"Натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн шинж чанаруудын жишээ" гэж тэмдэглэсэн бичлэгүүд. Зэрэглэлийн шинж чанар, томъёолол, нотолгоо, жишээ

Мэдээжийн хэрэг, хүчирхэг тоонуудыг бусад хэмжигдэхүүнүүдийн нэгэн адил нэмж болно , тэдгээрийг тэмдгүүдийн хамт нэг нэгээр нь нэмэх замаар.

Тэгэхээр a 3 ба b 2-ийн нийлбэр нь 3 + b 2 болно.
3 - b n ба h 5 -d 4-ийн нийлбэр нь 3 - b n + h 5 - d 4 байна.

Магадлал ижил хувьсагчийн ижил хүчнэмэх, хасах боломжтой.

Тэгэхээр 2a 2 ба 3a 2-ын нийлбэр нь 5а 2 байна.

Хэрэв бид хоёр квадрат a, эсвэл гурван квадрат a, эсвэл таван квадратыг авбал энэ нь тодорхой байна.

Гэхдээ градус янз бүрийн хувьсагчболон янз бүрийн зэрэг ижил хувьсагчид, тэдгээрийн тэмдгүүд дээр нэмэх замаар нэмэх ёстой.

Тэгэхээр 2 ба 3-ын нийлбэр нь 2 + a 3-ын нийлбэр юм.

a-ийн квадрат, а-ын шоо нь a-ийн квадратаас хоёр дахин их биш, харин a-ийн шоо хоёр дахин их байх нь ойлгомжтой.

a 3 b n ба 3a 5 b 6-ийн нийлбэр нь 3 b n + 3a 5 b 6 болно.

Хасахэрх мэдлийг нэмэхтэй ижил аргаар гүйцэтгэнэ, зөвхөн хасалтын тэмдгийг зохих ёсоор өөрчлөх шаардлагатай.

Эсвэл:
2а 4 - (-6а 4) = 8а 4
3ц 2 б 6 - 4цаг 2 б 6 = -ц 2 б 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Эрчим хүчийг үржүүлэх

Хүчин чадалтай тоог бусад хэмжигдэхүүнүүдийн нэгэн адил үржүүлгийн тэмдэгтэй эсвэл тэмдэглэгээгүйгээр ар араас нь бичих замаар үржүүлж болно.

Тэгэхээр a 3-ыг b 2-оор үржүүлсний үр дүн нь 3 b 2 буюу aaabb юм.

Эсвэл:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Үр дүнд нь сүүлчийн жишээадил хувьсагчийг нэмж захиалж болно.
Илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна: a 5 b 5 y 3 .

Хэд хэдэн тоог (хувьсагчдыг) зэрэгтэй харьцуулж үзвэл тэдгээрийн аль нэг нь хоёрыг үржүүлбэл үр дүн нь тэнцүү чадалтай тоо (хувьсагч) болохыг харж болно. нийлбэрнэр томъёоны зэрэг.

Тэгэхээр a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Энд 5 нь үржүүлгийн үр дүнгийн хүч нь 2 + 3-тай тэнцүү, нэр томъёоны чадлын нийлбэр юм.

Тэгэхээр a n .a m = a m+n .

a n-ийн хувьд a-г n-ийн чадалтай адил олон удаа хүчин зүйл болгон авна;

Мөн a m , m зэрэгтэй тэнцүү байхын хэрээр олон удаа хүчин зүйл болгон авна;

Тийм ч учраас, ижил суурьтай хүчийг илтгэгчийг нэмэх замаар үржүүлж болно.

Тэгэхээр a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Мөн x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Эсвэл:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) үржүүлнэ.
Хариулт: x 4 - y 4.
Үржүүлэх (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Энэ дүрэм нь илтгэгч нь - байгаа тоонуудад мөн адил хамаарна. сөрөг.

1. Тэгэхээр a -2 .a -3 = a -5 . Үүнийг (1/аа) гэж бичиж болно.(1/ааа) = 1/аааа.

2. у-н .у-м = у-н-м .

3. a -n .a m = a m-n .

Хэрэв a + b-ийг a - b-ээр үржүүлбэл үр дүн нь 2 - b 2 болно: энэ нь

Хоёр тооны нийлбэр эсвэл зөрүүг үржүүлсний үр дүн нийлбэртэй тэнцүү байнаэсвэл тэдгээрийн квадратуудын ялгаа.

Хэрэв хоёр тооны нийлбэр ба зөрүүг өсгөсөн бол дөрвөлжин, үр дүн нь эдгээр тоонуудын нийлбэр эсвэл зөрүүтэй тэнцүү байх болно дөрөв дэхзэрэг.

Тэгэхээр, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Зэрэг хуваах

Хүчин чадалтай тоог бусад тоонуудын нэгэн адил хуваагчаас хасах эсвэл бутархай хэлбэрээр байрлуулах замаар хувааж болно.

Тэгэхээр a 3 b 2 нь b 2-т хуваагдвал a 3 болно.

Эсвэл:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ыг 3-т хуваах нь $\frac(a^5)(a^3)$ шиг харагдаж байна. Гэхдээ энэ нь 2-той тэнцүү байна. Цуврал тоогоор
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
дурын тоог нөгөө тоонд хувааж болох бөгөөд илтгэгч нь тэнцүү байх болно ялгаахуваагдах тоонуудын үзүүлэлтүүд.

Ижил суурьтай хүчийг хуваахдаа тэдгээрийн илтгэгчийг хасна..

Тэгэхээр y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Өөрөөр хэлбэл, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Мөн a n+1:a = a n+1-1 = a n . Энэ нь $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Эсвэл:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Энэ дүрэм нь тоонуудад мөн хүчинтэй сөрөгградусын утгууд.
-5-ыг -3-т хуваасны үр дүн нь -2 болно.
Мөн $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(аа)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 эсвэл $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ийм үйлдлийг алгебрт маш өргөн ашигладаг тул үржүүлэх, хуваах чадварыг маш сайн эзэмших шаардлагатай.

Давхаргатай тоо агуулсан бутархайтай жишээг шийдвэрлэх жишээ

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ дахь илтгэгчийг багасгаарай Хариулт: $\frac(5a^2)(3)$.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$ дахь илтгэгчийг багасга. Хариулт: $\frac(2x)(1)$ эсвэл 2x.

3. a 2 / a 3, a -3 / a -4 гэсэн илтгэгчийг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу ав.
a 2 .a -4 нь -2 эхний тоологч юм.
a 3 .a -3 нь 0 = 1, хоёр дахь тоологч.
a 3 .a -4 нь -1 , нийтлэг тоологч юм.
Хялбаршуулсаны дараа: a -2 /a -1 ба 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ба 2 /a 4 илтгэгчийг багасгаж, нийтлэг хуваагч руу ав.
Хариулт: 2а 3 / 5а 7 ба 5а 5 / 5а 7 эсвэл 2а 3 / 5а 2 ба 5/5а 2.

5. (a 3 + b)/b 4-ийг (a - b)/3-аар үржүүлнэ.

6. (a 5 + 1)/x 2-ийг (b 2 - 1)/(x + a)-аар үржүүлнэ.

7. b 4 /a -2-ийг h -3 /x, a n /y -3-аар үржүүлнэ.

8. 4 /y 3-ыг 3 /y 2-т хуваа. Хариулт: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4-ийг (d n + 1)/цагт хуваана.

Эхний түвшин

Зэрэг, түүний шинж чанар. Цогц гарын авлага (2019)

Яагаад зэрэг хэрэгтэй вэ? Тэд хаана хэрэгтэй вэ? Та яагаад тэдгээрийг судлахад цаг зарцуулах хэрэгтэй байна вэ?

