Тусгай баруун гар талтай нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) тогтмол коэффициенттэй (PC) шийдвэрлэх үндэс.

$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн CLDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй бөгөөд $f\left( x \right)$ нь тасралтгүй функц юм.

Дараах хоёр мэдэгдэл нь PC-тэй 2-р LNDE-ийн хувьд үнэн юм.

Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын тодорхой шийдэл гэж үзье. Зарим $Y$ функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (OR) гэж үзье. Дараа нь OR -ийн LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.

Хэрэв 2-р эрэмбийн LIDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+...+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь эхлээд $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ тус бүрд тохирох PD-г олох боломжтой. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функцүүдийн дарааллыг бичнэ. LNDE-2 PD $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LNDE-ийн шийдэл

Өгөгдсөн LNDE-2-ын нэг буюу өөр PD $U$ хэлбэр нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. LNDE-2-ийн PD хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмээр томъёолсон болно.

Дүрмийн дугаар 1.

Баруун хэсэг LNDE-2 нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл $ зэрэгтэй олон гишүүнт гэнэ. n$. Дараа нь түүний PR $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил хэмжээний олон гишүүнт ба $r$ нь язгуурын тоо юм. шинж чанарын тэгшитгэл LODU-2-д тохирох, тэгтэй тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн (NC) аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 2.

LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NK аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 3.

LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\бета $ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайна. )\right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг NDT аргаар олно.

Дүрмийн дугаар 4.

LNDE-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайна, энд $Q_(s) \left(x\right) $ ба $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнтүүд, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NK аргаар олно.

NDT арга нь хэрэглэхээс бүрдэнэ дараагийн дүрэм. LNDE-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд багтсан олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

гэж бичсэн PD $U$-г орлуулна ерөнхий үзэл, in зүүн тал LNDU-2;
LNDE-2-ын зүүн талд, хялбаршуулсан болон бүлгийн нөхцлүүдийг ижил хүчээр гүйцэтгэх $x$;
үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
үүссэн системийг шийднэ шугаман тэгшитгэлүл мэдэгдэх коэффициентүүдийн хувьд.

Жишээ 1

Даалгавар: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $-г ол. Мөн олох. $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн анхны нөхцлүүдийг хангасан PR.

Харгалзах LODA-2-г бичнэ үү: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Онцлог тэгшитгэлийн үндэс: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой юм. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Энэхүү LNDE-2-ын баруун хэсэг нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ илтгэгчийн илтгэгчийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Тиймээс энэхүү LNDE-2-ын PR нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.

Бид NK аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.

Бид CR-ийн анхны деривативыг олно:

$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид CR-ийн хоёр дахь деривативыг олно.

$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Өгөгдсөн LNDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Үүний зэрэгцээ $e^(3\cdot x) $ илтгэгч багтсан болно. бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хүчин зүйлийн хувьд үүнийг орхигдуулж болно.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Бид NC аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.

Бидний асуудлын CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Өгөгдсөн анхны нөхцлүүдийг хангасан PD-г хайхын тулд бид $y"$ деривативыг олно OR:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг $x=0$, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна.

$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Бид тэгшитгэлийн системийг авсан:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Бид үүнийг шийддэг. Бид Крамерын томъёог ашиглан $C_(1) $-г олох ба $C_(2) $ нь эхний тэгшитгэлээс тодорхойлогдоно.

$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right). )\cdot e^(3\cdot x) $.

Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлтогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь дараалал

Ерөнхий шийдлийн бүтэц

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл энэ төрлийнхарагдаж байна:

хаана х, q− тогтмол тоо (энэ нь бодит ба нийлмэл байж болно). Ийм тэгшитгэл бүрийн хувьд тохирохыг бичиж болно нэгэн төрлийн тэгшитгэл:

Теорем: Ерөнхий шийдэл нь тийм биш нэгэн төрлийн тэгшитгэлерөнхий шийдлийн нийлбэр юм y 0 (x) харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба тодорхой шийдэл y 1 (x) нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн:

Доор бид нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр аргыг авч үзье.

