Координатын суурь дээр векторын задрал. Векторыг суурь болгон задлах

Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдал.
Векторуудын үндэс. Аффины координатын систем

Танхимд шоколадтай тэрэг байдаг бөгөөд өнөөдөр зочлон ирсэн хүн бүр шугаман алгебр бүхий аналитик геометр гэсэн сайхан хосыг авах болно. Энэ нийтлэл нь дээд математикийн хоёр хэсгийг нэг дор хөндөх бөгөөд бид тэдгээр нь нэг цаасан дээр хэрхэн зэрэгцэн оршиж байгааг харах болно. Завсарлага аваад Twix идээрэй! ...хараал ид, ямар дэмий юм бэ. Хэдий тийм ээ, би оноо авахгүй ч эцэст нь та суралцахдаа эерэг хандлагатай байх ёстой.

Векторуудын шугаман хамаарал, шугаман векторын бие даасан байдал, векторуудын үндэсболон бусад нэр томъёо нь зөвхөн геометрийн тайлбар биш, харин хамгийн чухал нь алгебрийн утгатай. Шугаман алгебрийн үүднээс авч үзвэл "вектор" гэсэн ойлголт нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд дүрсэлж болох "энгийн" вектор биш юм. Та холоос баталгаа хайх шаардлагагүй, таван хэмжээст орон зайн вектор зурж үзээрэй . Эсвэл миний саяхан Gismeteo руу очсон цаг агаарын вектор: температур ба атмосферийн даралт. Мэдээжийн хэрэг, жишээ нь векторын орон зайн шинж чанарын үүднээс буруу боловч эдгээр параметрүүдийг вектор болгон албан ёсны болгохыг хэн ч хориглодоггүй. Намрын амьсгал...

Үгүй ээ, би чамайг онол, шугаман вектор орон зайгаар уйдаахгүй, даалгавар бол хийх явдал юм ойлгохтодорхойлолт ба теоремууд. Шинэ нэр томъёо (шугаман хамаарал, бие даасан байдал, шугаман хослол, суурь гэх мэт) нь алгебрийн үүднээс бүх векторуудад хамаарах боловч геометрийн жишээг өгөх болно. Тиймээс бүх зүйл энгийн, хүртээмжтэй, ойлгомжтой байдаг. Аналитик геометрийн асуудлуудаас гадна бид зарим ердийн алгебрийн бодлогуудыг авч үзэх болно. Материалыг эзэмшихийн тулд хичээлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна Дамми нарт зориулсан векторуудТэгээд Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хавтгай векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Хавтгай суурь ба аффины координатын систем

Таны онгоцыг анхаарч үзээрэй компьютерийн ширээ(зөвхөн ширээ, орны дэргэдэх ширээ, шал, тааз, дуртай бүх зүйл). Даалгавар нь дараахь үйлдлүүдээс бүрдэнэ.

1) Хавтгай суурь сонгох. Товчоор хэлбэл, ширээний тавцан нь урт ба өргөнтэй байдаг тул суурийг бий болгоход хоёр вектор шаардлагатай болно. Нэг вектор хангалттай биш, гурван вектор хэт их байна.

2) Сонгосон суурь дээр үндэслэнэ координатын системийг тохируулах(координатын тор) ширээн дээрх бүх объектод координат оноох.

Гайхах хэрэггүй, эхлээд тайлбарууд нь хуруун дээр байх болно. Түүнээс гадна, таных. Та байрлуулна уу долоовор хуруузүүн гарширээний ирмэг дээр тэр дэлгэц рүү хардаг. Энэ нь вектор байх болно. Одоо байрлуул чигчий хуруу баруун гар ширээний ирмэг дээр ижил аргаар - дэлгэцийн дэлгэц рүү чиглэсэн байхаар байрлуулна. Энэ нь вектор байх болно. Инээмсэглэ, чи гайхалтай харагдаж байна! Векторуудын талаар бид юу хэлж чадах вэ? Өгөгдлийн векторууд collinear, юу гэсэн үг вэ гэхээр шугаманбие биенээ илэрхийлсэн:
, сайн, эсвэл эсрэгээр: , хаана ямар нэг тоо тэгээс ялгаатай байна.

Та энэ үйлдлийн зургийг ангид харж болно. Дамми нарт зориулсан векторууд, энд би векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг тайлбарлав.

Таны хуруу компьютерийн ширээний тавцан дээр суурь тавих уу? Мэдээж үгүй. Коллинеар векторууд нааш цааш хөдөлдөг ганцаараачиглэл, онгоц нь урт ба өргөнтэй байдаг.

Ийм векторуудыг нэрлэдэг шугаман хамааралтай.

Лавлагаа: "Шугаман", "шугаман" гэсэн үгс нь математикийн тэгшитгэл, илэрхийлэлд квадрат, шоо, бусад хүч, логарифм, синус гэх мэт зүйл байхгүй гэдгийг илэрхийлдэг. Зөвхөн шугаман (1-р зэрэг) илэрхийлэл ба хамаарал байдаг.

Хоёр хавтгай вектор шугаман хамааралтайхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал.

Ширээн дээр хуруугаа хооронд нь 0 эсвэл 180 градусаас өөр өнцөг байхаар гатлаарай. Хоёр хавтгай векторшугаман Үгүйхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаа холбоогүй тохиолдолд л хамааралтай. Тиймээс суурь нь бүрддэг. Суурь нь янз бүрийн урттай перпендикуляр бус векторуудаар "тазайлгасан" болсонд ичиж зовох хэрэггүй юм. Тун удахгүй бид үүнийг бүтээхэд зөвхөн 90 градусын өнцөг төдийгүй ижил урттай нэгж векторууд тохиромжтой биш гэдгийг харах болно.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замүндэслэлээр өргөтгөсөн:
, бодит тоо хаана байна. Тоонуудыг дуудаж байна вектор координатэнэ үндсэн дээр.

