Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл. Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл
Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг (LNDU-2) шийдвэрлэх үндэс. тогтмол коэффициентүүд(PC)
$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн LDDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй, $f\left(x) \right)$ нь тасралтгүй функц юм.
PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.
Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын хэсэгчилсэн шийдэл гэж үзье. Мөн $Y$ зарим функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (GS) гэж үзье. Дараа нь -ийн GR LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.
Хэрэв баруун хэсэг 2-р эрэмбийн LPDE нь функцүүдийн нийлбэр бөгөөд $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, дараа нь эхлээд $f_ функц тус бүрт тохирох $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ PD-г олж болно. (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, дараа нь CR LNDU-2 гэж бичнэ. $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ хэлбэр.
PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл
Өгөгдсөн LNDU-2-ийн нэг буюу өөр PD $U$-ийн төрөл нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. PD LNDU-2-ийг хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон болно.
Дүрэм №1.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил хэмжээний олон гишүүнт ба $r$ нь язгуурын тоо юм. шинж чанарын тэгшитгэл LOD-2-д харгалзах, тэгтэй тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар (Их Британи) олно.
Дүрэм №2.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NC аргаар олно.
Дүрэм №3.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\beta$ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайж байна. \right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг үл эвдэх аргыг ашиглан олно.
Дүрэм №4.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\альфа \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайж олох бөгөөд $Q_(s) \left(x\right)$ болон $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь язгуурын тоо юм. $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NC аргаар олно.
NDT арга нь ашиглахаас бүрдэнэ дараагийн дүрэм. LNDU-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн хэсэг болох олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- гэж ерөнхий хэлбэрээр бичсэн PD $U$-г орлуулна зүүн тал LNDU-2;
- LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
- үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талуудын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
- үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.
Жишээ 1
Даалгавар: олох OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Мөн PD олох. , $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг хангаж байна.
Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Энэхүү LNDU-2-ын баруун тал нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ экспонентийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Иймээс энэхүү LNDU-2-ын PD нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.
Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.
Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:
$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.
$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Өгөгдсөн NLDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Мөн $e^(3\cdot x)$ илтгэгч хүчин зүйл болгон орсон байдаг. Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үүнийг орхиж болно. Бид дараахыг авна.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$
Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно.
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:
$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.
$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь дараах хэлбэртэй байна: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Мэдэгдэж байгаа тохиолдолд бид үүнийг баталгаажуулсан нийтлэг шийдвэршугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл, та ерөнхий шийдлийг олохын тулд дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглаж болно нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хэрхэн олох вэ гэдэг асуулт нээлттэй хэвээр байв. Онцгой тохиолдолд шугаман дифференциал тэгшитгэлд (3) бүх коэффициентүүд орно p i(X)= a i - Тогтмолууд, үүнийг интегралгүйгээр ч гэсэн маш энгийнээр шийдэж болно.
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
y (n) + a 1 y (n – 1) +...а n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Хаана бас би- тогтмолууд (би= 1, 2, ...,n).
Мэдэгдэж байгаагаар 1-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хувьд шийдэл нь хэлбэрийн функц юм. д kx.Бид (14) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно j (X) = д kx.
Функцийг (14) тэгшитгэлд орлуулъя. j (X) ба түүний дарааллын дериватив м (1 £ м£ n)j (м) (X) = к м э кх. Бид авдаг
(k n + a 1 к н – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Гэхдээ д к х ¹ аль нэг нь 0 X, Тийм ч учраас
k n + a 1 k n – 1 +...а n – 1 k + a n = 0. (15)
Тэгшитгэл (15) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл, зүүн талд байгаа олон гишүүнт- онцлог олон гишүүнт , түүний үндэс- онцлог үндэс дифференциал тэгшитгэл (14).
Дүгнэлт:
функцj (X) = д kx - шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл (14) хэрэв зөвхөн тоо к - шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс (15).
Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг (14) шийдвэрлэх үйл явц нь алгебрийн тэгшитгэлийг (15) шийдвэрлэх хүртэл буурдаг.
Онцлог үндэстэй янз бүрийн тохиолдлууд боломжтой.
1.Онцлог тэгшитгэлийн бүх үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой байна.
Энэ тохиолдолд nөөр өөр шинж чанартай үндэс к 1 ,к 2 ,..., к нтохирч байна nнэгэн төрлийн тэгшитгэлийн өөр шийдлүүд (14)
Эдгээр шийдлүүд нь шугаман хамааралгүй, тиймээс үүсдэг гэдгийг харуулж болно үндсэн системшийдвэрүүд. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь функц юм
Хаана ХАМТ 1 , C 2 , ..., C n - дурын тогтмолууд.
Жишээ 7. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:
A) цагт¢ ¢ (X) - 6цагт¢ (X) + 8цагт(X) = 0,b) цагт¢ ¢ ¢ (X) + 2цагт¢ ¢ (X) - 3цагт¢ (X) = 0.
