Гурван вектор шугаман хамааралтай гэдгийг хэрхэн батлах вэ. Векторын системийн шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал

Векторууд, тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрийн үйл ажиллагаа

Вектор, вектортой үйлдэл, шугаман вектор орон зай.

Векторууд нь хязгаарлагдмал тооны бодит тоонуудын дараалсан цуглуулга юм.

Үйлдлүүд: 1. Векторыг тоогоор үржүүлэх: lambda * вектор x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n) (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21) )

2. Векторуудыг нэмэх (тэдгээр нь ижил векторын орон зайд хамаарах) вектор x + вектор y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n хэмжээст (шугаман орон зай) вектор x + вектор 0 = вектор х

Теорем. n хэмжээст шугаман орон зай дахь n векторын систем шугаман хамааралтай байхын тулд векторуудын аль нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Теорем. n хэмжээст шугаман огторгуйн n+ 1-р векторын дурын олонлог yavl. шугаман хамааралтай.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх. Векторуудыг хасах.

Хоёр векторын нийлбэр нь эхлэл нь векторын төгсгөлтэй давхцаж байгаа тохиолдолд векторын эхлэлээс төгсгөл хүртэл чиглэсэн вектор юм. Хэрэв векторуудыг суурь векторын хувьд өргөтгөлөөр нь өгөгдсөн бол векторуудыг нэмснээр тус тусын координатууд нь нэмэгдэнэ.

Үүнийг декартын координатын системийн жишээн дээр авч үзье. Болъё

Үүнийг харуулъя

Зураг 3 үүнийг харуулж байна

Дурын хязгаарлагдмал тооны векторын нийлбэрийг олон өнцөгт дүрмийг ашиглан олж болно (Зураг 4): хязгаарлагдмал тооны векторын нийлбэрийг байгуулахын тулд дараагийн вектор бүрийн эхлэлийг өмнөх векторын төгсгөлтэй тааруулахад хангалттай. эхний векторын эхлэлийг сүүлчийн векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг байгуулна.

Вектор нэмэх үйлдлийн шинж чанарууд:

Эдгээр илэрхийлэлд m, n нь тоонууд юм.

Векторуудын ялгааг вектор гэнэ.Хоёр дахь гишүүн нь векторын эсрэг чиглэлтэй боловч уртаараа тэнцүү вектор юм.

Тиймээс вектор хасах үйлдлийг нэмэх үйлдлээр солино

Эхлэл нь координатын эхэнд, төгсгөл нь А (x1, y1, z1) цэгт байгаа векторыг А цэгийн радиус вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг энгийнээр тэмдэглэнэ. Түүний координатууд нь А цэгийн координатуудтай давхцаж байгаа тул векторын хувьд тэлэлт нь хэлбэртэй байна.

A(x1, y1, z1) цэгээс эхэлж B(x2, y2, z2) цэгээр төгссөн векторыг дараах байдлаар бичиж болно.

энд r 2 нь В цэгийн радиус вектор; r 1 - А цэгийн радиус вектор.

Тиймээс векторын орцын тэлэлт нь хэлбэртэй байна

Түүний урт нь А ба В цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна

ҮРЖҮҮЛЭХ

Тэгэхээр хавтгай бодлогын хувьд векторын үржвэрийг a = (ax; ay) ба b тооны томъёогоор олно.

a b = (ax b; ay b)

Жишээ 1. a = (1; 2) векторын үржвэрийг 3-аар ол.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Тэгэхээр орон зайн бодлогын хувьд a = (ax; ay; az) вектор ба b тооны үржвэрийг томъёогоор олно.

a b = (ax b; ay b; az b)

Жишээ 1. a = (1; 2; -5) векторын үржвэрийг 2-оор ол.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Векторуудын цэгийн үржвэр ба ба векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна; хэрэв аль нэг нь байвал

Скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос үзэхэд ийм байна

Энд жишээ нь векторын векторын чиглэл рүү проекцын утга юм.

Векторын скаляр квадрат:

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанар:

Координат дахь цэгийн бүтээгдэхүүн

Хэрвээ тэгээд

Векторуудын хоорондох өнцөг

Векторуудын хоорондох өнцөг - эдгээр векторуудын чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг (хамгийн бага өнцөг).

