Анхны гайхалтай хязгаарын онол. Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: олох жишээ, асуудал, нарийвчилсан шийдлүүд

Гайхамшигтай хязгаарыг олооройЭнэ нь хязгаарын онолыг судалж буй эхний, хоёрдугаар курсын олон оюутнуудад төдийгүй зарим багш нарт хэцүү байдаг.

Анхны гайхалтай хязгаарын томъёо

Эхний гайхалтай хязгаарын үр дагавар томъёог бичнэ
1. 2. 3. 4. Гэхдээ өөрсдөө ерөнхий томъёоГайхалтай хязгаарлалт нь шалгалт эсвэл шалгалтанд хэнд ч тус болохгүй. Хамгийн гол нь бодит даалгаврууд бүтээгдсэн тул дээр бичсэн томьёог биелүүлэх шаардлагатай хэвээр байна. Хичээл алгасаж, энэ хичээлийг гадуур суралцдаг эсвэл багш нар нь тайлбарлаж байгаагаа тэр бүр ойлгодоггүй оюутнуудын ихэнх нь тооцоолж чаддаггүй. энгийн жишээнүүдгайхалтай хязгаар хүртэл. Эхний гайхалтай хязгаарын томъёоноос бид тригонометрийн функц бүхий илэрхийлэлд тэгийг тэгээр хуваах гэх мэт тодорхойгүй байдлыг судлахад ашиглаж болохыг бид харж байна. Эхлээд эхний гайхалтай хязгаарын талаар хэд хэдэн жишээ авч үзье, дараа нь бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг судлах болно.

Жишээ 1. sin(7*x)/(5*x) функцийн хязгаарыг ол.
Шийдэл: Таны харж байгаагаар хязгаарын доорх функц нь эхний гайхалтай хязгаарт ойрхон байгаа боловч функцын хязгаар нь өөрөө нэгтэй тэнцүү биш байна. Хязгаарт ийм хуваарилалт хийхдээ синус дор байгаа хувьсагчтай ижил коэффициент бүхий хувьсагчийг хуваагчаар ялгах хэрэгтэй. AT Энэ тохиолдолдхувааж, 7-оор үржүүлэх ёстой

Зарим хүмүүсийн хувьд ийм нарийн ширийн зүйл нь илүүц мэт санагдах боловч хязгаар тогтооход хэцүү байдаг ихэнх оюутнуудын хувьд энэ нь дүрмийг илүү сайн ойлгож, суралцахад тусална. онолын материал.
Мөн хэрэв байгаа бол урвуу харахфункцууд нь мөн анхны гайхалтай хязгаар юм. Гайхамшигтай хязгаар нь нэгтэй тэнцүү учраас бүх зүйл

1 гайхалтай хязгаарын үр дагаварт ижил дүрэм хамаарна. Тиймээс, хэрэв танаас "Эхний гайхамшигтай хязгаар юу вэ?" Нэгж гэж эргэлзэлгүйгээр хариулах ёстой.

Жишээ 2. sin(6x)/tan(11x) функцийн хязгаарыг ол.
Шийдэл: Эцсийн үр дүнг ойлгохын тулд функцийг хэлбэрээр бичнэ

Гайхамшигтай хязгаарын дүрмийг хэрэглэхийн тулд хүчин зүйлээр үржүүлж, хуваах хэрэгтэй

Дараа нь бид функцүүдийн үржвэрийн хязгаарыг хязгаарын үржвэрээр бичнэ

Үгүй нарийн төвөгтэй томъёоБид цагийн хязгаарыг олсон тригонометрийн функцууд. Энгийн томьёо сурахын тулд гайхалтай хязгаарын үр дагавар 1-ийн томъёо болох 2 ба 4-ийн хязгаарыг бодож олоод үзээрэй. Бид илүү төвөгтэй ажлуудыг авч үзэх болно.

Жишээ 3. Хязгаарыг тооцоол (1-cos(x))/x^2
Шийдэл: Орлуулах замаар шалгахдаа бид тодорхойгүй байдлыг 0/0 авна. Олон хүмүүс ийм жишээг 1 гайхалтай хязгаарт хэрхэн бууруулахаа мэдэхгүй байна. Энд та ашиглах хэрэгтэй тригонометрийн томъёо

Энэ тохиолдолд хязгаарыг тодорхой хэлбэрт шилжүүлнэ

Бид функцийг гайхалтай хязгаарын квадрат болгон бууруулж чадсан.

Жишээ 4. Хязгаарыг ол
Шийдэл: Орлуулах үед бид 0/0 танил шинж чанарыг олж авдаг. Гэсэн хэдий ч хувьсагч нь тэг биш харин Pi-д ойртдог. Тиймээс эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэхийн тулд бид x хувьсагчд ийм өөрчлөлт хийх бөгөөд ингэснээр шинэ хувьсагч тэг болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагчийг Pi-x=y шинэ хувьсагч гэж тэмдэглэнэ

Тиймээс өмнөх даалгаварт өгөгдсөн тригонометрийн томъёог ашиглан жишээг 1 гайхалтай хязгаар болгон бууруулсан байна.