Бас тэгж хэлдэг векторбайдлаар танилцуулсан шугаман хослолсуурь векторууд. Энэ нь илэрхийлэл гэж нэрлэгддэг вектор задралүндсэн дээрэсвэл шугаман хослолсуурь векторууд.

Жишээлбэл, вектор нь хавтгайн ортонормаль суурийн дагуу задардаг эсвэл векторуудын шугаман хослолоор дүрслэгдсэн гэж хэлж болно.

Томьёолъё суурийн тодорхойлолталбан ёсоор: Онгоцны үндэсхос шугаман бие даасан (коллинеар бус) векторууд гэж нэрлэдэг. , үүнд ямар чХавтгай вектор нь суурь векторуудын шугаман хослол юм.

Тодорхойлолтын чухал цэг бол векторуудыг авсан явдал юм тодорхой дарааллаар. Суурь - Эдгээр нь огт өөр хоёр суурь юм! Тэдний хэлснээр та зүүн гарын жижиг хурууг баруун гарын хурууны оронд сольж болохгүй.

Бид үндсийг нь олж мэдсэн боловч координатын сүлжээг тогтоож, компьютерийн ширээн дээрх зүйл бүрт координат оноох нь хангалтгүй юм. Яагаад хүрэлцэхгүй байна вэ? Векторууд чөлөөтэй бөгөөд бүхэл бүтэн онгоцоор тэнүүчилдэг. Зэрлэг амралтын өдрүүдээс үлдсэн ширээн дээрх жижиг бохир цэгүүдийн координатыг хэрхэн хуваарилах вэ? Эхлэх цэг хэрэгтэй. Ийм тэмдэглэгээ бол хүн бүрт танил болсон цэг юм - координатын гарал үүсэл. Координатын системийг ойлгоцгооё.

Би "сургуулийн" системээс эхэлье. Танилцуулгын хичээл дээр аль хэдийн орсон Дамми нарт зориулсан векторуудТэгш өнцөгт координатын систем ба ортонормаль суурь хоорондын зарим ялгааг би онцолсон. Энд стандарт зураг байна:

Тэд ярих үед тэгш өнцөгт координатын систем, дараа нь ихэнхдээ тэдгээр нь тэнхлэгийн дагуух гарал үүсэл, координатын тэнхлэг, масштабыг илэрхийлдэг. Хайлтын системд "тэгш өнцөгт координатын систем" гэж бичээд үзээрэй, олон эх сурвалж танд 5-6-р ангиасаа мэддэг координатын тэнхлэгүүд болон хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурах талаар хэлэх болно.

Нөгөөтэйгүүр, тийм юм шиг байна тэгш өнцөгт системкоординатыг ортонормаль үндэслэлээр бүрэн тодорхойлж болно. Мөн энэ нь бараг үнэн юм. Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна.

гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт хавтгай координатын систем . Энэ нь тэгш өнцөгт координатын систем юм гарцаагүйнь нэг цэг ба хоёр нэгж ортогональ вектороор тодорхойлогддог. Тийм ч учраас та миний дээр өгсөн зургийг харж байна - геометрийн бодлогод вектор ба координатын тэнхлэгийг хоёуланг нь ихэвчлэн (гэхдээ үргэлж биш) зурдаг.

Цэг (гарал үүсэл) болон ортонормаль суурь ашиглахыг хүн бүр ойлгодог гэж би бодож байна Онгоцны аль ч цэг, онгоцонд ямар ч ВЕКТОРкоординатыг зааж өгч болно. Дүрслэлээр хэлбэл, "онгоцонд байгаа бүх зүйлийг дугаарлаж болно."

Координатын векторууд нэгж байх шаардлагатай юу? Үгүй ээ, тэд дур мэдэн тэгээс өөр урттай байж болно. Дурын тэгээс урттай цэг ба хоёр ортогональ векторыг авч үзье.

Ийм суурь гэж нэрлэдэг ортогональ. Векторуудтай координатын гарал үүслийг координатын тороор тодорхойлдог бөгөөд хавтгай дээрх аль ч цэг, аль ч вектор нь өгөгдсөн үндсэн дээр координаттай байдаг. Жишээлбэл, эсвэл. Илэрхий таагүй зүйл бол координатын векторууд юм В ерөнхий тохиолдол нэгдлээс өөр урттай. Хэрэв урт нь нэгдмэл байдалтай тэнцүү бол ердийн ортонормаль үндэслэлийг олж авна.

! Анхаарна уу : ортогональ суурь, түүнчлэн хавтгай ба орон зайн аффин суурийн доор тэнхлэгийн дагуух нэгжүүдийг авч үзнэ. НӨХЦӨЛТ. Жишээлбэл, х тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 4 см, ордны тэнхлэгийн дагуух нэг нэгж нь 2 см-ийг агуулдаг.Энэ мэдээлэл нь шаардлагатай бол "стандарт бус" координатыг "манай ердийн сантиметр" болгон хувиргахад хангалттай.

Хоёрдахь асуулт нь аль хэдийн хариулагдсан бөгөөд суурь векторуудын хоорондох өнцөг нь 90 градустай тэнцүү байх ёстой юу? Үгүй! Тодорхойлолтод дурдсанчлан суурь векторууд байх ёстой зөвхөн шугаман бус. Үүний дагуу өнцөг нь 0 ба 180 градусаас бусад бүх зүйл байж болно.

Онгоцны нэг цэг дуудлаа гарал үүсэл, Мөн шугаман бусвекторууд, , тогтоосон аффин хавтгай координатын систем :

Заримдаа ийм координатын системийг дууддаг ташуусистем. Жишээлбэл, зураг нь цэг ба векторуудыг харуулж байна:

Таны ойлгож байгаагаар аффины координатын систем нь бүр ч тохиромжгүй тул хичээлийн хоёр дахь хэсэгт бидний авч үзсэн вектор ба сегментийн уртын томъёонууд ажиллахгүй байна. Дамми нарт зориулсан векторууд, холбоотой олон амттай жор векторуудын скаляр үржвэр. Гэхдээ вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмүүд, сегментийг энэ харьцаагаар хуваах томъёо, түүнчлэн бидний удахгүй авч үзэх бусад төрлийн асуудлууд хүчинтэй байна.

