Хүч чадлын цуваа дахь функцийг өргөтгөх. Функцуудыг чадлын цуврал болгон өргөжүүлэх

Функциональ цувралуудын дотроос хамгийн чухал байрыг цахилгаан цуваа эзэлдэг.

Хүчтэй цувааг цуврал гэж нэрлэдэг

хэний гишүүд вэ эрчим хүчний функцууд, бүхэл тооны сөрөг бус хүчийг нэмэгдүүлэх замаар зохион байгуулна x, a в0 , в 1 , в 2 , в n тогтмол утгууд юм. Тоонууд в1 , в 2 , в n - цувралын гишүүдийн коэффициент; в0 - чөлөөт гишүүн. Эрчим хүчний цувааны нөхцлүүд нь бүх тооны шугам дээр тодорхойлогддог.

Ингээд ойлголттой танилцацгаая чадлын цувааны ойртох муж. Энэ бол хувьсагчийн утгуудын багц юм xүүний төлөө цуврал нийлдэг. Эрчим хүчний цуваа нь нийлмэл байдлын нэлээд энгийн мужтай байдаг. Хувьсагчийн бодит утгуудын хувьд xнийлэх талбар нь нэг цэгээс бүрдэх, эсвэл тодорхой интервал (нийтэлтийн интервал) эсвэл бүх тэнхлэгтэй давхцах Үхэр .

Хүч чадлын цуваагаар орлуулах үед утгууд x= 0 тоон цуваа авах болно

в0 +0+0+...+0+... ,

нийлдэг.

Тиймээс, at x= 0 нь аливаа чадлын цувралыг нэгтгэдэг тул түүний нэгдэх талбар хоосон багц байж болохгүй. Бүх чадлын цувааг нэгтгэх бүсийн бүтэц ижил байна. Үүнийг дараах теоремыг ашиглан тогтоож болно.

Теорем 1 (Абелийн теорем). Хэрэв чадлын цуваа ямар нэгэн утгаар нийлбэл x = x 0 , тэгээс ялгаатай бол энэ нь нийлдэг бөгөөд үүнээс гадна бүх утгын хувьд туйлын хувьд |x| < |x 0 | . Анхаарна уу: "x нь тэг" гэсэн эхлэлийн утга ба эхлэлтэй харьцуулсан "x"-ийн аль ч утгыг модулиар авна - тэмдгийг харгалзахгүйгээр.

Үр дагавар. Хэрвээ хүчний цуваа зөрүүтэй байна ямар нэг үнэ цэнээр x = x 1 , дараа нь бүх утгуудын хувьд ялгаатай байна |x| > |x 1 | .

Бидний урьд нь олж мэдсэнээр аливаа чадлын цуваа утгын хувьд нийлдэг x= 0. Зөвхөн нийлдэг хүчний цуваа байдаг x= 0 ба бусад утгуудын хувьд ялгаатай X. Энэ тохиолдлыг авч үзэхээс хассанаар бид чадлын цуваа ямар нэг утгаар нийлдэг гэж таамаглаж байна x = x 0 , тэгээс ялгаатай. Дараа нь Абелын теоремоор ]-| интервалын бүх цэгүүдэд нийлдэг x0 |, |x 0 |[ (интервал, зүүн ба баруун хил нь х-ийн утгууд бөгөөд хүч чадлын цуваа нийлдэг, хасах тэмдэг болон нэмэх тэмдгээр тус тус авсан), гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.

Хэрэв чадлын цуваа ямар нэг утгаар зөрөөд байвал x = x 1 , тэгвэл Абелийн теоремын үр дүнд тулгуурлан энэ нь сегментээс гаднах бүх цэгүүдэд мөн хуваагдана [-| x1 |, |x 1 |] . Эндээс үзэхэд аливаа чадлын цувааны хувьд гарал үүсэлтэй холбоотой тэгш хэмтэй интервал гэж нэрлэгддэг нийлэх интервал , цуваа нийлж байгаа цэг бүрт хил хязгаарт нийлж, эсвэл зөрөх, заавал нэгэн зэрэг биш, харин сегментээс гадуур цуваа зөрөх болно. Тоо Рхүчийг цуваа нийлэх радиус гэнэ.

Онцгой тохиолдолд хүчний цуваа нийлэх интервал цэг хүртэл доройтож болно (дараа нь цуваа зөвхөн нийлдэг x= 0 бөгөөд энэ нь гэж таамаглаж байна Р= 0) эсвэл бүхэл тооны шулууныг төлөөлнө (дараа нь тоон шулууны бүх цэгүүдэд цуваа нийлдэг бөгөөд ).