Вектор бүтээгдэхүүн(Хоёр векторын вектор үржвэр.)-нь гурван хэмжээст Евклидийн орон зай дахь векторууд дээр "вектор үржүүлэх" хоёртын үйлдлийн үр дүн болох хоёр хүчин зүйлээр баригдсан хавтгайд перпендикуляр псевдовектор юм. Бүтээгдэхүүн нь шилжих ба ассоциатив ч биш (энэ нь коммутацийн эсрэг) бөгөөд векторуудын цэгийн үржвэрээс ялгаатай. Инженерийн болон физикийн олон асуудалд одоо байгаа хоёр перпендикуляр векторыг бүтээх чадвартай байх шаардлагатай байдаг - вектор бүтээгдэхүүн нь энэ боломжийг олгодог. Хөндлөн үржвэр нь векторуудын перпендикуляр байдлыг "хэмжихэд" ашигтай байдаг - хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн урт нь перпендикуляр байвал тэдгээрийн уртын үржвэртэй тэнцүү бөгөөд векторууд параллель эсвэл эсрэг параллель байвал тэг болж буурдаг.

Вектор бүтээгдэхүүн нь зөвхөн гурван хэмжээст болон долоон хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог. Скаляр үржвэрийн нэгэн адил вектор бүтээгдэхүүний үр дүн нь Евклидийн орон зайн хэмжигдэхүүнээс хамаарна.

Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторуудын координатаас скаляр үржвэрийг тооцоолох томъёоноос ялгаатай нь векторын үржвэрийн томъёо нь тэгш өнцөгт координатын системийн чиг баримжаа, өөрөөр хэлбэл түүний "хираль байдал" -аас хамаардаг.

Векторуудын коллинеар байдал.

Хоёр тэгээс өөр (0-тэй тэнцүү биш) векторууд зэрэгцээ шулуун дээр эсвэл нэг шулуун дээр хэвтэж байвал тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. "Зэрэгцээ" векторуудыг бид зөвшөөрдөг, гэхдээ санал болгодоггүй. Коллинеар векторууд нь нэг чиглэлд ("хамтран чиглүүлсэн") эсвэл эсрэгээр чиглэсэн байж болно (сүүлийн тохиолдолд тэдгээрийг заримдаа "антиколлинеар" эсвэл "эсрэг параллель" гэж нэрлэдэг).

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн( a,b,c)- а векторын скаляр үржвэр ба b ба в векторуудын вектор үржвэр:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

заримдаа гурвалсан гэж нэрлэдэг скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд нь үр дүн нь скаляр (илүү нарийвчлалтай, псевдоскаляр) байдагтай холбоотой бололтой.

Геометрийн утга: Холимог бүтээгдэхүүний модуль нь векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. (a,b,c) .

Үл хөдлөх хөрөнгө

холимог бүтээгдэхүүнбүх аргументуудын хувьд хазайсан тэгш хэмтэй: өөрөөр хэлбэл, д) дурын хоёр хүчин зүйлийн орлуулалт нь бүтээгдэхүүний тэмдгийг өөрчилдөг. Эндээс харахад зөв декартын координатын систем дэх холимог бүтээгдэхүүн (ортонормаль суурь) нь дараах векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

Зүүн декартын координатын систем дэх холимог бүтээгдэхүүн (ортонормаль суурь) нь векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү бөгөөд хасах тэмдгээр авсан:

Тухайлбал,

Хэрэв аль нэг хоёр вектор параллель байвал гуравдахь вектортой бол тэгтэй тэнцүү холимог үржвэрийг үүсгэдэг.

Хэрэв гурван вектор шугаман хамааралтай бол (жишээлбэл, нэг хавтгайд оршдог) тэдгээрийн холимог үржвэр тэг болно.

Геометрийн утга - үнэмлэхүй утга дахь холимог бүтээгдэхүүн нь векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү (зураг харна уу) ба; тэмдэг нь энэ гурвалсан векторууд баруун эсвэл зүүн байх эсэхээс хамаарна.

Векторуудын харьцуулалт.

Гурван (эсвэл түүнээс дээш) векторыг нийтлэг гарал үүслээр бууруулснаар нэг хавтгайд оршдог бол тэдгээрийг копланар гэж нэрлэдэг.

Харьцуулах шинж чанарууд

Хэрэв гурван векторын ядаж нэг нь тэг байвал гурван векторыг мөн ижил хавтгай гэж үзнэ.

Хос коллинеар вектор агуулсан гурвалсан векторууд нь coplanar байна.

Компланар векторуудын холимог үржвэр. Энэ нь гурван векторын давхцах шалгуур юм.

Копланар векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг. Энэ нь мөн адил тэгш байдлын шалгуур юм.

3 хэмжээст орон зайд 3 хосгүй вектор суурь болдог

Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторууд.

