Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг хэрхэн олох вэ. Дискриминант: шийдлийн жишээ. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан хэрхэн шийдэх вэ

Жишээлбэл, \(3x^2+2x-7\) гурвалсан гишүүний хувьд дискриминант нь \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\)-тэй тэнцүү байх болно. Гурвалсан \(x^2-5x+11\) хувьд \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) тэнцүү байх болно.

Дискриминантыг \(D\) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг. Мөн ялгаварлагчийн утгаар та график ойролцоогоор ямар харагдахыг ойлгож чадна (доороос харна уу).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба үндэс

Дискриминант утга нь квадрат тэгшитгэлийн тоог харуулна.
- хэрэв \(D\) эерэг байвал тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно;
- хэрэв \(D\) тэгтэй тэнцүү бол - зөвхөн нэг үндэс байна;
- хэрэв \(D\) сөрөг байвал үндэс байхгүй.

Үүнийг заах шаардлагагүй, зүгээр л ялгаварлагчаас (өөрөөр хэлбэл \(\sqrt(D)\) квадратын язгуурыг тооцоолох томьёонд орсон гэдгийг мэдэж байж ийм дүгнэлтэд хүрэх нь тийм ч хэцүү биш юм. тэгшитгэл: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt() D))(2a)\) Тохиолдол бүрийг дэлгэрэнгүй авч үзье.

Хэрэв ялгаварлагч эерэг байвал

Энэ тохиолдолд түүний үндэс нь эерэг тоо байх бөгөөд энэ нь \(x_(1)\) ба \(x_(2)\) нь өөр өөр утгатай болно, учир нь эхний томъёонд \(\sqrt(D)\ ) -ийг нэмж, хоёр дахь нь хасна. Мөн бид хоёр өөр үндэстэй.

Жишээ : \(x^2+2x-3=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

Хариулах : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол

Дискриминант нь тэг байвал хэдэн үндэс байх вэ? Шалтгаан авч үзье.

Үндэс томьёо дараах байдалтай байна: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ба \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Хэрэв ялгаварлагч нь тэг бол түүний үндэс нь мөн тэг болно. Дараа нь ийм болж байна:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Өөрөөр хэлбэл, тэг нэмэх эсвэл хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй тул тэгшитгэлийн язгуурын утгууд ижил байх болно.

Жишээ : \(x^2-4x+4=0\) тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
Шийдэл :

\(x^2-4x+4=0\)		Бид коэффициентүүдийг бичдэг:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Бид ялгагчийг \(D=b^2-4ac\) томъёогоор тооцоолно.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Тэгшитгэлийн язгуурыг олох
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Бид хоёр ижил үндэстэй тул тэдгээрийг тусад нь бичих нь утгагүй юм - бид тэдгээрийг нэг болгон бичдэг.

Хариулах : \(x=2\)

Бүхэл бүтэн хичээлийн дунд сургуулийн сургалтын хөтөлбөрАлгебрийн хувьд хамгийн өргөн хүрээтэй сэдвүүдийн нэг бол квадрат тэгшитгэлийн сэдэв юм. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж ойлгодог бөгөөд энд a ≠ 0 (унших: a x квадрат дээр нэмэх нь x нэмэх ce нь тэгтэй тэнцүү, энд a биш юм. тэгтэй тэнцүү). Энэ тохиолдолд үндсэн байрыг заасан төрлийн квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагчийг олох томъёо эзэлдэг бөгөөд энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, түүнчлэн тэдгээрийн язгуур байгаа эсэхийг тодорхойлох боломжийг олгодог илэрхийлэл гэж ойлгогддог. дугаар (хэрэв байгаа бол).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантын томъёо (тэгшитгэл).

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантыг нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн томьёо нь дараах байдалтай байна: D = b 2 – 4ac. Тодорхойлсон томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцоолсноор та квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тоог тодорхойлохоос гадна квадрат тэгшитгэлийн төрлөөс хамааран хэд хэдэн язгуурыг олох аргыг сонгох боломжтой.

Ялгаварлагч нь тэг байвал юу гэсэн үг вэ \ Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо.

Томъёоны дагуу ялгаварлагчийг латин D үсгээр тэмдэглэнэ. Ялгаварлан гадуурхагч нь 0-тэй тэнцүү байх тохиолдолд дараахь дүгнэлтийг хийх ёстой. квадрат тэгшитгэл ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн a ≠ 0 нь зөвхөн нэг үндэстэй бөгөөд үүнийг хялбаршуулсан томъёогоор тооцоолно. Энэ томъёонь зөвхөн дискриминант нь тэг байх ба дараах байдлаар харагдана: x = –b/2a, энд x нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур, b ба a нь квадрат тэгшитгэлийн харгалзах хувьсагч юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олохын тулд танд хэрэгтэй сөрөг утгатай b хувьсагчийг a хувьсагчийн утгаас хоёр дахин хуваасан. Үүссэн илэрхийлэл нь квадрат тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх

Хэрэв дээрх томьёог ашиглан дискриминантыг тооцоолохдоо эерэг утга гарвал (D нь тэгээс их) бол квадрат тэгшитгэл нь дараах томъёогоор тооцоолсон хоёр үндэстэй байна: x 1 = (–b + vD)/ 2a, x 2 = (–b – vD) /2a. Ихэнх тохиолдолд ялгаварлагчийг тусад нь тооцдоггүй, харин ялгах томьёо хэлбэрийн радикал илэрхийлэл нь үндсийг гаргаж авсан D утгад зүгээр л орлуулдаг. Хэрэв b хувьсагч тэгш утгатай бол ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд a ≠ 0 бол дараах томъёог ашиглаж болно: x 1 = (–k +) v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, энд k = b/2.

