Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Шулуун шугам. Шугамын тэгшитгэл

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр хязгааргүй тооны шулуун шугам зурж болно.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр нэг шулуун шугам зурж болно.

Хавтгайн хоёр зөрж буй шугам нь нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр шугамын харьцангуй байрлалын гурван сонголт байдаг.

• шугамууд огтлолцдог;

• шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам— нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын систем дэх шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, БТэгээд ХАМТДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- шулуун шугам эхийг дайран өнгөрдөг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠0- шулуун шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээрямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор.

Тодорхойлолт. Декарт хэлээр тэгш өнцөгт систембүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй координат вектор (A, B)

шулуун шугамд перпендикуляр, тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд

Үүссэн илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулъя: 3 - 2 + С = 0

C = -1. Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x - y - 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Тэгээд M2 (x 2, y 2, z 2),Дараа нь шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэг байвал харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Асаалттай

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

Хэрэв x 1 ≠ x 2Тэгээд x = x 1, Хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуу Чигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Цэг ба налууг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ Ax + Wu + C = 0хүргэж байна:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглүүлэх вектор.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x = 1, y = 2бид авдаг C/A = -3, өөрөөр хэлбэл шаардлагатай тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал -С-д хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,А б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шугамын тэгшитгэлийг сегментээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Хэвийн тэгшитгэлЧигээрээ.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ax + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ*C< 0.

Р- эхлэлээс шулуун шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

А φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв 12x - 5y - 65 = 0. Бичих шаардлагатай Төрөл бүрийн төрөлтэгшитгэл

энэ шулуун шугам.

Энэ шугамын тэгшитгэл нь сегмент дэх:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

Хэрэв k 1 = -1/ k 2 .

Теорем.

Шууд Ax + Wu + C = 0Тэгээд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель

A 1 = λA, B 1 = λB. Хэрэв бас С 1 = λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Дамжиж буй шугамын тэгшитгэл энэ цэгэнэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шулуун шугам хүртэлх зай Ax + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- цэгээс унасан перпендикулярын суурь Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай МТэгээд М 1:

(1)

Координатууд x 1Тэгээд 1 цагттэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

шулуун шугам өгөгдсөн. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулуун шугамыг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

Шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдээр дайруулъя. М 1 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл y-y 1 = хэлбэртэй байна к (x - x 1), (10.6)

Хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгийг дайран өнгөрөх тул энэ цэгийн координатууд (10.6) тэгшитгэлийг хангах ёстой: y 2 -y 1 = к (x 2 - x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 = x 2 бол M 1 (x 1,y I) ба M 2 (x 2,y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь ордны тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 = y I бол шугамын тэгшитгэлийг y = y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугам нь Ox тэнхлэгийг M 1 (a;0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0;b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг таслахыг заана.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун дээрх дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг дуудна Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n= (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

(10.8) тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C = -Ax o - Vu o нь чөлөөт гишүүн юм. Тэгшитгэл (10.9) шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
- шугам өнгөрөх цэгийн координат, ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвтэй
:

Ялангуяа гадасны төв нь координатын гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай харагдана.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь тус бүрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. Тэгээд фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол хэмжигдэхүүн юм
, голомт хоорондын зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Окс тэнхлэг дээр байрладаг эллипсийн каноник тэгшитгэл ба голомтын дундах координатын гарал үүсэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа хагас гол тэнхлэгийн урт;б – хагас бага тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Энэ нийтлэл нь хоёрыг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн олж авахыг харуулж байна оноо өгсөнхавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системд. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргая. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг тодорхой харуулж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр зөрөөтэй цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр өгөгдсөн цэгийг эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар тодорхойлно.

Хэрэв хавтгай нь тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр тодорхойлогддог бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэгч вектортой мөн холболт бий.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр салангид цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

x - x 1 a x = y - y 1 a y хэлбэртэй хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлд тэгш өнцөгт координатын систем O x y нь координат M 1 (x) цэгт түүнтэй огтлолцох шугамаар тодорхойлогддог. 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (a x , a y) .

Үүнийг зурах шаардлагатай байна каноник тэгшитгэл M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун а.

