Гауссын матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд. Гауссын арга: шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритмын тайлбар, жишээ, шийдлүүд

Бид системийг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно шугаман тэгшитгэл. Энэ хичээл нь сэдвийн гурав дахь хичээл юм. Хэрэв та шугаман тэгшитгэлийн систем гэж юу болох талаар тодорхойгүй ойлголттой бол та цайны сав шиг санагдаж байвал дараагийн хуудасны үндсээс эхлэхийг зөвлөж байна, энэ хичээлийг судлах нь ашигтай юм.

Гауссын арга хялбар!Яагаад? Германы алдарт математикч Иоганн Карл Фридрих Гаусс амьд ахуйдаа бүх цаг үеийн хамгийн агуу математикч, суут ухаантан гэдгээрээ хүлээн зөвшөөрөгдөж, "Математикийн хаан" гэсэн хоч хүртэл авч байжээ. Таны мэдэж байгаагаар ухаалаг бүх зүйл энгийн байдаг!Дашрамд хэлэхэд, зөвхөн сорогчид төдийгүй суут хүмүүс мөнгөнд унадаг - Гауссын хөрөг 10 немец маркийн дэвсгэрт дээр (Еврог нэвтрүүлэхээс өмнө) гайхагдсан байсан бөгөөд Гаусс жирийн шуудангийн маркнаас германчуудыг нууцлаг байдлаар инээмсэглэсээр байна.

Гауссын арга нь түүнийг эзэмшихэд 5-Р АНГИЙН СУРАГЧИЙН МЭДЛЭГ ХАНГАЛТТАЙ байдгаараа энгийн. Нэмэх, үржүүлэх чадвартай байх ёстой!Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах аргыг сургуулийн математикийн сонгон шалгаруулалтын багш нар ихэвчлэн авч үздэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Энэ нь парадокс боловч Гауссын арга нь оюутнуудад хамгийн их хүндрэл учруулдаг. Гайхах зүйлгүй - энэ бол аргачлалын тухай бөгөөд би аргын алгоритмын талаар хүртээмжтэй хэлбэрээр хэлэхийг хичээх болно.

Нэгдүгээрт, бид шугаман тэгшитгэлийн системийн талаархи мэдлэгийг бага зэрэг системчилдэг. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь:

1) Өвөрмөц шийдэлтэй байх. 2) Хязгааргүй олон шийдэлтэй байх. 3) Ямар ч шийдэл байхгүй (байх нийцэхгүй).

Гауссын арга бол шийдлийг олох хамгийн хүчирхэг, олон талын хэрэгсэл юм ямар чшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Бидний санаж байгаагаар Крамерын дүрэм ба матрицын аргаСистем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа тохиолдолд тохиромжгүй. Нэг арга дараалсан хасалтүл мэдэгдэх ямар ч байсанбиднийг хариулт руу хөтөл! Энэ хичээл дээр бид Гауссын аргыг 1-р тохиолдлыг дахин авч үзэх болно (системийн цорын ганц шийдэл), нийтлэлийг 2-3-р цэгүүдийн нөхцөл байдалд зориулж хадгалсан болно. Аргын алгоритм нь гурван тохиолдолд адилхан ажилладаг гэдгийг би тэмдэглэж байна.

Буцах хамгийн энгийн системхичээлээс Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?Гауссын аргыг ашиглан шийднэ.

Эхний алхам бол бичих явдал юм Өргөтгөсөн матрицын систем: . Коэффициентийг ямар зарчмаар бүртгэж байгааг хүн бүр харж байгаа байх гэж бодож байна. Матрицын доторх босоо шугам нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй - энэ нь дизайныг хялбарчлах үүднээс зураас юм.

Лавлагаа : Би санаж байхыг зөвлөж байна нөхцөл шугаман алгебр. Системийн матриц Энэ нь зөвхөн үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матриц бөгөөд энэ жишээнд системийн матриц: . Өргөтгөсөн системийн матриц нь системийн ижил матриц ба чөлөөт гишүүдийн багана бөгөөд энэ тохиолдолд: . Аль ч матрицыг товчилсон матриц гэж нэрлэж болно.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичсэний дараа түүнтэй хамт зарим үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг. анхан шатны өөрчлөлтүүд.

Дараах үндсэн өөрчлөлтүүд байдаг.

1) Мөрматрицууд чадна дахин зохион байгуулахгазрууд. Жишээлбэл, авч үзэж буй матрицад та эхний болон хоёр дахь мөрийг аюулгүйгээр дахин байрлуулж болно.

2) Хэрэв матрицад пропорциональ (эсвэл гарч ирсэн) байвал онцгой тохиолдолижил) мөрүүд, дараа нь энэ нь дагадаг устгахматрицаас, нэгээс бусад бүх мөр. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье . Энэ матрицад сүүлийн гурван эгнээ пропорциональ байгаа тул тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь үлдээхэд хангалттай. .

3) Хэрэв хувиргалт хийх явцад матрицад тэг мөр гарч ирсэн бол энэ нь мөн адил байна устгах. Би зурахгүй, мэдээж тэг шугам нь ямар шугам юм зөвхөн тэг.

4) Матрицын мөр байж болно үржүүлэх (хуваах)дурын тооны хувьд тэг биш. Жишээлбэл, матрицыг авч үзье. Энд эхний мөрийг -3-аар хувааж, хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлэхийг зөвлөж байна. . Энэ үйлдэлЭнэ нь цаашдын матрицын хувиргалтыг хялбарчлах тул маш ашигтай.

5) Энэ өөрчлөлт нь хамгийн их хүндрэл учруулдаг боловч үнэндээ тийм ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Матрицын эгнээнд та чадна тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ, тэгээс ялгаатай. Манай матрицыг авч үзье кейс судалгаа: . Эхлээд би өөрчлөлтийн талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлах болно. Эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: , ба хоёр дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: . Одоо эхний мөрийг "буцаж" -2-оор хувааж болно: . Таны харж байгаагаар НЭМЭГДСЭН мөр Л.И – өөрчлөгдөөгүй. Үргэлж байдагмөр өөрчлөгдсөн, НЭМЭГДСЭН UT.

Практикт мэдээжийн хэрэг тэд ийм нарийн зурдаггүй, гэхдээ богино бичдэг: Дахин нэг удаа: хоёр дахь мөрөнд -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмсэн. Мөрийг ихэвчлэн амаар эсвэл ноорог дээр үржүүлдэг бол тооцооллын сэтгэцийн явц нь дараах байдалтай байна.

"Би матрицыг дахин бичиж, эхний мөрийг дахин бичнэ: »

Эхний багана. Доор би тэг авах хэрэгтэй. Тиймээс би дээрх нэгжийг -2:-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд эхнийхийг нэмнэ: 2 + (-2) = 0. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Одоо хоёр дахь багана. -1 дахин -2-оос дээш: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: 1 + 2 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

"Ба гурав дахь багана. -5 дахин их -2: . Би эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмнэ: -7 + 10 = 3. Би үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ: »

Энэ жишээний талаар сайтар бодож, дараалсан тооцооллын алгоритмыг ойлгоорой, хэрэв та үүнийг ойлгож байгаа бол Гауссын арга нь бараг "халаасанд" байна. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, бид энэ өөрчлөлтийг хийхээр ажиллаж байна.

Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийн шийдийг өөрчилдөггүй

! АНХААР: заль мэх гэж үздэг ашиглаж чадахгүй, хэрэв танд матрицуудыг "өөрсдөө" өгдөг даалгавар санал болгосон бол. Жишээлбэл, "сонгодог" матрицуудямар ч тохиолдолд та матриц доторх ямар нэг зүйлийг дахин цэгцлэх ёсгүй! Систем рүүгээ буцаж орцгооё. Тэр бараг хэсэг хэсгээрээ хуваагдсан.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан үүнийг багасгая шаталсан харах:

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Дахин хэлэхэд: яагаад бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлдэг вэ? Доод талд нь тэг авахын тулд, энэ нь хоёр дахь мөрөнд нэг хувьсагчаас салах гэсэн үг юм.

(2) Хоёр дахь эгнээ 3-т хуваагдана.

