Тоон тэгш бус байдал ба тэдгээрийн шинж чанарууд. Онлайн тооцоолуур. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: шугаман, дөрвөлжин, бутархай
Бүх бодит тоонуудын багцыг эерэг тооны олонлог, сөрөг тоонуудын багц, нэг тооноос бүрдэх олонлог - тэг тоо гэсэн гурван багцын нэгдэл хэлбэрээр илэрхийлж болно. Тоо гэдгийг харуулахын тулд аэерэг, бичлэгийг сайхан өнгөрүүлээрэй a > 0, сөрөг тоог харуулахын тулд өөр бичлэг ашиглана уу а< 0 .
Эерэг тоонуудын нийлбэр ба үржвэр нь мөн эерэг тоо юм. Хэрэв дугаар асөрөг, дараа нь тоо -аэерэг (ба эсрэгээр). Аливаа эерэг тооны хувьд эерэг рационал тоо байна r, юу r< а . Эдгээр баримтууд нь тэгш бус байдлын онолын үндэс суурь болдог.
Тодорхойлолтоор, тэгш бус байдал a > b (эсвэл тэнцүү, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, өөрөөр хэлбэл a - b тоо эерэг байвал.
Ялангуяа тэгш бус байдлыг авч үзье а< 0 . Энэ тэгш бус байдал нь юу гэсэн үг вэ? Дээрх тодорхойлолтоор бол тэр гэсэн үг 0 - a > 0, өөрөөр хэлбэл -a > 0эсвэл өөр ямар тоо -аэерэгээр. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тоо байгаа тохиолдолд л тохиолддог асөрөг. Тиймээс тэгш бус байдал а< 0 тоо гэсэн үг гэхдээ сөрөг.
Ихэнхдээ тэмдэглэгээг бас ашигладаг ab(эсвэл аль нь адилхан, ба).
Бичлэг хийж байна ab, тодорхойлолтоор бол аль аль нь гэсэн үг a > b, эсвэл a = b. Хэрэв бид оруулгыг авч үзвэл abтодорхой бус саналын хувьд математик логикийн тэмдэглэгээнд бичиж болно
(a b) [(a > b) V (a = b)]
Жишээ 1 5 0, 0 0 тэгш бус байдал зөв үү?
Тэгш бус байдал 5 0 гэдэг нь логик холбогч "эсвэл" (дизьюнкц) -ээр холбогдсон хоёр энгийн хэллэгээс бүрдэх цогц мэдэгдэл юм. 5 > 0 эсвэл 5 = 0. Эхний мэдэгдэл 5 > 0 үнэн, хоёр дахь мэдэгдэл 5 = 0 худал. Дизьюнкцийн тодорхойлолтоор ийм нийлмэл мэдэгдэл үнэн юм.
Бичлэг 00-ийн талаар мөн адил хэлэлцдэг.
Маягтын тэгш бус байдал a > b, a< b хатуу, хэлбэрийн тэгш бус байдал гэж нэрлэгдэх болно ab, ab- хатуу бус.
тэгш бус байдал a > bболон в > г(эсвэл а< b болон -тай< d ) ижил утгатай тэгш бус байдал, тэгш бус байдал гэж нэрлэгдэх болно a > bболон в< d - эсрэг утгатай тэгш бус байдал. Эдгээр хоёр нэр томьёо (ижил ба эсрэг утгатай тэгш бус байдал) нь зөвхөн тэгш бус байдлыг бичих хэлбэрийг хэлдэг болохоос эдгээр тэгш бус байдлын илэрхийлсэн баримтуудыг биш гэдгийг анхаарна уу. Тэгэхээр тэгш бус байдалтай холбоотой а< b тэгш бус байдал -тай< d нь ижил утгатай тэгш бус байдал бөгөөд бичгээр d > в(ижил утгатай) - эсрэг утгатай тэгш бус байдал.
Маягтын тэгш бус байдлын хамт a > b, abдавхар тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгш бус байдлыг ашигладаг а< с < b
, хөзрийн тамга< b
, а< cb
,
аcb. Тодорхойлолтоор бол оруулга
а< с < b
(1)
Энэ нь хоёр тэгш бус байдал хоёулаа байна гэсэн үг:
а< с болон -тай< b.
Тэгш бус байдал нь ижил утгатай acb, ac< b, а < сb.
Давхар тэгш бус байдлыг (1) дараах байдлаар бичиж болно.
(а< c < b) [(a < c) & (c < b)]
ба давхар тэгш бус байдал a ≤ c ≤ bдараах хэлбэрээр бичиж болно.
(а в б) [(а< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Одоо тэгш бус байдлын талаархи үйл ажиллагааны үндсэн шинж чанар, дүрмийн танилцуулгыг үргэлжлүүлж, энэ нийтлэлд үсгүүд байгаа гэдгийг хүлээн зөвшөөрч байна. a, b, cбодит тоонуудыг төлөөлөх ба nнатурал тоо гэсэн үг.
