Шийдэл бүхий нийлмэл тоог онлайнаар тооцоолох. Онлайн тэгшитгэл

ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР

УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА

ДЭЭД МЭРГЭЖЛИЙН БОЛОВСРОЛ

"ВОРОНЕЖИЙН УЛСЫН БАГШИЙН ​​ИХ СУРГУУЛЬ"

АГЛЕБРА, ГЕОМЕТРИЙН САНАЛ

Нарийн төвөгтэй тоо

(сонгосон даалгавар)

ЭЦСИЙН МЭРГЭШЛИЙН АЖИЛ

050201.65 математикийн мэргэжил

(050202.65 мэдээлэл зүйн нэмэлт мэргэжлээр)

Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан

физик, математик

тэнхим

Шинжлэх ухааны зөвлөх:

ВОРОНЕЖ - 2008 он

1. Танилцуулга……………………………………………………...…………..…

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо ………………….….

2.2. Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар ………………

2.3. Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр

2.4. Комплекс тооны онолыг 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийн шийдэлд ашиглах нь…………………………………………………………………

2.5. Цогцолбор тоо ба параметрүүд…………………………………………

3. Дүгнэлт…………………………………………………..

4. Ашигласан материалын жагсаалт………………………………………………

1. Танилцуулга

Сургуулийн хичээлийн математикийн хөтөлбөрт олонлогийн жишээн дээр тооны онолыг оруулсан болно натурал тоонууд, бүхэл бүтэн, оновчтой, үндэслэлгүй, i.e. зураг нь бүхэл тооны мөрийг дүүргэх бодит тоонуудын олонлог дээр. Гэхдээ аль хэдийн 8-р ангид сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодит тоонуудын нөөц хангалтгүй байна. Тиймээс бодит тоонуудын нөөцийг квадрат язгуур бүхий цогц тоогоор дүүргэх шаардлагатай байв сөрөг тоогэсэн утгатай.

"Цогцолбор тоо" сэдвийг төгсөлтийн сэдэв болгон сонгосон шаардлага хангасан ажил, нийлмэл тооны тухай ойлголт нь оюутнуудын талаарх мэдлэгийг өргөжүүлдэгт оршино тооллын системүүд, алгебрийн болон геометрийн агуулгын өргөн хүрээний асуудлыг шийдвэрлэх тухай, шийдвэрлэх тухай алгебрийн тэгшитгэлямар ч зэрэг болон параметртэй асуудлыг шийдвэрлэх тухай.

Энэхүү дипломын ажилд 82 асуудлын шийдлийг авч үзсэн.

"Цогцолбор тоо" үндсэн хэсгийн эхний хэсэг нь алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоотой холбоотой асуудлын шийдлийг өгч, алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонд нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэгтгэх үйлдлүүд, төсөөллийн нэгжийн зэрэг, нийлмэл тооны модуль, мөн дүрмийг гаргаж авахыг зааж өгдөг квадрат язгуурнийлмэл тооноос.

Хоёрдахь хэсэгт нийлмэл хавтгайн цэг эсвэл вектор хэлбэрээр нийлмэл тоог геометрийн тайлбарт зориулсан асуудлуудыг шийддэг.

Гурав дахь хэсэг нь тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоонуудын үйлдлүүдийг авч үздэг. Томьёог ашигладаг: Де Мойвр ба цогцолбор тооноос үндэс гаргаж авах.

Дөрөв дэх хэсэг нь 3, 4-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно.

Сүүлийн хэсгийн "Цогцолбор тоо ба параметрүүд"-ийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ өмнөх хэсгүүдэд өгсөн мэдээллийг ашиглаж, нэгтгэнэ. Энэ бүлгийн хэд хэдэн бодлого нь параметр бүхий тэгшитгэлээр (тэгш бус байдал) өгөгдсөн цогц хавтгай дахь шугамын бүлгийг тодорхойлоход зориулагдсан болно. Дасгалын нэг хэсэгт та параметр бүхий тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй (C талбар дээр). Нарийн төвөгтэй хувьсагч нь хэд хэдэн нөхцлийг нэгэн зэрэг хангадаг ажлууд байдаг. Энэ хэсгийн асуудлыг шийдвэрлэх нэг онцлог шинж чанар нь тэдгээрийн олонхыг 2-р зэргийн, иррациональ, тригонометрийн тэгшитгэлийг (тэгш бус байдал, систем) шийдвэрлэхэд багасгах явдал юм.

