Сааталтай шугаман тэгшитгэлийн интеграл дүрслэл. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Өргөтгөсөн динамик объектуудын загваруудын тэгшитгэл ба бүтэц

Сааталтай шугаман системүүд нь ердийн шугаман системтэй (II хэсэг) ерөнхийдөө ижил бүтэцтэй автомат системүүд бөгөөд тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн холбоосууд нь өөрчлөлт эхлэхэд цаг хугацааны хоцрогдолтой байдгаараа сүүлийнхээс ялгаатай байдаг. гаралтын утгыг (оролтын өөрчлөлтийг эхлүүлсний дараа) саатлын хугацаа гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ саатлын хугацаа нь үйл явцын дараагийн явцад тогтмол хэвээр байна.

Жишээлбэл, ердийн шугаман холбоосыг тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бол

(апериодын нэгдүгээр эрэмбийн холбоос), дараа нь хоцролттой харгалзах шугаман холбоосын тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно.

(хоцролттой хугацааны эхний эрэмбийн холбоос). Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хоцрогдсон аргумент эсвэл дифференциал-ялгаатай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дараа нь (14.2) тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр бичнэ.

Тэгэхээр, хэрэв оролтын утга тэгээс нэг болж огцом өөрчлөгдвөл (Зураг 14.1, а) тэгшитгэлийн баруун талд байгаа холбоосын утгын өөрчлөлтийг Зураг дээрх графикаар дүрслэн үзүүлнэ. 14.1, b (секундын дараа үсрэх). Одоо (14.3) тэгшитгэлд хэрэглэсэн ердийн периодик холбоосын түр зуурын шинж чанарыг ашиглан бид гаралтын утгын өөрчлөлтийг Зураг дээр график хэлбэрээр олж авна. 14.1, в. Энэ нь хоцролттой нэгдүгээр зэрэглэлийн апериод холбоосын шилжилтийн шинж чанар болно (түүний апериод "инерциал" шинж чанар нь цаг хугацааны тогтмол T, саатал нь утгаар тодорхойлогддог.

Сааталтай шугаман холбоос. IN ерөнхий тохиолдол, (14.2)-ын хувьд ямар ч сааталтай шугаман холбоосын динамикийн тэгшитгэл нь байж болно.

хоёр хуваагдана:

хоцролттой шугаман холбоосын нөхцөлт хуваагдалд нийцдэг (Зураг 14.2, а): ижил дарааллын ба ижил коэффициент бүхий энгийн шугаман холбоос ба түүний өмнөх саатал элемент (Зураг 14.2, б).

Иймээс сааталтай аливаа холбоосын цагийн шинж чанар нь харгалзах энгийн холбоосынхтой ижил байх боловч зөвхөн цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу баруун тийш .

"Цэвэр" саатлын холбоосын жишээ бол акустик холбооны шугам юм - дууны аяллын хугацаа). Бусад жишээнүүдэд туузан дамжуулагч ашиглан зөөж буй аливаа бодисын тунг автоматаар хэмжих систем - туузан хэсэг нь тодорхой газар хөдөлж байх хугацаа), түүнчлэн цувисан металлын зузааныг зохицуулах систем, энэ нь метал хөдлөх цагийг илэрхийлдэг. өнхрөхөөс зузаан хэмжилт хүртэл

Хоёрт сүүлийн үеийн жишээнүүдтоо хэмжээг тээврийн саатал гэж нэрлэдэг.

Эхний ойролцоолсон байдлаар, системийн холбоосуудад багтсан дамжуулах хоолой эсвэл урт цахилгаан шугамыг тодорхой саатлын утгаар тодорхойлж болно (тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг § 14.2-оос үзнэ үү).

Холболтын саатлын хэмжээг цаг хугацааны шинж чанарыг авч туршилтаар тодорхойлж болно. Жишээлбэл, холбоосын оролтод нэгдмэл байдлаар авсан тодорхой утгын үсрэлт хийх үед гаралт нь Зураг дээр үзүүлсэн туршилтын муруйг үүсгэдэг. 14.3, b, дараа нь бид энэ холбоосыг туршилтын муруйгаас (Зураг 14.3, б) утгыг авч сааталтай (14.2) эхний эрэмбийн холбоос гэж тодорхойлж болно.

Зураг дээрх графикийн дагуу ижил туршилтын муруй байгааг анхаарна уу. 14.3, c-г мөн тэгшитгэлтэй жирийн хоёрдугаар эрэмбийн апериод холбоосын цаг хугацааны шинж чанар гэж тайлбарлаж болно.

үүнээс гадна k-ийг өгөгдсөн холбоосын хувьд § 4.5-д бичсэн хамаарлаас, туршилтын муруй дээрх зарим хэмжилтээс эсвэл бусад аргаар тооцоолж болно.

Тиймээс цаг хугацааны шинж чанарын үүднээс авч үзвэл хоцрогдсон аргументтай (14.2) нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр ойролцоогоор тодорхойлсон бодит холбоосыг ихэвчлэн хоёр дахь эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлээр ижил түвшний ойролцоо байдлаар дүрсэлж болно. (14.5). Эдгээр тэгшитгэлийн аль нь өгөгдсөн зүйлд хамгийн сайн тохирохыг шийдэхийн тулд

Бодит холбоосын хувьд та тэдгээрийн далайц-фазын шинж чанарыг албадан хэлбэлзлийн үед динамик шинж чанарыг илэрхийлэх холбоосын туршилтаар хэмжсэн далайц-фазын шинж чанартай харьцуулж болно. Сааталтай холбоосуудын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгох талаар доор авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийг бичихдээ нэгдмэл байх үүднээс саатлын элементийн харилцааны хоёр дахь (14.4)-ийг оператор хэлбэрээр үзүүлье. Тархаж байгаад баруун талҮүнийг Тейлорын цувралаас бид олж авдаг

эсвэл өмнө нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн симбол операторын тэмдэглэгээнд,

Энэ илэрхийлэл нь функцүүдийн дүрсийн саатал теоремын томьёотой давхцаж байна (Хүснэгт 7.2). Тиймээс бид цэвэр саатлын холбоосыг олж авна дамжуулах функцзэрэг

Зарим тохиолдолд байгаа гэдгийг анхаарна уу их тооХяналтын систем дэх жижиг хугацааны тогтмолуудыг тогтмол саатал хэлбэрээр авч үзэх боломжтой; хэмжээтэй тэнцүү байнаэдгээр хугацааны тогтмолууд. Үнэн хэрэгтээ систем нь нэгдмэл утгатай тэнцэх дамжуулалтын коэффициент бүхий эхний дарааллаар холбогдсон апериод холбоосуудыг агуулж байг, тэгвэл үр дүнд нь шилжүүлэх функц болно

Хэрэв хязгаарт хүрсэн бол бид авах болно. Аль хэдийн дамжуулах функц (14.8) нь саатал (14.6) бүхий холбоосын дамжуулах функцээс бага зэрэг ялгаатай байна.

