\баруун)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(массив)\баруун)=\left( \begin(массив) (c) -3\\ 2\end(массив)\баруун). $$

Тиймээс бид $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end() тэгш байдлыг авсан. массив )\right)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Хариулах: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Жишээ №2

SLAE $ \left\(\begin(зэрэгцүүлсэн) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(зэрэгцүүлсэн)\баруун)-г шийдэх .$ урвуу матрицын аргыг ашиглан.

$A$ системийн матриц, $B$ чөлөөт гишүүний матриц, $X$ үл мэдэгдэх матрицыг бичье.

$$ A=\left(\begin(массив) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\төгсгөл(массив)\баруун);\; B=\left(\begin(массив) (c) -1\\0\\6\төгсгөл(массив)\баруун);\; X = \ зүүн (\ эхлэх (массив) (в) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ төгсгөл (массив) \ баруун). $$

Одоо системийн матрицын урвуу матрицыг олох ээлж ирлээ, жишээлбэл. $A^(-1)$ олох. Урвуу матрицыг олоход зориулагдсан хуудасны 3-р жишээн дээр урвуу матрицыг аль хэдийн олсон байна. Дууссан үр дүнг ашиглаад $A^(-1)$ гэж бичье:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\төгсгөл(массив)\баруун). $$

Одоо бүх гурван матрицыг ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ тэгшитгэлд орлуулаад баруун талд матрицын үржүүлэлтийг хийцгээе. энэ тэгш байдлын тухай.

$$ \left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(массив)\баруун)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\төгсгөл(массив) \баруун)\cdot \left(\эхлэх(массив) (c) -1\\0\ \6\төгсгөл(массив)\баруун)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(массив)\баруун)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(массив) (c) 0\\-104\\234\end(массив)\баруун)=\left( \эхлэх(массив) (в) 0\\-4\\9\төгсгөл(массив)\баруун) $$

Тиймээс бид $\left(\begin(массив) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(массив) (c) 0\\-4 тэгш байдлыг олж авлаа. \ \9\төгсгөл(массив)\баруун)$. Энэ тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Ерөнхий тэгшитгэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь математикт онолын болон хэрэглээний аль алинд нь онцгой байр суурь эзэлдэг.

Энэ нь дийлэнх нь физик, эдийн засаг, техник, тэр ч байтугай сурган хүмүүжүүлэх даалгаварянз бүрийн тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг ашиглан тодорхойлж, шийдэж болно. IN Сүүлийн үедсудлаачид, эрдэмтэд, практик хүмүүсийн дунд онцгой алдартай болсон математик загварчлалбараг бүх сэдвийн хүрээнд, энэ нь объектыг судлах бусад мэдэгдэж, батлагдсан аргуудаас илт давуу талтай гэдгээрээ тайлбарлагддаг. өөр өөр шинж чанартай, ялангуяа, гэж нэрлэгддэг нарийн төвөгтэй системүүд. Маш олон янз байдаг өөр өөр тодорхойлолтуудонд эрдэмтдийн өгсөн математик загвар өөр өөр цаг хугацаа, гэхдээ бидний бодлоор хамгийн амжилттай нь дараах мэдэгдэл. Математик загвар бол санаа, тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Тиймээс тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар нь орчин үеийн мэргэжилтний салшгүй шинж чанар юм.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Крамер, Жордан-Гаусс, матрицын аргуудыг хамгийн өргөн ашигладаг.

Матрицын шийдлийн арга нь урвуу матриц ашиглан тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга юм.

Хэрэв бид А матрицад xi үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн коэффициентийг бичиж, X вектор баганад үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг, В вектор баганад чөлөөт гишүүнийг цуглуулвал шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. А матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш үед л цорын ганц шийдэлтэй A · X = B матрицын тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно X = А-1 · Б, Хаана А-1 нь урвуу матриц юм.

Матрицын шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна.