Жишээ 5 Хязгаарыг тооцоолох
Шийдэл: Эхлээд хязгаарлалтыг хэрхэн хялбарчлах нь тодорхойгүй байна. Гэхдээ жишээ байгаа бол хариулт байх ёстой. Хувьсагч нь нэгдмэл байдалд шилждэг нь орлуулах үед тэг хэлбэрийн сингуляр чанарыг хязгааргүй үржүүлдэг тул шүргэгчийг томъёогоор солих шаардлагатай.

Үүний дараа бид хүссэн тодорхойгүй байдлыг 0/0 авна. Дараа нь бид хязгаарт хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж, котангентын үечлэлийг ашиглана

Сүүлийн орлуулалтууд нь гайхалтай хязгаарын 1-р үр дүнг ашиглах боломжийг бидэнд олгодог.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь экспоненттай тэнцүү байна

Энэ бол бодит асуудалд хязгаарт хүрэх нь тийм ч хялбар байдаггүй сонгодог юм.
Тооцооллын хувьд танд хэрэгтэй болно хязгаарлалт нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм:
1. 2. 3. 4.
Хоёр дахь гайхалтай хязгаар ба түүний үр дагаврын ачаар тэгийг тэгээр хуваах, нэгийг хязгааргүйд хуваах, хязгааргүйг хязгааргүйд хуваах, тэр ч байтугай ижил зэрэгтэй байх зэрэг тодорхойгүй байдлыг судлах боломжтой.

Хэд хэдэн энгийн жишээгээр эхэлцгээе.

Жишээ 6 Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: 2 гайхалтай хязгаарыг шууд хэрэглэхэд ажиллахгүй. Эхлээд та индикаторыг хаалт доторх нэр томьёотой урвуу хэлбэртэй байхаар эргүүлэх хэрэгтэй

Энэ бол гайхалтай 2 хязгаар хүртэл бууруулах арга бөгөөд үнэндээ хязгаарын үр дагаврын 2 томъёог гаргаж авах арга юм.

Жишээ 7 Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: Гайхалтай хязгаарын 2-р дүгнэлтийн 3 томьёоны даалгавар байна. Тэг орлуулалт нь 0/0 хэлбэрийн өвөрмөц байдлыг өгдөг. Дүрмийн дагуу хязгаарыг нэмэгдүүлэхийн тулд бид хуваагчийг эргүүлж, хувьсагч нь логарифмынхтай ижил коэффициенттэй байна.

Үүнийг ойлгох, шалгалтыг гүйцэтгэхэд хялбар байдаг. Оюутнуудын хязгаарыг тооцоолоход тулгарч буй бэрхшээл нь дараах ажлуудаас эхэлдэг.

Жишээ 8 Функцийн хязгаарыг тооцоолох[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Шийдэл: Бидэнд хязгааргүй байдлын 1-р төрлийн онцгой байдал бий. Хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол хаа сайгүй "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулж, өөрөө харж болно. Дүрмийн дагуу өсгөхийн тулд бид тоологчийг хаалтанд хуваах бөгөөд үүний тулд бид эхлээд залруулга хийдэг.

Илэрхийлэлийг хязгаарт орлуулж, 2 гайхалтай хязгаарт шилжүүл

Хязгаар нь 10-ын зэрэглэлийн илтгэгч юм. Хаалт болон градусын аль алинд нь хувьсагчтай нэр томьёо болох тогтмолууд нь "цаг агаар"-д нөлөөлдөггүй - үүнийг санах хэрэгтэй. Хэрэв багш нар чамаас "Яагаад индикаторыг эргүүлдэггүй юм бэ?" (Х-3 дээрх энэ жишээний хувьд), дараа нь "Хувьсагч нь хязгааргүй байх хандлагатай бол 100-г нэмэх эсвэл 1000-ыг хасахад хязгаар хэвээр байх болно!" гэж хэлээрэй.
Энэ төрлийн хязгаарыг тооцоолох хоёр дахь арга бий. Бид дараагийн даалгавар дээр энэ тухай ярих болно.

Жишээ 9 Хязгаарыг ол
Шийдэл: Одоо бид тоологч ба хуваагч дахь хувьсагчийг гаргаж аваад нэг шинж чанарыг нөгөө рүү шилжүүлнэ. Эцсийн утгыг олж авахын тулд бид гайхалтай хязгаарын 2-р үр дүнгийн томъёог ашиглана

Жишээ 10 Функцийн хязгаарыг ол
Шийдэл: Учир нь өгөгдсөн хязгаархүн болгонд олдохгүй. Хязгаарыг 2 болгохын тулд нүгэл (3x) хувьсагч гэж төсөөлөөд үзүүлэгчийг эргүүлэх хэрэгтэй.

Дараа нь бид индикаторыг градусын зэрэг гэж бичнэ


Завсрын аргументуудыг хаалтанд тайлбарлав. Эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашигласны үр дүнд бид куб экспонентийг авсан.