Сааталтай (14.4) дурын шугаман холбоосын тэгшитгэлийг одоо маягт дээр бичнэ

Сааталтай шугаман холбоосын дамжуулах функц нь байх болно

Энд харгалзах энгийн шугаман холбоосын сааталгүйгээр дамжуулах функцийг илэрхийлнэ.

Давтамж дамжуулах функцийг (14.10)-аас орлуулах замаар олж авна

энд сааталгүй холбоосын давтамж дамжуулах функцын хэмжээ ба үе шат. Үүнээс бид дараах дүрмийг олж авна.

Сааталтай аливаа шугаман холбоосын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгохын тулд та харгалзах ердийн шугаман холбоосын шинж чанарыг авч, түүний цэг бүрийг цагийн зүүний дагуу тойргийн дагуу өнцгөөр шилжүүлэх хэрэгтэй, энд хэлбэлзлийн давтамжийн утга энд байна. шинж чанарын өгөгдсөн цэг (Зураг 14.4, а).

Далайц-фазын шинж чанарын эхэн ба төгсгөлд эхлэх цэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх бөгөөд шинж чанарын төгсгөл нь координатын гарал үүслийн эргэн тойронд асимптотоор эргэлддэг (хэрэв операторын олон гишүүнтийн зэрэг нь олон гишүүнтээс бага бол)

Зураг дээрх хэлбэрийн бодит түр зуурын үйл явц (цаг хугацааны шинж чанар) гэж дээр дурдсан. 14.3, b-ийг ихэвчлэн тэгшитгэл (14.2) ба (14.5) хоёуланг нь ижил ойролцоо түвшинд тодорхойлж болно. (14.2) ба (14.5) тэгшитгэлийн далайц-фазын шинж чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 14.4, мөн тус тус. Үндсэн ялгааЭхнийх нь тэнхлэгтэй огтлолцох D цэгтэй

Хоёр шинж чанарыг бие биетэйгээ болон бодит холбоосын туршилтын далайц-фазын шинж чанартай харьцуулахдаа зөвхөн муруйн хэлбэр төдийгүй түүний дагуух давтамжийн тэмдгийн тархалтын шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Сааталтай шугаман систем.

Энэ нь нэг хэлхээтэй эсвэл олон хэлхээтэй байг автомат системТүүний холбоосуудын дунд сааталтай нэг холбоос байдаг. Дараа нь энэ холбоосын тэгшитгэл нь (14.9) хэлбэртэй байна. Хэрэв хэд хэдэн ийм холбоос байгаа бол тэдгээр нь байж болно өөр өөр хэмжээтэйсаатал Бүгдийг 5-р бүлэгт оруулсан болно ерөнхий томъёосистемүүдийн тэгшитгэл ба дамжуулах функцүүдэд зориулагдсан автомат зохицуулалталь ч хүнд хүчинтэй хэвээр байна шугаман системүүд(14.10) маягт дахь шилжүүлгийн функцүүдийн утгыг эдгээр томъёонд орлуулсан тохиолдолд сааталтай.

Жишээлбэл, цуваа холбогдсон холбоосуудын нээлттэй хэлхээний хувьд хоѐр удаашралтай холбоосууд тус тусад нь нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц нь хэлбэртэй байна.

Хоцролтыг харгалзахгүйгээр нээлттэй хэлхээний дамжуулах функц нь цуваа холбогдсон холбоосуудын дамжуулах функцын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тиймээс цуваа холбогдсон холбоосуудын нээлттэй хэлхээний динамикийг судлахдаа бүх саатал нэг холбоос дээр төвлөрөх эсвэл өөр өөр холбоосуудад тархах эсэх нь чухал биш юм. Олон хэлхээтэй хэлхээний хувьд илүү төвөгтэй харилцааг бий болгоно.

Хэрэв сөрөг утгатай холбоос байгаа бол санал хүсэлт, сааталтай, дараа нь тэгшитгэлээр тайлбарлах болно;

Сааталтай системүүд нь өмнө нь авч үзсэн системүүдээс ялгаатай нь тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн холбоосууд нь гаралтын утгын өөрчлөлт (оролтын утгын өөрчлөлт эхэлсний дараа) m-ээр хоцордог. , саатал хугацаа гэж нэрлэгддэг ба энэ саатлын хугацаа нь дараагийн процессын туршид тогтмол хэвээр байна.

Жишээлбэл, холбоосыг тэгшитгэлээр тайлбарлавал

(эхний эрэмбийн үеийн холбоос), дараа нь сааталтай харгалзах холбоосын тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно.

(хоцролттой хугацааны эхний эрэмбийн холбоос). Эдгээр төрлийн тэгшитгэлийг хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дараа нь (6.31) тэгшитгэлийг энгийн хэлбэрээр бичнэ

тэгээс нэг хүртэл огцом өөрчлөгддөг (Зураг 6.20,

холбоосын тэгшитгэлийн баруун талд зогсож,

). Ерөнхий тохиолдолд (6.31)-ийн хувьд сааталтай аливаа холбоосын динамикийн тэгшитгэлийг хоёр хувааж болно.

хоцролттой холбоосын нөхцөлт задаргаа (Зураг 6.21, а) хоёр болгон: ижил дарааллын болон ижил коэффициенттэй энгийн холбоос ба түүнээс өмнөх саатлын элемент (Зураг 6.21,6).

өнхрөхөөс зузаан хэмжигч хүртэлх металлын шилжилтийн хугацааг хэлнэ. Сүүлийн хоёр жишээнд m утгыг тээвэрлэлтийн саатал гэж нэрлэдэг.