Тиймээс зэрэглэлийн цувааны нийлэх мужийн тодорхойлолт нь түүнийг тодорхойлох явдал юм нэгдэх радиус Рба нийлэх интервалын зааг дээрх цувааны нийлэлтийг судлах (for ).

Теорем 2.Хэрэв заримаас эхлэн чадлын цувралын бүх коэффициентүүд тэгээс ялгаатай бол түүний нийлэх радиус нь харьцааны хязгаартай тэнцүү байна. үнэмлэхүй утгуудцувралын нийтлэг дараах гишүүдийн коэффициент, i.e.

Жишээ 1. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Энд

(28) томъёог ашиглан бид энэ цувралын нэгдэх радиусыг олно.

Нэгтгэлийн интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг судалъя. Жишээ 13 үүнийг харуулж байна энэ цувралцагт нийлдэг x= 1 ба зөрүүтэй байна x= -1. Тиймээс нэгдэх муж нь хагас интервал юм.

Жишээ 2. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Цувралын коэффициентүүд эерэг, ба

Энэ харьцааны хязгаарыг олъё, өөрөөр хэлбэл. чадлын цуваа нийлэх радиус:

Бид интервалын төгсгөлд цуваа нийлэх байдлыг судалдаг. Үнэ цэнийг орлуулах x= -1/5 ба xЭнэ цувралын = 1/5 нь:

Эдгээр цувралын эхнийх нь нийлдэг (5-р жишээг үз). Харин дараа нь "Үнэмлэхүй нэгдэл" гэсэн догол мөрний теоремын дагуу хоёр дахь цуваа бас нийлдэг бөгөөд түүний нийлэх муж нь сегмент юм.

Жишээ 3. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Энд

Томъёо (28) ашиглан бид цувралын нэгдэх радиусыг олно.

Цувралуудын утгын нийлэлтийг судалцгаая. Энэ цувралд тэдгээрийг орлуулж, бид олж авна

Шаардлагатай нийлэх нөхцөл хангагдаагүй тул хоёр цуваа зөрөөд байна (тэдгээрийн нийтлэг нөхцөл нь -д тэг байх хандлагатай байдаггүй). Тиймээс, нийлэх интервалын хоёр төгсгөлд энэ цуваа салж, түүний нийлэх муж нь интервал болно.

Жишээ 5. Хүчний цувааны нийлэх мужийг ол

Шийдэл. Бид хаана, ба гэсэн хамаарлыг олдог :

Томъёоны дагуу (28) энэ цувралын нэгдэх радиус

тэр үед л цуваа нийлдэг x= 0 ба бусад утгуудын хувьд ялгаатай X.

Жишээнүүдээс харахад цуваа нь нийлэх интервалын төгсгөлд өөр өөр байдаг. 1-р жишээнд цуваа нь нийлэх интервалын нэг төгсгөлд нийлж, нөгөө талдаа ялгарах, 2-р жишээнд хоёр төгсгөлд нийлж, 3-р жишээнд хоёр төгсгөлд хуваагдана.

Цувралын нөхцлүүдийн заримаас эхлэн бүх коэффициентүүд тэгээс өөр байна гэсэн таамаглалаар чадлын цувааны нэгдэх радиусын томъёог олж авна. Тиймээс (28) томъёог зөвхөн эдгээр тохиолдолд хэрэглэхийг зөвшөөрнө. Хэрэв энэ нөхцөл зөрчигдсөн бол хүч чадлын цуваа нийлэх радиусыг ашиглан хайх хэрэгтэй. д'Аламберын тэмдэг, эсвэл хувьсагчийн өөрчлөлт хийх замаар цувааг заасан нөхцөл хангагдсан хэлбэрт шилжүүлэх замаар.

Жишээ 6. Хүчний цувааны нийлэх интервалыг ол

Шийдэл. Энэ цувралд сондгой зэрэгтэй нэр томъёо агуулаагүй болно X. Тиймээс бид цувралыг тохируулж өөрчилдөг. Дараа нь бид цувралыг авна

(28) томъёог ашиглан тэдгээрийн нэгдэх радиусыг олох боломжтой. , ба , дараа нь энэ цувааны нийлэх радиус

Бидний олж авсан тэгш байдлаас харахад энэ цуваа интервал дээр нийлдэг.

Хүч чадлын цувааны нийлбэр. Эрчим хүчний цувааг ялгах, нэгтгэх

Эрчим хүчний цувралыг үзье

нэгдэх радиус Р> 0, өөрөөр хэлбэл. энэ цуваа интервал дээр нийлдэг.

