Үндсэн энгийн функцүүдийн Тейлор цуврал. Эрчим хүчний цуваа, тэдгээрийн нэгдэл, функцийг чадлын цуваа болгон өргөжүүлэх

Практик ур чадварыг сургах сайт дээрх функцийг Тейлор, Маклаурин, Лорент цуврал болгон өргөжүүлэх. Функцийн энэхүү цуврал өргөтгөл нь математикчдад функцийн тодорхойлогдох хүрээний аль нэг цэгийн ойролцоо утгыг тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ зуунд тийм ч ач холбогдолгүй болсон Бредис хүснэгтийг ашиглахтай харьцуулахад ийм функцийн утгыг тооцоолох нь хамаагүй хялбар юм. компьютерийн технологи. Функцийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлэх нь өмнөх коэффициентүүдийг тооцоолох гэсэн үг юм шугаман функцуудЭнэ цувралыг оруулаад бичээрэй зөв хэлбэр. Оюутнууд энэ хоёр цувралыг андуурч, юу болохыг ойлгохгүй байна ерөнхий тохиолдол, мөн хоёр дахь нь онцгой тохиолдол гэж юу вэ. Маклаурин цувралыг бид танд нэг удаа сануулж байна. онцгой тохиолдолТейлорын цуврал, өөрөөр хэлбэл, энэ нь Тейлорын цуврал боловч x = 0 цэг дээр. e^x, Sin(x), Cos(x) болон бусад гэх мэт сайн мэддэг функцуудыг өргөтгөх бүх товч оруулгууд, нь Тейлорын цувралын өргөтгөлүүд боловч аргументийн хувьд 0 цэгт байна. Нарийн төвөгтэй аргументуудын функцүүдийн хувьд Лоран цуврал нь хоёр талт хязгааргүй цувралыг төлөөлдөг тул TFCT-ийн хамгийн түгээмэл асуудал юм. Энэ нь хоёр цувралын нийлбэр юм. Бид танд вэбсайтаас шууд задлах жишээг үзэхийг санал болгож байна; үүнийг дурын тоогоор "Жишээ" дээр дарж, дараа нь "Шийдвэр" товчийг дарж хийхэд хялбар байдаг. Чухамдаа функцийг цуврал болгон өргөтгөх нь томжуулсан цувралтай холбоотой бөгөөд хэрэв хувьсагч абсцисса мужид хамаарах бол ординатын тэнхлэгийн дагуу тодорхой муж дахь анхны функцийг хязгаарладаг. Вектор шинжилгээМатематикийн өөр нэг сонирхолтой хичээлийг харьцуулж үздэг. Нэр томъёо бүрийг шалгах шаардлагатай байдаг тул үйл явц нь маш их цаг хугацаа шаарддаг. Аливаа Тэйлорын цувралыг x0-ийг тэгээр сольсноор Маклаурины цувралтай холбож болох боловч Маклаурин цувралын хувьд Тейлорын цувралыг урвуу байдлаар илэрхийлэх нь заримдаа тодорхойгүй байдаг. Үүнийг хичнээн их хийх шаардлагатай байсан ч хамаагүй цэвэр хэлбэр, гэхдээ ерөнхий өөрийгөө хөгжүүлэх сонирхолтой. Лорентын цуврал бүр бүхэл тоон дахь хоёр талт хязгааргүй чадлын цуваатай тохирч байна хүч z-a, өөрөөр хэлбэл, ижил Тэйлор төрлийн цуврал, гэхдээ коэффициентийн тооцоонд бага зэрэг ялгаатай. Хэд хэдэн онолын тооцоолол хийсний дараа бид Лоран цувралын нэгдэх бүсийн талаар бага зэрэг ярих болно. Өнгөрсөн зууны нэгэн адил функцийг цуврал болгон алхам алхмаар өргөтгөх нь нэр томъёог багасгах замаар бараг боломжгүй юм. Ерөнхий хуваарь, хуваагч дахь функцууд нь шугаман бус байдаг тул. Асуудлыг томъёолоход функциональ утгыг ойролцоогоор тооцоолох шаардлагатай. Тейлорын цувралын аргумент нь шугаман хувьсагч байвал тэлэлт нь хэд хэдэн үе шаттайгаар явагддаг, харин өргөтгөж буй функцийн аргумент нь нийлмэл эсвэл шугаман бус функц байх үед зураг огт өөр байдаг тухай бодоод үз дээ. Ийм функцийг чадлын цуваагаар илэрхийлэх нь ойлгомжтой, учир нь ийм байдлаар тодорхойлох бүсийн аль ч цэгт ойролцоо утгатай хэдий ч цаашдын тооцоололд бага нөлөө үзүүлэх хамгийн бага алдаатай тооцоолоход хялбар байдаг. Энэ нь Маклаурин цувралд ч хамаатай. тэг цэгт функцийг тооцоолох шаардлагатай үед. Гэсэн хэдий ч Лоран цувралыг энд төсөөллийн нэгжүүдтэй хавтгай дээрх өргөтгөлөөр төлөөлдөг. Энэ нь бас амжилтанд хүрэхгүй байх болно зөв шийдэлүеэр хийх ажлууд ерөнхий үйл явц. Энэ арга нь математикт мэдэгддэггүй, гэхдээ энэ нь бодитой байдаг. Үүний үр дүнд та цэгийн дэд олонлог гэж нэрлэгддэг дүгнэлтэд хүрч болох бөгөөд функцийг цувралаар өргөжүүлэхдээ деривативын онолыг ашиглах гэх мэт энэ процесст мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглах хэрэгтэй. Тооцооллын дараах тооцооллын үр дүнгийн талаархи таамаглалыг багшийн зөв байсан гэдэгт бид дахин итгэлтэй байна. Математикийн бүх дүрэм журмын дагуу олж авсан Тейлорын цуврал нь бүхэл бүтэн тоон тэнхлэгт байдаг гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ сайтын үйлчилгээний эрхэм хэрэглэгчид, анхны функцийн төрлийг бүү мартаарай, учир нь энэ нь гарч ирж магадгүй юм. Эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужийг тогтоох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл бодит тооны мужид функц тодорхойлогдоогүй цэгүүдийг бичиж, цаашид авч үзэхээс хасах хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь таны асуудлыг шийдвэрлэх үр дүнтэй байдлыг харуулах болно. Тэг аргументын утга бүхий Маклаурин цуврал бүтээх нь хэлсэн зүйлээс үл хамаарах зүйл биш юм. Функцийн тодорхойлолтын домэйныг олох үйл явц цуцлагдаагүй тул та үүнд нухацтай хандах хэрэгтэй. математик үйлдэл. Үндсэн хэсгийг агуулсан Лорентын цувралын хувьд "a" параметрийг тусгаарлагдсан ганц цэг гэж нэрлэх бөгөөд Лоранын цувралыг цагираг хэлбэрээр өргөжүүлэх болно - энэ нь түүний хэсгүүдийн нэгдэх талбайн огтлолцол юм. харгалзах теорем дагах болно. Гэхдээ бүх зүйл туршлагагүй оюутанд анх харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Тейлорын цувралыг судалсны дараа та Лоран цувралыг хялбархан ойлгож чадна - тоонуудын орон зайг өргөжүүлэх ерөнхий тохиолдол. Функцийн аливаа цуврал өргөтгөлийг зөвхөн функцийн тодорхойлолтын муж дахь цэг дээр хийж болно. Үе үе эсвэл хязгааргүй ялгарах зэрэг функцүүдийн шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Мөн бид танд Тейлорын цуврал өргөтгөлүүдийн бэлэн хүснэгтийг ашиглахыг санал болгож байна үндсэн функцууд, учир нь нэг функцийг бие биенээсээ ялгаатай арав хүртэлх функцээр төлөөлж болно эрчим хүчний цуврал, үүнийг манай онлайн тооцоолуур ашиглан харж болно. Онлайн цувралМаклауриныг тодорхойлох нь лийрийг буудаж байгаатай адил хялбар бөгөөд хэрэв та сайтын өвөрмөц үйлчилгээг ашигладаг бол зөв бичсэн функцийг оруулахад л хангалттай бөгөөд та хэдхэн секундын дотор танилцуулсан хариултыг хүлээн авах болно, энэ нь үнэн зөв, стандартын дагуу байх болно. бичгийн хэлбэр. Та үр дүнг багшид өгөхийн тулд шууд цэвэр хуулбар руу хуулж болно. Эхлээд цагираг дахь тухайн функцийн аналитик чанарыг тодорхойлж, дараа нь үүнийг бүх цагираг дахь Лорентын цувралд өргөтгөх боломжтой гэдгийг хоёрдмол утгагүйгээр хэлэх нь зөв байх болно. Сөрөг хүчийг агуулсан Лорентын цувралын нөхцлүүдийг мартаж болохгүй. Үүнд аль болох анхаарлаа хандуулаарай. Функцийг бүхэл тоогоор тэлэх тухай Лорантын теоремыг сайн ашигла.