Шийдэл. Онцлогийн тэгшитгэлийг байгуулъя. Үүнийг хийхийн тулд бид дарааллын деривативыг орлуулна мфункцууд y(x) зохих түвшинд
к(цагт (м) (x) « к м),
харин функц нь өөрөө цагт(X) 0-р эрэмбийн дериватив-аар солигддог тул к 0 = 1.
(a) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна к 2 - 6k + 8 = 0. Энэ квадрат тэгшитгэлийн үндэс к 1 = 2,к 2 = 4. Тэдгээр нь бодит бөгөөд ялгаатай тул ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байдаг j (X)= C 1 д 2X + C 2 д 4x.
(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь 3-р зэргийн тэгшитгэл юм к 3 + 2к 2 - 3k = 0. Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:
к(к 2 + 2 к - 3)= 0 Þ к = 0i к 2 + 2 к - 3 = 0 Þ к = 0, (к - 1)(к + 3) = 0,
Т . д . к 1 = 0, к 2 = 1, к 3 = - 3.
Эдгээр шинж чанарын үндэс нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системтэй тохирч байна.
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Томъёо (9)-ийн дагуу ерөнхий шийдэл нь функц юм
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 д - 3X .
II . Онцлог тэгшитгэлийн бүх үндэс нь өөр боловч тэдгээрийн зарим нь төвөгтэй байдаг.
Дифференциал тэгшитгэлийн (14) бүх коэффициентүүд, тиймээс түүний шинж чанарын тэгшитгэлийн (15)- бодит тоонууд бөгөөд энэ нь хэрэв c нь шинж чанарын язгууруудын дунд нийлмэл язгуур байна гэсэн үг юм к 1 = a + ib,өөрөөр хэлбэл түүний нийлмэл үндэс к 2 = ` к 1 = a- ib.Эхний үндэс рүү к 1 дифференциал тэгшитгэлийн шийдэлд тохирно (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(бид Эйлерийн томъёог ашигласан e i x = cosx + isinx). Үүний нэгэн адил үндэс к 2 = a- ibшийдэлтэй тохирч байна
j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e сүх(cosbx - isinbx).
Эдгээр шийдлүүд нь нарийн төвөгтэй байдаг. Тэдгээрээс бодит шийдлийг олж авахын тулд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн шинж чанарыг ашигладаг (13.2-ыг үз). Функцүүд
(14) тэгшитгэлийн бодит шийдлүүд юм. Түүнээс гадна эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг. Тиймээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
Дүрэм 1.Хос нийлмэл цогц үндэс a± Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн FSR дахь шинж чанарын тэгшитгэлийн ib (14) хоёр бодит хэсэгчилсэн шийдэлтэй тохирч байнаТэгээд .
Жишээ 8. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:
A) цагт¢ ¢ (X) - 2цагт ¢ (X) + 5цагт(X) = 0 ;б) цагт¢ ¢ ¢ (X) - цагт¢ ¢ (X) + 4цагт ¢ (X) - 4цагт(X) = 0.
Шийдэл. (a) тэгшитгэлийн хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс к 2 - 2k + 5 = 0 нь хосолсон хоёр комплекс тоо юм
к 1, 2 = .
Иймээс 1-р дүрмийн дагуу тэдгээр нь хоёр бодит шугаман бие даасан шийдтэй тохирч байна: ба , тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь функц юм.
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x нүгэл 2x.
(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олох к 3 - к 2 + 4к- 4 = 0, бид түүний зүүн талыг хүчин зүйлээр тооцно:
к 2 (к - 1) + 4(к - 1) = 0 Þ (к - 1)(к 2 + 4) = 0 Þ (к - 1) = 0, (к 2 + 4) = 0.
Тиймээс бид гурван шинж чанартай үндэстэй: к 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2би.Корну к 1 шийдэлтэй тохирч байна , ба хос хосолсон цогцолбор үндэс к 2, 3 = ± 2би = 0 ± 2би- хоёр хүчинтэй шийдэл: ба . Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг гаргана.
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 нүгэл 2x.
III . Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд үржвэрүүд байдаг.
Болъё к 1 - олон талт байдлын жинхэнэ үндэс мшинж чанарын тэгшитгэл (15), өөрөөр хэлбэл язгууруудын дунд байна мтэнцүү үндэс. Тэдгээр нь тус бүр нь дифференциал тэгшитгэлийн ижил шийдэлтэй тохирч байна (14) Гэсэн хэдий ч, орно м FSR-д ижил төстэй шийдэл байдаггүй, учир нь тэдгээр нь шугаман хамааралтай функцүүдийн системийг бүрдүүлдэг.
Олон үндэстэй тохиолдолд үүнийг харуулж болно k 1(14) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцээс гадна функцууд юм
Функцүүд нь бүхэл тоон тэнхлэгт шугаман бие даасан байдаг, учир нь , өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг FSR-д оруулах боломжтой.
Дүрэм 2. Бодит шинж чанарын үндэс к 1 олон талт байдал м FSR-д тохирч байна мшийдэл:
Хэрэв к 1 - нарийн төвөгтэй үндэс олон талт байдал мшинж чанарын тэгшитгэл (15), дараа нь коньюгат үндэс байна к 1 олон талт байдал м. Аналогоор бид дараах дүрмийг олж авна.
