Векторуудын шугаман бие даасан байдлын тэмдэг. Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторууд
Векторуудын систем шугаман хамааралтай эсэхийг шалгахын тулд эдгээр векторуудын шугаман хослолыг зохиож, ядаж нэг коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байвал тэг байж болох эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Тохиолдол 1. Векторуудын системийг вектороор өгөгдсөн
Шугаман хослол хийх
Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг олж авлаа. Хэрэв энэ нь тэгээс өөр шийдэлтэй бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Тодорхойлогчийг зохиож утгыг нь олъё.
Тодорхойлогч нь тэг тул векторууд нь шугаман хамааралтай байна.
Тохиолдол 2. Векторын системийг аналитик функцээр тодорхойлно.
а) 
, хэрэв таних тэмдэг нь үнэн бол систем нь шугаман хамааралтай байна.
Шугаман хослол хийцгээе.
Энэ илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байх a, b, c (ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш) байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Гипербол функцуудыг бичье
,
, Дараа нь
тэгвэл векторуудын шугаман хослол дараах хэлбэртэй болно.
Хаана 
, жишээ нь авч үзвэл шугаман хослол тэг байх тул систем нь шугаман хамааралтай байна.
Хариулт: систем нь шугаман хамааралтай.
б) 
, шугаман хослол хийцгээе
Векторуудын шугаман хослол нь x-ийн аль ч утгын хувьд тэгтэй тэнцүү байх ёстой.
Онцгой тохиолдлууд байгаа эсэхийг шалгацгаая.
Бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байвал векторуудын шугаман хослол тэгтэй тэнцүү байна.
Тиймээс систем нь шугаман бие даасан байна.
Хариулт: систем нь шугаман бие даасан байна.
5.3. Зарим үндэслэлийг олж, шугаман шийдлийн орон зайн хэмжээг тодорхойл.
Өргөтгөсөн матриц үүсгэж, Гауссын аргыг ашиглан трапецын хэлбэрт оруулъя.
Зарим үндэслэлийг олж авахын тулд дурын утгыг орлъё:
Үлдсэн координатуудыг авч үзье
Хариулт: 
5.4. Суурь дээрх X векторын координатыг суурьт өгөгдсөн бол ол.
Векторын координатыг шинэ үндэслэлээр олох нь тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хүргэдэг
Арга 1. Шилжилтийн матрицыг ашиглан олох
Шилжилтийн матрицыг үүсгэцгээе
Томъёог ашиглан шинэ суурь дахь векторыг олъё
Урвуу матрицыг олоод үржүүлэх үйлдлийг хийцгээе
, 
Арга 2. Тэгшитгэлийн системийг зохиох замаар олох.
Суурь коэффициентуудаас суурь векторуудыг байгуулъя 
,
,
Шинэ суурь дахь векторыг олох нь хэлбэртэй байна
, Хаана гЭнэ нь өгөгдсөн вектор юм x.
Үүссэн тэгшитгэлийг ямар ч аргаар шийдэж болно, хариулт нь ижил төстэй байх болно.
Хариулт: шинэ суурь дахь вектор 
.
5.5. x = байг (x 1 , x 2 , x 3 ) . Дараах өөрчлөлтүүд шугаман байна уу?
Өгөгдсөн векторуудын коэффициентээс шугаман операторуудын матрицыг зохиоё.
Шугаман оператор матриц бүрийн шугаман үйлдлийн шинж чанарыг шалгая.
Бид матрицыг үржүүлэх замаар зүүн талыг олно Авектор руу
Өгөгдсөн векторыг скаляраар үржүүлснээр бид баруун талыг олно 
.
Бид үүнийг харж байна 
Энэ нь хувиргалт нь шугаман биш гэсэн үг юм.
Бусад векторуудыг шалгацгаая.
, хувиргалт нь шугаман биш юм.
, хувиргалт нь шугаман байна.
Хариулт: Өө- Үгүй шугаман хувиргалт, онд- шугаман биш, Cx- шугаман.