Дараа нь утга бүр Xнийлэх интервалаас цувааны зарим нийлбэртэй тохирч байна. Тиймээс чадлын цувааны нийлбэр нь функц юм Xнэгдэх интервал дээр. Үүнийг дамжуулан тэмдэглэж байна е(x), бид тэгш байдлыг бичиж болно

цэг бүр дэх цувааны нийлбэр гэсэн утгаар ойлгох Xнийлэх интервалаас функцийн утгатай тэнцүү байна е(x) энэ үед. Үүнтэй ижил утгаараа бид чадлын цуваа (29) функцэд нийлдэг гэж хэлэх болно е(x) нэгдэх интервал дээр.

Нийцэх интервалаас гадна тэгш байдал (30) ямар ч утгагүй болно.

Жишээ 7Хүч чадлын цувааны нийлбэрийг ол

Шийдэл. Энэ бол геометрийн цуврал юм а= 1, ба q= x. Тиймээс түүний нийлбэр нь функц юм . Цуврал нийлдэг бол , ба түүний нийлэх интервал юм. Тиймээс тэгш байдал

функц хэдий ч зөвхөн утгуудад хүчинтэй бүх утгын хувьд тодорхойлогдсон X, Түүнээс гадна X= 1.

Хүч чадлын цувааны нийлбэр болохыг харуулж болно е(x) нь нийлэх интервал доторх аль ч интервалд, тухайлбал цувааны нийлэх интервалын аль ч цэгт тасралтгүй ба дифференциал болно.

Хүчний цувааг гишүүнээр нь ялгах, интегралчлах тухай теоремуудыг танилцуулъя.

Теорем 1.Нэгдэх интервал дахь чадлын цувааг (30) гишүүнчлэлээр хязгааргүй олон удаа ялгаж болох ба үр дүнд бий болсон чадлын цуваа нь анхны цуваатай ижил нийлэх радиустай байх ба тэдгээрийн нийлбэр нь тус тус тэнцүү байна.

Теорем 2.Эрчим хүчний цувралыг (30) 0-ээс хязгааргүй олон удаа нэр томъёогоор нэгтгэж болно. X, хэрэв , ба үр дүнгийн зэрэглэлийн цуваа нь анхны цуваатай ижил нийлэх радиустай ба тэдгээрийн нийлбэрүүд нь тус тус тэнцүү байна.

Функцуудыг чадлын цуврал болгон өргөжүүлэх

Функцийг зөвшөөр е(x), эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлэх, i.e. (30) хэлбэрээр илэрхийлнэ:

Асуудал нь коэффициентийг тодорхойлох явдал юм эгнээ (30). Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлыг (30) нэр томъёогоор нь ялгаж, бид дарааллаар нь олно:

……………………………………………….. (31)

(30) ба (31) тэнцүү гэж үзвэл X= 0, бид олдог

Олдсон илэрхийллийг тэгш байдал (30) болгон орлуулснаар бид олж авна

(32)

Зарим энгийн функцүүдийн Маклаурин цувралын өргөтгөлийг олцгооё.

Жишээ 8Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл. Энэ функцийн деривативууд нь функцтэй ижил байна:

Тиймээс, хэзээ X= 0 бидэнд байна

Эдгээр утгыг томъёогоор (32) орлуулснаар бид хүссэн өргөтгөлийг олж авна.

(33)

Энэ цуваа нь бүх тооны шулуун дээр нийлдэг (түүний нийлэх радиус нь ).

Хэрхэн наах вэ математикийн томьёовэб сайт руу?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг эсвэл хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томьёог Вольфрам Альфа автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. Энгийн байдлаас гадна энэхүү бүх нийтийн арга нь сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална Хайлтын системүүд. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байгаа (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ энэ нь ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томъёог байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математикийн тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн сайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ байршуулж, сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд таны сайтын хуудсуудыг ачаалах ажлыг хурдасгах боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв эцэг эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би эхний аргыг сонгосон, учир нь энэ нь илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй. Миний жишээг дагаж, 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг вэбсайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг үндсэн MathJax вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан алсын серверээс холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд оруулах шаардлагатай. болонэсвэл шошгоны дараа . Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар дагаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээрх ачаалах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойролцоо байрлуулна уу. загварын эхлэл (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та математикийн томьёог вэб хуудсандаа оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал дээр суурилдаг тодорхой дүрэм, энэ нь хязгааргүй олон удаа дараалан хэрэглэгддэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Энэ нь үлдсэн 20 жижиг шоо дөрвөлжин иж бүрдэл болж хувирав. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг хязгааргүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөнг авдаг.