Жишээ 11. Функцийн хязгаарыг тооцоолохнүгэл(2*х)/лог(3*х+1)
Шийдэл: Бидэнд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Нэмж дурдахад функцийг гайхамшигтай хязгаарын аль алиных нь хэрэглээнд хөрвүүлэх ёстойг бид харж байна. Өмнөх математикийн хувиргалтыг хийцгээе

Цаашилбал, хүндрэлгүйгээр хязгаар нь утгыг авдаг

Хэрэв та функцуудыг хэрхэн хурдан будаж, тэдгээрийг эхний эсвэл хоёр дахь гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж сурвал тест, тест, модулиудад амар амгаланг мэдрэх болно. Хязгаарыг олох дээрх аргуудыг цээжлэхэд хэцүү байвал та үргэлж захиалж болно тестбидний хязгаар хүртэл.
Үүнийг хийхийн тулд маягтыг бөглөж, өгөгдлийг зааж, жишээ бүхий файлыг хавсаргана уу. Бид олон оюутнуудад тусалсан - бид танд ч бас тусалж чадна!

Дээрх өгүүллээс та ямар хязгаарлалт, юугаар хооллодогийг олж мэдэх боломжтой - энэ нь маш чухал юм. Яагаад? Та тодорхойлогч гэж юу байдгийг ойлгож, амжилттай шийдвэрлэхгүй, дериватив гэж юу байдгийг огт ойлгохгүй байж, "тав"-аас олохгүй байж магадгүй юм. Гэхдээ хэрэв та хязгаар гэж юу болохыг ойлгохгүй байгаа бол практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд хэцүү байх болно. Түүнчлэн, шийдвэрийн дизайны дээж, дизайны талаархи миний зөвлөмжүүдтэй танилцах нь илүүц байх болно. Бүх мэдээллийг энгийн бөгөөд хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан.

Мөн энэ хичээлийн зорилгын үүднээс бидэнд дараах арга зүйн материалууд хэрэгтэй болно. Сонирхолтой хязгаарууд болон Тригонометрийн томъёо. Тэдгээрийг хуудаснаас олж болно. Гарын авлагыг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм - энэ нь илүү тохиромжтой, үүнээс гадна офлайнаар хандах шаардлагатай болдог.

Гайхамшигтай хязгаарын хувьд юу нь гайхамшигтай вэ? Эдгээр хязгаарын гайхалтай чанар нь тэдгээрийг алдартай математикчдын агуу оюун ухаанаар нотолсонд оршдог бөгөөд талархалтай үр удам нь тригонометрийн функц, логарифм, градусын овоолго бүхий аймшигт хязгаараас зовох шаардлагагүй юм. Өөрөөр хэлбэл, хязгаарыг олохдоо бид онолын хувьд батлагдсан бэлэн үр дүнг ашиглах болно.

Хэд хэдэн гайхалтай хязгаарлалтууд байдаг боловч практик дээр хагас цагийн оюутнууд тохиолдлын 95% -д хоёр гайхалтай хязгаарлалт байдаг: Эхний гайхалтай хязгаар, Хоёр дахь гайхалтай хязгаар. Эдгээр нь түүхэнд тогтсон нэрс бөгөөд жишээлбэл, "анхны гайхалтай хязгаар"-ын тухай ярихдаа энэ нь таазнаас авсан санамсаргүй хязгаар биш харин маш тодорхой зүйлийг илэрхийлдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Эхний гайхалтай хязгаар

Санаж үз дараагийн хязгаар: ("тэр" гэсэн уугуул үсгийн оронд би "альфа" грек үсгийг ашиглах болно, энэ нь материалыг танилцуулах тал дээр илүү тохиромжтой).

Хязгаарыг олох манай дүрмийн дагуу (нийтлэлийг үзнэ үү Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ) бид функцэд тэгийг орлуулахыг оролддог: тоологч дээр бид тэг (тэг-ийн синус нь тэг), хуваарьт, мэдээжийн хэрэг, тэг болно. Тиймээс бид азаар илчлэх шаардлагагүй хэлбэрийн тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. би мэднэ математик шинжилгээ, энэ нь батлагдсан:

Математикийн энэ баримтыг нэрлэдэг Эхний гайхалтай хязгаар. Би хязгаарын аналитик нотолгоог өгөхгүй, гэхдээ бид хичээл дээр түүний геометрийн утгыг авч үзэх болно хязгааргүй жижиг функцууд.

Ихэнхдээ практик даалгаврын хувьд функцийг өөр өөрөөр зохион байгуулж болох бөгөөд энэ нь юу ч өөрчлөхгүй.

- ижил анхны гайхалтай хязгаар.

Гэхдээ та өөрөө тоологч болон хуваагчийг өөрчилж чадахгүй! Хэрэв хязгаарыг хэлбэрээр өгсөн бол ямар нэгэн зүйлийг дахин цэгцлэхгүйгээр ижил хэлбэрээр шийдвэрлэх ёстой.