Анхаарна уу.Өгөгдсөн векторуудыг анхааралтай ажигласнаар та энэ ажлыг илүү хялбар хийж чадна. IN Өөэлемент агуулаагүй нэр томъёо байгааг бид харж байна X, энэ нь шугаман үйлдлийн үр дүнд олж авч чадаагүй. IN ондэлемент байдаг XГуравдахь зэрэглэлийг вектороор үржүүлэх замаар олж авах боломжгүй юм X.
5.6. Өгсөн x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Сүх = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } . Заасан үйлдлийг гүйцэтгэнэ: ( А ( Б – А )) x .
Шугаман операторуудын матрицуудыг бичье.
Матрицууд дээр үйлдэл хийцгээе 
Үүссэн матрицыг X-ээр үржүүлэхэд бид олж авна
Хариулт: 
Вектор систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, наад зах нь нэг нь тэгээс ялгаатай тоо байгаа бол тэгш байдал https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=" ">.
Хэрэв энэ тэгш байдал нь зөвхөн бүх тохиолдолд л хангагдвал векторын системийг дуудна шугаман бие даасан.
Теорем.Вектор систем болно шугаман хамааралтайХэрэв түүний векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байвал.
Жишээ 1.Олон гишүүнт 
олон гишүүнтийн шугаман хослол https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Олон гишүүнтүүд нь шугаман бие даасан системийг бүрдүүлдэг. олон гишүүнт https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Жишээ 2.Матрицын систем, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> нь шугаман хамааралгүй, учир нь шугаман хослол нь дараахтай тэнцүү байна. Тэг матриц зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text тохиолдолд л байна. /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> шугаман хамааралтай.
Шийдэл.
Эдгээр векторуудын шугаман хослолыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" өндөр = "22">.
Тэнцүү векторуудын ижил координатыг тэгшитгэснээр бид https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">г авна.
Эцэст нь бид авдаг
Тэгээд
Систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тул эдгээр векторуудын шугаман хослол нь бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү байна. Тийм ч учраас энэ системвекторууд нь шугаман бие даасан байна.
Жишээ 4.Векторууд нь шугаман бие даасан байна. Вектор системүүд ямар байх вэ?
a).
;
б).
?
Шийдэл.
a).Шугаман хослол хийж, тэгтэй тэнцүүлье
Шугаман орон зай дахь векторуудтай үйлдлийн шинж чанаруудыг ашиглан бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичдэг
Векторууд нь шугаман хамааралгүй тул at коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл..gif" width="12" height="23 src=">
Үүссэн тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг 
.
Тэгш эрхээс хойш (*) зөвхөн https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - шугаман хамааралгүй үед л гүйцэтгэгддэг;
б).Тэгш тэгш байдлыг хийцгээе https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар бид олж авна
Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид олж авна
эсвэл
Сүүлчийн систем нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй байдаг https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Иймээс бус байдаг. тэгш байдлыг хангасан коэффициентүүдийн тэг багц (**)
. Тиймээс векторуудын систем - шугаман хамааралтай.
Жишээ 5Векторуудын систем нь шугаман хамааралгүй, векторуудын систем нь шугаман хамааралтай..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Тэгш байдлаар (***) . Үнэн хэрэгтээ, үед систем нь шугаман хамааралтай байх болно.
Харилцаанаас (***)
бид авдаг 
эсвэл 
гэж тэмдэглэе 
.
Бид авдаг 
Даалгаврууд бие даасан шийдвэр(үзэгчид)
1. Тэг вектор агуулсан систем нь шугаман хамааралтай.
2. Нэг вектороос бүрдэх систем А, шугаман хамааралтай, хэрэв зөвхөн, хэрэв, a=0.
3. Хоёр вектороос бүрдэх систем нь зөвхөн векторууд пропорциональ байвал (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөөгөөс нь тоогоор үржүүлээд гаргавал) шугаман хамааралтай болно.
