Тригонометрийн томъёо нь шийдлийн жишээ юм. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд , ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл, квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэл. Дээр дурдсан ажил бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: шийдэж буй асуудал нь ямар төрөлд хамаарахыг тогтоох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Мэдээжийн хэрэг, тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас хамаарна. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Үүнтэй адил өөр нөхцөл байдал үүсдэг тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтооход хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

By Гадаад төрхтэгшитгэл заримдаа түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Шийдэхийн тулд тригонометрийн тэгшитгэлТа оролдох хэрэгтэй:

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. өргөжүүлэх зүүн талүржүүлэгч тэгшитгэл гэх мэт.

Санаж үз тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2Томъёо ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах орлуулалт

Шийдлийн схем

1-р алхам.Аль нэгтэй нь харгалзах тэгшитгэлийг алгебрийн хэлбэрт оруул тригонометрийн функцууд.

Алхам 2Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4Урвуу орлуулалт хий.

Алхам 5Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 - нүгэл 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2 нь |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) нүгэл (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Эрчим хүчийг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино уу.

нүгэл 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos2x + cos2x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн схем

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруул

a) a sin x + b cos x = 0 ( нэгэн төрлийн тэгшитгэлнэгдүгээр зэрэг)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tg x-ийн тэгшитгэлийг ол:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Алхам 3Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 х + 3тг х - 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4, тиймээс

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Бүх төрлийн тригонометрийн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдэж болох тэгшитгэлд оруул.

Алхам 2Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их Хамгийн чухал нь тэдний хөгжилд оюутан, багш хоёроос ихээхэн хүчин чармайлт шаардагддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авсан олон мэдлэг, чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг заах үйл явцад чухал байр суурь эзэлдэг бөгөөд ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжилд ордог.

Танд асуух зүйл байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тухай ойлголт.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэг буюу хэд хэдэн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлд хөрвүүлнэ. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь эцсийн эцэст дөрвөн үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.

Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн шийдэл.

• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийн 4 төрөл байдаг.
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Тригонометрийн үндсэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нэгж тойрог дээрх янз бүрийн x байрлалыг харахаас гадна хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглана.
• Жишээ 1. sin x = 0.866. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: 2π/3. Санаж байгаарай: бүх тригонометрийн функцууд нь үе үе, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн утгууд давтагддаг. Жишээлбэл, sin x ба cos x-ийн үечлэл 2πn, tg x ба ctg x-ийн үечлэл πn байна. Тиймээс хариултыг дараах байдлаар бичсэн байна.
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Жишээ 2 cos x = -1/2. Хөрвүүлэх хүснэгт (эсвэл тооцоолуур) ашиглан та хариултыг авна: x = 2π/3. Нэгж тойрог нь өөр хариулт өгдөг: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Жишээ 3. tg (x - π/4) = 0.
• Хариулт: x \u003d π / 4 + πn.
• Жишээ 4. ctg 2x = 1.732.
• Хариулт: x \u003d π / 12 + πn.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг хувиргалтууд.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг хувиргахын тулд алгебрийн хувиргалтыг ашигладаг (факторжуулалт, бууралт нэгэн төрлийн гишүүдгэх мэт) ба тригонометрийн ижил төстэй байдал.
• Жишээ 5. Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан sin x + sin 2x + sin 3x = 0 тэгшитгэлийг 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 тэгшитгэлд хөрвүүлэв. Иймд дараах үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд гарч ирнэ. шийдвэрлэх шаардлагатай: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Өнцөг олох мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэфункцууд.

  • Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэж сурахаасаа өмнө функцүүдийн мэдэгдэж буй утгуудаас өнцгийг хэрхэн олохыг сурах хэрэгтэй. Үүнийг хөрвүүлэх хүснэгт эсвэл тооцоолуур ашиглан хийж болно.
  • Жишээ нь: cos x = 0.732. Тооцоологч х = 42.95 градусын хариултыг өгнө. Нэгж тойрог өгөх болно нэмэлт булангууд, косинус нь мөн 0.732-тай тэнцүү байна.