Эхний ойролцоолсон байдлаар, системийн холбоосуудад багтсан дамжуулах хоолой эсвэл урт цахилгаан шугамыг тодорхой саатлын утгаар тодорхойлж болно t.

Зурагт үзүүлэв. 6.22, b, тэгвэл бид энэ холбоосыг туршилтын муруйгаас m, Г ба k утгуудыг авч, саатал (6.31) бүхий апериодын нэгдүгээр зэрэглэлийн холбоос гэж тодорхойлж болно (Зураг 6.22, b).

Зураг дээрх графикийн дагуу ижил туршилтын муруй байгааг анхаарна уу. 6.22c-ийг мөн тэгшитгэлтэй ердийн хоёр дахь эрэмбийн апериод холбоосын цаг хугацааны шинж чанар гэж тайлбарлаж болно.

ба k-г өгөгдсөн холбоосын хувьд § 4.5-д бичсэн хамаарлаас, туршилтын муруй дээрх зарим хэмжилтээс эсвэл бусад аргаар тооцоолж болно.

функц (6.36) нь сааталтай (6.35) холбоосын дамжуулах функцээс бага зэрэг ялгаатай.

Сааталтай (6.33) дурын шугаман холбоосын тэгшитгэлийг одоо маягт дээр бичнэ

Сааталтай шугаман холбоосын дамжуулах функц нь байх болно

харгалзах энгийн холбоосыг сааталгүйгээр дамжуулах функцийг зааж өгсөн болно.

- холбоосын давтамж дамжуулах функцийн модуль ба үе шатыг сааталгүйгээр.

Үүнээс бид дараах дүрмийг олж авна.

Сааталтай аливаа холбоосын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгохын тулд та харгалзах энгийн холбоосын шинж чанарыг авч, түүний цэг бүрийг өгөгдсөн цэг дэх хэлбэлзлийн давтамжийн утга байх өнцгөөр цагийн зүүний дагуу эргүүлэх хэрэгтэй. шинж чанарын (Зураг 6.23, а).

эхлэлийн цэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх ба шинж чанарын төгсгөл нь эхийн эргэн тойронд асимптотоор ороогдоно (хэрэв операторын олон гишүүнт B нь олон гишүүнт C-ээс бага бол).

Зураг дээрх хэлбэрийн бодит түр зуурын үйл явц (цаг хугацааны шинж чанар) гэж дээр дурдсан. 6.22, b-ийг ихэвчлэн тэгшитгэл (6.31) ба (6.34) хоёуланг нь ижил ойролцоо түвшинд тодорхойлж болно. (6.31) ба (6.34) тэгшитгэлийн далайц-фазын шинж чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 6.23, a ба b. Эхнийх нь үндсэн ялгаа нь тэнхлэгтэй огтлолцсон D цэгтэй байдаг (/. Бодит холбоосын туршилтын далайц-фазын шинж чанарыг бие биетэйгээ харьцуулахдаа зөвхөн хэлбэр дүрсийг харгалзан үзэх шаардлагатай. муруй, гэхдээ бас түүний дагуу давтамжийн тэмдгийн тархалтын шинж чанар.

Нээлттэй давталтын системийн функцийг цаг алдалгүй шилжүүлэх.

Онцлогийн тэгшитгэл хаалттай систем, Бүлэгт үзүүлсэн шиг. 5, харагдаж байна

тэгшитгэл нь хязгааргүй олон үндэстэй байж болно.

Давтамж дамжуулах функцийг ашиглан бүтээгдсэн нээлттэй давталтын утгын далайц-фазын шинж чанарын тойм ихээхэн өөрчлөгддөг.

дагуу систем нээгдэнэ тодорхой дүрэмүүнийг доор өгөв.

Үүний үр дүнд эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн шугаман системийн сааталтай тогтвортой байдлын хувьд зөвхөн эерэг коэффициентүүд хангалттай байхаа больсон бол гурав дахь ба түүнээс дээш түвшний сааталтай системүүдийн хувьд Вышнеградский, Рутийн тогтвортой байдлын шалгуур үзүүлэлтүүд нь хангалттай байхаа больсон. болон Хурвиц хамаарахгүй.

Доор бид тогтвортой байдлыг зөвхөн Nyquist шалгуураар тодорхойлохыг авч үзэх болно, учир нь энэ үрэлд ашиглах нь хамгийн энгийн зүйл юм.

1 Нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функцийг (6.38) хэлбэрээр үзүүлбэл далайц-фазын шинж чанарыг бий болгох, тогтвортой байдлын судалгааг Nyquist шалгуураар хийх нь дээр. Үүнд хүрэхийн тулд системийг зохих ёсоор нээх шаардлагатай.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, а, нээлхийг үндсэн хэлхээний аль ч хэсэгт хийж болно, жишээ нь, үзүүлсэн шиг. Дараа нь нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц нь (6.41) хэлбэртэй адил байна.

Зурагт үзүүлсэн хэргийн хувьд. 6.24, b, үндсэн хэлхээг нээх нь илэрхийлэлийг өгнө

Нээлттэй циклийн системийн функцууд нь цаашдын судалгаанд тохиромжгүй:

Эцэст нь, Зураг дээр үзүүлсэн тохиолдолд. 6.24, в, системийг заасан байршилд нээх үед бид (6.41)-тэй давхцах илэрхийлэлийг олж авна.

Давтамж дамжуулах функцийг (6.41) гэж дүрсэлж болно

Тиймээс (6.41) илэрхийллийг хэлбэрээр танилцуулж байна

Хугацааны хоцрогдолтой логистик тэгшитгэлийг махчин ба олзны харилцан үйлчлэлийг судлахад ашиглаж болно - Логистик тэгшитгэлийн дагуу тогтвортой хязгаарын мөчлөг.
Цаг хугацааны хоцрогдол байгаа нь махчин, олзны харилцааны энгийн системийг загварчлах өөр аргыг ашиглах боломжийг олгодог.