4. Хэрэв та шугаман хамааралтай системд вектор нэмбэл шугаман хамааралтай систем гарч ирнэ.
5. Хэрэв шугаман бие даасан системээс векторыг хасвал үүссэн векторуудын систем нь шугаман бие даасан байна.
6. Хэрэв систем Сшугаман хамааралгүй боловч вектор нэмэхэд шугаман хамааралтай болдог б, дараа нь вектор бсистемийн вектороор шугаман хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ С.
в).Хоёрдугаар эрэмбийн матрицуудын орон зайд , , матрицын систем.
10. Векторуудын системийг үзье а,б,ввектор орон зай нь шугаман хамааралгүй. Дараах вектор системийн шугаман бие даасан байдлыг батал.
a).a+б, б, в.
б).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" өргөн "15" өндөр "19">–дурын тоо
в).a+b, a+c, b+c.
11. Болъё а,б,в– гурвалжин үүсгэж болох хавтгай дээрх гурван вектор. Эдгээр векторууд шугаман хамааралтай байх уу?
12. Хоёр вектор өгөгдсөн a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Дөрвөн хэмжээст хоёр векторыг ол a3 баa4Ингэснээр систем a1,a2,a3,a4шугаман бие даасан байсан .
Векторууд, тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрийн үйл ажиллагаа
Вектор, вектортой үйлдэл, шугаман вектор орон зай.
Векторууд нь хязгаарлагдмал тооны бодит тоонуудын дараалсан цуглуулга юм.
Үйлдлүүд: 1.Векторыг тоогоор үржүүлэх: lambda*вектор x=(lambda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. Вектор нэмэх (ижил вектор орон зайд хамаарах) вектор х + вектор у = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Вектор 0=(0,0…0)---n E n – n хэмжээст (шугаман орон зай) вектор x + вектор 0 = вектор х
Теорем. n хэмжээст шугаман орон зай болох n векторын систем шугаман хамааралтай байхын тулд векторуудын аль нэг нь бусдын шугаман хослол байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Теорем. Үзэгдлийн n хэмжээст шугаман орон зайн n+ 1-р векторын дурын олонлог. шугаман хамааралтай.
Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх. Векторуудыг хасах.
Хоёр векторын нийлбэр нь эхлэл нь векторын төгсгөлтэй давхцаж байвал векторын эхлэлээс төгсгөл хүртэл чиглэсэн вектор юм. Хэрэв векторуудыг суурь нэгж векторуудад өргөтгөлөөр нь өгөгдсөн бол векторуудыг нэмэхэд тэдгээрийн харгалзах координатуудыг нэмнэ.
Үүнийг декартын координатын системийн жишээн дээр авч үзье. Болъё
Үүнийг харуулъя
Зураг 3-аас харахад энэ нь тодорхой байна 
Дурын хязгаарлагдмал тооны векторуудын нийлбэрийг олон өнцөгт дүрмийг ашиглан олж болно (Зураг 4): хязгаарлагдмал тооны векторын нийлбэрийг байгуулахын тулд дараагийн вектор бүрийн эхлэлийг өмнөх векторын төгсгөлтэй нэгтгэхэд хангалттай. эхний векторын эхлэлийг сүүлчийн векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг байгуулна.
Вектор нэмэх үйлдлийн шинж чанарууд:
Эдгээр илэрхийлэлд m, n нь тоонууд юм.
Векторуудын ялгааг вектор гэж нэрлэдэг Хоёр дахь гишүүн нь векторын эсрэг чиглэлтэй боловч урттай тэнцүү байна.
Тиймээс векторуудыг хасах үйлдлийг нэмэх үйлдлээр солино
Эхлэл нь А цэгт төгсгөл нь (x1, y1, z1) байх векторыг А цэгийн радиус вектор гэж нэрлээд энгийнээр тэмдэглэнэ. Түүний координатууд нь А цэгийн координатуудтай давхцаж байгаа тул нэгж вектор дахь тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.