1) Хэрэв a > b ба b > c бол a > c (дамжилтын чадвар).
Баталгаа.
Учир нь нөхцөл байдлын дагуу a > bболон b > в, дараа нь тоонууд а - бболон б - вэерэг, улмаар тоо a - c \u003d (a - b) + (b - c), эерэг тоонуудын нийлбэр нь мөн эерэг байна. Энэ нь тодорхойлолтоор бол гэсэн үг a > в.
2) Хэрэв a > b бол дурын c хувьд a + c > b + c тэгш бус байдал биелнэ.
Баталгаа.
Учир нь a > b, дараа нь тоо а - бэерэгээр. Тиймээс тоо (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bбас эерэг, өөрөөр хэлбэл.
a + c > b + c.
3) Хэрэв a + b > c бол a > b - c,өөрөөр хэлбэл, энэ нэр томъёоны тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх замаар тэгш бус байдлын нэг хэсгээс нөгөөд шилжүүлж болно.
2) өмчөөс нотлох баримт нь тэгш бус байдлын хоёр хэсэгт хангалттай a + b > cтоо нэмнэ - б.
4) Хэрэв a > b ба c > d бол a + c > b + d,өөрөөр хэлбэл, ижил утгатай хоёр тэгш бус байдлыг нэмбэл ижил утгатай тэгш бус байдал гарна.
Баталгаа.
Тэгш бус байдлын тодорхойлолтоор ялгааг харуулахад хангалттай
(a + в) - (б + в)эерэг. Энэ ялгааг дараах байдлаар бичиж болно.
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Учир нь тооны нөхцөлөөр а - бболон в - гэерэг байна, тэгвэл (a + c) - (b + d)мөн эерэг тоо.
Үр дагавар. Дүрэм 2) ба 4) гэсэн утгатай дараагийн дүрэмтэгш бус байдлыг хасах: хэрэв a > b, c > d, дараа нь a - d > b - c(Баталгаажуулахын тулд энэ нь тэгш бус байдлын хоёр хэсэгт хангалттай a + c > b + dтоо нэмнэ - в - г).
5) Хэрэв a > b бол c > 0-ийн хувьд бид ac > bc, харин в нь байна< 0 имеем ас < bc.
Өөрөөр хэлбэл, тэгш бус байдлын аль аль хэсгийг үржүүлэхэд эерэг тоо гарахгүй бол тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдана (жишээ нь ижил утгатай тэгш бус байдал үүснэ), үржүүлбэл сөрөг тоотэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр (өөрөөр хэлбэл эсрэг утгатай тэгш бус байдлыг олж авна).
Баталгаа.
Хэрвээ a > b, дараа нь а - бэерэг тоо юм. Тиймээс ялгааны тэмдэг ac-bc = такси)тооны тэмдэгтэй таарч байна -тай: хэрэв -тайэерэг тоо, дараа нь зөрүү ac - МЭӨэерэг, тиймээс ac > BC, Хэрвээ -тай< 0 , тэгвэл энэ ялгаа сөрөг бөгөөд тиймээс bc - acэерэг, өөрөөр хэлбэл. bc > ac.
6) Хэрэв a > b > 0 ба c > d > 0 бол ac > bd,өөрөөр хэлбэл, ижил утгатай хоёр тэгш бус байдлын бүх гишүүн эерэг байвал эдгээр тэгш бус байдлыг гишүүнээр үржүүлэхэд ижил утгатай тэгш бус байдал үүсдэг.
Баталгаа.
Бидэнд байгаа ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Учир нь c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, дараа нь ac - bd > 0, өөрөөр хэлбэл ac > bd.
Сэтгэгдэл.Нөхцөл байгаа нь нотлох баримтаас тодорхой харагдаж байна d > 0өмчийн томъёололд 6) чухал биш: энэ өмч үнэн байхын тулд нөхцөл нь хангалттай байх болно. a > b > 0, c > d, c > 0. Хэрэв (хэрэв тэгш бус байдал a > b, c > d) тоо a, b, cбүгд эерэг биш, тэгвэл тэгш бус байдал ac > bdгүйцэтгэхгүй байж болно. Жишээлбэл, хэзээ а = 2, б =1, в= -2, г= -3 бидэнд байна a > b, c > г, гэхдээ тэгш бус байдал ac > bd(жишээ нь -4 > -3) амжилтгүй болсон. Тиймээс 6) өмчийн тайланд a, b, c тоо эерэг байх ёстой гэсэн шаардлага зайлшгүй чухал юм.
7) Хэрэв a ≥ b > 0 ба c > d > 0 бол (тэгш бус байдлын хуваагдал).
Баталгаа.
Бидэнд байгаа 
Баруун талд байгаа бутархайн тоо эерэг (шинж чанар 5), 6)), хуваагч нь мөн эерэг байна. Үүний үр дүнд,. Энэ нь өмчийг нотолж байна 7).