Эрдмийн зэрэг, тэдгээр нь юунд зориулагдсан, мэдлэгээ хэрхэн ашиглах талаар сурах Өдөр тутмын амьдралэнэ нийтлэлийг уншина уу.

Мэдээжийн хэрэг, зэрэгтэй байх нь таныг илүү ойртуулна амжилттай хүргэлт OGE буюу ХЭРЭГЛЭЭ болон мөрөөдлийнхөө их сургуульд элсэн орох.

Явцгаая... (Явцгаая!)

Чухал тэмдэглэл! Хэрэв та томьёоны оронд утгагүй зүйл олж харвал кэшээ арилга. Үүнийг хийхийн тулд CTRL+F5 (Windows дээр) эсвэл Cmd+R (Mac дээр) дарна уу.

НЭГДҮГЭЭР ТҮВШИН

Экспоненциал гэдэг нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваахтай ижил математик үйлдэл юм.

Одоо би бүх зүйлийг хүний ​​хэлээр тайлбарлах болно энгийн жишээнүүд. Болгоомжтой байгаарай. Жишээ нь энгийн боловч чухал зүйлийг тайлбарладаг.

Нэмэлтээс эхэлье.

Энд тайлбарлах зүйл алга. Та бүх зүйлийг аль хэдийн мэдэж байгаа: бид найм байна. Тус бүр нь хоёр шил колатай. Кола хэр их вэ? Энэ нь зөв - 16 шил.

Одоо үржүүлэх.

Колатай ижил жишээг өөр хэлбэрээр бичиж болно: . Математикчид зальтай, залхуу хүмүүс. Тэд эхлээд зарим хэв маягийг анзаарч, дараа нь илүү хурдан "тоолох" аргыг олдог. Манайд найман хүн тус бүр ижил тооны колатай байдгийг анзаарч, үржүүлэх гэдэг арга бодож олжээ. Зөвшөөрч байна, энэ нь илүү хялбар бөгөөд хурдан гэж тооцогддог.

Тиймээс илүү хурдан, хялбар, алдаагүй тоолохын тулд та зүгээр л санах хэрэгтэй үржүүлэх хүснэгт. Мэдээжийн хэрэг та бүх зүйлийг илүү удаан, илүү хэцүү, алдаатай хийж чадна! Гэхдээ…

Энд үржүүлэх хүснэгт байна. Давт.

Бас нэг, илүү хөөрхөн нь:

Залхуу математикчид өөр ямар төвөгтэй тоолох заль мэхийг гаргаж ирсэн бэ? Зөв - тоог хүчирхэг болгох.

Тоог хүч болгон өсгөх

Хэрэв та нэг тоог өөрөө тав дахин үржүүлэх шаардлагатай бол математикчид энэ тоог тав дахь зэрэгт хүргэх хэрэгтэй гэж хэлдэг. Жишээлбэл, . Математикчид хоёроос тав дахь зэрэглэл гэдгийг санаж байна. Тэд ийм асуудлыг оюун ухаандаа шийддэг - илүү хурдан, хялбар, алдаагүй.

Үүнийг хийхийн тулд танд зөвхөн хэрэгтэй тоонуудын чадлын хүснэгтэд юу өнгөөр ​​тодруулсныг санаарай. Надад итгээрэй, энэ нь таны амьдралыг илүү хялбар болгоно.

Дашрамд хэлэхэд, яагаад хоёрдугаар зэрэг гэж нэрлэдэг вэ дөрвөлжинтоонууд, гурав дахь нь шоо? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Маш сайн асуулт байна. Одоо та квадрат, шоо хоёулаа байх болно.

Бодит амьдралын жишээ №1

Квадрат эсвэл тооны хоёр дахь зэрэглэлээр эхэлье.

Метрээр хэмжигдэх квадрат усан санг төсөөлөөд үз дээ. Усан сан таны арын хашаанд байдаг. Халуун байна, би усанд сэлэхийг үнэхээр хүсч байна. Гэхдээ ... ёроолгүй усан сан! Усан сангийн ёроолыг хавтангаар хучих шаардлагатай. Танд хэдэн хавтан хэрэгтэй вэ? Үүнийг тодорхойлохын тулд та усан сангийн ёроолын талбайг мэдэх хэрэгтэй.

Усан сангийн ёроол нь метр метрээр шоо дөрвөлжин хэлбэртэй байгааг хуруугаа нугалахад л тоолж болно. Хэрэв таны хавтан метрээр метр байвал танд хэсэг хэрэгтэй болно. Энэ нь амархан ... Гэхдээ та ийм хавтанг хаанаас харсан бэ? Хавтанцар нь см см хэмжээтэй байх болно, дараа нь та "хуруугаараа тоолох" замаар тарчлаана. Дараа нь та үржүүлэх хэрэгтэй. Тиймээс, усан сангийн ёроолын нэг талд бид хавтанцар (хэсэг), нөгөө талд нь мөн плита тавих болно. Үржүүлснээр та плита () авна.

Усан сангийн ёроолын талбайг тодорхойлохын тулд бид ижил тоог өөрөө үржүүлснийг та анзаарсан уу? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Ижил тоог үржүүлснээр бид экспонентацийн аргыг ашиглаж болно. (Мэдээжийн хэрэг, танд зөвхөн хоёр тоо байгаа бол тэдгээрийг үржүүлэх эсвэл нэг зэрэгтэй болгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв танд олон тоо байгаа бол дарааллаар нь өсгөх нь илүү хялбар бөгөөд тооцоололд алдаа бага гардаг. Шалгалтын хувьд энэ нь маш чухал юм).
Тиймээс гучаас хоёр дахь зэрэг нь () байх болно. Эсвэл гучин квадрат болно гэж хэлж болно. Өөрөөр хэлбэл, тооны хоёр дахь хүчийг үргэлж квадрат хэлбэрээр илэрхийлж болно. Мөн эсрэгээр, хэрэв та дөрвөлжин харвал энэ нь ҮРГЭЛЖ зарим тооны хоёр дахь зэрэг болно. Квадрат нь тооны хоёр дахь зэрэглэлийн дүрс юм.

Бодит амьдралын жишээ №2

Танд хийх даалгавар байна, тооны квадратыг ашиглан шатрын самбар дээр хэдэн квадрат байгааг тоолоорой ... Нүдний нэг талд, нөгөө талд нь бас. Тэдний тоог тоолохын тулд та наймыг наймаар үржүүлэх хэрэгтэй, эсвэл ... хэрэв та шатрын самбар нь талтай дөрвөлжин болохыг анзаарсан бол наймыг квадрат болгож болно. Эсийг авах. () Тэгэхээр?

Бодит амьдралын жишээ №3

Одоо шоо буюу тооны гуравдахь зэрэглэл. Үүнтэй ижил усан сан. Харин одоо та энэ усан сан руу хэр их ус асгах шаардлагатайг олж мэдэх хэрэгтэй. Та эзлэхүүнийг тооцоолох хэрэгтэй. (Дашрамд хэлэхэд эзэлхүүн ба шингэнийг хэмждэг шоо метр. Гэнэтийн, тийм үү?) Усан сан зурна уу: ёроол нь нэг метр хэмжээтэй, нэг метр гүнтэй бөгөөд нийтдээ хэдэн метр метр куб таны усан санд орохыг тооцоолж үзээрэй.