Системийг нь өгье шугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх:

Үүнийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно: AX = Б, Хаана А- системийн үндсэн матриц, БТэгээд X- чөлөөт гишүүдийн багана ба системийн шийдлүүд:

Энэ матрицын тэгшитгэлийг зүүн талаас нь үржүүлье А-1 - матрицын урвуу матриц А: А -1 (AX) = А -1 Б

Учир нь А -1 А = Э, бид авдаг X=А -1 Б. Баруун хэсэгЭнэ тэгшитгэл нь анхны системийн шийдлийн баганыг өгнө. Хэрэглэх нөхцөл энэ арга(мөн ерөнхийдөө шийдэл байгаа эсэх). нэгэн төрлийн системҮл мэдэгдэх тоотой тэнцэх тэгшитгэлийн тоо бүхий шугаман тэгшитгэл) нь матрицын доройтолгүй байдал юм. А. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлЭнэ нь матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш гэсэн үг юм А:det А≠ 0.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл вектор байх үед Б = 0 , үнэхээр урвуу дүрэм: систем AX = 0 нь зөвхөн det бол өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэг биш) шийдэлтэй байна А= 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдүүдийн хоорондын ийм холболтыг Фредхольмын хувилбар гэнэ.

Жишээ Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүд.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэхийн коэффициентуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая.

Дараагийн алхам бол тооцоолох явдал юм алгебрийн нэмэлтүүдүл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын элементүүдийн хувьд. Тэд урвуу матрицыг олоход хэрэгтэй болно.

Энэ нь матрицаар гүйцэтгэх боломжтой бүх үйлдлүүдийг нэгтгэсэн ойлголт юм. Математик матриц - элементүүдийн хүснэгт. Хаана байгаа ширээний тухай мшугам ба nбагана, энэ матриц нь хэмжээстэй гэж хэлсэн мдээр n.

Матрицын ерөнхий дүр төрх:

Учир нь матрицын шийдлүүдМатриц гэж юу болохыг ойлгож, түүний үндсэн параметрүүдийг мэдэх шаардлагатай. Матрицын үндсэн элементүүд:

• Элементүүдээс бүрдсэн гол диагональ a 11, a 22…..a mn.
• Элементүүдээс бүрдсэн хажуугийн диагональ a 1n , a 2n-1 .....a м1.

Матрицын үндсэн төрлүүд:

• Квадрат гэдэг нь мөрийн тоо = баганын тоо ( m=n).
• Тэг - бүх матрицын элементүүд = 0.
• Шилжүүлсэн матриц - матриц IN, үүнийг анхны матрицаас олж авсан Амөрүүдийг баганаар солих замаар.
• Эв нэгдэл - үндсэн диагональ бүх элементүүд = 1, бусад бүх = 0.
• Урвуу матриц нь анхны матрицаар үржүүлснээр таних матрицыг үүсгэдэг матриц юм.

Матриц нь үндсэн ба хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байж болно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, дараа нь матриц нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Зөвхөн квадрат матрицууд тэгш хэмтэй байж болно.

Матрицыг шийдвэрлэх аргууд.

Бараг бүх матриц шийдвэрлэх аргуудтодорхойлогчийг олохоос бүрдэнэ n--р дараалал ба ихэнх нь нэлээд төвөгтэй байдаг. 2 ба 3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олохын тулд өөр илүү оновчтой аргууд байдаг.

2-р эрэмбийн тодорхойлогчдыг олох.

Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох А 2-р дарааллын хувьд хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг үндсэн диагональ элементүүдийн үржвэрээс хасах шаардлагатай.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох арга.

3-р эрэмбийн тодорхойлогчийг олох дүрмийг доор харуулав.

Гурвалжны хялбаршуулсан дүрмийг аль нэг нь матриц шийдвэрлэх аргууд, дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Өөрөөр хэлбэл, шулуун шугамаар холбогдсон эхний тодорхойлогч дахь элементүүдийн үржвэрийг “+” тэмдгээр авна; Мөн 2-р тодорхойлогчийн хувьд тохирох бүтээгдэхүүнийг "-" тэмдгээр, өөрөөр хэлбэл дараахь схемийн дагуу авна.