Сэтгэгдэл.Бид нэг чухал зүйлийг тэмдэглэж байна онцгой тохиолдолдүрэм 7) a = b = 1 үед олж авсан: хэрэв c > d > 0 бол. Тиймээс, хэрэв тэгш бус байдлын нөхцлүүд эерэг байвал харилцан хамаарал руу шилжих үед бид эсрэг утгатай тэгш бус байдлыг олж авна. Бид уншигчдыг энэ дүрэм 7-д хадгалагдаж байгаа эсэхийг шалгахыг урьж байна) Хэрэв ab > 0 ба c > d > 0 байвал (тэгш бус байдлын хуваагдал).
Баталгаа. тэгээд.
Тэмдгээр бичсэн тэгш бус байдлын хэд хэдэн шинж чанарыг бид дээр нотолсон > (илүү их). Гэсэн хэдий ч эдгээр бүх шинж чанарыг тэмдгийг ашиглан томъёолж болно < (бага), тэгш бус байдлаас хойш б< а гэдэг нь тодорхойлолтоор тэгш бус байдалтай ижил утгатай a > b. Түүнээс гадна шалгахад хялбар байдаг тул дээр дурдсан шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд хадгалагдана. Жишээлбэл, 1) хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд өмч байх болно дараагийн харах: хэрэв ab ба МЭӨ, дараа нь хөзрийн тамга.
Мэдээжийн хэрэг, тэгш бус байдлын ерөнхий шинж чанарууд нь дээр дурдсан зүйлсээр хязгаарлагдахгүй. Одоо ч байгаа бүхэл бүтэн шугамтэгш бус байдал ерөнхий үзэлхүчийг харгалзан үзэхтэй холбоотой, экспоненциал, логарифм болон тригонометрийн функцууд. Ерөнхий хандлагаЭнэ төрлийн тэгш бус байдлыг бичихэд дараах байдалтай байна. Хэрэв зарим функц у = f(x)сегмент дээр монотоноор нэмэгддэг [a,b], тэгвэл x 1 > x 2-ын хувьд (х 1 ба x 2 нь энэ сегментэд хамаарах) бидэнд f байна. (x 1) > f(x 2). Үүний нэгэн адил, хэрэв функц у = f(x)сегмент дээр монотон буурдаг [a,b], дараа нь цагт x 1 > x 2 (хаана x 1болон X 2 нь энэ сегментэд хамаарах) бидэнд байна f(x1)< f(x 2 ). Мэдээжийн хэрэг, хэлсэн зүйл нь монотон байдлын тодорхойлолтоос ялгаатай биш боловч энэ техник нь тэгш бус байдлыг цээжлэх, бичихэд маш тохиромжтой.
Тиймээс, жишээлбэл, ямар ч натурал n функцийн хувьд y = x nтуяанд монотон нэмэгдэж байна . Дараах жишээнд ийм хаалт ашиглаж байна.
Хариултаа бичье: x ≥ -0,5 интервалаар:
x ∈ [-0.5; +∞)
Уншсан: x нь хасах 0.5 хүртэлх интервалд хамаарна, үүнд,нэмэх хязгаар хүртэл.
Хязгааргүй байдал хэзээ ч асахгүй. Энэ бол тоо биш, бэлгэдэл юм. Иймд ийм оруулгуудад хязгааргүй байдал үргэлж хашилттай зэрэгцэн оршдог.
Энэ бичлэгийн хэлбэр нь хэд хэдэн цоорхойноос бүрдсэн нарийн төвөгтэй хариултуудад тохиромжтой. Гэхдээ - зөвхөн эцсийн хариултуудын хувьд. Цаашдын шийдэл хүлээгдэж буй завсрын үр дүнд энгийн тэгш бус байдлын хэлбэрээр ердийн хэлбэрийг ашиглах нь дээр. Үүнийг бид холбогдох сэдвүүдээр авч үзэх болно.
Тэгш бус байдал бүхий түгээмэл даалгаврууд.
Шугаман тэгш бус байдал нь өөрөө энгийн. Тиймээс даалгавар нь ихэвчлэн илүү хэцүү болдог. Тиймээс энэ нь зайлшгүй шаардлагатай байсан гэж бодож байна. Хэрэв энэ нь зуршлаас гарсан бол тийм ч таатай биш юм.) Гэхдээ энэ нь ашигтай. Би ийм даалгаврын жишээг харуулах болно. Тэднийг сурахын тулд биш, энэ нь илүүц юм. Үүнтэй төстэй жишээнүүдтэй уулзахдаа айхгүй байхын тулд. Бага зэрэг бодсон - тэгээд бүх зүйл энгийн!)
1. 3x - 3 тэгш бус байдлын дурын хоёр шийдийг ол< 0
Хэрэв юу хийх нь тодорхойгүй байвал математикийн үндсэн дүрмийг санаарай.