Зүгээр л хуруугаа зааж, тоол! Нэг, хоёр, гурав, дөрөв...хорин хоёр, хорин гурав... Хэр их болсон бэ? Алдаагүй юм уу? Хуруугаараа тоолоход хэцүү юу? Тэгэхээр тийм! Математикчдаас жишээ ав. Тэд залхуу тул усан сангийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд түүний урт, өргөн, өндрийг өөр хоорондоо үржүүлэх хэрэгтэйг анзаарсан. Манай тохиолдолд усан сангийн эзэлхүүн нь кубтай тэнцүү байх болно ... Илүү хялбар, тийм үү?

Математикчид үүнийг хэтэрхий хялбар болгочихвол ямар залхуу, зальтай болохыг төсөөлөөд үз дээ. Бүх зүйлийг нэг үйлдэл болгон багасгасан. Тэд урт, өргөн, өндөр нь тэнцүү бөгөөд ижил тоо нь өөрөө үржиж байгааг анзаарсан ... Тэгээд энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь та диплом ашиглаж болно гэсэн үг юм. Тиймээс, нэг удаа хуруугаараа тоолж байсан зүйлээ тэд нэг үйлдлээр хийдэг: нэг шоо дахь гурав нь тэнцүү байна. Үүнийг ингэж бичсэн байна.

Зөвхөн үлддэг градусын хүснэгтийг цээжлэх. Мэдээжийн хэрэг та математикчид шиг залхуу, зальтай биш л бол. Хэрэв та шаргуу ажиллаж, алдаа гаргах дуртай бол хуруугаараа тоолж болно.

За, эцэст нь таныг эрдмийн зэрэглэлийг овжин, зальтай хүмүүс өөрсдийн асуудлыг шийдэхийн тулд зохион бүтээсэн гэдэгт итгүүлэхийн тулд амьдралын асуудлууд, мөн танд асуудал үүсгэхгүйн тулд амьдралаас өөр хэдэн жишээг энд оруулав.

Бодит амьдралын жишээ №4

Танд сая рубль байна. Жил бүрийн эхэнд та сая тутамд нэг саяыг олдог. Энэ нь жил бүрийн эхэнд таны сая бүр хоёр дахин нэмэгддэг гэсэн үг юм. Та хэдэн жилийн дараа хэр их мөнгөтэй болох вэ? Хэрэв та одоо суугаад “хуруугаараа тоолж” байгаа бол та маш хөдөлмөрч, .. тэнэг хүн юм. Гэхдээ та ухаалаг тул хэдхэн секундын дотор хариулт өгөх болно! Тэгэхээр эхний жил - хоёр удаа хоёр ... хоёр дахь жил - юу болсон бэ, хоёр дахин, гурав дахь жилдээ ... боль! Та энэ тоог нэг удаа өөрөө үржүүлж байгааг анзаарсан. Тэгэхээр хоёроос тав дахь зэрэглэл нь сая юм! Одоо та өрсөлдөөнтэй байгаа гэж төсөөлөөд үз дээ, хэн хурдан тооцоолж байгаа нь эдгээр саяуудыг авах болно ... Тоонуудын зэрэглэлийг санах нь зүйтэй болов уу, та юу гэж бодож байна вэ?

Бодит амьдралын жишээ №5

Танд сая байна. Жил бүрийн эхэнд та сая тутамд хоёр илүү орлого олдог. Гайхалтай тийм үү? Сая бүр гурав дахин нэмэгддэг. Жилд хэдэн төгрөгтэй болох вэ? Тоолж үзье. Эхний жил - үржүүлээрэй, дараа нь үр дүн нь өөр ... Энэ нь аль хэдийн уйтгартай, учир нь та бүх зүйлийг аль хэдийн ойлгосон: гурвыг өөрөө үржүүлнэ. Тэгэхээр дөрөв дэх хүч нь сая гэсэн үг. Та гурваас дөрөв дэх хүч нь эсвэл гэдгийг санах хэрэгтэй.

Одоо та тоог өсгөснөөр амьдралаа илүү хялбар болгох болно гэдгийг мэдэж байна. Эрдмийн зэрэгтэй юу хийж болох, тэдгээрийн талаар юу мэдэх хэрэгтэйг цааш нь харцгаая.

Нэр томьёо, ойлголтууд ... төөрөлдөхгүйн тулд

Тиймээс эхлээд ойлголтуудыг тодорхойлъё. Чи юу гэж бодож байна, экспонент гэж юу вэ? Энэ нь маш энгийн - энэ бол тооны чадлын "дээд талд" байгаа тоо юм. Шинжлэх ухаанч биш, гэхдээ ойлгомжтой бөгөөд санахад хялбар ...

За, тэр үед, юу вэ ийм суурь зэрэгтэй? Доод талд нь байгаа тоо нь бүр ч энгийн.

Та үүнд итгэлтэй байхын тулд зургийг энд оруулав.

За тэгээд орлоо ерөнхий үзэлерөнхийлэх, илүү сайн санах ... "" суурьтай, "" илтгэгчтэй зэрэглэлийг "зэрэг" гэж уншаад дараах байдлаар бичнэ.

Натурал илтгэгчтэй тооны чадвар

Экспонент нь натурал тоо учраас та аль хэдийн таамагласан байх. Тийм ээ, гэхдээ юу вэ натурал тоо? Бага анги! Натурал тоонууд нь зүйлсийг жагсаахдаа тоолоход хэрэглэгддэг тоо юм: нэг, хоёр, гурав ... Бид зүйлийг тоолохдоо "хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэж хэлдэггүй. Бид ч гэсэн "гуравны нэг" эсвэл "тэг оноо аравны таван" гэж хэлдэггүй. Эдгээр нь натурал тоо биш юм. Таны бодлоор эдгээр тоо юу вэ?

"Хасах тав", "хасах зургаа", "хасах долоо" гэх мэт тоонууд хамаарна бүхэл тоо.Ерөнхийдөө бүхэл тоонд бүх натурал тоо, натурал тоонуудын эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл хасах тэмдгээр авсан) болон тоо орно. Тэгийг ойлгоход хялбар байдаг - энэ нь юу ч байхгүй үед юм. Мөн сөрөг ("хасах") тоо нь юу гэсэн үг вэ? Гэхдээ эдгээрийг үндсэндээ өрийг илэрхийлэх зорилгоор зохион бүтээсэн: хэрэв таны утсан дээр рублийн үлдэгдэл байгаа бол энэ нь та операторын рублийн өртэй гэсэн үг юм.

Бүх бутархай нь оновчтой тоо юм. Тэд яаж бий болсон гэж та бодож байна уу? Маш энгийн. Хэдэн мянган жилийн өмнө өвөг дээдэс маань дутагдаж байгаагаа олж мэдсэн натурал тоонуудурт, жин, талбай гэх мэтийг хэмжих зориулалттай. Тэгээд тэд гарч ирэв рационал тоо... Сонирхолтой, тийм үү?

Иррациональ тоонууд ч бий. Эдгээр тоо юу вэ? Товчхондоо, эцэс төгсгөлгүй аравтын. Жишээлбэл, хэрэв та тойргийн тойргийг диаметрээр нь хуваавал иррационал тоо гарна.

Дүгнэлт:

Экспонент нь натурал тоо (өөрөөр хэлбэл бүхэл ба эерэг) гэсэн зэрэг гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё.

1. Эхний зэрэглэлд хамаарах аливаа тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна:
2. Тооны квадрат гэдэг нь өөрөө үржүүлнэ.
3. Тоог шоо болгох нь өөрөө гурван удаа үржүүлнэ.

Тодорхойлолт.Тоог натурал зэрэгт хүргэх нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлэх явдал юм.
.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ? Би чамд одоо үзүүлье.

Юу болохыг харцгаая болон ?

Тодорхойлолтоор:

Нийт хэдэн үржүүлэгч байдаг вэ?

