Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд. Курсын ажил: Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны арга
УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА
"Транснестров Улсын их сургуультэд. Т.Г. Шевченко"
Рыбница салбар
Физик, математик, мэдээлэл зүйн тэнхим
"Компьютер дээрх асуудлыг шийдвэрлэх семинар" гэсэн чиглэлээр.
"Ньютоны шийдвэрлэх арга шугаман бус тэгшитгэл»
Гүйцэтгэсэн:
3-р курсын оюутан;
330-р бүлэг
Мэргэжлийн чиглэл: "Мэдээлэл зүй"
нэмэлтээр англи хэлээр мэргэшсэн
Нистор А.Г.
Шалгасан:
багш Панченко Т.А.
Компьютерийг хүний үйл ажиллагааны бүх салбарт нэвтрүүлэх нь янз бүрийн профайлын мэргэжилтнүүдийг ашиглах чадварыг эзэмшихийг шаарддаг. компьютерийн технологи. Эхний жилээс эхлэн компьютерийн хэрэглээ, хамгийн энгийн тоон аргыг эзэмшсэн их, дээд сургуулийн оюутнуудын сургалтын түвшин нэмэгдэж байгаа нь бүү хэл курс, дипломын төсөл хэрэгжүүлэх, компьютерийн технологи ашиглах нь хэвийн үзэгдэл болж байна. дийлэнх их дээд сургуулиудад.
Компьютерийн технологийг одоо зөвхөн инженерийн тооцоолол, эдийн засгийн шинжлэх ухаанд төдийгүй анагаах ухаан, хэл шинжлэл, сэтгэл судлал гэх мэт уламжлалт математикийн бус мэргэжлээр ашиглаж байна. Үүнтэй холбоотойгоор компьютерийн хэрэглээ өргөн тархсан гэж хэлж болно. Мэргэжилтнүүдийн томоохон ангилал гарч ирэв - өөрийн салбартаа компьютер ашиглах талаар мэдлэг шаардлагатай компьютер хэрэглэгчид - одоо байгаа програм хангамжтай ажиллах, мөн өөрсдөө бүтээх ур чадвар. програм хангамж, тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд тохируулсан. Энд програмчлалын хэлний тайлбар нь хэрэглэгчдэд туслах болно. өндөр түвшинболон тоон аргууд.
Тоон аргуудДүрмээр бол өндөр мэргэшсэн математикчид боловсруулж, судалдаг. Ихэнх хэрэглэгчдийн хувьд гол ажил бол үндсэн санаа, арга, онцлог, програмуудыг ойлгох явдал юм. Гэсэн хэдий ч хэрэглэгчид компьютертэй зөвхөн өндөр ухаалаг тооны машин төдийгүй компьютерийн туслахаар ажиллахыг хүсдэг. өдөр тутмын ажил, хурдан бөгөөд эмх цэгцтэй хандах боломжтой мэдээллийн сан, график мэдээллийн эх сурвалж, боловсруулагч. Би энэ курсын ажилд орчин үеийн компьютерийн эдгээр бүх функцийг харуулахыг зорьж байна.
Зорилго, зорилтууд.
Энэхүү курсын ажлын зорилго нь судлах, хэрэгжүүлэх явдал юм програм хангамжийн бүтээгдэхүүнНьютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. энэ ажилдүгнэлт, хавсралт гэсэн гурван хэсгээс бүрдэнэ. Эхний хэсэг нь онолын шинж чанартай бөгөөд агуулна ерөнхий мэдээлэлНьютоны аргын тухай. Хоёр дахь нь практик хэсэг юм. Энд бид Ньютоны аргыг задлан тайлбарлав тодорхой жишээнүүд. Гурав дахь нь програмыг турших, үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийхэд зориулагдсан. Эцэст нь хийсэн ажлын талаархи дүгнэлтийг танилцуулав.
Энэхүү курсын ажлын зорилго нь шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг программ хангамжаар хэрэгжүүлэх явдал юм.
Үүнийг хийхийн тулд та дараах ажлуудыг гүйцэтгэх ёстой.
1. Шаардлагатай ном зохиолыг судлах.
2. Түргэн хараарай одоо байгаа аргуудшугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар.
3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Ньютоны аргыг судлах.
4. Шугаман бус тэгшитгэлийн шийдлийг Ньютоны аргаар тодорхой жишээн дээр авч үзье.
5. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэх программ зохио.
6. Үр дүнд дүн шинжилгээ хийх.
Шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг авч үзье
(1) тэгшитгэлийн язгуурууд нь орлуулсны дараа түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргах x-ийн утгууд юм. Зөвхөн хамгийн энгийн тэгшитгэлийн хувьд томъёоны хэлбэрээр шийдлийг олох боломжтой, өөрөөр хэлбэл. аналитик хэлбэр. Ойролцоо аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг бөгөөд тэдгээрийн дундаас компьютер бий болсноор хамгийн өргөн тархсан нь тоон аргууд юм.
Ойролцоо аргыг ашиглан үндсийг олох алгоритмыг хоёр үе шатанд хувааж болно. Эхний шатанд үндэсийн байршлыг судалж, тэдгээрийг салгах ажлыг гүйцэтгэдэг. Тэгшитгэлийн язгуур буюу x 0 язгуурын анхны ойролцоолсон мужийг олно. Хамгийн энгийн аргаЭнэ асуудлын шийдэл нь f(x) функцийн графикийг судлах явдал юм. Ерөнхий тохиолдолд үүнийг шийдэхийн тулд математик шинжилгээний бүх хэрэгслийг ашиглах шаардлагатай.
Олдсон сегмент дээр тэгшитгэлийн дор хаяж нэг язгуур (1) байгаа нь Болзаногийн нөхцлөөс хамаарна.
f(a)*f(b)<0 (2)
Энэ нь f(x) функц нь энэ интервал дээр тасралтгүй байна гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч энэ нөхцөл нь өгөгдсөн интервал дээрх тэгшитгэлийн язгуурын тооны талаархи асуултад хариулж чадахгүй. Хэрэв функцийн тасралтгүй байдлын шаардлага нь түүний монотон байдлын шаардлагаар нэмэгддэг бөгөөд энэ нь эхний деривативын тэмдгийн тогтмол байдлаас үүдэлтэй бол өгөгдсөн сегмент дээр нэг үндэс байгаа гэдгийг баталж чадна.
