Төрөл бүрийн тодорхойгүй байдал бүхий хязгаарын шийдэл. Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд. тодорхойгүй байдал.Функцийн өсөлтийн дараалал. Орлуулах арга

Төрөл ба хэлбэрийн тодорхойгүй байдал нь хязгаарыг шийдвэрлэх үед шийдвэрлэх шаардлагатай хамгийн түгээмэл тодорхойгүй байдал юм.

Оюутнуудад тохиолдох хязгаарын талаархи ихэнх даалгаварууд нь ийм тодорхой бус байдлыг агуулдаг. Тэдгээрийг илчлэх, эсвэл тодорхой бус байдлаас зайлсхийхийн тулд хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийллийн хэлбэрийг хувиргах хэд хэдэн хиймэл аргууд байдаг. Эдгээр аргууд нь дараах байдалтай байна: хувьсах хэмжигдэхүүн ба хуваагчийг хувьсагчийн хамгийн дээд зэрэгт хуваах, нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх, шийдлийг ашиглан дараа нь багасгахын тулд үржвэрлэх. квадрат тэгшитгэлба товчилсон үржүүлэх томъёо.

Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал

Жишээ 1

nнь 2-той тэнцүү. Тиймээс бид тоологч ба хуваагчийг гишүүнээр хуваана:

.

Илэрхийллийн баруун талд тайлбар бичнэ үү. Сум болон тоонууд нь оронд орлуулсны дараа бутархайнууд юу болохыг заадаг nхязгааргүй утгууд. Энд жишээ 2-ын адил зэрэг nхуваарьт хуваагчаас илүү их байдаг ба үүний үр дүнд бүхэл бутархай хязгааргүй жижиг утга буюу "сүпер жижиг тоо" руу чиглэдэг.

Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь .

Жишээ 2 .

Шийдэл. Энд хувьсагчийн хамгийн их чадал байна x 1-тэй тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана x:

.

Шийдлийн явцын талаархи тайлбар. Тоолуур дээр бид "x"-ийг 3-р зэргийн язгуурын доор жолоодож, түүний анхны зэрэг (1) өөрчлөгдөөгүй хэвээр байхын тулд бид үүнийг үндэстэй ижил зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 3. Сум болон нэмэлт зүйл байхгүй. Энэ оруулгад байгаа тоонууд байгаа тул оюун ухаанаараа оролдоод үзээрэй, гэхдээ өмнөх жишээтэй адилтгаж, "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулсны дараа тоологч болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ямар хандлагатай байгааг тодорхойл.

Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү гэсэн хариултыг авсан.

Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал

Жишээ 3Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол.

Шийдэл. Тоолуур нь кубын зөрүү юм. Хичээлээс товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан үүнийг хүчин зүйл болгон задлан үзье сургуулийн математик:

Хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар үржвэр болгон хуваадаг дөрвөлжин гурвалжин юм (дахин квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд):

Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан илэрхийлэлийг бичиж, функцийн хязгаарыг олъё.

Жишээ 4Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол

Шийдэл. Хэмжилтийн хязгаарын теорем энд хамаарахгүй, учир нь

Тиймээс бид бутархайг ижилхэн болгон хувиргадаг: тоологч ба хуваагчийг хоёрын нэгдэлээр хуваагч руу үржүүлж, дараах байдлаар бууруулна. x+1. Теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн бид илэрхийлэлийг олж, үүнийг шийдэж, хүссэн хязгаараа олно.

Жишээ 5Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол

Шийдэл. Шууд утгыг орлуулах x= 0 инч өгөгдсөн функц 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Үүнийг илчлэхийн тулд бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийж, үр дүнд нь хүссэн хязгаарыг олж авдаг.

Жишээ 6Тооцоол

Шийдэл:хязгаарын теоремуудыг ашиглах

Хариулт: 11

Жишээ 7Тооцоол

Шийдэл:Энэ жишээнд тоологч ба хуваагчийн хязгаар 0 байна:

; . Тиймээс бид хуваалтын хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй болсон.

Бутархайг тэг рүү чиглэсэн нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахын тулд бид хуваагч ба хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах бөгөөд ингэснээр теорем 3-ыг ашиглах боломжтой болгоно.