Энэ нь маш энгийн: бид хүчин зүйлүүд дээр хүчин зүйл нэмсэн бөгөөд үр дүн нь хүчин зүйл юм.

Гэхдээ тодорхойлолтоор бол энэ нь нотлох шаардлагатай байсан илтгэгчтэй тооны зэрэг юм.

Жишээ: Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:

Жишээ:Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл:Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм зайлшгүйижил шалтгаан байх ёстой!
Тиймээс бид градусыг суурьтай хослуулсан боловч тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

зөвхөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүнд зориулагдсан!

Ямар ч тохиолдолд та үүнийг бичиж болохгүй.

2. тэр нь - тооны дах зэрэглэл

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу орцгооё.

Эндээс харахад илэрхийлэл нь өөрөө нэг удаа үрждэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны 3-р хүч юм.

Үнэн хэрэгтээ үүнийг "заагчийг хаалтанд оруулах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй:

Товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ?

Гэхдээ энэ нь үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай зэрэг

Энэ хүртэл бид зөвхөн илтгэгч ямар байх ёстой талаар ярилцсан.

Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ?

-аас градусаар байгалийн үзүүлэлтсуурь байж болно ямар ч тоо. Үнэндээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээ үржүүлж чадна.

Ямар шинж тэмдэг (" "эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, энэ тоо эерэг эсвэл сөрөг байх уу? ГЭХДЭЭ? ? Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: бид бие биетэйгээ хичнээн эерэг тоог үржүүлснээс үл хамааран үр дүн эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг тал нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Эцсийн эцэст бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ бид үржүүлбэл энэ нь гарч ирнэ.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Та удирдаж чадсан уу?

Хариултууд энд байна: Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байна гэж найдаж байна уу? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Жишээ 5) дээр бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм.

За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь нэг л биш биз дээ? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон!

6 дасгалын жишээ

Шийдлийн шинжилгээ 6 жишээ

Хэрэв бид наймдугаар зэрэглэлд анхаарлаа хандуулахгүй бол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг харцгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол үржүүлэхийн товчилсон томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм! Бид авах:

Бид хуваагчийг анхааралтай хардаг. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нэр томъёоны дараалал буруу. Хэрэв тэдгээрийг сольсон бол дүрэм үйлчилж болно.

Гэхдээ үүнийг яаж хийх вэ? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн жигд зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Нэр томьёо нь ид шидийн байр суурийг өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд тэгш хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг чөлөөтэй сольж болно.

Гэхдээ санаж байх нь чухал: бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

бүхэлд ньбид натурал тоо, тэдгээрийн эсрэг тоо (өөрөөр хэлбэл "" тэмдгээр авсан) ба тоог нэрлэнэ.

эерэг бүхэл тоо, мөн энэ нь байгалийнхаас ялгаатай биш, дараа нь бүх зүйл өмнөх хэсэгт яг адилхан харагдаж байна.

Одоо шинэ тохиолдлуудыг харцгаая. -тэй тэнцүү үзүүлэлтээр эхэлье.

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байх нь нэгтэй тэнцүү байна:

Бид үргэлж өөрөөсөө асуудаг: яагаад ийм байна вэ?

Суурьтай зарим хүчийг авч үзье. Жишээлбэл, дараах байдлаар үржүүлээрэй.

Тиймээс, бид тоог үржүүлж, -тэй ижил болсон. Юу ч өөрчлөгдөхгүйн тулд ямар тоог үржүүлэх ёстой вэ? Зөв шүү дээ. гэсэн үг.

Бид дурын тоогоор ижил зүйлийг хийж болно:

Дүрмийг давтан хэлье:

Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байх нь нэгтэй тэнцүү байна.

Гэхдээ олон дүрэмд үл хамаарах зүйлүүд байдаг. Энд бас тэнд байна - энэ бол тоо (үндсэн суурь болгон).

Нэг талаараа энэ нь ямар ч зэрэгтэй тэнцүү байх ёстой - тэгийг өөрөө хэчнээн үржүүлэв ч тэгийг авдаг, энэ нь ойлгомжтой. Гэхдээ нөгөө талаас тэг градус хүртэл ямар ч тооны адил тэнцүү байх ёстой. Тэгэхээр энэ үнэн нь юу вэ? Математикчид оролцохгүй байхаар шийдэж, тэгийг тэг рүү өсгөхөөс татгалзав. Өөрөөр хэлбэл, одоо бид тэгээр хуваагаад зогсохгүй үүнийг тэг зэрэгт хүргэх боломжтой.

Цаашаа явцгаая. Натурал тоо, тооноос гадна бүхэл тоонд сөрөг тоо орно. Сөрөг зэрэг гэж юу болохыг ойлгохын тулд сүүлийн үеийнхтэй ижил зүйлийг хийцгээе: бид зарим хэвийн тоог сөрөг градусаар үржүүлнэ.

Эндээс хүссэн зүйлээ илэрхийлэхэд хялбар болно:

Одоо бид үр дүнгийн дүрмийг дурын хэмжээгээр сунгаж байна:

Тиймээс, дүрмийг томъёолъё:

Сөрөг хүчинтэй тоо нь ижил тооны эерэг зэрэгтэй урвуу тоо юм. Гэхдээ тэр үед суурь нь тэг байж болохгүй:(хуваах боломжгүй учраас).

Дүгнэж хэлье:

I. Тохиолдолд илэрхийлэл тодорхойлогдоогүй. Хэрэв тийм бол.

II. Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байх нь нэгтэй тэнцүү байна: .

III. Сөрөг хүчинтэй тэгтэй тэнцүү биш тоо нь эерэг зэрэгтэй ижил тооны урвуу тоо: .

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Ердийнх шиг бие даасан шийдлийн жишээ:

Бие даасан шийдвэрлэх даалгаврын дүн шинжилгээ:

Би мэднэ, би мэднэ, тоонууд аймшигтай, гэхдээ шалгалтанд та бүх зүйлд бэлэн байх ёстой! Хэрэв та үүнийг шийдэж чадаагүй бол эдгээр жишээнүүдийг шийдэж эсвэл тэдгээрийн шийдэлд дүн шинжилгээ хийснээр шалгалтанд хэрхэн амархан харьцах талаар сурах болно!

Үргэлжлүүлэн "тохиромжтой" тоонуудын тойргийг илтгэгч болгон өргөжүүлье.

Одоо бод рационал тоо.Ямар тоонуудыг оновчтой гэж нэрлэдэг вэ?

Хариулт: бутархай хэлбэрээр төлөөлүүлж болох бүх зүйл, энд ба бүхэл тоо, үүнээс гадна.

Юу болохыг ойлгохын тулд "бутархай зэрэг"Бутархайг авч үзье:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хүч болгон өсгөцгөөе.

Одоо дүрмийг санаарай "зэрэг, зэрэг":

Хүчин чадал авахын тулд ямар тоог өсгөх ёстой вэ?

Энэхүү томъёолол нь 3-р зэргийн язгуурын тодорхойлолт юм.

Танд сануулъя: тооны ()-ын язгуур нь нэг зэрэгтэй байх үед тэнцүү тоо юм.

Өөрөөр хэлбэл, 3-р зэргийн үндэс нь экспонентацийн урвуу үйлдэл юм: .

Энэ нь харагдаж байна. Энэ нь ойлгомжтой онцгой тохиолдолсунгаж болно: .

Одоо тоологчийг нэмнэ үү: энэ юу вэ? Эрх мэдэлд шилжих дүрмийн тусламжтайгаар хариултыг авахад хялбар байдаг:

Гэхдээ суурь нь ямар ч тоо байж болох уу? Эцсийн эцэст, үндсийг бүх тооноос гаргаж авах боломжгүй юм.

