Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлүүд. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл

Их сургуулийн оюутнууд ихэвчлэн мэдээлэл хайж байдаг Тэгшитгэлийн шийдийг хэрхэн олох вэ нийт дифференциалууд?". Энэ хичээлээс та олж авах болно бүрэн зааварчилгаанэмэх түлхүүр гардуулах шийдлүүд. Эхлээд товч танилцуулга - нийт дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ? Нийт дифференциалын тэгшитгэлийн шийдийг хэрхэн олох вэ?
Цаашдын шинжилгээ бэлэн жишээнүүд, үүний дараа танд энэ сэдвээр асуулт байхгүй байж магадгүй.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл

Тодорхойлолт 1. M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг гэнэ. нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, хэрэв тэнцүү тэмдгийн өмнөх хамаарал нь u(x,y) гэсэн хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал бол шударга томьёо
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (нэг)
Ийнхүү агуулгын хувьд анхны тэгшитгэл нь функцийн нийт дифференциал тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг юм
du(x,y)=0 .
Бидний олж авсан дифференциалыг нэгтгэх нийтлэг интеграл DU хэлбэрээр
u(x,y)=C. (2)
Тооцооллын хувьд, дүрмээр бол тогтмол нь тэгтэй тэнцүү байна.
Тооцооллын өмнө үргэлж асуулт гарч ирдэг "Өгөгдсөн DE нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг хэрхэн шалгах вэ?"
Энэ асуултын хариулт нь дараах нөхцөл юм.

Нийт дифференциал шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл

Нийт дифференциалын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл ньхэсэгчилсэн деривативуудын хоорондын тэгш байдал
(3)
Шийдвэр гаргахдаа дифференциал тэгшитгэлЭнэ нь юуны түрүүнд бидэнд нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байгаа эсэх, эсвэл өөр боломжтой эсэхийг тодорхойлохын тулд шалгадаг.
Агуулгын хувьд энэ нөхцөл нь функцийн холимог деривативууд хоорондоо тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Томъёонд хамаарлыг харгалзан үзнэ
(4)
шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлнийт дифференциал байгаа эсэххэлбэрээр бичиж болно

Өгөгдсөн шалгуурыг тэгшитгэлийг нийт дифференциалтай нийцэж байгаа эсэхийг шалгахдаа ашигладаг боловч энэ сэдвийг судлахдаа багш нар өөр төрлийн тэгшитгэл асуухгүй.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм

Функцийн нийт дифференциалын хэсэгчилсэн деривативуудын (4) тэмдэглэгээнээс үзэхэд бид интегралчлалаар u(x,y)-ийг олох боломжтой болно.

Эдгээр томьёо нь тооцоололд сонголт хийх боломжийг олгодог тул интегралчлалын хувьд интегралыг практикт олоход хялбар хэсэгчилсэн деривативыг сонгодог.
Цаашид хоёрдугаарт чухал цэг - тодорхойгүй интегралпрототип юмөөрөөр хэлбэл "+ C"-г тодорхойлно.
Тиймээс, хэрэв бид хэсэгчилсэн дериватив M (x, y) -ийг "x" -тэй харьцуулбал ган нь y-ээс хамаарах ба эсрэгээр - хэрэв бид N (x, y) -ийг y-тэй харьцуулбал ган нь дараахь зүйлээс хамаарна. "x".
Цаашилбал, тогтмолыг тодорхойлохын тулд u(x, y)-ийн деривативыг интеграл хийсэн хувьсагчаас өөр хувьсагчийн хувьд авч, хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативтай тэнцүүлнэ.
Томъёонд энэ нь иймэрхүү харагдах болно

Дүрмээр бол зарим нэр томъёог хялбаршуулсан бөгөөд бид тогтмолын деривативын тэгшитгэлийг олж авдаг. Эхний тэгшитгэлийн хувьд бид авна

Эцэст нь тогтмолыг тодорхойлсны дараа ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Тэгш хэмтэй хэлбэрээр бид өөр тэгшитгэлийн хариултыг авдаг.
Бичлэг хийх нь зөвхөн төвөгтэй мэт санагддаг, үнэндээ практик дээр бүх зүйл илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой харагдаж байна. Нийт дифференциалын хувьд дараах бодлогод дүн шинжилгээ хийнэ үү.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийн бэлэн хариултууд