Анхан шатны өөрчлөлтүүдийн зорилго – матрицыг алхам хэлбэрт хөрвүүлэх: . Даалгаврын дизайн хийхэд тэд "шат" -ыг энгийн харандаагаар шууд зурж, "алхам" дээр байрлах тоонуудыг дугуйлна. "Шаталсан үзэл" гэсэн нэр томъёо нь шинжлэх ухаанд тийм ч онолын хувьд биш юм боловсролын уран зохиолихэвчлэн гэж нэрлэдэг трапец хэлбэрийн харагдацэсвэл гурвалжин үзэмж.

Энгийн өөрчлөлтүүдийн үр дүнд бид олж авсан тэнцүүАнхны тэгшитгэлийн систем:

Одоо системийг эсрэг чиглэлд "муйрах" хэрэгтэй - доороос дээш, энэ процессыг нэрлэдэг. урвуу Гауссын арга.

Доод тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна: .

Системийн эхний тэгшитгэлийг авч үзээд түүнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан "y" утгыг орлуулна уу.

Системийг шийдвэрлэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай хамгийн нийтлэг нөхцөл байдлыг авч үзье гурван шугамангурван үл мэдэгдэх тэгшитгэл.

Жишээ 1

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг бичье.

Одоо би шийдлийн явцад хүрэх үр дүнг нэн даруй зурах болно. Би давтан хэлэхэд бидний зорилго бол энгийн хувиргалтуудыг ашиглан матрицыг шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Хаанаас арга хэмжээ авч эхлэх вэ?

Эхлээд зүүн дээд талын дугаарыг харна уу: Бараг үргэлж энд байх ёстой нэгж. Ерөнхийдөө -1 (заримдаа бусад тоонууд) бас тохирох болно, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тэнд нэгжийг ихэвчлэн байрлуулдаг уламжлалтай. Хэрхэн нэгжийг зохион байгуулах вэ? Бид эхний баганыг хардаг - бид бэлэн нэгжтэй байна! Нэгдүгээр өөрчлөлт: эхний болон гурав дахь мөрийг солих:

Одоо эхний мөр нь шийдлийн төгсгөл хүртэл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Одоо зүгээр.

Зүүн дээд талд байгаа нэгж нь зохион байгуулалттай. Одоо та эдгээр газруудад тэг авах хэрэгтэй:

Тэгийг зөвхөн "хэцүү" өөрчлөлтийн тусламжтайгаар олж авдаг. Нэгдүгээрт, бид хоёр дахь мөрөнд (2, -1, 3, 13) ханддаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Хэрэгцээтэй хоёр дахь мөрөнд эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -2-оор үржүүлнэ: (-2, -4, 2, -18). Мөн бид байнга (дахин оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр) нэмэлт, хоёр дахь мөрөнд бид аль хэдийн -2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг нэмнэ:

Үр дүнг хоёр дахь мөрөнд бичнэ:

Үүний нэгэн адил бид гурав дахь мөрийг (3, 2, -5, -1) хардаг. Эхний байрлалд тэг авахын тулд танд хэрэгтэй Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ: (-3, -6, 3, -27). Тэгээд Гурав дахь мөрөнд бид эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ:

Үр дүнг гурав дахь мөрөнд бичнэ:

Практикт эдгээр үйлдлүүдийг ихэвчлэн амаар хийж, нэг алхамаар бичдэг.

Бүх зүйлийг нэг дор, нэгэн зэрэг тоолох шаардлагагүй. Тооцооллын дараалал, үр дүнг "оруулах" тууштайихэвчлэн иймэрхүү: эхлээд бид эхний мөрийг дахин бичиж, чимээгүйхэн хийсгэнэ - ТУСГАЙ болон АНХААРУУЛГА:
Дээр дурдсан тооцооллын сэтгэцийн явцыг би аль хэдийн авч үзсэн.

Энэ жишээнд үүнийг хийхэд хялбар, бид хоёр дахь мөрийг -5-д хуваадаг (бүх тоонууд 5-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг тул). Үүний зэрэгцээ бид гурав дахь мөрийг -2-оор хуваана, учир нь тоо бага байх тусам шийдэл нь хялбар болно.

Анхан шатны хувиргалтын эцсийн шатанд дахиад нэг тэгийг эндээс авах шаардлагатай.

Үүний төлөө Гурав дахь мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлнэ:
Энэ үйлдлийг өөрөө задлан шинжилж үзээрэй - хоёр дахь мөрийг оюун ухаанаараа -2-оор үржүүлж, нэмэлтийг хий.

Гүйцэтгэсэн хамгийн сүүлийн үйлдэл бол үр дүнгийн үс засалт бөгөөд гурав дахь мөрийг 3-аар хуваана.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд шугаман тэгшитгэлийн эквивалент анхны системийг олж авав. Сайхан байна.

Одоо Гауссын аргын урвуу чиглэл хэрэгжиж байна. Тэгшитгэлүүд нь доороосоо "тайлдаг".

Гурав дахь тэгшитгэлд бид аль хэдийн дууссан үр дүнд хүрсэн байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье: . "z"-ийн утгыг аль хэдийн мэддэг болсон тул:

Эцэст нь эхний тэгшитгэл: . "Y" ба "Z" нь мэдэгдэж байгаа, асуудал бага байна:

Хариулт:

Дахин дахин дурьдсанчлан тэгшитгэлийн аливаа системийн хувьд олсон шийдлийг шалгах боломжтой бөгөөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд аз болоход энэ нь хэцүү бөгөөд хурдан биш юм.

Жишээ 2

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм дуусгахмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Таны үйл ажиллагааны чиглэлМиний үйл ажиллагааны чиглэлтэй таарахгүй байж магадгүй, бөгөөд энэ нь Гауссын аргын онцлог юм. Гэхдээ хариултууд нь адилхан байх ёстой!

Жишээ 3

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Бид зүүн дээд талын "алхам" -ыг хардаг. Тэнд бид нэгжтэй байх ёстой. Асуудал нь эхний баганад нэг ч хүн байхгүй тул мөрүүдийг дахин цэгцлэх замаар юу ч шийдэж чадахгүй. Ийм тохиолдолд нэгжийг энгийн өөрчлөлтийг ашиглан зохион байгуулах ёстой. Үүнийг ихэвчлэн хэд хэдэн аргаар хийж болно. Би үүнийг хийсэн: (1) Эхний мөрөнд бид хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид оюун ухаанаараа хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, эхний болон хоёр дахь мөрийг нэмж гүйцэтгэсэн бол хоёр дахь мөр өөрчлөгдөөгүй.

Одоо зүүн дээд талд "хасах нэг" байгаа нь бидэнд төгс тохирно. +1 авахыг хүссэн хүн нэмэлт дохио зангаа хийж болно: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлнэ (түүний тэмдгийг өөрчлөх).

(2) 5-аар үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 3-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

(3) Эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн, зарчмын хувьд энэ нь гоо сайхны төлөө юм. Гурав дахь эгнээний тэмдгийг мөн өөрчилж, хоёрдугаарт шилжүүлсэн тул хоёр дахь "алхам дээр бид хүссэн нэгжтэй болсон.

(4) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг 2-оор үржүүлсэн.

(5) Гурав дахь эгнээ 3-т хуваагдсан.

Тооцооллын алдааг илтгэдэг муу тэмдэг (харилцан үсгийн алдаа) нь "муу" дүгнэлт юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид доорх шиг зүйл авсан бол, үүний дагуу, , дараа нь өндөр магадлалтайгаар анхан шатны хувиргалтын явцад алдаа гарсан гэж маргаж болно.

Бид урвуу хөдөлгөөнийг цэнэглэдэг, жишээнүүдийн дизайнд систем өөрөө дахин бичигддэггүй бөгөөд тэгшитгэлийг "өгөгдсөн матрицаас шууд авдаг". Урвуу хөдөлгөөн нь доороос дээш ажиллана гэдгийг би танд сануулж байна. Тийм ээ, энд бэлэг байна:

Хариулт: .

Жишээ 4

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь арай илүү төвөгтэй юм. Хэрэв хэн нэгэн андуурвал зүгээр. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, дизайны дээж. Таны шийдэл минийхээс өөр байж магадгүй.

Сүүлчийн хэсэгт бид Гауссын алгоритмын зарим шинж чанарыг авч үзье. Эхний онцлог нь заримдаа системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч дутуу байдаг, жишээлбэл: Системийн нэмэгдүүлсэн матрицыг хэрхэн зөв бичих вэ? Хичээл дээр би энэ мөчийн талаар аль хэдийн ярьсан. Крамерын дүрэм. Матрицын арга. Системийн өргөтгөсөн матрицад бид алга болсон хувьсагчдын оронд тэгүүдийг тавьдаг. Дашрамд хэлэхэд, энэ нь нэлээд юм хялбар жишээ, учир нь эхний баганад аль хэдийн нэг тэг байгаа бөгөөд хийгдэх энгийн хувиргалт цөөн байна.