Функциональ цувралын онолд функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхэд зориулагдсан хэсэг нь гол байр суурийг эзэлдэг.

Тиймээс, өгөгдсөн функцийн хувьд асуудал гарч ирнэ ийм чадлын цуваа олох шаардлагатай

аль нэг интервал дээр нийлсэн бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байв
, тэдгээр.

= ..

Энэ даалгавар гэж нэрлэдэг функцийг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх асуудал.

Функцийг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх зайлшгүй нөхцөлТүүний ялгах чадвар нь хязгааргүй олон удаа байдаг - энэ нь нийлэг хүчний цувааны шинж чанараас гардаг. Энэ нөхцөл нь дүрмээр бол тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээнд үндсэн функцүүдийн хувьд хангагдана.

Тиймээс функц гэж үзье
ямар ч дарааллын деривативтай. Үүнийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлж болох уу, хэрэв тийм бол энэ цувралыг хэрхэн олох вэ? Асуудлын хоёр дахь хэсэг нь шийдвэрлэхэд хялбар тул үүнээс эхэлье.

функц гэж үзье
цэг агуулсан интервалд нийлдэг чадлын цувааны нийлбэрээр илэрхийлж болно X 0 :

= .. (*)

хаана а 0 , а 1 , а 2 ,...,а П ,... – тодорхой бус (хараахан) коэффициентүүд.

Тэгш (*) утгыг оруулъя x = x 0 , тэгвэл бид авна

Бид хүчин чадлын цуваа (*) гишүүнийг нэр томъёогоор нь ялгадаг

= ..

мөн энд тавих x = x 0 , бид авдаг

Дараагийн ялгаагаар бид цувралыг авдаг

= ..

гэж таамаглаж байна x = x 0 , бид авдаг
, хаана
.

Дараа нь П- дахин ялгах нь бид олж авдаг

Сүүлийн тэгш байдлыг харгалзан үзвэл x = x 0 , бид авдаг
, хаана

Тиймээс коэффициентүүд олддог

,
,
, …,
,….,

алийг нь эгнээнд (*) орлуулснаар бид авна

Үр дүнд нь цуврал гэж нэрлэдэг Тейлорын ойролцоо функцийн хувьд
.

Тиймээс бид үүнийг тогтоосон хэрэв функцийг хүчирхэг цуврал болгон өргөжүүлж чадвал (x - x 0 ), тэгвэл энэ өргөтгөл нь өвөрмөц бөгөөд үр дүнд нь гарсан цуврал нь заавал Тейлорын цуврал байх болно.

Тухайн цэг дээр дурын эрэмбийн деривативтай ямар ч функцийн хувьд Тейлорын цувралыг авч болно гэдгийг анхаарна уу x = x 0 . Гэхдээ энэ нь функц ба үр дүнгийн цувралын хооронд тэнцүү тэмдэг тавьж болно гэсэн үг биш юм. цувралын нийлбэр нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Нэгдүгээрт, ийм тэгш байдал нь зөвхөн нийлэх мужид л утга учиртай байх ба функцийн хувьд олж авсан Тейлорын цуваа зөрөөтэй байж болно, хоёрдугаарт, хэрэв Тейлорын цуваа нийлдэг бол түүний нийлбэр нь анхны функцтэй давхцахгүй байж болно.

3.2. Функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх хангалттай нөхцөл

Тодорхойлсон асуудлыг шийдвэрлэхэд туслах мэдэгдлийг боловсруулцгаая.

Хэрэв функц
x цэгийн зарим хөршид 0 хүртэл деривативтай (n+ 1)-р дараалал хамааруулсан, дараа нь энэ хөрш нь бид байнатомъёо Тейлор

хаанаР n (X)-Тэйлорын томъёоны үлдэгдэл гишүүн - хэлбэртэй байна (Лагранж хэлбэр)

хаана цэгξ x ба x хооронд оршдог 0 .

Тейлорын цуврал болон Тейлорын томъёоны хооронд ялгаа байгааг анхаарна уу: Тейлорын томъёо нь хязгаарлагдмал нийлбэр, i.e. P -тогтмол тоо.