Энэ арга нь логистик тэгшитгэл дээр суурилдаг (6.9-р хэсэг):

Хүснэгт 10.1. Үндсэн ижил төстэй байдалпопуляцийн динамикийг нэг талаас Лотка-Вольтерра загвараас (мөн ерөнхийдөө махчин-олзны төрлийн загвараас), нөгөө талаас цаг хугацааны хоцрогдолтой логистик загвараас олж авсан. Аль ч тохиолдолд олзны элбэг дэлбэг байдлын максим (болон минимум)-ын дараа махчин амьтдын элбэг дэлбэг байдлын максимум (болон минимум) бүхий дөрвөн фазын мөчлөг байдаг.

Энэ тэгшитгэл дэх махчин амьтдын популяцийн өсөлтийн хурд нь анхны хэмжээ (C) ба тодорхой өсөлтийн хурдаас хамаарна, r-(K-C) I Kf энд K нь махчин амьтны популяцийн хамгийн их ханасан нягтрал юм. Харьцангуй хувь хэмжээ нь эргээд хүрээлэн буй орчны дутуу ашиглалтын түвшингээс (K-S) хамаардаг бөгөөд энэ нь махчин амьтдын популяцийн хувьд махчин амьтдын хэрэгцээ нь олзны олдоцоос давсан хэмжээ гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч олдоц олдоц, улмаар махчин амьтдын популяцийн өсөлтийн харьцангуй хурд нь өмнөх тодорхой хугацаанд махчин амьтдын популяцийн нягтралыг илэрхийлдэг (6.8.4-р хэсэг). Өөрөөр хэлбэл, махчин амьтдын өөрийн нягтралд хариу үйлдэл үзүүлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол үүсч болно.
dC „ l ( K Cnow-Iag \
- - G. Gnow j.
Хэрэв энэ саатал бага эсвэл махчин амьтан хэт удаан үрждэг бол (жишээлбэл, r-ийн утга бага бол) ийм популяцийн динамик нь энгийн логистикийн тэгшитгэлээр тодорхойлсоноос мэдэгдэхүйц ялгаатай байх болно (5-р сар, 1981a-г үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч хоцрогдол ба нөхөн үржихүйн хурдны дунд эсвэл өндөр утгын үед популяци тогтвортой хязгаарын мөчлөгтэй хэлбэлздэг. Түүнчлэн, хэрэв эдгээр тогтвортой хязгаарын мөчлөгүүд нь хугацааны хоцрогдолтой логистикийн тэгшитгэлийн дагуу явагддаг бол тэдгээрийн үргэлжлэх хугацаа (эсвэл "хугацаа") нь өмнөх үеийнхээс ойролцоогоор дөрөв дахин их байна.

тэдний тооны хэлбэлзлийн механизмыг ойлгохын тулд хохирогчид.
Байгалийн популяциас олж авсан олон тооны жишээнүүд нь махчин амьтан, олзны тоон дахь тогтмол хэлбэлзлийг илрүүлж болно. Тэдгээрийг Сект дээр авч үздэг. 15.4; Зөвхөн нэг жишээ энд хэрэг болно (Keith, 1983). Туулайн популяцийн хэлбэлзлийн талаар экологчид манай зууны 20-аад оноос хойш хэлэлцэж эхэлсэн бөгөөд анчид үүнийг 100 жилийн өмнө илрүүлжээ. Жишээ нь, Америкийн уулын туулай (Lepus americanus) ойд байдаг Хойд америкнь "10 жилийн хүн амын мөчлөгтэй" (хэдийгээр түүний үргэлжлэх хугацаа нь 8-11 жилийн хооронд хэлбэлздэг; Зураг Б). Энэ нутагт өвсөн тэжээлт амьтдын дунд уулын туулай зонхилдог; энэ нь олон тооны бутны найлзууруудын үзүүрээр хооллодог ба жижиг моднууд. Түүний тооны хэлбэлзэл нь шилүүс (Lynx canadensis) зэрэг олон тооны махчин амьтдын тооны хэлбэлзэлтэй тохирч байна. Популяцийн 10 жилийн мөчлөг нь бусад өвсөн тэжээлт амьтад, тухайлбал хүзүүвчтэй, америк өвслөг амьтдын онцлог шинж юм. Туулайны популяцид ихэвчлэн 10-30 дахин, таатай нөхцөлд 100 дахин өөрчлөлт ажиглагдаж болно. Эдгээр хэлбэлзэл нь Аляскаас Ньюфаундленд хүртэлх өргөн уудам газар нутагт нэгэн зэрэг тохиолдох үед онцгой гайхалтай юм.
Уулын туулайн тоо толгой буурч байгаа нь төрөлт бага, өсвөр насныхны эсэн мэнд амьдрах чадвар бага, жингийн алдагдал, өсөлтийн хурд бага байна; Эдгээр бүх үзэгдлийг хоол тэжээлийн нөхцлийг дордуулах замаар туршилтаар дахин гаргаж болно. Нэмж дурдахад, туулай элбэг дэлбэг байх үед хүнсний хүртээмж буурч байгааг шууд ажиглалт баталж байна. Хэдийгээр илүү чухал зүйл бол ургамал нь хэт их идэхэд хариу үйлдэл үзүүлж, хорт бодис ихтэй найлзуурыг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь туулайнд идэшгүй болгодог. Хамгийн чухал зүйл бол ургамлыг хүчтэй хазсаны дараа 2-3 жилийн турш ийм байдлаар хамгаалагдсан хэвээр байх явдал юм. Энэ нь туулайн тоо толгой буурч, хүнсний нөөцөө нөхөн сэргээх хооронд ойролцоогоор 2.5 жил хойшлогдоход хүргэдэг. Хоёр жил хагас нь ижил хугацааны хоцрогдол бөгөөд нэг мөчлөгийн үргэлжлэх хугацааны дөрөвний нэгтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь энгийн загваруудын таамаглалтай яг таарч байна. Тиймээс туулайн популяци ба ургамлын популяци хоорондын харилцан үйлчлэл нь туулайн тоог цөөрүүлж, цаг хугацааны хоцрогдолтой явагддаг бөгөөд энэ нь мөчлөгийн хэлбэлзлийг үүсгэдэг.
Махчин амьтад туулайн тооны хэлбэлзлийг дагахаас илүүтэйгээр дагадаг. Гэсэн хэдий ч туулайн тоо цөөрсөн үед махчин амьтдын тоо, олзны тоонд харьцуулсан харьцаа өндөр, түүнчлэн хамгийн бага тооноос хойшхи хугацаанд бага харьцаатай байгаагаас шалтгаалан хэлбэлзэл илүү тод харагдаж магадгүй юм. туулай, махчин амьтдаас түрүүлж тоогоо сэргээх үед (Зураг 10.5). Түүнчлэн шилүүс, туулайны харьцаа өндөр байх үед махчин амьтан иддэг олон тооныуулархаг тоглоом, бага харьцаатай - жижиг. Энэ нь эдгээр жижиг өвсөн тэжээлтний популяцийн хэлбэлзлийн шалтгаан болж байна (Зураг 10.5). Ийнхүү туулай, ургамлын харилцан үйлчлэл нь туулайн элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг үүсгэдэг, махчин амьтад элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг давтаж, өвсөн тэжээлт шувуудын популяцийн мөчлөг нь махчин амьтдын даралтын өөрчлөлтөөс үүсдэг. Энэ нь ойлгомжтой энгийн загваруудхүн амын хэлбэлзлийн механизмыг ойлгоход тустай байгалийн нөхцөл, гэхдээ эдгээр загварууд нь эдгээр хэлбэлзэл үүсэхийг бүрэн тайлбарлаж чадахгүй.