A(x1, y1, z1) цэгээс эхэлж B(x2, y2, z2) цэгт төгсдөг векторыг дараах байдлаар бичиж болно. 
энд r 2 нь В цэгийн радиус вектор; r 1 - А цэгийн радиус вектор.
Тиймээс нэгж вектор дахь векторын тэлэлт нь хэлбэртэй байна
Түүний урт нь А ба В цэгүүдийн хоорондох зайтай тэнцүү байна
ҮРЖҮҮЛЭХ
Тэгэхлээр хавтгайн бодлогын хувьд векторын a = (ax; ay) үржвэрийг b тоогоор томъёогоор олно.
a b = (ax b; ay b)
Жишээ 1. a = (1; 2) векторын үржвэрийг 3-аар ол.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
Тэгэхээр орон зайн бодлогын хувьд a = (ax; ay; az) векторын b тооны үржвэрийг томъёогоор олно.
a b = (ax b; ay b; az b)
Жишээ 1. a = (1; 2; -5) векторын үржвэрийг 2-оор ол.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Векторуудын цэгийн үржвэр ба 
ба векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна; хэрэв аль нь ч байвал
Скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос харахад ийм байна 
энд жишээ нь векторын чиглэл рүү чиглэсэн векторын проекцын хэмжээ.
Скаляр квадрат вектор:
Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:
Координат дахь цэгийн бүтээгдэхүүн
Хэрэв 
Тэр 
Векторуудын хоорондох өнцөг
Векторуудын хоорондох өнцөг - эдгээр векторуудын чиглэлүүдийн хоорондох өнцөг (хамгийн бага өнцөг).
Хөндлөн бүтээгдэхүүн (Хоёр векторын хөндлөн үржвэр.) -Энэ нь хоёр хүчин зүйлээс үүссэн хавтгайд перпендикуляр псевдовектор бөгөөд энэ нь гурван хэмжээст Евклидийн орон зай дахь векторууд дээр "вектор үржүүлэх" хоёртын үйлдлийн үр дүн юм. Бүтээгдэхүүн нь шилжих ба ассоциатив ч биш (энэ нь коммутацийн эсрэг) бөгөөд векторуудын цэгийн үржвэрээс ялгаатай. Инженерийн болон физикийн олон асуудалд та одоо байгаа хоёр вектортой перпендикуляр вектор байгуулах чадвартай байх хэрэгтэй. вектор бүтээгдэхүүнэнэ боломжийг олгодог. Хөндлөн үржвэр нь векторуудын перпендикуляр байдлыг "хэмжихэд" ашигтай байдаг - хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн урт нь перпендикуляр байвал тэдгээрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байх ба векторууд параллель эсвэл эсрэг параллель байвал тэг болж буурдаг.
Хөндлөн бүтээгдэхүүн нь зөвхөн гурван хэмжээст ба долоон хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог. Скаляр үржвэрийн нэгэн адил вектор бүтээгдэхүүний үр дүн нь Евклидийн орон зайн хэмжигдэхүүнээс хамаарна.
Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координатын систем дэх цэгийн үржвэрийн векторуудын координатыг тооцоолох томъёоноос ялгаатай нь хөндлөн үржвэрийн томъёо нь чиглэлээс хамаарна. тэгш өнцөгт системкоординат буюу өөрөөр хэлбэл түүний "хирал байдал"
Векторуудын коллинеар байдал.
Хоёр тэгээс өөр (0-тэй тэнцүү биш) векторууд зэрэгцээ шулуун дээр эсвэл нэг шулуун дээр хэвтэж байвал тэдгээрийг коллинеар гэж нэрлэдэг. Зөвшөөрөгдөх боловч зөвлөдөггүй синоним нь "параллель" векторууд юм. Коллинеар векторууд нь ижил чиглэлтэй ("codirectional") эсвэл эсрэг чиглэлтэй байж болно (сүүлийн тохиолдолд тэдгээрийг заримдаа "антиколлинеар" эсвэл "эсрэг параллель" гэж нэрлэдэг).