Хоёр дахь онцлог нь энэ юм. Бид авч үзсэн бүх жишээн дээр "алхам" дээр -1 эсвэл +1-ийн аль нэгийг тавьсан. Өөр тоо байж болох уу? Зарим тохиолдолд тэд чадна. Системийг авч үзье: .

Энд зүүн дээд "алхам" дээр бид deuce байна. Гэхдээ эхний баганад байгаа бүх тоо 2-т үлдэгдэлгүйгээр хуваагдаж, өөр хоёр ба зургаад хуваагддаг болохыг бид анзаарч байна. Мөн зүүн дээд талд байгаа deuce бидэнд тохирох болно! Эхний алхамд та дараах хувиргалтыг хийх хэрэгтэй: эхний мөрийг -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрөнд нэмнэ; Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг -3-аар үржүүлнэ. Тиймээс бид эхний баганад хүссэн тэгүүдийг авах болно.

Эсвэл үүн шиг нөхцөлт жишээ: . 12 (тэг авах шаардлагатай газар) нь үлдэгдэлгүйгээр 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь "шат" дээрх гурвалсан тоо нь бидэнд тохирно. Дараахь өөрчлөлтийг хийх шаардлагатай: гурав дахь мөрөнд -4-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмж, үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй тэгийг авах болно.

Гауссын арга нь бүх нийтийнх боловч нэг онцлог шинж чанартай байдаг. Системийг өөр аргаар шийдэж сурах (Крамерын арга, матрицын арга) шууд утгаараа анх удаа байж болно - маш хатуу алгоритм байдаг. Гэхдээ Гауссын аргад итгэлтэй байхын тулд та "гараа дүүргэж", дор хаяж 5-10 арван системийг шийдэх хэрэгтэй. Тиймээс, эхэндээ төөрөгдөл, тооцоололд алдаа гарч болзошгүй бөгөөд үүнд ер бусын, эмгэнэлтэй зүйл байхгүй.

Цонхны гадна намрын бороотой цаг агаар .... Тиймээс хүн бүрт илүү нарийн төвөгтэй жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 5

Дөрвөн үл мэдэгдэх 4 шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд.

Практикт ийм даалгавар тийм ч ховор биш юм. Энэ хуудсыг нарийвчлан судалсан цайны аяга хүртэл ийм системийг зөн совингоор шийдэх алгоритмыг ойлгодог гэж би бодож байна. Үндсэндээ адилхан - зүгээр л илүү их үйлдэл.

Хичээл дээр системд шийдэл байхгүй (зөрчил) эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй тохиолдлуудыг авч үзнэ. Тохиромжгүй систем ба системүүд нийтлэг шийдэлтэй. Тэнд та Гауссын аргын авч үзсэн алгоритмыг засах боломжтой.

Танд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл : Системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулцгаая.
Гүйцэтгэсэн үндсэн өөрчлөлтүүд: (1) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. Анхаар! Энд гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасах сонирхолтой байж магадгүй, би хасахыг зөвлөдөггүй - алдаа гарах эрсдэл эрс нэмэгддэг. Бид зүгээр л нугалав! (2) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Хоёр, гурав дахь мөрийг сольсон. тэмдэглэл "Алхам" дээр бид зөвхөн нэгд төдийгүй -1-д сэтгэл хангалуун байдаг бөгөөд энэ нь илүү тохиромжтой юм. (3) Гурав дахь мөрөнд 5-аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдгийг өөрчилсөн (-1-ээр үржүүлсэн). Гурав дахь мөрийг 14-т хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулт : .

Жишээ 4: Шийдэл : Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан шаталсан хэлбэрт оруулдаг.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмсэн. Тиймээс хүссэн нэгжийг зүүн дээд "алхам" дээр зохион байгуулав. (2) 7-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд, 6-аар үржүүлсэн эхний мөрийг гурав дахь эгнээнд нэмж оруулав.

Хоёр дахь "алхам" -аар бүх зүйл улам дорддог , үүний "нэр дэвшигчид" нь 17 ба 23 тоо бөгөөд бидэнд нэг эсвэл -1 хэрэгтэй. Өөрчлөлт (3) ба (4) нь хүссэн нэгжийг авахад чиглэгдэх болно (3) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн. (4) -3-аар үржүүлсэн гурав дахь мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмэв. Хоёрдахь шатанд шаардлагатай зүйлийг хүлээн авна . (5) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрөнд нэмж, 6-аар үржүүлсэн. (6) Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлж, гурав дахь мөрийг -83-аар хуваасан.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулт :

Жишээ 5: Шийдэл : Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулцгаая.

Гүйцэтгэсэн хөрвүүлэлт: (1) Эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольсон. (2) Эхний мөрийг хоёр дахь эгнээнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Гурав дахь мөрөнд эхний мөрийг нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн. (3) Гурав дахь мөрөнд 4-өөр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмэв. (4) Хоёр дахь мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дөрөв дэх мөрийг 3-т хувааж, гурав дахь мөрийн оронд байрлуулсан. (5) Гурав дахь мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмж, -5-аар үржүүлсэн.

Урвуу хөдөлгөөн:

Хариулт :

Системийг ∆≠0 гэж өгье. (нэг)
Гауссын аргань үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга юм.

Гауссын аргын мөн чанар нь (1) -ийг гурвалжин матрицтай систем болгон хувиргах бөгөөд үүнээс бүх үл мэдэгдэх утгыг дараалан (урвуу) олж авдаг. Тооцооллын схемүүдийн нэгийг авч үзье. Энэ хэлхээг нэг хуваах хэлхээ гэж нэрлэдэг. Тиймээс энэ диаграммыг харцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 11 ≠0 (тэргүүлэх элемент) 11-д хуваая. Авах
(2)
(2) тэгшитгэлийг ашигласнаар үл мэдэгдэх x 1-ийг системийн үлдсэн тэгшитгэлээс хасахад хялбар байдаг (үүний хувьд тэгшитгэл бүрээс (2) тэгшитгэлийг x 1-ийн харгалзах коэффициентээр урьдчилан үржүүлж хасахад хангалттай), өөрөөр хэлбэл , эхний алхамд бид олж авдаг
.
Өөрөөр хэлбэл, 1-р алхам дээр дараагийн эгнээний элемент бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн эхний багана ба эхний (хувиргасан) мөр дээрх "проекц"-ийн үржвэр ба анхны элементийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү байна.
Үүний дараа эхний тэгшитгэлийг дангаар нь үлдээж, бид эхний алхамд олж авсан системийн үлдсэн тэгшитгэлүүд дээр ижил төстэй хувиргалт хийх болно: бид тэдгээрийн дундаас тэргүүлэх элементтэй тэгшитгэлийг сонгож, үлдсэн тэгшитгэлээс x 2-ыг хасахад ашигладаг. (алхам 2).
n алхмын дараа (1)-ийн оронд бид эквивалент системийг авна
(3)
Тиймээс эхний шатанд бид гурвалжин системийг олж авах болно (3). Энэ алхамыг урагш гэж нэрлэдэг.
Хоёр дахь шатанд (урвуу хөдөлгөөн) бид (3) -аас x n, x n -1, …, x 1 утгуудыг дараалан олдог.
Олж авсан уусмалыг x 0 гэж тэмдэглэе. Дараа нь ялгаа ε=b-A x 0 үлдэгдэл гэж нэрлэдэг.
Хэрэв ε=0 бол олсон x 0 шийдэл зөв байна.

Гауссын аргаар тооцооллыг хоёр үе шаттайгаар гүйцэтгэдэг.

1. Эхний шатыг аргын шууд явц гэж нэрлэдэг. Эхний шатанд анхны системийг гурвалжин хэлбэрт шилжүүлдэг.
2. Хоёр дахь шатыг урвуу гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь шатанд анхны системтэй тэнцэх гурвалжин системийг шийддэг.

a 11 , a 22 , ... коэффициентүүдийг тэргүүлэх элементүүд гэж нэрлэдэг.
Алхам бүрт тэргүүлэх элемент нь тэгээс ялгаатай гэж үзсэн. Хэрэв тийм биш бол системийн тэгшитгэлийг дахин зохион байгуулах мэт өөр ямар ч элементийг удирдагч болгон ашиглаж болно.