Жишээ 1

Шийдэл: тэгшитгэлийн зүүн тал нь бүрэн дифференциалнөхцөлөөс хойш зарим функц

Эндээс хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг бич"x" -ээс

мөн интеграцчлалаар бид түүний хэлбэрийг олдог

Тогтмолыг тодорхойлох -д хамаарах функцийн хэсэгчилсэн деривативыг ол"y" ба тэгшитгэлийн утгатай тэнцэнэ

Бид баруун болон зүүн талд байгаа ижил төстэй нэр томъёог цуцалж, дараа нь интегралчлалаар тогтмолыг олдог

Одоо бидэнд бичих бүх тоо байна дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлзэрэг

Яаж баталгаажуулах вэ нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемЭнэ нь хэцүү биш бөгөөд хүн бүр үүнийг сурч чадна. Дифференциалын хүчин зүйлүүд нь шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг нэгтгэж, ялгах шаардлагатай байдаг тул чухал юм.

Жишээ 2. (6.18) Дифференциал тэгшитгэлийн интегралыг ол

Шийдэл: Онолын хувьд зүүн талТэгшитгэлийн утга нь нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгахын зэрэгцээ u(x,y) хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал байх ёстой.

Эндээс бид хэсэгчилсэн деривативыг авч, интегралаар дамжуулан функцийг олно

Бид хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцдог y ба дифференциал тэгшитгэлийн баруун талтай тэнцэнэ.

Дериватив нь хамаарлаар илэрхийлэгдэнэ

Тогтмолыг харгалзан бид хэлбэрээр олж авсан

Энэ тооцоогоор энэ жишээдууссан.

Жишээ 3 (6.20)Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэлийн зүүн тал нь нөхцөл байвал u(x; y) хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал байх болно.

Эндээс бид тэгшитгэлийг шийдэж эхэлнэ, эс тэгвээс хэсэгчилсэн деривативуудын аль нэгийг нэгтгэх болно

Дараа нь бид y хувьсагчтай холбоотой үүссэн функцын деривативыг олж, дифференциал хамаарлын баруун талтай тэнцүүлнэ.

Энэ нь y-ийн функц болох тогтмолыг олох боломжийг танд олгоно. Хэрэв бид дифференциал хамаарлыг илрүүлж эхэлбэл баруун тал, тэгвэл бид тогтмол нь x -ээс хамааралтай болохыг олж мэднэ. өөрчлөгдөхгүй бөгөөд өгөгдсөн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Энэ жишээ шийдэгдсэн. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлБид томъёог бичиж болно

Сэдвийг нэгтгэхийн тулд эдгээр тэгшитгэлүүд нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл мөн эсэхийг бие даан шалгаж, тэдгээрийг шийднэ үү.
Энд та язгуур функц, тригонометр, экспонент, логарифм, нэг үгээр хэлбэл модуль, шалгалтанд танаас хүлээж болох бүх зүйл байна.
Үүний дараа энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх нь танд илүү хялбар болно.
Дараагийн өгүүллээс та хэлбэрийн тэгшитгэлтэй танилцах болно
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
нийт дифференциал дахь тэгшитгэлтэй хангалттай төстэй боловч хэсэгчилсэн деривативуудын тэгш байдлын нөхцлийг хангадаггүй. Эдгээрийг нэгтгэх хүчин зүйлийг хайж олох замаар өгөгдсөн тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэл болгон үржүүлснээр тооцдог.

Маягтын дифференциал тэгшитгэлийн зүүн хэсэг нь заримдаа зарим функцийн нийт дифференциал байдаг. Хэрэв функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл олдоно. Энэ нийтлэлд бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх аргыг тайлбарлах болно. онолын материалжишээ, даалгавар өгөх Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтшийдлүүд.

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь нөхцөл хангагдсан тохиолдолд U(x, y) = 0 зарим функцийн нийт дифференциал юм.

U(x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал учир , тэгвэл хэрэв нөхцөл хангагдсан бол бид үүнийг баталж чадна . Үүний үр дүнд, .