Хэсэг бүрийн материалыг танилцуулах онцлог нь анхны оролт юм онолын үндэс, дараа нь асуудлыг шийдвэрлэхэд практик хэрэглээ.

Төгсгөлд нь дипломын ажилашигласан уран зохиолын жагсаалтыг үзүүлэв. Тэдгээрийн ихэнх нь нэлээд дэлгэрэнгүй бөгөөд хүртээмжтэй байдаг. онолын материал, зарим асуудлын шийдлийг авч үзэж, практик даалгавар өгсөн бие даасан шийдвэр. Онцгой анхааралБи дараах эх сурвалжуудад хандахыг хүсч байна.

1. Гордиенко Н.А., Беляева Е.С., Фиртов В.Е., Серебрякова И.В. Цогцолбор тоо, тэдгээрийн хэрэглээ: Сурах бичиг. . Материал сургалтын гарын авлагалекц, практик дасгал хэлбэрээр танилцуулсан.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Анхан шатны математикийн сонгосон бодлого, теоремууд. Арифметик ба алгебр. Уг номонд алгебр, арифметик, тооны онолтой холбоотой 320 бодлого орсон. Эдгээр даалгаврууд нь мөн чанараараа сургуулийн стандарт даалгавраас эрс ялгаатай байдаг.

2. Цогцолбор тоо (сонгосон бодлого)

2.1. Алгебрийн хэлбэрийн нийлмэл тоо

Математик, физикийн олон асуудлын шийдлийг алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг. хэлбэрийн тэгшитгэл

,

Энд a0 , a1 , …, an нь бодит тоонууд юм. Иймээс алгебрийн тэгшитгэлийн судалгаа нь нэг юм чухал асуудлуудматематикт. Жишээлбэл, энэ нь жинхэнэ үндэсгүй юм. квадрат тэгшитгэлсөрөг ялгаварлагчтай. Ийм тэгшитгэлийн хамгийн энгийн нь тэгшитгэл юм

.

Энэ тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэлийн язгуурыг нэмэх замаар бодит тоонуудын багцыг өргөжүүлэх шаардлагатай.

.

Энэ язгуурыг гэж тэмдэглэе

. Тиймээс, тодорхойлолтоор, эсвэл,

Үүний үр дүнд,

. төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг. Түүний тусламжтайгаар болон хос бодит тоонуудын тусламжтайгаар хэлбэрийн илэрхийлэл үүсдэг.

Үүссэн илэрхийлэл нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг агуулж байсан тул цогц тоо гэж нэрлэв.

Тиймээс нийлмэл тоонуудыг хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг

, ба нь бодит тоо бөгөөд нөхцөлийг хангасан зарим тэмдэг юм. Тоо нь нийлмэл тооны бодит хэсэг, тоог түүний төсөөллийн хэсэг гэнэ. Тэдгээрийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашигладаг.

Маягтын нийлмэл тоо

Эдгээр нь бодит тоонууд тул цогц тоонуудын багц нь бодит тооны олонлогийг агуулдаг.

Маягтын нийлмэл тоо

цэвэр төсөөлөл гэж нэрлэдэг. Маягтын хоёр цогц тоо бөгөөд тэдгээрийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь тэнцүү бол тэдгээрийг тэнцүү гэж нэрлэдэг, i.e. Хэрэв тэгш байдал, .

Нарийн төвөгтэй тоонуудын алгебрийн тэмдэглэгээ нь тэдгээрийн дагуу үйлдлийг гүйцэтгэх боломжийг олгодог ердийн дүрэмалгебр.

Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Тэгшитгэлийг хүн төрөлхтөн эрт дээр үеэс хэрэглэж ирсэн бөгөөд тэр цагаас хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Тодорхой болгохын тулд дараах асуудлыг шийдье.

Хэрэв \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] тооцоолно

Юуны өмнө, нэг тоо нь алгебрийн хэлбэрээр, нөгөө нь тригонометрийн хэлбэрээр илэрхийлэгддэг гэдгийг анхаарч үзье. Үүнийг хялбарчлах шаардлагатай ба дараагийн төрөл

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ гэсэн илэрхийлэл нь юуны түрүүнд бид Мойврын томъёоны дагуу 10-р зэрэглэлд үржүүлж, өсгөдөг. Энэ томьёог комплекс тооны тригонометрийн хэлбэрт зориулж томъёолсон. Бид авах:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх дүрмийг баримталснаар бид дараахь зүйлийг хийх болно.