Гауссын аргын зорилго

Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан. Шууд шийдвэрлэх аргуудыг хэлнэ.

Гауссын аргын төрлүүд

1. Гауссын сонгодог арга;
2. Гауссын аргын өөрчлөлтүүд. Гауссын аргын нэг өөрчлөлт бол үндсэн элементийн сонголттой хэлхээ юм. Үндсэн элементийг сонгох Гауссын аргын нэг онцлог нь тэгшитгэлийг солих явдал бөгөөд k-р алхам дээр тэргүүлэх элемент нь k-р баганын хамгийн том элемент юм.
3. Жордан-Гаусын арга;

Жордан-Гаусын арга ба сонгодог арга хоёрын ялгаа Гауссын аргашийдэл хайх чиглэл үндсэн диагональ дагуу (хувиргах) үед тэгш өнцөгтийн дүрмийг хэрэглэхээс бүрдэнэ. таних матриц). Гауссын аргын хувьд шийдлийн эрэл хайгуулын чиглэл нь баганын дагуу (гурвалжин матрицтай системд шилжих) явагддаг.
Ялгааг дүрслэн харуул Жордан-Гаусын аргаЖишээн дээрх Гауссын аргаас.

Гауссын уусмалын жишээ
Системийг шийдье:

Тооцоолоход хялбар болгохын тулд бид мөрүүдийг сольж байна:

2-р мөрийг (2) үржүүлнэ. 3-р мөрийг 2-т нэмнэ

2-р мөрийг (-1)-ээр үржүүлнэ. 1-р эгнээнд 2-р эгнээ нэмнэ

1-р мөрөнд бид x 3-ийг илэрхийлнэ:
2-р мөрөнд бид x 2-ыг илэрхийлнэ:
3-р мөрөнд бид x 1-ийг илэрхийлнэ:

Жордан-Гаусын аргын шийдлийн жишээ
Бид ижил SLAE-ийг Jordano-Gauss аргыг ашиглан шийдэх болно.

Бид матрицын гол диагональ дээр байрлах RE-ийн шийдвэрлэх элементийг дараалан сонгоно.
Идэвхжүүлэх элемент нь (1)-тэй тэнцүү байна.



NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - идэвхжүүлэх элемент (1), A ба B - STE болон RE элементүүдтэй тэгш өнцөгт үүсгэх матрицын элементүүд.
Элемент бүрийн тооцоог хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

x 1	x2	x 3	Б
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Идэвхжүүлэх элемент нь (3)-тай тэнцүү байна.
Шийдвэрлэх элементийн оронд бид 1-ийг авч, баганад өөрөө тэг бичдэг.
Б баганын элементүүдийг оруулаад матрицын бусад бүх элементүүдийг тэгш өнцөгтийн дүрмээр тодорхойлно.
Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгтийн орой дээр байрлах дөрвөн тоог сонгоод үргэлж RE-ийн идэвхжүүлэх элементийг оруулна.

x 1	x2	x 3	Б
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Идэвхжүүлэх элемент нь (-4).
Шийдвэрлэх элементийн оронд бид 1-ийг авч, баганад өөрөө тэг бичдэг.
Б баганын элементүүдийг оруулаад матрицын бусад бүх элементүүдийг тэгш өнцөгтийн дүрмээр тодорхойлно.
Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгтийн орой дээр байрлах дөрвөн тоог сонгоод үргэлж RE-ийн идэвхжүүлэх элементийг оруулна.
Элемент бүрийн тооцоог хүснэгт хэлбэрээр үзүүлье.

x 1	x2	x 3	Б
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Хариулт: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Гауссын аргын хэрэгжилт

Гауссын аргыг олон програмчлалын хэл дээр хэрэгжүүлдэг, тухайлбал: Паскаль, C ++, php, Delphi, мөн Гауссын аргын онлайн хэрэгжилт байдаг.

Гауссын аргыг ашиглах

Тоглоомын онолд Гауссын аргыг ашиглах

Тоглоомын онолд тоглогчийн хамгийн оновчтой стратегийг олохдоо Гауссын аргаар шийддэг тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд Гауссын аргыг хэрэглэх

Дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хайхын тулд эхлээд анхны тэгшитгэлд орлуулсан бичсэн тодорхой шийдийн (y=f(A,B,C,D)) харгалзах зэрэгтэй деривативуудыг ол. Дараа нь олох хувьсагч A,B,C,DГауссын аргаар шийддэг тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэсэн.

Шугаман програмчлалд Jordano-Gauss аргыг хэрэглэх

AT шугаман програмчлал, ялангуяа давталт бүрт симплекс хүснэгтийг хувиргах симплекс аргад Жордан-Гаусын аргыг ашигладаг тэгш өнцөгтийн дүрмийг ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг тэдгээрийн бүх шийдлийн олонлог ижил байвал тэнцүү гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийн системийн анхан шатны өөрчлөлтүүд нь:

1. Өчүүхэн тэгшитгэлийн системээс хасах, i.e. бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх;
2. Аливаа тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
3. Дурын j -р тэгшитгэлийн дурын i -р тэгшитгэлд нэмэх, дурын тоогоор үржүүлэх.

Хэрэв энэ хувьсагчийг зөвшөөрөөгүй бол x i хувьсагчийг чөлөөт гэж нэрлэдэг ба тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь зөвшөөрнө.

Теорем. Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийг эквивалент болгон хувиргадаг.

Гауссын аргын утга нь анхны тэгшитгэлийн системийг хувиргаж, зөвшөөрөгдсөн тэнцүү буюу түүнтэй тэнцэх үл нийцэх системийг олж авах явдал юм.

Тиймээс Гауссын арга нь дараах алхмуудаас бүрдэнэ.

1. Эхний тэгшитгэлийг авч үзье. Бид эхний тэг биш коэффициентийг сонгоод бүхэл тэгшитгэлийг түүгээр хуваана. Бид 1-ийн коэффициенттэй зарим x i хувьсагч ордог тэгшитгэлийг олж авдаг;
2. Үлдсэн тэгшитгэлийн x i хувьсагчийн коэффициентийг тэг болгохын тулд энэ тэгшитгэлийг бусад бүхнээс хасаад тоогоор үржүүлье. Бид x i хувьсагчтай холбоотой шийдэгдсэн, анхныхтай тэнцэх системийг авдаг;
3. Хэрэв өчүүхэн тэгшитгэлүүд гарч ирвэл (ховор тохиолддог, гэхдээ энэ нь тохиолддог; жишээлбэл, 0 = 0) бид тэдгээрийг системээс устгадаг. Үүний үр дүнд тэгшитгэлүүд нэгээр бага болно;
4. Бид өмнөх алхмуудыг n-ээс ихгүй удаа давтана, энд n нь систем дэх тэгшитгэлийн тоо юм. Бид "боловсруулах" шинэ хувьсагчийг сонгох бүртээ. Хэрэв зөрчилтэй тэгшитгэлүүд үүсвэл (жишээлбэл, 0 = 8) систем нь нийцэхгүй байна.

Үүний үр дүнд бид хэд хэдэн алхам хийсний дараа зөвшөөрөгдсөн систем (чөлөөт хувьсагчтай байж магадгүй) эсвэл үл нийцэх системийг олж авдаг. Зөвшөөрөгдсөн системүүд нь хоёр тохиолдолд хуваагдана:

1. Хувьсагчийн тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Тиймээс системийг тодорхойлсон;
2. Хувьсагчийн тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байна. Бид баруун талд байгаа бүх чөлөөт хувьсагчдыг цуглуулдаг - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийн томъёог авдаг. Эдгээр томъёог хариултанд бичсэн болно.

Тэгээд л болоо! Шугаман тэгшитгэлийн систем шийдэгдсэн! Энэ бол нэлээд энгийн алгоритм бөгөөд үүнийг эзэмшихийн тулд та математикийн багштай холбоо барих шаардлагагүй болно. Жишээ авч үзье:

Даалгавар. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Алхамуудын тайлбар:

1. Бид эхний тэгшитгэлийг хоёр ба гурав дахь хэсгээс хасдаг - зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 1-ийг авна;
2. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг (−1) үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийг (−3) хуваана - бид x 2 хувьсагч 1-ийн коэффициентээр ордог хоёр тэгшитгэлийг авна;
3. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний дээр нэмж, гурав дахь тэгшитгэлээс хасна. Зөвшөөрөгдсөн хувьсагч x 2-г авцгаая;
4. Эцэст нь бид гурав дахь тэгшитгэлийг эхнийхээс хасна - зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 3 ;
5. Бид эрх бүхий системийг хүлээн авсан, бид хариултаа бичдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системийн ерөнхий шийдэл нь шинэ систем, энэ нь бүх зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн анхны хувьсагчтай тэнцүү байна.

