Курсын ажил: Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргууд. Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга
Холбооны боловсролын агентлаг
Сочи Улсын их сургуульаялал жуулчлал, амралтын газрын бизнес
Мэдээллийн технологи, математикийн факультет
Ерөнхий математикийн тэнхим
Курсын ажилсахилга батаар
"Тоон аргууд"
"Ньютоны арга ба түүний системийг шийдвэрлэхэд зориулсан өөрчлөлтүүд шугаман бус тэгшитгэл»
Гүйцэтгэсэн:
3-р курсын оюутан
бүлэг 06-INF
Лавренко М.В.
Шалгасан:
дэд профессор, нэр дэвшигч
сурган хүмүүжүүлэх шинжлэх ухаан
Шинэ бүтээн байгуулалтын улмаас компьютерийн шинжлэх ухаанӨнөө үеийн инженерийн практикт улам бүр тулгарч байна математикийн асуудлууд, яг шийдлийг олж авахад маш хэцүү эсвэл боломжгүй юм. Эдгээр тохиолдолд нэг нь ихэвчлэн нэг эсвэл өөр ойролцоо тооцоололд ордог. Тийм ч учраас ойролцоогоор болон тоон аргууд математик шинжилгээ-д хүлээн авсан өнгөрсөн жилөргөн хүрээтэй хөгжиж, онцгой ач холбогдолтой болсон.
Энэхүү курсын ажил нь алдарт Ньютоны арга, түүний шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх аргачлалын талаар авч үзэх болно. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь тооцооллын математикийн хамгийн хэцүү асуудлын нэг юм. Асуудал нь системд шийдэл байгаа эсэх, хэрвээ тийм бол хэд нь болохыг тодорхойлох явдал юм. Бид Ньютоны үндсэн ба хялбаршуулсан аргуудын нийлэлтийг судалж, Якоби матрицыг ойролцоогоор урвуулахад давтагдах процессыг ашиглан Ньютоны аргаар олж авсан аргыг судалдаг.
Энэ нь мөн товчхон тайлбарлав: худал байрлалын аргууд, секант арга, Стеффенсений арга зэрэг нь ихэвчлэн тохиолддог. хамгийн сайн сонголтШугаман бус тэгшитгэлийн системийг секант арга эсвэл худал байрлалын аргаар шийдвэрлэхэд зориулагдсан.
Алдарт Ньютоны арга бол хамгийн алдартай арга юм үр дүнтэй аргуудянз бүрийн шугаман бус асуудлыг шийдвэрлэх. Аргын тооцооллын томъёог янз бүрийн аргуудыг ашиглан олж авч болно. Тэдгээрийн хоёрыг авч үзье.
1) Шүргэх арга.
Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргын тооцооны томьёог гаргаж авъя
энгийн геометрийн бодол санаанаас. Үндэст өгөгдсөн анхны ойролцоо утгатай байг . Координаттай цэг дээр бид функцийн график руу шүргэгч зурж, энэ шүргэгчийг тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсциссыг шинэ ойролцоолсон байдлаар авна. Үүнтэй адилаар бид координаттай цэг дээр график руу татсан шүргэгч тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсциссыг авна. Энэ үйл явцыг цааш үргэлжлүүлснээр бид дарааллыг олж авна
үндэстэй ойрхон. Функцийн графикт татсан шүргэгчийн тэгшитгэл
нэг цэгт дараах хэлбэртэй байна. (1.1)Тэгш байхаар тооцвол (1.1)
, абсцисса нөхцөл хангагдсан үед тэнхлэгтэй шүргэгчийн огтлолцлын цэг нь тэгш байдлыг хангадаг болохыг тэмдэглэв: . (1.2)үүнээс илэрхийлж байна
, бид тооцооллын томъёог олж авна Ньютоны арга :
, . (1.3)
Энэхүү геометрийн тайлбараас болж энэ аргыг ихэвчлэн гэж нэрлэдэг шүргэгч арга .
Тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай байг
(1) - өгөгдсөн, шугаман бус (тэдгээрийн дотор шугаман байж болно) бодит үнэ цэнэтэй функцууд Пбодит хувьсагч
. Тэмдэглэх,
, энэ систем(2.1)-ийг нэг тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно
(2)вектор функцийн хувьд Фвектор аргумент x. Тиймээс анхны бодлогыг шугаман бус зураглалын тэгүүдийн тухай бодлого гэж үзэж болно
Энэ нөхцөлд өмнөх бүлгийн гол асуудал болох нэг хэмжээст шугаман бус зураглалын тэгийг олох аргуудыг бий болгох асуудлыг шууд ерөнхийд нь авч үзсэн болно. Үнэн хэрэгтээ энэ нь зөвхөн өндөр хэмжээст орон зайд л адилхан асуудал юм. Тиймээс дээр дурдсан аргуудын үндсэн дээр үүнийг шийдвэрлэх аргуудыг дахин бүтээх, мөн скаляр тохиолдлоор гаргаж авсан тооцооллын томъёог албан ёсоор шилжүүлэх боломжтой. Ямар ч тохиолдолд вектор хувьсагч дээр тодорхой үйлдлүүдийн хууль ёсны байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй вектор функцууд, түүнчлэн ийм аргаар олж авсан давтагдах процессуудын нэгдэл дээр. Ихэнхдээ эдгээр процессуудын конвергенцийн теоремууд нь скаляр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргын хувьд олж авсан харгалзах үр дүнгийн өчүүхэн ерөнхий дүгнэлт юм. Гэсэн хэдий ч бүх үр дүн, бүх аргыг хэргээс шилжүүлж болохгүй П= тохиолдол бүрт 1 П≥2. Жишээлбэл, векторуудын багц дараалалгүй тул дихотомийн аргууд энд ажиллахаа болино. Үүний зэрэгцээ, -аас шилжилт n= 1 хүртэл n ≥ 2-т шугаман бус зураглалын тэгийг олох асуудалд өөрийн онцлог шинж чанаруудыг танилцуулж, энэ нь шинэ аргууд, одоо байгаа аргуудын янз бүрийн өөрчлөлтөд хүргэдэг. Ялангуяа шугаман бус системийг шийдвэрлэх аргын асар их хэлбэлзэл нь өгөгдсөн шугаман бус вектор функцийг алхам алхмаар шугаман болгох явцад үүссэн шугаман алгебрийн асуудлыг шийдвэрлэх олон арга замтай холбоотой юм. Ф ( x ).2) Шугаманчлалын арга.
2. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх Ньютоны арга.
Энэ арга нь энгийн давталтын аргаас хамаагүй хурдан нийлдэг. Ньютоны тэгшитгэлийн системийн арга (1.1) нь функцүүдийн өргөтгөлийг ашиглахад суурилдаг.
, хаана 
(2.1)
Тейлорын цуврал болон хоёр дахь буюу түүнээс дээш зүйлийг агуулсан нэр томъёо өндөр захиалгадеривативуудыг хаядаг. Энэ арга нь асуудлыг шийдэх боломжийг олгодог шугаман бус систем(1.1)-ийг хэд хэдэн шугаман системийн шийдлээр солино.
Ийнхүү (1.1) системийг Ньютоны аргаар шийднэ. D хэсэгт бид дурын цэгийг сонгоно 
мөн үүнийг анхны системийн яг шийдлийн тэг ойролцоо гэж нэрлэнэ. Одоо бид цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралын (2.1) функцуудыг өргөжүүлэв. Байх болно
Учир нь (2.2)-ын зүүн талууд (1.1)-ийн дагуу алга болох ёстой, дараа нь (2.2)-ын баруун талууд мөн алга болно. Тиймээс (2.2) -аас бид байна
(2.3)-д заасан бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолох ёстой.
(2.3) нь шугаман систем юм алгебрийн тэгшитгэлүл мэдэгдэх зүйлсийн тухайд Хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай бол энэ системийг Крамерын аргаар шийдэж, хэмжигдэхүүнүүдийг олно.
Одоо бид координатаар эхний ойролцооллыг бий болгосноор тэг ойролцоо утгыг боловсронгуй болгож чадна.