Зарим тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бодитоор шийдвэрлэхийн тулд та x 2 + px + q = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь x 1 + x 2 = –p гэсэн утгатай Виетийн теоремыг ашиглаж болно. үнэн байх ба заасан тэгшитгэлийн язгуурын үржвэрийн хувьд – илэрхийлэл x 1 x x 2 = q.

Дискриминант нь тэгээс бага байж болох уу?

Ялгаварлан гадуурхалтын утгыг тооцоолохдоо та тодорхойлсон тохиолдлуудын аль нэгэнд хамаарахгүй нөхцөл байдалтай тулгарч магадгүй - ялгаварлан гадуурхагч сөрөг утгатай (өөрөөр хэлбэл тэгээс бага). Энэ тохиолдолд ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл нь a ≠ 0 нь бодит язгуургүй тул түүний шийдэл нь дискриминант болон дээрх томъёог тооцоолоход хязгаарлагдах болно гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд энэ тохиолдолдхэрэглэхгүй. Үүний зэрэгцээ квадрат тэгшитгэлийн хариултанд "тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй" гэж бичсэн байдаг.

Тайлбар видео:

Энэ өгүүллийг судалсны дараа та бүрэн квадрат тэгшитгэлийн үндсийг хэрхэн олохыг сурах болно гэж найдаж байна.

Дискриминантыг ашиглан зөвхөн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийддэг; бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бусад аргуудыг ашигладаг бөгөөд үүнийг "Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" нийтлэлээс олох болно.

Ямар квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг вэ? Энэ ax 2 + b x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл, a, b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Тиймээс бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид D дискриминантыг тооцоолох хэрэгтэй.

D = b 2 – 4ac.

Ялгаварлагчийн үнэ цэнээс хамааран бид хариултыг бичнэ.

Хэрэв ялгаварлагч нь сөрөг тоо бол (D< 0),то корней нет.

Дискриминант нь тэг бол x = (-b)/2a. Дискриминант нь эерэг тоо байх үед (D > 0)

дараа нь x 1 = (-b - √D)/2a, мөн x 2 = (-b + √D)/2a.

Жишээлбэл. Тэгшитгэлийг шийд x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Хариулт: 2.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Хариулт: үндэс байхгүй.

2-р тэгшитгэлийг шийд x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Хариулт: – 3.5; 1.

Тиймээс 1-р зураг дээрх диаграммыг ашиглан бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг төсөөлцгөөе.

Эдгээр томъёог ашигласнаар та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чадна. Та зүгээр л болгоомжтой байх хэрэгтэй тэгшитгэлийг олон гишүүнт хэлбэрээр бичсэн стандарт харагдах байдал

А x 2 + bx + c,эс бөгөөс та алдаа гаргаж магадгүй. Жишээлбэл, x + 3 + 2x 2 = 0 тэгшитгэлийг бичихдээ та андуурч болно.

a = 1, b = 3 ба c = 2. Дараа нь

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ба тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. Мөн энэ нь үнэн биш юм. (Дээрх жишээ 2-ын шийдлийг үзнэ үү).

Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичээгүй бол эхлээд бүрэн квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт хэлбэрээр бичих ёстой (хамгийн том илтгэгчтэй мономиал эхлээд байх ёстой, өөрөөр хэлбэл А x 2 , дараа нь бага – bxдараа нь үнэгүй гишүүн болно -тай.

Хоёр дахь гишүүнд бууруулсан квадрат тэгшитгэл ба тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бусад томъёог ашиглаж болно. Эдгээр томьёотой танилцацгаая. Хэрэв бүрэн квадрат тэгшитгэлийн хоёр дахь гишүүн тэгш коэффициенттэй (b = 2k) байвал та 2-р зураг дээрх диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно.

Коэффицент нь -д байвал бүрэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан гэж нэрлэдэг x 2 нэгтэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл хэлбэрийг авна x 2 + px + q = 0. Ийм тэгшитгэлийг шийдэлд өгч болно, эсвэл тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно. А, дээр зогсож байна x 2 .

Зураг 3-т багасгасан квадратыг шийдэх диаграммыг үзүүлэв
тэгшитгэл. Энэ нийтлэлд авч үзсэн томъёоны хэрэглээний жишээг авч үзье.