Тогтмол өөрчлөлтийн арга

Хэрвээ нийтлэг шийдвэр yХолбогдох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн 0 нь мэдэгдэж байвал ерөнхий шийдэл болно нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлашиглан олж болно тогтмол өөрчлөлтийн арга. Хоёрдахь эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй байна.

Байнгын оронд C 1 ба C 2 Бид туслах функцуудыг авч үзэх болно C 1 (x) ба C 2 (x). Бид шийдлийг олохын тулд эдгээр функцуудыг хайх болно

баруун гар талтай нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийг хангана е(x). Үл мэдэгдэх онцлог C 1 (x) ба C 2 (x) нь хоёр тэгшитгэлийн системээс тодорхойлогддог.

Тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга

Баруун хэсэг е(x) нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл нь ихэвчлэн олон гишүүнт, экспоненциал эсвэл тригонометрийн функц эсвэл эдгээр функцүүдийн зарим хослол юм. Энэ тохиолдолд ашиглан шийдлийг олох нь илүү тохиромжтой тодорхойгүй коэффициентийн арга. Үүнийг бид онцолж байна энэ аргагэх мэт баруун талд байгаа функцүүдийн зөвхөн хязгаарлагдмал ангиллаар ажилладаг

Аль ч тохиолдолд тодорхой шийдлийн сонголт нь нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун талын бүтэцтэй тохирч байх ёстой. 1-р тохиолдолд, хэрэв тоо α Экспоненциал функц нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууртай давхцаж байвал тухайн шийдэл нь нэмэлт хүчин зүйлийг агуулна. x с, хаана с- язгуурын олон талт байдал α шинж чанарын тэгшитгэлд. 2-р тохиолдолд, хэрэв тоо α + βiшинж чанарын тэгшитгэлийн язгууртай давхцаж байвал тухайн шийдлийн илэрхийлэлд нэмэлт хүчин зүйл орно x. Тодорхой шийдэлд олсон илэрхийллийг анхны нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд орлуулах замаар үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлж болно.

Суперпозиция зарчим

Хэрэв нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь хэмжээмаягтын хэд хэдэн функц

Дараа нь дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь баруун талд байгаа гишүүн бүрийн хувьд тус тусад нь бүтээгдсэн тодорхой шийдүүдийн нийлбэр байх болно.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд y"" + y= нүгэл(2 x).

Шийдэл.

Бид эхлээд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ y"" + y= 0. In Энэ тохиолдолдшинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь зөвхөн төсөөлөлтэй байна:

Иймд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг өгөгдөнө

Нэг төрлийн бус тэгшитгэл рүү дахин орцгооё. Бид түүний шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан. Функцүүд C 1 (x) ба C 2 (x) дараах тэгшитгэлийн системээс олж болно.

Бид деривативыг илэрхийлдэг C 1 " (x) эхний тэгшитгэлээс:

Хоёрдахь тэгшитгэлд орлуулж бид деривативыг олно C 2 " (x):

Тиймээс үүнийг дагадаг

Деривативын илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх C 1 " (x) ба C 2 " (x), бид дараахь зүйлийг авна.

хаана А 1 , А 2 − интеграцийн тогтмолууд. Одоо бид олсон функцуудыг орлуулж байна C 1 (x) ба C 2 (x) томъёонд оруулна y 1 (x) ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бич.

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол y"" + y" −6y = 36x.

Шийдэл.

Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглая. Баруун хэсэг өгөгдсөн тэгшитгэлтөлөөлдөг шугаман функц е(x)= сүх + б. Тиймээс бид тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно

Деривативууд нь:

Үүнийг дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Сүүлийн тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүх хүнд хүчинтэй байдаг x, тиймээс бид нэр томьёоны коэффициентүүдийг ижил чадалтай тэнцүүлж байна xзүүн ба баруун талд:

Үүссэн системээс бид дараахь зүйлийг олж авна. А = −6, Б= −1. Үүний үр дүнд тодорхой шийдэл нь маягт дээр бичигдсэн байдаг

Одоо нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. Туслах шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг тооцоолъё.

Тиймээс харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Тиймээс анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор илэрхийлнэ

DE-ийн ерөнхий интеграл.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Гэхдээ инээдтэй нь хариулт нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа юм: илүү нарийвчлалтай, бид тогтмол нэмэх ёстой: Ерөнхий интеграл нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм.

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга. Шийдлийн жишээ

Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ хичээл нь тухайн сэдвийг аль хэдийн сайн эсвэл бага мэддэг оюутнуудад зориулагдсан болно. Хэрэв та алсын удирдлагатай дөнгөж танилцаж эхэлж байгаа бол, i.e. Хэрэв та цайны хүн бол эхний хичээлээс эхлэхийг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ. Хэрэв та аль хэдийн дуусгаж байгаа бол арга нь хэцүү гэсэн урьдчилсан төсөөллөөс татгалзана уу. Учир нь тэр энгийн нэгэн.

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ямар тохиолдолд ашигладаг вэ?

1) Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE. Тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэрэглэлийн тул тогтмол (тогтмол) нь бас нэг байна.

2) Заримыг шийдэхийн тулд дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашигладаг хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл. Энд хоёр тогтмол (тогтмол) өөрчлөгддөг.

Хичээл нь хоёр догол мөрөөс бүрдэнэ гэж үзэх нь логик юм .... Би энэ саналыг бичиж, 10 орчим минутын турш практик жишээнүүд рүү жигд шилжихийн тулд өөр ямар ухаалаг тэнэглэл нэмэх талаар бодож байлаа. Гэхдээ яагаад ч юм амралтын дараа ямар ч бодол алга, гэхдээ би юу ч буруулаагүй юм шиг санагддаг. Тиймээс эхний догол мөр рүү шууд орцгооё.

Дурын тогтмол өөрчлөлтийн арга шугаман нэг төрлийн бус нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд

Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг авч үзэхээсээ өмнө нийтлэлтэй танилцах нь зүйтэй. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл. Тэр хичээл дээр бид дадлага хийсэн шийдвэрлэх эхний арга 1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус DE. Энэхүү анхны шийдлийг би танд сануулж байна солих аргаэсвэл Бернулли арга(үүнтэй андуурч болохгүй Бернулли тэгшитгэл!!!)

Бид одоо авч үзэх болно шийдвэрлэх хоёр дахь арга– дурын тогтмолыг өөрчлөх арга. Би зөвхөн гурван жишээ хэлье, би дээрх хичээлээс авч үзэх болно. Яагаад ийм цөөхөн гэж? Учир нь үнэн хэрэгтээ хоёр дахь аргын шийдэл нь эхний аргын шийдэлтэй маш төстэй байх болно. Нэмж дурдахад, миний ажигласнаар дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг орлуулах аргыг бодвол бага ашигладаг.

Жишээ 1

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол (Хичээлийн 2-р жишээнээс Диффур 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)

Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус бөгөөд танил хэлбэртэй байна:

Эхний шатанд илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай: Өөрөөр хэлбэл, бид тэнэг байдлаар баруун талыг дахин тохируулсан - оронд нь тэг бичдэг. Миний нэрлэх тэгшитгэл туслах тэгшитгэл.

Энэ жишээнд та дараах туслах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Бидний өмнө салгаж болох тэгшитгэл, үүний шийдэл нь танд хэцүү байхаа больсон гэж найдаж байна:

Иймд: туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Хоёр дахь алхам дээр солихзаримын тогтмол хараахан"x"-ээс хамаарах үл мэдэгдэх функц:

Тиймээс аргын нэр - бид тогтмолыг өөрчилдөг. Эсвэл тогтмол нь одоо олох ёстой зарим функц байж болно.