Дүрэм 3. Хос нийлмэл цогц үндэс a± FSR дахь ib нь 2м бодит шугаман бие даасан шийдлүүдтэй тохирч байна:
, , ..., ,
, , ..., .
Жишээ 9. Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол:
A) цагт¢ ¢ ¢ (X) + 3цагт¢ ¢ (X) + 3цагт¢ (X)+ y ( X)= 0;б) IV цагт(X) + 6цагт¢ ¢ (X) + 9цагт(X) = 0.
Шийдэл. (a) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
к 3 + 3 к 2 + 3 к + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
өөрөөр хэлбэл k =- 1 - үржвэрийн үндэс 3. 2-р дүрэмд үндэслэн ерөнхий шийдлийг бичнэ.
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
(b) тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл нь тэгшитгэл юм
к 4 + 6к 2 + 9 = 0
эсвэл өөрөөр хэлбэл,
(к 2 + 3) 2 = 0 Þ к 2 = - 3 Þ к 1, 2 = ± би.
Бидэнд хос нийлмэл нийлмэл язгуур байдаг бөгөөд тус бүр нь үржвэр 2. Дүрэм 3-ын дагуу ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ.
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.
Дээрхээс харахад тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хувьд үндсэн шийдлийн системийг олж, ерөнхий шийдийг зохиож болно. Үүний үр дүнд аливаа тасралтгүй функцийн харгалзах нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл е(x) баруун талд нь дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан олж болно (5.3-р хэсгийг үзнэ үү).
Жишээ 10. Вариацын аргыг ашиглан нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = x e 2x .
Шийдэл. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = 0. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс к 2 - к- 6 = 0 байна к 1 = 3,к 2 = - 2, а нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл - функц ` цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X .
Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно
цагт( X) = ХАМТ 1 (X)д 3X + C 2 (X)д 2X . (*)
Вронски тодорхойлогчийг олцгооё
В[д 3X , д 2X ] = .
Үл мэдэгдэх функцийн деривативын (12) тэгшитгэлийн системийг зохиоё ХАМТ ¢ 1 (X) Мөн ХАМТ¢ 2 (X):
Крамерын томъёог ашиглан системийг шийдэж, бид олж авна
Интеграцид бид олдог ХАМТ 1 (X) Мөн ХАМТ 2 (X):
Орлуулах функцууд ХАМТ 1 (X) Мөн ХАМТ 2 (X) тэгшитгэлд (*), бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = x e 2x :
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь байгаа тохиолдолд тусгай төрөл, нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглахгүйгээр олж болно.
Тогтмол коэффициент бүхий тэгшитгэлийг авч үзье
y (n) + 1 жил (n– 1) +...а n – 1 жил " + a n y = f (x), (16)
е( x) = дсүх(Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
Хаана Pn(x) Мөн Р м(x) - зэрэгтэй олон гишүүнтүүд n Тэгээд мтус тус.
Хувийн шийдэл чи*(X) тэгшитгэлийн (16) томъёогоор тодорхойлно
цагт* (X) = xsд сүх(ноён(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)
Хаана ноён(x) Тэгээд Nr(x) - зэрэгтэй олон гишүүнтүүд r = хамгийн их(н, м) тодорхойгүй коэффициентүүдтэй , А сязгуурын үржвэртэй тэнцүү к 0 = a + ib(16) тэгшитгэлийн шинж чанарын олон гишүүнт ба бид таамаглаж байна s = 0 бол к 0 нь шинж чанарын үндэс биш юм.
Томъёо (18) ашиглан тодорхой шийдлийг гаргахын тулд та дөрвөн параметрийг олох хэрэгтэй - a, b, rТэгээд с.Эхний гурвыг тэгшитгэлийн баруун талаас тодорхойлно r- Энэ бол үнэндээ хамгийн дээд зэрэглэл юм x, баруун талд олдсон. Параметр стоонуудын харьцуулалтаас олж болно к 0 = a + ibТэгээд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар олдсон тэгшитгэлийн (16) бүх (олон талыг харгалзан) шинж чанарын язгууруудын багц.
Функцийн хэлбэрийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье (17):
1) хэзээ а ¹ 0, б= 0е(x)= e сүх P n(x);
2) хэзээ а= 0, б ¹ 0е(x)= Pn(x) -тайosbx + R м(x)sinbx;
3) хэзээ а = 0, б = 0е(x)=Pn(x).
Тайлбар 1. Хэрэв P n (x) бол º 0 эсвэл Rm(x)º 0 бол тэгшитгэлийн баруун тал f(x) = e ax P n (x)с osbx эсвэл f(x) = e ax R m (x)sinbx, өөрөөр хэлбэл зөвхөн нэг функцийг агуулна. - косинус эсвэл синус. Гэхдээ тодорхой шийдлийг бүртгэхдээ хоёулаа байх ёстой, учир нь (18) томъёоны дагуу тэдгээр нь тус бүрийг ижил түвшний тодорхойгүй коэффициент бүхий олон гишүүнтээр үржүүлсэн r = max(n, m).