• Нэгж тойрог дээр уусмалыг хойш тавь.

  • Та нэгж тойрог дээр тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тавьж болно. Нэгж тойрог дээрх тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүд нь ердийн олон өнцөгтийн оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/3 + πn/2 шийдлүүд нь квадратын оройнууд юм.
  • Жишээ: Нэгж тойрог дээрх x = π/4 + πn/3 шийдлүүд нь жирийн зургаан өнцөгтийн оройнууд юм.

• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

  • Хэрэв өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал энэ тэгшитгэлийг үндсэн тригонометрийн тэгшитгэл болгон шийд. Хэрэв өгөгдсөн тэгшитгэлд хоёр ба түүнээс дээш тригонометрийн функц багтсан бол ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2 арга байдаг (түүний хувиргалтын боломжоос хамааран).
    • Арга 1
  • Энэ тэгшитгэлийг дараах хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга: f(x)*g(x)*h(x) = 0, f(x), g(x), h(x) нь үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлүүд юм.
  • Жишээ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл. sin 2x = 2*sin x*cos x давхар өнцгийн томьёог ашиглан sin 2x-ийг орлуул.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Одоо cos x = 0 ба (sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг cos 2x(2cos x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2cos x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
  • Жишээ 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Шийдэл: Тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан энэ тэгшитгэлийг -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл болгон хувирга. Одоо cos 2x = 0 ба (2sin x + 1) = 0 гэсэн хоёр үндсэн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
    • Арга 2
  • Өгөгдсөн тригонометрийн тэгшитгэлийг зөвхөн нэг тригонометрийн функц агуулсан тэгшитгэл болгон хувирга. Дараа нь энэ тригонометрийн функцийг зарим үл мэдэгдэх функцээр солино, жишээлбэл, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t гэх мэт).
  • Жишээ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Шийдэл. Энэ тэгшитгэлд (cos^2 x)-г (1 - sin^2 x)-ээр солино (тодорхойлолтын дагуу). Хувиргасан тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x-г t-ээр солино. Одоо тэгшитгэл нь: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Энэ бол t1 = -1 ба t2 = 9/5 гэсэн хоёр үндэстэй квадрат тэгшитгэл юм. Хоёрдахь язгуур t2 нь функцийн хүрээг хангахгүй (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Жишээ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Шийдэл. tg x-г t-ээр солино. Анхны тэгшитгэлийг дахин бичнэ үү дараах хэлбэр: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Одоо t-г олоод t = tg x-ийн хувьд x-г ол.

Олон асуудлыг шийдэхэд математикийн асуудлууд, ялангуяа 10-р ангиас өмнө тохиолдсон үйлдлүүд нь зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхой тодорхойлсон байдаг. Ийм бодлогод жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл, бутархай тэгшитгэл, квадрат болж буурдаг тэгшитгэл орно. Дээр дурдсан ажил бүрийг амжилттай шийдвэрлэх зарчим нь дараах байдалтай байна: шийдэж буй асуудал нь ямар төрөлд хамаарахыг тогтоох, хүссэн үр дүнд хүргэх шаардлагатай үйлдлүүдийн дарааллыг санах хэрэгтэй, жишээлбэл. хариулж, эдгээр алхмуудыг дагана уу.

Мэдээжийн хэрэг, тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд амжилт эсвэл бүтэлгүйтэл нь шийдэгдэж буй тэгшитгэлийн төрлийг хэрхэн зөв тодорхойлсон, түүний шийдлийн бүх үе шатуудын дарааллыг хэр зөв гаргаж байгаагаас хамаарна. Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай байх шаардлагатай.