AT эхнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийг бид орлуулах болно:

Тэгшитгэлд орлуулах:

хяналтын мөч - зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёог цуцална. Хэрэв ийм зүйл болохгүй бол та дээрх алдааг хайх хэрэгтэй.

Орлуулалтын үр дүнд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авна. Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэ.

Ямар их ерөөл вэ, илтгэгчид ч бас багасч байна:

Бид олсон функцэд "хэвийн" тогтмолыг нэмнэ:

Эцсийн шатанд бид орлуулснаа санаж байна:

Функц дөнгөж олдлоо!

Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:

Хариулт:нийтлэг шийдвэр:

Хэрэв та хоёр шийдлийг хэвлэвэл бид хоёр тохиолдолд ижил интеграл олсон гэдгийг та амархан анзаарах болно. Ганц ялгаа нь шийдлийн алгоритмд л байна.

Одоо илүү төвөгтэй зүйл бол би хоёр дахь жишээн дээр тайлбар өгөх болно:

Жишээ 2

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол (Хичээлийн 8-р жишээнээс Диффур). 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE)

Шийдэл:Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулъя.

Баруун талыг тэг болгож, туслах тэгшитгэлийг шийд:

Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэх: Туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид орлуулалтыг хийнэ:

Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

Анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлд орлуулж бичнэ үү:

Зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёо хүчингүй болж, энэ нь бид зөв зам дээр байна гэсэн үг юм:

Бид хэсгүүдээр нэгтгэдэг. Хэсэг хэсгүүдийг нэгтгэх томъёоны амттай үсэг нь шийдэлд аль хэдийн орсон тул бид жишээ нь "a" ба "be" үсгүүдийг ашигладаг.

Эцэст нь:

Одоо орлуулалтыг харцгаая:

Хариулт:нийтлэг шийдвэр:

Дурын тогтмолуудыг өөрчлөх арга шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд тогтмол коэффициенттэй

Хоёрдахь эрэмбийн тэгшитгэлийн дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь тийм ч амар зүйл биш гэсэн санааг олонтаа сонсдог. Гэхдээ би дараахь зүйлийг таамаглаж байна: энэ арга нь тийм ч түгээмэл биш тул олон хүнд хэцүү мэт санагддаг. Гэвч бодит байдал дээр онцгой бэрхшээл байхгүй - шийдвэрийн явц нь тодорхой, ил тод, ойлгомжтой байдаг. Бас үзэсгэлэнтэй.

Энэ аргыг эзэмшихийн тулд баруун талын хэлбэрийн дагуу тодорхой шийдлийг сонгох замаар хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх нь зүйтэй юм. Энэ арганийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн. 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн бус DE. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болохыг бид санаж байна.

Дээрх хичээл дээр авч үзсэн сонголтын арга нь олон гишүүнт, экспонент, синус, косинусууд баруун талд байрлах цөөн тооны тохиолдолд л ажилладаг. Гэхдээ баруун талд, жишээлбэл, бутархай, логарифм, шүргэгч байвал яах вэ? Ийм нөхцөлд тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга нь аврах ажилд ирдэг.

Жишээ 4

Хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол

Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн баруун талд бутархай байгаа тул тодорхой шийдлийг сонгох арга нь ажиллахгүй гэж шууд хэлж болно. Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.

Аадар бороог юу ч илэрхийлдэггүй, шийдлийн эхлэл нь маш энгийн зүйл юм.

Олъё нийтлэг шийдвэрхамааралтай нэгэн төрлийнтэгшитгэл:

Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиож, шийддэг. – коньюгат нийлмэл үндсийг олж авдаг тул ерөнхий шийдэл нь:

Ерөнхий шийдлийн тэмдэглэлд анхаарлаа хандуулаарай - хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү.