Бид x 1 ба x 2 нь гурвалсан гишүүний үндэс болох томьёогоор тоологч дахь квадрат гурвалжийг өргөжүүлнэ. Фактор ба хуваагч, бутархайг (x-2) бууруулж дараа нь теорем 3-ыг хэрэгжүүлнэ.

Хариулт:

Жишээ 8Тооцоол

Шийдэл:-ийн хувьд тоологч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул теорем 3-ыг шууд хэрэглэх үед тодорхой бус байдлыг илэрхийлдэг илэрхийллийг олж авна. Энэ төрлийн тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваа. AT энэ жишээгэж хуваах шаардлагатай X:

Хариулт:

Жишээ 9Тооцоол

Шийдэл: x 3:

Хариулт: 2

Жишээ 10Тооцоол

Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бид тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваана, өөрөөр хэлбэл. x 5:

=

Бутархайн хуваагч нь 1, хуваагч нь 0 байх тул бутархай нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг.

Хариулт:

Жишээ 11.Тооцоол

Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бид тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваана, өөрөөр хэлбэл. x 7:

Хариулт: 0

Дериватив.

y = f(x) функцын x аргументтай холбоотой деривативАргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай үед түүний у-ийн өсөлтийн х аргументийн x-ийн харьцааны хязгаарыг дуудна: . Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал бол функц у = f(x) x цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол бид функц гэж хэлдэг у = f(x)х дээр хязгааргүй дериватив байна.

Голын деривативууд үндсэн функцууд:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Ялгах дүрэм:

а)

онд)

Жишээ 1Функцийн деривативыг ол

Шийдэл:Хэрэв бид хоёр дахь гишүүний деривативыг бутархайг ялгах дүрмээр олвол эхний гишүүн нь нарийн төвөгтэй функц бөгөөд деривативыг дараах томъёогоор олно.

, хаана , дараа нь

Шийдвэрлэхдээ дараах томъёог ашигласан: 1,2,10, a, c, d.

Хариулт:

Жишээ 21.Функцийн деривативыг ол

Шийдэл:хоёр нэр томъёо - нарийн төвөгтэй функцууд, хаана эхний , , хоёр дахь нь , , дараа нь

Хариулт:

Дериватив програмууд.

1. Хурд ба хурдатгал

s(t) функцийг тайлбарлая байрлал t цаг хугацааны зарим координатын систем дэх объект. Тэгвэл s(t) функцийн эхний дериватив агшин зуур байна хурдобьект:
v=s′=f′(t)
s(t) функцийн хоёр дахь дериватив нь агшин зуур юм хурдатгалобьект:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Тангенсийн тэгшитгэл
y−y0=f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) нь мэдрэгчтэй цэгийн координат, f′(x0) нь хүрэх цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утга юм.

3. Хэвийн тэгшитгэл
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

Энд (x0,y0) нь нормаль зурсан цэгийн координат, f′(x0) нь өгөгдсөн цэг дэх f(x) функцийн деривативын утга юм.

4. Өсөх ба буурах функц
Хэрэв f′(x0)>0 бол функц x0 цэг дээр нэмэгдэнэ. Доорх зурагт функц нь x дээр нэмэгдэж байна x2.
Хэрэв f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Хэрэв f′(x0)=0 буюу дериватив байхгүй бол энэ онцлог нь функцийн нэг хэвийн байдлын шинж чанарыг х0 цэгт тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй.

5. Функцийн орон нутгийн экстремум
f(x) функц байна орон нутгийн дээд хэмжээ x1 цэгт x1 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x1)≥f(x) тэгш бус байдал биелэх болно.
Үүнтэй адилаар f(x) функц байна орон нутгийн доод хэмжээ x2 цэг дээр x2 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x2)≤f(x) тэгш бус байдал биелэх болно.

6. Чухал цэгүүд
x0 цэг нь чухал цэгХэрэв түүн дэх f′(x0) дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй бол f(x) функц.

7. Экстремум байгаагийн эхний хангалттай шинж тэмдэг
Хэрэв f(x) функц нь зарим интервалд (a,x1] бүх x-ийн хувьд нэмэгдэж (f′(x)>0) ба буурч байвал (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) интервалаас бүх x-ийн хувьд)