At Саррусын дүрмийг ашиглан матрицыг шийдвэрлэх, тодорхойлогчийн баруун талд эхний 2 баганыг нэмж, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель диагональ дээрх харгалзах элементүүдийн үржвэрийг "+" тэмдгээр авна; "-" тэмдгээр хоёрдогч диагональ ба түүнтэй параллель диагональуудын харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүнүүд:

Матрицыг шийдвэрлэх үед тодорхойлогчийг мөр, баганад задлах.

Тодорхойлогч нийлбэртэй тэнцүү байнатодорхойлогч хэлхээний элементүүдийн үржвэрийг тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдээр. Ихэвчлэн тэг агуулсан мөр/баганыг сонгодог. Задаргаа хийгдэж буй мөр эсвэл баганыг сумаар зааж өгнө.

Матрицыг шийдвэрлэхдээ тодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах.

At матрицуудыг шийдвэрлэхтодорхойлогчийг гурвалжин хэлбэрт оруулах арга, тэд дараах байдлаар ажиллана: мөр эсвэл багана дээрх хамгийн энгийн хувиргалтыг ашиглан тодорхойлогч нь гурвалжин хэлбэртэй болж, тодорхойлогчийн шинж чанарын дагуу түүний утга нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх болно. үндсэн диагональ дээр байгаа элементүүдийн.

Матрицыг шийдвэрлэх Лапласын теорем.

Лапласын теоремыг ашиглан матрицыг шийдэхдээ теоремыг өөрөө мэдэх хэрэгтэй. Лапласын теорем: Let Δ - энэ бол тодорхойлогч юм n--р захиалга. Бид аль нэгийг нь сонгодог кмөр (эсвэл багана) өгөгдсөн к≤ n - 1. Энэ тохиолдолд бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн бүтээгдэхүүний нийлбэр к-сонгосон дотор байгаа дараалал кмөрүүд (баганууд), тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд нь тодорхойлогчтой тэнцүү байх болно.

Урвуу матрицыг шийдвэрлэх.

Үйлдлийн дараалал урвуу матрицын шийдлүүд:

1. Энэ нь дөрвөлжин эсэхийг олж мэдээрэй өгөгдсөн матриц. Хэрэв хариулт нь сөрөг байвал урвуу матриц байж болохгүй гэдэг нь тодорхой болно.
2. Бид алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцдог.
3. Бид нэгдлийн (харилцан, залгаа) матрицыг бүрдүүлдэг C.
4. Бид урвуу матрицыг алгебрийн нэмэлтүүдээс бүрдүүлдэг: хавсарсан матрицын бүх элементүүд. Cанхны матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Эцсийн матриц нь хүссэн байх болно урвуу матрицөгөгдсөнтэй харьцуулахад.
5. Бид хийсэн ажлыг шалгана: анхны матриц ба үр дүнгийн матрицыг үржүүл, үр дүн нь таних матриц байх ёстой.

Матрицын системийг шийдвэрлэх.

Учир нь матрицын системийн шийдлүүдГауссын аргыг ихэвчлэн ашигладаг.

Гауссын арга нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх стандарт арга бөгөөд хувьсагчдыг дараалан арилгах, өөрөөр хэлбэл энгийн өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар тэгшитгэлийн системийг гурвалжингийн эквивалент системд шилжүүлэх явдал юм. хэлбэр ба түүнээс эхлэн дарааллаар нь (тоогоор) системийн элемент бүрийг олоорой.

Гауссын аргахамгийн уян хатан бөгөөд хамгийн сайн хэрэгсэлматрицуудын шийдийг олох. Хэрэв систем нь хязгааргүй тооны шийдэлтэй эсвэл систем нь таарахгүй бол Крамерын дүрэм болон матрицын аргыг ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй юм.