Одоо бид эхний эрэмбийн тэгшитгэлтэй бараг ижил трик хийж байна: бид тогтмолуудыг өөрчилдөг, тэдгээрийг үл мэдэгдэх функцээр сольдог. Тэр бол, нэгэн төрлийн бус ерөнхий шийдэлБид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно.

Хаана - харааханүл мэдэгдэх функцууд.

Хогийн цэг шиг харагдаж байна ахуйн хог хаягдал, гэхдээ одоо бүгдийг цэгцэлье.

Функцийн дериватив нь үл мэдэгдэх үүрэг гүйцэтгэдэг. Бидний зорилго бол дериватив олох бөгөөд олсон дериватив нь системийн эхний болон хоёрдугаар тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой.

"Тоглоом" хаанаас гардаг вэ? Өрөвтас тэднийг авчирдаг. Бид өмнө нь олж авсан ерөнхий шийдлийг хараад дараахь зүйлийг бичнэ.

Деривативуудыг олцгооё:

Зүүн талтай харьцсан. Баруун талд юу байна?

нь анхны тэгшитгэлийн баруун тал бөгөөд энэ тохиолдолд:

Энэ өгүүлэл нь тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх асуудлыг илчилсэн болно. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Үл ойлгогдох нэр томъёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын сэдвийг судлах шаардлагатай.

y "" + p y " + q y \u003d f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо бөгөөд одоо байгаа f (x) функц нь x интегралын интервал дээр тасралтгүй .

LIDE-ийн ерөнхий шийдийн теоремын томъёололд шилжье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем

Теорем 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) y = f (x) x интервал дээр тасралтгүй интеграцийн коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь LODE болон зарим нэг тодорхой шийдэл y ~ -д тохирох ерөнхий шийдлийн y 0 нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь y = y 0 + y ~ байна.

Үүнээс үзэхэд ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүлэлд авч үзсэн болно. Үүний дараа y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.

LIDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүнийг хийхийн тулд тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэхэд f (x) = P n (x) , LIDE-ийн тодорхой шийдийг y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёогоор олно. ) x γ , энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~-ийн утга нь тодорхой шийдэл юм y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x) , бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.

Жишээ 1

Коши теоремыг ашиглан y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 гэж тооцоол.

Шийдэл

Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициенттэй хоёрдугаар эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) = нөхцөлийг хангана. 2 , y " (0) = 1 4 .

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y 0 тэгшитгэл эсвэл нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр юм y ~ , өөрөөр хэлбэл y = y 0 + y ~ .

Эхлээд LNDE-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олъё.

y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог

k 2 - 2 к \u003d 0 к (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бид бичдэг

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ ийг олцгооё. Эндээс харахад өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь 2-р зэргийн олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно гэдгийг олж мэднэ

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, энд A, B, C-ийн утгууд байна тодорхойгүй коэффициентүүдийг авна.

Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.

Дараа нь бид үүнийг олж авна:

y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ижил илтгэгчтэй коэффициентийг тэгшитгэвэл бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ бид коэффициентүүдийг олоод бичнэ: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 ба у ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

y (0) = 2 , y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C1болон C2, y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгш байдалд үндэслэн.

Бид үүнийг олж авдаг:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.

Коши теоремыг ашиглавал бидэнд ийм зүйл бий

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба f (x) = P n (x) e a x илтгэгчийн үржвэр хэлбэрээр дүрсэлсэн тохиолдолд эндээс бид хоёр дахь эрэмбийн LIDE-ийн тодорхой шийдийг олж авна. y ~ = e a x Q n ( x) · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.

Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.

Жишээ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэл y = y 0 + y ~ . Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь k1 = 0ба шинж чанарын тэгшитгэлийн дагуу k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.