Жишээ 11. Тогтмол коэффициенттэй 4-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн баруун тал нь мэдэгдэж байгаа бол хэсэгчилсэн шийдлийн төрлийг тодорхойлно уу. е(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)нүгэл 3x) ба шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс:
А ) к 1 = к 2 = 1, к 3 = 3,к 4 = - 1;
б ) к 1, 2 = 1 ± 3би,к 3, 4 = ± 1;
В ) к 1, 2 = 1 ± 3би,к 3, 4 = 1 ± 3би.
Шийдэл. Баруун талд нь бид тодорхой шийдэлд үүнийг олдог цагт*(X), (18) томъёогоор тодорхойлогддог параметрүүд: а= 1, б= 3, r = 2. Эдгээр гурван тохиолдлын хувьд ижил хэвээр байгаа тул тоо к 0 нь сүүлчийн параметрийг зааж өгдөг стомъёо (18) нь тэнцүү байна к 0 = 1+ 3би. (a) тохиолдолд шинж чанарын язгуурт тоо байхгүй байна к 0 = 1 + 3би,гэсэн үг, с= 0 бөгөөд тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
чи*(X) = x 0 e x(М 2 (x)cos 3x+N 2 (x)нүгэл 3x) =
= дx( (Сүх 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 +Б 1 x+C 1)нүгэл 3x.
(b) тохиолдолд тоо к 0 = 1 + 3бишинж язгуурын дунд нэг удаа тохиолддог, энэ нь гэсэн үг s = 1 Тэгээд
чи*(X) = x e x((Сүх 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 +Б 1 x+C 1)нүгэл 3x.
(c) тохиолдолд бидэнд байна s = 2 ба
чи*(X) = x 2 e x((Сүх 2 +Bx+C)cos 3x+(А 1 x 2 +Б 1 x+C 1)нүгэл 3x.
Жишээ 11-д, тодорхой шийдэл нь тодорхойгүй коэффициент бүхий 2-р зэргийн хоёр олон гишүүнтийг агуулна. Шийдлийг олохын тулд та эдгээр коэффициентүүдийн тоон утгыг тодорхойлох хэрэгтэй. Ерөнхий дүрмийг томъёолъё.
Олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлох ноён(x) Мөн Nr(x) тэгш байдлыг (17) шаардлагатай тоогоор ялгаж, функцийг орлуулна чи*(X) ба түүний уламжлалыг (16) тэгшитгэлд оруулна. Түүний зүүн ба баруун талыг харьцуулж үзвэл бид системийг олж авдаг алгебрийн тэгшитгэлкоэффициентүүдийг олох.
Жишээ 12. Тэгшитгэлийн шийдийг ол цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = xe 2x, баруун талын хэлбэрээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг тодорхойлсон.
Шийдэл. Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
цагт( X) = ` цагт(X)+ чи*(X),
Хаана ` цагт ( X) - харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, ба чи*(X) - нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл.
Эхлээд бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = 0. Түүний шинж чанарын тэгшитгэл к 2 - к- 6 = 0 хоёр үндэстэй к 1 = 3,к 2 = - 2, тиймээс, ` цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X .
Тодорхой уусмалын төрлийг тодорхойлохын тулд (18) томъёог ашиглана уу цагт*(X). Чиг үүрэг е(x) = xe 2x төлөөлдөг онцгой тохиолдол(a) томъёо (17), харин a = 2,b = 0 Тэгээд r = 1, өөрөөр хэлбэл к 0 = 2 + 0би = 2. Онцлог үндэстэй харьцуулбал бид үүнийг дүгнэж байна s = 0. Бүх параметрийн утгыг томъёогоор (18) орлуулснаар бид байна чи*(X) = (Аа + Б)д 2X .
Үнэт зүйлсийг олохын тулд АТэгээд IN, функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олъё чи*(X) = (Аа + Б)д 2X :
чи*¢ (X)= Ae 2X + 2(Аа + Б)д 2X = (2Аа + Ах + 2Б)д 2x,
чи*¢ ¢ (X) = 2Ае 2X + 2(2Аа + Ах + 2Б)д 2X = (4Аа + 4A+ 4Б)д 2X .
Функцийг орлуулсны дараа чи*(X) ба түүний деривативуудыг бидэнд байгаа тэгшитгэлд оруулна
(4Аа + 4A+ 4Б)д 2X - (2Аа + Ах + 2Б)д 2X - 6(Аа + Б)д 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Тиймээс нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна
чи*(X) = (- 1/4X- 3/16)д 2X ,
ба ерөнхий шийдэл - цагт ( X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .
Тайлбар 2.Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд Кошигийн асуудал тавигдсан тохиолдолд эхлээд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох хэрэгтэй.