Хэзээ шаардлагатай байж болох юм нийтлэг шийдвэр? Хэрэв хийх ёстой бол цөөн алхам k-ээс (к нь нийт хэдэн тэгшитгэл). Гэсэн хэдий ч үйл явц яагаад зарим үе шатанд дуусдаг шалтгаанууд l< k , может быть две:

1. l -р алхамын дараа бид (l + 1) тоотой тэгшитгэл агуулаагүй системийг олж авна. Үнэндээ энэ нь сайн хэрэг, учир нь. Шийдвэрлэсэн системийг ямар ч байсан хүлээн авсан - бүр хэдэн алхамын өмнө.
2. l -р алхамын дараа хувьсагчдын бүх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү, чөлөөт коэффициент нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэлийг олж авна. Энэ бол үл нийцэх тэгшитгэл, тиймээс систем нь нийцэхгүй байна.

Гауссын аргаар үл нийцэх тэгшитгэл гарч ирэх нь үл нийцэх хангалттай шалтгаан гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Үүний зэрэгцээ, l -р алхамын үр дүнд өчүүхэн тэгшитгэлүүд үлдэх боломжгүй гэдгийг бид тэмдэглэж байна - бүгдийг нь процесст шууд устгадаг.

Алхамуудын тайлбар:

1. Эхний тэгшитгэлийн 4-ийг хоёр дахь тооноос хас. Мөн эхний тэгшитгэлийг гурав дахь дээр нэмнэ - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч x 1-ийг авна;
2. Гурав дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг хасна - бид 0 = −5 зөрчилтэй тэгшитгэлийг авна.

Тохиромжгүй тэгшитгэл олдсон тул систем нь нийцэхгүй байна.

Даалгавар. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий шийдлийг олох:

Алхамуудын тайлбар:

1. Бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь (хоёроор үржүүлсний дараа) хасч, гурав дахь нь - зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 1-ийг авна;
2. Гурав дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хас. Эдгээр тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд ижил тул гурав дахь тэгшитгэл нь утгагүй болно. Үүний зэрэгцээ бид хоёр дахь тэгшитгэлийг (−1) үржүүлнэ;
3. Бид эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хасдаг - зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 2-ийг авна. Одоо тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь шийдсэн;
4. x 3 ба x 4 хувьсагч нь чөлөөтэй тул зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийг баруун тийш шилжүүлнэ. Энэ бол хариулт юм.

Тиймээс, зөвшөөрөгдсөн хоёр хувьсагч (x 1 ба x 2), хоёр чөлөөт хувьсагч (x 3 ба x 4) байдаг тул систем нь хамтарсан бөгөөд тодорхойгүй байна.

Энэ өгүүлэлд энэ аргыг шугаман тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх арга гэж үздэг. Энэ арга нь аналитик, өөрөөр хэлбэл шийдлийн алгоритмыг бичих боломжийг танд олгоно ерөнхий үзэл, дараа нь тодорхой жишээнүүдийн утгыг орлуулна уу. Матрицын арга эсвэл Крамерын томъёоноос ялгаатай нь Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ та хязгааргүй олон шийдлүүдтэй ажиллах боломжтой. Эсвэл тэдэнд огт байхгүй.

Гаусс гэж юу гэсэн үг вэ?

Эхлээд та бидний тэгшитгэлийн системийг бичих хэрэгтэй Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна. Системийг авсан:

Коэффициентийг хүснэгт хэлбэрээр бичсэн бөгөөд баруун талд тусдаа баганад - чөлөөт гишүүд. Чөлөөт гишүүдтэй баганыг тав тухтай байлгах үүднээс тусгаарласан.Энэ баганыг агуулсан матрицыг өргөтгөсөн гэж нэрлэдэг.

Дараа нь коэффициент бүхий үндсэн матрицыг дээд тал руу нь багасгах хэрэгтэй гурвалжин хэлбэртэй. Энэ бол системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх гол цэг юм. Энгийнээр хэлэхэд, тодорхой засвар хийсний дараа матриц нь иймэрхүү харагдах ёстой бөгөөд ингэснээр түүний зүүн доод хэсэгт зөвхөн тэг байх болно.

Дараа нь, хэрэв та шинэ матрицыг дахин тэгшитгэлийн систем болгон бичих юм бол сүүлийн эгнээнд аль нэг язгуурын утгыг агуулж, дараа нь дээрх тэгшитгэлд орлуулах, өөр язгуур олдох гэх мэтийг анзаарах болно.

Уусмалыг Гауссын аргаар хамгийн их тайлбарласан ерөнхий утгаараа. Гэнэт системд шийдэл байхгүй бол яах вэ? Эсвэл тэд хязгааргүй олон байдаг уу? Эдгээр болон бусад олон асуултанд хариулахын тулд Гауссын аргаар шийдэлд ашигласан бүх элементүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

Матрицууд, тэдгээрийн шинж чанарууд

Байхгүй далд утгаматрицад байхгүй. Энэ бол энгийн тохиромжтой аргатэдэнтэй хийх дараагийн үйл ажиллагааны өгөгдлийг бүртгэх. Сургуулийн хүүхдүүд ч гэсэн тэднээс айх ёсгүй.

Матриц нь үргэлж тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой байдаг. Гурвалжин матрицыг бүтээхэд бүх зүйл унтдаг Гауссын аргын хувьд ч гэсэн оруулгад тэгш өнцөгт гарч ирдэг бөгөөд зөвхөн тоо байхгүй газарт тэг л байдаг. Тэгийг орхиж болно, гэхдээ тэдгээр нь далд утгатай.

Матриц нь хэмжээтэй байна. Түүний "өргөн" нь мөрийн тоо (м), "урт" нь баганын тоо (n) юм. Дараа нь А матрицын хэмжээг (том латин үсгээр тэмдэглэгээнд ихэвчлэн ашигладаг) A m×n гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв m=n бол энэ матриц нь квадрат бөгөөд m=n нь түүний дараалал юм. Үүний дагуу А матрицын аль ч элементийг түүний мөр, баганын дугаараар тэмдэглэж болно: a xy ; x - мөрийн дугаар, өөрчлөлт , y - баганын дугаар, өөрчлөлт .

B нь шийдлийн гол цэг биш юм. Зарчмын хувьд бүх үйлдлүүдийг тэгшитгэлийн тусламжтайгаар шууд хийж болох боловч тэмдэглэгээ нь илүү төвөгтэй болж, төөрөлдөх нь илүү хялбар байх болно.

Тодорхойлогч

Матриц нь мөн тодорхойлогчтой. Энэ их чухал шинж чанар. Үүний утгыг одоо олж мэдэх нь үнэ цэнэтэй зүйл биш бөгөөд та үүнийг хэрхэн тооцоолж байгааг харуулж, дараа нь матрицын ямар шинж чанарыг тодорхойлж байгааг хэлж болно. Тодорхойлогчийг олох хамгийн хялбар арга бол диагональууд юм. Матрицад төсөөллийн диагональ зурсан; тус бүр дээр байрлах элементүүдийг үржүүлж, дараа нь үүссэн бүтээгдэхүүнийг нэмнэ: баруун тийш налуутай диагональууд - "нэмэх" тэмдгээр, зүүн тийш налуу - "хасах" тэмдгээр.

Тодорхойлогчийг зөвхөн квадрат матрицаар тооцоолж болно гэдгийг анхаарах нь маш чухал юм. Тэгш өнцөгт матрицын хувьд та дараах зүйлийг хийж болно: мөр болон баганын тооноос хамгийн багаг нь сонгоод (энэ нь k байх ёстой), дараа нь матриц дахь k багана, k мөрийг санамсаргүй байдлаар тэмдэглэнэ. Сонгосон багана, мөрүүдийн огтлолцол дээр байрлах элементүүд шинийг бүрдүүлнэ квадрат матриц. Хэрэв ийм матрицын тодорхойлогч нь тэгээс өөр тоо байвал түүнийг анхны тэгш өнцөгт матрицын суурь минор гэж нэрлэдэг.