Векторуудын холимог үржвэр( a, b, c)- а векторын скаляр үржвэр ба b ба в векторуудын вектор үржвэр:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
заримдаа гурвалсан гэж нэрлэдэг скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд нь үр дүн нь скаляр (илүү нарийвчлалтай, псевдоскаляр) байдагтай холбоотой.
Геометрийн утга: Холимог бүтээгдэхүүний модуль нь векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тоогоор тэнцүү байна. (a,b,c) .
Үл хөдлөх хөрөнгө
Холимог бүтээгдэхүүн нь бүх аргументуудын хувьд хазайлттай тэгш хэмтэй байдаг: i.e. e. дурын хоёр хүчин зүйлийг дахин зохион байгуулах нь бүтээгдэхүүний тэмдгийг өөрчилдөг. Эндээс үзэхэд зөв декартын координатын систем дэх холимог үржвэр (ортонормаль суурь) нь векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү ба:
Зүүн декартын координатын систем дэх холимог бүтээгдэхүүн (ортонормаль суурь) нь векторуудаас бүрдэх матрицын тодорхойлогчтой тэнцүү бөгөөд хасах тэмдгээр авсан:
Тухайлбал,
Хэрэв аль нэг хоёр вектор параллель байвал гуравдахь вектортой бол тэгтэй тэнцүү холимог үржвэрийг үүсгэдэг.
Хэрэв гурван вектор шугаман хамааралтай бол (өөрөөр хэлбэл, нэг хавтгайд хэвтэж байгаа) тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.
Геометрийн утга - Холимог бүтээгдэхүүн нь үнэмлэхүй утгаараа параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна (зураг харна уу) векторууд ба үүсгэсэн; тэмдэг нь энэ гурвалсан векторууд баруун гартай эсвэл зүүн гартай эсэхээс хамаарна.
Векторуудын харьцуулалт.
Гурван (эсвэл түүнээс дээш) векторыг нийтлэг гарал үүслээр бууруулснаар нэг хавтгайд оршдог бол тэдгээрийг копланар гэж нэрлэдэг.
Хавсарсан байдлын шинж чанарууд
Хэрэв гурван векторын ядаж нэг нь тэг байвал гурван векторыг мөн ижил хавтгай гэж үзнэ.
Хос коллинеар вектор агуулсан гурвалсан векторууд нь coplanar байна.
Компланар векторуудын холимог үржвэр. Энэ нь гурван векторын давхцах шалгуур юм.
Хавсарсан векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг. Энэ нь мөн адил тэгш байдлын шалгуур юм.
3 хэмжээст орон зайд 3 хосгүй вектор суурь болдог
Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторууд.
Шугаман хамааралтай ба бие даасан системүүдвекторууд.Тодорхойлолт. Вектор систем гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай, хэрэв тэг вектортой тэнцүү эдгээр векторуудын ядаж нэг чухал бус шугаман хослол байвал. Үгүй бол, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв зөвхөн өгөгдсөн векторуудын өчүүхэн шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү бол векторуудыг дуудна шугаман бие даасан.
Теорем (шугаман хамаарлын шалгуур). Шугаман орон зай дахь векторуудын систем шугаман хамааралтай байхын тулд эдгээр векторуудын ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.
1) Хэрэв векторуудын дунд дор хаяж нэг тэг вектор байгаа бол векторын систем бүхэлдээ шугаман хамааралтай байна.
Үнэн хэрэгтээ, жишээ нь, бол , тэгвэл бид энгийн бус шугаман хослол байна.▲
2) Хэрэв векторуудын зарим нь шугаман хамааралтай систем үүсгэдэг бол бүхэл систем нь шугаман хамааралтай байна.
Үнэхээр , , векторууд шугаман хамааралтай байг. Энэ нь тэг вектортой тэнцэх утгын бус шугаман хослол байна гэсэн үг. Харин дараа нь таамаглаж байна 
, бид мөн тэг вектортой тэнцүү чухал бус шугаман хослолыг олж авдаг.