Бидэнд байгаа системийн эхний тэгшитгэлээс . Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан функцийг олж болно.

Энэ нь хүссэн U(x, y) = 0 функцийг олох болно.

Жишээ авч үзье.

Жишээ.

Хай нийтлэг шийдвэрдифференциал тэгшитгэл .

Шийдэл.

Энэ жишээнд . Учир нь нөхцөл хангагдсан

тиймээс анхны дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн U(x, y) = 0 нийлбэр дифференциал болно. Бидний даалгавар бол энэ функцийг олох явдал юм.

Учир нь нь U(x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал юм, тэгвэл . Бид системийн эхний тэгшитгэлийг x-тэй харьцуулж, y-тэй холбоотой үр дүнг ялгадаг. . Нөгөө талаас системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид . Үүний үр дүнд,

Энд C нь дурын тогтмол юм.

Энэ замаар, анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь байна .

Функцийг нийт дифференциалаар нь олох өөр нэг арга бий. Энэ нь авахаас бүрдэнэ муруйн интегралТогтмол цэгээс (x 0 , y 0) хувьсах координаттай цэг хүртэл (x, y) : . Энэ тохиолдолд интегралын утга нь интегралын замаас хамаарахгүй. Холбоос нь координатын тэнхлэгтэй параллель байгаа тасархай шугамыг нэгтгэх зам болгон авах нь тохиромжтой.

Нэг жишээ авч үзье.

Жишээ.

Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол .

Шийдэл.

Нөхцөл байдлыг шалгая:

Ийнхүү дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн U(x, y) = 0 нийлбэр дифференциал юм. Энэ функцийг тооцоолох замаар олъё муруйн интеграл(1; 1) цэгээс (x, y) хүртэл . Полилайныг интегралын зам болгон авч үзье: бид (1, 1) цэгээс (x, 1) хүртэлх y = 1 шулуун шугамын дагуу олон шугамын эхний хэсгийг дамжуулж, замын хоёр дахь хэсгийг y = 1 цэгээс авна. (x, 1) цэгээс (x, y) хүртэл .

Тодорхойлолт 8.4.Маягтын дифференциал тэгшитгэл

хаана
нийт дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ийм тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал гэдгийг анхаарна уу
.

Ерөнхий тохиолдолд (8.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

(8.5) тэгшитгэлийн оронд тэгшитгэлийг авч үзэж болно

,

түүний шийдэл нь тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл (8.4). Тиймээс (8.4) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд функцийг олох шаардлагатай
. (8.4) тэгшитгэлийн тодорхойлолтын дагуу бид байна

(8.6)

Чиг үүрэг
Бид эдгээр нөхцлийн аль нэгийг (8.6) хангасан функцийг хайх болно:

хаана -аас хамааралгүй дурын функц юм .

Чиг үүрэг
илэрхийллийн хоёр дахь нөхцөл (8.6) хангагдсан байхаар тодорхойлогддог

(8.7)

(8.7) илэрхийллээс функц тодорхойлогдоно
. Үүнийг илэрхийлэлд орлуулж байна
анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг авна.

Асуудал 8.3.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Энд
.

Иймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна. Чиг үүрэг
Бид хэлбэрээр хайх болно

.

Нөгөө талаар,

.

Зарим тохиолдолд нөхцөл байдал
гүйцэтгэхгүй байж болно.

Дараа нь ийм тэгшитгэлийг интегралчлах хүчин зүйлээр үржүүлэх замаар авч үзэж буй төрөл болгон бууруулна. ерөнхий тохиолдол, нь зөвхөн функц юм эсвэл .

Хэрэв зарим тэгшитгэл нь зөвхөн хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй бол , дараа нь томъёогоор тодорхойлно

харьцаа хаана байна зөвхөн функц байх ёстой .

Үүний нэгэн адил интеграцийн хүчин зүйл нь зөвхөн хамаарна , томъёогоор тодорхойлогдоно

харьцаа хаана байна
зөвхөн функц байх ёстой .

Дээрх харьцаанд, эхний тохиолдолд хувьсагчийн байхгүй байх , хоёрдугаарт - хувьсагч , нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн интегралчлагч хүчин зүйл байгаагийн шинж тэмдэг юм.