Байхгүй!

Дүрмийг санаарай: тэгш түвшинд хүрсэн аливаа тоо нь эерэг тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, сөрөг тооноос тэгш түвшний үндсийг гаргаж авах боломжгүй юм!

Энэ нь ийм тоог нэмэгдүүлэх боломжгүй гэсэн үг юм бутархай зэрэгтэгш хуваагчтай, өөрөөр хэлбэл илэрхийлэл нь утгагүй болно.

Илэрхийллийн талаар юу хэлэх вэ?

Гэхдээ энд нэг асуудал гарч ирнэ.

Энэ тоог бусад, бууруулсан бутархай, жишээлбэл, эсвэл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ нь байгаа боловч байхгүй болох нь тогтоогдсон бөгөөд эдгээр нь ижил тооны хоёр өөр бүртгэл юм.

Эсвэл өөр жишээ: нэг удаа, дараа нь та үүнийг бичиж болно. Гэхдээ бид индикаторыг өөр аргаар бичихэд бид дахин асуудалд ордог: (өөрөөр хэлбэл бид огт өөр үр дүнд хүрсэн!).

Ийм парадоксоос зайлсхийхийн тулд бодож үзээрэй бутархай илтгэгчтэй зөвхөн эерэг суурь илтгэгч.

Тэгэхээр хэрэв:

• - натурал тоо;
• бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Үндэстэй илэрхийлэлийг хувиргахад оновчтой илтгэгчтэй чадварууд маш хэрэгтэй, жишээлбэл:

5 дадлагын жишээ

Сургалтын 5 жишээнд дүн шинжилгээ хийх

За, одоо - хамгийн хэцүү. Одоо бид дүн шинжилгээ хийх болно иррационал илтгэгчтэй зэрэг.

Эндээс бусад зэрэглэлийн бүх дүрэм, шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна.

Үнэн хэрэгтээ, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тоонууд бөгөөд энд ба бүхэл тоонууд (өөрөөр хэлбэл иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Байгалийн, бүхэл тоо, оновчтой үзүүлэлт бүхий зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "үүнтэй төстэй" эсвэл илүү танил нэр томъёогоор дүрсэлсэн байдаг.

Жишээлбэл, натурал экспонент нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм;

...тэг хүч- энэ нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл үржиж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн тодорхой "хоосон тоо" юм. , тухайлбал тоо;

...сөрөг бүхэл тоон илтгэгч"Ямар нэгэн юм шиг" урвуу үйл явц”, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан.

Дашрамд хэлэхэд, шинжлэх ухаан нь ихэвчлэн төвөгтэй илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм.

Гэхдээ сургуульд байхдаа бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй, та институт дээр эдгээр шинэ ойлголтуудыг ойлгох боломжтой болно.

ТА ХААШАА ЯВНА гэдэгт итгэлтэй байна! (хэрэв та ийм жишээг хэрхэн шийдэж сурвал :))

Жишээлбэл:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

Шийдлийн шинжилгээ:

1. Зэрэг нэмэхийн тулд аль хэдийн ердийн дүрэм журмаас эхэлцгээе:

Одоо оноогоо хар. Тэр танд ямар нэг зүйлийг сануулж байна уу? Бид квадратуудын зөрүүг товчилсон үржүүлэх томъёог санаж байна.

Энэ тохиолдолд,

Энэ нь:

Хариулт: .

2. Бид бутархайг k-ийн илтгэгчээр өгдөг ижил төрлийн: Аравтын бутархай эсвэл хоёулаа хэвийн. Бид жишээ нь:

Хариулт: 16

3. Онцгой зүйл байхгүй, өргөдөл гарга тогтмол шинж чанаруудзэрэг:

АХИСАН ТҮВШИН

Зэрэглэлийн тодорхойлолт

Зэрэг нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: , энд:

• — зэрэглэлийн суурь;
• - илтгэгч.

Байгалийн илтгэгчтэй зэрэг (n = 1, 2, 3,...)

Тоог натурал n болгон өсгөнө гэдэг нь тухайн тоог өөрөө хэд дахин үржүүлнэ гэсэн үг.

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй хүч (0, ±1, ±2,...)

Хэрэв экспонент нь байвал эерэг бүхэл тоодугаар:

босгох тэг хүч хүртэл:

Энэ илэрхийлэл нь тодорхойгүй, учир нь нэг талаас, ямар ч хэмжээгээр энэ, нөгөө талаас, th зэрэгтэй ямар ч тоо энэ байна.

Хэрэв экспонент нь байвал бүхэл тоо сөрөгдугаар:

(хуваах боломжгүй учраас).

Дахин нэг удаа тэгийн тухай: илэрхийлэл нь тохиолдолд тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв тийм бол.

Жишээ нь:

Рационал илтгэгчтэй зэрэг

• - натурал тоо;
• бүхэл тоо;

Жишээ нь:

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбар болгохын тулд ойлгохыг хичээцгээе: эдгээр шинж чанарууд хаанаас ирсэн бэ? Тэднийг баталцгаая.

Харцгаая: юу вэ?

Тодорхойлолтоор:

Тиймээс, энэ илэрхийллийн баруун талд дараахь бүтээгдэхүүнийг олж авна.

Гэхдээ тодорхойлолтоор бол энэ нь илтгэгчтэй тооны зэрэг юм, өөрөөр хэлбэл:

Q.E.D.

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : .

Жишээ : Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Шийдэл : Манай дүрэмд үүнийг анхаарах нь чухал юм зайлшгүйижил үндэслэлтэй байх ёстой. Тиймээс бид градусыг суурьтай хослуулсан боловч тусдаа хүчин зүйл хэвээр байна.

Өөр нэг чухал тэмдэглэл: энэ дүрэм - зөвхөн эрх мэдлийн бүтээгдэхүүнд зориулагдсан!

Ямар ч тохиолдолд би үүнийг бичих ёсгүй.

Өмнөх өмчийн нэгэн адил зэрэглэлийн тодорхойлолт руу орцгооё.

Үүнийг дараах байдлаар дахин зохион байгуулъя.

Эндээс харахад илэрхийлэл нь өөрөө нэг удаа үрждэг, өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын дагуу энэ нь тооны --р хүч юм.

Үнэн хэрэгтээ үүнийг "заагчийг хаалтанд оруулах" гэж нэрлэж болно. Гэхдээ та үүнийг бүхэлд нь хэзээ ч хийж чадахгүй :!

Товчилсон үржүүлэх томъёог эргэн санацгаая: бид хэдэн удаа бичихийг хүссэн бэ? Гэхдээ энэ нь үнэн биш юм.

Сөрөг суурьтай хүч.

Энэ хүртэл бид зөвхөн юу байх ёстой талаар ярилцсан индексзэрэг. Гэхдээ үндэс нь юу байх ёстой вэ? -аас градусаар байгалийн үзүүлэлт суурь байж болно ямар ч тоо .

Үнэндээ бид эерэг, сөрөг эсвэл бүр аль ч тоог бие биенээ үржүүлж чадна. Ямар шинж тэмдэг (" "эсвэл "") эерэг ба сөрөг тоонуудын зэрэгтэй байх талаар бодож үзье.

Жишээлбэл, энэ тоо эерэг эсвэл сөрөг байх уу? ГЭХДЭЭ? ?

Эхнийх нь бүх зүйл тодорхой байна: бид бие биетэйгээ хичнээн эерэг тоог үржүүлснээс үл хамааран үр дүн эерэг байх болно.