ОРШИЛ

ОХУ-ын Боловсролын яам

Олон улсын боловсролын консорциум "Нээлттэй боловсрол"

Москва Улсын их сургуульэдийн засаг, статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан

ANO "Евразийн нээлттэй хүрээлэн"

Е.А.Геворкян

Дифференциал тэгшитгэларгументтай

Сурах бичгийн хичээлийг судлах гарын авлага

Сахилгын даалгаврын цуглуулга Сахилгын сургалтын хөтөлбөр

Москва 2004 он

Геворкян Е.А. ХОЦРОГДОЛТОЙ АРГУМЕНТТЭЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТҮҮД: Сурах бичиг, хичээлийг судлах гарын авлага, тухайн хичээлийн даалгаврын цуглуулга, тухайн хичээлийн сургалтын хөтөлбөр / Москвагийн Улсын Эдийн засаг, Статистик, Мэдээлэл зүйн Их Сургууль - М.: 2004. - 79 х.

Геворкян Е.А., 2004 он

Москвагийн Улсын эдийн засаг, статистик, мэдээлэл зүйн их сургууль, 2004 он

Заавар
Оршил................................................. ....... ................................................. ............. .................................
1.1 Дифференциал тэгшитгэлийн ангилал
хазайсан аргумент. Анхны асуудлын мэдэгдэл................................................. ............ .
1.2 Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Алхам арга. .........
1.3 Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай ...................................... ........ ...........................
1.4 Хоцрогдсон аргументтай шугаман дифференциал тэгшитгэл......
1.5 Хоцрогдсон аргументтай дифференциал Бернулли тэгшитгэл. ...............
1.6 Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
II БҮЛЭГ. Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
2.1. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн үечилсэн шийдлүүд
-тай тогтмол коэффициентүүдмөн хожимдсон маргаантай................................................. ......
2.2. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
..................
2.3. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр...................................... ........ ................................................
2.4. Шугаман нэг төрлийн бус тодорхой үечилсэн шийдлийг олох
тогтмол коэффициенттэй ба хоцрогдсон дифференциал тэгшитгэл
Тэгшитгэлийн баруун талыг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэх аргументууд...................................... .............. .
III БҮЛЭГ. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх ойролцоо аргууд
хойшлуулсан маргаантай................................................. ................................................................ .......................... .
3.1. Үл мэдэгдэх функцийг өргөжүүлэх ойролцоо арга
хоцрогдлын зэрэглэлээр хоцрогдсон аргументтай ............................................. ............ ........
3.2. Ойролцоогоор Пуанкаре арга. ................................................... ...... ................................
IV БҮЛЭГ. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд,
заримыг шийдвэрлэх үед гарч ирдэг эдийн засгийн даалгавар
цаг хугацааны хоцрогдол зэргийг харгалзан ........................................... ....... ................................................. ............. ..............

4.1. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай өөрчлөлтийг тайлбарлах хоцрогдсон аргумент

бэлэн мөнгөний нөөц................................................. ................... ................................... ......................... .......
4.2. Онцлог тэгшитгэл. Реалын хэрэг
шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс................................................. ................................................................ .........
4.3. Онцлог тэгшитгэлийн нийлмэл язгуурын тохиолдол...................................
4.4. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл,
(үндэсний орлоготой пропорциональ хэрэглээ)................................................. ...... .........
4.5. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл,
үндэсний орлогын динамикийг хоцрогдолтой загварт дүрсэлсэн
(хэрэглээ өсөлтийн хурдаар экспоненциалаар өсдөг) ...................................... ............ .........
Уран зохиол.................................................. ................................................... ...... ...........................

Сахилга батыг судлах гарын авлага
2. Үндсэн сэдвүүдийн жагсаалт................................................. ....... ................................................. ............. ......
2.1. Сэдэв 1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт. Ангилал
хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэл.
Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. .............................................
2.2. Сэдэв 2. Анхны асуудлын мэдэгдэл. Шийдлийн алхамуудын арга
хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Жишээ.................................
2.3. Сэдэв 3. Салгах боломжтой дифференциал тэгшитгэл
хувьсагч болон хоцрогдсон аргументтай. Жишээ. ................................................... ...... ..
2.4. Сэдэв 4. Шугаман дифференциал тэгшитгэл
2.5. Сэдэв 5. Бернулли дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................... ...... ...........................
2.6. Сэдэв 6. Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл
хойшлуулсан маргаантай. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл. Жишээ..............
2.7. Сэдэв 7. Шугаман нэгэн төрлийн дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.
2.8. Сэдэв 8. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциалын үечилсэн шийдлүүд
тогтмол коэффициенттэй, хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэлүүд.
Жишээ. ................................................... ...... ................................................... ...................... ...................................
2.9. Сэдэв 9. Фурье цувралын нийлмэл хэлбэр. Үеийн хуваарийг олох
шугаман шийдлүүд нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлтогтмол коэффициенттэй ба хамт
тэгшитгэлийн баруун талыг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх замаар хоцрогдсон аргумент.
Жишээ. ................................................... ...... ................................................... ...................... ...................................
2.10. Сэдэв 10. Дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоо шийдэл
сааталаас функцийг өргөтгөх саатлын аргумент арга
саатлын зэргээр. Жишээ................................................. . ................................................
2.11. Сэдэв 11. Үе үеийг олох ойролцоогоор Пуанкаре арга
бага параметртэй бараг шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүд ба
хойшлуулсан маргаантай. Жишээ. ................................................... ...... ...........................