Практикт зөвхөн хувьсагч нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг төдийгүй энгийн функц, нарийн төвөгтэй функц. Энэ нь тэг рүү чиглэх нь л чухал юм.

Жишээ нь:
, , ,

Энд , , , , мөн бүх зүйл шуугиан дэгдээж байна - эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой.

Энд дараагийн оруулга байна - тэрс үзэл:

Яагаад? Олон гишүүнт нь тэг рүү чиглэдэггүй тул тав руу чиглэдэг.

Дашрамд хэлэхэд, асуулт нь буцааж дүүргэх асуудал юм, гэхдээ хязгаар нь юу вэ ? Хариултыг хичээлийн төгсгөлд олж болно.

Практикт бүх зүйл тийм ч жигд байдаггүй, бараг хэзээ ч оюутанд үнэгүй хязгаарыг шийдэж, хялбар кредит авахыг санал болгодоггүй. Хммм... Би эдгээр мөрүүдийг бичиж байна, мөн маш чухал бодол санаанд орж ирэв - эцэст нь математикийн "чөлөөт" тодорхойлолт, томьёог цээжээр санах нь илүү дээр юм шиг санагдаж байна, энэ нь тест хийхэд үнэлж баршгүй тус болно. Асуудлыг "хоёр" ба "гурав"-ын хооронд шийдэх бөгөөд багш сурагчаас энгийн асуулт асуух эсвэл шийдэхийг санал болгохоор шийднэ. хамгийн энгийн жишээ("Магадгүй тэр (а) юу гэдгийг мэдэж байгаа байх ?!").

Харгалзах зүйл рүү шилжье практик жишээнүүд:

Жишээ 1

Хязгаарыг ол

Хэрэв бид хязгаарт синусыг анзаарсан бол энэ нь биднийг анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх боломжийн талаар нэн даруй бодоход хүргэнэ.

Эхлээд бид хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд 0-ийг орлуулахыг оролддог (бид үүнийг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр хийдэг):

Тэгэхээр, бид хэлбэр нь тодорхойгүй байна , түүний зааж өгөхөө мартуузайшийдвэр гаргахдаа. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь анхны гайхалтай хязгаар шиг харагдаж байна, гэхдээ энэ нь тийм биш юм, энэ нь синус дор, харин хуваагч юм.

Ийм тохиолдолд бид хиймэл төхөөрөмж ашиглан анхны гайхамшигтай хязгаарыг өөрсдөө зохион байгуулах хэрэгтэй. Үндэслэл нь дараах байдалтай байж болно: "бидний синус дор байгаа нь бид бас хуваагч руу орох хэрэгтэй гэсэн үг юм".
Мөн үүнийг маш энгийнээр хийдэг:

Өөрөөр хэлбэл, хуваагчийг энэ тохиолдолд зохиомлоор 7-оор үржүүлж, ижил долоогоор хуваана. Одоо рекорд танил хэлбэрээ авлаа.
Даалгаврыг гараар зурахдаа анхны гайхалтай хязгаарыг энгийн харандаагаар тэмдэглэхийг зөвлөж байна.

Юу болсон бэ? Үнэн хэрэгтээ дугуйлсан илэрхийлэл нь нэгж болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болсон:

Одоо гурван давхар фракцаас салахад л үлдлээ.

Хэн хялбарчлахыг мартав олон давхар бутархайгарын авлагад байгаа материалыг шинэчилнэ үү Халуун сургуулийн математикийн томъёо .

Бэлэн. Эцсийн хариулт:

Хэрэв та харандаа тэмдэг ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол шийдлийг дараах байдлаар форматлаж болно.

“

Бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашигладаг

“

Жишээ 2

Хязгаарыг ол

Дахин бид хязгаарт бутархай ба синусыг харж байна. Бид тоологч болон хуваагч дахь тэгийг орлуулахыг оролддог.

Үнэхээр бидэнд тодорхойгүй байдал байгаа тул эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулахыг хичээх хэрэгтэй. Хичээл дээр Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээБид тодорхойгүй байгаа үед тоо болон хуваагчийг хүчин зүйл болгон хуваах хэрэгтэй гэсэн дүрмийг авч үзсэн. Энд ижил зүйл бол бид градусыг бүтээгдэхүүн (үржүүлэгч) болгон танилцуулах болно.

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид гайхалтай хязгаарыг харандаагаар дүрсэлж (энд хоёр нь байгаа) бөгөөд тэдгээр нь нэг рүү чиглэж байгааг илтгэнэ.

Үнэндээ хариулт бэлэн байна:

Дараах жишээнүүдэд би Paint дээр урлаг хийхгүй, дэвтэр дээрээ шийдлийг хэрхэн зөв зурах талаар бодож байна - та аль хэдийн ойлгосон.

Жишээ 3

Хязгаарыг ол

Хязгаарлалтын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд бид тэгийг орлуулна.