цагт( X) = ,
дахь коэффициентүүдийн бүх тоон утгыг тодорхойлсны дараа цагт*(X). Дараа нь эхний нөхцлүүдийг ашиглаж, тэдгээрийг ерөнхий шийдэлд орлуулж (мөн чи*(X)), тогтмолуудын утгыг ол C би.
Жишээ 13. Кошигийн асуудлын шийдлийг ол.
цагт¢ ¢ (X) - цагт¢ (X) - 6цагт(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Шийдэл. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь
цагт(X) = C 1 д 3X + C 2 д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X
Жишээ 12-оос олдсон. Кошигийн энэхүү бодлогын анхны нөхцөлийг хангах тодорхой шийдлийг олохын тулд бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Үүнийг шийдэх нь бидэнд байна C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Тиймээс Кошигийн асуудлын шийдэл нь функц юм
цагт(X) = 1/8д 3X + 1/16д - 2X + (- 1/4X- 3/16)д 2X .
Тайлбар 3(суперпозиция зарчим). Шугаман тэгшитгэлд байгаа бол Лн[y(x)]= f(x), Хаана е(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) Мөн чи* 1 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл Лн[y(x)]= f 1 (x), А чи* 2 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл Лн[y(x)]= f 2 (x), дараа нь функц чи*(X)= у* 1 (x)+ чи* 2 (x) байна тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Лн[y(x)]= f(x).
Жишээ 14. Шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн төрлийг заана уу
цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = x + sinx.
Шийдэл. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл
` цагт(x) = C 1 cos 2x + C 2 нүгэл 2x,
шинж чанарын тэгшитгэлээс хойш к 2 + 4 = 0 үндэстэй к 1, 2 = ± 2би.Тэгшитгэлийн баруун тал нь (17) томьёотой тохирохгүй, гэхдээ тэмдэглэгээг оруулбал е 1 (x) = x, е 2 (x) = sinxба суперпозиция зарчмыг ашиглана , дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг хэлбэрээр олж болно чи*(X)= у* 1 (x)+ чи* 2 (x), Хаана чи* 1 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = x, А чи* 2 (x) - тэгшитгэлийн шийдэл цагт¢ ¢ (X) + 4цагт(X) = sinx.Томъёоны дагуу (18)
чи* 1 (x) = Сүх + Б,чи* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.
Дараа нь тодорхой шийдэл
чи*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,
тиймээс ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
цагт(X) = C 1 cos 2x + C 2 д - 2X + А x + B + Ccosx + Dsinx.
Жишээ 15. Цахилгаан хэлхээ нь emf-тэй цувралаар холбогдсон гүйдлийн эх үүсвэрээс бүрдэнэ д(т) = E нүгэлwт,индукц Лболон савнууд ХАМТ, ба
Боловсролын байгууллага "Беларусийн муж
Хөдөө аж ахуйн академи"
Дээд математикийн тэнхим
Удирдамж
Нягтлан бодох бүртгэлийн факультетийн (NISPO) оюутнуудын "Хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл" сэдвийг судлах
Горки, 2013 он
Шугаман дифференциал тэгшитгэл
тогтмол тоотой хоёр дахь дараалалкоэффициентүүд
Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг
тэдгээр. Хүссэн функц болон түүний деривативуудыг зөвхөн нэгдүгээр зэрэгт багтаасан, тэдгээрийн үржвэрийг агуулаагүй тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлд 
Тэгээд 
- зарим тоо, функц 
тодорхой интервалаар өгсөн 
.
Хэрэв 
интервал дээр 
, дараа нь тэгшитгэл (1) хэлбэрийг авна
,
(2)
гэж нэрлэдэг шугаман нэгэн төрлийн . Үгүй бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэг төрлийн бус .
Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье
,
(3)
Хаана 
Тэгээд 
- бодит функцууд. Хэрэв функц (3) нь (2) тэгшитгэлийн цогц шийдэл бол бодит хэсэг 
, мөн төсөөллийн хэсэг 
шийдлүүд 
тус тусад нь нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд юм. Тиймээс бүх зүйл цогц шийдэлтэгшитгэл (2) нь энэ тэгшитгэлийн хоёр бодит шийдлийг үүсгэдэг.
Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.
Хэрэв 
тэгшитгэлийн шийдэл (2), дараа нь функц 
, Хаана ХАМТ– дурын тогтмол нь (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно;
Хэрэв 
Тэгээд 
(2) тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь функц байна 
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2);
Хэрэв 
Тэгээд 
(2) тэгшитгэлийн шийдэл, дараа нь тэдгээрийн шугаман хослол байна 
мөн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно (2), энд 
Тэгээд 
- дурын тогтмолууд.
Функцүүд 
Тэгээд 
гэж нэрлэдэг шугаман хамааралтай
интервал дээр 
, хэрэв ийм тоо байгаа бол 
Тэгээд 
, нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, энэ интервал дээр тэгш байдал
Хэрэв тэгш байдал (4) зөвхөн үед бий болно 
Тэгээд 
, дараа нь функцууд 
Тэгээд 
гэж нэрлэдэг шугаман бие даасан
интервал дээр 
.