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийн шийдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө тодорхойлогчийг тооцоолох нь гэмтээхгүй. Хэрэв энэ нь тэг болж хувирвал матриц нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй эсвэл огт байхгүй гэж шууд хэлж болно. Ийм гунигтай тохиолдолд та цаашаа явж, матрицын зэрэглэлийн талаар олж мэдэх хэрэгтэй.

Системийн ангилал

Матрицын зэрэглэл гэж нэг зүйл байдаг. Энэ нь түүний тэг биш тодорхойлогчийн хамгийн дээд дараалал юм (ойролцоогоор санаж байна үндсэн бага, бид матрицын зэрэглэл нь суурь минорын дараалал гэж хэлж болно).

Зэрэглэлд хэрхэн нийцэж байгаагаас хамааран SLAE-ийг дараахь байдлаар хувааж болно.

• Хамтарсан. AtХамтарсан системийн зэрэглэлд үндсэн матрицын зэрэглэл (зөвхөн коэффициентүүдээс бүрдэх) нь өргөтгөсөн (чөлөөт гишүүдийн баганатай) зэрэгтэй давхцдаг. Ийм системүүд нь шийдэлтэй байдаг, гэхдээ нэг байх албагүй тул хамтарсан системийг дараахь байдлаар хуваана.
• - тодорхой- өвөрмөц шийдэлтэй байх. Тодорхой системүүдэд матрицын зэрэглэл ба үл мэдэгдэх тоо (эсвэл баганын тоо, энэ нь ижил зүйл) тэнцүү байна;
• - тодорхойгүй -хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй. Ийм системийн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байна.
• Тохиромжгүй. AtИйм системд үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэлүүд давхцдаггүй. Тохиромжгүй системд шийдэл байхгүй.

Гауссын арга нь системийн үл нийцэх байдлын хоёрдмол утгагүй нотолгоог (том матрицын тодорхойлогчийг тооцохгүйгээр) эсвэл шийдлийн явцад хязгааргүй олон тооны шийдтэй системийн ерөнхий шийдлийг олж авах боломжийг олгодогоороо сайн.

Анхан шатны өөрчлөлтүүд

Системийн шийдэлд шууд орохын өмнө үүнийг илүү төвөгтэй, тооцоолол хийхэд илүү хялбар болгох боломжтой. Үүнийг анхан шатны өөрчлөлтөөр хийдэг - ингэснээр тэдгээрийн хэрэгжилт эцсийн хариултыг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй. Дээрх энгийн хувиргалтуудын зарим нь зөвхөн SLAE-ийн эх сурвалж байсан матрицуудад хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн жагсаалт энд байна:

1. Мөр солих. Хэрэв бид системийн бүртгэл дэх тэгшитгэлийн дарааллыг өөрчлөх юм бол энэ нь шийдэлд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй нь ойлгомжтой. Тиймээс энэ системийн матриц дахь мөрүүдийг сольж болох нь мэдээжийн хэрэг, чөлөөт гишүүдийн баганын тухай мартаж болохгүй.
2. Мөрний бүх элементүүдийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлэх. Маш хэрэгтэй! Үүний тусламжтайгаар та матриц дахь том тоог багасгах эсвэл тэгийг арилгах боломжтой. Шийдлийн багц нь ердийнх шиг өөрчлөгдөхгүй бөгөөд цаашдын үйл ажиллагааг гүйцэтгэхэд илүү тохиромжтой байх болно. Хамгийн гол нь коэффициент нь тэгтэй тэнцүү биш юм.
3. Пропорциональ коэффициент бүхий мөрүүдийг устгана уу. Энэ нь өмнөх догол мөрөөс зарим талаараа хамаарна. Хэрэв матриц дахь хоёр ба түүнээс дээш мөр нь пропорциональ коэффициенттэй бол нэг мөрийг пропорциональ коэффициентоор үржүүлэх / хуваах үед хоёр (эсвэл дахин олон) туйлын ижил мөр гарч ирэх бөгөөд та зөвхөн үлдсэн хэсгийг нь хасаж болно. нэг.
4. Үгүй мөрийг устгаж байна. Хэрэв хувиргалтын явцад бүх элементүүд, түүний дотор чөлөөт гишүүн нь тэг байх тэмдэгт мөрийг олж авсан бол ийм мөрийг тэг гэж нэрлээд матрицаас гаргаж болно.
5. Нэг эгнээний элементүүдэд нөгөөгийн элементүүдийг нэмэх (харгалзах баганад), тодорхой коэффициентоор үржүүлнэ. Хамгийн ойлгомжгүй бөгөөд хамгийн чухал өөрчлөлт. Үүнийг илүү нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хүчин зүйлээр үржүүлсэн мөрийг нэмэх

Ойлгоход хялбар болгохын тулд энэ үйл явцыг алхам алхмаар задлах нь зүйтэй. Матрицаас хоёр мөрийг авсан:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Та "-2" коэффициентээр үржүүлсэн эхнийхийг хоёр дахь дээр нэмэх хэрэгтэй гэж бодъё.

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Дараа нь матрицад хоёр дахь мөрийг шинээр сольж, эхнийх нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Үржүүлэх коэффициентийг хоёр мөр нэмсний үр дүнд шинэ мөрийн аль нэг элемент нь тэгтэй тэнцүү байхаар сонгож болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс системд үл мэдэгдэх нэг нь бага байх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Хэрэв та ийм хоёр тэгшитгэл авбал үйлдлийг дахин хийж, хоёр бага үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг авах боломжтой. Хэрэв бид анхныхаасаа доогуур байгаа бүх эгнээний хувьд нэг коэффициентийг тэг рүү эргүүлэх бүртээ алхамууд шиг матрицын хамгийн доод хэсэгт очиж, нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг олж авах боломжтой. Үүнийг Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдэх гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө

Систем байгаасай. Энэ нь m тэгшитгэл, n үл мэдэгдэх үндэстэй. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Үндсэн матрицыг системийн коэффициентуудаас бүрдүүлдэг. Өргөтгөсөн матрицад чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмж, тав тухтай байлгах үүднээс баараар тусгаарласан.

• матрицын эхний мөрийг k = коэффициентээр үржүүлнэ (-a 21 / a 11);
• матрицын эхний өөрчлөгдсөн мөр ба хоёр дахь эгнээ нэмэгдсэн;
• хоёр дахь эгнээний оронд өмнөх догол мөрийн нэмэлтийн үр дүнг матрицад оруулна;
• одоо эхний коэффициент шинэ секундмөр нь 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Одоо ижил цуврал өөрчлөлтүүд хийгдэж байгаа бөгөөд зөвхөн эхний болон гурав дахь эгнээ оролцдог. Үүний дагуу алгоритмын алхам бүрт a 21 элементийг 31-ээр солино. Дараа нь бүх зүйл давтагдана 41 , ... a m1 . Үр дүн нь эгнээний эхний элемент нь тэгтэй тэнцүү байх матриц юм. Одоо бид нэгдүгээр мөрийг мартаж, хоёр дахь мөрөөс эхлэн ижил алгоритмыг гүйцэтгэх хэрэгтэй.

• коэффициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• хоёр дахь өөрчлөгдсөн мөрийг "одоогийн" мөрөнд нэмнэ;
• нэмэлтийн үр дүнг гурав, дөрөв, гэх мэт мөрөнд орлуулж, эхний болон хоёр дахь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна;
• матрицын эгнээнд эхний хоёр элемент аль хэдийн тэгтэй тэнцүү байна.

k = (-a m,m-1 /a мм) коэффициент гарч ирэх хүртэл алгоритмыг давтах ёстой. Энэ нь хамгийн сүүлд алгоритмыг зөвхөн доод тэгшитгэлийн хувьд гүйцэтгэсэн гэсэн үг юм. Одоо матриц нь гурвалжин шиг эсвэл шаталсан хэлбэртэй байна. Доод мөрөнд a mn × x n = b m тэгшитгэлийг агуулна. Коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд язгуур нь тэдгээрээр илэрхийлэгдэнэ: x n = b m /a mn. Үүссэн үндэсийг дээд эгнээнд орлуулж x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 -ийг олно. Гэх мэт зүйрлэлээр: дараагийн мөр бүрт шинэ үндэс байдаг бөгөөд системийн "дээд" хэсэгт хүрсэн тул та олон шийдлийг олох боломжтой. Энэ нь цорын ганц байх болно.