Гэхдээ сөрөг тал нь арай илүү сонирхолтой байдаг. Эцсийн эцэст бид 6-р ангийн энгийн дүрмийг санаж байна: "хасах нь хасах нь нэмэх". Энэ нь, эсвэл. Гэхдээ () -ээр үржүүлбэл - болно.

Мөн хязгааргүй үргэлжлэх болно: дараагийн үржүүлэх бүрт тэмдэг өөрчлөгдөнө. Ийм томъёолох боломжтой энгийн дүрэм:

1. бүрзэрэг, - тоо эерэг.
2. Сөрөг тоо, онд босгосон хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
3. Аливаа хүчинд эерэг тоо нь эерэг тоо юм.
4. Аливаа чадлын тэг нь тэгтэй тэнцүү байна.

Дараахь илэрхийллүүд ямар тэмдэгтэй болохыг өөрөө тодорхойл.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Та удирдаж чадсан уу? Энд хариултууд байна:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Эхний дөрвөн жишээнд бүх зүйл тодорхой байгаа гэж найдаж байна? Бид зүгээр л суурь ба илтгэгчийг хараад тохирох дүрмийг хэрэгжүүлнэ.

Жишээ 5) дээр бүх зүйл тийм ч аймшигтай биш юм: суурь нь ямар байх нь хамаагүй - зэрэг нь тэгш, үр дүн нь үргэлж эерэг байх болно гэсэн үг юм. За, суурь нь тэг байхаас бусад тохиолдолд. Суурь нь нэг л биш биз дээ? Мэдээж тийм биш, учир нь (учир нь).

Жишээ 6) тийм ч энгийн байхаа больсон. Эндээс та аль нь бага болохыг олж мэдэх хэрэгтэй: эсвэл? Хэрэв та үүнийг санаж байгаа бол энэ нь тодорхой болно, энэ нь суурь нь тэгээс бага гэсэн үг юм. Энэ нь бид 2-р дүрмийг хэрэгжүүлдэг: үр дүн нь сөрөг байх болно.

Мөн бид дахин зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашигладаг:

Бүх зүйл ердийнх шиг байна - бид градусын тодорхойлолтыг бичиж, бие биендээ хувааж, хос болгон хувааж, дараахь зүйлийг авна.

Сүүлийн дүрмийг шинжлэхээсээ өмнө хэд хэдэн жишээг шийдье.

Илэрхийллийн утгыг тооцоолох:

Шийдэл :

Хэрэв бид наймдугаар зэрэглэлд анхаарлаа хандуулахгүй бол энд юу харж байна вэ? 7-р ангийн хөтөлбөрийг харцгаая. За, санаж байна уу? Энэ бол үржүүлэхийн товчилсон томъёо, тухайлбал квадратуудын зөрүү юм!

Бид авах:

Бид хуваагчийг анхааралтай хардаг. Энэ нь тоологч хүчин зүйлүүдийн нэг шиг харагдаж байна, гэхдээ юу нь буруу вэ? Нэр томъёоны дараалал буруу. Хэрэв тэдгээр нь эсрэгээр өөрчлөгдсөн бол 3-р дүрмийг хэрэглэж болно.Гэхдээ үүнийг яаж хийх вэ? Энэ нь маш амархан болох нь харагдаж байна: хуваагчийн жигд зэрэг нь энд бидэнд тусалдаг.

Хэрэв та үүнийг үржүүлбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, тийм үү? Харин одоо иймэрхүү харагдаж байна:

Нэр томьёо нь ид шидийн байр суурийг өөрчилсөн. Энэ "үзэгдэл" нь ямар ч илэрхийлэлд тэгш хэмжээгээр хамаатай: бид хаалтанд байгаа тэмдгүүдийг чөлөөтэй сольж болно. Гэхдээ санаж байх нь чухал: Бүх шинж тэмдгүүд нэгэн зэрэг өөрчлөгддөг!Үүнийг зөвхөн нэг үл хамаарах хасах зүйлийг өөрчилснөөр солих боломжгүй юм!

Жишээ рүүгээ буцъя:

Мөн дахин томъёо:

Тиймээс одоо сүүлчийн дүрэм:

Үүнийг бид яаж батлах гэж байна? Мэдээжийн хэрэг, ердийнхөөрөө: зэрэг гэсэн ойлголтыг өргөжүүлж, хялбаршуулъя:

За, одоо хаалтаа нээцгээе. Хэдэн үсэг байх вэ? үржүүлэгчээр дахин - энэ нь ямар харагддаг вэ? Энэ бол үйл ажиллагааны тодорхойлолтоос өөр зүйл биш юм үржүүлэх: нийт үржүүлэгч болж хувирав. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тодорхойлолтоор илтгэгчтэй тооны зэрэг юм.

Жишээ:

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэг

Дундаж түвшний талаархи мэдээллээс гадна бид үндэслэлгүй үзүүлэлтээр зэрэглэлийг шинжлэх болно. Энд байгаа бүх дүрэм, зэрэглэлийн шинж чанарууд нь рационал илтгэгчтэй зэрэгтэй яг ижил байна, эс тооцвол - эцсийн эцэст, тодорхойлолтоор иррационал тоонууд нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлэгдэх боломжгүй тоо, энд ба бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл) юм. , иррационал тоонууд нь рационал тооноос бусад бүх бодит тоонууд юм).

Байгалийн, бүхэл тоо, оновчтой үзүүлэлт бүхий зэрэг судлахдаа бид тодорхой "дүрс", "үүнтэй төстэй" эсвэл илүү танил нэр томъёогоор дүрсэлсэн байдаг. Жишээлбэл, натурал экспонент нь өөрөө хэд хэдэн удаа үржүүлсэн тоо юм; тэг зэрэгтэй тоо гэдэг нь өөрөө нэг удаа үржүүлсэн тоо юм, өөрөөр хэлбэл үржиж эхлээгүй байгаа бөгөөд энэ нь тоо өөрөө хараахан гарч ирээгүй гэсэн үг юм - тиймээс үр дүн нь зөвхөн нэг юм. тодорхой "тоо бэлтгэх", тухайлбал тоо; бүхэл сөрөг үзүүлэлт бүхий зэрэг - энэ нь тодорхой "урвуу үйл явц" үүссэн мэт, өөрөөр хэлбэл тоог өөрөө үржүүлээгүй, харин хуваасан юм.

Иррациональ илтгэгчтэй (4 хэмжээст орон зайг төсөөлөхөд хэцүү байдаг шиг) зэрэглэлийг төсөөлөхөд туйлын хэцүү байдаг. Харин энэ нь математикчид градусын тухай ойлголтыг бүх тооны орон зайд хүргэхийн тулд бүтээсэн цэвэр математикийн объект юм.

Дашрамд хэлэхэд, шинжлэх ухаан нь ихэвчлэн төвөгтэй илтгэгчтэй зэрэг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл илтгэгч нь бодит тоо ч биш юм. Гэхдээ сургуульд байхдаа бид ийм бэрхшээлийн талаар боддоггүй, та институт дээр эдгээр шинэ ойлголтуудыг ойлгох боломжтой болно.

Хэрэв бид иррациональ илтгэгчийг харвал яах вэ? Бид үүнийг арилгахын тулд чадах бүхнээ хийж байна! :)

Жишээлбэл:

Өөрийнхөө төлөө шийд:

1)

2)

3)

Хариултууд:

1. Квадрат томьёоны зөрүүг санаарай. Хариулт: .
2. Бид бутархайг ижил хэлбэрт оруулдаг: аравтын бутархай эсвэл энгийн аль аль нь. Бид жишээ нь: .
3. Онцгой зүйл байхгүй, бид градусын ердийн шинж чанарыг ашигладаг:

БҮЛГИЙН ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН ТОГЛООМ

Зэрэгхэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг: , энд:

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг

зэрэг, илтгэгч нь натурал тоо (өөрөөр хэлбэл бүхэл ба эерэг).