Цувралын нийлбэр гэдгийг санаарай С(x) хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн функциональ дарааллын хязгаар гэж тодорхойлж болно С П (x) тодорхой интервалаар X:

Үүний дагуу функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх нь ямар ч цувралыг олох гэсэн үг юм XX

Бид Тейлорын томъёог хаана хэлбэрээр бичнэ

анзаараарай, тэр
бидний олж авсан алдааг тодорхойлж, функцийг солино е(x) олон гишүүнт С n (x).

Хэрвээ
, дараа нь
,тэдгээр. функц нь Тейлорын цуврал болж өргөждөг. Харин эсрэгээр, хэрэв
, дараа нь
.

Тиймээс бид нотолсон функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх шалгуур.

Үүний тулд тодорхой интервалд функце(x) Тейлорын цувралд тэлэх нь энэ интервалд шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
, хаанаР n (x) нь Тейлорын цувралын үлдсэн хэсэг юм.

Томъёолсон шалгуурын тусламжтайгаар хүн олж авах боломжтой хангалттайфункцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх нөхцөл.

Хэрэв орволx цэгийн зарим хөрш 0 функцийн бүх деривативын үнэмлэхүй утгууд нь ижил M тоогоор хязгаарлагддаг≥ 0, өөрөөр хэлбэл.

, тo энэ хөршид функц нь Тейлорын цуврал болж өргөждөг.

Дээрхээс харахад дараах байдалтай байна алгоритмфункцийг өргөжүүлэх е(x) Тейлорын цувралдцэгийн ойролцоо X 0 :

1. Дериватив функцийг олох е(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Бид цэг дээрх функцийн утга ба түүний деривативын утгыг тооцоолно X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f'"(x 0 ), f (n) (х 0 ),…

3. Бид Тейлорын цувааг албан ёсоор бичиж, үүссэн чадлын цувааны нийлэх мужийг олно.

4. Гүйцэтгэлийг шалгах хангалттай нөхцөл, өөрөөр хэлбэл үүний төлөө тогтоох Xнийлэх мужаас, үлдэгдэл хугацаа Р n (x) үед тэглэх хандлагатай байна
эсвэл
.

Энэ алгоритмын дагуу Тейлорын цувралын функцүүдийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг Тейлорын цуврал дахь функцийг тодорхойлолтоор өргөтгөхэсвэл шууд задрал.

Хэрэв функц f(x)цэг агуулсан зарим интервалтай байна а, бүх дарааллын дериватив, дараа нь Тэйлорын томъёог түүнд хэрэглэж болно:

хаана rn- үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг эсвэл цувралын үлдсэн хэсгийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.

, энд x тоо хавсаргасан байна Xболон а.

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд x r n®0 цагт n®¥, дараа нь хязгаарт энэ утгын Тейлорын томъёо нь нийлэх томьёо болж хувирна Тейлорын цуврал:

Тиймээс функц f(x)авч үзсэн цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно X, хэрэв:

1) бүх захиалгын деривативтай;

2) баригдсан цуваа энэ цэг дээр нийлнэ.

At а=0 гэж нэрлэгддэг цуврал гарч ирнэ Маклаурины ойролцоо:

Жишээ 1 f(x)= 2x.

Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -¥-д хүчинтэй байна.<x<+¥.

Жишээ 2 X+4) функцийн хувьд f(x)=д x.

Шийдэл. Функцийн деривативыг олох e xболон тэдний үнэ цэнэ X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Тиймээс функцийн хүссэн Тейлор цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Энэ задрал нь -¥-д мөн хүчинтэй<x<+¥.

Жишээ 3 . Функцийг өргөжүүлэх f(x)=ln xградусаар цувралаар ( X- 1),

(өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоох Тейлорын цувралд X=1).

Шийдэл. Бид энэ функцийн деривативуудыг олдог.

Эдгээр утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн Тейлор цувралыг авна.

Д'Аламберын тестийн тусламжтайгаар цувралууд хэзээ нэгдэж байгааг шалгаж болно

½ X- 1½<1. Действительно,

½ бол цуваа нийлнэ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 Бид Лейбницийн тестийн нөхцөлийг хангасан ээлжлэн цуваа олж авна. At X=0 функц тодорхойлогдоогүй байна. Ийнхүү Тейлорын цувралын нийлэх муж нь хагас задгай интервал (0;2] байна.

Маклаурины цувралд (өөрөөр хэлбэл, цэгийн ойролцоо) ийм аргаар олж авсан өргөтгөлүүдийг танилцуулъя. X=0) зарим энгийн функцүүдийн хувьд:

(2) ,

(3) ,

(сүүлчийн өргөтгөл гэж нэрлэдэг бином цуврал)

Жишээ 4 . Функцийг чадлын цуврал болгон өргөжүүлнэ үү

Шийдэл. Задаргаа (1) -д бид солино Xдээр - X 2, бид дараахь зүйлийг авна.