Векторуудын шугаман хамааралтай ба бие даасан систем.Тодорхойлолт. Векторуудын систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв тэг вектортой тэнцүү эдгээр векторуудын ядаж нэг чухал бус шугаман хослол байвал. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв өгөгдсөн векторуудын өчүүхэн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү бол векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.

Теорем (шугаман хамаарлын шалгуур). Шугаман орон зай дахь векторуудын систем шугаман хамааралтай байхын тулд эдгээр векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

1) Хэрэв векторуудын дунд дор хаяж нэг тэг вектор байгаа бол векторын систем бүхэлдээ шугаман хамааралтай байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв жишээ нь, , тэгвэл бид энгийн шугаман хослол байна гэж үзвэл .▲

2) Зарим векторууд нь шугаман хамааралтай систем үүсгэдэг бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.

Үнэхээр , , векторууд шугаман хамааралтай байг. Иймээс тэг вектортой тэнцэх утгын бус шугаман хослол байдаг. Гэхдээ дараа нь таамаглаж байна , бид мөн тэг вектортой тэнцүү энгийн бус шугаман хослолыг олж авдаг.

2. Үндэс ба хэмжээ. Тодорхойлолт. Шугаман бие даасан векторуудын систем вектор орон зай гэж нэрлэдэг суурьэнэ орон зай, хэрэв ямар нэгэн векторыг энэ системийн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болох юм бол, өөрөөр хэлбэл. вектор бүрийн хувьд бодит тоонууд байдаг тэгш байдлыг хангахуйц.Энэ тэгш байдлыг гэнэ вектор задралүндсэн болон тоонуудын дагуу дуудсан суурьтай харьцуулахад вектор координатууд(эсвэл үндсэн дээр) .

Теорем (үндэслэлийн хувьд тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай). Сансрын вектор бүрийг суурь талаас нь өргөжүүлж болно өвөрмөц байдлаар, өөрөөр хэлбэл. суурь дахь вектор бүрийн координатууд хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог.

Даалгавар 1.Векторын систем шугаман бие даасан эсэхийг ол. Векторуудын системийг багана нь векторуудын координатаас бүрдэх системийн матрицаар тодорхойлно.

.

Шийдэл.Шугаман хослолыг үзье тэгтэй тэнцүү. Энэ тэгшитгэлийг координатаар бичсэний дараа бид дараахь тэгшитгэлийн системийг олж авна.

.

Ийм тэгшитгэлийн системийг гурвалжин гэж нэрлэдэг. Түүнд цорын ганц шийдэл бий. . Тиймээс векторууд шугаман бие даасан байна.

Даалгавар 2.Векторын систем шугаман бие даасан эсэхийг ол.

.

Шийдэл.Векторууд шугаман бие даасан байна (1-р асуудлыг үзнэ үү). Вектор нь векторуудын шугаман хослол гэдгийг баталцгаая . Вектор тэлэлтийн коэффициентүүд тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог

.

Энэ систем нь гурвалжин шиг өвөрмөц шийдэлтэй.

Тиймээс векторуудын систем шугаман хамааралтай.

Сэтгэгдэл. 1-р бодлого шиг матрицуудыг дуудна гурвалжин , 2-р асуудалд - шаталсан гурвалжин . Хэрэв эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх матриц нь алхам алхмаар гурвалжин хэлбэртэй байвал векторуудын системийн шугаман хамаарлын тухай асуудал амархан шийдэгдэнэ. Хэрэв матриц байхгүй бол онцгой төрөл, дараа нь ашиглана энгийн мөрийн хувиргалт , багана хоорондын шугаман харилцааг хадгалснаар шаталсан гурвалжин хэлбэрт оруулж болно.

Анхан шатны хэлхээний хувиргалтуудматрицуудыг (EPS) матриц дээрх дараах үйлдлүүд гэж нэрлэдэг.

1) шугамын өөрчлөлт;

2) мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;

3) мөрөнд дурын тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмэх.

Даалгавар 3.Шугаман бие даасан хамгийн дээд дэд системийг олоод векторын системийн зэрэглэлийг тооцоол

.

Шийдэл. EPS-ийн тусламжтайгаар системийн матрицыг шаталсан гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Процедурыг тайлбарлахын тулд хувиргах матрицын дугаар бүхий мөрийг тэмдэгтээр тэмдэглэнэ. Сумны дараах баганад шинэ матрицын мөрүүдийг олж авахын тулд хөрвүүлсэн матрицын мөрөнд хийх үйлдлүүдийг харуулна.

.