Шулуун a нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглэлийн вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1, y 1 ба x 2, y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулууны каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 байна. Тоон утгыг x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болохыг олж мэднэ.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлтэй асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр тэгшитгэл рүү шилжих нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт аваачъя, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг сургуулийн сурах бичигт алгебрийн хичээлийн үеэр хэлэлцсэн. Сургуулийн асуудлууд нь y = k x + b хэлбэртэй өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг байснаараа ялгаатай байв. Хэрэв та y = k x + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M 2 () цэгүүдийг дайран өнгөрөх O x y системийн шугамыг тодорхойлох k налуугийн утгыг болон b тоог олох шаардлагатай бол. x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 үед , дараа нь өнцгийн коэффициент нь хязгааргүй байдлын утгыг авах ба шулуун шугам M 1 M 2 нь ерөнхий тодорхойлогддог. бүрэн бус тэгшитгэл x - x 1 = 0 хэлбэрийн .

Учир нь оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. k ба b-ийн хувьд y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = -г олно. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Эдгээр k ба b утгуудын хувьд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шугамын тэгшитгэлийг авна дараагийн харах y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ийм асар олон тооны томъёог нэг дор санах боломжгүй юм. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y = k x + b хэлбэрийн өнцгийн коэффициент бүхий томъёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд нь энэ тэгшитгэл нь M 1 (- 7, - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байх ёстой.

Оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгох ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шаардлагатай тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэрийн тэгшитгэл байх болно гэдгийг бид олж мэдэв.

Энэхүү шийдлийн арга нь зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог их хэмжээнийцаг. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

X - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) хэлбэртэй M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бичье. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координатуудтай давхцахгүй өгөгдсөн хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ээр дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. 1 + a z · λ нь a → = (a x, a y, a z) чиглэлийн вектор бүхий координаттай (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын систем дэх шугамыг тодорхойлох боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шулуун шугам нь M 1 (x 1, y 1,) цэгээр дамждаг. z 1) ба M 2 (x 2 , y 2 , z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 хэлбэртэй байж болно. z 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

М 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын O x y z системд тодорхойлсон шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Энэ нь каноник тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Бид гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх үед хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олимпиадын асуудал нэлээд олон байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлийн туршид бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд даалгавруудыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм зохиох болно шугамын тэгшитгэлийг олох, дамжин өнгөрөх өгөгдсөн хоёр оноо. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн ойлголтууд

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу зааж өгсөн) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь, нэг цэг нь сегментэд хамаарах уу, хоёр сегмент огтлолцдог уу, ... гэх мэт) эсвэл геометрийн объект (жишээлбэл, өгөгдсөн цэгүүдийг холбосон хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт, талбайн хэмжээ) байж болно. олон өнцөгт гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлуудыг бид зөвхөн хавтгайд, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Онгоцонд цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын системийг өгсөн гэж бид таамаглах болно.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийлэлийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тодорхойлохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг түүний төгсгөлийн координатыг зааж өгч болно шулуун шугамыг түүний хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ бидний асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг эргэн санацгаая.

Шугамын сегмент AB, ямар нэг санаа байна Аэхлэл (хэрэглэх цэг), цэг гэж үздэг IN– төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABболон аль нэгийг нь, эсвэл тодоор тэмдэглэнэ жижиг үсэг, Жишээлбэл А .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна:

,

энд оноо байна АТэгээд Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл, харгалзан үзэх өнцөг харилцан зохицуулалтвекторууд.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а Тэгээд б Хэрэв эргэлт нь вектороос байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгдэх ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, Зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а Тэгээд б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглэсэн өнцгийн утга нь векторуудыг жагсаасан дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Гарын үсэг зурах вектор бүтээгдэхүүнбие биентэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлно:

а Тэгээд б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол хос вектор байна а Тэгээд б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэдгээр нь нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай хэд хэдэн энгийн асуудлыг авч үзье.

Хоёр цэгийн координатаас шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлъё.

Координатаар нь тодорхойлсон хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Шулуун дээр давхцаагүй хоёр цэгийг координаттай (x1; y1) ба координаттай (x2; y2) өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байдаг вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координат нь (x-x1, y – y1) тэнцүү байна.

Вектор үржвэрийг ашиглан векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Бодлого 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн талаар зарим мэдээллийг сурсан. Бид хоёр цэгийн координатаас шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох программ зохиох болно.