Үүнтэй адил өөр нөхцөл байдал үүсдэг тригонометрийн тэгшитгэл.Тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтооход хэцүү биш юм. Зөв хариулт өгөхөд хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг тодорхойлоход бэрхшээлтэй тулгардаг.

Заримдаа тэгшитгэлийн дүр төрхөөр түүний төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг мэдэхгүй бол хэдэн арван тригонометрийн томъёоноос зөвийг нь сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг оролдох ёстой.

1. тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;
2. тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;
3. тэгшитгэлийн зүүн талыг үржүүлэх гэх мэт.

Санаж үз тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

I. Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү буулгах

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцийг мэдэгдэж буй бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийл.

Алхам 2Томъёо ашиглан функцийн аргументыг ол:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Алхам 3Үл мэдэгдэх хувьсагчийг ол.

Жишээ.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шийдэл.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Хариулт: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Хувьсах орлуулалт

Шийдлийн схем

1-р алхам.Тригонометрийн функцүүдийн аль нэгтэй нь хамааруулан тэгшитгэлийг алгебрийн хэлбэрт оруул.

Алхам 2Үүссэн функцийг t хувьсагчаар тэмдэглэнэ (шаардлагатай бол t дээр хязгаарлалт оруулна).

Алхам 3Үүссэн алгебрийн тэгшитгэлийг бичиж, шийд.

Алхам 4Урвуу орлуулалт хий.

Алхам 5Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Шийдэл.

1) 2(1 - нүгэл 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Гүн (x/2) = t, энд |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 эсвэл e = -3/2 нь |t| нөхцөлийг хангахгүй ≤ 1.

4) нүгэл (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Хариулт: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Тэгшитгэлийн эрэмбийг багасгах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Эрчим хүчийг бууруулах томъёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлээр солино уу.

нүгэл 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Алхам 2Гарсан тэгшитгэлийг I ба II аргыг ашиглан шийд.

Жишээ.

cos2x + cos2x = 5/4.

Шийдэл.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Хариулт: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэл

Шийдлийн схем

1-р алхам.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруул

a) a sin x + b cos x = 0 (эхний зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл)

эсвэл харах

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл).

Алхам 2Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

tg x-ийн тэгшитгэлийг ол:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Алхам 3Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Шийдэл.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 х + 3тг х - 4 = 0.

3) tg x = t гэж үзье

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 эсвэл t = -4, тиймээс

tg x = 1 эсвэл tg x = -4.

Эхний тэгшитгэлээс x = π/4 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Хариулт: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометрийн томъёо ашиглан тэгшитгэлийг хувиргах арга

Шийдлийн схем

1-р алхам.Бүх төрлийн тригонометрийн томьёог ашиглан энэ тэгшитгэлийг I, II, III, IV аргуудаар шийдэж болох тэгшитгэлд оруул.

Алхам 2Мэдэгдэж буй аргуудыг ашиглан үүссэн тэгшитгэлийг шийд.

Жишээ.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Шийдэл.

1) (нүгэл х + гэм 3х) + нүгэл 2х = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 эсвэл 2cos x + 1 = 0;

Эхний тэгшитгэлээс 2x = π/2 + πn, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс cos x = -1/2.

Бидэнд x = π/4 + πn/2, n Є Z; хоёр дахь тэгшитгэлээс x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Үүний үр дүнд x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Хариулт: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх чадвар, ур чадвар маш их Хамгийн чухал нь тэдний хөгжилд оюутан, багш хоёроос ихээхэн хүчин чармайлт шаардагддаг.

Стереометр, физик гэх мэт олон асуудлууд тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй холбоотой байдаг.Ийм асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц нь тригонометрийн элементүүдийг судлах явцад олж авсан олон мэдлэг, чадварыг агуулдаг.

Тригонометрийн тэгшитгэл нь математикийг заах үйл явцад чухал байр суурь эзэлдэг бөгөөд ерөнхийдөө хувь хүний ​​​​хөгжилд ордог.