Энэ нь ойлгомжтой баруун талтэгшитгэлийн x 2 + 1 · e x . Эндээс LNDE-ийг y ~ = e a x Q n (x) x γ -ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) , энэ нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл нь биш юм. 1-тэй тэнцүү үндэстэй байна. Тиймээс бид үүнийг олж авдаг

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C нь үл мэдэгдэх коэффициентүүд бөгөөд y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олно.

Ойлголоо

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Бид ижил коэффициентүүдийн үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C-г олно:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Хариулт: y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 нь LIDE-ийн тодорхой шийдэл бөгөөд y = y 0 + y = гэдгийг харж болно. C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1болон ДАХЬ 1тоонууд бол y ~ = A cos β x + B sin β x x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд A ба B нь тодорхойгүй коэффициент гэж тооцогддог ба r шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат язгуурын тоо, тэнцүү байна. ± i β. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр гүйцэтгэнэ.

Жишээ 3

y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Онцлог тэгшитгэлийн язгуурыг хосолсон хос гэж үзнэ ± 2 i , дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх А ба В коэффициентийг y ~ "" + 4 у ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс хайх болно.

Өөрчилье:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Дараа нь энэ нь харагдаж байна

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.

Хариулт:тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн анхны LIDE-ийн ерөнхий шийдэл гэж үзнэ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) болно. ) cos (β x) x γ Бидэнд r нь α ± i β-тэй тэнцүү, α ± i β-тэй тэнцүү, шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл нийлмэл хос язгууруудын тоо, P n (x) , Q k (x) , L m ( x) ба N м (x) n, k, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох L м (x)болон N м (x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн үйлдвэрлэгддэг.

Жишээ 4

y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Энэ нь нөхцөл байдлаас тодорхой харагдаж байна

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тэгвэл m = m a x (n , k) = 1 байна. Бид эхлээд маягтын шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициент, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс эдгээр коэффициентийг олно.

y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))

Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5) x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Бүх зүйлээс ийм зүйл гарч байна

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)нүгэл (5х))

Хариулт:Одоо өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авлаа.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм

Тодорхойлолт 1

Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг өгдөг:

харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1болон y2Эдгээр нь LODE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. 1-ээсболон 2-оосдурын тогтмол гэж үздэг;
LIDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон хүлээн зөвшөөрөх y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) хэлбэрийн системээр дамжуулан функцийн деривативын тодорхойлолт ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба C 2 (x) интегралаар дамжуулан.

Жишээ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x -ийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Бид өмнө нь y 0 , y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж байна. Бичиж, шийдье:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бичлэг нь y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) хэлбэртэй байна. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)болон C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6) x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 нүгэл (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1 "(x)болон C2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:

C 1 "(x) \u003d - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x нүгэл (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 гэм (6) x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)

Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 х)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Лекц нь LNDE - шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн талаар авч үздэг. Ерөнхий шийдлийн бүтэц, дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргаар LNDE-ийн шийдэл, тогтмол коэффициент бүхий LNDE-ийн шийдэл ба баруун талыг авч үзнэ. онцгой төрөл. Харж буй асуудлуудыг физик, цахилгаан инженерчлэл, электроникийн албадан хэлбэлзлийг судлах, автомат удирдлагын онолд ашигладаг.

1. 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтэц.

Эхлээд дурын дарааллын шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье.

Тэмдэглэгээг харгалзан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Энэ тохиолдолд бид энэ тэгшитгэлийн коэффициент ба баруун тал нь тодорхой интервал дээр тасралтгүй байна гэж үзэх болно.

Теорем. Зарим муж дахь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь түүний аль нэг шийдлийн нийлбэр ба харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.

Баталгаа. Y нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл байг.

Дараа нь энэ шийдлийг анхны тэгшитгэлд орлуулснаар бид ижил төстэй байдлыг олж авна.

Болъё
- үндсэн системШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд
. Дараа нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичиж болно.

Ялангуяа 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ерөнхий шийдлийн бүтэц нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана
нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем ба
- нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдэл.