2.12. Сэдэв 12. Колецкийн эдийн засгийн мөчлөг. Дифференциал тэгшитгэл

-тай Бэлэн мөнгөний нөөцийг харуулсан K(t) функцийн хоцрогдсон аргумент

t үеийн үндсэн хөрөнгө................................................. ...... ................................................... ............ ...
2.13. Сэдэв 13. Харгалзах шинж чанарын тэгшитгэлийн шинжилгээ
K(t) функцийн дифференциал тэгшитгэл. ................................................... ...... .............
2.14. Сэдэв 14. Кейс нэгдсэн шийдлүүдшинж чанарын тэгшитгэл
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2.15. Сэдэв 15. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв
хэрэглээний функц нь c(t -τ) = (1 - α) y (t -τ) хэлбэртэй, энд α нь тогтмол хурд юм.
үйлдвэрлэлийн хуримтлал.................................................. ... ................................................... ....
2.16. Сэдэв 16. y(t) функцийн дифференциал тэгшитгэлийг үзүүлэв
хоцрогдолтой загваруудад үндэсний орлого хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтгэж заасан
хэрэглэгчийн функц нь c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) .......................... хэлбэртэй байна. ........ ...................................................
Сахилга батын даалгаврын цуглуулга................................................. ................................... .......................... .................
Сахилгын сургалтын хөтөлбөр................................................. ................................................................

Заавар

ОРШИЛ

Оршил

Одоо зааварЭнэ нь зарим техник, эдийн засгийн асуудалд тулгарч буй хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг нэгтгэх аргуудыг танилцуулахад зориулагдсан болно.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь ихэвчлэн үр дагавартай аливаа үйл явцыг (хоцролттой, цаг хугацааны хоцрогдолтой процессууд) тодорхойлдог. Жишээлбэл, судалж буй процессын явцад бидний сонирхож буй хэмжигдэхүүний утга нь t үед t-τ үеийн x утгаас хамаардаг бол τ нь хугацааны хоцрогдол (y(t)=f). Эсвэл t үеийн y хэмжигдэхүүний утга тухайн үеийн ижил хэмжигдэхүүний утгаас хамаарах үед

цэс t-τ (y(t)=f).

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон процессууд нь байгалийн болон эдийн засгийн шинжлэх ухаанд байдаг. Сүүлд нь энэ нь нийгмийн үйлдвэрлэлийн мөчлөгийн ихэнх холболтуудад цаг хугацааны хоцрогдол байгаа, хөрөнгө оруулалтын хоцрогдол (объектуудыг төлөвлөхөөс эхлээд бүрэн хүчин чадлаараа ашиглалтад оруулах хүртэлх хугацаа) байгаатай холбоотой юм. хүн ам зүйн хоцрогдол (төрөхөөс хөдөлмөрийн насанд хүрэх хүртэлх хугацаа, эхэн үе хөдөлмөрийн үйл ажиллагааболовсрол эзэмшсэний дараа).

Техникийн болон эдийн засгийн асуудлыг шийдвэрлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол байгааг харгалзан үзэх нь чухал бөгөөд учир нь хоцрогдол байгаа нь олж авсан шийдлийн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлдөг (жишээлбэл, тодорхой нөхцөлд энэ нь шийдлийн тогтворгүй байдалд хүргэж болзошгүй).

ХАМТ МЭДЭЭЛЛЭЭРЭЭ

БҮЛЭГ I. Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үе шатуудын арга

-тай хоцрогдсон аргумент

1.1. Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн ангилал. Анхны асуудлын мэдэгдэл

Тодорхойлолт 1. Хазаж буй аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь тодорхойгүй X(t) функц гарч ирэх дифференциал тэгшитгэл юм. өөр өөр утгатаймаргаан.

X(t) = f ( t, x (t), x ) ,

X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t − τ 2 )],
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )], x [ t − τ
X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2) .

(t)]

Тодорхойлолт 2. Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь үүсмэл аргументтай дифференциал тэгшитгэл юм. хамгийн дээд тушаалүл мэдэгдэх функцээс ижил аргументын утгуудтай багтсан бөгөөд энэ аргумент нь тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативын бүх аргументуудаас багагүй байна.

2-р тодорхойлолтын дагуу τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 нөхцлийн (1) ба (3) тэгшитгэл нь хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл, (2) тэгшитгэл нь тэгшитгэл байх болно гэдгийг анхаарна уу.

хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл, хэрэв τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2 бол тэгшитгэл (4) нь t ≥ 0 тул хоцрогдсон аргументтай тэгшитгэл болно.

Тодорхойлолт 3. Тэргүүлэх аргументтай дифференциал тэгшитгэл нь аргументийн ижил утгуудын хувьд үл мэдэгдэх функцийн дээд эрэмбийн дериватив гарч ирэх ба энэ аргумент нь бусад аргументуудаас ихгүй хазайх аргументтай дифференциал тэгшитгэл юм. тэгшитгэлд орсон үл мэдэгдэх функц ба түүний уламжлал.

Тэргүүлэх аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X (t) =

X (t) =

X (t) =

f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,

f [t, x (t), x (t + τ 1), x (t + τ 2)],

f t , x (t ), x . (t), x [t + τ (t)], x. [ t + τ

(t)] .

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЛЭЭРЭЭ

Тодорхойлолт 4. Хоцрогдсон буюу тэргүүлэх аргументтай тэгшитгэл биш, хазайсан аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг саармаг төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Саармаг төрлийн хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн жишээ:

X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ )

X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] .