Рационал илтгэгчтэй зэрэг

зэрэг, үзүүлэлт нь сөрөг ба бутархай тоо юм.

Иррациональ илтгэгчтэй зэрэг

илтгэгч нь хязгааргүй аравтын бутархай буюу үндэс юм.

Зэрэглэлийн шинж чанарууд

Зэрэглэлийн онцлог.

• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн бүрзэрэг, - тоо эерэг.
• Сөрөг тоог хүртэл нэмэгдүүлсэн хачинзэрэг, - тоо сөрөг.
• Аливаа хүчинд эерэг тоо нь эерэг тоо юм.
• Тэг нь ямар ч чадалтай тэнцүү.
• Ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү байна.

ОДОО ТАНД ҮГ БАЙНА...

Нийтлэл танд хэр таалагдаж байна вэ? Танд таалагдсан эсэхээ доорх коммент хэсэгт мэдэгдээрэй.

Эрчим хүчний шинж чанаруудтай холбоотой туршлагаасаа бидэнд хэлээрэй.

Магадгүй танд асуулт байгаа байх. Эсвэл санал.

Сэтгэгдэл дээр бичээрэй.

Мөн шалгалтанд нь амжилт хүсье!

Эрчим хүчний томъёобагасгах, хялбарчлах үйл явцад ашигладаг нарийн төвөгтэй илэрхийллүүд, тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд.

Тоо вбайна n- тооны дах зэрэглэл ахэзээ:

Зэрэг бүхий үйлдлүүд.

1. Ижил суурьтай градусыг үржүүлэхэд тэдгээрийн үзүүлэлтүүд нийлнэ.

а мa n = a m + n.

2. Ижил суурьтай зэрэглэлийг хуваахдаа тэдгээрийн үзүүлэлтийг хасна.

3. 2 ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн үржвэрийн зэрэг нь эдгээр хүчин зүйлийн градусын үржвэртэй тэнцүү байна.

(abc…) n = a n b n c n…

4. Бутархайн зэрэг нь ногдол ашиг ба хуваагчийн градусын харьцаатай тэнцүү байна.

(a/b) n = a n / b n .

5. Хүчийг хүчирхэг болгон өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ.

(ам) n = a m n .

Дээрх томьёо бүр зүүнээс баруун тийш болон эсрэгээр зөв байна.

Жишээлбэл. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Үндэстэй үйлдлүүд.

1. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэрийн үндэс нь эдгээр хүчин зүйлсийн язгуурын үржвэртэй тэнцүү байна.

2. Харьцааны үндэс нь ногдол ашиг ба язгуур хуваагчийн харьцаатай тэнцүү байна.

3. Үндэсийг зэрэглэлд өсгөхдөө язгуур тоог энэ зэрэгт өсгөхөд хангалттай.

4. Хэрэв бид язгуурын зэрэглэлийг нэмэгдүүлбэл nнэг удаа, нэгэн зэрэг өсгөх n th хүчин чадал нь язгуур тоо бол язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй:

5. Хэрэв бид язгуурын зэрэглэлийг бууруулбал nнэгэн зэрэг үндэс nРадикал тооноос 1-р зэрэгтэй байвал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй.

Сөрөг илтгэгчтэй зэрэг.Эерэг бус (бүхэл тоо) илтгэгчтэй зарим тооны зэрэг нь илтгэгчтэй ижил тооны зэрэгт хуваагдсанаар тодорхойлогддог. үнэмлэхүй үнэ цэнээерэг бус үзүүлэлт:

Томъёо а м:a n = a m - nзориулаад зогсохгүй ашиглаж болно м> n, гэхдээ бас үед м< n.

Жишээлбэл. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Томъёо руу а м:a n = a m - nүед шударга болсон m=n, танд тэг градус байх шаардлагатай.

Тэг илтгэгчтэй зэрэг.Тэг илтгэгчтэй, тэгээс өөр тооны хүчин чадал нэгтэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Бутархай илтгэгчтэй зэрэг.Бодит тоог нэмэгдүүлэхийн тулд атодорхой хэмжээгээр м/н, та үндсийг нь задлах хэрэгтэй n-ийн зэрэг мэнэ тооны р зэрэг а.

үндсэн зорилго

Оюутнуудыг байгалийн үзүүлэлт бүхий зэрэглэлийн шинж чанаруудтай танилцуулж, зэрэгтэй үйлдэл хийхийг заах.

Сэдэв "Зэрэг, түүний шинж чанарууд"гурван асуулт багтана:

• Байгалийн үзүүлэлтээр зэрэг тодорхойлох.
• Эрх мэдлийг үржүүлэх, хуваах.
• Бүтээгдэхүүн ба зэрэглэлийн экспоненциал.

тестийн асуултууд

1. 1-ээс их натурал илтгэгчтэй зэрэглэлийн тодорхойлолтыг томъёол. Жишээ өг.
2. Зэрэглэлийн тодорхойлолтыг 1-ийн үзүүлэлтээр томъёол.Жишээ өг.
3. Хүчин чадал агуулсан илэрхийллийн утгыг үнэлэх үйлдлүүдийн дараалал юу вэ?
4. Зэрэглэлийн үндсэн шинж чанарыг томъёол. Жишээ хэлье.
5. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг томъёол. Жишээ хэлье.
6. Ижил үндэслэлээр эрх мэдлийг хуваах дүрмийг боловсруул. Жишээ хэлье.
7. Бүтээгдэхүүний экспонентацийн дүрмийг томъёол. Жишээ хэлье. (ab) n = a n b n гэдгийг батал.
8. Эрх мэдлийн зэрэгтэй болгох дүрмийг боловсруул. Жишээ хэлье. (a m) n = a m n гэдгийг батална уу.

Зэрэглэлийн тодорхойлолт.

тооны зэрэг абайгалийн үзүүлэлттэй n, 1-ээс их бол n хүчин зүйлийн үржвэр гэж нэрлэгддэг ба тус бүр нь тэнцүү байна а. тооны зэрэг а 1-р илтгэгчтэй тоо өөрөө дуудагдана а.

Суурьтай зэрэг аболон үзүүлэлт nингэж бичсэн байна: a n. "гэж уншдаг. ахэмжээгээр нь n”; “ Тооны n-р зэрэглэл а ”.

Зэрэглэлийн тодорхойлолтоор:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Зэрэглэлийн утгыг олох гэж нэрлэдэг экспонентаци .

1. Экспонентацийн жишээ:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

б) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Сонголт 1

a) 0.3 0.3 0.3

в) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Тоонуудыг квадрат болго:

3. Тоонуудыг шоо:

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

в) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Эрх мэдлийг үржүүлэх.

Аливаа a тоо болон дурын m ба n тоонуудын хувьд дараах үнэн байна.

a m a n = a m + n .

Нотолгоо:

дүрэм : Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг нэмнэ.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

б) у у 6 = у 1 у 6 = у 1 + 6 = у 7

в) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

г) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

д) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

б) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Сонголт 1

1. Эрдмийн зэрэг олгох:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

в) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

д) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09

2. Зэрэг хэлбэрээр үзүүлж, утгыг хүснэгтээс ол.

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Зэрэг хуваах.

m>n байх дурын a0 тоо болон дурын натурал m ба n тоонуудын хувьд дараахь зүйлийг гүйцэтгэнэ.

a m: a n = a m - n

Нотолгоо:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

Хувийн тодорхойлолтоор:

a m: a n \u003d a m - n.