2. Суурь ба хэмжээс. Тодорхойлолт. Шугаман бие даасан векторуудын систем 
вектор орон зай гэж нэрлэдэг суурьЭнэ зайны аль нэг векторыг энэ системийн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болох юм бол, өөрөөр хэлбэл. вектор бүрийн хувьд бодит тоонууд байдаг 
тэгш байдлыг хангахын тулд энэ тэгш байдлыг нэрлэдэг вектор задралүндсэн болон тоонуудын дагуу гэж нэрлэдэг суурьтай харьцуулахад векторын координатууд(эсвэл үндсэн дээр) .
Теорем (суурьтай харьцуулахад тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай). Сансар дахь вектор бүрийг суурь болгон өргөжүүлж болно цорын ганц арга замаар, өөрөөр хэлбэл. суурь дахь вектор бүрийн координат хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлогддог.
Тодорхойлолт. Векторуудын шугаман хослол a 1 , ..., a n коэффициенттэй x 1 , ..., x n-ийг вектор гэнэ.
x 1 a 1 + ... + x n a n .
өчүүхэн, хэрэв бүх x 1 , ..., x n коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү бол.
Тодорхойлолт. x 1 a 1 + ... + x n a n шугаман хослолыг нэрлэнэ өчүүхэн бус, x 1, ..., x n коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол.
шугаман бие даасан, хэрэв эдгээр векторуудын өчүүхэн бус хослол байхгүй бол тэнцүү байна тэг вектор.
Өөрөөр хэлбэл, x 1 a 1 + ... + x n a n = 0, зөвхөн x 1 = 0, ..., x n = 0 тохиолдолд a 1, ..., a n векторууд шугаман хамааралгүй байна.
Тодорхойлолт. a 1, ..., a n векторуудыг дуудна шугаман хамааралтай, хэрэв эдгээр векторуудын өчүүхэн бус хослол байвал тэнцүү байна тэг вектор.
Шугаман хамааралтай векторуудын шинж чанарууд:
n хэмжээст векторуудын хувьд.
n + 1 векторууд үргэлж шугаман хамааралтай байдаг.
2 ба 3 хэмжээст векторуудын хувьд.
Шугаман хамааралтай хоёр вектор нь коллинеар байна. (Коллинеар векторууд нь шугаман хамааралтай байдаг.)
3 хэмжээст векторуудын хувьд.
Гурван шугаман хамааралтай векторууд хоорондоо уялдаатай байна. (Гурван coplanar вектор нь шугаман хамааралтай.)
Векторуудын шугаман хамаарал ба шугаман бие даасан байдлын талаархи асуудлын жишээ:
Жишээ 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгана уу. .
Шийдэл:
Векторуудын хэмжээ нь векторуудын тооноос бага тул векторууд нь шугаман хамааралтай байх болно.
Жишээ 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалга.
Шийдэл:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах; Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Энэхүү шийдэл нь систем нь олон шийдлүүдтэй болохыг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл, x 1, x 2, x 3 тоонуудын утгуудын тэгээс ялгаатай хослол байдаг тул a, b, c векторуудын шугаман хослол нь тэнцүү байна. тэг вектор, жишээ нь:
A + b + c = 0
Энэ нь a, b, c векторууд шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.
Хариулт: a, b, c векторууд шугаман хамааралтай байна.
Жишээ 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) векторууд шугаман хамааралгүй эсэхийг шалгана уу.
Шийдэл:Эдгээр векторуудын шугаман хослол нь тэг вектортой тэнцүү байх коэффициентуудын утгыг олъё.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Энэ вектор тэгшитгэлийг систем хэлбэрээр бичиж болно шугаман тэгшитгэл
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Энэ системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдье
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасах; Гурав дахь мөрөөс эхнийхийг хасна:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
эхний мөрөөс хоёр дахь хэсгийг хасах; Гурав дахь мөрөнд секунд нэмнэ.