Хэрэв та юу хийхээ мэдэхгүй байгаа бол чадах бүхнээ хий!
X < 1
Тэгээд юу гэж? Гоц гойд зүйлгүй. Биднээс юу асууж байна вэ? Тэгш бус байдлын шийдэл болох хоёр тодорхой тоог олохыг биднээс хүсдэг. Тэдгээр. хариултанд тохирно. Хоёр ямар чтоо. Үнэндээ энэ нь ичмээр юм.) 0 ба 0.5 гэсэн хосууд тохиромжтой. Хос -3 ба -8. Тийм ээ, эдгээр хосуудын тоо хязгааргүй олон байдаг! Зөв хариулт юу вэ?!
Би хариулдаг: бүх зүйл! Дурын хос тоо, тус бүр нь нэгээс бага, зөв хариулт байх болно.Хүссэн зүйлээ бичээрэй. Цаашаа явцгаая.
2. Тэгш бус байдлыг шийд:
4х - 3 ≠ 0
Ийм ажил ховор. Гэхдээ туслах тэгш бус байдлын хувьд жишээлбэл, ODZ-ийг олох эсвэл функцийн домэйныг олох үед тэдгээр нь байнга тулгардаг. Ийм шугаман тэгш бус байдлыг энгийн шугаман тэгшитгэл болгон шийдэж болно. Зөвхөн "=" тэмдгээс бусад бүх газар ( тэнцүү байна) тэмдэг тавих ≠ " (тэнцүү биш). Тиймээс та тэгш бус байдлын тэмдэг бүхий хариултанд хүрэх болно:
X ≠ 0,75
Илүү нарийн төвөгтэй жишээн дээр аливаа зүйлийг өөрөөр хийх нь дээр. Тэгш бус байдлыг тэнцүү болго. Үүн шиг:
4х - 3 = 0
Үүнийг заасны дагуу тайван шийдэж, хариултыг аваарай:
x = 0.75
Хамгийн гол нь эцсийн хариултыг бичихдээ бид x-г олсон гэдгийг мартаж болохгүй. тэгш байдал.Мөн бидэнд хэрэгтэй - тэгш бус байдал.Тиймээс бидэнд энэ X хэрэггүй.) Мөн бид үүнийг зөв дүрсээр бичих хэрэгтэй:
X ≠ 0,75
Энэ арга нь алдаа багатай байдаг. Машин дээр тэгшитгэлийг шийддэг хүмүүс. Тэгшитгэлийг шийддэггүй хүмүүсийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэндээ ашиггүй юм ...) Алдартай даалгаврын өөр нэг жишээ:
3. Тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл шийдийг ол:
3(x - 1) < 5x + 9
Нэгдүгээрт, бид зүгээр л тэгш бус байдлыг шийддэг. Бид хаалт нээж, шилжүүлж, ижил төстэй зүйлийг өгдөг ... Бид дараахь зүйлийг авна.
X > - 6
Болоогүй гэж үү!? Та тэмдгүүдийг дагасан уу? Мөн гишүүдийн тэмдгийн ард, тэгш бус байдлын тэмдгийн ард ...
Дахин төсөөлье. Бид хариулт болон нөхцөлийн аль алинд нь тохирох тодорхой тоог олох хэрэгтэй "хамгийн жижиг бүхэл тоо".Хэрэв энэ нь танд шууд харагдахгүй бол та зүгээр л ямар ч тоог аваад үүнийг олж мэдэх боломжтой. Хоёр хасах зургаагаас их үү? Мэдээжийн хэрэг! Тохиромжтой бага тоо байна уу? Мэдээжийн хэрэг. Жишээлбэл, тэг нь -6-аас их байна. Тэгээд бүр бага уу? Бидэнд хамгийн бага зүйл хэрэгтэй! Гурав хасвал зургаагаас их байна! Та аль хэдийн хэв маягийг барьж аваад тоонуудыг тэнэглэхээ больж чадна, тийм үү?)
Бид -6-д ойртсон тоог авдаг. Жишээлбэл, -5. Хариултыг гүйцэтгэсэн, -5 > - 6. -5-аас бага боловч -6-аас их өөр тоог олох уу? Та жишээ нь -5.5 ... Зогс! Бидэнд хэлсэн бүхэлд ньшийдэл! -5.5 өнхрөхгүй! Хасах зургаа яах вэ? Ээ! Тэгш бус байдал нь хатуу, хасах 6 нь хасах 6-аас багагүй!
Тэгэхээр зөв хариулт нь -5 байна.