Жишээ 5 . Маклаурин цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх

Шийдэл. Бидэнд байгаа

Томъёо (4) ашиглан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

оронд нь орлуулах Xтомъёонд оруулна -Х, бид авах:

Эндээс бид олж мэднэ:

Хаалтуудыг өргөжүүлж, цувралын нөхцлүүдийг дахин цэгцэлж, ижил төстэй нөхцлүүдийг бууруулснаар бид олж авна.

Энэ цуврал интервалд нийлдэг

(-1;1) учир нь тус бүр нь энэ интервалд нийлдэг хоёр цувралаас гаралтай.

Сэтгэгдэл .

Формула (1)-(5) нь мөн Тейлорын цувралын харгалзах функцуудыг өргөжүүлэхэд ашиглагдаж болно, жишээлбэл. эерэг бүхэл тоон дахь функцуудыг өргөтгөхөд ( Ха). Үүнийг хийхийн тулд (1) - (5) функцүүдийн аль нэгийг авахын тулд өгөгдсөн функц дээр ижил төстэй хувиргалтыг хийх шаардлагатай. Xзардал k( Ха) m , k нь тогтмол тоо, m нь эерэг бүхэл тоо юм. Хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг т=Хамөн Маклаурины цуврал дахь t-тэй холбоотой үүссэн функцийг өргөжүүлнэ.

Энэ арга нь чадлын цуваа дахь функцийн тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай теоремыг харуулж байна. Энэ теоремын мөн чанар нь нэг цэгийн ойролцоо түүний тэлэлт хэрхэн хийгдсэнээс үл хамааран ижил функцэд нийлэх хоёр өөр чадлын цуваа олж авах боломжгүй юм.

Жишээ 6 . Тейлорын цувралын функцийг цэгийн ойролцоо өргөжүүл X=3.

Шийдэл. Энэ асуудлыг өмнөх шигээ Тейлорын цувралын тодорхойлолтыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд үүний тулд функцүүдийн дериватив ба тэдгээрийн утгыг олох шаардлагатай болно. X=3. Гэсэн хэдий ч одоо байгаа задралыг ашиглах нь илүү хялбар байх болно (5):

Үр дүнд нь цуваа нийлдэг эсвэл -3<х- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Жишээ 7 . Тэйлорын цувралыг хүчээр бичнэ үү ( X-1) онцлог .

Шийдэл.

Цуврал нэгдэн нийлдэг , эсвэл 2< x£5.

16.1. Тейлорын цувралын энгийн функцүүдийн өргөтгөл ба

Маклаурин

Хэрэв олонлог дээр дурын функц тодорхойлогдсон бол гэдгийг харуулъя
, цэгийн ойролцоо
нь олон деривативтай ба зэрэглэлийн цувааны нийлбэр юм:

Дараа нь та энэ цувралын коэффициентүүдийг олох боломжтой.

Эрчим хүчний цувралд орлуулах
. Дараа нь
.

Функцийн эхний деривативыг ол
:

At
:
.

Хоёр дахь деривативын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

At
:
.

Энэ процедурыг үргэлжлүүлнэ nнэг удаа бид:
.

Тиймээс бид дараах хэлбэрийн хүчирхэг цувралыг олж авлаа.

гэж нэрлэдэг Тейлорын ойролцоофункцийн хувьд
цэгийн эргэн тойронд
.

Тейлорын цувралын онцгой тохиолдол бол Маклаурин цувралцагт
:

Тейлор (Маклаурин) цувралын үлдсэн хэсгийг үндсэн цувралыг хаяснаар олж авдаг nэхний нөхцлүүд ба гэж тэмдэглэнэ
. Дараа нь функц
нийлбэр хэлбэрээр бичиж болно nцувралын анхны гишүүд
болон үлдсэн
:,

Үлдсэн хэсэг нь ихэвчлэн байдаг
янз бүрийн томъёогоор илэрхийлэгддэг.

Тэдний нэг нь Лагранж хэлбэртэй байна.

, хаана
.
.

Практикт Maclaurin цувралыг илүү олон удаа ашигладаг болохыг анхаарна уу. Тиймээс функцийг бичихийн тулд
Эрчим хүчний цувралын нийлбэр хэлбэрээр дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

1) Маклаурин (Тейлор) цувралын коэффициентийг олох;

2) үүссэн чадлын цувааны нийлэх мужийг олох;

3) өгөгдсөн цуваа функцэд нийлдэг болохыг нотол
.