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Зураг 1-ийн диаграммд үзүүлсэн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шийдье.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3

Энэ тэгшитгэлийн х-ийн коэффициент нь тэгш тоо гэдгийг анзаарч болно, өөрөөр хэлбэл b = 6 эсвэл b = 2k, үүнээс k = 3. Дараа нь D зургийн диаграммд үзүүлсэн томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж үзье. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3. Энэ квадрат тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд 3-т хуваагддаг болохыг анзаарч, хуваахдаа бид x 2 + 2x – 2 = 0 багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авна.
тэгшитгэлийн зураг 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Хариулт: –1 – √3; –1 + √3.

Бидний харж байгаагаар энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед янз бүрийн томъёоБид ижил хариултыг авсан. Тиймээс 1-р зурагт үзүүлсэн томьёог сайтар эзэмшсэнээр та ямар ч бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Бид сэдвийг үргэлжлүүлэн судалж байна " тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" Бид шугаман тэгшитгэлтэй аль хэдийн танилцаж, танилцах гэж байна квадрат тэгшитгэл.

Эхлээд бид квадрат тэгшитгэл гэж юу болох, хэрхэн бичигдсэнийг авч үзэх болно ерөнхий үзэл, холбогдох тодорхойлолтуудыг өгнө. Үүний дараа бид бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг жишээгээр нарийвчлан судлах болно. Шийдэл рүүгээ явцгаая бүрэн тэгшитгэл, бид язгуур томьёог олж, квадрат тэгшитгэлийн дискриминанттай танилцаж, ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно. Эцэст нь язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондын уялдаа холбоог авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Тэдний төрлүүд

Эхлээд та квадрат тэгшитгэл гэж юу болохыг тодорхой ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс квадрат тэгшитгэлийн тухай яриаг квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт, түүнчлэн холбогдох тодорхойлолтоор эхлүүлэх нь логик юм. Үүний дараа та квадрат тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэж болно: бууруулсан ба буураагүй, түүнчлэн бүрэн ба бүрэн бус тэгшитгэл.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Квадрат тэгшитгэлхэлбэрийн тэгшитгэл юм a x 2 +b x+c=0, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, а нь тэг биш юм.

Квадрат тэгшитгэлийг ихэвчлэн хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг гэдгийг шууд хэлье. Энэ нь квадрат тэгшитгэл нь байгаатай холбоотой юм алгебрийн тэгшитгэл хоёрдугаар зэрэг.

Энэхүү тодорхойлолт нь квадрат тэгшитгэлийн жишээг өгөх боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт.

Тоонууд a, b, c гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд a·x 2 +b·x+c=0, а коэффициентийг эхний буюу хамгийн өндөр буюу x 2-ын коэффициент, b нь хоёр дахь коэффициент буюу х-ийн коэффициент, в нь чөлөөт гишүүн юм. .

Жишээ нь: 5 x 2 −2 x −3=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг авч үзье, энд тэргүүлэх коэффициент нь 5, хоёр дахь коэффициент нь −2, чөлөөт гишүүн нь −3-тай тэнцүү байна. Сая өгөгдсөн жишээн дээрх шиг b ба/эсвэл в коэффициентүүд сөрөг байвал анхаарна уу богино хэлбэр 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 биш харин 5 x 2 −2 x−3=0 хэлбэртэй квадрат тэгшитгэл бичих.

a ба/эсвэл b коэффициентүүд нь 1 эсвэл -1-тэй тэнцүү байх үед тэдгээр нь квадрат тэгшитгэлд ихэвчлэн тодорхой байдаггүй бөгөөд энэ нь ийм бичих онцлогтой холбоотой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Жишээлбэл, y 2 −y+3=0 квадрат тэгшитгэлийн тэргүүлэх коэффициент нь нэг, у-ийн коэффициент нь −1-тэй тэнцүү байна.

Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл

Тэргүүлэх коэффициентийн утгаас хамааран бууруулсан ба буураагүй квадрат тэгшитгэлийг ялгадаг. Холбогдох тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт.

Тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Үгүй бол квадрат тэгшитгэл нь байна хөндөгдөөгүй.

дагуу энэ тодорхойлолт, квадрат тэгшитгэл x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 гэх мэт. – өгөгдсөн бол тус бүрт эхний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байна. 5 x 2 −x−1=0 гэх мэт. - бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлүүд, тэдгээрийн тэргүүлэх коэффициентүүд нь 1-ээс ялгаатай.

Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлээс хоёр талыг тэргүүлэгч коэффициентээр хуваах замаар та багасгасан нэг рүү очиж болно. Энэ үйлдэл нь эквивалент хувиргалт бөгөөд өөрөөр хэлбэл ийм аргаар олж авсан бууруулсан квадрат тэгшитгэл нь анхны бууруулаагүй квадрат тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй, эсвэл үүнтэй адил үндэсгүй байна.

Буураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжих жишээг авч үзье.

Жишээ.

3 x 2 +12 x−7=0 тэгшитгэлээс харгалзах багасгасан квадрат тэгшитгэл рүү оч.

Шийдэл.