-аас үнэ цэнийн сонголттой гэж найдаж байна нийтлэг шийдэлбүгд ойлгомжтой. Өөр нэг жишээ:
4. Тэгш бус байдлыг шийд:
7 < 3x+1 < 13
Хэрхэн! Ийм илэрхийлэл гэж нэрлэдэг гурвалсан тэгш бус байдал.Хатуухан хэлэхэд энэ нь тэгш бус байдлын системийн товчилсон тэмдэглэгээ юм. Гэхдээ та зарим даалгаварт ийм гурвалсан тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй хэвээр байна ... Энэ нь ямар ч системгүйгээр шийдэгддэг. Үүнтэй ижил өөрчлөлтүүдээр.
Үүнийг хялбарчилж, энэ тэгш бус байдлыг цэвэр X-д хүргэх шаардлагатай. Харин... Юуг хаашаа шилжүүлэх вэ!? Зүүнээс баруун тийш шилжих нь энд байна гэдгийг санах цаг болжээ богиносгосон хэлбэранхны ижил өөрчлөлт.
ГЭХДЭЭ урт хэлбэриймэрхүү сонсогдож байна: Та тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт (тэгш бус байдал) дурын тоо эсвэл илэрхийлэл нэмэх / хасах боломжтой.
Энд гурван хэсэг байна. Тиймээс бид бүх гурван хэсэгт ижил өөрчлөлтүүдийг хийх болно!
Тэгэхээр тэгш бус байдлын дунд байгаа нэгийг хасъя. Бүхэл бүтэн дунд хэсгээс нэгийг хас. Тэгш бус байдал өөрчлөгдөхгүйн тулд үлдсэн хоёр хэсгээс нэгийг хасна. Үүн шиг:
7 -1< 3х+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Аль хэдийн илүү сайн, тийм үү?) Гурван хэсгийг гурван хэсэгт хуваах нь хэвээр байна:
2 < X < 4
Тэгээд л болоо. Энэ бол хариулт юм. X нь хоёроос (үүнд ороогүй) дөрөв (оролцоогүй) хүртэлх дурын тоо байж болно. Энэ хариултыг мөн интервалаар бичсэн бөгөөд ийм оруулгууд квадрат тэгш бус байдалд байх болно. Тэнд тэд хамгийн нийтлэг зүйл юм.
Хичээлийн төгсгөлд би хамгийн чухал зүйлийг давтах болно. Шугаман тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх амжилт нь шугаман тэгшитгэлийг хувиргах, хялбарчлах чадвараас хамаарна. Хэрэв нэгэн зэрэг тэгш бус байдлын тэмдгийг дагаж,ямар ч асуудал гарахгүй. Би чамд юу хүсч байна. асуудалгүй.)
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)
функц болон деривативтай танилцах боломжтой.
Бодит тоонуудын талбар нь дарааллын шинж чанартай (6-р зүйл, х. 35): дурын a, b тоонуудын хувьд гурван харилцааны нэг нь л хийгдэнэ: эсвэл . Энэ тохиолдолд a > b тэмдэглэгээ нь зөрүү эерэг, тэмдэглэгээний зөрүү сөрөг байна гэсэн үг юм. Бодит тооны талбараас ялгаатай талбар нийлмэл тооэрэмбэлэгдээгүй: нийлмэл тоонуудын хувьд "илүү" ба "бага" гэсэн ойлголтууд тодорхойлогдоогүй; тиймээс энэ бүлэгт зөвхөн бодит тоонуудыг авч үзнэ.
Бид харилцааг тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг, a ба b тоонууд нь тэгш бус байдлын гишүүд (эсвэл хэсгүүд), > (илүү) тэмдгүүд ба a > b ба c > d тэгш бус байдлыг ижил (эсвэл ижил) утгатай тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг; тэгш бус байдал a > b ба c Тэгш бус байдлын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ
1) тэгээс их эерэг тоо;
2) тэгээс бага сөрөг тоо;
3) аливаа эерэг тоо нь сөрөг тооноос их;
4) хоёр сөрөг тооноос үнэмлэхүй утга нь бага байх нь их байна.
Эдгээр бүх мэдэгдлүүд нь энгийн геометрийн тайлбарыг хүлээн зөвшөөрдөг. Тооны тэнхлэгийн эерэг чиглэлийг эхлэлийн цэгийн баруун талд явуулна; тэгвэл тоонуудын тэмдэг ямар ч хамаагүй том байх тусмаа бага тоог илэрхийлж буй цэгийн баруун талд байрлах цэгээр илэрхийлэгдэнэ.
Тэгш бус байдал нь дараах үндсэн шинж чанаруудтай.
1. Тэгш бус байдал (эргэлт буцалтгүй): хэрэв , тэгвэл , ба эсрэгээр.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв зөрүү эерэг байвал ялгаа нь сөрөг байна. Тэгш бус байдлын нөхцлүүдийг дахин цэгцлэх үед тэгш бус байдлын утгыг эсрэгээр нь өөрчлөх ёстой гэж тэд хэлдэг.