Гауссын арга нь мөн шууд (өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулах, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дор тэгийг авах) болон урвуу (өргөтгөсөн матрицын үндсэн диагональ дээрх тэгийг авах) хөдөлгөөнийг агуулдаг. Урагшлах арга нь Гауссын арга, урвуу алхам нь Гаусс-Жорданы арга юм. Гаусс-Жорданы арга нь Гауссын аргаас зөвхөн хувьсагчийг арилгах дарааллаар ялгаатай.

Олон хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

aij нь үл мэдэгдэх xi-ийн коэффициентүүд; хоёр эрх чөлөөтэй гишүүд;

индексүүд: i = 1,2,3...m - тэгшитгэлийн тоог тодорхойлох ба j = 1,2,3...n - үл мэдэгдэх тоо.

Тодорхойлолт: (5) тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь n тооны (x10, x20,....xn0) олонлог бөгөөд тэдгээрийг системд орлуулснаар бүх тэгшитгэлүүд зөв тоон ижилсэл болж хувирдаг.

Тодорхойлолт: Хэрэв тэгшитгэлийн систем нь ядаж нэг шийдэлтэй бол түүнийг тогтвортой гэж нэрлэдэг. Хамтарсан системийг өвөрмөц шийдэлтэй (x10, x20,....xn0), хэд хэдэн ийм шийдэлтэй бол тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт: Хэрэв системд шийдэл байхгүй бол түүнийг үл нийцэх гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт: (5) тэгшитгэлийн системийн тоон коэффициент (aij) ба чөлөөт гишүүн (bi)-ээс бүрдэх хүснэгтүүдийг системийн матриц (A) ба өргөтгөсөн матриц (A1) гэж нэрлэдэг бөгөөд эдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт: Тэгш бус тооны мөр, багана (n? m) бүхий А системийн матрицыг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Хэрэв мөр, баганын тоо ижил (n = m) байвал матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг.

Хэрэв систем дэх үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой (n=m) тэнцүү бол систем нь байна квадрат матриц n-р дараалал.

А матрицад k-дурын мөр, k-дурын багануудыг (км, kn) сонгоцгооё.

Тодорхойлолт: Сонгосон мөр, баганын огтлолцол дээр байрлах А матрицын элементүүдээс бүрдэх k эрэмбийн тодорхойлогчийг А матрицын k эрэмбийн минор гэнэ.

А матрицын бүх боломжит миноруудыг авч үзье. Хэрэв (k+1)-р эрэмбийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү ба k эрэмбийн миноруудын нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал матрицыг дараах байдлаар хэлнэ. k-тэй тэнцүү зэрэгтэй байна.

Тодорхойлолт: А матрицын зэрэглэл нь энэ матрицын тэг биш минорын хамгийн дээд зэрэглэл юм. Матрицын зэрэглэлийг r(A) гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт: Матрицын зэрэглэлтэй тэнцүү дараалал нь матрицын ямар ч тэг биш минорыг үндсэн гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт: А ба В хоёр матрицын зэрэглэлүүд r(A) = r(B) давхцаж байвал эдгээр матрицуудыг эквивалент гэж нэрлээд A B гэж тэмдэглэнэ.

Матрицын зэрэг нь энгийн, эквивалент хувиргалтаас өөрчлөгдөхгүй бөгөөд үүнд:

• 1. Мөрүүдийг баганаар, баганыг харгалзах мөрөөр солих;
• 2. Мөр, баганыг өөрчлөх;
• 3. Элементүүд нь бүгд тэгтэй мөр, баганыг таслах;
• 4. Мөр, баганыг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх, хуваах;
• 5. Нэг мөр, баганын элементүүдийг нөгөө мөрөөс нэмэх, хасах, дурын тоогоор үржүүлэх.

Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлохдоо эквивалент хувиргалтыг ашигладаг бөгөөд үүний тусламжтайгаар анхны матрицыг шаталсан (гурвалжин) матриц болгон бууруулдаг.

Алхам матрицын үндсэн диагональ дор тэг элементүүд байх бөгөөд хоёр дахь хэсгээс эхлэн мөр бүрийн эхний тэг биш элемент нь өмнөх эгнээний эхний тэг биш элементийн баруун талд байрлана.