Бид зүгээр л анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 3-т хуваах хэрэгтэй, энэ нь тэг биш тул бид энэ үйлдлийг хийж чадна. Бидэнд (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 байгаа нь ижил, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, дараа нь (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, хаанаас . Ингэж бид бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Хариулт:

Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт нь a≠0 нөхцөлийг агуулна. Энэ нөхцөл нь a x 2 + b x + c = 0 тэгшитгэл нь квадрат байх шаардлагатай, учир нь a = 0 үед энэ нь үнэндээ b x + c = 0 хэлбэрийн шугаман тэгшитгэл болдог.

b ба c коэффициентүүдийн хувьд тус тусад нь болон хамтдаа тэгтэй тэнцүү байж болно. Эдгээр тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус, хэрэв b, c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол.

Эргээд

Тодорхойлолт.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлбүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.

Ийм нэрийг санамсаргүй байдлаар өгөөгүй. Энэ нь дараах хэлэлцүүлгээс тодорхой болно.

Хэрэв b коэффициент тэг бол квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +0·x+c=0 хэлбэртэй байх ба a·x 2 +c=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү байна. Хэрэв c=0, өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь a·x 2 +b·x+0=0 хэлбэртэй байвал a·x 2 +b·x=0 гэж дахин бичиж болно. Мөн b=0 ба c=0 байвал a·x 2 =0 квадрат тэгшитгэлийг авна. Гарсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Тиймээс тэдний нэр - бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.

Тэгэхээр x 2 +x+1=0 ба −2 x 2 −5 x+0.2=0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлийн жишээ бөгөөд x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 болно. , −x 2 −5 x=0 нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Өмнөх догол мөр дэх мэдээллээс үзэхэд байна гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл:

• a·x 2 =0, b=0 ба c=0 коэффициентүүд түүнд тохирно;
• b=0 үед a x 2 +c=0;
• ба c=0 үед a·x 2 +b·x=0 байна.

Эдгээр төрөл бүрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж байгааг дарааллаар нь авч үзье.

a x 2 = 0

b ба c коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг өөрөөр хэлбэл a x 2 =0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр шийдэж эхэлцгээе. a·x 2 =0 тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь хоёр хэсгийг тэг биш a тоонд хуваах замаар эх хувилбараас гаргаж авсан. 0 2 =0 учраас x 2 =0 тэгшитгэлийн язгуур нь тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ тэгшитгэлд өөр язгуур байхгүй бөгөөд үүнийг ямар ч тэгээс бусад p тооны хувьд p 2 >0 тэгш бус байдал хангагдсанаар тайлбарлагддаг бөгөөд энэ нь p≠0-ийн хувьд p 2 =0 тэгшитгэл хэзээ ч хүрдэггүй гэсэн үг юм.

Тэгэхээр a·x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=0 нэг язгууртай байна.

Жишээ болгон бид −4 x 2 =0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг өгч байна. Энэ нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцүү, түүний цорын ганц язгуур нь x=0 тул анхны тэгшитгэл нь нэг язгуур тэгтэй байна.

Энэ тохиолдолд богино шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Одоо b коэффициент нь тэг ба c≠0, өөрөөр хэлбэл a x 2 +c=0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая. Тэгшитгэлийн нэг талаас нөгөө тал руу эсрэг тэмдгээр гишүүнийг шилжүүлэх, мөн тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр тоонд хуваах нь тэнцүү тэгшитгэлийг өгдөг гэдгийг бид мэднэ. Иймд бид a x 2 +c=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн дараах эквивалент хувиргалтыг хийж болно.

• -аас руу шилжих баруун тал, энэ нь a x 2 =−c тэгшитгэлийг өгдөг,
• ба хоёр талыг нь а-д хуваавал бид .

Үүссэн тэгшитгэл нь түүний үндэсийн талаар дүгнэлт хийх боломжийг бидэнд олгодог. a ба c-ийн утгуудаас хамааран илэрхийллийн утга нь сөрөг (жишээлбэл, a=1 ба c=2 бол ) эсвэл эерэг (жишээлбэл, a=−2 ба c=6 бол) байж болно. дараа нь ), тэгтэй тэнцүү биш, учир нь нөхцөлөөр c≠0. Хэргийг тусад нь авч үзье.

Хэрэв бол тэгшитгэл нь үндэсгүй болно. Энэ мэдэгдэл нь дурын тооны квадрат нь сөрөг бус тоо байдгаас үүдэлтэй. Үүнээс үзэхэд , тэгвэл аль ч p тооны хувьд тэгшитгэл үнэн байж болохгүй.

Хэрэв , тэгвэл тэгшитгэлийн язгуурын нөхцөл өөр байна. Энэ тохиолдолд, хэрэв бид -ийн тухай санаж байвал тэгшитгэлийн язгуур нь шууд тодорхой болно, учир нь энэ нь тоо юм. Энэ тоо нь тэгшитгэлийн үндэс мөн гэдгийг таахад хялбар байдаг. Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг жишээ нь зөрчилдөөнөөр харуулж болно. Энийг хийцгээе.