Үүнтэй төстэй ангиллыг "функц" гэсэн үгийг "вектор функц" гэсэн үгээр солих замаар хазайсан аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системд ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг хазайх аргументтай авч үзье.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] ,

Энд τ ≥ 0 ба t − τ ≥ 0 (үнэндээ бид хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үзэж байна). (10) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн ажил нь дараах байдалтай байна: тодорхойлох тасралтгүй шийдэл X (t) тэгшитгэл (10) t > t 0 (t 0 –)

тогтмол хугацаа) t 0 − τ ≤ t ≤ t 0 үед X (t) = ϕ 0 (t) байх нөхцөлд, ϕ 0 (t) нь өгөгдсөн тасралтгүй эхний функц юм. [ t 0 − τ , t 0 ] сегментийг анхны олонлог, t 0 нь эхлэлийн цэг гэж нэрлэдэг. X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) гэж таамаглаж байна (Зураг 1).

X (t) = ϕ 0 (t)

	t 0 − τ		t 0 + τ		0 + τ
Хэрэв саатал τ		(10) тэгшитгэлд t хугацаанаас хамаарна		(τ = τ (t)), дараа нь эхний

Энэ бодлогыг дараах байдлаар томъёолсон: t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0 анхны функц X (t ) = ϕ 0 t мэдэгдэж байгаа бол t > t 0 бол (10) тэгшитгэлийн шийдийг ол.

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол.

X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ]
t > t 0 = 0-д, хэрэв анхны функц X (t) = ϕ 0 (t) бол (t 0 − cos2 t 0) |	t ≤ t0
t0 = 0

− 1 ≤ t ≤ 0).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЛЭЭРЭЭ

Жишээ. Тэгшитгэлийн шийдийг ол

	X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ]			үед (т	−t	/ 2) |
	Анхны функц X (t) = ϕ t бол t > t 0 = 1						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/ 2 ≤ t ≤ 1).

Анхдагч функц нь ихэвчлэн тодорхойлогдсон эсвэл туршилтаар олддог гэдгийг анхаарна уу (ихэвчлэн техникийн асуудалд).

1.2. Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлүүд. Алхам арга

Хоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.

t ≥ t 0 бол (13) тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.

t ≥ t 0 тэгшитгэлийн (13) шийдлийг олохын тулд алхамын аргыг (дараалсан интеграцийн арга) ашиглана.

Алхам аргын мөн чанар нь бид эхлээд (13) тэгшитгэлийн t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ, дараа нь t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэтийн шийдлийг олоход оршино. Энэ тохиолдолд бид жишээ нь t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ мужид t − τ аргумент нь t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0, дараа нь тэгшитгэлд хэлбэлзэж байгааг тэмдэглэж байна.

(13) энэ мужид x (t − τ)-ийн оронд ϕ 0 (t − τ) гэсэн анхны функцийг авч болно. Дараа нь

t 0 ≤ t ≤ t 0 мужид (13) тэгшитгэлийн шийдийг олохыг бид олж мэднэ.		+ τ дахин хийх шаардлагатай
энгийн дифференциал тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр сааталгүйгээр оё.
	[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] ,
X (t) = f
t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ үед	анхны нөхцөлтэй X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (1-р зургийг үз).
	Энэ анхны асуудлын шийдлийг X (t) = ϕ 1 (t) хэлбэрээр олсон.	бид нийтэлж болно

t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ гэх мэт интервал дээр шийдийг олох бодлогыг шийднэ.

Тиймээс бидэнд байна:

			0 (t − τ ) ] ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ
t 0 үед	≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 )		= ϕ 0 (t 0 ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] ,
t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ үед,			X (t 0 + τ ) = ϕ 1 (t 0 + τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] ,
t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ үед,			X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ) ,
	X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ],
t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ, X (t 0 + n τ) = ϕ n (t 0 + n τ) үед
	ϕ i (t) байна	авч үзсэн анхны шийдэл		сегмент дэх асуудлууд
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ		(I=1,2,3…n,…).

I. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭГШИЛТИЙГ ШИЙДЭХ АЛХМЫН АРГА

ХАМТ МЭДЭЭЛЛЭЭРЭЭ

Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алхамуудын энэ арга нь (13) t-ийн өөрчлөлтийн тодорхой хязгаарлагдмал интервал дээр X (t) шийдлийг тодорхойлох боломжийг олгодог.

Жишээ 1. Алхам аргыг ашиглан хоцрогдсон аргументтай 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг ол.

	(t) = 6 X (t − 1 )
1 ≤ t ≤ 3 мужид 0 ≤ t ≤ 1-ийн анхны функц нь X (t) = ϕ 0 (t) = t хэлбэртэй байвал.
Шийдэл. Эхлээд 1 ≤ t ≤ 2 мужид (19) тэгшитгэлийн шийдийг олъё. Энэ зорилгоор
(19) бид X (t - 1) -ийг ϕ 0 (t - 1) -ээр солино, өөрөөр хэлбэл.
X (t - 1 ) = ϕ 0 (t - 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1
мөн X (1) = ϕ 0 (1) = t | -ийг харгалзан үзнэ
1 ≤ t ≤ 2 бүсэд бид ердийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.
	(t )= 6 (t − 1 )
эсвэл dx(t)	6 (t−1) .
Үүнийг (20) харгалзан шийдэж, бид 1 ≤ t ≤ 2 тэгшитгэлийн (19) шийдийг хэлбэрээр авна.
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1.
(19) тэгшитгэлийн 2 ≤ t ≤ 3 мужид шийдийг олохын тулд бид X (t − 1)-ийг орлоно.
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1		3(t − 2) 2 + 1. Дараа нь бид энгийнийг авна		дифференциал
тэгшитгэл:
	(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
шийдэл нь хэлбэртэй байна (Зураг 2)
X (т ) = 6 (т − 2 ) 3 + 6 т − 8 .

Ухрах алхам хийснээр та өөрийгөө олж, дараа нь хөдөлж, өөрийгөө алддаг.

У.Эко.Фуко дүүжин

Математик загваруудын жишээ. Үндсэн ойлголтууд

Урьдчилсан нэр томъёоны тэмдэглэл. Энэ бүлэгт бид гэж нэрлэгддэг хэрэглээнд суурилсан загваруудын талаар ярих болно хоцрогдсон дифференциал тэгшитгэл.Энэ онцгой тохиолдолхазайх коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд 1. Энэ ангийн синонимууд нь функциональ дифференциал тэгшитгэл эсвэл дифференциал-ялгаатай тэгшитгэл юм. Гэсэн хэдий ч бид "хойшлогдсон тэгшитгэл" эсвэл "хойшлогдсон тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёог ашиглахыг илүүд үздэг.