Шийдэл байхгүй үед

Хэрэв матрицын нэг эгнээнд чөлөөт гишүүнээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байвал энэ мөрөнд харгалзах тэгшитгэл нь 0 = b шиг харагдана. Үүнд ямар ч шийдэл байхгүй. Ийм тэгшитгэл нь системд багтсан тул бүхэл системийн шийдлүүдийн багц хоосон, өөрөөр хэлбэл доройтсон байна.

Хязгааргүй олон шийдэл байх үед

Буурсан гурвалжин матрицад нэг элемент - тэгшитгэлийн коэффициент, нэг нь чөлөөт гишүүнтэй мөр байхгүй байж магадгүй юм. Дахин бичихэд хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчтай тэгшитгэл шиг харагдах мөрүүд л байдаг. Энэ нь системд хязгааргүй олон тооны шийдэл байдаг гэсэн үг. Энэ тохиолдолд хариултыг ерөнхий шийдэл хэлбэрээр өгч болно. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Матриц дахь бүх хувьсагчдыг үндсэн ба чөлөөт гэж хуваадаг. Үндсэн - эдгээр нь шаталсан матриц дахь эгнээний "ирмэг дээр" байрладаг хүмүүс юм. Үлдсэн нь үнэгүй. Ерөнхий шийдэлд үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар бичнэ.

Тохиромжтой болгохын тулд матрицыг эхлээд тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичдэг. Дараа нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч үлдсэн сүүлчийнх нь нэг талдаа үлдэж, бусад бүх зүйл нөгөө рүү шилждэг. Энэ нь нэг үндсэн хувьсагчтай тэгшитгэл бүрийн хувьд хийгддэг. Дараа нь бусад тэгшитгэлд боломжтой бол үндсэн хувьсагчийн оронд түүний хувьд олж авсан илэрхийлэлийг орлуулна. Үүний үр дүнд зөвхөн нэг үндсэн хувьсагч агуулсан илэрхийлэл дахин гарч ирвэл үндсэн хувьсагч бүрийг чөлөөт хувьсагчтай илэрхийлэл болгон бичих хүртэл тэндээс дахин илэрхийлнэ. Энэ бол SLAE-ийн ерөнхий шийдэл юм.

Та мөн системийн үндсэн шийдлийг олох боломжтой - чөлөөт хувьсагчдад ямар ч утгыг өгч, дараа нь энэ тохиолдолд үндсэн хувьсагчдын утгыг тооцоолно. Хязгааргүй олон тусгай шийдэл байдаг.

Тодорхой жишээнүүдийн шийдэл

Энд тэгшитгэлийн систем байна.

Тохиромжтой болгохын тулд түүний матрицыг нэн даруй үүсгэх нь дээр

Гауссын аргаар шийдвэрлэх үед эхний эгнээнд тохирох тэгшитгэл нь хувиргалтын төгсгөлд өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Тиймээс, матрицын зүүн дээд элемент нь хамгийн бага нь байвал илүү ашигтай байх болно - дараа нь үйлдлүүдийн дараа үлдсэн мөрүүдийн эхний элементүүд тэг болж хувирна. Энэ нь эмхэтгэсэн матрицад эхний эгнээний оронд хоёр дахь хэсгийг тавих нь ашигтай байх болно гэсэн үг юм.

хоёр дахь мөр: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

Гурав дахь мөр: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Одоо төөрөлдөхгүйн тулд хувиргалтын завсрын үр дүнтэй матрицыг бичих шаардлагатай.

Ийм матрицыг зарим үйлдлүүдийн тусламжтайгаар ойлгоход илүү тохиромжтой болгох нь ойлгомжтой. Жишээлбэл, та элемент бүрийг "-1" -ээр үржүүлснээр хоёр дахь мөрөнд байгаа бүх "хасах" зүйлсийг арилгаж болно.

Гурав дахь эгнээнд бүх элементүүд гурвын үржвэр байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь та мөрийг энэ тоогоор богиносгож, элемент бүрийг "-1/3"-аар үржүүлж болно (хасах - нэгэн зэрэг, хасахын тулд). сөрөг утгууд).

Илүү сайхан харагдаж байна. Одоо бид эхний мөрийг ганцааранг нь үлдээж, хоёр, гурав дахь эгнээтэй ажиллах хэрэгтэй. Даалгавар бол a 32 элемент нь тэгтэй тэнцэх коэффициентоор үржүүлсэн гурав дахь эгнээнд хоёр дахь эгнээ нэмэх явдал юм.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 бутархай, зөвхөн дараа нь хариултыг хүлээн авсны дараа дугуйлж, тэмдэглэгээний өөр хэлбэр рүү хөрвүүлэх эсэхийг шийднэ)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Матрицыг шинэ утгуудаар дахин бичнэ.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Таны харж байгаагаар үүссэн матриц нь шаталсан хэлбэртэй байна. Тиймээс Гауссын аргаар системийг цаашид өөрчлөх шаардлагагүй. Энд юу хийж болох вэ гэвэл гурав дахь мөрөнд "-1/7" гэсэн ерөнхий коэффициентийг хасах явдал юм.

Одоо бүх зүйл сайхан болсон. Цэг нь жижиг - матрицыг тэгшитгэлийн систем хэлбэрээр дахин бичиж, үндсийг нь тооцоол

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Одоо үндсийг олох алгоритмыг Гауссын аргын урвуу хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэл (3) нь z-ийн утгыг агуулна:

у = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Эхний тэгшитгэл нь x-ийг олох боломжийг танд олгоно.

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Ийм системийг хамтарсан, бүр тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй гэж нэрлэх эрхтэй. Хариултыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Тодорхой бус системийн жишээ

Тодорхой системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх хувилбарт дүн шинжилгээ хийсэн тул одоо систем нь тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй олон шийдлийг олох боломжтой тохиолдолд авч үзэх шаардлагатай байна.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - x 5 = 12 (4)

Системийн хэлбэр нь аль хэдийн түгшүүр төрүүлж байна, учир нь үл мэдэгдэх тоо n = 5, системийн матрицын зэрэглэл нь энэ тооноос яг бага байна, учир нь эгнээний тоо m = 4, өөрөөр хэлбэл, квадрат тодорхойлогчийн хамгийн том дараалал нь 4. Энэ нь хязгааргүй олон тооны шийдтэй гэсэн үг бөгөөд түүний ерөнхий хэлбэрийг хайх шаардлагатай болно. Шугаман тэгшитгэлийн Гауссын арга нь үүнийг хийх боломжтой болгодог.

Нэгдүгээрт, ердийнхөөрөө нэмэгдүүлсэн матрицыг эмхэтгэсэн.

Хоёр дахь мөр: коэффициент k = (-a 21 / a 11) = -3. Гурав дахь мөрөнд эхний элемент нь хувиргалтын өмнө байгаа тул та ямар нэгэн зүйлд хүрэх шаардлагагүй, үүнийг байгаагаар нь үлдээх хэрэгтэй. Дөрөв дэх мөр: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Эхний эгнээний элементүүдийг коэффициент тус бүрээр нь үржүүлж, хүссэн эгнээнд нэмснээр бид матрицыг авна. дараах төрөл:

Таны харж байгаагаар хоёр, гурав, дөрөв дэх эгнээ нь хоорондоо пропорциональ элементүүдээс бүрдэнэ. Хоёр дахь болон дөрөв дэх нь ерөнхийдөө ижил байдаг тул тэдгээрийн аль нэгийг нь нэн даруй арилгаж, үлдсэнийг нь "-1" коэффициентээр үржүүлж, мөрийн дугаар 3-ыг авна. Мөн дахин хоёр ижил шугамын нэгийг үлдээнэ үү.

Ийм матриц болж хувирав. Системийг хараахан бичиж амжаагүй байгаа тул энд үндсэн хувьсагчдыг тодорхойлох шаардлагатай - 11 \u003d 1 ба 22 \u003d 1 коэффициентүүд дээр зогсож, бусад бүх зүйлийг чөлөөтэй.

Хоёр дахь тэгшитгэл нь зөвхөн нэг үндсэн хувьсагчтай - x 2 . Эндээс үүнийг чөлөөтэй байгаа x 3 , x 4 , x 5 хувьсагчаар дамжуулан бичиж илэрхийлж болно.