Жишээ 1
. Функцүүд 
Тэгээд 
оноос хойш шугаман хамааралтай байна 
бүх тооны мөрөнд. Энэ жишээнд 
.
Жишээ 2
. Функцүүд 
Тэгээд 
тэгш байх тул аль ч интервал дээр шугаман хамааралгүй байна 
тохиолдолд л боломжтой 
, Мөн 
.
Шугаман нэгэн төрлийн ерөнхий шийдлийг бий болгох
тэгшитгэл
(2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олохын тулд түүний шугаман бие даасан хоёр шийдлийг олох хэрэгтэй 
Тэгээд 
. Эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол 
, Хаана 
Тэгээд 
дурын тогтмолууд бөгөөд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг өгнө.
Бид (2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг хэлбэрээр хайх болно
,
(5)
Хаана 
- тодорхой тоо. Дараа нь 
,
. Эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (2) орлъё:
эсвэл 
.
Учир нь 
, Тэр 
. Тиймээс функц 
бол (2) тэгшитгэлийн шийдэл байх болно 
тэгшитгэлийг хангана
.
(6)
Тэгшитгэл (6) гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэл тэгшитгэлийн хувьд (2). Энэ тэгшитгэл нь алгебрийн квадрат тэгшитгэл юм.
Болъё 
Тэгээд 
Энэ тэгшитгэлийн үндэс байдаг. Тэдгээр нь бодит ба ялгаатай, эсвэл нарийн төвөгтэй, бодит ба тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг авч үзье.
Үндэсийг нь тавь 
Тэгээд 
шинж чанарын тэгшитгэл нь бодит бөгөөд тодорхой байна. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно 
Тэгээд 
. Эдгээр шийдлүүд нь тэгш байдлаас хойш шугаман бие даасан байдаг 
үед л хийж болно 
, Мөн 
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
,
Хаана 
Тэгээд 
- дурын тогтмолууд.
Жишээ 3
.
Шийдэл
. Энэ дифференциалын шинж чанарын тэгшитгэл нь байх болно 
. Үүнийг шийдсэн квадрат тэгшитгэл, түүний үндсийг олцгооё 
Тэгээд 
. Функцүүд 
Тэгээд 
нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь 
.
Цогцолбор тоо 
хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг 
, Хаана 
Тэгээд 
бодит тоонууд ба 
төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Хэрэв 
, дараа нь тоо 
цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Хэрэв 
, дараа нь тоо 
бодит тоогоор тодорхойлогддог 
.
Тоо 
цогц тооны бодит хэсэг гэж нэрлэдэг ба 
- төсөөллийн хэсэг. Хэрэв хоёр нийлмэл тоо нь бие биенээсээ зөвхөн төсөөллийн хэсгийн тэмдгээр ялгаатай бол тэдгээрийг коньюгат гэж нэрлэдэг. 
,
.
Жишээ 4
. Квадрат тэгшитгэлийг шийд 
.
Шийдэл
. Дискриминант тэгшитгэл 
. Дараа нь. Үүний нэгэн адил, 
. Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь коньюгат нийлмэл язгууртай.
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нарийн төвөгтэй байг, өөрөөр хэлбэл. 
,
, Хаана 
. (2) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно 
,
эсвэл 
,
. Эйлерийн томъёоны дагуу
,
.
Дараа нь,. Мэдэгдэж байгаагаар, хэрэв нарийн төвөгтэй функц нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл юм бол энэ тэгшитгэлийн шийдлүүд нь энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд болно. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцүүд байх болно 
Тэгээд 
. Тэгш байхаас хойш
тохиолдолд л гүйцэтгэх боломжтой 
Тэгээд 
, тэгвэл эдгээр шийдлүүд шугаман бие даасан байна. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна
Хаана 
Тэгээд 
- дурын тогтмолууд.
Жишээ 5
. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
.
Шийдэл
. Тэгшитгэл 
өгөгдсөн дифференциалын шинж чанар юм. Үүнийг шийдэж, цогц үндсийг нь авцгаая 
,
. Функцүүд 
Тэгээд 
нь дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь бодит ба тэнцүү байг, өөрөөр хэлбэл. 
. Дараа нь (2) тэгшитгэлийн шийдлүүд нь функцууд болно 
Тэгээд 
. Эдгээр шийдлүүд нь шугаман бие даасан байдаг, учир нь илэрхийлэл нь зөвхөн тэгтэй тэнцүү байж болно 
Тэгээд 
. Тиймээс (2) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна 
.
Жишээ 6
. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
.
Шийдэл
. Онцлог тэгшитгэл 
ижил үндэстэй 
. Энэ тохиолдолд дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд нь функцууд юм 
Тэгээд 
. Ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна 
.
Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус шугаман дифференциал тэгшитгэл
болон онцгой баруун тал
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл (1) нь ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна. 
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба аливаа тодорхой шийдэл 
нэг төрлийн бус тэгшитгэл: 
.