Сая зарласан тэгшитгэлийн язгуурыг x 1 ба −x 1 гэж тэмдэглэе. Тэгшитгэл нь заасан x 1 ба −x 1 язгууруудаас өөр өөр нэг x 2 язгууртай гэж бодъё. Үүний үндэсийг x-ийн оронд тэгшитгэлд орлуулснаар тэгшитгэл нь зөв тоон тэгшитгэл болж хувирдаг нь мэдэгдэж байна. x 1 ба −x 1-ийн хувьд бид , харин x 2-ийн хувьд бид байна. Тоон тэгшитгэлийн шинж чанарууд нь зөв тоон тэгшитгэлийг гишүүнээр нь хасах боломжийг олгодог тул тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг хасвал x 1 2 −x 2 2 =0 болно. Тоотой үйлдлийн шинж чанарууд нь үүссэн тэгшитгэлийг (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 гэж дахин бичих боломжийг олгодог. Хоёр тооны үржвэр нь зөвхөн, ядаж нэг нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л тэгтэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Иймээс үүссэн тэгшитгэлээс x 1 −x 2 =0 ба/эсвэл x 1 +x 2 =0, энэ нь ижил, x 2 =x 1 ба/эсвэл x 2 =−x 1 болно. Ингээд бид анхандаа x 2 тэгшитгэлийн язгуур нь x 1 ба −x 1-ээс өөр гэж хэлснээс хойш зөрчилд хүрсэн. Энэ нь тэгшитгэл нь ба -аас өөр үндэсгүй болохыг баталж байна.

Энэ догол мөр дэх мэдээллийг тоймлон хүргэе. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 +c=0 нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

• үндэс байхгүй бол,
• хоёр үндэстэй ба хэрэв .

a·x 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүдийг авч үзье.

9 x 2 +7=0 квадрат тэгшитгэлээс эхэлье. Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа 9 x 2 =−7 хэлбэрийг авна. Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг 9-д хуваахад бид . Баруун тал нь сөрөг тоотой тул энэ тэгшитгэл нь үндэсгүй тул анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 +7 = 0 үндэсгүй болно.

Өөр −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Бид есийг баруун тийш шилжүүлнэ: −x 2 =−9. Одоо бид хоёр талыг −1-д хуваавал x 2 =9 болно. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж байна. Дараа нь бид эцсийн хариултыг бичнэ: −x 2 +9=0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x=3 эсвэл x=−3 гэсэн хоёр үндэстэй.

a x 2 +b x=0

Сүүлийн төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг c=0 байхад л шийдэх хэрэгтэй. a x 2 + b x = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд нь шийдвэрлэх боломжийг танд олгоно. хүчин зүйлчлэлийн арга. Мэдээжийн хэрэг, бид тэгшитгэлийн зүүн талд байрлах боломжтой бөгөөд үүний тулд нийтлэг х хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргахад хангалттай. Энэ нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлээс x·(a·x+b)=0 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжийг олгодог. Мөн энэ тэгшитгэл нь x=0 ба a·x+b=0 гэсэн хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцэх бөгөөд сүүлийнх нь шугаман бөгөөд x=−b/a язгууртай.

Тэгэхээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x=0 нь x=0 ба x=−b/a гэсэн хоёр язгууртай.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид тодорхой жишээний шийдлийг шинжлэх болно.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Хаалтнаас x-г гаргаснаар тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ нь x=0 ба хоёр тэгшитгэлтэй тэнцэнэ. Бид олж авсан зүйлээ шийдэж байна шугаман тэгшитгэл: , мөн хуваалтыг гүйцэтгэж байна холимог тоодээр энгийн бутархай, бид олдог. Иймд анхны тэгшитгэлийн үндэс нь x=0 ба .

Шаардлагатай практикийг олж авсны дараа ийм тэгшитгэлийн шийдлүүдийг товч бичиж болно.

Хариулт:

x=0, .

Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд язгуур томъёо байдаг. Үүнийг бичээд үзье квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо: , Хаана D=b 2 −4 a c- гэж нэрлэгддэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант. Оруулга нь үндсэндээ үүнийг илэрхийлдэг.

Үндэс томъёог хэрхэн гаргаж авсан, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олоход хэрхэн ашигладаг талаар мэдэх нь ашигтай. Үүнийг олж мэдье.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Зарим ижил төстэй хувиргалтуудыг хийцгээе:

• Бид энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэг биш a тоогоор хувааж болох бөгөөд үр дүнд нь дараах квадрат тэгшитгэл гарч ирнэ.
• Одоо бүрэн дөрвөлжин сонгоно уутүүний зүүн талд: . Үүний дараа тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна.
• Энэ үе шатанд сүүлийн хоёр нэр томъёог эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлэх боломжтой, бид .
• Мөн баруун талд байгаа илэрхийллийг өөрчилье: .

Үүний үр дүнд бид анхны квадрат тэгшитгэл a·x 2 +b·x+c=0-тэй тэнцэх тэгшитгэлд хүрнэ.

Өмнөх догол мөрүүдэд бид ижил төстэй тэгшитгэлүүдийг судалж үзэхэд аль хэдийн шийдэгдсэн. Энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дараах дүгнэлтийг гаргах боломжийг бидэнд олгоно.

• Хэрэв бол тэгшитгэлд бодит шийдэл байхгүй;
• хэрэв , тэгвэл тэгшитгэл нь түүний цорын ганц язгуур харагдахуйц , тиймийн тул, хэлбэртэй байна;
• хэрэв , тэгвэл эсвэл , эсвэл -тэй ижил, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх, тиймээс анхны квадрат тэгшитгэл нь баруун талд байгаа илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна. Хариуд нь 4·a 2 хуваагч нь үргэлж эерэг, өөрөөр хэлбэл b 2 −4·a·c илэрхийллийн тэмдгээр байх тул энэ илэрхийллийн тэмдгийг тоологчийн тэмдгээр тодорхойлно. Энэ b 2 −4 a c илэрхийллийг нэрлэсэн квадрат тэгшитгэлийн дискриминантмөн үсгээр томилогдсон Д. Эндээс ялгаварлагчийн мөн чанар тодорхой байна - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл бодит язгууртай эсэх, хэрэв тийм бол тэдгээрийн тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр гэсэн дүгнэлтэд хүрдэг.

Тэгшитгэл рүү буцаж, ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: . Тэгээд бид дүгнэлт хийж байна:

• хэрэв Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• хэрэв D=0 бол энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай;
• Эцэст нь, хэрэв D>0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй буюу буюу эсвэл хэлбэрээр дахин бичиж болох ба бутархайг томруулж, багасгасны дараа Ерөнхий хуваарьбид хүлээн авдаг.

Тиймээс бид квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёог гаргаж авсан бөгөөд тэдгээр нь D=b 2 −4·a·c томьёогоор D дискриминантыг тооцдог шиг харагдаж байна.

Тэдгээрийн тусламжтайгаар эерэг дискриминантын тусламжтайгаар квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хоёуланг нь тооцоолж болно. Дискриминант нь тэгтэй тэнцүү байх үед хоёр томьёо нь квадрат тэгшитгэлийн өвөрмөц шийдэлд тохирсон язгуурын ижил утгыг өгнө. Сөрөг ялгаварлагчтай бол квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахыг оролдох үед бид олборлолттой тулгардаг. квадрат язгуурсөрөг тооноос, энэ нь биднийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрөөс хэтрүүлдэг. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй боловч хостой байна нарийн төвөгтэй коньюгатүндэс, бидний олж авсан ижил үндэс томъёог ашиглан олж болно.

Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Практикт квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн утгыг тооцоолохын тулд язгуур томъёог шууд ашиглаж болно. Гэхдээ энэ нь нарийн төвөгтэй үндэс олохтой илүү холбоотой юм.

Гэхдээ сургуулийн алгебрийн хичээл дээр бид ихэвчлэн цогцолборын тухай биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгууруудын тухай ярьдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд ялгаварлагчийг олж, сөрөг биш эсэхийг шалгахыг зөвлөж байна (өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэж болно), Зөвхөн дараа нь үндэсийн утгыг тооцоолно.

Дээрх үндэслэл нь бидэнд бичих боломжийг олгодог квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм. a x 2 +b x+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

• D=b 2 −4·a·c ялгах томьёог ашиглан түүний утгыг тооцоол;
• ялгаварлагч сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл бодит үндэсгүй гэж дүгнэх;
• D=0 бол томьёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоолох;
• Квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг язгуур томьёо ашиглан олоорой.

Хэрэв ялгаварлагч нь 0-тэй тэнцүү бол томъёог ашиглаж болно, энэ нь -тэй ижил утгыг өгөх болно гэдгийг бид энд тэмдэглэж байна.

Та квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах жишээнүүд рүү шилжиж болно.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Эерэг, сөрөг, тэг дискриминант бүхий гурван квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийг авч үзье. Тэдгээрийн шийдлийг авч үзсэний дараа ижил төстэй байдлаар бусад квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжтой болно. Эхэлцгээе.

Жишээ.

x 2 +2·x−6=0 тэгшитгэлийн язгуурыг ол.

Шийдэл.

Энэ тохиолдолд бид квадрат тэгшитгэлийн дараах коэффициентүүдтэй байна: a=1, b=2 ба c=−6. Алгоритмын дагуу та эхлээд ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг хийхийн тулд бид ялгах томъёонд заасан a, b, c-г орлуулна. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, өөрөөр хэлбэл дискриминант нь тэгээс их байх тул квадрат тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно. Үндэс томъёог ашиглан тэдгээрийг олцгооё, бид олж авлаа, эндээс та үр дүнгийн илэрхийллийг хялбаршуулж болно үржүүлэгчийг үндсэн тэмдгээс цааш хөдөлгөхдараа нь фракцыг багасгах:

Хариулт:

Дараагийн ердийн жишээ рүү шилжье.