Матрицын зэрэглэл нь эшелон матрицын тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү гэдгийг анхаарна уу.

Жишээлбэл, А= матриц шаталсан хэлбэртэй бөгөөд түүний зэрэглэл нь r(A)=3 матрицын тэгээс бусад мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ, 4-р эгнээний тэг элемент бүхий 4-р зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү, 3-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгээс өөр байна. Шалгахын тулд бид эхний 3 мөр, 3 баганын минорын тодорхойлогчийг тооцоолно.

Аливаа матрицыг үндсэн диагональ доорхи матрицын элементүүдийг энгийн үйлдлүүдийг ашиглан тэглэх замаар алхам матриц болгон бууруулж болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн судалгаа, шийдэлд эргэн оръё (5).

Кронекер-Капели теорем нь шугаман тэгшитгэлийн системийг судлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ теоремыг томъёолъё.

Кронекер-Капели теорем: А системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн A1 матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд шугаман тэгшитгэлийн систем тогтвортой байна, өөрөөр хэлбэл. r(A)=r(A1). Тогтвортой байдлын хувьд системийн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол систем нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл. r(A)=r(A1)=n ба энэ зэрэглэл тогтоогдоогүй бага тооүл мэдэгдэх, жишээлбэл. r(A)= r(A1)

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг судлах:

Системийн А матриц ба өргөтгөсөн А1 матрицын зэрэглэлийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид өргөтгөсөн A1 матрицыг зохиож, алхам алхмаар хэлбэрт оруулна.

Матрицыг багасгахдаа бид дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

• 2) 3 ба 4-р мөрөнд 1-р мөрийг 4-өөр үржүүлж хасах;
• 3) 4-р мөрийг (-1)-ээр үржүүлж, 2-р мөртэй газруудыг солино;
• 4) 5 ба 4-өөр үржүүлсэн 2-р мөртэй 3 ба 4 мөрийг нэмнэ;
• 5) 4-р мөрөөс 3-ыг хасаад 4-р мөрийг тэг элементээр таслана.

Гүйцэтгэсэн үйлдлүүдийн үр дүнд бид системийн матриц (мөр хүртэл) болон өргөтгөсөн матрицын аль алинд нь тэгээс ялгаатай гурван эгнээ бүхий алхамын матрицыг олж авсан. Энэ нь системийн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бөгөөд 3-тай тэнцүү боловч үл мэдэгдэх тооноос бага (n = 4) байгааг харуулж байна.

Хариулт: учир нь r(A)=r(A1)=3

Матрицын зэрэглэлийг үе шаттайгаар бууруулах замаар тодорхойлох нь тохиромжтой байдаг тул шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх аргыг авч үзэх болно.

Гауссын арга

Гауссын аргын мөн чанар нь үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах явдал юм. А1 матрицыг шугам хүртэл багтаасан шаталсан хэлбэрт оруулах замаар энэ тохиолдолд A, A1 матрицуудын зэрэглэлийг нэгэн зэрэг тодорхойлж, Кронекер-Капели теоремыг ашиглан системийг судална. . Сүүлчийн шатанд алхам алхмаар тэгшитгэлийн системийг шийдэж, үл мэдэгдэх утгуудын олсон утгыг доороос дээш сольж байна.

Гауссын арга ба Кронекер-Капели теоремыг жишээн дээр ашиглах талаар авч үзье.

Жишээ. Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд.

Системийн А матриц ба өргөтгөсөн А1 матрицын зэрэглэлийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид өргөтгөсөн A1 матрицыг зохиож, алхам алхмаар хэлбэрт оруулна. Дамжуулахдаа дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

• 1) 2-р мөрөөс 1-р мөрийг хасах;
• 2) 3-р мөрөөс 1-р мөрийг 2-оор үржүүлж хасах;
• 3) 2-р мөрийг (-2) хувааж, 3-р мөрийг (-1)-ээр үржүүлж, солино.