Хэрэв функц бол f(x)цэгийг агуулсан зарим интервалтай байна А, бүх дарааллын дериватив, дараа нь Тэйлорын томъёог түүнд хэрэглэж болно:

Хаана r n– цувралын үлдэгдэл буюу үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд үүнийг Лагранжийн томъёогоор тооцоолж болно.

, энд x тоо хоёрын хооронд байна XТэгээд А.

Хэрэв ямар нэг үнэ цэнийн хувьд x r n®0 цагт n®¥, тэгвэл хязгаарт Тейлорын томьёо нь энэ утгыг нэгтгэх томьёо болж хувирна Тейлорын цуврал:

Тиймээс функц f(x)тухайн цэг дээр Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлж болно X, Хэрэв:

1) бүх захиалгын деривативтай;

2) баригдсан цувралууд энэ цэг дээр нийлдэг.

At А=0 гэж нэрлэгддэг цуврал гарч ирнэ Маклаурины ойролцоо:

Жишээ 1 f(x)= 2x.

Шийдэл. Функцийн утгууд ба түүний деривативуудыг олъё X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Деривативын олж авсан утгыг Тейлорын цуврал томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Энэ цувралын нэгдэх радиус нь хязгааргүйтэй тэнцүү тул энэ өргөтгөл нь -¥-д хүчинтэй байна.