Жишээ.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Бид ялгагчийг хайж эхэлдэг: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Иймд энэ квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд бид үүнийг , өөрөөр хэлбэл

Хариулт:

x=3.5.

Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзэх хэвээр байна.

Жишээ.

5·y 2 +6·y+2=0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд: a=5, b=6 ба c=2. Бид эдгээр утгыг ялгах томъёонд орлуулж байна D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминант нь сөрөг тул энэ квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй.

Хэрэв та нарийн төвөгтэй үндэсийг зааж өгөх шаардлагатай бол үүнийг ашиглана уу сайн мэддэг томъёоквадрат тэгшитгэлийн үндэс, гүйцэтгэнэ нийлмэл тоо бүхий үйлдлүүд:

Хариулт:

жинхэнэ үндэс байхгүй, нийлмэл үндэс нь: .

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн дискриминант сөрөг байвал сургуульд тэд ихэвчлэн бодит үндэс байхгүй, нарийн төвөгтэй язгуур олдохгүй гэсэн хариултыг шууд бичдэг гэдгийг дахин тэмдэглэе.

Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо

D=b 2 −4·a·c нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо нь илүү авсаархан хэлбэрийн томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийг (эсвэл зүгээр л a-аар) шийдвэрлэх боломжийг олгодог. жишээ нь 2·n хэлбэртэй коэффициент эсвэл 14· ln5=2·7·ln5). Түүнийг гаргацгаая.

a x 2 +2 n x+c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье. Бидний мэддэг томьёо ашиглан түүний үндсийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгаварлагчийг тооцоолно D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), дараа нь бид үндсэн томъёог ашиглана:

n 2 −a c илэрхийллийг D 1 (заримдаа D " гэж тэмдэглэдэг) гэж тэмдэглэе. Дараа нь авч үзэж буй квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо 2 n хоёр дахь коэффициенттэй болно. , энд D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1, эсвэл D 1 =D/4 гэдгийг харахад амархан. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь дискриминантийн дөрөв дэх хэсэг юм. D 1-ийн тэмдэг нь D-ийн тэмдэгтэй ижил байх нь тодорхой байна. Өөрөөр хэлбэл D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэдэг үзүүлэлт юм.

Тэгэхээр хоёр дахь коэффициент 2·n квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй

• Тооцоолох D 1 =n 2 −a·c ;
• Хэрэв D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Хэрэв D 1 =0 бол томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тооцоол;
• Хэрэв D 1 >0 бол томьёог ашиглан хоёр жинхэнэ язгуурыг ол.

Энэ догол мөрөнд олж авсан язгуур томъёог ашиглан жишээг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Жишээ.

5 x 2 −6 x −32=0 квадрат тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2·(−3) гэж илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, та анхны квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, энд a=5, n=−3 ба c=−32 хэлбэрээр дахин бичиж, дөрөв дэх хэсгийг тооцоолж болно. ялгаварлагч: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Түүний утга эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай. Тохирох язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг олъё:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хувьд ердийн томъёог ашиглах боломжтой байсан ч энэ тохиолдолд илүү их тооцооллын ажил хийх шаардлагатай болно гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах

Заримдаа квадрат тэгшитгэлийн үндсийг томъёогоор тооцоолж эхлэхээсээ өмнө "Энэ тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах боломжтой юу?" Гэсэн асуултыг асуухад гэмгүй. Тооцооллын хувьд 1100 x 2 −400 x−600=0-ээс илүү 11 x 2 −4 x−6=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байх болно гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Дүрмээр бол квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, өмнөх догол мөрөнд хоёр талыг 100-д ​​хуваах замаар 1100 x 2 −400 x −600=0 тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжтой байсан.

Үүнтэй төстэй хувиргалтыг коэффициентүүд нь биш квадрат тэгшитгэлээр гүйцэтгэдэг. Энэ тохиолдолд бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваадаг үнэмлэхүй утгуудтүүний коэффициентүүд. Жишээ нь 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат тэгшитгэлийг авч үзье. түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хуваахад бид 2 x 2 −7 x+8=0 квадрат тэгшитгэлд хүрнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх нь бутархай коэффициентээс ангижрахын тулд ихэвчлэн хийгддэг. Энэ тохиолдолд үржүүлгийг түүний коэффициентүүдийн хуваагчаар гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг LCM(6, 3, 1)=6-аар үржүүлбэл илүү хялбар х 2 +4·x−18=0 хэлбэрийг авна.

Энэ зүйлийн төгсгөлд бид квадрат тэгшитгэлийн хамгийн өндөр коэффициент дэх хасах утгыг бүх гишүүний тэмдгийг өөрчилснөөр бараг үргэлж салдаг болохыг тэмдэглэж байгаа бөгөөд энэ нь хоёр талыг −1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) юм. Жишээлбэл, ихэвчлэн −2 x 2 −3 x+7=0 квадрат тэгшитгэлээс 2 x 2 +3 x−7=0 шийдэл рүү шилждэг.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хамаарал

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо нь тэгшитгэлийн язгуурыг коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Үндэс томъёонд үндэслэн та үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын бусад хамаарлыг олж авах боломжтой.