Манай тохиолдолд:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] бутархайг зөв болгосноор бид 4 эргэлтийг \[(8\pi рад.):\ "мушгих" боломжтой гэж дүгнэж байна. ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Хариулт: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Энэ тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд энэ нь 2-р тоог алгебрийн хэлбэрт оруулж, дараа нь алгебрийн хэлбэрээр үржүүлэлтийг хийж, үр дүнг тригонометрийн хэлбэрт хөрвүүлж, Moivre томъёог ашиглана:

Комплекс тоо бүхий тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?

Та манай https: // сайт дээр тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зөвхөн шийдвэрлэгч рүү өөрийн өгөгдлийг оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай Вконтакте групп http://vk.com/pocketteacher дээрээс асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.

Онлайн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйлчилгээ нь аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусална. Манай сайтыг ашигласнаар та тэгшитгэлийн хариултыг авахаас гадна харах болно нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг алхам алхмаар харуулах. Манай үйлчилгээ ахлах ангийн сурагчдад хэрэгтэй болно ерөнхий боловсролын сургуулиудболон тэдний эцэг эх. Оюутнууд шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүд хүүхдүүдээрээ математикийн тэгшитгэлийн шийдлийг хянах боломжтой болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар заавал биелүүлэх шаардлагасургуулийн сурагчдад. Энэхүү үйлчилгээ нь математикийн тэгшитгэлийн чиглэлээр бие даан суралцах, мэдлэгээ дээшлүүлэхэд тань туслах болно. Үүний тусламжтайгаар та ямар ч тэгшитгэлийг шийдэж болно: квадрат, куб, иррациональ, тригонометр гэх мэт. онлайн үйлчилгээгэхдээ үнэлж баршгүй, учир нь зөв хариултаас гадна тэгшитгэл бүрийн нарийвчилсан шийдлийг олж авдаг. Тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн ашиг тус. Та манай вэбсайт дээр ямар ч тэгшитгэлийг онлайнаар үнэ төлбөргүй шийдэж болно. Үйлчилгээ нь бүрэн автомат бөгөөд та компьютер дээрээ юу ч суулгах шаардлагагүй, та зөвхөн өгөгдөл оруулахад хангалттай бөгөөд програм нь шийдлийг гаргах болно. Тооцооллын алдаа, бичгийн алдааг оруулахгүй. Бидэнтэй онлайнаар ямар ч тэгшитгэлийг шийдэх нь маш хялбар байдаг тул ямар ч төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд манай сайтыг ашиглахаа мартуузай. Та зөвхөн өгөгдлийг оруулахад хангалттай бөгөөд тооцоолол хэдхэн секундын дотор хийгдэнэ. Хөтөлбөр нь хүний ​​оролцоогүйгээр бие даан ажилладаг бөгөөд та үнэн зөв, дэлгэрэнгүй хариултыг авах болно. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий үзэл. Ийм тэгшитгэлд хувьсах коэффициентүүд болон хүссэн язгуурууд хоорондоо холбоотой байдаг. Хувьсагчийн хамгийн их чадал нь ийм тэгшитгэлийн дарааллыг тодорхойлдог. Үүний үндсэн дээр тэгшитгэлийг ашиглана янз бүрийн аргашийдлийг олох теоремууд. Тэгшитгэл шийдвэрлэх энэ төрлийнерөнхий утгаараа хүссэн үндсийг нь олох гэсэн үг. Манай үйлчилгээ танд хамгийн төвөгтэй алгебрийн тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх боломжийг олгодог. Та өөрийн тодорхойлсон коэффициентүүдийн тоон утгуудын хувьд тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл болон хувийн шийдлийг хоёуланг нь авах боломжтой. Сайт дээр алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд зүүн ба баруун гэсэн хоёр талбарыг зөв бөглөхөд хангалттай. өгөгдсөн тэгшитгэл. Хувьсах коэффициент бүхий алгебрийн тэгшитгэлүүд нь хязгааргүй олон тооны шийдлүүдтэй бөгөөд тодорхой нөхцөлийг тогтоосноор шийдлүүдийн багцаас тодорхой нэгийг нь сонгодог. Квадрат тэгшитгэл. Квадрат тэгшитгэл нь a>0-ийн хувьд ax^2+bx+c=0 хэлбэртэй байна. Квадрат хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь ax ^ 2 + bx + c \u003d 0 тэгшитгэл хангагдах x-ийн утгыг олохыг хэлнэ. Үүний тулд ялгах утгыг D=b^2-4ac томъёогоор олно. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол тэгшитгэл нь жинхэнэ язгуургүй (язгуурууд нь цогцолбор тоонуудын талбараас авсан), тэг бол тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол тэгшитгэл нь тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй бөгөөд эдгээрийг D \u003d -b + -sqrt / 2a томъёогоор олно. Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэхийн тулд та ийм тэгшитгэлийн коэффициентийг (бүхэл тоо, бутархай эсвэл аравтын бутархай) оруулах хэрэгтэй. Хэрэв тэгшитгэлд хасах тэмдэг байгаа бол та тэгшитгэлийн харгалзах нөхцлүүдийн өмнө хасах тэмдэг тавих ёстой. Та мөн квадрат тэгшитгэлийг параметр, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн коэффициент дэх хувьсагчаас хамааран онлайнаар шийдэж болно. олох манай онлайн үйлчилгээ нийтлэг шийдлүүд. Шугаман тэгшитгэл. Шийдлийн хувьд шугаман тэгшитгэл(эсвэл тэгшитгэлийн систем) дөрвөн үндсэн аргыг практикт ашигладаг. Арга тус бүрийг нарийвчлан тайлбарлая. Орлуулах арга. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг хувьсагчийг бусад хувьсагчаар илэрхийлэх шаардлагатай. Үүний дараа илэрхийлэлийг системийн бусад тэгшитгэлд орлуулна. Тиймээс шийдлийн аргын нэр, өөрөөр хэлбэл хувьсагчийн оронд түүний илэрхийлэл нь бусад хувьсагчидаар солигддог. Практикт энэ арга нь нарийн төвөгтэй тооцоолол шаарддаг боловч ойлгоход хялбар байдаг тул ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх нь цаг хугацаа хэмнэж, тооцооллыг хөнгөвчлөх болно. Та зүгээр л тэгшитгэлд үл мэдэгдэх тоог зааж, шугаман тэгшитгэлийн өгөгдлийг бөглөхөд л үйлчилгээ нь тооцооллыг хийх болно. Гауссын арга. Энэ арга нь ижил төстэй гурвалжин системд хүрэхийн тулд системийн хамгийн энгийн хувиргалт дээр суурилдаг. Үүнээс үл мэдэгдэх зүйлүүдийг нэг нэгээр нь тодорхойлдог. Практикт ийм тэгшитгэлийг онлайнаар шийдэх шаардлагатай байдаг Дэлгэрэнгүй тодорхойлолт, үүний ачаар та шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргыг сайн эзэмших болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийг зөв хэлбэрээр бичиж, системийг зөв шийдэхийн тулд үл мэдэгдэх тоог харгалзан үзнэ. Крамерын арга. Энэ арга нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийддэг. Гол нь математик үйлдэлэнд матрицын тодорхойлогчдын тооцоо байна. Крамерын аргаар тэгшитгэлийн шийдлийг онлайнаар гүйцэтгэдэг бөгөөд та үр дүнг бүрэн, нарийвчилсан тайлбартайгаар шууд авах болно. Системийг коэффициентээр дүүргэж, үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоог сонгоход л хангалттай. матрицын арга. Энэ арга нь А матрицад үл мэдэгдэх, X баганад үл мэдэгдэх, В баганад чөлөөт гишүүдийн коэффициентийг цуглуулахаас бүрддэг. Иймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг AxX=B хэлбэрийн матрицын тэгшитгэл болгон бууруулсан байна. Энэ тэгшитгэл нь А матрицын тодорхойлогч нь тэг биш, эс бөгөөс системд шийдэлгүй, эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байх тохиолдолд л өвөрмөц шийдэлтэй байна. Тэгшитгэл шийдвэрлэх матрицын аргаолох явдал юм урвуу матрицГЭХДЭЭ.