2. Дамжин өнгөрөх чадвар: хэрэв , тэгвэл . Үнэн хэрэгтээ, ялгааны эерэг байдал нь эерэг байдлыг илэрхийлдэг
Тэгш бус байдлын тэмдгүүдээс гадна тэгш бус байдлын тэмдгүүд мөн ашиглагддаг.Тэдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлно: бичлэг гэдэг нь аль нэгийг нь эсвэл Тиймийн тул, жишээ нь та бичиж болно гэсэн үг юм. Ихэвчлэн тэмдгээр бичсэн тэгш бус байдлыг хатуу тэгш бус байдал, тэмдгээр бичсэнийг хатуу бус тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу тэмдгүүдийг хатуу эсвэл хатуу бус тэгш бус байдлын шинж тэмдэг гэж нэрлэдэг. Дээр авч үзсэн 1 ба 2-р шинж чанарууд нь хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд мөн үнэн юм.
Одоо нэг буюу хэд хэдэн тэгш бус байдал дээр хийж болох үйлдлүүдийг авч үзье.
3. Тэгш бусын гишүүдэд нэг тоог нэмэхээс тэгш бусын утга өөрчлөгдөхгүй.
Баталгаа. Тэгш бус байдал ба дурын тоог өгье. Тодорхойлолтоор ялгаа нь эерэг байна. Бид энэ тоонд өөрчлөгдөхгүй хоёр эсрэг тоог нэмнэ, жишээлбэл.
Энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
Эндээс харахад ялгаа нь эерэг, өөрөөр хэлбэл, тэр
мөн энэ нь нотлогдох ёстой байсан.
Энэ нь тэгш бус байдлын аль нэг гишүүнийг түүний нэг хэсгээс нөгөөд нь эсрэг тэмдгээр хазайх боломжийн үндэс юм. Жишээлбэл, тэгш бус байдлаас
үүнийг дагадаг
4. Тэгш бус байдлын гишүүнийг ижил эерэг тоогоор үржүүлэхэд тэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй; Тэгш бус байдлын нөхцөлийг ижил сөрөг тоогоор үржүүлэхэд тэгш бус байдлын утга эсрэгээр өөрчлөгдөнө.
Баталгаа. Эерэг тоонуудын үржвэр эерэг байх тул хэрэв тэгье. Сүүлчийн тэгш бус байдлын зүүн талд байгаа хаалтуудыг өргөжүүлснээр бид олж авна, өөрөөр хэлбэл. Хэргийг ижил төстэй байдлаар авч үздэг.
Тоонд хуваах нь тоогоор үржүүлэхтэй тэнцүү бөгөөд тоонууд нь ижил тэмдэгтэй байдаг тул тэгш бус байдлын хэсгүүдийг тэгээс өөр тоонд хуваахтай яг ижил дүгнэлт хийж болно.
5. Тэгш бус байдлын нөхцлүүд эерэг байг. Дараа нь гишүүдийг нь ижил эерэг хүчинд өргөхөд тэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй.
Баталгаа. Энэ тохиолдолд шилжилтийн шинж чанараар, ба . Дараа нь монотон өсөлтийн улмаас эрчим хүчний функцУчир нь эерэг, бид байх болно
Ялангуяа, хэрэв хаана - натурал тоо, тэгвэл бид авна
өөрөөр хэлбэл, эерэг нөхцөл бүхий тэгш бус байдлын хоёр хэсгээс үндсийг гаргаж авах үед тэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй.
Тэгш бус байдлын нөхцлүүд сөрөг байг. Дараа нь гишүүд нь сондгойгоор өсгөсөн үед үүнийг батлахад хялбар байдаг байгалийн зэрэгтэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй бөгөөд тэгш байгалийн хүчинд автвал эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Сөрөг нэр томъёо бүхий тэгш бус байдлаас та сондгой зэрэглэлийн үндсийг гаргаж болно.
Цаашид тэгш бус байдлын нөхцлүүдтэй байг өөр өөр шинж тэмдэг. Дараа нь сондгой зэрэглэлд аваачихад тэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй, тэгш хүч рүү өргөхөд тодорхой зүйл алга. ерөнхий тохиолдолхэлэх боломжгүй. Үнэн хэрэгтээ тоог сондгой хэмжээнд өсгөхөд тооны тэмдэг хадгалагдах тул тэгш бус байдлын утга өөрчлөгдөхгүй. Тэгш бус байдлыг тэгш хэмжээнд өсгөхөд эерэг нэр томъёо бүхий тэгш бус байдал үүсэх бөгөөд түүний утга нь дараахь зүйлээс хамаарна. үнэмлэхүй утгууданхны тэгш бус байдлын гишүүд бол та анхныхтай ижил утгатай тэгш бус байдал, эсрэг утгатай тэгш бус байдал, тэр ч байтугай тэгш байдлыг авч болно!
Дараах жишээг ашиглан тэгш бус байдлыг хүчирхэг болгох талаар хэлсэн бүх зүйлийг шалгах нь ашигтай байдаг.