Ил болгох шаардлагатай тодорхойгүй байдал үүссэн. Хэрэв хязгаарт шүргэгч байгаа бол үүнийг сайн мэддэг тригонометрийн томъёоны дагуу бараг үргэлж синус ба косинус болгон хувиргадаг (дашрамд хэлэхэд тэд котангенстай ижил зүйлийг хийдэг, доороос үзнэ үү). арга зүйн материал Халуун тригонометрийн томъёоХуудас дээр Математикийн томъёо, хүснэгт, лавлах материал).

Энэ тохиолдолд:

Тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг арилгахад хялбар байдаг (энэ нь нэг рүү чиглэж байгааг тэмдэглэхээ мартуузай):

Тиймээс, хэрэв хязгаарт косинус нь ҮРЖҮҮЛЭГЧ юм бол түүнийг ойролцоогоор нэгж болгон хувиргах ёстой бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүнд алга болно.

Энд бүх зүйл үржүүлэх, хуваахгүйгээр илүү хялбар болсон. Эхний гайхалтай хязгаар нь нэгдмэл болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болдог:

Үүний үр дүнд хязгааргүй байдлыг олж авдаг, энэ нь тохиолддог.

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Бид тоологч болон хуваагч дахь тэгийг орлуулахыг оролддог.

Олдсон тодорхойгүй байдал (бидний санаж байгаагаар тэг косинус нь нэгтэй тэнцүү)

Бид тригонометрийн томъёог ашигладаг. Тэмдэглэл авах! Зарим шалтгааны улмаас энэ томъёог ашиглах хязгаарлалт нь маш түгээмэл байдаг.

Бид хязгаарын дүрсээс давсан тогтмол үржүүлэгчийг гаргаж авдаг:

Эхний гайхалтай хязгаарыг зохион байгуулъя:

Энд бид зөвхөн нэг гайхалтай хязгаартай бөгөөд энэ нь нэг болж хувирч, бүтээгдэхүүнд алга болдог:

Гурван давхраас салцгаая:

Хязгаар нь үнэхээр шийдэгдсэн тул бид үлдсэн синус тэг рүү чиглэж байгааг харуулж байна:

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Энэ жишээ нь илүү төвөгтэй тул үүнийг өөрөө олохыг хичээ:

Хувьсагчийг өөрчилснөөр зарим хязгаарыг 1-р гайхалтай хязгаар хүртэл бууруулж болно, та энэ тухай нийтлэлээс бага зэрэг уншиж болно. Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

Математик анализын онолд дараахь зүйлийг нотолж байна.

Энэ баримт гэж нэрлэдэг хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

Лавлагаа: иррационал тоо юм.

Зөвхөн хувьсагч нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэхээс гадна нийлмэл функц байж болно. Энэ нь хязгааргүйд тэмүүлэх нь л чухал юм.

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь хүч чадалд байх үед энэ нь та хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэхийг хичээх хэрэгтэй гэсэн эхний шинж тэмдэг юм.

Гэхдээ эхлээд бид үргэлжийн адил эцэс төгсгөлгүй орлуулахыг хичээдэг том тооЭнэ нь ямар зарчмаар хийгдэж байгаа талаар хичээл дээр дүн шинжилгээ хийсэн Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ.

Хэзээ гэдгийг нь харахад амархан зэрэгийн суурь ба илтгэгч - , өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тодорхой бус байдал байна:

Энэхүү тодорхой бус байдал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар илчлэгддэг. Гэхдээ ихэвчлэн тохиолддог шиг, хоёр дахь гайхамшигтай хязгаар нь мөнгөн таваг дээр хэвтдэггүй бөгөөд энэ нь зохиомлоор зохион байгуулагдах ёстой. Та дараахь үндэслэлийг гаргаж болно. энэ жишээпараметр нь бид бас зохион байгуулах хэрэгтэй гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид суурийг хүчирхэг болгон өсгөж, илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид үүнийг хүчирхэг болгож өсгөнө.

Даалгаврыг гараар зурахад бид харандаагаар тэмдэглэнэ.

Бараг бүх зүйл бэлэн болсон, аймшигтай зэрэг нь хөөрхөн захидал болж хувирав:

Үүний зэрэгцээ хязгаарын дүрс нь өөрөө заагч руу шилждэг:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Анхаар! Энэ төрлийн хязгаар нь маш түгээмэл тул энэ жишээг сайтар судалж үзээрэй.

Бид хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд хязгааргүй их тоог орлуулахыг оролддог.

Үр дүн нь тодорхойгүй байдал юм. Гэхдээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь маягтын тодорхойгүй байдалд хамаарна. Юу хийх вэ? Та градусын суурийг хөрвүүлэх хэрэгтэй. Бид ингэж маргадаг: хуваарь нь бидэнд байгаа бөгөөд энэ нь бид мөн тоологч дээр зохион байгуулах хэрэгтэй гэсэн үг юм.

Одоо сэтгэл санааны амар амгалангаар бид анхааралдаа авч байна гайхалтай хязгаарууд.
шиг харагдаж байна.

Х хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь 0 байх хандлагатай байдаг.

Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй

Таны харж байгаагаар энэ хязгаар нь эхний гайхалтай зүйлтэй маш төстэй боловч энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Ер нь, хэрэв та хязгаарт гэм нүглийг анзаарсан бол эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой эсэх талаар нэн даруй бодох хэрэгтэй.

Манай №1 дүрмийн дагуу бид x-ийн оронд тэгийг орлуулна.

Бид тодорхойгүй байдлыг олж авдаг.

Одоо анхны гайхалтай хязгаарыг бие даан зохион байгуулахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн хослолыг хийх болно:

Тиймээс бид 7x-ийг ялгахын тулд тоологч ба хуваагчийг зохион байгуул. Танил гайхалтай хязгаар аль хэдийн гарч ирсэн. Шийдвэр гаргахдаа үүнийг тодруулахыг зөвлөж байна:

Эхнийх нь уусмалыг орлуулна гайхалтай жишээмөн бид авах:

Бутархайг хялбарчлах:

Хариулт: 7/3.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл маш энгийн.

Маягттай , энд e = 2.718281828… нь иррационал тоо юм.

x хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь тэдгээр нь .

Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй

Энд бид хязгаарын тэмдгийн дор зэрэг байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно гэсэн үг юм.

Бид үргэлж x-ийн оронд 1-р дүрмийн орлуулалтыг ашиглах болно:

Эндээс харахад х-ийн хувьд зэрэглэлийн суурь нь , харин илтгэгч нь 4x >, өөрөөр хэлбэл. Бид маягтын тодорхой бус байдлыг олж авдаг:

Хоёрдахь гайхамшигтай хязгаарыг ашиглан тодорхойгүй байдлаа илчилье, гэхдээ эхлээд үүнийг зохион байгуулах хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид суурийг 3x, үүнтэй зэрэгцэн 1/3x хүртэл өсгөх үзүүлэлтэд хүрэх шаардлагатай байна.

Манай гайхалтай хязгаарыг онцлохоо бүү мартаарай:

Эдгээр нь үнэхээр юм гайхалтай хязгаарууд!
Хэрэв танд асуулт байвал эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарТэднээс сэтгэгдэл дээр асуугаарай.
Бид хүн бүрт аль болох хурдан хариулах болно.

Та мөн энэ сэдвээр багштай ажиллах боломжтой.
Бид танай хотод мэргэшсэн багш сонгох үйлчилгээг санал болгож байгаадаа таатай байна. Манай түншүүд танд таатай нөхцөлөөр сайн багшийг яаралтай сонгох болно.

Мэдээлэл хангалтгүй байна уу? - Чи чадна !

Та тэмдэглэлийн дэвтэрт математикийн тооцоо бичиж болно. Бие даасан дэвтэр дээрээ лого (http://www.blocnot.ru) бичих нь илүү тааламжтай байдаг.

Нотолгоо:

Эхлээд дарааллын тохиолдлын теоремыг баталъя

Ньютоны бином томъёоны дагуу:

Бид авсан гэж бодвол

Энэ тэгшитгэлээс (1) n нэмэгдэх тусам баруун талын эерэг гишүүний тоо нэмэгдэнэ. Үүнээс гадна n нэмэгдэхийн хэрээр тоо нь багасдаг тул хэмжигдэхүүнүүд нэмэгдүүлэх. Тиймээс дараалал нэмэгдэж байхад (2)* хязгаарлагдмал гэдгийг харуулъя. Тэгш тэгш байдлын баруун талд байгаа хаалт бүрийг нэгээр солицгооё. баруун хэсэгөсөхөд бид тэгш бус байдлыг олж авна

Бид үүссэн тэгш бус байдлыг бэхжүүлж, бутархайн хуваагч дахь 3,4,5, ...-ийг 2-оор солино: Нэр томьёоны нийлбэрийн томъёог ашиглан хаалтанд байгаа нийлбэрийг олно. геометрийн прогресс: Тийм учраас (3)*

Тиймээс дараалал нь дээрээс хязгаарлагдах бөгөөд (2) ба (3) тэгш бус байдал нь дараахь зүйлийг агуулна. Тиймээс Вейерштрассын теорем (дарааллын нийлэх шалгуур) дээр үндэслэн дараалал монотон нэмэгдэж, хязгаарлагдмал, энэ нь e үсгээр тэмдэглэгдсэн хязгаартай гэсэн үг юм. Тэдгээр.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар нь x-ийн байгалийн утгуудын хувьд үнэн гэдгийг мэдэж байгаа тул бид бодит x-ийн хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг нотолж, өөрөөр хэлбэл бид үүнийг нотолж байна. . Хоёр тохиолдлыг авч үзье:

1. X утга бүрийг хоёр эерэг бүхэл тооны хооронд байг: , энд x-ийн бүхэл хэсэг байна. => =>

Хэрэв , тэгвэл, хязгаарын дагуу Бидэнд байгаа

Тэмдгээр (хязгаарын тухай завсрын функц) хязгаар байгаа эсэх

2. Let . Тэгвэл − x = t орлуулалтыг хийцгээе

Энэ хоёр тохиолдлоос харахад ийм байна жинхэнэ x-ийн хувьд.