Асуудал 8.4.Энэ тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэлд оруул.

.

Харилцааг авч үзье:

.

Сэдэв 8.2. Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт 8.5. Дифференциал тэгшитгэл
хэрэв хүссэн функцийн хувьд шугаман бол шугаман гэж нэрлэдэг , түүний дериватив мөн хүссэн функц болон түүний деривативын үржвэрийг агуулаагүй болно.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах хамаарлаар илэрхийлнэ.

(8.8)

Хэрэв (8.8) харьцаатай бол баруун тал
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Баруун талд байгаа тохиолдолд
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэг төрлийн бус гэж нэрлэдэг.

(8.8) тэгшитгэл нь квадратуудад интегралдах боломжтой гэдгийг харуулъя.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үздэг.

Ийм тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үнэхээр,

;

/

Сүүлийн хамаарал нь шугамын ерөнхий шийдлийг тодорхойлдог нэгэн төрлийн тэгшитгэл.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд тогтмолын деривативыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Аргын санаа нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй ижил хэлбэртэй боловч дурын тогтмол байдаг. зарим функцээр солигдсон
тодорхойлох. Тиймээс бидэнд байна:

(8.9)

(8.8)-д харгалзах илэрхийллийг орлуулах
болон
, бид авдаг

Сүүлийн илэрхийллийг (8.9) хамааралд орлуулснаар шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг авна.

Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл, шугаман нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэсэн хоёр квадратаар тодорхойлно.

Асуудал 8.5.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Тиймээс анхны тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна.

Эхний шатанд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно.

;

Хоёрдахь шатанд бид шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

,

хаана
нь тодорхойлох функц юм.

Тиймээс бидэнд байна:

-ын харьцааг орлуулах болон Анхны шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг олж авна.

;

;

.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна.

.

Нийт дифференциал дахь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(1) ,
Энд тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим U функцийн нийт дифференциал юм (х, у) x, y хувьсагч дээр:
.
Үүнд .

Хэрэв ийм функц байвал U (х, у), тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна.
dU (x, y) = 0.
Түүний ерөнхий интеграл:
У (x, y) = C,
Энд C нь тогтмол байна.

Хэрэв эхний эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг деривативаар бичвэл:
,
дараа нь үүнийг хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (1) . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг dx-ээр үржүүлнэ. Дараа нь . Үүний үр дүнд бид дифференциалаар илэрхийлсэн тэгшитгэлийг олж авна.
(1) .

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанар

Тэгшитгэл хийхийн тулд (1) Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл бөгөөд дараахь хамаарлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.
(2) .

Баталгаа

Цаашилбал, нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y-ийн зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна. x цэг 0 , y0мөн энэ бүсэд хамаарна.

Нөхцөл (2) шаардлагатайг баталцгаая..
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үзье (1) нь зарим U функцийн дифференциал юм (х, у):
.
Дараа нь
;
.
Хоёрдахь дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул
;
.
Тиймээс үүнийг дагадаг. Шаардлагатай нөхцөл (2) батлагдсан.

Нөхцөл (2) хангалттай гэдгийг баталъя..
Нөхцөл байцгаая (2) :
(2) .
Ийм U функцийг олох боломжтой гэдгийг харуулъя (х, у)түүний дифференциал нь:
.
Энэ нь ийм U функц байгаа гэсэн үг юм (х, у), тэгшитгэлийг хангадаг:
(3) ;
(4) .
Ийм функцийг олцгооё. Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-ээс x-ээр 0 y-г тогтмол гэж үзвэл x хүртэл:
;
;
(5) .
x-ийг тогтмол гэж үзээд у-д хамааруулан ялга (2) :

.
Тэгшитгэл (4) байвал гүйцэтгэнэ
.
y-ээс y дээр интеграл хийх 0 танд:
;
;
.
Орлуулах (5) :
(6) .
Тиймээс бид дифференциал нь байх функцийг оллоо
.
Хангалттай нь батлагдсан.

Томъёонд (6) , У (x0, y0)тогтмол байна - U функцийн утга (х, у) x цэг дээр 0 , y0. Энэ нь ямар ч утгыг оноож болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн таних вэ

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэл нь бүрэн дифференциал байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд та нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй (2) :
(2) .
Хэрэв энэ нь тохирч байвал энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл юм. Хэрэв тийм биш бол энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл биш юм.