Теорем1 (Маклаурины цувралыг нэгтгэхэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Цувралын нэгдэх радиусыг үзье
. Энэ цуврал интервалд нийлэхийн тулд
ажиллах
Дараах нөхцлийг хангасан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
заасан интервал дотор.

Теорем 2.Хэрэв функцийн аль нэг эрэмбийн дериватив
тодорхой интервалд
үнэмлэхүй утгаараа ижил тоогоор хязгаарлагдана М, тэр бол
, дараа нь энэ интервалд функц
Маклаурин цувралаар өргөжүүлж болно.

Жишээ1 . Цэгийн эргэн тойронд Тейлорын цувралыг дэлгэнэ үү
функц.

Шийдэл.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Нэгдсэн талбар
.

Жишээ2 . Функцийг өргөжүүлэх цэгийн эргэн тойронд Тейлорын цувралд
.

Шийдэл:

Функцийн утга ба түүний деривативыг бид олох болно
.

,
;

...........……………………………

,
.

Эдгээр утгыг дараалан орлуулна уу. Бид авах:

эсвэл
.

Энэ цувралын нэгдэх мужийг олцгооё. d'Alembert тестийн дагуу цуврал нийлдэг бол

Тиймээс, аливаад Энэ хязгаар нь 1-ээс бага тул цувралын нэгдэх талбар нь:
.

Маклаурины үндсэн үндсэн функцүүдийн цуврал болгон өргөжүүлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье. Маклаурин цувралыг санаарай:

интервал дээр нийлдэг
ажиллах
.

Функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатайг анхаарна уу.

a) өгөгдсөн функцийн Маклаурин цувралын коэффициентийг олох;

б) үүссэн цувралын нэгдэх радиусыг тооцоолох;

в) гарсан цуваа нь функцэд нийлдэг болохыг нотол
.

Жишээ 3Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний уламжлалыг тооцоолъё
.

Дараа нь цувралын тоон коэффициентүүд дараах хэлбэртэй байна.

хэний ч төлөө n.Бид Маклаурины цувралд олсон коэффициентүүдийг орлуулж, дараахь зүйлийг авна.

Үүссэн цувааны нэгдэх радиусыг ол, тухайлбал:

Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг аливаа үнэт зүйлсийн хувьд , учир нь дурын интервал дээр
функц ба түүний үнэмлэхүй утгын дериватив нь тоогоор хязгаарлагддаг .

Жишээ4 . Функцийг авч үзье
.

Шийдэл.

Тэгш эрэмбийн дериватив гэдгийг харахад хялбар байдаг
, мөн сондгой эрэмбийн дериватив. Бид Маклаурин цувралд олсон коэффициентүүдийг орлуулж, өргөтгөлийг авна.

Энэ цувралын нийлэх интервалыг олцгооё. d'Alembert-ийн хэлснээр:

хэний ч төлөө . Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
.

Энэ цуврал функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

Жишээ5 .
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Тиймээс энэ цувралын коэффициентүүд:
болон
, Үүний үр дүнд:

Өмнөх цувралын нэгэн адил нэгдэх талбар
. Цуврал нь функцэд нийлдэг
, учир нь түүний бүх дериватив нь нэгээр хязгаарлагддаг.

функц гэдгийг анхаарна уу
сондгой ба цувралын өргөтгөл, функц
– тэгш болон тэгш эрх бүхий цуврал тэлэлт.

Жишээ6 . бином цуврал:
.

Шийдэл.

Функцийн утга ба түүний деривативын утгыг олъё
:

Энэ нь харуулж байна:

Бид Маклаурины цуврал дахь коэффициентүүдийн эдгээр утгыг орлуулж, энэ функцийг хүчирхэг цувралд өргөтгөж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиусыг олъё:

Тиймээс цувралууд интервал дээр нийлдэг
. Хязгаарлалтын цэгүүдэд
болон
зэрэглэлээс хамааран цуваа нийлэх эсвэл нийлэхгүй байж болно
.

Судалгаанд хамрагдсан цувралууд интервал дээр нийлдэг
ажиллах
, өөрөөр хэлбэл цувралын нийлбэр
цагт
.

Жишээ7 . Маклаурины цувралд функцийг өргөжүүлье
.

Шийдэл.