Үр дагавар:

9 .) Хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт. Хязгаарт хязгаарлагдмал жижиг тоонуудыг эквивалентаар солих тухай теорем, хязгааргүй жижиг тоонуудын үндсэн хэсгийн тухай теорем.

функцуудыг a( x) ба b( x) – б.м. цагт x ® x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ.

1) а( x) дуудсан хязгааргүй жижиг илүү өндөр захиалгаХэрхэн б (x) хэрэв

Бичнэ үү: a( x) = o(b( x)) .

2) а( x) болонб( x)дуудсан ижил дарааллын хязгааргүй жижиг тоо, хэрэв

хаана Cнℝ ба C¹ 0 .

Бичнэ үү: a( x) = О(б( x)) .

3) а( x) болонб( x) дуудсан тэнцүү , хэрэв

Бичнэ үү: a( x) ~ б( x).

4) а( x) -ын хувьд хязгааргүй жижиг эрэмбийг k гэж нэрлэдэг
маш хязгааргүй жижигб( x), хязгааргүй жижиг бола( x)болон(б( x)) к ижил дараалалтай байх, өөрөөр хэлбэл. хэрэв

хаана Cнℝ ба C¹ 0 .

ТЕОРЕМ 6 (хязгааргүй жижиг тоог тэнцүү тоогоор солих тухай).

Болъёа( x), б( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– б.м. x дээр ® x 0 . Хэрвээа( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x),

тэгээд

Нотолгоо: А ( x) ~ a 1 ( x), б( x) ~ b 1 ( x), дараа нь

ТЕОРЕМ 7 (хязгааргүй жижиг гол хэсгийн тухай).

Болъёа( x)болонб( x)– б.м. x дээр ® x 0 , баб( x)– б.м. -ээс өндөр дараалала( x).

= , a оноос хойш b( x) – a(-аас өндөр зэрэглэл) x), дараа нь , i.e. -аас нь тодорхой байна a( x) + б( x) ~ a( x)

10) Цэг дэх функцын тасралтгүй байдал (эпсилон-дельта хязгаарын хэлээр, геометр) Нэг талын тасралтгүй байдал. Интервал дахь тасралтгүй байдал, сегмент дээр. Тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд.

1. Үндсэн тодорхойлолтууд

Болъё е(x) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог x 0 .

ТОДОРХОЙЛОЛТ 1. функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Тайлбар.

1) §3-ын 5-р теоремоор тэгш байдлыг (1) гэж бичиж болно

Нөхцөл (2) - нэг талт хязгаарын хэлээр цэг дэх функцийн тасралтгүй байдлын тодорхойлолт.

2) Тэгш байдлыг (1) мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Тэд: "хэрэв функц нь цэг дээр тасралтгүй байвал x 0 , дараа нь хязгаарын тэмдэг ба функцийг сольж болно.

ТОДОРХОЙЛОЛТ 2 (e-d хэлээр).

функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 хэрэв"e>0 $d>0 ийм, юу

хэрэв xОU( x 0 , d) (өөрөөр хэлбэл, | x – x 0 | < d),

дараа нь f(x)ОU( е(x 0), e) (жишээ нь | е(x) – е(x 0) | < e).

Болъё x, x 0 Î Д(е) (x 0 - тогтмол, х-дур зоргоороо)

Тэмдэглэх: Д x= х-х 0 – аргументийн өсөлт

Д е(x 0) = е(x) – е(x 0) – x цэг дээрх функцийн өсөлт 0

ТОДОРХОЙЛОЛТ 3 (геометрийн).

функц f(x) дээр дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 хэрэв энэ үед аргументийн хязгааргүй бага өсөлт нь функцийн хязгааргүй бага өсөлттэй тохирч байвал, өөрөөр хэлбэл

Функцийг зөвшөөр е(x) нь [ интервал дээр тодорхойлогддог. x 0 ; x 0 + d) (интервал дээр ( x 0 - d; x 0 ]).

ТОДОРХОЙЛОЛТ. функц f(x) дуудсан нэг цэг дээр тасралтгүй x 0 баруун талд (зүүн ), Хэрэв тэгш байдал үнэн бол

Энэ нь ойлгомжтой е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 Û е(x) цэг дээр тасралтгүй байна x 0 баруун ба зүүн.

ТОДОРХОЙЛОЛТ. функц f(x) дуудсан интервал тутамд тасралтгүй e ( а; б) хэрэв энэ интервалын цэг бүрт тасралтгүй байвал.

функц f(x) сегмент дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг [а; б] хэрэв интервал дээр тасралтгүй байвал (а; б) хилийн цэгүүд дээр нэг талын үргэлжлэл байдаг(өөрөөр хэлбэл цэг дээр тасралтгүй азөв, цэг б- зүүн талд).