дүрэм: Ижил суурьтай хүчийг хуваахдаа суурь нь хэвээр үлдэж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.

Тодорхойлолт: Тэг илтгэгчтэй тэгээс өөр тооны зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байна:

учир нь a n: a0-ийн хувьд a n = 1.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

в) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

б) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

онд)

G)

д)

Сонголт 1

1. Хэсэлтийг зэрэглэлээр илэрхийл.

2. Илэрхийллийн утгыг ол:

Бүтээгдэхүүний хүчийг нэмэгдүүлэх.

Аливаа a ба b ба дурын натурал n тооны хувьд:

(ab) n = a n b n

Нотолгоо:

Зэрэглэлийн тодорхойлолтоор

(ab) n =

a болон b хүчин зүйлсийг тус тусад нь бүлэглэвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

=

Бүтээгдэхүүний зэрэглэлийн батлагдсан шинж чанар нь гурав ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүний зэрэгт хамаарна.

Жишээлбэл:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

дүрэм: Бүтээгдэхүүнийг хүчин чадалд хүргэх үед хүчин зүйл бүрийг тухайн хүчин чадалд өсгөж үр дүнг үржүүлнэ.

1. Хүч чадалд хүргэх:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

б) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 у 3 \u003d 8 x 3 у 3

в) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

г) (-5 жил) 3 \u003d (-5) 3 жил 3 \u003d -125 жил 3

e) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 у 2 \u003d 0.04 x 2 у 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Илэрхийллийн утгыг ол:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

б) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000

в) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1

д)

Сонголт 1

1. Хүч чадалд хүргэх:

б) (2 а в) 4

e) (-0.1 x y) 3

2. Илэрхийллийн утгыг ол:

б) (5 7 20) 2

Экспоненциал.

Дурын а тоо болон дурын натурал m ба n тоонуудын хувьд:

(a m) n = a m n

Нотолгоо:

Зэрэглэлийн тодорхойлолтоор

(a m) n =

Дүрэм: Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлнэ.

1. Хүч чадалд хүргэх:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Илэрхийллийг хялбарчлах:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

б) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

в) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

а)

б)

Сонголт 1

1. Хүч чадалд хүргэх:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Илэрхийллийг хялбарчлах:

a) a 4 (a 3) 2

б) (б 4) 3 б 5+

в) (х 2) 4 (х 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Илэрхийллийн утгыг ол:

Өргөдөл

Зэрэглэлийн тодорхойлолт.

Сонголт 2

1-р Бүтээгдэхүүнийг зэрэг хэлбэрээр бичнэ үү.

a) 0.4 0.4 0.4

в) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

д) (МЭӨ) (МЭӨ) (МЭӨ)

2. Тоонуудыг квадрат болго:

3. Тоонуудыг шоо:

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

в) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Сонголт 3

1. Бүтээгдэхүүнийг зэрэг хэлбэрээр бичнэ үү:

a) 0.5 0.5 0.5

в) в в в в в в в в в

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

д) (ab) (ab) (ab)

2. Тооны квадрат хэлбэрээр үзүүлэв: 100; 0.49; .

3. Тоонуудыг шоо:

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

в) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Сонголт 4

1. Бүтээгдэхүүнийг зэрэг хэлбэрээр бичнэ үү:

a) 0.7 0.7 0.7

в) х х х х х х

d) (-а) (-а) (-а)

д) (МЭӨ) (МЭӨ) (МЭӨ) (МЭӨ)

2. Тоонуудыг квадрат болго:

3. Тоонуудыг шоо:

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

в) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Эрх мэдлийг үржүүлэх.

Сонголт 2

1. Эрдмийн зэрэг олгох:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

б) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

д) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04

2. Зэрэг хэлбэрээр үзүүлж, утгыг хүснэгтээс ол.

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Сонголт 3

1. Эрдмийн зэрэг олгох:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

д) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27

2. Зэрэг хэлбэрээр үзүүлж, утгыг хүснэгтээс ол.

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Сонголт 4

1. Эрдмийн зэрэг олгох:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

д) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008

2. Зэрэг хэлбэрээр үзүүлж, утгыг хүснэгтээс ол.

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Зэрэг хуваах.

Сонголт 2

1. Хэсэлтийг зэрэглэлээр илэрхийл.

2. Илэрхийллийн утгыг ол.

I.Ажил nхүчин зүйлүүд тус бүр нь тэнцүү байна адуудсан n- тооны дах зэрэглэл аболон тэмдэглэсэн аn.

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг зэрэг хэлбэрээр бичнэ үү.

1) мммм; 2) ааабб; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Шийдэл.

1) мммм=м 4, учир нь, зэрэг тодорхойлолтоор дөрвөн хүчин зүйлийн үржвэр, тус бүр нь тэнцүү байна м, байх болно м-ийн дөрөв дэх хүч.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II.Хэд хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийн үржвэрийг олох үйлдлийг экспоненциал гэж нэрлэдэг. Хүчин чадалд хүрсэн тоог чадлын суурь гэж нэрлэдэг. Суурь ямар чадлаар өргөгдсөнийг илтгэх тоог экспонент гэнэ. Тэгэхээр, аn- зэрэг, а- зэрэглэлийн суурь n- илтгэгч. Жишээлбэл:

2 3 — энэ бол эрдмийн зэрэг юм. Тоо 2 - зэрэглэлийн суурь, илтгэгч нь тэнцүү байна 3 . Зэрэглэлийн үнэ цэнэ 2 3 тэнцүү байна 8, учир нь 2 3 =2 2 2=8.

Жишээ. Дараах илэрхийллүүдийг илтгэгчгүйгээр бич.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2.

Шийдэл.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = ааа-ббб; 8) 2a 4 +3b 2 = 2аааа+3бб.

III.ба 0 =1 Ямар ч тоо (тэгээс бусад) тэг хүртэлх хүчин чадал нь нэгтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 0 =1.
IV. a 1 = aЭхний түвшний аль ч тоо нь өөртэй нь тэнцүү байна.

v.а м∙ a n= а м + n Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд суурь нь ижил, экспонентууд хэвээр үлдэнэ нэмэх.

Жишээ. Хялбарчлах:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Шийдэл.

9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI.а м: a n= а м - nИжил суурьтай хүчийг хуваахдаа суурь нь хэвээр үлдэж, ногдол ашгийн илтгэгчээс хуваагчийн илтгэгчийг хасна.

Жишээ. Хялбарчлах:

12) a 8: a 3; 13) м11:м4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) м11:м4=м 11-4 =м 7 ; арван дөрөв ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (а м) n= амн Хүчин чадлыг өсгөхөд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлнэ.

Жишээ. Хялбарчлах:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

тэмдэглэл, бүтээгдэхүүн нь хүчин зүйлсийн солилцооноос өөрчлөгддөггүй тул, тэгээд:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

ВI II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгоход хүчин зүйл бүрийг тухайн хүчин чадалд шилжүүлдэг.

Жишээ. Хялбарчлах:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0.26 56; 19) 0.25 2 40 2 .

Шийдэл.

17) (2a 2) 5\u003d 2 5 a 2 5 \u003d 32a 10; 18) 0.2 6 5 6=(0.2 5) 6 =1 6 =1;

19) 0.25 2 40 2\u003d (0.25 40) 2 \u003d 10 2 \u003d 100.

IX.Бутархайг зэрэглэлд хүргэх үед бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа тэрхүү хэмжээнд нэмэгдэнэ.

Жишээ. Хялбарчлах:

Шийдэл.

1 хуудасны 1 1