тэдгээр. 
. (2.6)
Ойролцоогоор (2.6) хангалттай нарийвчлалтайгаар олж авсан эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд нөхцөл байдлыг шалгана уу
, 
(2.7)
хаана 
урьдчилан томилогдсон жижиг эерэг тоо(ямар систем (1.1)-ийг шийдэх ёстой нарийвчлал). Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон (2.6)-г сонгож тооцооллыг дуусгана. Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдаагүй бол бид дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Системд (2.3) оронд 
залруулсан утгыг авна
, (2.8)
тэдгээр. дараах зүйлийг хий
. (2.9)
Үүний дараа (2.3) систем нь хэмжигдэхүүнтэй холбоотой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем байх болно. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсны дараа дараагийн хоёр дахь ойртолт 
(1.1) системийн шийдлийг томъёогоор олно
Одоо нөхцөлийг шалгацгаая (2.7) 
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон хоёр дахь ойролцооллыг авч тооцооллыг дуусгана. 
. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид (2.3)-ыг авч дараагийн ойролцоо тооцоог үргэлжлүүлнэ. 
Нөхцөл биелэх хүртэл ойролцоогоор тооцоолол хийх шаардлагатай.
(1.1) системийг шийдэх Ньютоны аргын ажлын томьёог дараах байдлаар бичиж болно
Тооцооллын дараалал
Энд 
системийн шийдэл юм
(2.11)-(2.13) томъёог ашиглан тооцоо хийх алгоритмыг томъёолъё.
1. Бид D мужид хамаарах тэг ойролцоо утгыг сонгоно.
2. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системд (2.13) бид тогтоосон 
, а.
3. (2.13) системийг шийдэж, хэмжигдэхүүнүүдийг олно 
.
4. Томъёонд (2.12) бид тогтоосон 
ба дараагийн ойролцоо тооцооны бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолох.
5. Нөхцөл (2.7)-г шалгана уу: (Хэд хэдэн хэмжигдэхүүний дээд хэмжээг тооцоолох алгоритмыг үзнэ үү.)
6. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдийг ойролцоолсноор бид тооцооллыг дуусгана. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол 7-р алхам руу очно уу.
7. Тавьцгаая 
бүгдэд нь .
8. Тохиргоогоор 3-р зүйлийг биелүүлье 
.
Геометрийн хувьд энэ алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно
Алгоритм. Хамгийн ихдээ хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох.
Жишээ. Хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Ньютоны аргыг ашиглах талаар бодож үзээрэй.
хүртэлх нарийвчлалтай Ньютоны аргаар дараах шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийд
, (2.14)
энд 
. Бид тэг ойролцоо утгыг сонгодог 
, мужид хамаарах D. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг байгуулъя (2.3). Тэр харах болно
(2.15)
Тэмдэглэх
Бид (2.15) системийг үл мэдэгдэх зүйлийн талаар шийддэг 
, жишээ нь Крамерын аргаар. Бид Крамерын томъёог хэлбэрээр бичнэ
(2.17)
системийн гол тодорхойлогч хаана байна (2.15)
(2.18)
(2.15) системийн туслах тодорхойлогч нь хэлбэртэй байна
.
Бид олсон утгыг (2.16) -д орлуулж, эхний ойролцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олно. 
системийн шийдэлд (2.15).
Нөхцөл байдлыг шалгацгаая
, (2.19)
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид эхний ойролцооллыг системийн (2.15) ойролцоо шийдэл болгон авч тооцооллыг дуусгана. 
. Хэрэв нөхцөл (2.19) хангагдаагүй бол бид тохируулна 
, 
болон барих шинэ системшугаман алгебрийн тэгшитгэл (2.15). Үүнийг шийдэж, бид хоёр дахь ойролцоо утгыг олно 
. Үүнийг шалгаж үзье. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол (2.15) системийн ойролцоо шийдлийг сонгоно 
. Хэрэв дээрх нөхцөл хангагдаагүй бол бид тохируулна 
, 
Дараах системийг (2.15) байгуулж олно 
гэх мэт.
Даалгаврууд
Бүх даалгавар нь дараахь зүйлийг шаарддаг.
Санал болгож буй алгоритмын дагуу аргын тоон хэрэгжилтийн програмыг бич.
Тооцооллын үр дүнг авах.
Үр дүнгээ шалгана уу.
Хоёр шугаман бус тэгшитгэлийн системийг өгөв.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
.
Бүлэг 3. Шугаман алгебр тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх тоон аргууд.
Зорилго. SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргууд, тэдгээрийг компьютер дээр тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэхтэй танилцах.
Урьдчилсан тайлбар. SLAE-ийг шийдвэрлэх бүх аргыг ихэвчлэн хоёр том бүлэгт хуваадаг. Эхний бүлэгт яг нарийн гэж нэрлэгддэг аргууд орно. Эдгээр аргууд нь аль ч системд тодорхой тооны арифметик үйлдлүүдийн дараа тодорхойгүй утгыг олох боломжийг олгодог.
Хоёрдахь бүлэгт яг тодорхой бус бүх аргууд орно. Тэдгээрийг давтагдах буюу тоон буюу ойролцоо гэж нэрлэдэг. Ийм аргыг ашиглахдаа нарийн шийдлийг эцэс төгсгөлгүй ойртуулах үйл явцын үр дүнд олж авдаг. Сэтгэл татам шинж чанарИйм аргууд нь тэдгээрийг өөрөө засах, компьютер дээр хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.
SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргуудыг авч үзье, тэдгээрийн тоон хэрэгжилтийн алгоритмыг байгуулъя. Бид SLAE-ийн нарийвчлалтай ойролцоо шийдлийг олж авах болно, энд маш бага эерэг тоо байна.
1. Давталт хийх арга.
SLAE-г маягтаар өгье
(1.1)
Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно
, (1.2)
хаана 
- систем дэх үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц (1.1), 
- чөлөөт гишүүдийн багана, 
- системийн үл мэдэгдэх багана (1.1).
. (1.3)
(1.1) системийг давталтын аргаар шийдье. Үүнийг хийхийн тулд дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.
Нэгдүгээрт. Бид тэг ойролцоо утгыг сонгодог
(1.4)
(1.1) системийн яг шийдэлд (1.3). Тэг ойролцоо бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь дурын тоо байж болно. Гэхдээ тэг ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд тэгийн аль нэгийг нь авах нь илүү тохиромжтой 
, эсвэл системийн үнэгүй нөхцөлүүд (1.1) 
Хоёрдугаарт. Тэг ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг орлуулъя баруун талсистем (1.1) ба тооцоолно
(1.5)
(1.5)-ын зүүн талд байгаа хэмжигдэхүүнүүд нь эхний ойролцоо тооцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүд юм 
Эхний ойролцоолсон үйлдлийг давталт гэж нэрлэдэг.
Гуравдугаарт. Тэг болон эхний ойролцоо утгыг шалгая
(1.6)
Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдэлд бид , эсвэл ямар ч байсан сонгоно, учир нь Тэд бие биенээсээ ялгаатай бөгөөд бид тооцооллыг дуусгана. Хэрэв нөхцөлүүдийн дор хаяж нэг нь (1.6) хангагдаагүй бол бид дараагийн алхам руу шилждэг.
Дөрөвдүгээрт. Дараах давталтыг гүйцэтгье, өөрөөр хэлбэл. системийн баруун талд (1.1) бид эхний ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг орлуулж, хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолно. 
, хаана
Тавдугаарт. Шалгацгаая 
мөн дээр , i.e. Эдгээр ойролцоо утгыг (1.6) нөхцөлийг шалгацгаая. Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдлийн хувьд бид , эсвэл ямар ч байсан сонгоно, учир нь -ээс ихгүй хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай. Үгүй бол бид хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг системийн баруун талд (1.1) орлуулах замаар дараагийн давталтыг байгуулна.
Давталтыг хоёр зэргэлдээх ойролцоох хүртэл барих ёстой 
-ээс илүүгүй өөр хоорондоо ялгаатай байх болно.
ажлын томъёосистемийг (1.1) шийдвэрлэх давталтын аргыг дараах байдлаар бичиж болно
Томъёоны (1.7) тоон хэрэгжилтийн алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
Хангалттай нөхцөл(1.1) системийн давталтын аргын нэгдлүүд нь хэлбэртэй байна
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
2. Энгийн давталтын арга.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) хэлбэрээр өгье
(2.1)
Системийг (2.1) энгийн давталтын аргаар шийдвэрлэхийн тулд эхлээд хэлбэрт оруулах шаардлагатай.
(2.2)
Системд (2.2) 
--р тэгшитгэл нь (2.1) системийн --р тэгшитгэл бөгөөд --р үл мэдэгдэх ( 
).
Системийг (2.1) давталтын аргаар (2.2) системийн дараагийн шийдлээр систем (2.2) болгон бууруулахаас бүрдэх аргыг (2.1) системийг (2.1) системийн давталтын энгийн арга гэнэ.
Тиймээс (2.1) системийг шийдвэрлэх энгийн давталтын аргын ажлын томьёо нь хэлбэртэй байна
(2.3)
Томъёо (2.3) гэж бичиж болно
Томъёо (2.4) ашиглан системийн (2.1) энгийн давталтын аргыг тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.
Системийн (2.1) давталтын энгийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна.
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
3. Суурин Зайделийн арга.
SLAE-ийг шийдвэрлэх Зайделийн арга нь давталтын аргаас ялгаатай нь --р бүрэлдэхүүн хэсгийн ойролцоо утгыг олсны дараа бид нэн даруй дараах зүйлийг олохын тулд үүнийг ашигладаг. 
, 
, …, 
р бүрэлдэхүүн хэсэг. Энэ арга нь Зайделийн аргын давталтын аргатай харьцуулахад илүү өндөр нийлэлтийг хангах боломжийг олгодог.
SLAE-г маягтаар өгье
(3.1)
Болъё 
- яг шийдэлд тэг ойртсон 
системүүд (3.1). Тэгээд олдох болтугай 
Ойролцоо 
. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлъё 
томъёогоор ойртуулах
(3.2)
Томъёо (3.2)-ыг авсаархан хэлбэрээр бичиж болно
, 
, 
(3.3)
Томъёо (3.3) ашиглан системийг (3.1) шийдвэрлэх Зайделийн аргыг тоон аргаар хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
1. Жишээ нь: 
, 
2. Байг.
3. Бидний тооцоолсон бүх зүйлийн хувьд .
4. Бүх тохиолдолд нөхцөлийг шалгана уу 
.
5. Хэрэв 4-р зүйлд заасан бүх нөхцөл хангагдсан бол (3.1) системийн ойролцоо шийдлийн хувьд бид эсвэл аль нэгийг нь сонгож тооцооллыг дуусгана. Хэрэв 4-р зүйлд дор хаяж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол бид 6-р зүйл рүү очно.
6. Бид тохируулж, 3-р зүйл рүү очно.
Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.
(3.1) системд Зайделийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна 
, .
4. Суурин бус Зайделийн арга.
SLAE (3.1)-ийг шийдвэрлэх энэхүү арга нь Зайделийн аргын нийлэх хурдыг бүр ч өндөр болгодог.
Системд (3.1) ямар нэгэн байдлаар --р ойролцоо ба -р ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олъё.
Залруулгын векторыг тооцоол
Утгыг тооцож үзье
, (4.2)
Хэмжээг нь цэгцэл 
, буурах дарааллаар.
Үүнтэй ижил дарааллаар бид (3.1) систем дэх тэгшитгэлүүд болон энэ систем дэх үл мэдэгдэх зүйлсийг дахин бичнэ., : Шугаманалгебрболон шугаман бус ... Менежменттөлөөлаборатори ажилладагдээр ... арга зүйнзааварчилгаа төлөөпрактикажилладагдээр төлөөоюутнууд ...
Боловсролын уран зохиол (байгалийн шинжлэх ухаан, техникийн) 2000-2011 opd мөчлөг - 10 жил SD мөчлөг - 5 жил
Уран зохиол... Байгалийншинжлэх ухаанерөнхийд нь 1. Одон орон судлал [Текст]: гарын авлага төлөө ... Тоонаргууд: Шугаманалгебрболон шугаман бус ... Менежменттөлөөлаборатори ажилладагдээр ... арга зүйнзааварчилгаа төлөөпрактикажилладагдээр"Тээврийн эдийн засаг" төлөөоюутнууд ...
- байгалийн шинжлэх ухаан (1)
Заавар... удирдлагатөлөөоюутнуудболон багш нар, зохион бүтээсэн төлөөзөвхөн судалгаанд ашиглахгүй аргуудажил... үе практикбодит өгөгдлийг ашиглах ур чадвар. арга зүйнзөвлөмжүүд дээрзээл ажилдээрөгсөн...
- байгалийн ухаан - физик-математикийн шинжлэх ухаан - химийн шинжлэх ухаан - газрын шинжлэх ухаан (геодезийн геофизикийн геологи, газарзүйн шинжлэх ухаан)
Баримт бичиг... төлөөоюутнуудбайгалийн- ... ажилладагдээр"Генетик ба сонгон шалгаруулалт" хичээлийг зориулав сэдэвчилсэн асуудлуудэнэ шинжлэх ухаан. Системчилсэн бие даасан Ажилоюутнууддээронолын болон практик ... шугаман, шугаман бус, динамик. Бүгд аргууд ...
- байгалийн ухаан - физик-математикийн шинжлэх ухаан - химийн шинжлэх ухаан - газрын шинжлэх ухаан (геодезийн геофизикийн геологи, газарзүйн шинжлэх ухаан) (7)
Сурах бичгийн жагсаалтЭреминий тодорхойлогч шугаманболон шугаман бусалгебр : шугаманболон шугаман буспрограмчлал: шинэ арга/ Еремин, Михаил... Учир ньоюутнуудих дээд сургуулийн геологийн мэргэжлийн багш нар. kx-1 1794549 99. D3 P 693 Практикудирдлагадээр ...
УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА
Приднестровийн нэрэмжит улсын их сургууль. Т.Г. Шевченко"
Рыбница салбар
Физик, математик, мэдээлэл зүйн тэнхим
Курсын ажил
сахилга бат: "Компьютер дээрх асуудлыг шийдвэрлэх семинар"
"Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга"
Гүйцэтгэсэн:
3-р курсын оюутан;
330-р бүлэг
мэргэжил: "Мэдээлэл зүй
нэмэхтэй. англи хэлээр мэргэшсэн
Нистор А.Г.
Шалгасан:
багш Панченко Т.А.
Хүний үйл ажиллагааны бүх салбарт компьютерийг нэвтрүүлэх нь янз бүрийн мэргэжлийн мэргэжилтнүүдээс компьютерийн технологийг ашиглах ур чадварыг эзэмшихийг шаарддаг. Компьютерийн хэрэглээ, хамгийн энгийн тоон аргуудыг анхлан суралцаж эхэлсэн их дээд сургуулийн оюутнуудын сургалтын түвшин нэмэгдэж, тэр нь бүү хэл курс, дипломын төслүүдийг хэрэгжүүлэх, компьютерийн технологийн хэрэглээ болж байна. их дээд сургуулиудын дийлэнх дэх норм.
Компьютерийн технологийг одоо зөвхөн инженерийн тооцоо, эдийн засагт төдийгүй анагаах ухаан, хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт уламжлалт математикийн бус мэргэжлүүдэд ашигладаг. Үүнтэй холбоотойгоор компьютерийн хэрэглээ өргөн тархсан гэж хэлж болно. Мэргэжилтнүүдийн томоохон ангилал гарч ирэв - өөрийн салбартаа компьютер ашиглах талаар мэдлэг шаардлагатай компьютер хэрэглэгчид - одоо байгаа програм хангамжтай ажиллах, мөн өөрсдөө бүтээх ур чадвар. програм хангамжтодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохируулсан. Энд програмчлалын хэлний тайлбарууд нь хэрэглэгчдэд туслах болно. өндөр түвшинболон тоон аргууд.
Тоон аргуудыг ихэвчлэн өндөр мэргэшсэн математикчид боловсруулж, судалдаг. Ихэнх хэрэглэгчдийн хувьд гол ажил бол үндсэн санаа, арга, онцлог, програмуудыг ойлгох явдал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэглэгчид компьютертэй зөвхөн өндөр ухаалаг тооны машин төдийгүй компьютерийн туслахаар ажиллахыг хүсдэг. өдөр тутмын ажил, хурдан бөгөөд захиалгат хандалт бүхий мэдээллийн хадгалалт, график мэдээллийн эх сурвалж, процессор. Орчин үеийн компьютерийн эдгээр бүх функцийг би энэ курсын ажилд харуулахыг зорьж байна.
Зорилго, зорилго.
Энэхүү курсын ажлын зорилго нь судлах, хэрэгжүүлэх явдал юм програм хангамжийн бүтээгдэхүүнНьютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. энэ ажилдүгнэлт, хавсралт гэсэн гурван хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хэсэг нь онолын шинж чанартай бөгөөд агуулна ерөнхий мэдээлэлНьютоны аргын тухай. Хоёр дахь нь практик хэсэг юм. Ньютоны аргын задлан шинжилсэн тайлбарыг энд оруулав тодорхой жишээнүүд. Гурав дахь нь програмыг турших, үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийхэд зориулагдсан. Төгсгөлд нь хийсэн ажлын талаархи дүгнэлтийг танилцуулж байна.
Энэхүү курсын ажлын зорилго нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг программ хангамжаар хэрэгжүүлэх явдал юм.
Үүнийг хийхийн тулд та дараах ажлуудыг гүйцэтгэх ёстой.
1. Шаардлагатай ном зохиолыг судлах.
2. Тойм одоо байгаа аргуудшугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар.
3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг судлах.
4. Шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг Ньютоны аргаар тодорхой жишээн дээр авч үзье.
5. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх программ зохио.
6. Үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.
Шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг авч үзье
(1) тэгшитгэлийн язгуурууд нь орлуулахдаа түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах x-ийн утгууд юм. Зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн хувьд томъёоны хэлбэрээр шийдлийг олох боломжтой, өөрөөр хэлбэл. аналитик хэлбэр. Ихэнхдээ тэгшитгэлийг ойролцоо аргаар шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг бөгөөд тэдгээрийн дотроос хамгийн өргөн тархсан нь компьютер бий болсонтой холбогдуулан тоон аргууд юм.
Ойролцоо аргаар үндсийг олох алгоритмыг хоёр үе шатанд хувааж болно. Эхний үед үндэсийн байршлыг судалж, тэдгээрийг салгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Тэгшитгэлийн язгуур буюу x 0 язгуурт анхдагч ойртсон хэсэг байдаг. Хамгийн энгийн аргаЭнэ асуудлын шийдэл нь f(x) функцийн графикийг судлах явдал юм. Ерөнхий тохиолдолд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд математик шинжилгээний бүх хэрэгслийг ашиглах шаардлагатай.
Олдсон интервал дээр тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур (1) байгаа нь Болзано нөхцөлөөс хамаарна.
f(a)*f(b)<0 (2)
Мөн f(x) функц өгөгдсөн сегмент дээр тасралтгүй байна гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл нь өгөгдсөн интервал дээрх тэгшитгэлийн язгуурын тооны талаархи асуултад хариулж чадахгүй. Хэрэв функцийн тасралтгүй байдлын шаардлага нь түүний монотон байдлын шаардлагаар нэмэгддэг бөгөөд энэ нь эхний деривативын тогтмол байдлаас үүдэлтэй бол өгөгдсөн сегмент дээр өвөрмөц язгуур байгаа гэдгийг баталж чадна.
Үндэсийг нутагшуулахдаа энэ төрлийн тэгшитгэлийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь чухал юм. Жишээлбэл, алгебрийн тэгшитгэлийн зарим шинж чанарыг санаарай.
бодит коэффициентүүд хаана байна.
a) n зэрэгтэй тэгшитгэл нь n үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор бодит болон төвөгтэй аль аль нь байж болно. Нийлмэл үндэс нь нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудыг үүсгэдэг тул тэгшитгэл нь тэгш тооны ийм үндэстэй байдаг. n-ийн сондгой утгын хувьд дор хаяж нэг бодит язгуур байна.
b) Эерэг бодит язгуурын тоо нь коэффициентүүдийн дарааллын хувьсах тэмдгийн тооноос бага буюу тэнцүү байна. (3) тэгшитгэлийн x-г -x-ээр солих нь сөрөг язгуурын тоог ижил аргаар тооцоолох боломжийг олгоно.
(1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь шатанд олж авсан анхны ойролцооллыг ашиглан язгуурын утгыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар сайжруулах боломжийг олгодог давталтын процессыг байгуулна. Давтагдах үйл явц нь анхны ойролцооллыг дараалан боловсронгуй болгохоос бүрдэнэ. Ийм алхам бүрийг давталт гэж нэрлэдэг. Давталтын үйл явцын үр дүнд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгуудын дараалал олддог. Хэрэв энэ дараалал нь n өсөхөд x язгуурын жинхэнэ утгад ойртвол давтагдах процесс нийлнэ. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд давтагдах процессыг дор хаяж m дараалалд нийлдэг гэж нэрлэдэг.
, (4)
Энд С>0 нь зарим тогтмол юм. Хэрэв m=1 бол нэгдүгээр зэрэглэлийн нийлбэрийн тухай ярьдаг; m=2 - квадратын тухай, m=3 - куб нийлбэрийн тухай.
Өгөгдсөн зөвшөөрөгдөх алдааны хувьд үнэмлэхүй буюу харьцангуй хазайлтын шалгуурыг хангасан тохиолдолд давталтын мөчлөг дуусна.
эсвэл үлдэгдлийн жижиг байдал:
Энэхүү ажил нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг судлахад зориулагдсан болно.
1.1 Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудын тойм
Олон бий янз бүрийн аргаШугаман бус тэгшитгэлийн шийдлүүдийн заримыг доор үзүүлэв.
1)Давталтын арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг давталтаар шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийг x=f(x) хэлбэрээр ашигладаг. Аргументын анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгсөн болно. X 1 уусмалын эхний ойролцоолсон утгыг x 1 \u003d f (x 0), хоёр дахь нь - x 2 \u003d f (x 1) гэх мэт илэрхийлэлээс олно. AT ерөнхий тохиолдол i+1 ойролцоо тооцоог xi+1 =f(xi) томъёогоор олно. заасан журам|f(xi)|>ε хүртэл давтана. Давталтын аргын нийлэх нөхцөл |f"(x)|<1.
2)Ньютоны арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэхдээ аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгнө. Дараа нь (x 0, F (x 0)) цэг дээр бид F (x) график руу шүргэгч зурж, шүргэгчийн x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг х 1 тодорхойлно. (x 1, F (x 1)) цэг дээр бид дахин шүргэгчийг барьж, хүссэн шийдлийн дараагийн ойролцоолсон х 2 гэх мэтийг олно. Бид энэ процедурыг |F(xi)| хүртэл давтана > ε. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг (i + 1) тодорхойлохын тулд бид дараах томъёог ашиглана x i + 1 \u003d x i -F (x i) \ F '(x i). F(x 0)∙F""(x)>0 гэх мэт шүргэгч аргын нийлэх нөхцөл.
3). дихотомийн арга.Шийдлийн техникийг С-ээс =а-аас + в-ээс /2 хүртэлх томьёоны дагуу эхний тодорхойгүй байдлын интервалыг хагасаар хуваах хүртэл багасгасан.
Үүссэн хоёр сегментээс шаардлагатай нэгийг нь сонгохын тулд үүссэн сегментүүдийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, функц нь тэмдэгээ өөрчлөх, өөрөөр хэлбэл f нөхцөлийг авч үзэх шаардлагатай. a k) * f (k)<0.
Сегментийг хуваах үйл явц нь одоогийн тодорхойгүй байдлын интервалын урт нь заасан нарийвчлалаас бага болтол явагдана.
in to - a to< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.
4). хөвчний арга. Аргын санаа нь хөвчийг y=f(x) функцын графикийн нумын төгсгөлүүд ба абсцисса тэнхлэгтэй хөвчний огтлолцол c цэгийг агшаагч сегмент дээр бүтээдэг. , язгуурын ойролцоо утга гэж үздэг
c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),
c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).
Дараагийн ойролцоолсон утгыг интервал дээр эсвэл a,b,c цэгүүд дэх функцийн утгуудын тэмдгүүдээс хамааран хайна.
x* O хэрэв f(c) H f(a) > 0 ;
x* O хэрэв f(c) x f(b)< 0 .
Хэрэв f "(x) нь тэмдгийг өөрчлөхгүй бол c \u003d x 1 гэж тэмдэглэж, a эсвэл b-ийг анхны ойролцоолсон гэж үзвэл бид хөвчний аргын давталтын томъёог тогтмол баруун эсвэл зүүн цэгээр авна.
x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), f "(x) H f "(x)\u003e 0-тэй;
x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), f "(x) H f "(x) -тай< 0 .
Хөвчний аргын нэгдэл нь шугаман байна.
1.2 Ньютоны аргын алгоритм
Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй алгоритмыг байгуулъя. Анхны ойролцоо утгыг өгье. Энэ үед бид функцийн утга ба түүний деривативыг тооцоолно. Аргын график дүрслэлийг авч үзье.
.
(8)
Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид олж авна мэдэгдэж байгаа томъёоНьютон:
(9)
Энд хамгийн энгийн рекурсив дэд программ функц байна.
функц X_Newt(x,eps:real):бодит;
y:=x-f(x)/f1(x);
хэрэв abs(f(x)) > eps
дараа нь X_Newt:=X_Newt(y,eps)
Ньютоны (шүргэгч) арга нь нийлэх квадрат хурдаар тодорхойлогддог, i.e. давталт бүрт зөв тэмдэгтүүдийн тоо хоёр дахин нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь үргэлж хүссэн үр дүнд хүргэдэггүй. Энэ асуултыг илүү нарийвчлан авч үзье.
(1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргацгаая.
Шүргэх аргын хувьд 
. Хэрэв x \u003d x 0 язгуурын анхны ойролцоололт нь мэдэгдэж байгаа бол дараагийн ойролцооллыг x 1 \u003d g (x 0), дараа нь x 2 \u003d g (x 1), ... Үргэлжлэлийг тэгшитгэлээс олох болно. Энэ процесст бид энгийн давталтын аргын давтагдах томьёог олж авдаг
x k+1 =g(x k) (11)
Давтагдах үйл явц (5-7) нөхцөл хангагдтал үргэлжилнэ.
Тайлбарласан тооцооллын процесс нь үргэлж хүссэн шийдэлд хүргэдэг үү? Ямар нөхцөлд нэгдэх вэ? Эдгээр асуултад хариулахын тулд аргын геометрийн дүрслэл рүү дахин орцгооё.
Тэгшитгэлийн язгуурыг y=x ба y=g(x) функцүүдийн огтлолцлын цэгээр илэрхийлнэ. Зураг дээрээс харж болно. 3(а), хэрэв нөхцөл хангагдсан бол процесс нийлнэ, эс бөгөөс сална (Зураг 3(б)).
Тиймээс, давтагдах үйл явц нэгдэж, хүссэн үр дүнд хүргэхийн тулд дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.
f(x)=0 тэгшитгэлээс x=g(x) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг хийж болно. янз бүрийн арга замууд. Энэ тохиолдолд сонгосон функц g(x) нь (12) нөхцөлийг хангах нь чухал юм. Жишээлбэл, f(x) функцийг дурын тогтмол q-аар үржүүлж, (1) тэгшитгэлийн хоёр талд x хувьсагчийг нэмбэл g(x)=q*f(x)+x болно. Бид алгоритмын нэгдэх хурд хамгийн өндөр байхаар тогтмол q-г сонгодог. Хэрэв 1 Ньютоны арга нь нийлэх өндөр хувьтай боловч тэр бүр нийлдэггүй. g(x) = x – f(x)/ f’(x) нийлэх нөхцөл нь шаардлагад буурдаг. Практик тооцоололд анхны утгыг хүссэн утгад аль болох ойртуулах, програмд "гогцооны хамгаалалт" суурилуулах нь чухал юм. Аргын сул тал нь алхам бүрт зөвхөн функцийг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Ньютоны аргын нэг өөрчлөлт бол деривативыг зөвхөн эхний давталтаар тооцоолох явдал юм. Өөр нэг өөрчлөлтийн арга бол деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр солих явдал юм Дараа нь Ньютоны алгоритмын энэхүү өөрчлөлтийн геометрийн утга нь бид шүргэгчээс секант руу шилждэгт оршино. Секантын арга нь нийлэх хурдны хувьд Ньютоны аргаас доогуур боловч деривативын тооцоог шаарддаггүй. Секантын аргын анхны ойролцоолсон утгыг үндэсний өөр өөр тал, нэг тал дээр байрлуулж болно гэдгийг анхаарна уу. Ньютоны аргын алгоритмыг ерөнхий хэлбэрээр бичье. 1. Нөхцөл хангагдахын тулд анхны ойролцоолсон x (0)-ийг тогтоо f(x (0))*f''(x (0))>0. (16) Тооцооллын нарийвчлал гэж жижиг эерэг тоог ε зааж өгнө. k = 0-г тавь. 2. Томъёо (9) ашиглан x (k + 1)-ийг тооцоол. 3. Хэрэв | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1)
.
Үгүй бол k-г 1-ээр (k = k + 1) нэмэгдүүлж, 2-р алхам руу орно. Ньютоны аргаар хэд хэдэн шугаман бус тэгшитгэлийг гараар шийдэж, дараа нь програм хангамжийн бүтээгдэхүүнийг хэрэгжүүлэх явцад олж авах үр дүнг харьцуулж үзье. Жишээ 1 sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0. F'(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10. F''(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2). Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо язгуурыг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f''(x (0)) > 0. x (0) = 0.565, тэгвэл f(0.565)*f’’(0.565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 0.565-ыг авна. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.101 байна. Жишээ 2 Тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийд. cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0 ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоолно. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F'(x) \u003d 1 - sin x + x * e -x2 / 2. Одоо бид функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолно. F '' (x) \u003d e -x2 / 2 * (1-x 2) - cos x. Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо язгуурыг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f''(x (0)) > 0. x (0) = 2, f(2)*f''(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 2-ыг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд утгуудын хүснэгтийг хийцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.089 байна. Жишээ 3 Тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийд. ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар тооцоолно. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F'(x) = 2*x + e-x. Одоо бид функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолно. F''(x) = 2 - e -x. Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо язгуурыг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f''(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0, Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд утгуудын хүснэгтийг хийцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.703 байна. Тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийд. cos x –e -x/2 +x-1=0. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F'(x) \u003d -sin x + e -x / 2/2 + 1. Одоо бид функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолно. F '' (x) \u003d -cos x - e -x / 2/4. Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо язгуурыг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f''(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f''(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд утгуудын хүснэгтийг хийцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1. 162. Жишээ 5 Тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийд. 2+e x - e -x =0. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F'(x) \u003d e x + e -x. Одоо бид функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолно. F''(x) = e x -e -x . Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо язгуурыг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f''(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f''(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд утгуудын хүснэгтийг хийцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.881 байна. Энэ програм нь текст болон график горимд ажиллахад зориулагдсан. Энэ нь График модуль, Crt, гурван функц, гурван процедураас бүрдэнэ. 1. Crt модуль нь текстийн дэлгэцийн горим, өргөтгөсөн гарын код, өнгө, цонх, дуу чимээ зэргийг хянахад зориулагдсан; 2. График модуль нь график объектуудын хяналтыг хангах зориулалттай; 3. процедур GrafInit - график горимыг эхлүүлнэ; 4. функц VF - функцийн утгыг тооцоолно; 5. функц f1 - функцийн эхний деривативын утгыг тооцоолно; 6. X_Newt функц – тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх алгоритмыг хэрэгжүүлдэг. 7. процедур FGraf - график байгуулах ажлыг хэрэгжүүлдэг өгөгдсөн функц f(x); Ots=35 - мониторын хүрээнээс догол хийх цэгүүдийн тоог тодорхойлдог тогтмол; fmin, fmax нь функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд юм; SetColor(4) нь палитр ашиглан график объектын одоогийн өнгийг тохируулах процедур юм Энэ тохиолдолдэнэ нь улаан; SetBkColor(9) нь палитрыг ашиглан одоогийн дэвсгэр өнгийг тохируулдаг журам бөгөөд энэ тохиолдолд цайвар цэнхэр. 8. MaxMinF процедур - f(x) функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг тооцоолох. Шугам - координат (x1, y1) цэгээс координаттай (x2, y2) цэг хүртэл шугам татах процедур; MoveTo нь заагчийг (CP) координаттай (x, y) цэг рүү шилжүүлэх процедур юм; TextColor(5) нь одоогийн тэмдэгтийн өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд ягаан; Outtexty(x, y, 'string') - (x, y) байрлалаас эхлэн мөр гаргадаг процедур. CloseGraph нь график системийг хаадаг процедур юм. Хөтөлбөрийг туршихын тулд бид үр дүнг харьцуулах, програмын зөв ажиллагааг шалгахын тулд ажлын практик хэсэгт шийдэгдсэн жишээнүүдийг авна. 1) нүгэл x 2 + cosx 2 - 10x. = 0. = -1 оруулна уу b=1 гэж оруулна уу = [-1, 1] (функцийн гаралтын график) Бид дараахыг авна: x=0, 0000002 2) cos x - e -x2/2 + x - 1 = 0. Энэ программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, интервал дээр функцийн ойролцоо графикийг зурна. = -3 оруулна уу b=3 гэж оруулна уу = [-3, 3] (функцийн гаралтын график) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Тэгшитгэлийн хариултыг орлуулах замаар шалгая. Бид авна: x=-0, 0000000 3) x 2 - e -x \u003d 0. Энэ программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, интервал дээр функцийн ойролцоо графикийг зурна. = -1 оруулна уу b=1 гэж оруулна уу = [-1, 1] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 01 (функцийн гаралтын график) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Тэгшитгэлийн хариултыг орлуулах замаар шалгая. Бид авна: x=0, 0000000 4) cosx –e -x/2 +x-1=0. Энэ программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, интервал дээр функцийн ойролцоо графикийг зурна. a = -1.5 оруулна уу b=1.5 гэж оруулна уу = [-1,5, 1,5 ] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001 (функцийн гаралтын график) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Тэгшитгэлийн хариултыг орлуулах замаар шалгая. Бид дараахыг авна: x=0, 0008180 5) -2 + e x - e -x \u003d 0. Энэ программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, интервал дээр функцийн ойролцоо графикийг зурна. a = -0.9 оруулна уу b=0.9 оруулна уу = [-0,9, 0,9] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001 (функцийн гаралтын график) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Тэгшитгэлийн хариултыг орлуулах замаар шалгая. Ажлын зорилго нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох программ бүтээх явдал байв. Үүний үндсэн дээр бид зорилгодоо хүрсэн гэж дүгнэж болно, учир нь үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдсэн. 1. Шаардлагатай ном зохиолыг судалсан. 2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг авч үзсэн. 3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны аргыг судалсан. 4. Шугаман бус тэгшитгэлийн Ньютоны аргаар шийдлийг жишээгээр авч үзнэ. 5. Програмын туршилт, дибаг хийх ажлыг хийсэн. 1. B.P. Демидович, И.А.Марон. Тооцооллын математикийн үндэс. - Москва, ред. "Шинжлэх ухаан"; 1970 он. 2. В.М. Вержбицкий. Тоон аргууд (шугаман алгебр ба шугаман бус тэгшитгэл). - Москва " төгссөн сургууль»; 2000. 3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Бодлого, дасгалын тоон аргууд. - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000. 4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. MATLAB тоон аргууд, 3-р хэвлэл.- Москва, "Виллас"; 2001 он.
(13)
(14)
(15).
к
х(к)
f(x(k))
f'(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
0. 565
-4. 387
-9. 982
0. 473
1
0. 092
0. 088
-9. 818
0. 009
2
0. 101
0. 000
-9. 800
0. 000
3
0. 101
к
х(к)
f(x(k))
f'(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
2
0. 449
0. 361
1. 241
1
-0. 265
0. 881
0. 881
0. 301
2
-0. 021
0. 732
0. 732
0. 029
3
0. 000
0. 716
0. 716
0. 000
4
1. 089
к
х(к)
f(x(k))
f'(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
0, 632
2, 368
0, 267
1
0, 733
0, 057
1, 946
0, 029
2
0, 704
0, 001
1, 903
0, 001
3
0, 703
к
х(к)
f(x(k))
f'(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
-0. 066
0. 462
0. 143
1
1. 161
-0. 007
0. 372
0. 018
2
1. 162
0. 0001.
0. 363
0. 001
3
1. 162
к
х(к)
f(x(k))
f'(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
0, 350
3, 086
0, 114
1
0, 886
0, 013
2, 838
0, 005
2
0, 881
0, 001
2, 828
0, 000
3
0, 881
3.1 Хөтөлбөрийн тайлбар
3.2 Хөтөлбөрийн туршилт
Ном зүй
Ньютоны арга (мөн шүргэгч арга гэж нэрлэдэг) нь өгөгдсөн функцийн үндсийг (тэг) олох давтагдах тоон арга юм. Энэ аргыг анх Английн физикч, математикч, одон орон судлаач Исаак Ньютон (1643-1727) санал болгосон бөгөөд түүний нэрээр алдар нэрээ олж авсан юм.
Энэ аргыг Исаак Ньютон De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат. .ТухайХязгааргүй цувралын тэгшитгэлээр анализ), 1669 онд Барроуд хаягласан ба De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат. Метод флуксион ба хязгааргүй цуваа) эсвэл Geometria analytica ( лат.Аналитикгеометр) 1671 онд бичсэн Ньютоны цуглуулгад. Гэсэн хэдий ч аргын тайлбар нь түүний одоогийн танилцуулгаас ихээхэн ялгаатай байв: Ньютон өөрийн аргыг зөвхөн олон гишүүнтэд ашигласан. Тэрээр дараалсан x n ойртолтуудыг биш, харин олон гишүүнтүүдийн дарааллыг тооцоолж, үр дүнд нь ойролцоогоор x шийдлийг олж авсан.
Энэ аргыг анх 1685 онд Жон Уоллис "Алгебр" зохиолд нийтэлсэн бөгөөд түүний хүсэлтээр Ньютон өөрөө товч тайлбарлав. 1690 онд Жозеф Рафсон Analysis aequationum universalis (лат. Ерөнхий шинжилгээтэгшитгэл).Рафсон Ньютоны аргыг цэвэр алгебрийн арга гэж үзэж, олон гишүүнтэд хэрэглэхийг хязгаарласан боловч Ньютоны ашигласан олон гишүүнтийн дарааллыг ойлгоход хэцүү биш харин x n-ийн дараалсан ойртсон тоон дээр үндэслэсэн аргыг тодорхойлсон.
Эцэст нь 1740 онд Ньютоны аргыг Томас Симпсон энд танилцуулсны дагуу шугаман бус тэгшитгэлийг дериватив ашиглан шийдвэрлэх эхний эрэмбийн давталтын арга гэж тодорхойлсон. Тухайн хэвлэлд Симпсон энэ аргыг хоёр тэгшитгэлийн системийн тохиолдолд ерөнхийд нь тайлбарлаж, Ньютоны аргыг дериватив эсвэл градиентийн тэгийг олох замаар оновчлолын асуудалд мөн ашиглаж болохыг тэмдэглэжээ.
Энэ аргын дагуу функцийн язгуурыг олох асуудлыг функцийн графикт зурсан шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олох асуудал болгон бууруулж байна.
Зураг 1 . Функцийн өөрчлөлтийн график
Функцийн графикийн аль ч цэгт татсан шүргэгч шугамыг авч үзэж буй цэг дээрх өгөгдсөн функцын деривативаар тодорхойлох ба энэ нь эргээд α () өнцгийн шүргэгчээр тодорхойлогдоно. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг дараах харилцаанд үндэслэн тодорхойлно зөв гурвалжин: өнцгийн тангенстэгш өнцөгт гурвалжны эсрэг талын хөлийг гурвалжны зэргэлдээх хөлийн харьцаагаар тодорхойлно. Тиймээс алхам бүр дээр дараагийн ойролцоолсон цэг дээр функцийн графикт шүргэгчийг байгуулна. . Шүргэгчийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгҮхэр дараагийн хандалтын цэг байх болно. Харгалзан үзэж буй аргын дагуу язгуурын ойролцоо утгыг тооцоолохби- давталтуудыг дараах томъёоны дагуу хийнэ.
Шулуун шугамын налуу нь алхам тутамд тохируулагддаг хамгийн зөв замГэсэн хэдий ч, алгоритм нь графикийн муруйлтыг харгалздаггүй тул тооцооллын явцад график аль чиглэлд хазайж болох нь тодорхойгүй хэвээр байгааг анхаарах хэрэгтэй.
Дахин давтагдах үйл явц дуусах нөхцөл нь дараахь нөхцөлийг хангасан байх явдал юм.
хаана ˗ үндсийг тодорхойлоход зөвшөөрөгдөх алдаа.
Арга нь квадрат нийлбэртэй. Ойролцоогоор зөв цифрүүдийн тоо давталт бүрт хоёр дахин нэмэгддэг гэсэн үг.
Математик үндэслэл
Бодит функцийг өгье, энэ нь авч үзэж буй хэсэг дээр тодорхойлогдсон бөгөөд үргэлжилсэн. Энэ нь авч үзсэн функцийн жинхэнэ үндсийг олох шаардлагатай.
Тэгшитгэлийг гарган авах нь энгийн давталтын аргад суурилдаг бөгөөд үүний дагуу тэгшитгэлийг аль ч функцийн эквивалент тэгшитгэл болгон бууруулна. хамаарлаар тодорхойлогддог агшилтын зураглал гэсэн ойлголтыг танилцуулъя.
Дараагийн ойролцоолсон цэг дээр аргын хамгийн сайн нийлэхийн тулд нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Энэ шаардлагафункцын язгуур нь функцийн экстремумтай тохирч байх ёстой гэсэн үг.
Агшилтын зураглалын деривативдараах хэлбэрээр тодорхойлогддог.
Энэ илэрхийллээс хувьсагчийг илэрхийльенөхцөлийг хангах шаардлагатай гэж өмнө нь хүлээн зөвшөөрсөн мэдэгдлийн дагуу . Үүний үр дүнд бид хувьсагчийг тодорхойлох илэрхийлэлийг олж авна.
Үүнийг харгалзан агшилтын функцийг хүлээн авах нь дараах байдалтай байна.
Тиймээс тэгшитгэлийн тоон шийдлийг олох алгоритмыг давталтын тооцооллын процедур болгон бууруулсан болно.
Арга ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг олох алгоритм
1. Функцийн язгуурын ойролцоо утгын эхлэх цэгийг тогтоо, түүнчлэн тооцооллын алдаа (жижиг эерэг тоо) болон давталтын эхний алхам ().
2. Функцийн язгуурын ойролцоо утгыг дараах томъёоны дагуу тооцоол.
3. Бид дараах тохиолдолд язгуурын ойролцоо утгыг заасан нарийвчлалыг шалгана.
Хэрэв дараалсан хоёр тооцооллын зөрүү нь заасан нарийвчлалаас бага байвал давтагдах үйл явц дуусна.
Хэрэв дараалсан хоёр ойролцоо тооцооллын зөрүү нь шаардлагатай нарийвчлалд хүрэхгүй бол давтагдах процессыг үргэлжлүүлж, авч үзэж буй алгоритмын 2-р алхам руу шилжих шаардлагатай.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
аргын дагууНэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд Ньютон
Жишээ болгон шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг аргаар авч үзьеНэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд Ньютон. Үндэсийг эхний ойролцоо байдлаар нарийвчлалтай олох ёстой.
Програм хангамжийн багц дахь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх хувилбарMathCADЗураг 3-т үзүүлэв.
Тооцооллын үр дүн, тухайлбал язгуурын ойролцоо утгын өөрчлөлтийн динамик, түүнчлэн давталтын алхамаас гарсан тооцооллын алдааг график хэлбэрээр үзүүлэв (2-р зургийг үз).
Зураг 2. Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн Ньютоны тооцооны үр дүн
Муж дахь тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгыг хайхдаа заасан нарийвчлалыг хангахын тулд 4 давталт хийх шаардлагатай. Дээр сүүлчийн алхамдавталтын үед шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгыг дараах утгаар тодорхойлно.
Зураг 3 . Програмын жагсаалтMathCad
Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийн Ньютоны аргын өөрчлөлт
Ньютоны аргын хэд хэдэн өөрчлөлтүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь тооцоолох үйл явцыг хялбарчлахад чиглэгддэг.
Ньютоны хялбаршуулсан арга
Ньютоны аргын дагуу давталтын алхам бүрт f(x) функцийн деривативыг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд энэ нь тооцооллын зардлыг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг. Тооцооллын алхам бүр дээр деривативыг тооцоолохтой холбоотой зардлыг бууруулахын тулд томьёоны x n цэгийн f’(x n) деривативыг x 0 цэг дэх f’(x 0) деривативаар сольж болно. Тооцооллын энэ аргын дагуу язгуурын ойролцоо утгыг дараах томъёогоор тодорхойлно.Өөрчлөгдсөн Ньютоны арга
Ньютоны ялгаа арга
Үүний үр дүнд f(x) функцийн язгуурын ойролцоо утгыг Ньютоны ялгаварын аргын илэрхийлэлээр тодорхойлно.
Ньютоны хоёр алхамын арга
Ньютоны аргын дагуу давталтын алхам бүрт f(x) функцийн деривативыг тооцоолох шаардлагатай бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой биш, заримдаа бараг боломжгүй байдаг. Энэ аргафункцийн деривативыг ялгаварын харьцаагаар (ойролцоогоор утга) орлуулахыг зөвшөөрдөг:
Үүний үр дүнд f(x) функцийн язгуурын ойролцоо утгыг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.
хаана
Зураг 5 . Ньютоны хоёр алхамын арга
Секантын арга нь хоёр үе шаттай арга, өөрөөр хэлбэл шинэ ойролцоолсон арга юмөмнөх хоёр давталтаар тодорхойлогддогболон . Энэ арга нь эхний хоёр таамаглалыг шаарддагболон . Аргын нэгдэх хурд нь шугаман байх болно.
- Буцах
- Урагшаа
Нийтлэлд сэтгэгдэл нэмэхийн тулд сайтад бүртгүүлнэ үү.
Ньютоны арга (шүргэх арга)
f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг сегмент дээр, f’(x) ба хоёр дахь деривативуудыг салгая. f""(x)хн хувьд тасралтгүй ба тогтмол тэмдэгтэй байна.
Үндэсийг боловсронгуй болгох зарим үе шатанд x n үндэстэй дараагийн ойролцоо утгыг олж авна (сонго) . Дараа нь h n засварын тусламжтайгаар дараагийн ойролцоолсон тооцоолол гарлаа гэж бодъё , хүргэдэг яг үнэ цэнэүндэс
x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)
Тоолж байна h nбага утга учир бид f(x n + h n) -ийг Тейлорын цуврал болгон төлөөлж, шугаман нөхцлөөр хязгаарладаг.
f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)
f(x) = f(х n + h n) = 0 гэж үзвэл f(х n) + h n f ’(х n) » 0 гарна.