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн матрицын эхний хоёр багана нь шугаман хамааралгүй, гурав дахь багана нь тэдгээрийн шугаман хослол, дөрөв дэх багана нь эхний хоёроос хамаарахгүй. Векторууд үндсэн гэж нэрлэдэг. Эдгээр нь системийн хамгийн дээд шугаман бие даасан дэд системийг бүрдүүлдэг , системийн зэрэглэл нь гурван байна.

Суурь, координат

Даалгавар 4.Координат нь нөхцөлийг хангасан геометрийн векторуудын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол. .

Шийдэл. Багц нь эхийг дайран өнгөрөх онгоц юм. Хавтгай дээрх дурын суурь нь хоёр коллинеар бус вектороос бүрдэнэ. Сонгосон суурь дахь векторуудын координатыг шугаман тэгшитгэлийн холбогдох системийг шийдэх замаар тодорхойлно.

Координатаар үндсийг нь олоход энэ асуудлыг шийдэх өөр нэг арга бий.

Координатууд орон зай нь хамаарлаар холбогддог тул хавтгай дээрх координат биш юм , өөрөөр хэлбэл тэд бие даасан биш юм. Бие даасан хувьсагч ба (тэдгээрийг үнэгүй гэж нэрлэдэг) нь хавтгай дээрх векторыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог тул тэдгээрийг координат болгон сонгож болно. Дараа нь суурь нь чөлөөт хувьсагчийн олонлогт байрлах ба тэдгээрт тохирох векторуудаас бүрдэнэ болон , тэр бол .

Даалгавар 5.Орон зайн сондгой координатууд нь хоорондоо тэнцүү бүх векторуудын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол.

Шийдэл. Өмнөх асуудлын нэгэн адил бид орон зай дахь координатуудыг сонгодог.

Учир нь , дараа нь чөлөөт хувьсагч координатаас векторыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно. Харгалзах суурь нь векторуудаас бүрдэнэ.

Даалгавар 6.Хэлбэрийн бүх матрицын олонлог дээр энэ суурь дээрх векторуудын суурь ба координатыг ол , хаана дурын тоонууд.

Шийдэл. Матриц бүрийг дараах байдлаар өвөрмөц байдлаар илэрхийлж болно.

Энэ хамаарал нь суурийн хувьд векторын тэлэлт юм
координатуудтай .

Даалгавар 7.Векторын системийн шугаман зайн хэмжээс ба суурийг ол

.

Шийдэл. EPS ашиглан бид системийн векторуудын координатаас матрицыг шаталсан гурвалжин хэлбэрт шилжүүлдэг.

.

баганууд Сүүлийн матрицын шугаман хамааралгүй ба баганууд тэдгээрээр дамжуулан шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Тиймээс векторууд суурийг бүрдүүлнэ , ба .

Сэтгэгдэл. Суурь нь хоёрдмол утгатай сонгосон. Жишээлбэл, векторууд мөн үндэс суурийг бүрдүүлдэг .

Векторуудын систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, Хэрэв ийм тоонууд байгаа бол дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай байвал тэгш байдал https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src" байна. =" >.

Хэрэв энэ тэгш байдал зөвхөн бүх тохиолдолд л байвал векторын системийг дуудна шугаман бие даасан.

Теорем.Векторуудын систем болно шугаман хамааралтайХэрэв түүний векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байвал.

Жишээ 1Олон гишүүнт олон гишүүнтийн шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Полиномууд нь шугаман бие даасан системийг бүрдүүлдэг. https олон гишүүнт: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Жишээ 2Матрицын систем , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> нь шугаман хамааралгүй, учир нь шугаман хослол нь дараахтай тэнцүү байна. тэг матриц зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" өргөн "40" өндөр "21"> шугаман хамааралтай.

Шийдэл.

Эдгээр векторуудын шугаман хослолыг бичнэ үү https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" өндөр = "22">.

Тэнцүү векторуудын ижил нэртэй координатуудыг тэгшитгэснээр бид https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">г авна.

Эцэст нь бид авдаг

болон

Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул эдгээр векторуудын шугаман хослол нь зөвхөн бүх коэффициентүүд тэг байх тохиолдолд л тэг болно. Тийм ч учраас энэ системвекторууд нь шугаман бие даасан байна.

Жишээ 4Векторууд нь шугаман бие даасан байна. Векторын системүүд ямар байх вэ

a).;

б).?

Шийдэл.

a).Шугаман хослол зохиож, тэгтэй тэнцүүл

Шугаман орон зай дахь векторуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичдэг

Векторууд нь шугаман хамааралгүй тул коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл..gif" width="12" height="23 src=">

Үүссэн тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг .

Тэгш байхаас хойш (*) зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> хаягаар гүйцэтгэгдсэн – шугаман бие даасан;

б).Тэгш байдлыг бүрдүүлэх https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар бид олж авна

Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид олж авна

эсвэл

Сүүлчийн систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Иймээс бус байдаг. тэнцүү коэффициентүүдийн тэг багц (**) . Тиймээс векторуудын систем шугаман хамааралтай байна.

Жишээ 5Вектор систем нь шугаман хамааралгүй, вектор систем нь шугаман хамааралтай..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Тэгш байдлаар (***) . Үнэн хэрэгтээ, -ийн хувьд систем нь шугаман хамааралтай байх болно.

Харилцаанаас (***) бид авдаг эсвэл Тэмдэглэх .

Авах

Даалгаврууд бие даасан шийдэл(үзэгчид)

1. Тэг вектор агуулсан систем нь шугаман хамааралтай.

2. Нэг вектор систем а, шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв, a=0.

3. Хоёр вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн векторууд пропорциональ байвал (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөс нь тоогоор үржүүлээд гаргавал) шугаман хамааралтай болно.

4. Шугаман хамааралтай системд вектор нэмбэл шугаман хамааралтай систем гарна.

5. Хэрэв шугаман бие даасан системвекторыг устгавал үүссэн векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй болно.

6. Хэрэв систем Сшугаман хамааралгүй боловч вектор нэмэхэд шугаман хамааралтай болно б, дараа нь вектор бсистемийн векторуудаар шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ С.

в).Хоёр дахь эрэмбийн матрицуудын орон зайд , , матрицын систем.

10. Векторуудын системийг үзье а,б,ввектор орон зай нь шугаман бие даасан байна. Дараах векторуудын системийн шугаман бие даасан байдлыг батал.

a).a+б, б, в.

б).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" өргөн "15" өндөр "19">–дурын тоо

в).a+b, a+c, b+c.

11. Болъё а,б,внь гурвалжин үүсгэхэд ашиглаж болох хавтгай дээрх гурван вектор юм. Эдгээр векторууд шугаман хамааралтай байх уу?

12. Хоёр вектор өгөгдсөн a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Өөр хоёр 4D векторыг сонго a3 баa4Ингэснээр систем a1,a2,a3,a4шугаман бие даасан байсан .

Векторуудын систем нь шугаман хамааралтай эсэхийг шалгахын тулд эдгээр векторуудын шугаман хослолыг зохиож, ядаж нэг коэффициент нь тэг байвал тэг байх боломжтой эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Тохиолдол 1. Векторын системийг вектороор өгөгдсөн

Бид шугаман хослолыг хийдэг

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг олж авлаа. Хэрэв энэ нь тэгээс өөр шийдэлтэй бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Тодорхойлогчийг гаргаж утгыг нь олъё.

Тодорхойлогч нь тэг тул векторууд нь шугаман хамааралтай байна.

Тохиолдол 2. Векторын системийг аналитик функцээр өгөгдөнө.

а)
, хэрэв таних тэмдэг нь үнэн бол систем нь шугаман хамааралтай байна.

Шугаман хослол хийцгээе.

Өгөгдсөн илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү a, b, c (ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш) байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Бид гиперболын функцуудыг бичдэг

,
, дараа нь

тэгвэл векторуудын шугаман хослол дараах хэлбэртэй болно.

Хаана
, жишээ нь авч үзвэл шугаман хослол нь тэгтэй тэнцүү тул систем нь шугаман хамааралтай байна.

Хариулт: Систем нь шугаман хамааралтай.

б)
, бид шугаман хослолыг бүрдүүлдэг

Векторуудын шугаман хослол нь x-ийн бүх утгын хувьд тэг байх ёстой.

Онцгой тохиолдлууд байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Зөвхөн бүх коэффициентүүд тэг байвал векторуудын шугаман хослол нь тэг болно.

Тиймээс систем нь шугаман бие даасан байна.

Хариулт: Систем нь шугаман хамааралгүй.

5.3. Зарим үндэслэлийг олж, шийдлийн шугаман орон зайн хэмжээг тодорхойл.

Өргөтгөсөн матриц үүсгэж, Гауссын аргыг ашиглан трапецын хэлбэрт оруулъя.

Зарим үндэслэлийг авахын тулд бид дурын утгыг орлуулна:

Үлдсэн координатуудыг аваарай

Хариулт:

5.4. Суурь дээрх X векторын координатыг суурьт өгөгдсөн бол ол.

Шинэ үндэслэлээр векторын координатыг олох нь тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд буурдаг

Арга 1. Шилжилтийн матрицыг ашиглан олох

Шилжилтийн матрицыг зохио

Шинэ суурь дахь векторыг томъёогоор олъё

Урвуу матрицыг олоод үржүүлэх үйлдлийг хий

,

Арга 2. Тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэх замаар олох.

Суурийн коэффициентүүдээс суурь векторуудыг зохио

,
,

Векторыг шинэ үндэслэлээр олох нь хэлбэртэй байна

, хаана гөгөгдсөн вектор юм x.

Үүссэн тэгшитгэлийг ямар ч аргаар шийдэж болно, хариулт нь ижил байх болно.

Хариулт: шинэ суурьтай вектор
.

5.5. x = байг (x 1 , x 2 , x 3 ) . Дараах өөрчлөлтүүд шугаман байна уу.

Өгөгдсөн векторуудын коэффициентээс шугаман операторуудын матрицыг зохиоё.

Шугаман операторын матриц бүрийн шугаман үйлдлийн шинж чанарыг шалгацгаая.

Зүүн талыг матрицын үржүүлэх замаар олно ГЭХДЭЭвектор бүрт

Өгөгдсөн векторыг скаляраар үржүүлснээр бид баруун талыг олно
.

Бид үүнийг харж байна
Тиймээс хувиргалт нь шугаман биш юм.

Бусад векторуудыг шалгацгаая.

, хувиргалт нь шугаман биш юм.

, хувиргалт нь шугаман байна.

Хариулт: Өө- үгүй шугаман хувиргалт, Vx- шугаман биш Cx- шугаман.

Анхаарна уу.Өгөгдсөн векторуудыг анхааралтай ажигласнаар та энэ ажлыг илүү хялбар хийж чадна. AT Өөэлемент агуулаагүй нэр томъёо байгааг бид харж байна X, энэ нь шугаман үйлдлийн үр дүнд олж авч чадаагүй. AT Vxэлемент байдаг XГуравдахь зэрэглэлийг вектороор үржүүлэх замаар олж авах боломжгүй юм X.

5.6. Өгсөн x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Сүх = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Өгөгдсөн үйлдлийг гүйцэтгэнэ: ( А ( Б – А )) x .

Шугаман операторуудын матрицуудыг бичье.

Матрицууд дээр үйлдэл хийцгээе

Үүссэн матрицыг X-ээр үржүүлэхэд бид олж авна

Хариулт:

Шугаман хамааралболон шугаман бие даасан байдалвекторууд.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Үзэгчдийн дунд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочин бүр чихэрлэг хосыг авах болно - шугаман алгебр бүхий аналитик геометр. Энэ нийтлэл нь дээд математикийн хоёр хэсгийг нэг дор хөндөх бөгөөд бид тэдгээрийг нэг цаасан дээрээс харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ... хараал ид, яахав, дэмий маргаж байна. Хэдий зүгээр ч гэсэн би оноо авахгүй ч эцэст нь суралцах эерэг хандлага байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, векторуудын шугаман бие даасан байдал, вектор суурьболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "ердийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл би саяхан Gismeteo-д очсон цаг агаарын вектор: - температур ба атмосферийн даралт. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч жишээг геометрийн хэлбэрээр өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, харагдахуйц байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид алгебрийн зарим ердийн даалгавруудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудболон Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Таны онгоцыг анхаарч үзээрэй компьютерийн ширээ(зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай бүх зүйл). Даалгавар нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ.

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай нь ойлгомжтой юм. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх зүйлд координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбар нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу долоовор хуруузүүн гарширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул чигчий хуруу баруун гар ширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар юу хэлж болох вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, юу гэсэн үг вэ гэхээр шугаман байдлаарбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , энд тэгээс өөр тоо байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг хичээлээс харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруунууд компьютерийн ширээний хавтгайд суурь тавих уу? Мэдээж үгүй. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, харин онгоц урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь математикийн тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад хүч, логарифм, синус гэх мэт зүйл байхгүй гэдгийг илэрхийлдэг. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас бусад өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман байдлаар үгүйнь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь хүлээж авсан. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудтай "ташуу" болж хувирсанд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замсуурь талаас нь өргөжүүлсэн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дууддаг вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Тэд бас ингэж хэлдэг векторхэлбэрээр танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралсуурьэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, хавтгайн ортонормаль суурь дээр вектор томорсон гэж хэлж болно, эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурь тодорхойлолталбан ёсоор: хавтгай суурьнь хос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд, , үүнд ямар чхавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын гол зүйл бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. суурь Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр зүүн гарын жижиг хурууг баруун гарын жижиг хурууны газар руу шилжүүлэх боломжгүй юм.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тохируулах, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хангалттай биш гэж? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн онгоцоор тэнүүчилж байна. Амралтын өдрүүдээс үлдсэн тэр жижиг бохир ширээний цэгүүдэд хэрхэн координат оноох вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм лавлах цэг нь хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгох нь:

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

тухай ярихдаа тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тийм юм шиг байна тэгш өнцөгт системкоординатыг ортонормаль суурь дээр тодорхойлж болно. Тэгээд бараг л байна. Энэ үг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, ба ортонормальсуурь багц Хавтгайн декартын координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр дурдсан зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Үүнийг хүн бүр цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль үндэслэлээр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг болон онгоцны аль ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно".

Үүрэгтэй координатын векторуудганц бие байх уу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Вектор бүхий координатын гарал үүсэл нь координатын сүлжээг тодорхойлдог бөгөөд хавтгайн аль ч цэг, аливаа вектор өгөгдсөн үндсэн дээр өөрийн координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм in ерөнхий тохиолдол нэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгтэй тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, абсцисса дээрх нэг нэгжид 4 см, ордны нэг нэгжид 2 см байна.Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "бидний ердийн сантиметр" болгон хөрвүүлэхэд хангалттай.

Хоёрдахь асуулт, аль хэдийн хариулсан - суурь векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, ба шугаман бусвекторууд, , тогтоосон хавтгайн аффин координатын систем :

Заримдаа энэ координатын системийг нэрлэдэг ташуусистем. Цэгүүд ба векторуудыг зураг дээр жишээ болгон үзүүлэв.

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь бүр ч тохиромжгүй тул хичээлийн хоёр дахь хэсэгт авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёо нь ажиллахгүй байна. Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм, сегментийг хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тиймээс, тэр өөрийнх нь хувьд ихэвчлэн харагдах ёстой. ... Гэсэн хэдий ч энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу (эсвэл бусад, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Тийм ээ, мөн гуманоид ийм системүүд амтагдаж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материалыг сургуулийн сурагчид хүртэл авах боломжтой.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд нь коллинеар байвал тэдгээрийн тус тусын координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.Үндсэндээ энэ нь илэрхий харилцааг координат тус бүрээр боловсронгуй болгох явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэд Пропорциональ байдлын коэффициент, ингэснээр тэгш байдлыг хангана:

Практикт нэлээн сайн хэрэгждэг энэхүү дүрмийн хэрэглээний “хөөрхөн” хувилбарын талаар би танд гарцаагүй хэлэх болно. Үүний гол санаа нь нэн даруй пропорцийг гаргаж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатуудын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Бид богиносгодог:
, тиймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна, тиймээс,

Энэ харилцааг үүсгэж болох ба эсрэгээр, энэ нь ижил төстэй сонголт юм:

Өөрийгөө шалгахын тулд коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. AT Энэ тохиолдолдтэгш байдал бий . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудын коллинеар байдлыг шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс дараах нь гарч ирнэ, энэ нь: систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатаас пропорцийг зохио :
, иймээс эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Ихэвчлэн тоймчид энэ сонголтыг үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координатууд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүн шиг: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд байгаа пропорцийг хэрхэн яаж хийх вэ? (Үнэхээр тэгээр хувааж болохгүй). Ийм учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппиш" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Жижиг бүтээлч жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 2

Параметрийн векторуудын ямар утгад collinear байх уу?

Дээжний уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Сайхан байдаг алгебрийн аргавекторуудын уялдаа холбоог шалгахын тулд бид мэдлэгээ системчилж, тав дахь цэг болгон нэмнэ.

Хоёр векторын хувьд хавтгай нь тэнцүү байна дараах мэдэгдлүүд :

2) векторууд үндэс суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэг биш байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь болдоггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Одоогийн байдлаар та гарч ирсэн бүх нэр томъёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон гэдэгт би маш их найдаж байна.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Энэ функцийг ашиглахын тулд мэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

Бид шийднэХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоол :
, тиймээс эдгээр векторууд нь коллинеар байна.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, иймээс векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын уялдаа холбоог тогтоохоос гадна сегмент, шулуун шугамын параллелизмыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг санаарай:
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос параллель байдаг дөрвөн өнцөгт гэж нэрлэгддэг.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талуудын параллелизм ба .

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь илт харагдаж байгаа ч зохицуулалтын дагуу зөв шийдвэр гаргах нь дээр. Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоол.
, тиймээс эдгээр векторууд нь коллинеар ба .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос параллель байдаг тул тодорхойлолтоор параллелограмм юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах даалгавар юм. Бүрэн шийдэлхичээлийн төгсгөлд.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь хоорондоо пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

a) ;
б)
онд)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгана.

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар хийгддэг. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш бөгөөд энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг юм.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Сансрын векторуудыг коллинеар болон гуравдагч эрэмбийн тодорхойлогчоор шалгах арга байдаг. энэ замаарнийтлэлд тусгасан болно Векторуудын хөндлөн үржвэр.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслүүдийг орон зайн сегмент ба шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зайн векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний авч үзсэн олон зүй тогтол нь сансар огторгуйд ч хүчинтэй байх болно. Би онолын хураангуйг аль болох богино байлгахыг хичээсэн, учир нь арслангийн хувьмэдээлэл аль хэдийн зажилсан байна. Гэсэн хэдий ч шинэ нэр томъёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг авч үзье. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Хэн нэгэн одоо дотор, хэн нэгэн гадаа байгаа ч ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс холдож чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Мөн бид дахин хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу том, индекс ба дунд хуруу . Эдгээр нь векторууд байх болно, тэд өөр өөр чиглэлд харагдах болно өөр урттаймөн өөр хоорондоо өөр өөр өнцөгтэй. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Дашрамд хэлэхэд та хуруугаа яаж мушгисан ч багш нарт үүнийг харуулах шаардлагагүй, гэхдээ та тодорхойлолтоос холдож чадахгүй =)

Дараа нь асууя чухал асуудал, Гурван вектор гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэх? Компьютерийн ширээн дээр гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжүүрүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь ойлгомжтой.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (хуруугаараа үүнийг бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л тэгж гарсан =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгайХэрэв тэдгээр нь параллель байх хавтгай байгаа бол. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд нэгдмэл биш байх болно гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлөөд үз дээ. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн хос хавтгай биш, бас коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсШугаман бие даасан (компланар бус) векторуудын гурвалсан гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, харин огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн суурь дээр тэлэх , өгөгдсөн суурь дээрх векторын координат хаана байна

Сануулахад, та векторыг дүрсэлсэн гэж хэлж болно шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг хавтгайн тохиолдолтой яг ижил байдлаар танилцуулсан бөгөөд нэг цэг болон шугаман бие даасан гурван вектор хангалттай.

гарал үүсэл, ба тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг, координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг хийх боломжийг олгодог. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил орон зайн аффин координатын системд миний өмнө дурдсан зарим томъёо ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, ба ортонормальсуурь багц Орон зайн декартын координатын систем . танил зураг:

Практик даалгавруудыг үргэлжлүүлэхийн өмнө бид мэдээллийг дахин системчилдэг.

Гурван сансрын векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд үндэс суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж би бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал / бие даасан байдлыг тодорхойлогчийг ашиглан шалгадаг (5-р зүйл). Үлдсэн практик даалгаврууд нь тодорхой алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваа хадаас дээр өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиур ашиглах цаг болжээ.

Гурван сансрын векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Би техникийн жижиг нюансуудад анхаарлаа хандуулж байна: векторуудын координатыг зөвхөн баганад төдийгүй мөрөнд бичиж болно (тодорхойлогчийн утга үүнээс өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчдын шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан, эсвэл огт чиг баримжаа муутай уншигчдад би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна. Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоол (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлсэн):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

уулзах ба бүтээлч даалгавар:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байвал векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай. Бид цаасан шувуу шиг тэг рүү нисдэг - хоёрдугаар мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлээс салах нь хамгийн ашигтай байдаг.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн болгож багасгадаг шугаман тэгшитгэл:

Хариулт: цагт

Энд шалгахад хялбар байдаг, үүний тулд та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулж, дараах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. дахин нээх замаар.

Эцэст нь хэлэхэд, шугаман алгебрийн хичээлд уламжлал ёсоор ордог алгебрийн шинж чанартай өөр нэг ердийн бодлогыг авч үзье. Энэ нь маш түгээмэл тул тусдаа сэдэвтэй байх ёстой:

3 вектор нь гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэдгийг батал
өгөгдсөн суурь дахь 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Векторууд нь гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Үндэслэл нь юу вэ - бид сонирхохгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний алхам нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн ижил бөгөөд векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоол.

, иймээс векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог.

! Чухал : вектор координат зайлшгүйбичих багана болгонтодорхойлогч, мөр биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.