Зарим тохиолдолд нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг баруун гар талын хэлбэрээр хялбархан олж болно. 
тэгшитгэл (1). Энэ боломжтой тохиолдлуудыг авч үзье.
тэдгээр. нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүнт юм м. Хэрэв 
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг зэрэгтэй олон гишүүнт хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. м, өөрөөр хэлбэл
Магадлал 
тодорхой шийдлийг олох явцад тодорхойлогддог.
Хэрэв 
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй.
Жишээ 7
. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
.
Шийдэл
. Энэ тэгшитгэлийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь байна 
. Түүний онцлог тэгшитгэл 
үндэстэй 
Тэгээд 
. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна 
.
Учир нь 
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг функц хэлбэрээр хайх болно. 
. Энэ функцийн деривативуудыг олцгооё 
,
мөн тэдгээрийг энэ тэгшитгэлд орлуулна уу:
эсвэл . Коэффициентийг тэнцүүлж үзье 
болон чөлөөт гишүүд: 
Шийдвэрлэж байж энэ систем, бид авдаг 
,
. Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна 
, мөн өгөгдсөн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийн нийлбэр байх болно. 
.
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг хэлбэртэй болго
Хэрэв 
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. Хэрэв 
нь шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс юм к
(к=1 эсвэл к=2), тэгвэл энэ тохиолдолд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна.
Жишээ 8
. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
.
Шийдэл
. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна 
. Түүний үндэс 
,
. Энэ тохиолдолд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэлбэрээр бичнэ 
.
3-ын тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш тул нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайх хэрэгтэй. 
. Нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг олцгооё.
Дифференциал тэгшитгэлд орлуулъя: 
+
+,
+,.
Коэффициентийг тэнцүүлж үзье 
болон чөлөөт гишүүд:
Эндээс 
,
. Дараа нь энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь хэлбэртэй байна 
, мөн ерөнхий шийдэл
.
Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн Лагранж арга
Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг баруун талын төрлөөс үл хамааран тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус шугаман тэгшитгэлд хэрэглэж болно. Энэ арга нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг үргэлж олох боломжийг олгодог.
Болъё 
Тэгээд 
(2) тэгшитгэлийн шугаман бие даасан шийдлүүд юм. Тэгвэл энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байна 
, Хаана 
Тэгээд 
- дурын тогтмолууд. Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргын мөн чанар нь тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (1) хэлбэрээр хайж олох явдал юм.
Хаана 
Тэгээд 
- олох шаардлагатай шинэ үл мэдэгдэх функцууд. Хоёр үл мэдэгдэх функц байгаа тул тэдгээрийг олохын тулд эдгээр функцийг агуулсан хоёр тэгшитгэл хэрэгтэй. Эдгээр хоёр тэгшитгэл нь системийг бүрдүүлдэг
-тай холбоотой тэгшитгэлийн шугаман алгебрийн систем юм 
Тэгээд 
. Энэ системийг шийдэж, бид олдог 
Тэгээд 
. Олж авсан тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэснээр бид олдог
Тэгээд 
.
Эдгээр илэрхийллийг (9) -д орлуулснаар бид нэгэн төрлийн бус шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна (1).
Жишээ 9
. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
.
Шийдэл.
Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь байна 
. Түүний үндэс нь нарийн төвөгтэй байдаг 
,
. Учир нь 
Тэгээд 
, Тэр 
,
, мөн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна. Дараа нь бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хаана хэлбэрээр хайх болно 
Тэгээд 
- үл мэдэгдэх функцууд.
Эдгээр үл мэдэгдэх функцийг олох тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна
Энэ системийг шийдсэний дараа бид олж мэднэ 
,
. Дараа нь
,
. Үр дүнгийн илэрхийлэлийг ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулъя.
Энэ бол Лагранжийн аргыг ашиглан олж авсан дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.
Мэдлэгээ өөрөө хянах асуултууд
Тогтмол коэффициенттэй хоёр дахь эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж ямар дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг вэ?
Аль шугаман дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн, алийг нь нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг вэ?
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл ямар шинж чанартай вэ?
Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ямар тэгшитгэлийг шинж чанар гэж нэрлэдэг ба түүнийг хэрхэн олж авдаг вэ?
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн өөр өөр язгууртай тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд тэнцүү тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?
Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шинж чанарын тэгшитгэлийн нийлмэл үндэстэй тохиолдолд ямар хэлбэрээр бичих вэ?
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичих вэ?
Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурууд өөр бөгөөд тэгтэй тэнцүү биш, тэгшитгэлийн баруун тал нь градусын олон гишүүн байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?
Онцлог тэгшитгэлийн язгууруудын дунд нэг тэг, тэгшитгэлийн баруун тал нь зэрэгтэй олон гишүүн байвал шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдийг ямар хэлбэрээр хайдаг вэ? м?
Лагранжийн аргын мөн чанар юу вэ?