11) Хагарлын цэгүүд, тэдгээрийн ангилал

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Хэрэв функц f(x) x цэгийн зарим хөршид тодорхойлогддог 0 , гэхдээ тэр үед үргэлжилдэггүй е(x) x цэг дээр тасархай гэж нэрлэдэг 0 , гэхдээ гол нь x 0 таслах цэг гэж нэрлэдэг функцууд f(x) .

Тайлбар.

1) е(x) цэгийн бүрэн бус хөршөөр тодорхойлж болно x 0 .

Дараа нь функцийн харгалзах нэг талын тасралтгүй байдлыг авч үзье.

2) z-ийн тодорхойлолтоос, цэг x 0 нь функцийн таслах цэг юм е(x) хоёр тохиолдолд:

a) U( x 0 , d)н Д(е) , Харин е(x) тэгш байдал хангагдаагүй байна

б) U * ( x 0 , d)н Д(е) .

Учир нь үндсэн функцуудЗөвхөн b) тохиолдолд боломжтой.

Болъё x 0 - функцийн таслах цэг е(x) .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан эвдрэх цэг I төрлийн хэрэв функц f(x)зүүн болон баруун талдаа энэ цэгт хязгаарлагдмал хязгаартай.

Хэрэв нэмэлтээр эдгээр хязгаарууд тэнцүү бол x цэг болно 0 дуудсан таслах цэг , өөрөөр - үсрэх цэг .

ТОДОРХОЙЛОЛТ. x цэг 0 дуудсан эвдрэх цэг II төрлийн хэрэв функцийн нэг талт хязгаарын нэгээс доошгүй бол f(x)энэ үед тэнцүү байна¥ эсвэл байхгүй.

12) Хэсэг дээрх тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд (Вейерштрассын (баталгаагүй) ба Коши теоремууд

Вейерштрассын теорем

f(x) функцийг хэрчим дээр тасралтгүй байя

1)f(x) нь хязгаарлагдмал

2)f(x) ба интервал дээрх хамгийн бага утгыг авна хамгийн өндөр үнэ цэнэ

Тодорхойлолт: m=f функцийн утгыг дурын x € D(f) хувьд m≤f(x) бол хамгийн бага гэж нэрлэдэг.

m=f функцийн утгыг дурын x € D(f) хувьд m≥f(x) бол хамгийн их гэж нэрлэдэг.

Функц нь сегментийн хэд хэдэн цэг дээр хамгийн бага \ хамгийн том утгыг авч болно.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Кошигийн теорем.

f(x) функцийг хэрчим дээр тасралтгүй, x нь f(a) ба f(b)-ийн хооронд хаагдсан тоо байя, тэгвэл f(x 0)= g байх x 0 € ядаж нэг цэг байна.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын томъёо нь lim x → ∞ 1 + 1 x x = e юм. Бичгийн өөр хэлбэр нь иймэрхүү харагдаж байна: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарын тухай ярихдаа бид 1 ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх ёстой, i.e. хязгааргүй хэмжээгээр нэгж.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг тооцоолох чадвартай байх шаардлагатай асуудлуудыг авч үзье.

Жишээ 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 хязгаарыг ол.

Шийдэл

Хүссэн томъёогоо орлуулж, тооцооллыг хийнэ.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Бидний хариултанд бид хязгааргүй хүчний нэгжийг авсан. Шийдлийн аргыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойгүй байдлын хүснэгтийг ашигладаг. Бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг сонгож, хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Хэрэв x → ∞ бол t → - ∞ .

Орлуулсны дараа бидэнд юу байгааг харцгаая:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Хариулт: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Жишээ 2

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

Хязгааргүйг орлуулаад дараахыг авна.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Хариуд нь бид өмнөх асуудалтай ижил зүйлийг дахин авсан тул бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дахин ашиглаж болно. Дараа нь бид үндсэн дээр сонгох хэрэгтэй эрчим хүчний функцбүхэл хэсэг:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Үүний дараа хязгаарлалт дараах хэлбэртэй байна.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Бид хувьсагчдыг орлуулдаг. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 гэж үзье; хэрэв x → ∞ бол t → ∞ .

Үүний дараа бид анхны хязгаарт юу олж авснаа бичнэ.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Энэ хувиргалтыг гүйцэтгэхийн тулд бид хязгаар, эрх мэдлийн үндсэн шинж чанарыг ашигласан.

Хариулт: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Жишээ 3

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Үүний дараа бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийн тулд функцийн хувиргалтыг хийх хэрэгтэй. Бид дараахь зүйлийг авсан.

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Одоо бид бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь ижил илтгэгчтэй (зургаантай тэнцүү) байгаа тул хязгааргүй дэх бутархайн хязгаар нь эдгээр коэффициентүүдийн өндөр түвшний харьцаатай тэнцүү байх болно.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2-ийг орлуулснаар бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг олж авна. Юу гэсэн үг:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Хариулт: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

дүгнэлт

Тодорхой бус байдал 1 ∞ , i.e. Хязгааргүй нэгж нь хүчний хуулийн тодорхойгүй байдал тул экспоненциал чадлын функцийн хязгаарыг олох дүрмийг ашиглан илрүүлж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу