1 секундын гайхалтай хязгаар. Анхны гайхалтай хязгаар: онол ба жишээ

"Гайхалтай хязгаар" гэсэн нэр томъёог сурах бичиг болон сургалтын хэрэглэгдэхүүнчухал ач холбогдолтой таних тэмдэг зааж өгөх ажлыг хялбарчлаххязгаарыг олохын тулд.

Гэхдээ тулд авчрах боломжтойГайхамшигт хязгаар нь та үүнийг сайн харах хэрэгтэй, учир нь тэдгээр нь олдохгүй байна шууд хэлбэр, ихэвчлэн үр дагавар хэлбэрээр нэмэлт нэр томъёо, хүчин зүйлээр тоноглогдсон байдаг. Гэсэн хэдий ч эхлээд онол, дараа нь жишээнүүд, та амжилтанд хүрнэ!

Эхний гайхалтай хязгаар

Таалагдсан уу? Хавчуурга

Эхний гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ ($0/0$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Эхний гайхалтай хязгаараас гарах үр дагавар

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Шийдлийн жишээ: 1 гайхалтай хязгаар

Жишээ 1 Тооцооллын хязгаар $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Шийдэл.Эхний алхам нь үргэлж ижил байдаг - бид функцэд $x=0$ хязгаарын утгыг орлуулж дараахийг авна:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Бид $\left[\frac(0)(0)\right]$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авсан бөгөөд үүнийг шийдэх ёстой. Хэрэв та анхааралтай ажиглавал анхны хязгаарЭхний гайхалтай зүйлтэй маш төстэй боловч үүнтэй давхцдаггүй. Бидний даалгавар бол ижил төстэй байдлыг бий болгох явдал юм. Үүнийг ингэж хувиргая - синусын доорх илэрхийлэлийг хар, хуваагч дээр ижил зүйлийг хий (харьцангуй, $ 3x$-оор үржүүлж, хуваах), цаашид багасгаж, хялбаршуулна:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x) )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Дээрээс нь анхны гайхалтай хязгаарыг олж авсан: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( нөхцөлт орлуулалт хийсэн ) y=3x. $$ Хариулт: $3/8$.

Жишээ 2 Тооцоолох хязгаар $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Шийдэл.Бид функцэд $x=0$ хязгаарын утгыг орлуулж дараахийг авна.

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\баруун] = \зүүн [\ frac(0)(0)\баруун].$$

Бид $\left[\frac(0)(0)\right]$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авлаа. Хялбаршуулсан эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглан хязгаарыг өөрчилье (гурван удаа!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(2 \sin^2) (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Хариулт: $9/16$.

Жишээ 3 $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$ хязгаарыг ол.

Шийдэл.Тригонометрийн функц дор байвал яах вэ нарийн төвөгтэй илэрхийлэл? Энэ нь хамаагүй, энд бид адилхан үйлдэл хийдэг. Эхлээд тодорхойгүй байдлын төрлийг шалгаад, функцэд $x=0$-г орлуулаад дараахийг авна.

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Бид $\left[\frac(0)(0)\right]$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авлаа. $2x^3+3x$-аар үржүүлж хуваах:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Дахин тодорхойгүй байдал үүссэн, гэхдээ энэ тохиолдолд энэ нь зүгээр л нэг хэсэг юм. Тоолуур ба хуваагчийг $x$-оор бууруулъя:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\баруун] =\ frac(3)(5). $$

Хариулт: $3/5$.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаар

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ ($1^\infty$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(эсвэл) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Шийдлийн жишээ: 2 гайхалтай хязгаар

Жишээ 4 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) хязгаарыг олоорой.$$

Шийдэл.Тодорхойгүй байдлын төрлийг шалгаад функцэд $x=\infty$-г орлуулаад дараахийг авна уу:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Бид $\left$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авлаа. Хязгаарыг хоёр дахь гайхалтай болгон бууруулж болно. Өөрчилье:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\баруун)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\баруун)^((-3x/2))\баруун)^\frac(x+3) )(-3x/2)= $$

Хаалттай илэрхийлэл нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар юм $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, зөвхөн $t=- 3x/2$, тэгэхээр

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Хариулт:$e^(-2/3)$.

Жишээ 5 $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ хязгаарыг олоорой. доллар

Шийдэл.Функцэд $x=\infty$ гэж орлуулаад $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг авна. Мөн бидэнд $\left$ хэрэгтэй. Тиймээс хаалтанд орсон илэрхийллийг хөрвүүлж эхэлцгээе:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\баруун)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\баруун)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \баруун)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\баруун) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\баруун)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Хаалттай илэрхийлэл нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаар юм $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, зөвхөн $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, тэгэхээр

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\зүүн(e\баруун)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Одоо сэтгэл санааны амар амгалангаар бид анхааралдаа авч байна гайхалтай хязгаарууд.
шиг харагдаж байна.

Х хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь 0 байх хандлагатай байдаг.

Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй

Таны харж байгаагаар энэ хязгаар нь эхний гайхалтай зүйлтэй маш төстэй боловч энэ нь бүхэлдээ үнэн биш юм. Ер нь, хэрэв та хязгаарт гэм нүглийг анзаарсан бол эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах боломжтой эсэх талаар нэн даруй бодох хэрэгтэй.

Манай №1 дүрмийн дагуу бид x-ийн оронд тэгийг орлуулна.

Бид тодорхойгүй байдлыг олж авдаг.

Одоо анхны гайхалтай хязгаарыг бие даан зохион байгуулахыг хичээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн хослолыг хийх болно:

Тиймээс бид 7x-ийг ялгахын тулд тоологч ба хуваагчийг зохион байгуул. Танил гайхалтай хязгаар аль хэдийн гарч ирсэн. Шийдвэр гаргахдаа үүнийг тодруулахыг зөвлөж байна:

Эхнийх нь шийдлийг орлуулна гайхалтай жишээмөн бид авах:

Бутархайг хялбарчлах:

Хариулт: 7/3.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл маш энгийн.

Маягттай , энд e = 2.718281828… нь иррационал тоо юм.

x хувьсагчийн оронд янз бүрийн функцууд байж болох бөгөөд гол зүйл нь тэдгээр нь .

Бид хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй

Энд бид хязгаарын тэмдгийн дор зэрэг байгааг харж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно гэсэн үг юм.

Бид үргэлж x-ийн оронд 1-р дүрмийн орлуулалтыг ашиглах болно:

Эндээс харахад х-ийн хувьд зэрэглэлийн суурь нь , харин илтгэгч нь 4x >, өөрөөр хэлбэл. Бид маягтын тодорхой бус байдлыг олж авдаг:

Хоёрдахь гайхамшигтай хязгаарыг ашиглан тодорхойгүй байдлаа илчилье, гэхдээ эхлээд үүнийг зохион байгуулах хэрэгтэй. Таны харж байгаагаар илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүйн тулд бид суурийг 3x, үүнтэй зэрэгцэн 1/3x-ийн хүч хүртэл өсгөх үзүүлэлтэд хүрэх шаардлагатай байна.

Манай гайхалтай хязгаарыг онцлохоо бүү мартаарай:

Эдгээр нь үнэхээр юм гайхалтай хязгаарууд!
Хэрэв танд асуулт байвал эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарТэднээс сэтгэгдэл дээр асуугаарай.
Бид хүн бүрт аль болох хурдан хариулах болно.

Та мөн энэ сэдвээр багштай ажиллах боломжтой.
Бид танай хотод мэргэшсэн багш сонгох үйлчилгээг санал болгож байгаадаа таатай байна. Манай түншүүд танд таатай нөхцөлөөр сайн багшийг яаралтай сонгох болно.

Мэдээлэл хангалтгүй байна уу? - Чи чадна !

Та тэмдэглэлийн дэвтэрт математикийн тооцоо бичиж болно. Бие даасан дэвтэр дээрээ лого (http://www.blocnot.ru) бичих нь илүү тааламжтай байдаг.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын томъёо нь lim x → ∞ 1 + 1 x x = e юм. Бичгийн өөр хэлбэр нь иймэрхүү харагдаж байна: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарын тухай ярихдаа бид 1 ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх ёстой, i.e. хязгааргүй хэмжээгээр нэгж.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг тооцоолох чадвартай байх шаардлагатай асуудлуудыг авч үзье.

Жишээ 1

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 хязгаарыг ол.

Шийдэл

Хүссэн томъёогоо орлуулж, тооцооллыг хийнэ.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Бидний хариултанд бид хязгааргүй хүчний нэгжийг авсан. Шийдлийн аргыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойгүй байдлын хүснэгтийг ашигладаг. Бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг сонгож, хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Хэрэв x → ∞ бол t → - ∞ .

Орлуулсны дараа бидэнд юу байгааг харцгаая:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Хариулт: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Жишээ 2

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

Хязгааргүйг орлуулаад дараахыг авна.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Хариуд нь бид өмнөх асуудалтай ижил зүйлийг дахин авсан тул бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дахин ашиглаж болно. Дараа нь бид үндсэн дээр сонгох хэрэгтэй эрчим хүчний функцбүхэл хэсэг:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Үүний дараа хязгаарлалт дараах хэлбэртэй байна.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Бид хувьсагчдыг орлуулдаг. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 гэж үзье; хэрэв x → ∞ бол t → ∞ .

Үүний дараа бид анхны хязгаарт юу олж авснаа бичнэ.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

Энэ хувиргалтыг гүйцэтгэхийн тулд бид хязгаар, эрх мэдлийн үндсэн шинж чанарыг ашигласан.

Хариулт: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Жишээ 3

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 хязгаарыг тооцоол.

Шийдэл

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

Үүний дараа бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийн тулд функцийн хувиргалтыг хийх хэрэгтэй. Бид дараахь зүйлийг авсан.

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Одоо бид бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь ижил илтгэгчтэй (зургаантай тэнцүү) байгаа тул хязгааргүй дэх бутархайн хязгаар нь эдгээр коэффициентүүдийн өндөр түвшний харьцаатай тэнцүү байх болно.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2-ийг орлуулснаар бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг олж авна. Юу гэсэн үг:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Хариулт: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

дүгнэлт

Тодорхой бус байдал 1 ∞ , i.e. Хязгааргүй нэгж нь хүчний хуулийн тодорхойгүй байдал тул экспоненциал чадлын функцийн хязгаарыг олох дүрмийг ашиглан илрүүлж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Эхний гайхалтай хязгаарыг ихэвчлэн синус, арксинус, тангенс, арктангенс агуулсан хязгаарыг тооцоолоход ашигладаг бөгөөд үүний үр дүнд үүссэн тодорхойгүй байдлын тэгийг тэгээр хуваадаг.

Томъёо

Эхний гайхалтай хязгаарын томъёо нь: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

Бид $ \alpha\to 0 $ нь $ \sin\alpha \to 0 $-г гаргаж байгааг анзаарч байгаа тул бид тоологч болон хуваагчдаа тэгтэй байна. Тиймээс $ \frac(0)(0) $-ын тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд эхний гайхалтай хязгаарын томъёо хэрэгтэй.

Томьёог хэрэглэхийн тулд хоёр нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1. Бутархайн синус ба хуваарьт агуулагдах илэрхийллүүд ижил байна
2. Бутархайн синус ба хуваагч дахь илэрхийлэл нь тэг болох хандлагатай байдаг

Анхаар! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Хэдийгээр синус болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил боловч $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\-ээс 0 $ байх үед. Хоёрдахь нөхцөл хангагдаагүй тул томъёог хэрэглэх БОЛОМЖГҮЙ!

Үр дагавар

Маш ховор тохиолдолд даалгаврууд дээр та хариултаа шууд бичиж болох анхны гайхалтай хязгаарыг харж болно. Практикт бүх зүйл арай илүү төвөгтэй мэт санагддаг, гэхдээ ийм тохиолдлын хувьд эхний гайхалтай хязгаарын үр дагаврыг мэдэх нь ашигтай байх болно. Тэдний ачаар та хүссэн хязгаарыг хурдан тооцоолох боломжтой.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Шийдлийн жишээ

Тригонометрийн функц, тодорхойгүй байдлыг агуулсан хязгаарыг тооцоолох жишээнүүдийн эхний гайхалтай хязгаарыг авч үзье $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

Жишээ 1

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $-г тооцоол.

Шийдэл

Хязгаарыг анхаарч үзээд энэ нь синус агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь бид $ x = 0 $-г тоологч ба хуваарьт орлуулж, тэгийн тодорхойгүй байдлыг тэгээр хуваана: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)( 0) $$ Гайхамшигтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагатай гэсэн хоёр шинж тэмдэг аль хэдийн байгаа боловч жижиг нюанс бий: синус тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь хуваагч дахь илэрхийллээс ялгаатай тул бид томъёог шууд хэрэглэх боломжгүй болно. Мөн бид тэдэнтэй тэнцүү байх хэрэгтэй. Тиймээс тоологчийн энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар бид үүнийг $2x$ болгоно. Үүнийг хийхийн тулд бид бутархайн хуваагчаас салангид хүчин зүйлээр ялгах болно. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ , Төгсгөлд нь $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ томьёогоор олж авсан. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид хангах болно нарийвчилсан шийдэл. Та тооцооллын явцтай танилцаж, мэдээлэл цуглуулах боломжтой болно. Энэ нь багшийн кредитийг цаг тухайд нь авахад тусална!

Хариулт

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Жишээ 2

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $-г олоорой.

Шийдэл

Ердийнх шиг, та эхлээд тодорхойгүй байдлын төрлийг мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв тэгийг тэгээр хуваавал бид синус байгаа эсэхийг анхаарна: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Энэ тодорхойгүй байдал нь эхний гайхалтай хязгаарын томъёог ашиглах боломжийг бидэнд олгодог боловч хуваарийн илэрхийлэл нь синусын аргументтай тэнцүү биш байна уу? Тиймээс "духан дээр" томъёог хэрэглэх боломжгүй юм. Та бутархайг синус аргументаар үржүүлж хуваах хэрэгтэй: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x-x^) 4)(x ^3+2x)) = $$ Одоо бид хязгаарын шинж чанарыг тайлбарлав: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x-x^4 )\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Хоёрдахь хязгаар нь томьёонд тохирох бөгөөд нэгтэй тэнцүү байна: $ $ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x)(2x- x^4) = $$ Бутархайд дахин $ x = 0 $ орлуулаад $ \frac(0)(0) $ тодорхойгүйг авна. Үүнийг арилгахын тулд $ x $-ыг хаалтнаас гаргаж аваад түүгээр багасгахад хангалттай: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Хариулт

$$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Жишээ 4

Тооцоолох $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Шийдэл

$ x=0 $-г орлуулах замаар тооцоогоо эхлүүлье. Үүний үр дүнд бид $ \frac(0)(0) $ тодорхойгүй байдлыг олж авна. Хязгаар нь синус ба шүргэгчийг агуулдаг бөгөөд энэ нь сануулж байна боломжит хөгжилЭхний гайхалтай хязгаарын томъёог ашиглан нөхцөл байдал. Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг томъёо, үр дагавар болгон хувиргацгаая. $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Одоо бид тоологч ба хуваарьт томъёо, үр дагаварт тохирсон илэрхийллүүд байгааг харж байна. Синусын аргумент ба шүргэгч аргумент нь тус тусын хуваагчдад ижил байна $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Хариулт

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

"Эхний гайхалтай хязгаар, шийдлийн жишээ" нийтлэлд үүнийг ашиглахыг зөвлөж буй тохиолдлуудын талаар өгүүлсэн болно. энэ томъёоба түүний үр дагавар.

Эхний гайхалтай хязгаарыг дараахь тэгш байдал гэж нэрлэдэг.

\эхлэх(тэгшитгэл)\lim_(\альфа\то(0))\frac(\sin\alpha)(\альфа)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\alpha\to(0)$-ын хувьд бидэнд $\sin\alpha\to(0)$ байгаа тул эхний гайхалтай хязгаар нь $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхой бус байдлыг харуулж байна гэж бид хэлж байна. Ерөнхийдөө (1) томъёонд $\alpha$ хувьсагчийн оронд синус тэмдэг болон хуваагч хэсэгт хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд дурын илэрхийллийг байрлуулж болно.

1. Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэдэг, i.e. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна.
2. Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил байна.

Эхний гайхалтай хязгаарын үр дүнг ихэвчлэн ашигладаг:

\begin(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)

Арван нэгэн жишээг энэ хуудсан дээр шийдсэн. Жишээ №1 нь (2)-(4) томъёоны нотолгоонд зориулагдсан болно. Жишээ №2, №3, №4, №5 нь дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдлүүдийг агуулдаг. Өмнөх жишээнүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбарыг өгсөн тул 6-10-р жишээнд тайлбар багатай эсвэл огт байхгүй шийдлүүдийг агуулсан болно. Шийдэл нь заримыг нь ашигладаг тригонометрийн томъёоүүнийг олж болно.

байгааг анхаарна уу тригонометрийн функцууд$\frac (0) (0)$-ийн тодорхойгүй байдал нь эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх ёстой гэсэн үг биш юм. Заримдаа энгийн тригонометрийн хувиргалт хангалттай байдаг - жишээлбэл, үзнэ үү.

Жишээ №1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) гэдгийг батал. (\альфа)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\альфа)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ тул:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Учир нь $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ба $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, дараа нь:

$$ \lim_(\альфа\то(0))\фрак(\син(\альфа))(\альфа\кос(\альфа)) =\frac(\displaystyle\lim_(\альфа\то(0)) \ frac (\ sin (\ альфа)) (\ альфа)) (\ displaystyle \ lim_ (\ альфа \ to (0)) \ cos (\ альфа)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\sin(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ нөхцөлөөс бидэнд $y\to(0)$ байна. Үүнээс гадна $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ гэсэн 0-ийн хөрш байдаг тул:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.

в) $\alpha=\tg(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\tg(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ болон $y\to(0)$ нөхцөлүүд тэнцүү байна. Нэмж дурдахад $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ байх 0-ийн хөрш байдаг тул a) цэгийн үр дүнд тулгуурлан бид дараах байдалтай байна:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.

a), b), c) тэгшитгэлийг ихэвчлэн эхний гайхалтай хязгаартай хамт ашигладаг.

Жишээ №2

Тооцоолох хязгаар $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Учир нь $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ба $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. мөн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэх хандлагатай байгаа бол энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна, өөрөөр хэлбэл. гүйцэтгэсэн. Нэмж дурдахад, синус тэмдгийн дор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил (жишээ нь, сэтгэл хангалуун) байгааг харж болно.

Тиймээс хуудасны эхэнд дурдсан хоёр нөхцөл хангагдсан болно. Үүнээс үзэхэд томъёог хэрэглэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Хариулт: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Жишээ №3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$-г олоорой.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))x=0$ тул бид $\frac( хэлбэрийн тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. 0 )(0)$, өөрөөр хэлбэл, гүйцэтгэсэн. Гэхдээ синус тэмдгийн доорх болон хуваагч дахь илэрхийлэл таарахгүй байна. Энд хуваагч дахь илэрхийллийг хүссэн хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Бид хуваарьт байхын тулд $9x$ илэрхийлэл хэрэгтэй - тэгвэл энэ нь үнэн болно. Үндсэндээ бид хуваарьт 9$-ын хүчин зүйл дутагдаж байна, үүнийг оруулахад тийм ч хэцүү биш, зөвхөн хуваагч дахь илэрхийлэлийг 9 доллараар үржүүлээрэй. Мэдээжийн хэрэг, үржүүлгийг 9 доллараар нөхөхийн тулд та нэн даруй 9 доллараар хувааж, хуваах хэрэгтэй болно.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9х))(9х) $$

Одоо хуваагч болон синусын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ижил байна. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ хязгаарын хоёр нөхцөл хангагдсан. Тиймээс $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Мөн энэ нь:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Жишээ №4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$-г олоорой.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ тул энд бид тодорхойгүй байдлын асуудлыг авч үзэж байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэр. Гэсэн хэдий ч анхны гайхалтай хязгаарын хэлбэр эвдэрсэн. $\sin(5x)$ агуулсан тоологчийн хуваарьт $5x$ шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хамгийн хялбар арга бол тоологчийг $5x$-д хувааж, нэн даруй $5x$-оор үржүүлэх явдал юм. Нэмж хэлэхэд, бид хуваагчтай ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэх бөгөөд $\tg(8x)$-г $8x$-оор үржүүлж, хуваах болно:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$-оор багасгаж, $\frac(5)(8)$ тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс гаргаснаар бид дараахийг олж авна:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ нь эхний гайхалтай хязгаарт тавигдах шаардлагыг бүрэн хангаж байгааг анхаарна уу. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$-г олохын тулд дараах томъёог хэрэглэнэ.

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Жишээ №5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$-г ол.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$ гэдгийг санаарай) ба $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тэгвэл бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Гэсэн хэдий ч эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийн тулд та синус (томьёог хэрэглэхийн тулд) эсвэл шүргэгч (томьёог хэрэглэхийн тулд) руу шилжих замаар тоологч дахь косинусыг арилгах хэрэгтэй. Та үүнийг дараах хувиргалтаар хийж болно.

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Хязгаар руугаа буцъя:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\баруун) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархай нь эхний гайхалтай хязгаарт шаардлагатай хэлбэрт аль хэдийн ойрхон байна. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархайтай бага зэрэг ажиллаж, үүнийг эхний гайхалтай хязгаарт тохируулъя (тоологч ба синус дор байгаа илэрхийллүүд тохирох ёстойг анхаарна уу):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2$$

Төлөвлөсөн хязгаар руу буцъя:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2\баруун)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Жишээ №6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ хязгаарыг ол.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ба $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ тул бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Анхны гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар үүнийг нээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд косинусаас синус руу шилжье. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ тул:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Өгөгдсөн синус хязгаарыг давснаар бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\баруун)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\зүүн(\frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Жишээ №7

Хязгаарыг тооцоолох $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ өгөгдсөн $\alpha\neq\ бета доллар.

Дэлгэрэнгүй тайлбарыг өмнө нь өгсөн боловч энд $\frac(0)(0)$-ын тодорхойгүй байдал байгааг бид зүгээр л тэмдэглэж байна. Томъёог ашиглан косинусаас синус руу шилжье

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\альфа-\бета)(2).$$

Дээрх томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа+\бета) )(2)\баруун)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\альфа-\бета)(2)\баруун))(x)\баруун)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+\бета)(2))\cdot\frac(\альфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2))\cdot\frac(\alpha- \бета)(2)\баруун)=\\ =-\frac((\альфа+\бета)\cdot(\альфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)) =-\frac(\ альфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\фрак(\бета^2-\альфа^2)(2). $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ альфа^2)(2)$.

Жишээ №8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ хязгаарыг ол.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) ба $\ гэдгийг санаарай. lim_(x\to(0))x^3=0$, тэгвэл энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг авч үзэж байна. Үүнийг дараах байдлаар задалж үзье.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\баруун))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\баруун)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\баруун) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Хариулт: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Жишээ №9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ хязгаарыг ол.

Учир нь $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ба $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -) 3)(2)=0$, тэгвэл $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Өргөтгөл рүү орохын өмнө хувьсагчийг шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар өөрчлөх нь тохиромжтой (томьёонд $\alpha \to 0$ хувьсагч байгааг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=x-3$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. Гэсэн хэдий ч, цаашдын хувиргалтыг хийхэд тохиромжтой байхын тулд (энэ үр ашгийг доорх шийдлийн явцад харж болно) дараах орлуулалтыг хийх нь зүйтэй: $t=\frac(x-3)(2)$. Хоёр орлуулалт хоёуланд нь хамааралтай болохыг анхаарна уу Энэ тохиолдолд, ердөө хоёр дахь орлуулалт нь бутархайтай бага ажиллах боломжийг танд олгоно. $x\to(3)$, дараа нь $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\баруун| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Хариулт: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Жишээ №10

Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Дахин бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Өргөтгөл рүү шилжихээсээ өмнө шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийх нь тохиромжтой (томьёонд хувьсагч нь $\alpha\to(0)$ байна гэдгийг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=\frac(\pi)(2)-x$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. $x\to\frac(\pi)(2)$ тул $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\баруун))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\баруун)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Хариулт: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\баруун)^2) =\frac(1)(2)$.

Жишээ №11

Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Энэ тохиолдолд бид эхний гайхамшигтай хязгаарыг ашиглах шаардлагагүй болно. Анхаарна уу: эхний болон хоёр дахь хязгаарт зөвхөн тригонометрийн функцууд болон тоонууд байдаг. Ихэнхдээ ийм төрлийн жишээн дээр хязгаарын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой байдаг. Энэ тохиолдолд дурдсан хялбаршуулж, зарим хүчин зүйлийг бууруулсны дараа тодорхойгүй байдал арилдаг. Хязгаарын тэмдгийн дор тригонометрийн функцүүд байгаа нь эхний гайхалтай хязгаарыг заавал хэрэглэх гэсэн үг биш гэдгийг харуулах гэсэн ганц зорилготойгоор би энэ жишээг өгсөн.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ тул ($\sin\frac(\pi)(2)=1$) гэдгийг санаарай. $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ гэдгийг санаарай), тэгвэл бид тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн. Гэсэн хэдий ч энэ нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах ёстой гэсэн үг биш юм. Тодорхой бус байдлыг илчлэхийн тулд $\cos^2x=1-\sin^2x$-г анхаарч үзэхэд хангалттай.

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Демидовичийн шийдлийн номонд (No 475) ижил төстэй шийдэл байдаг. Хоёрдахь хязгаарын хувьд энэ хэсгийн өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Яагаад үүсдэг вэ? Энэ нь $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ба $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ байдгаас үүсдэг. Бид эдгээр утгуудыг тоологч ба хуваагч дахь илэрхийллийг хувиргахад ашигладаг. Бидний үйл ажиллагааны зорилго: нийлбэрийг тоологч ба хуваагчаар үржвэр болгон бич. Дашрамд хэлэхэд, ижил төстэй хэлбэр доторх хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг тул шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байдаг (жишээлбэл, энэ хуудасны №9 эсвэл 10-р жишээг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч, онд энэ жишээхувьсагчийг солих нь утгагүй боловч хэрэв хүсвэл $t=x-\frac(2\pi)(3)$ хувьсагчийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\баруун )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\баруун))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left( -\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Таны харж байгаагаар бид эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагагүй байсан. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хүсвэл үүнийг хийж болно (доорх тэмдэглэлийг үзнэ үү), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм.

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглан ямар шийдэл байх вэ? харуулах/нуух

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ баруун))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\баруун) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Хариулт: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.