Энэ функцийг цуврал болгон өргөжүүлэхийн тулд бид хоёрын цувааг ашигладаг
. Бид авах:

Эрчим хүчний цувралын шинж чанарт үндэслэн (цахилгаан цувааг нийлэх бүсэд нэгтгэж болно) бид энэ цувралын зүүн ба баруун хэсгүүдийн салшгүй хэсгийг олно.

Энэ цувралын нэгдэх талбайг ол:
,

өөрөөр хэлбэл энэ цувралын нийлэх муж нь интервал юм
. Интервалын төгсгөлд цувааны нийлэлтийг тодорхойлъё. At

. Энэ цуврал нь гармоник цуврал, өөрөөр хэлбэл энэ нь хуваагддаг. At
Бид нийтлэг нэр томъёо бүхий тооны цувралыг авдаг
.

Лейбницийн цуврал нэгдэж байна. Тиймээс энэ цувралын нэгдэх муж нь интервал юм
.

16.2. Хүч чадлын цувааг ойролцоо тооцоонд хэрэглэх

Эрчим хүчний цуваа нь ойролцоогоор тооцоололд маш чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэдгээрийн тусламжтайгаар тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтүүд, логарифмын хүснэгтүүд, мэдлэгийн янз бүрийн салбарт, жишээлбэл магадлалын онол, математикийн статистикт ашиглагддаг бусад функцүүдийн утгын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Нэмж дурдахад хүчин чадлын цуваа дахь функцүүдийн өргөтгөл нь тэдний онолын судалгаанд ашигтай байдаг. Ойролцоогоор тооцоололд чадлын цуваа ашиглах гол асуудал бол цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солих үед гарсан алдааг тооцоолох асуудал юм. nгишүүд.

Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

функцийг ээлжлэн цуврал болгон өргөжүүлсэн;

функцийг тогтмол тэмдгийн цуврал болгон өргөжүүлсэн.

Ээлжит цуваа ашиглан тооцоолох

Функцийг зөвшөөр
ээлжлэн эрчим хүчний цуврал болгон өргөжүүлсэн. Дараа нь энэ функцийг тодорхой утгыг тооцоолохдоо Бид Лейбницийн тестийг ашиглаж болох тооны цувралыг авдаг. Энэ шалгуурын дагуу цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр сольсон бол nгишүүд байвал үнэмлэхүй алдаа нь энэ цувралын үлдсэн хэсгийн эхний гишүүнээс хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл:
.

Жишээ8 . Тооцоол
0.0001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид Маклаурин цувралыг ашиглах болно
, радиан дахь өнцгийн утгыг орлуулах:

Хэрэв бид цувралын нэг ба хоёрдугаар гишүүдийг өгөгдсөн нарийвчлалтайгаар харьцуулж үзвэл: .

Гурав дахь өргөтгөлийн хугацаа:

заасан тооцооны нарийвчлалаас бага. Тиймээс тооцоолох
цувралын хоёр нөхцлийг үлдээхэд хангалттай, i.e.

Энэ замаар
.

Жишээ9 . Тооцоол
0.001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Бид бином цуврал томъёог ашиглана. Үүний тулд бид бичдэг
зэрэг:
.

Энэ илэрхийлэлд
,

Цувралын нөхцөл бүрийг өгөгдсөн нарийвчлалтай харьцуулж үзье. Энэ нь ойлгомжтой
. Тиймээс тооцоолох
цувралын гурван гишүүнийг үлдээхэд хангалттай.

эсвэл
.

Тэмдэг эерэг цуваа ашиглан тооцоо хийх

Жишээ10 . Тооцоолох 0.001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Функцын эгнээнд
орлуулах
. Бид авах:

Цувралын нийлбэрийг эхнийх нь нийлбэрээр солиход гарах алдааг тооцоолъё гишүүд. Илэрхий тэгш бус байдлыг бичье:

өөрөөр хэлбэл 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Асуудлын нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй nДараахь тэгш бус байдал үүснэ.
эсвэл
.

Үүнийг хэзээ шалгах нь амархан n= 6:
.

Үүний үр дүнд,
.

Жишээ11 . Тооцоол
0.0001 нарийвчлалтай.

Шийдэл.

Логарифмыг тооцоолохын тулд функцийн цувралыг ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу
, гэхдээ энэ цуврал маш удаан нийлдэг бөгөөд өгөгдсөн нарийвчлалд хүрэхийн тулд 9999 нэр томъёог авах шаардлагатай болно! Тиймээс логарифмыг тооцоолохдоо дүрмээр бол функцийн цувралыг ашигладаг
, энэ нь интервал дээр нийлдэг
.