Бид дүн шинжилгээ хийхдээ "дифференциал-ялгаатай тэгшитгэл" гэсэн нэр томьёотой өөр нөхцөл байдалд таарах болно. тоон аргуудхэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан бөгөөд энэ бүлгийн агуулгатай ямар ч холбоогүй болно.

Хоцрогдолтой экологийн загварын жишээ. В.Вольтеррагийн номонд зөвхөн махчин, идэштний одоогийн популяцийн хэмжээ төдийгүй популяцийн хөгжлийн өмнөх түүхийг харгалзан удамшлын загваруудын дараахь ангиллыг өгсөн болно.

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ерөнхий онолыг дараахь бүтээлүүдэд үзүүлэв. Беллман Р., Күүк К.Дифференциал-дифференциал тэгшитгэл. М.: Мир, 1967; Мышкис A.D.Хоцрогдсон аргументтай шугаман дифференциал тэгшитгэлүүд. М.: Наука, 1972; Хэйл Ж.Функциональ дифференциал тэгшитгэлийн онол. М.: Мир, 1984; ЭлсголтсЛ. Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М.; Шинжлэх ухаан, 1971.

Систем (7.1) нь Вольтерра төрлийн интеграл-дифференциал загваруудын ангилалд хамаарна. K ( , K 2 -зарим салшгүй цөм.

Нэмж дурдахад "махчин махчин" системийн бусад өөрчлөлтүүдийг уран зохиолоос олж болно.

Албан ёсоор (7.2) системд (7.1) системээс ялгаатай нь салшгүй нэр томъёо байдаггүй боловч махчин амьтдын биомассын өсөлт нь тэдгээрт ороогүй зүйлийн тооноос хамаардаг. Энэ мөч, мөн тухайн цаг мөчид т - Т(доор Тихэвчлэн махчин амьтдын нэг үеийн нас, эмэгтэй махчин амьтдын бэлгийн төлөвшсөн нас гэх мэтийг хэлдэг. загваруудын утга учираас хамаарч). Махчин-олзны загваруудын хувьд мөн 7.5-р хэсгийг үзнэ үү.

(7.1) ба (7.2) системүүд нь мэдэгдэхүйц байх шиг байна өөр өөр шинж чанарууд. Гэсэн хэдий ч хэзээ тусгай хэлбэр(7.1) систем дэх цөм, тухайлбал 8 функц /?,(0 - t) = 8(0 - 7^), К 2 (х - t) = 8(0 - Т 2) (ерөнхий функцууд нь дараах байдлаар тодорхойлогддог тул бид 8 функцийн талаар тодорхой нөхцөлтэйгээр ярих ёстой. шугаманфункциональ, мөн багасгасан систем нь шугаман бус), систем (7.1) систем болно

Систем (7.3) нь дараах байдлаар бүтэцлэгдсэн нь тодорхой байна: хүн амын тооны өөрчлөлт нь зөвхөн одоогийн хэмжээнээс гадна өмнөх үеийнхээс хамаарна. Нөгөө талаас (7.3) систем нь интеграл-дифференциал тэгшитгэлийн (7.1) онцгой тохиолдол юм.

Сааталтай шугаман тэгшитгэл (саатлын төрөл). Тогтмол коэффициент бүхий хоцрогдсон төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэнэ.

Хаана a, b, t -байнгын; T> 0;/ нь K дээр өгөгдсөн (тасралтгүй) функц юм. (7.4) системд ерөнхий шинж чанараа алдалгүйгээр бид тавьж болно. T= 1.

Хэрэв функц өгөгдсөн бол ойлгомжтой x(t)yt e [-G; 0], дараа нь тодорхойлох боломжтой x(t)цагт тд бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн шийдэл юм (7.4) t>-ийн хувьд 0. Хэрэв f(?) t = цэг дээр дериватив байна 0, болонφ(0) = атомын дериватив 4"(φ|,_ 0 хоёр талтай.

Баталгаа.Функцийг тодорхойлъё x(t) =φ(?) дээр |-7"; 0]. Дараа нь (7.4) уусмалыг хэлбэрээр бичиж болно.

(тогтмолуудын өөрчлөлтийн томъёог хэрэглэнэ). Функцээс хойш x(t) дээр мэдэгдэж байна. Энэ үйл явцыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Харин эсрэгээр, хэрэв x(?) функц нь (7.5) томъёог ) дээр хангаж байвал. гэсэн асуултыг олж мэдье тогтвортой байдалэнэ шийдвэрийн тухай. Нэгжийн уусмалаас жижиг хазайлтыг тэгшитгэлд (7.8) орлуулах z(t) = 1 - у(т),бид авдаг

Энэ тэгшитгэлийг уран зохиолд судалсан бөгөөд энэ нь үечилсэн шийдүүдийн талаархи хэд хэдэн теоремуудыг хангаж байгааг харуулсан. a = m/2 үед Hopf хуваагдал үүснэ-тогтмол цэгээс хязгаарын мөчлөг үүсдэг. (7.9) тэгшитгэлийн шугаман хэсгийн шинжилгээний үр дүнгээс энэхүү дүгнэлтийг гаргажээ. Шугаманчлагдсан Хатчинсоны тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэл нь

Шугаман тэгшитгэлийн тогтвортой байдлын судалгаа (7.8) нь хөдөлгөөнгүй төлөвийн тогтвортой байдлын судалгаа гэдгийг анхаарна уу. y(t)= 0. Энэ нь A, = a > 0 бол тогтвортой байдал тогтворгүй бөгөөд Hopf хуваагдал үүсэхгүй.

Ж.Хейл цааш нь (7.9) тэгшитгэл нь a > n/2 бүрийн хувьд тэгээс өөр үечилсэн шийдэлтэй болохыг харуулж байна. Үүнээс гадна аль ч үетэй үечилсэн шийдэл (7.9) байгаа тухай теоремыг баталгаагүйгээр өгсөн болно. p> 4.