Үндэсийг нутагшуулахдаа энэ төрлийн тэгшитгэлийн үндсэн шинж чанарыг мэдэх нь чухал юм. Жишээлбэл, зарим шинж чанаруудыг санаарай алгебрийн тэгшитгэл:
бодит коэффициентүүд хаана байна.
a) n зэрэгтэй тэгшитгэл нь n үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дунд бодит ба нийлмэл аль аль нь байж болно. Нийлмэл үндэс нь нарийн төвөгтэй хосолсон хосуудыг үүсгэдэг тул тэгшитгэл нь тэгш тооны ийм үндэстэй байдаг. Хэрэв n нь сондгой бол ядаж нэг жинхэнэ язгуур байна.
b) Эерэг бодит язгуурын тоо нь коэффициентүүдийн дарааллын хувьсах тэмдгийн тооноос бага буюу тэнцүү байна. (3) тэгшитгэлийн х-г –х-ээр сольсноор сөрөг язгуурын тоог ижил аргаар тооцоолох боломжтой.
(1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь шатанд олж авсан анхны ойролцооллыг ашиглан язгуурын утгыг урьдчилан тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар боловсронгуй болгох боломжийг олгодог давталтын процессыг байгуулна. Давтагдах үйл явц нь анхны ойртсон утгыг дараалан боловсронгуй болгохоос бүрдэнэ. Ийм алхам бүрийг давталт гэж нэрлэдэг. Давталтын үйл явцын үр дүнд тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгуудын дараалал олддог. Хэрэв энэ дараалал нь n өсөхөд x язгуурын жинхэнэ утгад ойртвол давтагдах процесс нийлнэ. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд давтагдах процессыг дор хаяж m дараалалд нийлдэг гэж нэрлэдэг.
, (4)
Энд C>0 тогтмол байна. Хэрэв m=1 бол бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгдлийн тухай ярина; m=2 - квадратын тухай, m=3 - куб нийлбэрийн тухай.
Өгөгдсөн зөвшөөрөгдөх алдааны хувьд үнэмлэхүй буюу харьцангуй хазайлтын шалгуурыг хангасан тохиолдолд давталтын мөчлөг дуусна.
эсвэл жижиг зөрүү:
Энэхүү ажил нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг судлахад зориулагдсан болно.
1.1 Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудын тойм
Олон бий янз бүрийн аргаШугаман бус тэгшитгэлийн шийдлүүдийн заримыг доор үзүүлэв.
1)Давталтын арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг давталтын аргаар шийдвэрлэхдээ x=f(x) хэлбэрээр бичигдсэн тэгшитгэлийг ашиглана. Аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгсөн болно. x 1 уусмалын эхний ойролцоолсон утгыг x 1 =f(x 0), хоёр дахь нь - x 2 =f(x 1) гэх мэт илэрхийллээс олно. IN ерөнхий тохиолдол i+1 ойролцоо утгыг xi+1 =f(xi) томъёог ашиглан олно. Тодорхойлсон журам|f(xi)|>ε хүртэл давтана. Давталтын аргын нийлэх нөхцөл |f"(x)|<1.
2)Ньютоны арга. Шугаман бус тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдвэрлэхдээ аргументийн анхны утга x 0 ба нарийвчлал ε-ийг зааж өгнө. Дараа нь (x 0 ,F(x 0)) цэг дээр F(x) график руу шүргэгч зурж, шүргэгчийн х 1 тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг тодорхойлно. (x 1 ,F(x 1)) цэг дээр бид дахин шүргэгчийг байгуулж, хүссэн шийдлийн дараагийн ойролцоолсон утгыг олно x 2 гэх мэт. Бид энэ процедурыг |F(xi)| хүртэл давтана > ε. Шүргэгчийн абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг (i+1) тодорхойлохдоо x i+1 =x i -F(x i)\ F’(x i) томъёог ашиглана. Шүргэх аргын нийлэх нөхцөл F(x 0)∙F""(x)>0 гэх мэт.
3). Дихотомийн арга.Шийдвэрлэх арга нь C k = a k + b k /2 томъёоны дагуу эхний тодорхойгүй байдлын интервалыг аажмаар хагасаар хуваахад хүргэдэг.
Үүссэн хоёр сегментээс шаардлагатай нэгийг нь сонгохын тулд үүссэн сегментүүдийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг олж, функц тэмдэгээ өөрчилдөг нэгийг, өөрөөр хэлбэл f ( нөхцөлийг) авч үзэх шаардлагатай. a k) * f (k-д) хангагдсан байх ёстой<0.
Сегментийг хуваах үйл явц нь одоогийн тодорхойгүй байдлын интервалын урт нь заасан нарийвчлалаас бага болтол явагдана.
in to - a to< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.
4). Хөвчний арга. Аргын санаа нь y=f(x) функцийн графын нумын төгсгөлүүд ба хөвчний х-тэй огтлолцох c цэгийг агуулж буй сегмент дээр хөвчийг байгуулах явдал юм. тэнхлэгийг язгуурын ойролцоо утга гэж үзнэ
c = a - (f(a)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)),
c = b - (f(b)Х (a-b)) / (f(a) - f(b)).
Дараагийн ойролцооллыг интервал дээр эсвэл a, b, c цэгүүд дэх функцийн утгын тэмдгүүдээс хамааран хайж байна.
x* O, хэрэв f(c)H f(a) > 0;
x* O хэрэв f(c)Х f(b)< 0 .
Хэрэв f"(x) тэмдэг нь өөрчлөгдөөгүй бол c=x 1 гэж тэмдэглээд a эсвэл b-г анхны ойролцоолсон гэж үзвэл бид баруун эсвэл зүүн цэгтэй хөвчний аргын давтагдах томьёог олж авна.
x 0 =a, x i+1 = x i - f(x i)(b-x i) / (f(b)-f(x i), f "(x)Х f "(x) > 0-тэй;
x 0 =b, x i+1 = x i - f(x i)(x i -a) / (f(x i)-f(a), f "(x)Х f "(x)-тай< 0 .
Хөвчний аргын нэгдэл нь шугаман байна.
1.2 Ньютоны аргын алгоритм
Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй алгоритмыг бүтээцгээе. Анхны ойролцоо утгыг өгье. Энэ үед функцийн утга ба түүний деривативыг тооцоолъё. Аргын график дүрслэлийг харцгаая:
.
(8)
Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлснээр бид олж авна сайн мэддэг томъёоНьютон:
(9)
Энд хамгийн энгийн рекурсив дэд программын функц байна:
функц X_Newt(x,eps:real):бодит;
y:=x-f(x)/f1(x);
хэрэв abs(f(x)) > eps
дараа нь X_Newt:=X_Newt(y,eps)
Ньютоны арга (шүргэгч) нь квадрат ойртох хурдаар тодорхойлогддог, i.e. Давталт бүрт зөв тэмдгийн тоо хоёр дахин нэмэгддэг. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь үргэлж хүссэн үр дүнд хүргэдэггүй. Энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье.
(1) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргацгаая.
Шүргэх аргын хувьд 
. Хэрэв x=x 0 язгуурын анхны ойролцоололт мэдэгдэж байгаа бол бид x 1 =g(x 0), тэгвэл x 2 =g(x 1) тэгшитгэлээс дараагийн ойролцооллыг олно... Энэ процессыг үргэлжлүүлэх, энгийн давталтын аргын давтагдах томьёог олж авна
x k+1 =g(x k) (11)
Давтагдах үйл явц (5-7) нөхцөл хангагдтал үргэлжилнэ.
Тайлбарласан тооцооллын процесс нь үргэлж хүссэн шийдэлд хүргэдэг үү? Ямар нөхцөлд нэгдэх вэ? Эдгээр асуултад хариулахын тулд аргын геометрийн дүрслэл рүү дахин орцгооё.
Тэгшитгэлийн язгуурыг y=x ба y=g(x) функцүүдийн огтлолцлын цэгээр илэрхийлнэ. Зураг дээрээс харж болно. 3(а), хэрэв нөхцөл хангагдсан бол процесс нийлнэ, эс бөгөөс сална (Зураг 3(б)).
Тиймээс давтагдах үйл явц нэгдэж, хүссэн үр дүнд хүргэхийн тулд дараах нөхцөлийг хангасан байх ёстой.
f(x)=0 тэгшитгэлээс x=g(x) тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг хийж болно. янз бүрийн арга замууд. Энэ тохиолдолд сонгосон g(x) функц (12) нөхцөлийг хангах нь чухал. Жишээлбэл, f(x) функцийг дурын тогтмол q-д үржүүлж, (1) тэгшитгэлийн хоёр талд x хувьсагчийг нэмбэл g(x)=q*f(x)+x болно. Алгоритмын нэгдэх хурд хамгийн их байхаар q тогтмолыг сонгоцгооё. Хэрэв 1 Ньютоны арга нь нийлэх хувь өндөртэй ч тэр бүр нийлдэггүй. g(x) = x – f(x)/ f’(x) нийлэх нөхцөл нь шаардлагад буурна. Практик тооцоололд анхны утгыг хүссэн утгад аль болох ойртуулах, програмд "гогцооны хамгаалалт" суурилуулах нь чухал юм. Аргын сул тал нь алхам бүрт зөвхөн функцийг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай байдаг. Энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Ньютоны аргын нэг өөрчлөлт бол деривативыг зөвхөн эхний давталтаар тооцоолох явдал юм. Өөр нэг өөрчлөлтийн арга бол деривативыг хязгаарлагдмал зөрүүгээр солих явдал юм Дараа нь Ньютоны алгоритмын энэ өөрчлөлтийн геометрийн утга нь шүргэгчээс бид секант руу ирдэг. Секантын арга нь нийлэх хурдаараа Ньютоны аргаас доогуур боловч деривативын тооцоог шаарддаггүй. Секантын аргын анхны ойролцоолсон утгууд нь үндэсийн өөр өөр талд эсвэл нэг талд байрлаж болно гэдгийг анхаарна уу. Ньютоны аргын алгоритмыг ерөнхий хэлбэрээр бичье. 1. Нөхцөл хангагдахын тулд анхны ойролцоолсон x (0)-ийг тогтоо f(x (0))*f’’(x (0))>0. (16) Жижиг тохируул эерэг тооε нь тооцооллын нарийвчлал. k = 0 гэж тохируулна. 2. Томъёо (9) ашиглан x (k+1)-ийг тооцоол. 3. Хэрэв | x (k+1) - x (k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1)
.
Үгүй бол k-г 1-ээр (k = k + 1) нэмэгдүүлж, 2-р алхам руу орно. Ньютоны аргыг ашиглан хэд хэдэн шугаман бус тэгшитгэлийг гараар шийдэж, дараа нь програм хангамжийн бүтээгдэхүүнийг хэрэгжүүлэх явцад олж авсан үр дүнг харьцуулж үзье. Жишээ 1 sin x 2 + cosx 2 - 10x. = 0. F’(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10. F’’(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2). Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0. x (0) = 0. 565, тэгвэл f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0.342) = 1.5 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 0.565-ыг авна. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.101 байна. Жишээ 2 Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд. cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0 Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 . Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё. F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2) – cos x. Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0. x (0) = 2, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0,449 * 0,010 = 0,05 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 2-ыг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.089 байна. Жишээ 3 Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд. Тооцооллыг ε = 0.001 нарийвчлалтайгаар хийх ёстой. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F’(x) = 2*x + e -x . Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё. F’’(x) = 2 - e -x . Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0, Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.703 байна. Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд. cos x –e -x/2 +x-1=0. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1. Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё. F’’(x) = -cos x - e -x/2/4. Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0.046 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 1.162 байна. Жишээ 5 Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд. 2+e x - e -x =0. Функцийн эхний деривативыг тооцоолъё. F’(x) = e x +e -x . Одоо функцийн хоёр дахь деривативыг тооцоолъё. F’’(x) = e x -e -x . Энэ функцийн ойролцоо графикийг байгуулъя. Одоо график дээр үндэслэн эхний ойролцоо үндэсийг авч (16) нөхцөлийг шалгая: f(x (0)) * f’’(x (0)) > 0. x (0) = 1, тэгвэл f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0, Нөхцөл хангагдсан тул бид x (0) = 1-ийг авна. Одоо энэ тэгшитгэлийг шийдэх утгын хүснэгтийг үүсгэцгээе. Эндээс тэгшитгэлийн язгуур нь x = 0.881 байна. Энэ програм нь текст болон график горимд ажиллахад зориулагдсан. Энэ нь График модуль, Crt, гурван функц, гурван процедураас бүрдэнэ. 1. Crt модуль нь дэлгэцийн текстийн горим, өргөтгөсөн гарын код, өнгө, цонх, дуу чимээ зэргийг хянахад зориулагдсан; 2. График модуль нь график объектуудыг удирдахад зориулагдсан; 3. процедур GrafInit - график горимыг эхлүүлнэ; 4. функц VF – функцийн утгыг тооцоолно; 5. f1 функц – функцийн эхний деривативын утгыг тооцоолно; 6. X_Newt функц – Ньютоны аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг хэрэгжүүлдэг. 7. Prosedur FGraf – графикийг хэрэгжүүлдэг өгөгдсөн функц f(x); Ots=35 - мониторын хил хязгаараас догол хийх цэгүүдийн тоог тодорхойлдог тогтмол; fmin, fmax - функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгууд; SetColor(4) – график объектын одоогийн өнгийг палитр ашиглан тохируулдаг процедур энэ тохиолдолдэнэ нь улаан; SetBkColor(9) нь палитр ашиглан одоогийн дэвсгэр өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд цайвар цэнхэр өнгөтэй байна. 8. MaxMinF процедур нь f(x) функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг тооцоолох болно. Шугаман – координат (x1, y1) цэгээс координаттай (x2, y2) цэг хүртэл шугам татах процедур; MoveTo – заагчийг (CP) координаттай (x, y) цэг рүү шилжүүлэх процедур; TextColor(5) – тэмдэгтүүдийн одоогийн өнгийг тохируулах процедур бөгөөд энэ тохиолдолд ягаан өнгөтэй байна; Outtexty(x, y, 'string') – (x, y) байрлалаас эхлэн мөр гаргадаг процедур. CloseGraph нь график системийг хаадаг процедур юм. Програмыг туршихын тулд бид үр дүнг харьцуулах, програмын зөв ажиллагааг шалгахын тулд ажлын практик хэсэгт шийдсэн жишээнүүдийг авна. 1) нүгэл x 2 + cosx 2 - 10x. = 0. = -1 оруулна уу b=1 гэж оруулна уу = [-1, 1] (функцийн график гаралт) Бид дараахыг авна: x=0.0000002 2) cos x – e -x2/2 + x - 1 = 0. Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг. = -3 оруулна уу b=3 гэж оруулна уу = [-3, 3] (функцийн график гаралт) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая. Бид авна: x=-0.0000000 3) x 2 - e -x = 0. Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг. = -1 оруулна уу b=1 гэж оруулна уу = [-1, 1] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 01 (функцийн график гаралт) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая. Бид авна: x=0.0000000 4) cos x –e -x/2 +x-1=0. Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг. a = -1.5 оруулна уу b=1.5 гэж оруулна уу = [-1,5, 1,5 ] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001 (функцийн график гаралт) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая. Бид дараахийг авна: x=0.0008180 5) -2+e x - e -x =0. Энэхүү программ нь Ньютоны аргаар шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг eps нарийвчлалтайгаар тооцож, тухайн сегмент дээрх функцийн ойролцоо графикийг зурдаг. a = -0.9 оруулна уу b=0.9 оруулна уу = [-0,9, 0,9] Тооцооллын нарийвчлалыг eps=0 гэж оруулна. 001 (функцийн график гаралт) Ньютоны аргаар олдсон тэгшитгэлийн үндэс: Үр дүнгийн хариултыг тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгацгаая. Ажлын зорилго нь Ньютоны аргыг ашиглан шугаман бус тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох программ бүтээх явдал байв. Үүний үндсэн дээр зорилгодоо хүрэхийн тулд дараахь ажлуудыг шийдсэн тул зорилгодоо хүрсэн гэж дүгнэж болно. 1. Шаардлагатай ном зохиолыг судалсан. 2. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх одоо байгаа аргуудыг авч үзсэн. 3. Шугаман бус тэгшитгэлийг шийдэх Ньютоны аргыг судалсан. 4. Шугаман бус тэгшитгэлийн Ньютоны аргаар шийдлийг жишээ болгон авч үзнэ. 5. Хөтөлбөрийг туршиж, дибаг хийсэн. 1. B.P. Демидович, И.А.Марон. Тооцооллын математикийн үндэс. - Москва, ред. "Шинжлэх ухаан"; 1970. 2. В.М. Вержбицкий. Тоон аргууд (шугаман алгебр ба шугаман бус тэгшитгэл). - Москва " төгссөн сургууль"; 2000. 3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Бодлого, дасгалын тоон аргууд. - Москва, "Ахлах сургууль"; 2000. 4. Matthews, John, G., Fink, Curtis, D. Numerical methods MATLAB, 3rd edition.- Москва, “Виллас”; 2001 он.
(13)
(14)
(15).
к
х(к)
f(x(k))
f’(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
0. 565
-4. 387
-9. 982
0. 473
1
0. 092
0. 088
-9. 818
0. 009
2
0. 101
0. 000
-9. 800
0. 000
3
0. 101
к
х(к)
f(x(k))
f’(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
2
0. 449
0. 361
1. 241
1
-0. 265
0. 881
0. 881
0. 301
2
-0. 021
0. 732
0. 732
0. 029
3
0. 000
0. 716
0. 716
0. 000
4
1. 089
к
х(к)
f(x(k))
f’(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
0, 632
2, 368
0, 267
1
0, 733
0, 057
1, 946
0, 029
2
0, 704
0, 001
1, 903
0, 001
3
0, 703
к
х(к)
f(x(k))
f’(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
-0. 066
0. 462
0. 143
1
1. 161
-0. 007
0. 372
0. 018
2
1. 162
0. 0001.
0. 363
0. 001
3
1. 162
к
х(к)
f(x(k))
f’(x(k))
| x(k+1) - x(k) |
0
1, 000
0, 350
3, 086
0, 114
1
0, 886
0, 013
2, 838
0, 005
2
0, 881
0, 001
2, 828
0, 000
3
0, 881
3.1 Хөтөлбөрийн тайлбар
3.2 Програмыг турших
Ном зүй
2. Шугаман бус тэгшитгэлийн системийг шийдэх Ньютоны арга.
Энэ арга нь энгийн давталтын аргаас хамаагүй хурдан нийлдэг. Ньютоны тэгшитгэлийн системийн арга (1.1) нь функцийг өргөтгөхөд суурилдаг
, Хаана 
(2.1)
Тейлорын цувралд хоёр дахь буюу түүнээс дээш үгийг агуулсан нэр томьёотой өндөр захиалгадеривативуудыг хаядаг. Энэ арга нь нэг асуудлыг шийдэх боломжийг олгодог шугаман бус систем(1.1) олон тооны шугаман системийн шийдлээр солигдоно.
Тиймээс бид (1.1) системийг Ньютоны аргаар шийдэх болно. D бүсэд дурын цэгийг сонгоно уу 
мөн үүнийг анхны системийн яг шийдлийн тэг ойролцоо гэж нэрлэнэ. Одоо (2.1) функцийг цэгийн ойролцоох Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье. Байх болно
Учир нь (2.2)-ын зүүн талууд (1.1)-ийн дагуу алга болох ёстой, дараа нь (2.2)-ын баруун талууд мөн алга болно. Тиймээс (2.2) -аас бид байна
(2.3)-д заасан бүх хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолох ёстой.
(2.3) нь үл мэдэгдэх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем бөгөөд хэрэв үндсэн тодорхойлогч нь тэгээс өөр бол хэмжигдэхүүнүүдийг олох боломжтой бол энэ системийг Крамерын аргаар шийдэж болно.
Одоо бид координатаар эхний ойролцооллыг бий болгосноор тэг ойролцоо утгыг боловсронгуй болгож чадна.
тэдгээр. 
. (2.6)
Ойролцоогоор (2.6) хангалттай нарийвчлалтайгаар олж авсан эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд нөхцөл байдлыг шалгая
, 
(2.7)
Хаана 
урьдчилан тодорхойлсон жижиг эерэг тоо (системийг (1.1) шийдвэрлэх нарийвчлал). Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон (2.6)-г сонгож тооцооллыг гүйцээнэ. Хэрэв нөхцөл (2.7) хангагдаагүй бол бид дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Системд (2.3) оронд 
шинэчлэгдсэн утгуудыг авч үзье
, (2.8)
тэдгээр. дараах зүйлийг хийцгээе
. (2.9)
Үүний дараа (2.3) систем нь хэмжигдэхүүнүүдийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем байх болно. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхойлсны дараа дараагийн хоёр дахь ойролцооллыг хийнэ. 
(1.1) системийн шийдлийг бид томъёог ашиглан олно
Одоо нөхцөлийг шалгацгаая (2.7) 
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид (1.1) системийн ойролцоо шийдэл болгон хоёр дахь ойролцооллыг авч тооцооллыг дуусгана. 
. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид (2.3)-ыг авч дараагийн ойролцоо тооцоог үргэлжлүүлнэ. 
Нөхцөл хангагдахгүй болтол ойртсон тооцоолол хийх шаардлагатай.
Системийг шийдвэрлэх Ньютоны аргын ажлын томьёо (1.1) хэлбэрээр бичиж болно.
Тооцооллын дараалал
Энд 
системийн шийдэл юм
(2.11)-(2.13) томъёог ашиглан тооцооллын алгоритмыг томъёолъё.
1. D мужид хамаарах 0 ойролцооллыг сонгоцгооё.
2. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системд (2.13) бид тогтоосон 
, А.
3. (2.13) системийг шийдэж хэмжигдэхүүнүүдийг олцгооё 
.
4. Томъёонд (2.12) бид тавьдаг 
дараагийн ойролцоо тооцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолно.
5. Нөхцөл (2.7)-ыг шалгаж үзье: (Хэд хэдэн хэмжигдэхүүний дээд хэмжээг тооцоолох алгоритмыг үзнэ үү.)
6. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоолсон шийдлээр ойролцоогоор тооцооллыг сонгон тооцооллыг гүйцээнэ. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол 7-р алхам руу шилжинэ.
7. Тавьцгаая 
бүгдэд нь .
8. 3-р алхам буюу тавихыг гүйцэтгье 
.
Геометрийн хувьд энэ алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно.
Алгоритм. Хамгийн ихдээ хэд хэдэн хэмжигдэхүүнийг тооцоолох.
Жишээ. Хоёр тэгшитгэлийн системийг Ньютоны аргыг ашиглан шийдэхийг авч үзье.
Ньютоны аргыг ашиглан дараах шугаман бус тэгшитгэлийн системийг нарийвчлалтай шийд
, (2.14)
Энд 
. Тэгтэй ойролцоо утгыг сонгоцгооё 
, домэйнд хамаарах D. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг байгуулъя (2.3). Тэр харагдах болно
(2.15)
гэж тэмдэглэе
(2.15) системийг үл мэдэгдэх зүйлийн талаар бодъё 
жишээлбэл, Крамерын арга. Бид Крамерын томъёог хэлбэрээр бичнэ
(2.17)
системийн гол тодорхойлогч хаана байна (2.15)
(2.18)
(2.15) системийн туслах тодорхойлогч нь хэлбэртэй байна
.
Бид олсон утгыг (2.16) -д орлуулж, эхний ойролцоолсон бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг олно. 
системийн шийдэлд (2.15).
Нөхцөл байдлыг шалгацгаая
, (2.19)
хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид эхний ойролцооллыг системийн (2.15) ойролцоо шийдэл болгон авч тооцооллыг дуусгана, өөрөөр хэлбэл. 
. Хэрэв нөхцөл (2.19) хангагдаагүй бол бид тохируулна 
, 
мөн бид барих болно шинэ системшугаман алгебрийн тэгшитгэл (2.15). Үүнийг шийдсэний дараа бид хоёр дахь ойролцоо утгыг олно 
. Үүнийг шалгаж үзье. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол бид системийн ойролцоо шийдлийг сонгоно (2.15) 
. Хэрэв дээрх нөхцөл хангагдаагүй бол бид тохируулна 
, 
Дараах системийг (2.15) байгуулж олно 
гэх мэт.
Даалгаврууд
Бүх даалгаврууд нь дараахь зүйлийг шаарддаг.
Санал болгож буй алгоритмын дагуу аргын тоон хэрэгжилтийн хөтөлбөрийг гарга.
Тооцооллын үр дүнг авах.
Үр дүнгээ шалгана уу.
Хоёр шугаман бус тэгшитгэлийн системийг өгөв.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
.
Бүлэг 3. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэх тоон аргууд.
Ажлын зорилго. SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргуудын танилцуулга, тэдгээрийг компьютер дээр тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх.
Урьдчилсан тайлбар. SLAE-ийг шийдвэрлэх бүх аргыг ихэвчлэн хоёр том бүлэгт хуваадаг. Эхний бүлэгт үнэн зөв гэж нэрлэгддэг аргууд орно. Эдгээр аргууд нь аль ч системд тодорхой тооны арифметик үйлдлүүдийн дараа тодорхойгүй утгыг олох боломжтой болгодог.
Хоёр дахь бүлэгт үнэн зөв биш бүх аргууд орно. Тэдгээрийг давтагдах буюу тоон буюу ойролцоо гэж нэрлэдэг. Ийм аргыг ашиглахдаа нарийн шийдлийг эцэс төгсгөлгүй ойртуулах үйл явцын үр дүнд олж авдаг. Сэтгэл татам шинж чанарИйм аргууд нь өөрөө засч залруулж, компьютер дээр хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.
SLAE-ийг шийдвэрлэх зарим ойролцоо аргуудыг авч үзэх, тэдгээрийг тоон хэлбэрээр хэрэгжүүлэх алгоритмыг бий болгох. Бид SLAE-ийн нарийвчлалтай ойролцоо шийдлийг олж авах болно, энд маш бага эерэг тоо байна.
1. Давталт хийх арга.
SLAE-г маягтаар өгье
(1.1)
Энэ системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно
, (1.2)
Хаана 
- систем дэх үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц (1.1), 
- чөлөөт гишүүдийн багана, 
- системийн үл мэдэгдэх багана (1.1).
. (1.3)
(1.1) системийг давталтын аргыг ашиглан шийдье. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах алхмуудыг хийх болно.
Нэгдүгээрт. Тэгтэй ойролцоо утгыг сонгоцгооё
(1.4)
(1.1) системийн яг шийдэлд (1.3). Тэг ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ямар ч тоо байж болно. Гэхдээ тэгийн ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэг тэгийг авах нь илүү тохиромжтой 
, эсвэл системийн үнэгүй нөхцөл (1.1) 
Хоёрдугаарт. Бид тэгийн ойролцоох бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг орлуулна баруун талсистем (1.1) ба тооцоолно
(1.5)
(1.5)-ын зүүн талд байгаа хэмжигдэхүүнүүд нь эхний ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсэг юм 
Эхний ойролцоолсон үйлдлийг давталт гэж нэрлэдэг.
Гуравдугаарт. Тэг болон эхний ойролцоо утгыг шалгая
(1.6)
Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдлийн аль нэгийг сонгоно уу, эсвэл хамаагүй, учир нь Тэд бие биенээсээ илүүгүй ялгаатай тул тооцоогоо дуусгацгаая. Хэрэв нөхцөлүүдийн дор хаяж нэг нь (1.6) хангагдаагүй бол бид дараагийн үйлдэл рүү шилжинэ.
Дөрөвдүгээрт. Дараагийн давталтыг хийцгээе, i.e. Системийн баруун талд (1.1) бид эхний ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг орлуулж, хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолно. 
, Хаана
Тавдугаарт. Шалгацгаая 
мөн дээр , i.e. Эдгээр ойролцоо утгыг (1.6) нөхцөлийг шалгацгаая. Хэрэв бүх нөхцөл (1.6) хангагдсан бол (1.1) системийн ойролцоо шийдлийн аль нэгийг сонгох болно, эсвэл хамаагүй, учир нь -ээс ихгүй хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай. Үгүй бол бид хоёр дахь ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг системийн баруун талд (1.1) орлуулах замаар дараагийн давталтыг байгуулна.
Хоёр зэргэлдээ ойртох хүртэл давталтуудыг барих шаардлагатай 
-ээс ихгүй хэмжээгээр бие биенээсээ ялгаатай байх болно.
Ажлын томъёо(1.1) системийг шийдвэрлэх давталтын аргыг хэлбэрээр бичиж болно
Томъёоны (1.7) тоон хэрэгжилтийн алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
Хангалттай нөхцөл(1.1) системийн давталтын аргын нэгдэл нь хэлбэртэй байна
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
2. Энгийн давталтын арга.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) хэлбэрээр өгье
(2.1)
Энгийн давталтын аргыг ашиглан системийг (2.1) шийдэхийн тулд эхлээд хэлбэрт оруулах шаардлагатай
(2.2)
Системд (2.2) 
--р тэгшитгэл нь (2.1) системийн --р тэгшитгэл бөгөөд -р үл мэдэгдэх ( 
).
Системийг (2.2) систем болгон бууруулж, дараа нь (2.2) системийг давталтын аргыг ашиглан шийдвэрлэх аргыг (2.1) системийг (2.1) энгийн давталтын арга гэж нэрлэдэг.
Тиймээс (2.1) системийг шийдвэрлэх энгийн давталтын аргын ажлын томьёо нь хэлбэртэй байна
(2.3)
Томъёо (2.3) хэлбэрээр бичиж болно
(2.4) томъёоны дагуу системийн (2.1) энгийн давталтын аргыг тоон аргаар хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.
Системийн (2.1) давталтын энгийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна.
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
3. Суурин Зайделийн арга.
SLAE-ийг шийдвэрлэх Зайделийн арга нь давталтын аргаас ялгаатай нь --р бүрэлдэхүүн хэсгийн ойролцоо утгыг олсны дараа бид дараагийнхыг олохын тулд тэр даруй ашигладаг. 
, 
, …, 
--р бүрэлдэхүүн хэсэг. Энэ арга нь Зайделийн аргын давталтын аргатай харьцуулахад илүү өндөр нийлэх боломжийг олгодог.
SLAE-г маягтаар өгье
(3.1)
Болъё 
- яг шийдэлд тэг ойртсон 
системүүд (3.1). Тэгээд олдох болтугай 
Ойролцоо 
. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлъё 
томьёо ашиглан ойртуулах
(3.2)
Томъёо (3.2)-ыг авсаархан хэлбэрээр бичиж болно
, 
, 
(3.3)
Томъёо (3.3) ашиглан системийг (3.1) шийдвэрлэх Зайделийн аргыг тоон аргаар хэрэгжүүлэх алгоритм нь дараах байдалтай байж болно.
1. Жишээ нь: 
, 
2. тавьцгаая.
3. Бүгдээрээ тооцоолъё.
4. Бид хүн бүрийн нөхцөлийг шалгана 
.
5. Хэрэв 4-р зүйлд заасан бүх нөхцөл хангагдсан бол (3.1) системийн аль нэгийг нь эсвэл ойролцоо шийдэл болгон сонгож, тооцооллыг гүйцээнэ. Хэрэв 4-р алхамын дор хаяж нэг нөхцөл хангагдаагүй бол 6-р алхам руу шилжинэ.
6. Үүнийг тавиад 3-р алхам руу шилжье.
Энэ алгоритмыг геометрийн хэлбэрээр бичиж болно.
Систем (3.1)-д Зайделийн аргыг нэгтгэх хангалттай нөхцөл нь хэлбэртэй байна 
, .
4. Суурин бус Зайделийн арга.
SLAE (3.1)-ийг шийдвэрлэх энэхүү арга нь Зайделийн аргын нэгдэх хурдыг бүр ч өндөр болгодог.
(3.1) системийн 3-р ойролцоо ба 3-р ойролцооллын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ямар нэгэн байдлаар олъё.
Залруулгын векторыг тооцоолъё
Утгыг тооцож үзье
, (4.2)
Тоо хэмжээг цэгцэлье 
, буурах дарааллаар.
Үүнтэй ижил дарааллаар бид (3.1) систем дэх тэгшитгэлүүд болон энэ систем дэх үл мэдэгдэх зүйлсийг дахин бичнэ. ШугаманалгебрТэгээд шугаман бус ... МенежментУчир ньлаборатори ажилладагBy ... арга зүйнзааварчилгаа Учир ньпрактикажилладагBy Учир ньоюутнууд ...
Боловсролын уран зохиол (байгалийн шинжлэх ухаан, техникийн) 2000-2011 OP цикл – 10 жил CD цикл – 5 жил
Уран зохиол... БайгалийнШинжлэх ухаанерөнхийд нь 1. Одон орон судлал [Текст]: гарын авлага Учир нь ... Тоонаргууд: ШугаманалгебрТэгээд шугаман бус ... МенежментУчир ньлаборатори ажилладагBy ... арга зүйнзааварчилгаа Учир ньпрактикажилладагBy"Тээврийн эдийн засаг" Учир ньоюутнууд ...
- байгалийн шинжлэх ухаан (1)
Заавар... удирдлагаУчир ньоюутнуудболон багш нар, зорилготой Учир ньзөвхөн суралцахад ашиглахгүй аргуудажил... үйлдвэрлэл практикбодит өгөгдлийг ашиглах ур чадвар. Арга зүйнзөвлөмжүүд Byтестийн биелэлт ажилByэнэ...
- байгалийн ухаан - физик-математикийн шинжлэх ухаан - химийн шинжлэх ухаан - газрын шинжлэх ухаан (геодезийн геофизикийн геологи, газарзүйн шинжлэх ухаан)
Баримт бичиг... Учир ньоюутнуудбайгалийн- ... ажилладагBy"Генетик ба сонгон шалгаруулалт" хичээлийг зориулав одоогийн асуудлуудэнэ Шинжлэх ухаан. Системчилсэн бие даасан АжилоюутнуудByонолын болон практик ... шугаман, шугаман бус, динамик. Бүгд аргууд ...
- байгалийн шинжлэх ухаан - физик-математикийн шинжлэх ухаан - химийн шинжлэх ухаан - газрын шинжлэх ухаан (геодезийн геофизикийн геологи, газарзүйн шинжлэх ухаан) (7)
Сурах бичгийн жагсаалтЭреминий тодорхойлогч шугаманТэгээд шугаман бусалгебр : шугаманТэгээд шугаман буспрограмчлал: шинэ арга/ Еремин, Михаил... Учир ньоюутнуудих дээд сургуулиудын геологийн мэргэжлийн багш нар. х-1 1794549 99. Д3 Р 693 ПрактикудирдлагаBy ...
Ньютоны арга (шүргэх арга)
f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг 1 ба 2-р дериватив f’(x) ба сегмент дээр салгая. f""(x) xÎ-ийн хувьд тасралтгүй ба тогтмол тэмдэгтэй байна.
Үндэсийг боловсронгуй болгох зарим үе шатанд x n үндэстэй дараагийн ойролцооллыг олж авцгаая (сонгосон) . Дараа нь h n залруулга ашиглан дараагийн ойролцоолсон тооцоолол гарлаа гэж бодъё , хүргэдэг яг үнэ цэнэүндэс
x = xn + hn. (1.2.3-6)
Тоолж байна h nжижиг утга учир бид f(х n + h n) -ийг Тейлорын цуврал хэлбэрээр илэрхийлж, шугаман нөхцөлөөр хязгаарлагдана.
f(x n + h n) »f(x n) + h n f’(x n). (1.2.3-7)
f(x) = f(x n + h n) = 0 гэж үзвэл f(x n) + h n f ’(x n) » 0-г олж авна.
Эндээс h n » - f(x n)/ f’(x n). Утгыг орлуулъя h n(1.2.3-6) болон язгуурын яг утгын оронд xБид өөр нэг ойролцоо дүгнэлтийг олж авдаг
Формула (1.2.3-8) нь тодорхой нөхцөлд язгуурын яг утгад нийлдэг x 1, x 2, x 3 ... ойролцоолсон дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. x,тэр бол 
Ньютоны аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-6). b сегментийн баруун төгсгөлийг анхны ойролцоолсон х 0 гэж авч, y = f(x) функцийн графикийн харгалзах B 0 цэг дээр шүргэгч байгуулъя. Шүргэгчийн x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг шинэ, илүү нарийвчлалтай x 1 ойролцоолсон гэж үзнэ. Энэ процедурыг олон удаа давтах нь x 0, x 1, x 2 ойролцоох дарааллыг олж авах боломжийг олгодог. , .
.
., энэ нь язгуурын яг утгыг чиглүүлдэг x.
Ньютоны аргын тооцооны томъёог (1.2.3-8) геометрийн хийцээс авч болно. Тиймээс дотор зөв гурвалжин x 0 B 0 x 1 хөл
x 0 x 1 = x 0 V 0 /tga. В 0 цэг нь функцийн график дээр байгааг харгалзан үзвэл f(x),ба гипотенуз нь В 0 цэгийн f(x) графиктай шүргэгчээр үүсгэгдэх бөгөөд бид олж авна.
(1.2.3-9)
(1.2.3-10)
Энэ томъёо нь (1.2.3-8)-тай n-р ойролцоо утгатай давхцаж байна.
Зураг 1.2.3-6-аас харахад а цэгийг анхны ойролцоолсноор сонгох нь дараагийн x 1 ойролцооллыг үндэс тусгаарлагдсан сегментийн гадна талд байх болно гэдгийг харуулж байна. x. Энэ тохиолдолд үйл явцын нэгдэл нь баталгаатай биш юм. Ерөнхийдөө анхны ойролцооллыг сонгохдоо заасны дагуу хийгддэг дараах дүрэм: анхны ойролцооллыг f(x 0)×f’’(x 0)>0, өөрөөр хэлбэл функцын тэмдэг ба түүний хоёр дахь дериватив давхцах x 0 О цэг гэж авна.