Тиймээс шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох шаардлагатай бөгөөд ямар нэгэн байдлаар нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олох шаардлагатай. Энэ нь ихэвчлэн сонголтоор олддог. Тодорхой шийдлийг сонгох аргуудыг дараах асуултуудад авч үзэх болно.

2. Хувилбарын арга

Практикт дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэх нь тохиромжтой.

Үүнийг хийхийн тулд эхлээд дараах хэлбэрээр харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Дараа нь коэффициентүүдийг тогтооно C би-аас функцууд X, нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдийг хайж байна:

Функцуудыг олохын тулд үүнийг харуулж болно C би (x) Та тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй:

Жишээ.тэгшитгэлийг шийд

Бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийддэг

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг:

Энэ системийг шийдье:

Энэ хамаарлаас бид функцийг олно Өө).

Одоо бид олдог B(x).

Бид олж авсан утгыг нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулна.

Эцсийн хариулт:

Ерөнхийдөө дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг олоход тохиромжтой. Гэхдээ түүнээс хойш Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг олох нь нэлээд хэцүү ажил байж болох тул энэ аргыг ихэвчлэн тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд ашигладаг.

3. Тусгай хэлбэрийн баруун талтай тэгшитгэлүүд

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун талын хэлбэрээс хамаарч тодорхой шийдлийн хэлбэрийг төлөөлөх боломжтой юм шиг санагддаг.

Дараах тохиолдлууд байдаг.

I. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал нь дараах хэлбэртэй байна.

градусын олон гишүүнт хаана байна м.

Дараа нь тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.

Энд Q(x) -тэй ижил зэрэгтэй олон гишүүнт юм П(x) , гэхдээ тодорхойгүй коэффициенттэй, ба r-  тоо нь харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс болохыг хэдэн удаа харуулсан тоо.

Жишээ.тэгшитгэлийг шийд
.

Бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ.

Одоо анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олъё.

Тэгшитгэлийн баруун талыг дээр дурдсан баруун талын хэлбэртэй харьцуулж үзье.

Бид дараах хэлбэрээр тодорхой шийдлийг хайж байна.
, хаана

Тэдгээр.

Одоо бид үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг тодорхойлно ГЭХДЭЭболон AT.

Анхны нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд ерөнхий хэлбэрээр тодорхой шийдлийг орлуулъя.

Тиймээс, хувийн шийдэл:

Дараа нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

II. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд Р 1 (X)болон Р 2 (X)зэрэгтэй олон гишүүнт юм м 1 ба м 2 тус тус.

Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

хаана дугаар rтоог хэдэн удаа харуулдаг
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс ба Q 1 (x) болон Q 2 (x) – дээд тал нь зэрэгтэй олон гишүүнт м, хаана м- зэрэглэлийн хамгийн том нь м 1 болон м 2 .

Тодорхой шийдлүүдийн төрлүүдийн хураангуй хүснэгт

янз бүрийн төрлийн зөв хэсгүүдэд зориулагдсан

Дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал	шинж чанарын тэгшитгэл	Хувийн төрлүүд
	1. Тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш юм
	2. Тоо нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм
	1. Тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш юм
	2. Тоо нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм
	1. Тоонууд
	2. Тоонууд нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм
	1. Тоонууд нь олон талт байдлын тэгшитгэлийн үндэс биш юм
	2. Тоонууд нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм

Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь дээр дурдсан хэлбэрийн илэрхийллийн хослол байвал шийдлийг туслах тэгшитгэлийн шийдлүүдийн хослол хэлбэрээр олдог бөгөөд тус бүр нь хослолд багтсан илэрхийлэлтэй тохирох баруун талтай болохыг анхаарна уу.

Тэдгээр. Хэрэв тэгшитгэл дараах байдалтай байвал:
, тэгвэл энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байх болно
хаана цагт 1 болон цагт 2 Туслах тэгшитгэлийн тусгай шийдлүүд