Жишээ 1. Дараах тэгш бус байдлыг заасан хэмжээнд өсгөж, шаардлагатай бол тэгш бус байдлын тэмдгийг эсрэгээр эсвэл тэнцүү тэмдэг болгон өөрчил.
a) 4-ийн зэрэглэлд 3 > 2; б) 3-ын зэрэглэлд;
в) 3-ын зэрэглэлд; г) 2-ын зэрэглэлд;
e) 5-ын зэрэглэлд; e) 4-ийн зэрэглэлд;
g) 2 > -3 2-ын зэрэглэлд; h) 2-ын зэрэглэлд,
6. Тэгш бус байдлаас та тэгш бус байдлын нөхцлүүд хоёулаа эерэг эсвэл хоёулаа сөрөг байвал тэдгээрийн харилцан хамаарлын хооронд эсрэг утгатай тэгш бус байдал бий болно.
Баталгаа. Хэрэв a ба b нь ижил тэмдэгтэй бол тэдгээрийн үржвэр эерэг байна. Тэгш бус байдлаар хуваах
өөрөөр хэлбэл, авах шаардлагатай байсан.
Хэрэв тэгш бус байдлын нөхцлүүд нь эсрэг тэмдэгтэй байвал харилцан адилгүй байдлын тэмдгүүд нь хэмжигдэхүүнүүдийн шинж тэмдгүүдтэй ижил байдаг тул тэдгээрийн харилцан адилгүй байдал нь ижил утгатай байна.
Жишээ 2. Дараах тэгш бус байдлын сүүлчийн шинж чанар 6-г шалгана уу.
7. Тэгш бус байдлын гишүүд эерэг (сөрөг тоо, тэг нь логарифмгүй) тохиолдолд л тэгш бус байдлын логарифмыг хийж болно.
Let . Тэгээд хэзээ болох юм
тэгээд хэзээ
Эдгээр мэдэгдлийн зөв байдал нь логарифмын функцийн монотон байдал дээр суурилдаг бөгөөд хэрэв суурь нь нэмэгдвэл буурна.
Тэгэхээр нэгээс их суурьтай эерэг нөхцлөөс бүрдсэн тэгш бус байдлын логарифмыг авахдаа өгөгдсөнтэй ижил утгатай тэгш бус байдал, нэгээс бага эерэг суурьтай логарифмыг авахдаа тэгш бус байдал үүсдэг. эсрэг утга бий болсон.
8. Хэрэв , хэрэв , харин , тэгвэл .
Энэ нь монотон шинж чанараас шууд гардаг экспоненциал функц(42-р хэсэг), энэ нь тохиолдолд нэмэгдэж, хэрэв багасна
Нэр томьёогоор ижил утгатай тэгш бус байдлыг нэмэхэд өгөгдөлтэй ижил утгатай тэгш бус байдал үүсдэг.
Баталгаа. Хэдий тооны нийлбэр тэгш бус байдлын хувьд үнэн боловч хоёр тэгш бус байдлын хувьд энэ мэдэгдлийг баталъя. Тэгш бус байцгаая
Тодорхойлолтоор тоонууд эерэг байх болно; дараа нь тэдний нийлбэр эерэг болж хувирна, өөрөөр хэлбэл.
Нэр томьёог өөрөөр бүлэглэвэл бид олж авдаг
мөн иймээс
мөн энэ нь нотлогдох ёстой байсан.
Өөр өөр утгатай хоёр ба түүнээс дээш тооны тэгш бус байдлыг нэмсэний үр дүнд үүссэн тэгш бус байдлын утгын талаар ерөнхий тохиолдолд тодорхой юу ч хэлж чадахгүй.
10. Эсрэг утгатай өөр нэг тэгш бус байдлыг нэг тэгш бус байдлаас гишүүн бүлгээр хасвал эхнийхтэй ижил утгатай тэгш бус байдал үүснэ.
Баталгаа. Өөр өөр утгатай хоёр тэгш бус байдлыг өгье. Тэдний хоёр дахь нь эргэлт буцалтгүй байдлын шинж чанараар дараах байдлаар дахин бичиж болно: d > c. Одоо ижил утгатай хоёр тэгш бус байдлыг нэмж, тэгш бус байдлыг олж авцгаая
ижил утгатай. Сүүлийнхээс бид олж мэднэ
мөн энэ нь нотлогдох ёстой байсан.
Нэг тэгш бус байдлаас ижил утгатай өөр нэг тэгш бус байдлыг хасах замаар олж авсан тэгш бус байдлын утгын талаар ерөнхий тохиолдолд тодорхой юу ч хэлж чадахгүй.
Онол:
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ дараах дүрмийг ашиглана.
1. Тэгш бус байдлын аль ч гишүүнийг нэг хэсгээс шилжүүлж болно
эсрэг тэмдгээр нөгөөд тэгш бус байдал, харин тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй.
2. Тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг нэгээр үржүүлж эсвэл хувааж болно
ба тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр ижил эерэг тоо.
3. Тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг нэгээр үржүүлж эсвэл хувааж болно
тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх үед ижил сөрөг тоо
эсрэг.
Тэгш бус байдлыг шийд − 8 x + 11<
−
3
x
−
4
Шийдэл.
1. Гишүүнийг хөдөлгө − 3 x in зүүн талтэгш бус байдал, нэр томъёо 11
-д баруун талтэгш бус байдал, үүнтэй зэрэгцэн бид тэмдгүүдийг эсрэг y болгон өөрчилдөг − 3 xболон цагт 11
.
Дараа нь бид авна
− 8 x + 3 x< − 4 − 11
− 5 x< − 15
2. Тэгш бус байдлын хоёр талыг хуваа − 5 x<
−
15
сөрөг тоо руу −
5
, тэгш бус байдлын тэмдэг байхад <
, болж өөрчлөгдөнө >
, өөрөөр хэлбэл бид эсрэг утгатай тэгш бус байдал руу шилжих болно.
Бид авах:
− 5 x< − 15 | : (− 5 )
x > −15 : (−5)
x > 3
x > 3нь өгөгдсөн тэгш бус байдлын шийдэл юм.
Анхаар!
Шийдэл бичих хоёр сонголт байна: x > 3эсвэл тоон муж хэлбэрээр.
Бид тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багцыг бодит мөрөнд тэмдэглэж, хариултыг тоон интервал хэлбэрээр бичнэ.
x ∈ (3 ; + ∞ )
Хариулт: x > 3эсвэл x ∈ (3 ; + ∞ )
Алгебрийн тэгш бус байдал.
Квадрат тэгш бус байдал. Өндөр зэрэглэлийн рационал тэгш бус байдал.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд нь тэгш бус байдлыг бүрдүүлдэг функцууд аль ангилалд хамаарахаас ихээхэн хамаардаг.
- I. Квадрат тэгш бус байдал, өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал
сүх 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийж болно.
- Квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичнэ
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- Олон гишүүнтийн язгуурыг тооны шулуун дээр тавь. Үндэс нь бодит тоонуудын багцыг интервал болгон хуваадаг бөгөөд тус бүрд нь харгалзах болно квадрат функцтогтмол тэмдэгтэй байх болно.
- Цоорхой тус бүрийн а (x - x 1) (x - x 2) тэмдгийг тодорхойлж хариултыг бичнэ үү.
Хэрэв дөрвөлжин гурвалжин үндэсгүй бол D<0 и a>Аль ч х эерэг бол 0 нь квадрат гурвалжин юм.
- Тэгш бус байдлыг шийд. x 2 + x - 6 > 0.
Квадрат гурвалсан тоо (x + 3) (x - 2) > 0-ийн хүчин зүйл
Хариулт: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
Энэ тэгш бус байдал нь x = 6-аас бусад бүх x-ийн хувьд үнэн юм.
Хариулт: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
Энд Д< 0, a = 1 >0. Гурвалсан квадрат нь бүх x-д эерэг байна.
Хариулт: x О Ø.
Тэгш бус байдлыг шийдэх:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Хариулт:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Хариулт:
- 2x² - 12x + 18 > 0. Хариулт:
- А-ийн ямар утгуудын хувьд тэгш бус байдал үүсдэг
x² - ax > дурын x-д тохирох уу? Хариулт:
- II. Өндөр түвшний оновчтой тэгш бус байдал,өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тэгш бус байдал
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
Хамгийн өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт хүчин зүйлээр ялгах ёстой, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдлыг хэлбэрээр бичнэ
a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).
Олон гишүүнт алга болох цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэ.
Интервал бүр дээрх олон гишүүнтийн тэмдгүүдийг тодорхойл.
1) x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x тэгш бус байдлыг шийд.< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1)(x) 2-5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Тэгэхээр x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
Хариулт: (0; 1) (2; 3).
2) Тэгш бус байдлыг шийд (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
Бодит тэнхлэг дээр олон гишүүнт алга болох цэгүүдийг тэмдэглэ. Энэ нь x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½ юм.
x \u003d - ½ цэг дээр тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, учир нь бином (2x + 1) тэгш зэрэглэлд нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл (2x + 1) 4 илэрхийлэл нь цэгээр дамжин өнгөрөхөд тэмдэг өөрчлөгддөггүй. x \u003d - ½.
Хариулт: (-∞; -2) (½; 1).
3) Тэгш бус байдлыг шийд: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
Энэ тэгш бус байдал нь дараах олонлогтой тэнцүү байна
(1)-ийн шийдэл нь x (-∞; -2) (3; +∞). (2) шийдэл нь x = 0, x = -2, x = 3. Хүлээн авсан шийдлүүдийг нэгтгэж, бид x н (-∞; -2] (0) (0) ) болно.