Вьетагийн теоремоос хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой томьёо нь ба хэлбэртэй байна. Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хараад бид язгуурын нийлбэр нь 7/3, язгуурын үржвэр нь 22-той тэнцүү гэж шууд хэлж болно. /3.

Аль хэдийн бичигдсэн томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондох бусад хэд хэдэн холболтыг олж авах боломжтой. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр нь илэрхийлж болно: .

Ном зүй.

• Алгебр:сурах бичиг 8-р ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 16 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 8-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 11-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2009. - 215 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01155-2.

ЦОГЦОЛБОР ДУГААР XI

§ 253. Сөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж авах.
Сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Бидний мэдэж байгаагаар,

би 2 = - 1.

Үүний зэрэгцээ

(- би ) 2 = (- 1 би ) 2 = (- 1) 2 би 2 = -1.

Тиймээс квадрат язгуурын дор хаяж хоёр утга байдаг - 1, тухайлбал би Тэгээд - би . Гэхдээ магадгүй өөр зүйл байгаа байх нийлмэл тоо, хэний квадрат нь - 1-тэй тэнцүү вэ?

Энэ асуултыг тодруулахын тулд комплекс тооны квадрат гэж үзье a + bi тэнцүү байна - 1. Дараа нь

(a + bi ) 2 = - 1,

А 2 + 2аби - б 2 = - 1

Хоёр цогц тоо нь зөвхөн бодит хэсгүүд ба төсөөллийн хэсгүүдийн коэффициентүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү байна. Тийм ч учраас

{	А 2 - б 2 = - 1 ab = 0 (1)

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийн дагуу (1) тоонуудын дор хаяж нэг нь А Тэгээд б тэг байх ёстой. Хэрэв б = 0, дараа нь бид эхний тэгшитгэлээс авна А 2 = - 1. Тоо А бодит, тиймээс А 2 > 0. Сөрөг бус тоо А 2 тэнцүү байж болохгүй сөрөг тоо- 1. Тиймээс тэгш байдал б Энэ тохиолдолд = 0 байх боломжгүй. Үүнийг хүлээн зөвшөөрөх нь хэвээр байна А = 0, гэхдээ дараа нь системийн эхний тэгшитгэлээс бид олж авна: - б 2 = - 1, б = ± 1.

Тиймээс квадрат нь -1 байх цорын ганц комплекс тоонууд байна би Тэгээд - би , Уламжлал ёсоор үүнийг дараах хэлбэрээр бичдэг.

√-1 = ± би .

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг ашигласнаар оюутнууд квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү яг хоёр тоо байгаа гэдэгт итгэлтэй байж болно. А . Ийм тоонууд нь √ байна а би ба -√ а би . Уламжлал ёсоор үүнийг дараах байдлаар бичдэг.

√- А = ± √ а би .

√-аас доош а энд бид арифметик, өөрөөр хэлбэл эерэг язгуурыг хэлж байна. Жишээлбэл, √4 = 2, √9 =.3; Тийм ч учраас

√-4 = + 2би , √-9 = ± 3 би

Өмнө нь сөрөг дискриминант бүхий квадрат тэгшитгэлийг авч үзэхдээ ийм тэгшитгэлүүд үндэсгүй гэж хэлж байсан бол одоо бид үүнийг хэлж чадахгүй. Сөрөг ялгаварлагчтай квадрат тэгшитгэлүүд нь нарийн төвөгтэй үндэстэй байдаг. Эдгээр үндэсийг бидэнд мэдэгдэж буй томъёоны дагуу олж авдаг. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг өгье x 2 + 2X + 5 = 0; Дараа нь

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 би .

Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: X 1 = - 1 +2би , X 2 = - 1 - 2би . Эдгээр үндэс нь харилцан уялдаатай байдаг. Тэдний нийлбэр нь - 2, үржвэр нь 5 тул Виетийн теорем биелдэг нь сонирхолтой юм.

Дасгал

2022. (Тогтоосон дугаар) Тэгшитгэлийг шийд:

A) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; 3 цагт x 2 = - 5.

2023. Квадрат нь тэнцүү бүх комплекс тоог ол.

A) би ; б) 1/2 - √ 3/2 би ;

2024. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Тэгшитгэлийн системийг шийд (No 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2х- 3y = 1 xy = 1

2027. Бодит коэффициент ба сөрөг дискриминанттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд харилцан нийлдэг болохыг батал.

2028. Виетийн теорем нь зөвхөн сөрөг бус дискриминанттай тэгшитгэлийн хувьд биш аливаа квадрат тэгшитгэлийн хувьд үнэн болохыг батал.

2029. Бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл зохиох ба язгуур нь:

а) X 1 = 5 - би , X 2 = 5 + би ; б) X 1 = 3би , X 2 = - 3би .

2030. Нэг язгуур нь (3 -) тэнцүү бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл зохио. би ) (2би - 4).

2031. Нэг язгуур нь тэнцүү бодит коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэл зохио. 32 - би
1- 3би .