Дүгнэлт нь аффин координатын системийн хамгийн тохиромжтой онцгой тохиолдол бол декартын тэгш өнцөгт систем юм. Тийм ч учраас чи түүнтэй байнга уулзах хэрэгтэй болдог, хонгор минь. ...Гэхдээ энэ амьдралд бүх зүйл харьцангуй байдаг - ташуу өнцөг (эсвэл өөр нэг, жишээлбэл, туйл) координатын систем. Мөн гуманоид ийм системд дуртай байж магадгүй =)

Практик хэсэг рүү шилжье. Энэ хичээлийн бүх бодлого нь тэгш өнцөгт координатын систем болон ерөнхий аффины тохиолдолд хоёуланд нь хүчинтэй байна. Энд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бүх материал нь сургуулийн сурагчдад ч хүртээмжтэй байдаг.

Хавтгай векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Ердийн зүйл. Хоёр хавтгай векторын хувьд collinear байсан тул тэдгээрийн харгалзах координатууд пропорциональ байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юмҮндсэндээ энэ нь тодорхой харилцааг координатаар нарийн тусгах явдал юм.

Жишээ 1

a) Векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгана уу .
б) Векторууд суурь болдог уу? ?

Шийдэл:
a) Векторууд байгаа эсэхийг олж мэдье тэнцүү байдлыг хангасан пропорциональ коэффициент:

Практикт маш сайн ажилладаг энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх "хөөрхөн" хувилбарын талаар би танд хэлэх болно. Гол санаа нь тэр даруй пропорцийг бүрдүүлж, зөв ​​эсэхийг шалгах явдал юм.

Векторуудын харгалзах координатуудын харьцаанаас пропорцийг гаргая.

Богино болгоё:
, тиймээс харгалзах координатууд нь пропорциональ байна, тиймээс,

Харилцааг эсрэгээр нь хийж болно; энэ нь ижил сонголт юм:

Өөрийгөө шалгахын тулд та коллинеар векторууд бие биенээсээ шугаман илэрхийлэгддэг болохыг ашиглаж болно. IN энэ тохиолдолдтэгш байдал бий . Тэдгээрийн хүчинтэй байдлыг векторуудтай энгийн үйлдлээр хялбархан шалгаж болно.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Бид векторуудыг коллинеараар шалгадаг . Системийг үүсгэцгээе:

Эхний тэгшитгэлээс , хоёр дахь тэгшитгэлээс энэ нь гарч ирнэ гэсэн үг систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс векторуудын харгалзах координатууд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог.

Шийдлийн хялбаршуулсан хувилбар дараах байдалтай байна.

Векторуудын харгалзах координатуудаас пропорцийг гаргая :
, энэ нь эдгээр векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Ихэнхдээ энэ сонголтыг хянагчид үгүйсгэдэггүй, гэхдээ зарим координатууд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд асуудал үүсдэг. Үүн шиг: . Эсвэл иймэрхүү: . Эсвэл иймэрхүү: . Энд пропорцоор хэрхэн ажиллах вэ? (үнэхээр та тэгээр хувааж болохгүй). Тийм ч учраас би хялбаршуулсан шийдлийг "фоппи" гэж нэрлэсэн.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Жижиг бүтээлч жишээУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Параметрийн ямар утгад векторууд байна тэд хоорондоо уялдаатай байх уу?

Дээжний уусмалд параметрийг пропорцоор олно.

Гоёмсог хүн байдаг алгебрийн аргавекторуудын уялдаа холбоог шалгах.Мэдлэгээ системчлээд үүнийг тав дахь цэг болгон нэмье.

Хоёр хавтгай векторын хувьд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:

2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд нь коллинеар биш;

+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

тус тус, дараах эсрэг заалтууд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман хамааралтай;
2) векторууд нь суурь үүсгэдэггүй;
3) векторууд нь коллинеар;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлж болно;
+ 5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Та одоо тулгарсан бүх нэр томьёо, мэдэгдлийг аль хэдийн ойлгосон гэдэгт би үнэхээр найдаж байна.

Шинэ, тав дахь цэгийг нарийвчлан авч үзье: хоёр хавтгай вектор Өгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л коллинеар байна.:. Энэ функцийг ашиглахын тулд мэдээжийн хэрэг та чадвартай байх хэрэгтэй тодорхойлогчдыг олох.

Ингээд шийдьеХоёр дахь аргаар жишээ 1:

a) Векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг бодъё :
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар байна гэсэн үг.

b) Хоёр хавтгай вектор нь коллинеар (шугаман бие даасан) биш бол суурь болдог. Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё :
, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулт: a), б) хэлбэр.

Энэ нь пропорцтой шийдлээс хамаагүй илүү авсаархан, үзэсгэлэнтэй харагдаж байна.

Боловсруулсан материалын тусламжтайгаар зөвхөн векторуудын харилцан уялдаа холбоог тогтоох төдийгүй сегмент ба шулуун шугамын параллель байдлыг батлах боломжтой. Тодорхой геометрийн хэлбэртэй хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

Жишээ 3

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм гэдгийг батал.

Баталгаа: Асуудлын шийдэл нь зөвхөн аналитик байх тул зураг зурах шаардлагагүй. Параллелограммын тодорхойлолтыг санацгаая.
Параллелограмм Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллель дөрвөн өнцөгтийг гэнэ.

Тиймээс дараахь зүйлийг нотлох шаардлагатай.
1) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба;
2) эсрэг талуудын зэрэгцээ байдал ба.

Бид баталж байна:

1) Векторуудыг ол:

2) Векторуудыг ол:

Үр дүн нь ижил вектор ("сургуулийн дагуу" - тэнцүү векторууд). Хамтарсан байдал нь маш тодорхой боловч шийдвэрийг тодорхой, зохицуулалттай албан ёсны болгох нь дээр. Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, энэ нь эдгээр векторууд коллинеар гэсэн үг бөгөөд .

Дүгнэлт: Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талууд нь хос хосоороо параллелограмм гэсэн үг юм. Q.E.D.

Илүү сайн, өөр өөр тоонууд:

Жишээ 4

Дөрвөн өнцөгтийн оройг өгөв. Дөрвөн өнцөгт нь трапец гэдгийг батал.

Нотлох баримтыг илүү нарийн томъёолохын тулд трапецын тодорхойлолтыг авах нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь ямар харагддагийг санахад л хангалттай.

Энэ бол та өөрөө шийдэх ёстой ажил юм. Бүрэн шийдэлхичээлийн төгсгөлд.

Одоо онгоцноос аажим аажмаар сансарт шилжих цаг болжээ.

Сансрын векторуудын коллинеарийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Дүрэм нь маш төстэй юм. Хоёр орон зайн векторууд хоорондоо уялдаатай байхын тулд тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай..

Жишээ 5

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг олж мэд.

A) ;
б)
V)

Шийдэл:
a) Векторуудын харгалзах координатуудад пропорциональ коэффициент байгаа эсэхийг шалгая:

Системд шийдэл байхгүй тул векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

"Хялбаршуулсан" нь пропорцийг шалгах замаар албан ёсны болно. Энэ тохиолдолд:
– харгалзах координатууд нь пропорциональ биш, энэ нь векторууд нь коллинеар биш гэсэн үг.

Хариулт:векторууд нь коллинеар биш юм.

b-c) Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах цэгүүд юм. Үүнийг хоёр аргаар туршаад үзээрэй.

Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчоор орон зайн векторуудыг коллинеараар шалгах арга байдаг. энэ арганийтлэлд тусгасан болно Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн.

Хавтгайн тохиолдлын нэгэн адил авч үзсэн хэрэгслийг орон зайн сегмент ба шулуун шугамын параллелизмыг судлахад ашиглаж болно.

Хоёр дахь хэсэгт тавтай морилно уу:

Гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудын шугаман хамаарал ба бие даасан байдал.
Орон зайн суурь ба аффины координатын систем

Онгоцонд бидний судалж үзсэн олон хэв маяг сансар огторгуйд хүчинтэй байх болно. Учир нь би онолын тэмдэглэлийг багасгахыг хичээсэн арслангийн хувьмэдээлэл аль хэдийн зажилсан байна. Гэхдээ шинэ нэр томьёо, ойлголт гарч ирэх тул оршил хэсгийг анхааралтай уншихыг зөвлөж байна.

Одоо бид компьютерийн ширээний хавтгайн оронд гурван хэмжээст орон зайг судалж байна. Эхлээд түүний суурийг бий болгоё. Одоо хэн нэгэн дотор, хэн нэгэн гадаа байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд бид өргөн, урт, өндөр гэсэн гурван хэмжээсээс зугтаж чадахгүй. Тиймээс суурийг бий болгохын тулд орон зайн гурван вектор шаардлагатай болно. Нэг эсвэл хоёр вектор хангалттай биш, дөрөв дэх нь илүүдэхгүй.

Дахин бид хуруугаараа дулаацдаг. Гараа дээш өргөж, янз бүрийн чиглэлд тараана уу эрхий хуруу, индекс ба дунд хуруу . Эдгээр нь векторууд байх болно, тэд өөр өөр чиглэлд хардаг, тэд байна өөр өөр урттаймөн тэдгээрийн хооронд өөр өөр өнцөгтэй байна. Баяр хүргэе, гурван хэмжээст орон зайн суурь бэлэн боллоо! Энэ дашрамд хуруугаа хэчнээн мушгисан ч багш нарт үзүүлэх шаардлагагүй, гэхдээ тодорхойлолтоос мултрахгүй =)

Дараа нь асууя чухал асуудал, дурын гурван вектор гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог уу? Компьютерийн ширээний дээд хэсэгт гурван хуруугаа чанга дарна уу. Юу болсон бэ? Гурван вектор нь нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд ойролцоогоор хэлэхэд бид хэмжээсүүдийн нэг болох өндрийг алдсан байна. Ийм векторууд хавтгайГурван хэмжээст орон зайн суурь нь бүрдээгүй нь тодорхой юм.

Копланар векторууд нэг хавтгайд хэвтэх албагүй, зэрэгцээ хавтгайд байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (үүнийг зүгээр л хуруугаараа бүү хий, зөвхөн Сальвадор Дали л үүнийг хийсэн =)).

Тодорхойлолт: векторуудыг дуудна хавтгай, хэрэв тэдгээр нь зэрэгцээ байрласан хавтгай байвал. Хэрэв ийм хавтгай байхгүй бол векторууд хоорондоо уялдаатай биш гэдгийг энд нэмэх нь логик юм.

Гурван coplanar вектор нь үргэлж шугаман хамааралтай байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энгийн байхын тулд тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна гэж дахин төсөөлье. Нэгдүгээрт, векторууд нь зөвхөн хос хавтгай биш, мөн коллинеар байж болно, дараа нь дурын векторыг дурын вектороор илэрхийлж болно. Хоёрдахь тохиолдолд, жишээлбэл, векторууд нь коллинеар биш бол гурав дахь векторыг тэдгээрээр дамжуулан өвөрмөц байдлаар илэрхийлнэ. (мөн яагаад өмнөх хэсгийн материалаас таахад хялбар байдаг).

Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: гурван хосгүй вектор нь үргэлж шугаман бие даасан байдаг, өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь бие биенээ ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй. Гурван хэмжээст орон зайн үндэс суурийг зөвхөн ийм векторууд бүрдүүлж чадах нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт: Гурван хэмжээст орон зайн үндэсШугаман бие даасан (компланар бус) векторуудын гурвалсан гэж нэрлэдэг, тодорхой дарааллаар авсан, мөн огторгуйн дурын вектор цорын ганц арга замөгөгдсөн үндсэн дээр задардаг бөгөөд энэ суурь дээрх векторын координатууд хаана байна

Векторыг хэлбэрээр илэрхийлсэн гэж хэлж болно гэдгийг сануулъя шугаман хослолсуурь векторууд.

Координатын системийн тухай ойлголтыг нэг цэг ба дурын гурван шугаман хувилбартай яг ижил аргаар нэвтрүүлсэн. бие даасан векторууд:

гарал үүсэл, Мөн тэгш бусвекторууд, тодорхой дарааллаар авсан, тогтоосон гурван хэмжээст орон зайн аффин координатын систем :

Мэдээжийн хэрэг, координатын сүлжээ нь "ташуу" бөгөөд тохиромжгүй боловч баригдсан координатын систем нь бидэнд үүнийг зөвшөөрдөг. гарцаагүйдурын векторын координат ба огторгуйн дурын цэгийн координатыг тодорхойлох. Хавтгайтай адил миний дурдсан зарим томьёо нь орон зайн координатын аффин системд ажиллахгүй.

Хүн бүрийн таамаглаж байгаагаар аффин координатын системийн хамгийн танил бөгөөд тохиромжтой онцгой тохиолдол нь юм тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем:

Орон зайн цэг гэж нэрлэдэг гарал үүсэл, Мөн ортонормальсуурь тавигдсан Декартын тэгш өнцөгт орон зайн координатын систем . Танил зураг:

Практик даалгавар руу шилжихээсээ өмнө мэдээллийг дахин системчилье.

Учир нь гурван векторзайд дараах мэдэгдлүүд тэнцүү байна:
1) векторууд нь шугаман бие даасан;
2) векторууд нь суурь болдог;
3) векторууд хоорондоо уялдаатай биш;
4) векторуудыг бие биенээсээ шугаман байдлаар илэрхийлэх боломжгүй;
5) эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

Эсрэг заалтууд нь ойлгомжтой гэж бодож байна.

Сансрын векторуудын шугаман хамаарал/бие даасан байдлыг тодорхойлогч ашиглан шалгадаг (5-р цэг). Үлдсэн практик даалгаврууд нь тодорхой алгебрийн шинж чанартай байх болно. Геометрийн саваагаа өлгөж, шугаман алгебрийн бейсболын цохиурыг ашиглах цаг болжээ.

Орон зайн гурван векторӨгөгдсөн векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л копланар байна: .

Техникийн жижиг нюансуудад анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна: векторуудын координатыг зөвхөн баганаар төдийгүй мөрөнд бичиж болно (үүнээс болж тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй - тодорхойлогчдын шинж чанарыг харна уу). Гэхдээ энэ нь зарим практик асуудлыг шийдвэрлэхэд илүү ашигтай тул баганад илүү сайн байдаг.

Тодорхойлогчдыг тооцоолох аргуудыг бага зэрэг мартсан эсвэл тэдгээрийн талаар огт ойлгодоггүй уншигчдад зориулж би хамгийн эртний хичээлүүдийн нэгийг санал болгож байна: Тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Жишээ 6

Дараах векторууд гурван хэмжээст орон зайн суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Шийдэл: Үнэн хэрэгтээ бүх шийдэл тодорхойлогчийг тооцоолоход л ирдэг.

a) Векторын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё (тодорхойлогчийг эхний мөрөнд харуулав):

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй (компланар биш) бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

Хариулах: эдгээр векторууд суурь болдог

б) Энэ бол бие даасан шийдвэр гаргах цэг юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Уулзаж, бүтээлч даалгавар:

Жишээ 7

Параметрийн ямар утгад векторууд хоорондоо уялдаатай байх вэ?

Шийдэл: Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд векторууд хоорондоо уялдаатай байна:

Үндсэндээ та тодорхойлогчтой тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Бид онгоц дээрх цаасан шувуу шиг тэг дээр унадаг - хоёр дахь мөрөнд тодорхойлогчийг нээж, тэр даруй хасах зүйлсээс салах нь дээр.

Бид илүү хялбаршуулж, асуудлыг хамгийн энгийн шугаман тэгшитгэл болгон бууруулна.

Хариулах: цагт

Энд шалгахад хялбар, үүнийг хийхийн тулд та үр дүнгийн утгыг анхны тодорхойлогчоор орлуулж, дараах эсэхийг шалгах хэрэгтэй. , дахин нээх.

Дүгнэж хэлэхэд бид илүү алгебрийн шинж чанартай, шугаман алгебрийн хичээлд уламжлалт байдлаар ордог өөр нэг ердийн бодлогыг авч үзэх болно. Энэ нь маш түгээмэл тул өөрийн гэсэн сэдэвтэй байх ёстой:

Гурван хэмжээст орон зайн суурь нь 3 вектор байдгийг батал
Үүний үндсэн дээр 4-р векторын координатыг ол

Жишээ 8

Векторууд өгөгдсөн. Гурван хэмжээст орон зайд векторууд суурь болж байгааг харуулж, энэ суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл: Эхлээд нөхцөл байдлыг авч үзье. Нөхцөлөөр дөрвөн вектор өгөгдсөн бөгөөд таны харж байгаагаар тэдгээр нь аль хэдийн ямар нэгэн үндэслэлээр координаттай байдаг. Энэ үндэслэл нь юу вэ гэдэг нь бидний сонирхлыг татахгүй байна. Дараахь зүйл сонирхолтой байна: гурван вектор нь шинэ суурь болж магадгүй юм. Эхний шат нь 6-р жишээний шийдэлтэй бүрэн давхцаж байгаа тул векторууд үнэхээр шугаман бие даасан эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Вектор координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.

, энэ нь векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд гурван хэмжээст орон зайн суурь болдог гэсэн үг юм.

! Чухал : вектор координат Заавалбичих багана болгонтодорхойлогч, утсанд биш. Үгүй бол цаашдын шийдлийн алгоритмд төөрөгдөл үүсэх болно.

L. 2-1 Вектор алгебрийн үндсэн ойлголтууд. Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд.

Баазаар векторын задрал.

Вектор алгебрийн үндсэн ойлголтууд

Вектор гэдэг нь ижил урт, чиглэлтэй бүх чиглэсэн сегментүүдийн багц юм.
.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд

1.

Параллелограммын дүрэм:

ХАМТ уммахоёр вектор Тэгээд вектор гэж нэрлэдэг , тэдгээрийн нийтлэг гарал үүсэлтэй бөгөөд векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональ болно Тэгээд хоёр талдаа.

Олон өнцөгт дүрэм:

Дурын тооны векторын нийлбэрийг бүтээхийн тулд та 2-ын эхлэлийг векторын 1-р гишүүний төгсгөлд, 2-ын төгсгөлд - 3-ын эхлэл гэх мэтийг байрлуулах хэрэгтэй. Үр дүнг хаадаг вектор эвдэрсэн шугам, нийлбэр юм. Түүний эхлэл нь 1-ийн эхлэлтэй, төгсгөл нь сүүлчийнхтэй давхцдаг.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

2.

Векторын бүтээгдэхүүн тоо бүрт , нь дараах нөхцлийг хангасан вектор юм.
.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

3.

Ялгаагаарвекторууд Тэгээд вектор гэж нэрлэдэг , векторын нийлбэртэй тэнцүү ба векторын эсрэг талын вектор , өөрөөр хэлбэл
.

- эсрэг элементийн хууль (вектор).

Векторыг суурь болгон задлах

Векторуудын нийлбэрийг өвөрмөц аргаар тодорхойлно
(гэхдээ зөвхөн ). Урвуу үйлдэл, векторыг хэд хэдэн бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задлах нь хоёрдмол утгатай: Үүнийг хоёрдмол утгагүй болгохын тулд тухайн векторыг задлах чиглэлийг зааж өгөх шаардлагатай эсвэл тэдний хэлснээр үүнийг зааж өгөх шаардлагатай. суурь.

Үндэслэлийг тодорхойлохдоо векторуудын уялдаа холбоогүй, харилцан хамааралгүй байх шаардлага зайлшгүй чухал юм. Энэ шаардлагын утгыг ойлгохын тулд векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын тухай ойлголтыг авч үзэх шаардлагатай.

: , хэлбэрийн дурын илэрхийллийг дуудна шугаман хослолвекторууд
.

Хэд хэдэн векторын шугаман хослолыг нэрлэдэг өчүүхэн, хэрэв түүний бүх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү бол.

Векторууд
гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв эдгээр векторуудын утгын бус шугаман хослол тэгтэй тэнцүү байвал:
(1), өгсөн
. Хэрэв тэгш байдал (1) зөвхөн бүгдэд хамаарна
нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү, дараа нь тэг биш векторууд
болно шугаман бие даасан.

Батлахад хялбар: дурын хоёр коллинеар вектор шугаман хамааралтай, дурын хоёр коллинеар бус вектор шугаман хамааралгүй байна..

Эхний мэдэгдлээр нотлох баримтаа эхэлье.

Векторуудыг оруулъя Тэгээд collinear. Тэдгээр нь шугаман хамааралтай болохыг харуулъя. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай бол тэдгээр нь бие биенээсээ зөвхөн тоон хүчин зүйлээр ялгаатай байдаг, өөрөөр хэлбэл.
, тиймээс
. Үүссэн шугаман хослол нь тодорхой бус бөгөөд "0"-тэй тэнцүү тул векторууд Тэгээд шугаман хамааралтай.

Одоо хоёр коллинеар бус векторыг авч үзье Тэгээд . Тэдгээр нь шугаман хамааралгүй гэдгийг баталцгаая. Бид нотлох баримтыг зөрчилдөөнөөр хийдэг.

Тэдгээрийг шугаман хамааралтай гэж үзье. Дараа нь энгийн бус шугаман хослол байх ёстой
. Ингэж жүжиглэе
, Дараа нь
. Үүссэн тэгш байдал нь векторууд гэсэн үг Тэгээд бидний анхны таамаглалаас ялгаатай нь хоорондоо уялдаатай байна.

Үүнтэй адилаар бид нотолж чадна: дурын гурван компланар вектор нь шугаман хамааралтай, дурын хоёр хавтгайраагүй вектор нь шугаман хамааралгүй байна..

Суурийн тухай ойлголт, векторыг тодорхой үндэслэлээр задлах асуудал руу буцаж ирэхэд бид үүнийг хэлж чадна. Хавтгай ба орон зайн суурь нь шугаман бие даасан векторуудын багцаас үүсдэг.Суурь гэдэг энэ ойлголт ерөнхий, учир нь Энэ нь ямар ч хэмжээтэй орон зайд хамаарна.

Ийм илэрхийлэл:
, вектор задрал гэж нэрлэдэг вектороор ,…,.

Хэрэв бид гурван хэмжээст орон зайд суурийг авч үзвэл векторын задрал үндсэн дээр
болно
, Хаана
-вектор координат.

Дурын векторыг тодорхой үндэслэлээр задлах асуудалд энэ нь маш чухал юм дараах мэдэгдэл: дурын векторөгөгдсөн үндсэн дээр өвөрмөц байдлаар өргөжүүлж болно
. Өөрөөр хэлбэл координатууд
ямар ч векторын хувьд суурьтай харьцуулахад
хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог.

Сансар огторгуй болон хавтгайд суурийг нэвтрүүлэх нь вектор бүрийг хуваарилах боломжийг бидэнд олгодог захиалгат гурвалсан (хос) тоонууд - түүний координатууд. Геометрийн объектууд болон тоонуудын хоорондын холбоог тогтоох боломжийг олгодог энэхүү маш чухал үр дүн нь физик объектуудын байрлал, хөдөлгөөнийг аналитик байдлаар дүрслэх, судлах боломжийг олгодог.

Цэг ба суурийн олонлогийг нэрлэдэг координатын систем.

Хэрэв суурийг бүрдүүлж буй векторууд нь нэгж ба хос перпендикуляр байвал координатын системийг гэнэ. тэгш өнцөгт,ба үндэс ортонормаль.

L. 2-2 Векторуудын бүтээгдэхүүн

Векторыг суурь болгон задлах

Векторыг авч үзье
, түүний координатаар өгөгдсөн:
.

- вектор бүрэлдэхүүн хэсгүүд суурь векторуудын чиглэлийн дагуу
.

Маягтын илэрхийлэл
вектор задрал гэж нэрлэдэг үндсэн дээр
.

Үүнтэй адил аргаар бид задарч болно үндсэн дээр
вектор
:

.

Харж байгаа векторын үүсгэсэн өнцгийн косинусууд суурь векторуудтай
гэж нэрлэдэг чиглэлийн косинусууд

;
;
.

Векторуудын цэгийн үржвэр.

Хоёр векторын цэгийн үржвэр Тэгээд нь эдгээр векторуудын модулиудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинустай тэнцүү тоо юм

Хоёр векторын скаляр үржвэрийг эдгээр векторуудын аль нэгнийх нь модуль ба нөгөө векторын эхнийх рүү чиглэсэн ортогональ проекцын үржвэр гэж үзэж болно.
.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Хэрэв векторуудын координат нь мэдэгдэж байгаа бол
Тэгээд
, дараа нь векторуудыг суурь болгон задалсан
:
Тэгээд
, олъё

, учир нь
,
, Тэр

.

.

Векторууд перпендикуляр байх нөхцөл:
.

Ректоруудын уялдаа холбоотой байх нөхцөл:
.

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн

эсвэл

Вектороор вектор бүтээгдэхүүн вектор руу ийм вектор гэж нэрлэдэг
, нөхцөлийг хангасан:

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Алгебрийн шинж чанарууд нь аналитик илэрхийлэлийг олох боломжийг олгодог вектор бүтээгдэхүүнортонормаль суурь дахь бүрэлдэхүүн векторуудын координатаар дамжуулан.

Өгөгдсөн:
Тэгээд
.

учир нь ,
,
,
,
,
,
, Тэр

. Энэ томьёог гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч хэлбэрээр илүү товч бичиж болно.

.

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн ,Тэгээд вектор үржвэртэй тэнцүү тоо юм
, скалярыг вектороор үржүүлсэн .

Дараах тэгш байдал нь үнэн юм.
, тиймээс холимог бүтээгдэхүүн бичигдсэн байна
.

Тодорхойлолтоос харахад гурван векторын холимог үржвэрийн үр дүн нь тоо юм. Энэ тоо нь тодорхой геометрийн утгатай:

Холимог бүтээгдэхүүний модуль
нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү ,Тэгээд .

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:

Хэрэв векторууд ,,ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон
түүний координатаар холимог бүтээгдэхүүнийг томъёогоор тооцоолно

.

Үнэхээр, хэрэв
, Тэр

;
;
, Дараа нь
.

Хэрэв векторууд ,,копланар, дараа нь вектор үржвэр болно
векторт перпендикуляр . Мөн эсрэгээр, хэрэв
, тэгвэл параллелепипедийн эзэлхүүн тэг байх ба энэ нь векторууд хоорондоо уялдаатай (шугаман хамааралтай) байвал л боломжтой.

Иймээс гурван вектор нь холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л копланар болно.

Вектор тооцоолол ба түүний хэрэглээнд их ач холбогдолөгөгдсөн векторыг өгөгдсөн бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэгддэг хэд хэдэн векторын нийлбэрээр илэрхийлэх задралын даалгавартай.

вектор. Ерөнхийдөө хязгааргүй олон шийдэлтэй энэ асуудал нь бүрэлдэхүүн векторуудын зарим элементийг зааж өгвөл бүрэн тодорхойлогддог.

2. задралын жишээ.

Хэд хэдэн нийтлэг задралын тохиолдлыг авч үзье.

1. Өгөгдсөн в векторыг хоёр бүрэлдэхүүн вектор болгон задлах, тэдгээрийн нэг нь, жишээ нь a, хэмжээ болон чиглэлд өгөгдсөн.

Асуудал нь хоёр векторын ялгааг тодорхойлоход ирдэг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв векторууд нь в векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бол тэгш байдал хангагдсан байх ёстой

Эндээс хоёр дахь бүрэлдэхүүн хэсгийн векторыг тодорхойлно

2. Өгөгдсөн в векторыг хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг болгон задлах ба тэдгээрийн нэг нь өгөгдсөн хавтгайд, хоёр дахь нь өгөгдсөн а шулуун дээр байх ёстой.

Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн векторуудыг тодорхойлохын тулд бид в векторыг хөдөлгөж, түүний эхлэл нь өгөгдсөн шулуун шугамын хавтгайтай огтлолцох цэгтэй давхцдаг (O цэг - 18-р зургийг үз). в векторын төгсгөлөөс (цэг C) бид шулуун шугамыг зурна

хавтгайтай огтлолцох (B нь огтлолцох цэг), дараа нь С цэгээс бид параллель шулуун шугамыг зурна.

ба векторууд нь хүссэн хүмүүс байх болно, өөрөөр хэлбэл a шулуун ба хавтгай параллель биш бол заасан тэлэлт нь мэдээжийн хэрэг болно.

3. a, b, c гэсэн гурван копланар вектор өгөгдсөн бөгөөд векторууд нь коллинеар биш байна. c векторыг вектор болгон задлах шаардлагатай

Өгөгдсөн гурван векторыг бүгдийг нь нэг O цэгт аваачъя. Дараа нь тэдгээрийн давхцлын улмаас тэдгээр нь нэг хавтгайд байрлана. Энэ в векторыг диагональ болгон ашигласнаар талууд нь векторуудын үйлчлэлийн шугамтай параллель байх параллелограммыг байгуулна (Зураг 19). Энэ бүтэц нь үргэлж боломжтой (векторууд нь хоорондоо уялдаатай биш бол) бөгөөд өвөрмөц байдаг. Зураг дээрээс. 19 гэдэг нь ойлгомжтой

Орон зайн үндэсТэд орон зай дахь бусад бүх векторуудыг суурьт багтсан векторуудын шугаман хослолоор төлөөлдөг ийм векторын систем гэж нэрлэдэг.
Практикт энэ бүгдийг маш энгийнээр хэрэгжүүлдэг. Дүрмээр бол суурь нь хавтгай эсвэл орон зайд шалгагддаг бөгөөд үүний тулд та вектор координатаас бүрдсэн хоёр дахь, гурав дахь эрэмбийн матрицын тодорхойлогчийг олох хэрэгтэй. Доорх нь схемийн дагуу бичигдсэн болно векторууд суурь болох нөхцөл

руу b векторыг суурь вектор болгон өргөжүүлэх
e,e...,e[n] векторуудын шугаман хослол нь e,e...,e[n]-тэй тэнцүү байх x, ..., x[n] коэффициентүүдийг олох шаардлагатай. вектор б:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Үүнийг хийхийн тулд векторын тэгшитгэлийг систем рүү хөрвүүлэх хэрэгтэй шугаман тэгшитгэлмөн шийдлийг олох. Үүнийг хэрэгжүүлэхэд бас маш энгийн.
Олдсон x, ..., x[n] коэффициентүүдийг дуудна суурь дахь в векторын координатууд e,e...,e[n].
Сэдвийн практик тал руугаа явцгаая.

Векторыг суурь вектор болгон задлах

Даалгавар 1. a1, a2 векторууд хавтгайд суурь болж байгаа эсэхийг шалгана уу

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Шийдэл: Векторуудын координатаас тодорхойлогчийг зохиож, тооцоолно

Тодорхойлогч нь тэг биш юм, тиймээс векторууд нь шугаман хамааралгүй бөгөөд энэ нь суурь болдог гэсэн үг.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Шийдэл: Векторуудаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолно

Тодорхойлогч нь 13-тай тэнцүү (тэгтэй тэнцүү биш) - үүнээс үзэхэд a1, a2 векторууд нь хавтгай дээрх суурь болно.

---=================---

Ингээд авч үзье ердийн жишээнүүд"Дээд математик" чиглэлээр MAUP хөтөлбөрөөс.

Даалгавар 2. a1, a2, a3 векторууд нь гурван хэмжээст вектор орон зайн суурь болж байгааг харуулж, b векторыг энэ суурийн дагуу тэлэх (шугаман системийг шийдвэрлэх үед). алгебрийн тэгшитгэлКрамерын аргыг ашиглах).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Шийдэл: Эхлээд a1, a2, a3 векторуудын системийг авч үзээд А матрицын тодорхойлогчийг шалга.

тэг биш векторууд дээр бүтээгдсэн. Матриц нь нэг тэг элементийг агуулж байгаа тул тодорхойлогчийг эхний багана эсвэл гуравдугаар эгнээнд хуваарь болгон тооцоолох нь илүү тохиромжтой.

Тооцооллын үр дүнд бид тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай болохыг олж мэдсэн a1, a2, a3 векторууд шугаман бие даасан байна.
Тодорхойлолтоор векторууд R3-д суурь болдог. Үүнд үндэслэн b векторын хуваарийг бичье

Харгалзах координатууд нь тэнцүү байх үед векторууд тэнцүү байна.
Тиймээс вектор тэгшитгэлээс бид шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авна

SLAE-г шийдье Крамерын арга. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг хэлбэрээр бичнэ

SLAE-ийн гол тодорхойлогч нь суурь векторуудаас бүрдэх тодорхойлогчтой үргэлж тэнцүү байна

Тиймээс практик дээр үүнийг хоёр удаа тооцдоггүй. Туслах тодорхойлогчийг олохын тулд бид үндсэн тодорхойлогчийн багана бүрийн оронд чөлөөт нэр томъёоны баганыг тавьдаг. Тодорхойлогчдыг гурвалжингийн дүрмийг ашиглан тооцоолно



Олдсон тодорхойлогчдыг Крамерийн томьёонд орлуулъя



Тэгэхээр b векторыг суурийн хувьд тэлэх нь b=-4a1+3a2-a3 хэлбэртэй байна. a1, a2, a3 суурийн b векторын координатууд (-4,3, 1) байна.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Шийдэл: Бид векторуудыг үндэс болгон шалгадаг - бид векторуудын координатаас тодорхойлогчийг бүрдүүлж, тооцоолдог.

Тиймээс тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш юм векторууд орон зайд суурь болдог. Энэ үндэслэлээр b векторын хуваарийг олох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид вектор тэгшитгэлийг бичнэ

шугаман тэгшитгэлийн системд хувиргана

Үүнийг бичээд үзье матрицын тэгшитгэл

Дараа нь Крамерын томъёоны хувьд бид туслах тодорхойлогчдыг олдог



Бид Крамерын томъёог ашигладаг



Өгөгдсөн b вектор нь b=-2a1+5a3 хоёр суурь вектороор дамжих графиктай ба түүний суурийн координат нь b(-2,0, 5)-тай тэнцүү байна.