Бид мөрийн тоо 3, системийн матриц (мөр хүртэл) нь тэг оруулгагүй шаталсан матрицыг олж авсан. Үүний үр дүнд системийн матриц ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь 3-тай тэнцүү бөгөөд үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. r(A)=r(A1)=n=3.. Кронекер-Капели теоремын дагуу систем нь тууштай, тодорхойлогдсон, өвөрмөц шийдэлтэй.

А1 матрицыг хувиргаж, үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг тэглэсний үр дүнд бид тэдгээрийг тэгшитгэлээс дараалан хасч, үе шаттай (гурвалжин) тэгшитгэлийн системийг олж авав.

Гурав дахь тэгшитгэлийн шийдийг (x3=1) хоёрдугаарт, хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлийн шийдийг (x2=1, x3=1) эхнийх рүү орлуулан доороос дээш дараалан хөдөлж, бид дараах шийдлийг олж авна. тэгшитгэлийн систем: x1=1, x2=1, x3=1.

Шалгах: -(!) Хариулт: (x1=1, x2=1, x3=1).

Жордано-Гаусын арга

Энэ системийг сайжруулсан Жордано-Гаусын аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь өргөтгөсөн матриц дахь (шугам хүртэл) системийн А матрицыг таних матриц болгон бууруулсанаас бүрддэг: E=нэгж диагональ ба тэг диагональ бус элементүүдтэй бөгөөд нэмэлт орлуулалтгүйгээр системийн шийдлийг нэн даруй олж авна.

Дээр дурдсан системийг Жордано-Гаусын аргыг ашиглан шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах алхмуудыг хийснээр үүссэн алхамын матрицыг нэгж матриц болгон хувиргана.

• 1) 1-р мөрөөс 2-р мөрийг хасах;
• 2) 3-р мөрийг 1-р мөрөнд нэмж, 3-аар үржүүлнэ;
• 3) 2-р мөрөөс 3-р мөрийг хасаад 4-өөр үржүүлнэ.

Анхны тэгшитгэлийн системийг шийдлийг тодорхойлдог систем болгон бууруулсан.

матрицтай үндсэн үйлдлүүд

Хоёр матрицыг өгье: A= B=.

• 1. Матрицуудын ижил нэртэй элементүүд нь тэнцүү бол A=B тэнцүү байна:aij=bij
• 2. Матрицуудын нийлбэр (ялгаа) (A ± B) нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог матриц юм.

Матрицуудыг нэгтгэх (хасах) үед тэдгээрийн ижил нэртэй элементүүдийг нэмж (хасах) хийдэг.

3. k тоо ба А матрицын үржвэр нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог матриц юм.

Матрицыг тоогоор үржүүлэхэд матрицын бүх элементүүдийг энэ тоогоор үржүүлнэ.

4. AB матрицуудын үржвэр нь дараахь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог матриц юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ эхний матрицын мөрийн элементүүдийг хоёр дахь матрицын баганын элементүүдээр үржүүлж, нийлбэр гаргах ба i-р мөр, j-р баганын үржвэрийн матрицын элемент нь нэгдүгээр матрицын i-р эгнээ ба j-р баганын хоёрдугаар матрицын харгалзах элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр.

Матрицыг үржүүлэхэд ерөнхий тохиолдолд солих хууль үйлчлэхгүй, өөрөөр хэлбэл. AB?VA.

5. А матрицыг шилжүүлэх нь мөрүүдийг баганаар, баганыг харгалзах мөрөөр солих үйлдэл юм.

AT= матрицыг А= матрицын шилжүүлсэн матриц гэнэ.

Хэрэв А матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш (D?0) бол ийм матрицыг ганц биш гэж нэрлэдэг. Ганц бус А матрицын хувьд урвуу матриц А-1 байх ба түүний хувьд тэгш байдал нь дараах байдалтай байна: A-1 A= A A-1=E, энд E= нь таних матриц юм.

6. А матрицын урвуу байдал нь урвуу матриц А-1 үүсэх ийм үйлдлүүд юм

А матрицыг урвуулахад дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.