Энэ нийтлэлд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлыг авч үзнэ. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Тодорхой бус нэр томъёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын тухай сэдвийг судлах шаардлагатай.
y "" + p · y " + q · y = f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо, одоо байгаа f функц байна. (x) нь x интегралчлалын интервал дээр тасралтгүй байна.
LNDE-ийн ерөнхий шийдлийн теоремын томъёолол руу шилжье.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем
Теорем 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) · y = f (x) x интервал дээрх тасралтгүй интегралын коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь y 0 ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь LOD ба зарим нэг тодорхой y ~ шийдэлтэй тохирч байх ба энд анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь y = y 0 + y ~ байна.
Энэ нь ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй болохыг харуулж байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүллээр авч үзнэ. Үүний дараа бид y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.
LPDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүний тулд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.
f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэх үед f (x) = P n (x) y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёог ашиглан LPDE-ийн тодорхой шийдлийг олно. ) x γ, энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~ утга нь тодорхой шийдэл y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x), бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.
Жишээ 1
Коши теоремыг ашиглан тооцоолно y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Шийдэл
Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) нөхцлийг хангах болно. = 2, y "(0) = 1 4 .
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y 0 тэгшитгэл эсвэл нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлтэй y ~, өөрөөр хэлбэл у = у 0 + у ~ тэгшитгэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр юм.
Эхлээд бид LNDU-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олох болно.
y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бичье
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
y ~ ийг олцгооё. Баруун талд байгаа нь харагдаж байна өгөгдсөн тэгшитгэлнь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C-ийн утгууд нь тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг авдаг.
Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.
Дараа нь бид үүнийг олж авна:
y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Х-ийн ижил илтгэгчтэй коэффициентүүдийг тэнцүүлэхдээ бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ коэффициентийг олоод бичнэ: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4, y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 х 3 - 1 4 х 2 - 3 4 х.
Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C 1Тэгээд C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгшитгэл дээр үндэслэсэн.
Бид үүнийг олж авдаг:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.
Кошигийн теоремыг ашиглавал бидэнд ийм байна
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба илтгэгч f (x) = P n (x) · e a x үржвэрээр дүрслэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн LPDE-ийн тодорхой шийдэл нь байх болно. y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.
Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.
Жишээ 2
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Тэгшитгэл ерөнхий үзэл y = y 0 + y ~ . Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь тэнцүү байна. k 1 = 0ба k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x шинж чанарын тэгшитгэлээр.
Тэгшитгэлийн баруун тал нь x 2 + 1 · e x байгааг харж болно. Эндээс LPDE-ийг y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл нь тийм биш юм. язгуур нь 1-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид үүнийг олж авдаг
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C нь y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олдох үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм.
Ойлголоо
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Бид ижил коэффициент бүхий үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C-г олно:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Хариулт: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 нь LNDDE-ийн тодорхой шийдэл болох нь тодорхой бөгөөд y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.
Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1Тэгээд ДАХЬ 1тоонууд бол LPDE-ийн хэсэгчилсэн шийдлийг y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл гэж үзэх ба энд A ба B нь тодорхойгүй коэффициент гэж тооцогддог ба r нь тоо юм. ± i β-тэй тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат үндэс. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл ашиглан гүйцэтгэнэ.
Жишээ 3
y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь хосолсон хос ± 2 i, дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) гэж үзнэ. Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх Бид y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс А ба В коэффициентийг хайх болно.
Хөрвүүлье:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.
Хариулт:Тогтмол коэффициент бүхий анхны хоёр дахь эрэмбийн LDDE-ийн ерөнхий шийдлийг авч үзнэ
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m болно. (x) cos (β x) x γ. Бидэнд r нь α ± i β-тэй тэнцүү, α ± i β-тэй тэнцүү, шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл нийлмэл хос язгууруудын тоо, P n (x), Q k (x), L m (x) ба Нм(х) n, k, m, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох Лм(х)Тэгээд Нм(х) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн хийгдсэн.
Жишээ 4
y "" + 3 у " + 2 у = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Нөхцөл байдлаас харахад ойлгомжтой
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тэгвэл m = m a x (n, k) = 1 байна. Бид эхлээд дараах хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициентууд, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс бид эдгээр коэффициентийг олно.
y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))
Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Бүх зүйлээс үүнийг дагадаг
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) нүгэл (5 x))
Хариулт:Одоо бид өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авлаа.
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм
Тодорхойлолт 1Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөхийг шаарддаг:
- харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1Тэгээд y 2 LODE-ийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд, C 1Тэгээд C 2дурын тогтмол гэж үздэг;
- LNDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон батлах y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 "(x) хэлбэрийн системээр функцийн деривативыг тодорхойлох ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба С 2 (х) интеграцчлалаар дамжуулан.
Жишээ 5
y "" + 36 у = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x-ийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Бид өмнө нь y 0, y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж эхэлнэ. Бичиж, шийдье:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) гэж бичнэ. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)Тэгээд C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (нүгэл (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 нүгэл (6 х) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1" (x)Тэгээд C 2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:
C 1 " (x) = - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)
Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 х)
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