Бид үүссэн илэрхийлэлийг эхний тэгшитгэлд орлуулна.

Цорын ганц үндсэн хувьсагч нь x 1 гэсэн тэгшитгэл гарч ирэв. Үүнийг x 2-той адил хийцгээе.

Бүх үндсэн хувьсагч, тэдгээрийн хоёр нь гурван чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлэгддэг тул одоо та хариултыг ерөнхий хэлбэрээр бичиж болно.

Та мөн системийн тодорхой шийдлүүдийн аль нэгийг зааж өгч болно. Ийм тохиолдлын хувьд, дүрмээр бол тэгийг чөлөөт хувьсагчийн утгууд болгон сонгодог. Дараа нь хариулт нь:

16, 23, 0, 0, 0.

Тохиромжгүй системийн жишээ

Тогтворгүй тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь хамгийн хурдан юм. Үе шатуудын аль нэгэнд шийдэлгүй тэгшитгэл гармагц дуусна. Энэ нь нэлээд урт, уйтгартай, үндсийг тооцоолох үе шат алга болно. Дараахь системийг авч үздэг.

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ердийнх шиг матрицыг эмхэтгэсэн:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Мөн шаталсан хэлбэр болгон бууруулсан байна:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Эхний хувиргалт хийсний дараа гурав дахь мөрөнд хэлбэрийн тэгшитгэлийг агуулна

шийдэлгүй. Тиймээс систем нь нийцэхгүй бөгөөд хариулт нь хоосон багц юм.

Аргын давуу болон сул талууд

Хэрэв та SLAE-ийг цаасан дээр үзэг ашиглан шийдэх аргыг сонговол энэ нийтлэлд авч үзсэн арга нь хамгийн сэтгэл татам харагдаж байна. Анхан шатны хувиргалтын үед тодорхойлогч эсвэл зарим нэг төвөгтэй урвуу матрицыг гараар хайх хэрэгтэй бол төөрөгдөх нь хамаагүй хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ийм төрлийн өгөгдөлтэй, жишээлбэл, хүснэгттэй ажиллах програм ашигладаг бол ийм програмууд нь матрицын үндсэн параметрүүдийг - тодорхойлогч, жижиг, урвуу гэх мэтийг тооцоолох алгоритмуудыг аль хэдийн агуулдаг болох нь харагдаж байна. Хэрэв та машин эдгээр утгыг өөрөө тооцоолж, алдаа гаргахгүй гэдэгт итгэлтэй байгаа бол матрицын арга эсвэл Крамерын томъёог ашиглах нь илүү тохиромжтой, учир нь тэдгээрийн хэрэглээ тодорхойлогчдын тооцоогоор эхэлж, дуусдаг. урвуу матрицууд.

Өргөдөл

Гауссын шийдэл нь алгоритм бөгөөд матриц нь үнэндээ хоёр хэмжээст массив учраас програмчлалд ашиглаж болно. Гэхдээ нийтлэл нь "дамми нарт зориулсан" гарын авлага болж байгаа тул энэ аргыг оруулахад хамгийн хялбар газар бол хүснэгт, жишээ нь Excel юм. Дахин хэлэхэд, хүснэгтэд матриц хэлбэрээр оруулсан аливаа SLAE-г Excel хоёр хэмжээст массив гэж үзэх болно. Мөн тэдэнтэй ажиллахын тулд олон сайхан командууд байдаг: нэмэх (та зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицуудыг нэмж болно!), Тооноор үржүүлэх, матрицыг үржүүлэх (мөн тодорхой хязгаарлалттай), урвуу болон шилжүүлсэн матрицуудыг олох, хамгийн чухал нь , тодорхойлогчийг тооцоолох. Хэрэв энэ цаг хугацаа шаардсан ажлыг нэг командаар сольсон бол матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох нь илүү хурдан бөгөөд ингэснээр түүний нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг тогтоох болно.

The онлайн тооцоолууршугаман тэгшитгэлийн системийн (SLE) шийдлийг Гауссын аргаар олдог. өгсөн нарийвчилсан шийдэл. Тооцоолохын тулд хувьсагчийн тоо болон тэгшитгэлийн тоог сонгоно. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" дээр дарна уу.

x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 x 1 +x2 +x 3 = = =

Тооны төлөөлөл:

Бүхэл тоо ба (эсвэл) Энгийн бутархай
Бүхэл ба/эсвэл аравтын тоо

Аравтын бутархай тусгаарлагчийн дараах цифрүүдийн тоо

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын тоо (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр бичих ёстой, энд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Гауссын арга

Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн анхны системээс (эквивалент хувиргалтыг ашиглан) анхны системээс шийдвэрлэхэд хялбар системд шилжих арга юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн эквивалент хувиргалт нь:

• систем дэх хоёр тэгшитгэлийг солих,
• систем дэх аливаа тэгшитгэлийг тэгээс өөр бодит тоогоор үржүүлэх,
• нэг тэгшитгэлд өөр нэг тэгшитгэлийг дурын тоогоор үржүүлэх.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

(1)

Бид (1) системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.

ax=b

(2)

(3)

Асистемийн коэффициент матриц гэж нэрлэдэг. б − баруун хэсэгхязгаарлалт x− олдох хувьсагчдын вектор. зэрэглүүлээрэй( А)=х.

Эквивалент хувиргалт нь коэффициент матрицын зэрэглэл болон системийн нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэлийг өөрчилдөггүй. Системийн шийдлүүдийн багц нь эквивалент хувиргалтын үед өөрчлөгддөггүй. Гауссын аргын мөн чанар нь коэффициентийн матрицыг авчрах явдал юм Адиагональ эсвэл шаталсан.

Системийн өргөтгөсөн матрицыг бүтээцгээе:

Дээр дараагийн алхамэлементийн доор байгаа 2-р баганын бүх элементүүдийг дахин тохируулна уу. Хэрэв өгөгдсөн элемент нь хоосон байвал энэ мөр нь өгөгдсөн мөрийн доор байрлах мөртэй сольж, хоёр дахь баганад тэгээс өөр элементтэй байна. Дараа нь бид тэргүүлэх элементийн доор 2-р баганын бүх элементүүдийг тэглэнэ а 22. Үүнийг хийхийн тулд 3, ... эгнээ нэмнэ. м 2-р мөрийг −-ээр үржүүлнэ а 32 /а 22 , ..., −ам2 / а 22, тус тус. Процедурыг үргэлжлүүлснээр бид диагональ эсвэл шаталсан хэлбэрийн матрицыг олж авдаг. Үр дүнд нь нэмэгдүүлсэн матрицыг дараах байдлаар харагдуулна.

(7)

Учир нь зэрэглэлA = зэрэглэл(А|б), дараа нь шийдлийн багц (7) нь ( n−p) олон янз байдаг. Үүний үр дүнд n−pүл мэдэгдэхийг дур зоргоороо сонгож болно. Системийн (7) үл мэдэгдэх үлдэгдлийг дараах байдлаар тооцоолно. Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ x p-г бусад хувьсагчаар дамжуулан өмнөх илэрхийлэлд оруулна. Дараа нь эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ x p−1-ийг бусад хувьсагчаар дамжуулж, өмнөх илэрхийлэлд оруулах гэх мэт. Гауссын аргыг авч үзье тодорхой жишээнүүд.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1. Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол.

-ээр тэмдэглээрэй а ij элементүүд би-р мөр ба j--р багана.

аарван нэгэн. Үүнийг хийхийн тулд 2,3-р мөрүүдийг 1-р эгнээнд нэмж, -2/3, -1/2-оор үржүүлнэ.

Матрицын бичлэгийн төрөл: ax=b, хаана

-ээр тэмдэглээрэй а ij элементүүд би-р мөр ба j--р багана.

Элементийн доорхи матрицын 1-р баганын элементүүдийг хас аарван нэгэн. Үүнийг хийхийн тулд -1/5, -6/5-аар үржүүлсэн 1-р мөртэй 2,3-р мөрүүдийг нэмнэ.

Бид матрицын мөр бүрийг харгалзах тэргүүлэх элементээр хуваана (хэрэв тэргүүлэгч элемент байгаа бол):

хаана x 3 , x

Дээд хэллэгийг доод тал руу орлуулснаар бид шийдлийг олж авна.

Дараа нь вектор шийдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

хаана x 3 , x 4 нь дурын бодит тоо юм.