Танд асуух зүйл байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулбарласан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

"Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

1С-ийн 10-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик байгуулагч 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл - тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдах тэгшитгэл.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтана.

1) Хэрэв |а|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |а|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь Т(kx+m)=a, T- дурын тригонометрийн функц хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ​​((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n - n-ийн хүчийг хасах нэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад бид тэгшитгэлийн язгуурын тооцоонд шууд очно.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид 3x- π/3=arctg(√3)+ πk хэлбэрээр бичнэ. arctg(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Бид шийднэ ерөнхий үзэлбидний тэгшитгэл: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k хувьд k=0, x= π/16 хувьд бид өгөгдсөн сегментэд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад тэд дахин цохив.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оноогүй, энэ нь том k-г ч онохгүй гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг оруулах аргыг ашигладаг.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Үндсийг нь олъё квадрат тэгшитгэл: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй болсон, түүний үндсийг олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0 болно.

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үүнийг cos(x)-д хуваана: Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол косинусыг хуваах боломжгүй, энэ нь тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилтэй байгаа тул бид аюулгүйгээр хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гарга: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 хувьд x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент нь хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a \u003d 0 бол бидний тэгшитгэл cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ нь өмнөх хувилбар дээр байна. слайд

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж тэгшитгэлийг авна.

Жишээ №3-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваа.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ: t 2 + 2 t - 3 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол: t=-3 ба t=1

Дараа нь: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Хариулт: x=-arctg(3) + πk ба x= π/4+ πk

Жишээ №4-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид ийм тэгшитгэлийг шийдэж чадна: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Хариулт: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Жишээ №5-ыг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулж байна.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд байх болно: t=-2 ба t=1/2

Дараа нь бид: tg(2x)=-2 ба tg(2x)=1/2 болно
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Хариулт: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ба x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

1) Тэгшитгэлийг шийд

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Тэгшитгэлийг шийд: sin(3x)= √3/2. Мөн сегмент дэх бүх үндсийг [π/2; π].

3) Тэгшитгэлийг шийд: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Тэгшитгэлийг шийд: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Тэгшитгэлийг шийд: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын харьцааг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарладаг. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь - олон өнцгийн функцууд, бусад нь - градусыг бууруулах, дөрөв дэх нь - хагас өнцгийн тангенсаар бүх функцийг илэрхийлэх гэх мэт.

Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томъёог дарааллаар нь жагсаав. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.

Хуудасны навигаци.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууднэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн хоорондын хамаарлыг тогтоох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг нөгөөгөөр нь илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.

Дамжуулах томъёо

Дамжуулах томъёосинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, мөн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.

Нэмэлт томъёо

Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр буюу зөрүүний тригонометрийн функцуудыг эдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гарган авах үндэс болно.

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томьёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.

Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг.

Хагас өнцгийн томъёо

Хагас өнцгийн томъёохагас өнцгийн тригонометрийн функцууд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.

Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.

Бууруулах томъёо

Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёошилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой байгалийн зэрэгтригонометрийн функцууд нь синус ба косинусыг нэгдүгээр зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл бууруулах боломжийг олгодог.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

гол очих газар тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгаварын томьёоТригонометрийн илэрхийлэлийг хялбарчлахад маш их хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү шилжихээс бүрддэг. Эдгээр томьёо нь синусын болон косинусын нийлбэр, зөрүүг хүчин зүйлээр ялгах боломжийг олгодог тул тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг.

Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр буюу зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёогоор гүйцэтгэдэг.

Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Гэгээрэл, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.

Алгебрболон шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 эсийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorova.- 14-р хэвлэл.- М.: Гэгээрэл, 2004.- 384 х.: илл.- ISBN 5-09-013651-3.

Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Www.website-ийн ямар ч хэсэг, үүнд дотоод материалболон гадаад дизайнЗохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр аливаа хэлбэрээр хуулбарлахыг хориглоно.