Жишээ

Тэгшитгэл нийт дифференциал байгаа эсэхийг шалгана уу:
.

Шийдэл

Энд
, .
x-ийг тогтмол гэж үзвэл y-г ялгана:


.
Ялгах


.
Учир нь:
,
тэгээд өгөгдсөн тэгшитгэл- нийт дифференциалаар.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дараалсан дифференциал олборлох арга

Ихэнх энгийн аргатэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийдвэрлэх нь дифференциалыг дараалан гаргаж авах арга юм. Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциал хэлбэрээр бичсэн ялгах томъёог ашигладаг.
du ± dv = d (u±v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Эдгээр томъёонд u болон v нь хувьсагчдын дурын хослолоос бүрдсэн дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд:
.

Шийдэл

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциалд байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье:
(P1) .
Бид дифференциалыг дараалан тодруулах замаар тэгшитгэлийг шийддэг.
;
;
;
;

.
Орлуулах (P1):
;
.

Хариулт

Дараалсан интеграцийн арга

Энэ аргад бид U функцийг хайж байна (х, у), тэгшитгэлийг хангах:
(3) ;
(4) .

Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-д y-г тогтмол гэж үзвэл:
.
Энд φ (y)нь тодорхойлогдох y-ийн дурын функц юм. Энэ нь интеграцийн тогтмол зүйл юм. Бид тэгшитгэлд орлуулна (4) :
.
Эндээс:
.
Интеграцчилснаар бид φ-ийг олно (y)улмаар У (х, у).

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийд:
.

Шийдэл

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциалд байгааг олж мэдсэн. Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
, .
U функцийг хайж байна (х, у), дифференциал нь тэгшитгэлийн зүүн тал нь:
.
Дараа нь:
(3) ;
(4) .
Бид тэгшитгэлийг нэгтгэдэг (3) x-д y-г тогтмол гэж үзвэл:
(P2)
.
y-ийн хувьд ялгах:

.
Орлуулах (4) :
;
.
Бид нэгтгэдэг:
.
Орлуулах (P2):

.
Тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл:
У (x, y) = const.
Бид хоёр тогтмолыг нэг болгон нэгтгэдэг.

Хариулт

Муруй дагуу нэгтгэх арга

U функцийг хамаарлаар тодорхойлсон:
dU=p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Энэ тэгшитгэлийг цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу нэгтгэх замаар олж болно (x0, y0)болон (х, у):
(7) .
Учир нь
(8) ,
тэгвэл интеграл нь зөвхөн анхны координатаас хамаарна (x0, y0)ба эцсийн (х, у)оноо бөгөөд муруй хэлбэрээс хамаарахгүй. -аас (7) болон (8) бид олдог:
(9) .
Энд x 0 болон y 0 - байнгын. Тиймээс У (x0, y0)мөн тогтмол байна.

U-ийн ийм тодорхойлолтын жишээг нотлох баримтаас авсан болно.
(6) .
Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэ (x 0 , y 0 )цэг хүртэл (x0, у). Дараа нь цэгээс х тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу интеграцийг гүйцэтгэнэ (x0, у)цэг хүртэл (х, у) .

Илүү ерөнхий тохиолдолд цэгүүдийг холбосон муруйны тэгшитгэлийг илэрхийлэх шаардлагатай (x 0 , y 0 )болон (х, у)параметрийн хэлбэрээр:
x 1 = s(t1); y 1 = r(t1);
x 0 = s(t0); y 0 = r(t0);
x = s (t); y=r (t);
ба т дээр нэгтгэх 1 -аас т 0 т.

Хамгийн энгийн интеграци нь цэгүүдийг холбосон сегмент дээр байрладаг (x 0 , y 0 )болон (х, у). Энэ тохиолдолд:
x 1 \u003d x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 \u003d y 0 + (y - y 0) t 1;
т 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 \u003d (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Орлуулсны дараа t-ийн интегралыг авна 0 өмнө 1 .
Энэ аргаГэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.

Лавлагаа:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, LKI, 2015.