Тиймээс h n "- f (x n) / f'(x n). Утгыг орлуулах h n(1.2.3-6) болон язгуурын яг утгын оронд xБид өөр нэг ойролцоо дүгнэлтийг олж авдаг
Формула (1.2.3-8) нь тодорхой нөхцөлд язгуурын яг утгад нийлдэг x 1, x 2, x 3 ... ойролцоолсон дарааллыг авах боломжийг олгодог. x,тэр бол 
Ньютоны аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-6). Бид b сегментийн баруун төгсгөлийг анхны ойролцоолсон x 0 болгон авч, y \u003d f (x) функцийн график дээрх харгалзах B 0 цэг дээр тангенс байгуулна. Шүргэгчийн х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг шинэ, илүү нарийвчлалтай x 1 ойролцоолсон байдлаар авна. Энэ процедурыг олон удаа давтах нь x 0, x 1, x 2 ойролцоох дарааллыг авах боломжийг олгоно. , .
.
., энэ нь язгуурын яг утгыг чиглүүлдэг x.
Ньютоны аргын тооцооны томъёог (1.2.3-8) геометрийн хийцээс авч болно. Тэгэхээр тэгш өнцөгт гурвалжинд x 0 B 0 x 1 хөл байна
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. В 0 цэг нь функцийн график дээр байгааг харгалзан үзвэл f(x),ба гипотенуз нь В 0 цэг дээр f (x) графиктай шүргэгчээр үүсгэгдэнэ.
(1.2.3-9)
(1.2.3-10)
Энэ томъёо нь (1.2.3-8)-тай n-р ойролцоо утгатай давхцаж байна.
Зураг 1.2.3-6-аас харахад а цэгийг анхны ойролцоолсноор сонгох нь дараагийн ойртолт x 1 нь язгуур тусгаарлагдсан сегментийн гадна талд байх болно гэдгийг харж болно. x. Энэ тохиолдолд үйл явцын нэгдэл нь баталгаатай биш юм. Ерөнхий тохиолдолд анхны ойролцооллыг сонгохдоо заасны дагуу хийгддэг дараагийн дүрэм: анхны ойртуулахын тулд f (x 0) × f '' (x 0)> 0, өөрөөр хэлбэл функцын тэмдэг ба түүний хоёр дахь дериватив давхцах x 0 н цэгийг авах хэрэгтэй.
Ньютоны аргын нэгдэх нөхцлүүдийг дараах теоремоор томъёолсон болно.
Хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь сегмент дээр тусгаарлагдвал, ба f'(x 0) ба f''(x) 0-ээс ялгаатай бөгөөд тэмдэгээ хадгалнахо, хэрэв бид ийм цэгийг анхны ойролцоолсон байдлаар сонговол x 0 О , юу f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , дараа нь тэгшитгэлийн үндэс f(x)=0 ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно.
Ньютоны аргын алдааны тооцоог дараах илэрхийллээр тодорхойлно.
(1.2.3-11)
хамгийн бага утга хаана байна 
цагт 
цагт 
Тооцооллын үйл явц нь бол дуусгавар болно 
,
заасан нарийвчлал хаана байна.
Нэмж дурдахад дараах илэрхийллүүд нь Ньютоны аргаар үндсийг нь боловсронгуй болгоход өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэх нөхцөл болж чадна.
Ньютон аргын алгоритмын схемийг зурагт үзүүлэв. 1.2.3-7.
Зүүн талАнхны тэгшитгэлийн f(x) ба түүний үүсмэл f’(x) алгоритмыг тус тусад нь програм хангамжийн модулиар зохион бүтээсэн.
Цагаан будаа. 1.2.3-7. Ньютоны аргын алгоритмын диаграм
Жишээ 1.2.3-3. x-ln(x+2) = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг энэ тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 н[-1.9;-1.1] хэрчмүүд дээр тусгаарласан тохиолдолд Ньютоны аргаар боловсронгуй болго. ба x 2 н [-0.9;2 ].
Эхний дериватив f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) нь сегмент тус бүр дээр тэмдэгээ хадгална.
f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],
f’(x)>0 үед xО [-0.9; 2].
Хоёр дахь дериватив f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 дурын х.
Тиймээс нэгдэх нөхцөл хангагдсан байна. Бүх талбай дээр f""(x)>0 байх тул зөвшөөрөгдсөн утгууд, дараа нь анхны ойролцоолсон үндсийг боловсронгуй болгох x 1 x 0 \u003d -1.9-ийг сонгоно уу (f (-1.9) × f ”(-1.9)> 0 учраас). Бид ойролцоогоор тооцооллын дарааллыг авдаг:
Тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид эхний дөрвөн ойролцоо тооцооллын дараах дарааллыг олж авна: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(-1.8414)=-0.00003-тай тэнцүү байна. .
Үндэс x 2 н[-0.9;2]-г боловсронгуй болгохын тулд бид эхний ойролцоолсон 0 =2 (f(2)×f”(2)>0) гэж сонгоно. x 0 = 2 дээр үндэслэн бид ойролцоолсон дарааллыг олж авна: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. x=1.1461 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(1.1461)= -0.00006-тай тэнцүү байна.
Ньютоны арга нь нийлэх хурд өндөртэй боловч алхам бүрт зөвхөн функцийн утгыг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолохыг шаарддаг.
хөвчний арга
Хөвчний аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-8).
А ба В цэгүүдээр шулуун шугамын хэрчмийг зуръя.Дараагийн x 1 ойролцоололт нь хөвчний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм. Шулуун шугамын сегментийн тэгшитгэлийг байгуулъя:
y=0 гэж тавиад x=x 1 утгыг олцгооё (өөр ойролцоогоор):
Бид тооцооллын процессыг давтаж, үндсэн дээр дараагийн ойролцоо утгыг авна - x 2 :
Манай тохиолдолд (Зураг 1.2.11) 
мөн хөвчний аргын тооцооны томъёо нь иймэрхүү харагдах болно
Энэ томъёо нь b цэгийг тогтмол цэг болгон авах үед хүчинтэй бөгөөд а цэг нь анхны ойролцоо үүрэг гүйцэтгэдэг.
Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье (Зураг 1.2.3-9), хэзээ 
.
 |
Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
Дараагийн ойролцоолсон x 1 үед y = 0
Дараа нь энэ тохиолдолд хөвчний аргын рекурсив томъёо нь хэлбэртэй байна
Хөвчний аргын тогтмол цэгийн хувьд f (x)∙f¢¢ (x)>0 нөхцөл хангагдсан сегментийн төгсгөлийг сонгоно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Тиймээс хэрэв а цэгийг тогтмол цэг болгон авбал , тэгвэл x 0 = b нь анхны ойролцоололтын үүрэг гүйцэтгэдэг ба эсрэгээр.
Хөвчний томьёо ашиглан f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох хангалттай нөхцөлүүд нь шүргэгч аргын (Ньютоны арга) адил байх боловч анхны ойролцоо тооцооны оронд тогтсон цэгийг сонгоно. Хөвчний арга нь Ньютоны аргын өөрчлөлт юм. Ялгаа нь Ньютоны аргын дараагийн ойролцоололт нь шүргэгчийн 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг бөгөөд хөвчний аргад - хөвчний 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг - ойролцоогоор язгуурт нийлдэг. өөр өөр талууд.
Хөвчний аргын алдааны тооцоог илэрхийллээр тодорхойлно
(1.2.3-15)
Хөвчний аргаар давталтын үйл явцыг дуусгавар болгох нөхцөл
(1.2.3-16)
Хэрэв М 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£д.
Жишээ 1.2.3-4. 10 -4 нарийвчлалтайгаар сегмент дээр тусгаарлагдсан e x - 3x = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг зааж өгнө үү.
Конвергенцийн нөхцөлийг шалгая:
Иймд f (0) \u003d 1> 0 ба f (0) * f "(0)> 0 тул a=0-ийг тогтмол цэг болгон сонгох ёстой бөгөөд x 0 \u003d 1-ийг анхны ойролцоолсон утга болгон авах ёстой. .