Ньютоны аргын нийлэх нөхцөлийг дараах теоремоор томъёолсон болно.
Хэрэв тэгшитгэлийн үндэс нь сегмент дээр тусгаарлагдвал, ба f’(x 0) ба f’’(x) тэгээс ялгаатай бөгөөд хэзээ тэмдэгээ хадгална xО, хэрэв бид ийм цэгийг анхны ойролцоолсон байдлаар сонговол x 0 О , Юу f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , дараа нь тэгшитгэлийн үндэс f(x)=0 ямар ч нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно.
Ньютоны аргын алдааны тооцоог дараах илэрхийллээр тодорхойлно.
(1.2.3-11)
Хаана - хамгийн бага утга 
цагт 
Хамгийн өндөр үнэ цэнэ 
цагт 
Тооцооллын процесс зогсоно 
,
заасан нарийвчлал хаана байна.
Нэмж дурдахад дараах илэрхийллүүд нь Ньютоны аргыг ашиглан үндсийг боловсронгуй болгоход өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэх нөхцөл болж чадна.
Ньютоны аргын алгоритмын диаграммыг Зураг дээр үзүүлэв. 1.2.3-7.
Зүүн талАлгоритм дахь анхны f(x) тэгшитгэл ба түүний үүсмэл f’(x) нь тусдаа програм хангамжийн модулиудад зориулагдсан.
Цагаан будаа. 1.2.3-7. Ньютоны аргын алгоритмын диаграм
Жишээ 1.2.3-3 Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 О[-1.9;-1.1] хэрчмүүд дээр тусгаарласан тохиолдолд x-ln(x+2) = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг Ньютоны аргаар боловсронгуй болго. x 2 О [-0.9;2 ].
Эхний дериватив f’(x) = 1 – 1/(x+2) нь сегмент бүр дээр тэмдэгээ хадгална.
f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],
f’(x)>0 үед xО [-0.9; 2].
Хоёрдахь дериватив f"(x) = 1/(x+2) 2 > 0 аль ч х.
Тиймээс нэгдэх нөхцөл хангагдсан байна. Бүх талбайд f""(x)>0 байх тул хүлээн зөвшөөрөгдөх үнэ цэнэ, дараа нь анхны ойролцоолсон үндсийг боловсронгуй болгох x 1 x 0 = -1.9-г сонгоно уу (f(-1.9)×f”(-1.9)>0 тул). Бид ойролцоогоор тооцооллын дарааллыг олж авна:
Тооцооллыг үргэлжлүүлснээр бид эхний дөрвөн ойролцоо тооцооллын дараах дарааллыг олж авна: -1.9; –1.8552, -1.8421; -1.8414 . x=-1.8414 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(-1.8414)=-0.00003-тай тэнцүү байна. .
x 2 О[-0.9;2] язгуурыг тодруулахын тулд бид эхний ойролцоололтоор 0 =2 (f(2)×f”(2)>0)-ийг сонгоно. x 0 = 2 дээр үндэслэн бид ойролцоолсон дарааллыг олж авна: 2.0;1.1817; 1.1462; 1.1461. x=1.1461 цэг дээрх f(x) функцийн утга f(1.1461)= -0.00006-тай тэнцүү байна.
Ньютоны арга нь нийлэх хурд өндөртэй боловч алхам бүрт зөвхөн функцийн утгыг төдийгүй түүний деривативыг тооцоолох шаардлагатай болдог.
Хөвчний арга
Хөвчний аргын геометрийн тайлбардараах байдалтай байна
(Зураг 1.2.3-8).
А ба В цэгүүдээр шугамын хэрчмийг зуръя.Дараагийн x 1 ойролцоололт нь хөвчний 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн абсцисса юм. Шулуун шугамын сегментийн тэгшитгэлийг байгуулъя:
y=0 гэж тохируулаад x=x 1 утгыг олцгооё (дараагийн ойролцоо тооцоолол):
Үндэс - x 2-ийн дараагийн ойролцоо утгыг олж авахын тулд тооцоолох үйл явцыг давтан хийцгээе :
Манай тохиолдолд (Зураг 1.2.11) 
мөн хөвчний аргын тооцооны томъёо нь иймэрхүү харагдах болно
Энэ томъёо нь b цэгийг тогтмол цэг болгон авах үед хүчинтэй бөгөөд а цэг нь анхны ойролцоо үүрэг гүйцэтгэдэг.
Өөр нэг тохиолдлыг авч үзье (Зураг 1.2.3-9), хэзээ 
.
 |
Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна
Дараагийн ойролцоолсон x 1 үед y = 0
Дараа нь энэ тохиолдолд хөвчний аргын давтагдах томъёо нь хэлбэртэй байна
Хөвчний аргын тогтмол цэг нь f (x)∙f¢¢ (x)>0 нөхцөл хангагдсан сегментийн төгсгөл байхаар сонгогддог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Тиймээс хэрэв а цэгийг тогтмол цэг болгон авбал , тэгвэл x 0 = b нь анхны ойролцоололтын үүрэг гүйцэтгэдэг ба эсрэгээр.
Хөвчний томъёог ашиглан f(x) = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох хангалттай нөхцөл нь шүргэгч аргын (Ньютоны арга) адил байх бөгөөд зөвхөн анхны ойролцоо тооцооллын оронд тогтмол цэгийг сонгоно. Хөвчний арга нь Ньютоны аргын өөрчлөлт юм. Ялгаа нь Ньютоны аргын дараагийн ойролцоололт нь шүргэгчийн 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг бөгөөд хөвчний аргад - хөвчний 0X тэнхлэгтэй огтлолцох цэг - ойролцоолсон утгууд өөр өөр талаас язгуурт нийлдэг. .
Хөвчний аргын алдааны тооцоог илэрхийллээр өгсөн болно
(1.2.3-15)
Хөвчний аргыг ашиглан давталтын процессыг дуусгах нөхцөл
(1.2.3-16)
М тохиолдолд 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£д.
Жишээ 1.2.3-4. 10 -4 нарийвчлалтайгаар сегмент дээр тусгаарлагдсан e x – 3x = 0 тэгшитгэлийн язгуурыг тодруул.
Конвергенцийн нөхцөлийг шалгая:
Иймд f(0)=1>0 ба f(0)*f"(0)>0 тул тогтсон цэгээр a=0-ийг сонгох ёстой бөгөөд анхны ойролцоололтоор x 0 =1-ийг авна.
